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MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2

Cálculo diferencial de Funções de mais de uma variável 1. Funções de mais de uma variável

2. Limites de funções de mais de uma variável

3. Continuidade de funções de mais de uma variável

4. Derivadas parciais

5. Derivadas parciais de ordem superior

6. Diferenciabilidade e Diferencial Total

7. A regra da cadeia

8. Condições Suficientes para a Diferenciabilidade

1- Funções de mais de uma variável Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade depende dos valores de duas outras ou de três ou mais. Assim, é comum representar estas relações como funções de várias variáveis. Funções de duas variáveis:

Seja D um subconjunto (região) do espaço (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par , um único número real, representado por . O conjunto D é o domínio da função.

Assim, D é o domínio da função em , é a função, é o valor da função calculado em .

Exemplos de valores de função de 2 variáveis:

1- se então

2- se então O domínio das funções de duas variáveis segue as mesmas regras do domínio de funções de uma

variável, ou seja, o domínio é a região , tal que os valores calculados da função, para todo resultem em valores finitos e reais para . Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo

Ou seja, uma função cujo domínio (ou ) é um subconjunto de e seu contradomínio é .

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Usamos, também, a notação ( mais resumida) para representar funções reais de n variáveis;

Neste caso é o conjunto

Exemplos:

Ache o domínio da função:

a)

R: A condição de existência dessa função é , portanto o seu domínio é:

b)

R: A função é finita quando , portanto o seu domínio é o conjunto de pontos, tais que:

c)

R: Domínio da função:

Imagem da função: ou

d)

R: é um número real quando ou . Logo, o domínio da função é dado por:

Domínio - Representação gráfica

O domínio de uma função de duas variáveis é, em geral, representado por uma relação binária. A representação do domínio pode ser dada lógica ou graficamente.

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Exemplo: Determine e represente graficamente os domínios das funções:

1.

Representação gráfica:

2.

, não tem solução, logo . Representação gráfica: mesma da anterior.

3.

Representação gráfica:

4.

ou seja, todo o plano exceto a 1a. bissetriz.

Representação gráfica:

5.

Representação gráfica:

4

6.

Equivalente a e

( e ) ou a e ( e )

Representação gráfica:

7.

A função é finita quando Assim, o domínio é o conjunto de pontos, tais que:

Representação gráfica:

8.

A função está definida somente para , ou seja,

. Assim, Na representação gráfica do domínio usamos o fato de que a

curva separa a região onde da região onde

. Para determinar a região onde , podemos

selecionar "um ponto teste" fora da fronteira e verificar

se ou no ponto teste. Por exemplo: se , então não é uma relação verdadeira. Logo, este

ponto não está na região onde . A região correspondente ao domínio é aquela que não contém este ponto teste.

Representação gráfica:

9.

Devemos ter .

Assim,

Representação gráfica do domínio da função:

10)

Como estamos assumindo que a imagem de tem que ser um número real, o argumento da função

raiz quadrada deve ser não negativo, ou seja, devemos ter 0, o que geometricamente é a

região do plano que está acima da reta , incluindo a própria reta.

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11)

Como estamos assumindo que a imagem de tem que ser um número real, o argumento da função

logaritmo deve ser positivo, ou seja, , o que geometricamente representa região do

plano interior à elipse:

.

12)

13)

14)

Como a função pode ser vista como a soma das funções e , o seu

domínio será a interseção dos domínios das mesmas, ou seja, temos que tomar de modo que

eles satisfaçam simultaneamente as seguintes desigualdades:

e ,

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logo:

o que geometricamente é a região do plano entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2,

incluindo os pontos do círculo de raio 1 e excluindo-se os pontos do círculo de raio 2.

15)

Como é a razão das funções e devemos tomar a interseção dos domínios

destas e excluir dela os pontos onde o denominador se anula. Ou seja,queremos que:

logo:

o que geometricamente é a região do plano que está acima da parábola e exterior ao círculo

, da qual tiramos os pontos que estão no círculo .

Gráfico de uma função de duas variáveis:

Para as funções de uma variável independente, o gráfico é no plano e

Para as funções de duas variáveis, o gráfico é em e . Uma função de duas variáveis

sempre gera uma superfície no espaço . Em geral, essa representação pode se tornar bastante

complexa sem o auxílio de uma ferramenta computacional.

Exemplos de funções de duas variáveis:

1)

A superfície é um plano infinito, paralelo a , e

passando por .

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2) . Esta função pode ser escrita na forma que é a

equação de um plano.

Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, fazer:

Domínio: todo plano Imagem: todo eixo

Gráfico de no plano:

Parte do gráfico de que se encontra no primeiro octante. Mostra as interseções com os planos .

3)

A superfície é um paraboloide de revolução

4)

A superfície gerada é uma semiesfera de centro na origem e raio . Neste caso, .

A condição é equivalente às

duas condições: . Assim, o gráfico

consiste na posição da esfera sobre o

plano

5)

A superfície gerada é uma semiesfera de centro na origem e raio .

6) A equação é a equação de um plano inclinado que corta os eixos coordenados em

, Esta função pode ser escrita na forma

que é a equação de um

plano.

Domínio: todo plano Imagem: todo eixo

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Exemplos de casos importantes:

Equação

Superfície gerada Exemplo

Plano

Paraboloide elíptico

Paraboloide hiperbólico

Metade de uma superfície esférica de raio .

Metade de uma superfície cônica.

Exercícios:

1- Seja a função dada por (duas variáveis). Determine:

a) b) c) d) e)

R: a) 5, b) 0, c) 25, d) , e)

2- Seja a função dada por Determine:

a) b) c) d) e)

R: a) 0, b) , c) , d) , e)

3- Seja a função dada por

Determine:

a) b) c) d) e) Representação gráfica do domínio de .

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R: a) -3, b) , c) , d)

4- Seja a função dada por

. Determine:

a) b) c) d) e) Representação gráfica do domínio de .

R: a) 1, b) 1/4 , c)

, d)

5- Determine e represente graficamente os domínios das seguintes funções:

a) b)

c) d)

e) f) g)

h)

i) j)

Respostas: b) c)

d)

6- Encontre o domínio e a imagem das seguintes funções:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

7- Encontre o domínio das seguintes funções:

a) b)

c)

d)

e) f)

g)

h)

i)

2- Limites de funções de mais de uma variável

O limite da função , quando tende para um valor , é o número L (se existir)

e é representado por:

ou

, ≠

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Exemplos:

1-

se aproxima de

quando o ponto se aproxima de .

2-

3-

Limite de uma função a duas variáveis:

Supor que o ponto se aproxima do ponto pela direita, pela esquerda, e por qualquer outra direção. E também supor que se aproxima de ao longo de uma curva.

"Dizer que significa que, quando tende a por qualquer

direção, tende ao mesmo limite L." Como mostrar que um particular limite não existe?

Mostrar que tende a dois limites diferentes quando tende a por duas direções diferentes. Exemplos:

1- Seja a função definida por

.

(a) Calcule o limite de quando tende a ao longo de cada um dos caminhos:

(i) eixo dos ;

(ii) eixo dos ; (iii) a reta ;

(iv) a parábola . (b) O limite existe? Se sim, qual o seu valor?

Solução

(a) (i) eixo dos e

para .

Logo,

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(a) (ii) eixo dos y e

para .

Logo,

(a) (iii) a reta :

para

Logo,

(a) (iv) a parábola :

para

Logo,

(b) Ao longo de todos os caminhos do item (a), o limite é o mesmo: zero. Logo, o limite existe e é zero.

2- Seja a função definida por

.

(a) Calcule o limite de quando tende a ao longo dos mesmos caminhos do exercício anterior. (b) O limite existe? Se sim, qual o seu valor?

(a) (i) eixo dos e

para .

Logo, .

(a) (ii) eixo dos y e

para .

Logo, .

(a) (iii) a reta :

para

Logo,

(a) (iv) a parábola :

para

Logo,

.

(b) Como os limites (i) e (ii) são diferentes, não existe.

3- Seja a função definida por

(a) Calcule o limite de quando tende a ao longo da reta

(b) Calcule o limite de quando tende a ao longo da parábola .

(c) O limite existe? Se sim, qual o seu valor?

(a)

para ,

pode aproximar-se do mesmo limite quando aproxima-se de ao longo de qualquer

reta passando por .

E da parábola?

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(b)

para ,

(c) Como os limites de (a) e (b) são diferentes, não existe.

Propriedades dos limites para funções de duas variáveis:

Se

e

existem e é um número real qualquer, então:

(a)

(b)

(c)

(d)

, desde que

(e)

para todo inteiro

(f)

,

se

e inteiro ou se

e inteiro positivo ímpar.

Exemplos:

1-

.

2-

3-

como

, aplica-se (d)

Exercícios:

1) Calcule os limites abaixo:

a)

b)

c)

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2) Nos problemas abaixo, (a) calcule o limite de quando tende a ao longo de cada um dos caminhos indicados em (i), (ii), (iii) e (iv), e (b) determine existir.

2.1)

quando tende a (i) ao longo do eixo dos , (ii), ao longo do eixo dos , (iii)

ao longo da reta , (iv) ao longo da parábola .

2.2)

quando tende a (i) ao longo do eixo dos , (ii), ao longo do eixo dos , (iii)

ao longo da reta , (iv) ao longo da reta .

Respostas: 2.1) a) (i) 0 (ii) 0 (iii) 0 (iv) 0; b) 0 2.2) a) (i) 0 (ii) 0 (iii) 1/2 (iv)

; b) não existe

Cálculo de limites com algumas indeterminações:

Se

, qual o limite do quociente , quando tende a ?

Podemos encontrar qualquer valor real ou o limite pode não existir!

Indeterminações do tipo :

Exemplo 1: Calcular

Fatorar as expressões:

Exemplo 2: Calcular

Exemplo 3: Calcular

3- Continuidade de funções de mais de uma variável

Uma função é contínua em um ponto se:

e

existe

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Caso contrário, a função será descontínua neste ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a

função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo.

Exemplos:

1)

A função é contínua em ? Verificar

a) se se aproxima de pelo eixo dos ,

para .

b) se se aproxima de pelo eixo dos ,

para .

c) se se aproxima de através de pontos da reta ,

para .

Logo, como o limite de (c) foi diferente dos obtidos em (a) e (b),

.

2)

A função é contínua para

a)

para

b) para

Logo, a função não é contínua nos pontos com

é contínua na origem.

a) se se aproxima de pelo eixo dos ,

para .

b) se se aproxima de pelo eixo dos ,

para .

c) se se aproxima de através de pontos da reta ,

para .

Que é igual ao

Proposição: Sejam duas funções contínuas em . Então: a) é contínua em . b) é contínua em . c) é contínua em . d) é contínua em desde que

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Uma função polinomial de duas variáveis é contínua em

Exemplo: Uma função racional de duas variáveis é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Exemplo:

é contínua em O limite existirá sempre, com exceção nas restrições.

Exemplos:

1) , é contínua ⩝ .

2) , é contínua ⩝ .

3)

é contínua em

4)

é contínua em

5) é contínua em

6) é contínua em

O domínio é uma circunferência de centro na origem e de raio .

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Exercícios:

1) Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados.

a) em

b)

em

Verificar ao longo do eixo e ao longo da reta .

Resposta: a) b) não é contínua nos pontos indicados.

4- Derivadas parciais

A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A diferença é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. A derivada parcial é obtida pela derivação de uma curva que represente um caminho sobre a função e paralelo à variável escolhida. Assim, uma derivada parcial é obtida considerando-se apenas uma variável de cada vez.

Por exemplo, considere Consideremos, temporariamente, apenas a segunda variável como constante e diferenciemos em relação à primeira variável x:

e

Assim,

.

A fim de enfatizar que apenas pode variar, ou seja, que deve ser mantido constante quando

a derivada é calculada, é comum substituir o símbolo

por

(o símbolo é chamado de "d

round"). Assim, da equação acima, teremos:

A derivada calculada em relação a enquanto é mantido temporariamente constante é denominada

derivada parcial em relação a , e

é chamado de operador derivada parcial em relação a . Da

mesma forma, se desejarmos manter a variável fixa e diferenciarmos em relação a , usamos o

símbolo

. Assim,

Definição: Se é uma função a duas variáveis, e é um ponto no domínio de então as

derivadas parciais

e

de em relação à primeira e à segunda variável são definidas

por:

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e

desde que os limites existam. O procedimento para encontrar as derivadas parciais é denominado diferenciação parcial.

Se , frequentemente se escreve ou ao invés de

ou

para a

derivada parcial de em relação a . O índice 1 (respectivamente, o índice ) denota a diferenciação

parcial em relação à primeira variável (ou, em relação a ). A notação do operador para derivadas ordinárias pode ser adaptada para derivadas parciais, e teremos: a derivada parcial de em relação a (considera apenas como variável, é uma constante):

A derivada parcial de em relação a (considera apenas como variável, é uma constante):

Derivadas parciais de funções de 3 variáveis:

Exemplos:

1) Se , encontre

Solução: considerando e constantes e diferenciando em relação a , obtemos:

2) Se

, encontre e

Solução: usando a regra do quociente, considerando constante e diferenciando em relação a :

considerando constante e diferenciando em relação a ,

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3) Se , encontre

Solução: considerando e constantes e diferenciando em relação a ,

Interpretação geométrica da derivada parcial: Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo de duas variáveis, a derivada em relação a mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado e numa seção paralela ao eixo ; a derivada em

relação a , numa seção paralela a e com constante.

Para (constante) a função se reduz a uma função de uma variável .

Taxas de variação:

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Exemplos de derivadas parciais de funções em relação a e relação a :

1)

2)

3)

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4) Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície , com o plano no ponto .

Solução: Para derivar em relação a , mantém constante.

mas no ponto , tem-se:

5) Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície , com plano no ponto .

6) Achar as derivadas parciais da função .

Exercícios:

1) Determine as derivadas parciais:

e

a) b)

2) Determine as derivadas parciais

e

das funções:

a) b) c)

d) e)

f)

g) h) i)

j) k) l)

Respostas:

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i)

;

j)

k)

l)

3) Mostre que:

a) se , então

b) se

, então

4) Dado , determine: a) A inclinação de no ponto na direção do eixo . b) A inclinação de no ponto na direção do eixo . 5) Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de:

a) com o plano no ponto b) com o plano , no ponto

c) com o plano , no ponto Resposta: a) 4, b) 4, c) -3

6) Dada a função

. Determine:

a) o domínio de b) c)

Resposta: a) b)

c)

7) Seja a função dada por

a) Determine e represente graficamente o domínio de . b) Encontre

Resposta: b)

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8) Seja a função dada por

a) Determine e represente graficamente o domínio de . b) Encontre

9) O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula onde representa a medida do raio da base e a altura do cilindro. a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a se permanece constante.

b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a se permanece constante.

c) Suponha que tem um valor constante de mas varia. Determine a taxa de variação de V em relação a quando .

d) Suponha que tem um valor constante de mas varia. Determine a taxa de variação de V em relação a quando .

Respostas:

5- Derivadas parciais de ordem superior

As derivadas parciais de ordem superior são obtidas da mesma forma que as derivadas parciais de primeira ordem. No entanto, deve-se observar que, para uma função de duas variáveis, existirão duas derivadas de segunda ordem para cada derivada parcial, ou seja, as derivadas de segunda ordem de são dadas por:

Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas cruzadas são iguais: .

Exemplo 1) Calcular as derivadas até a segunda ordem de Solução:

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Exemplo 2) Calcular as derivadas até a segunda ordem de Solução:

Exemplo 3) Calcular as derivadas até a segunda ordem de Solução:

Exercícios: 1- Determine as derivadas de segunda ordem das funções abaixo:

a) b)

c) d)

2- Determine as derivadas parciais de segunda ordem ( , das funções dadas por:

a) b) c) d)

e)

f) g) h) i)

Resposta:

i)

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Regra da Cadeia (do livro do Stewart)

Há muitas versões da regra da cadeia aplicadas às derivadas parciais, a mais simples delas é uma transcrição direta da regra da cadeia para funções a uma variável. Seja uma função a mais de

uma variável, mais especificamente a duas variáveis, para facilidade de compreensão. Se e , ou seja, , então mantendo constante e utilizando a regra da cadeia conhecida, temos:

isto é

contanto que as derivadas

existam. Analogamente, mantendo-se constante e utilizando a

regra da cadeia conhecida, temos:

isto é

contanto que as derivadas

existam.

1) Se , encontre

e

Solução: fazendo

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Pela regra da cadeia:

2) Se , encontre

e

Solução:

26

27

Solução: n=4 e m=2. Grafo correspondente:

Solução. Com o auxílio do grafo:

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Portanto:

Exercícios

1) Use a primeira regra da Cadeia para determinar

ou

(Stewart, página 936)

Resposta dos ímpares:

2) Use a primeira regra da Cadeia para determinar cada derivada (Munem, página 880)

29

Respostas:

3) Use a segunda regra da Cadeia (ou a versão geral) para determinar cada derivada parcial (Munem,

página 880)

21.

Resposta dos ímpares:

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Bibliografia:

1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis 3- Cálculo. Vol. 2. James Stewart. 4- Cálculo. Leithold Funções de duas variáveis Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva