ME623APlanejamento e Pesquisa

Experimentos Fatoriais 2k

Experimentos com k fatores e cada fator tem apenas dois níveis

Caso especial dos experimentos fatoriais com k fatores

Os fatores podem ser:a) Quantitativos: dois valores de

temperatura, pressão ou tempob) Qualitativos: níveis “alto” e “baixo”, presença

e ausência de um fator, duas máquinas, dois operadores, gênero

Um replicação completa requer:2 x 2 x 2 x … x 2 = 2k observações

Experimentos Fatoriais 2k

Os fatoriais 2k são muito úteis no primeiros estágios da experimentação, quando muitos fatores podem ser de interesse (screening)

Permite testar k fatores num fatorial completo com o menor número de rodadas

Assume-se que a resposta é aproximadamente linear entre os dois níveis

Continuaremos assumindo que:1. os fatores são fixos2. o experimento é completamente aleatorizado 3. as suposições de normalidade são satisfeitas

Experimentos Fatoriais 22

Caso mais simples do experimentos fatoriais 2k

Temos dois fatores (k=2) com 2 níveis cada

Cada replicação completa do experimento requer 22=4 observações, ou seja, 4 tratamentos

Os níveis dos fatores são denominados: baixo (−) e alto (+)

FatorRepresenta

ção

A BTratament

odo

TratamentoObservaç

ão

− − A−B− (1) y11k

+ − A+B− a y21k

− + A−B+ b y12k

+ + A+B+ ab y22k

Fatoriais 22 - Representação GeométricaOs quatro tratamentos podem ser

representados da seguinte forma:

Fator

A B Tratamento

− − (1)

+ − a

− + b

+ + ab

Fatoriais 22 - Exemplo

Pipoca de Microondas

Problema: grãos que sobram sem estourar

Exemplo – Pipoca no Microondas Possíveis fatores que influenciam na

quantidade de grãos que sobra sem estourar1. Marca da pipoca2. Tempo no microondas3. Potência4. …

Vamos selecionar dois fatores com dois níveis cada:Marca da pipoca (1 e 2)Tempo no microondas (4 e 6 minutos)

Variável resposta: peso (g) dos grãos sem estourar

Repetiremos o experimento 3 vezes (replicação)

Exemplo – PipocaExistem 4 tratamentos e 3 replicações,

resultando num total de 12 observaçõesAs 12 rodadas foram executadas em

ordem completamente aleatóriaOs dados estão na tabela abaixo

Fator Replicação

Marca

(A)

Tempo

(B)

Tratamento

I II III Total

− − (1) 28 25 27 80

+ − a 36 32 32 100

− + b 18 19 23 60

+ + ab 31 30 29 90

Exemplo – PipocaO modelo linear para esse experimento

ainda pode ser escrito da forma usual:

E as SS podem ser calculadas como antesNo entanto, veremos um maneira

alternativa de calcular as SS para esse tipo particular de modelo

Na notação usada aqui, letras maiúsculas denotam os fatores (A e B) e as letras minúsculas denotam os tratamentos (a, b, ab)

Efeitos Principais e InteraçãoNo desenho fatorial 22 podemos

definir o efeito médio de um fator como a mudança na resposta produzido pela mudança no nível do fator, tirando a média sobre os outros níveis do outro fator.

Efeitos Principais e InteraçãoNo desenho fatorial 22 podemos

definir o efeito médio de um fator como a mudança na resposta produzido pela mudança no nível do fator, tirando a média sobre os outros níveis do outro fator.

O efeito de A no nível baixo de B é

O efeito de A no nível alto de B é

Efeitos Principais e InteraçãoO efeito médio da interação AB é

a diferença média entre o efeito de A no nível alto de B e o efeito de A no nível baixo de B

Efeitos Principais e InteraçãoEfeitos principais

Interação

Efeitos Principais e InteraçãoEfeitos principais

• Interação

Exemplo - PipocaCalculamos os efeitos principais e a

interação no exemplo da pipoca

Examinar a magnitude e direção dos efeitos para determinar quais variáveis são importantes

Exemplo - PipocaCalculamos os efeitos principais e a

interação no exemplo da pipocaA = 8.33, B = -5, AB = 1.67

O efeito de A é positivo: aumentar A de “baixo” para “alto” aumenta o peso dos graus sem estourar

O contrário para B

A interação parece ser pequena em relação aos efeitos principais

Fatoriais 22 – Análise de Variância

Apesar que na maioria das vezes utilizaremos um software para fazer essa análise, aprenderemos alguns truques para fazer os cálculos manualmente

O contraste usado para estimar o efeito de A é:

Esse contraste é chamado de efeito total de A

Similarmente, temos os contrastes para B e AB:

Note que esses contrastes são ortogonais

Lembram como calcular a SS de contrates?

Fatoriais 22 – Análise de Variância

A SS dos contrastes é dada por:

Dessa forma, no exemplo da pipoca temos:

Fatoriais 22 – Análise de Variância

É conveniente escrever a seguinte tabela:

Por exemplo, para estimar o efeito de A, o contraste é:

Efeito FatorialTratamen

to I A B AB

(1) + − − +a + + − −b + − + −ab + + + +

Fatoriais 22 – Análise de Variância

A SST é calculada da mesma forma que antes:

E a SSE é calculada pela subtração:

No exemplo da pipoca

Exemplo – PipocaTabela ANOVA:

Ambos efeitos principais (marca da pipoca e tempo no microondas) são significantes, isto é, influenciam na quantidade de grãos que ficam sem estourar

E a interação?

Exemplo – PipocaInteração AB não é significante

RegressãoEm um experimento fatorial 22, é fácil

expressar os resultados em um modelo de regressão

Para o exemplo da pipoca temos

Onde x1 é representa o fator 1, assumindo -1 ou 1

e x2 representa o fator 2, também assumindo -1 ou 1

RegressãoEm um experimento fatorial 22, é fácil

expressar os resultados em um modelo de regressão

Para o exemplo da pipoca temos

Lembrando que A = Marca da pipoca (1 e 2)B = Tempo no microondas (4 e 6 minutos)

RegressãoEm um experimento fatorial 22, é fácil

expressar os resultados em um modelo de regressão

Para o exemplo da pipoca temos

Temos as relações

RegressãoEm um experimento fatorial 22, é fácil

expressar os resultados em um modelo de regressão

Para o exemplo da pipoca temos

No exemplo da Pipoca

RegressãoA regressão ajustada é então

Onde o intercepto é a média geral

Fatoriais 23

Experimentos com 3 fatores e 2 níveis cada

2 x 2 x 2 = 23 = 8 tratamentos

Representação geométrica

Fatoriais 23

Tabela dos sinais para calcular os efeitos

Efeito FatorialTratamen

to I A B AB C AC BCABC

(1) + − − + − + + −a + + − − − − + +b + − + − − + − +ab + + + + − − − −c + − − + + − − +ac + + − − + + − −bc + − + − + − + −abc + + + + + + + +

Fatoriais 23

Cálculo dos efeitos principais:

Fatoriais 23

Cálculo das interações de 1ª ordem (dois a dois):

E a interacão ABC:

Fatoriais 23

Fatoriais 23 – Exemplo 6.1 do livro

Os dados estão na tabela abaixo

Fator Replicação

A B C I II Tratamento

− − − 550 604 (1) = 1154

+ − − 669 650 a = 1319

− + − 633 601 b = 1234

+ + − 642 635 ab = 1277

− − + 1037 1052 c = 2089

+ − + 749 868 ac = 1617

− + + 1075 1063 bc = 2138

+ + + 729 860 abc = 1589

Exemplo 6.1Visualização dos dados no cubo:

(1) = 1154 Fato

r Ba = 1319

ab = 1277b = 1234

c = 2089 ac = 1617

bc = 2138 abc = 1589

Exercício: Calcular todos os efeitos, as SS e obter a tabela ANOVA para esse exemplo