Mecânica dos Sólidos Aula 7

Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008

Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 1

Sumário e Objectivos

Sumário: Torção de Veios de Secção Circular

Objectivos da Aula: Apreensão dos conceitos Fundamentais associados à torção de veios de Secção Circular.



Torção



Vigas



Torção de Um Veio de Secção Circular

Um veio cilíndrico de material homogéneo e isotrópico está sujeito a momentos torsores, Mt, sendo z o eixo coincidente com o eixo do cilindro, está em equilíbrio se os momentos torsores aplicados forem iguais e de sinais opostos.

x 0M =∑

Os binários Mt aplicados produzem uma rotação relativa f entre as duas secções extremas, de tal modo que a geratriz AB, inicialmente rectilínea, se deforma segundo a configuração de uma hélice cilíndrica A´B´.




Pressupostos Fundamentais:

1- Secções Rectas do Cilindro permanecem Circulares e planas, após deformação, rodando em torno do respectivo centro.

2- Um raio traçado sobre uma secção recta permanece rectilíneo durante a deformação do veio.

3- O ângulo entre dois quaisquer raios no plano duma secção recta permanece constante durante a deformação da barra.

4- Se se considerar um ângulo de torção total pequeno não há variação do raio nem do comprimento do veio.



Secção Arbitrária




0

´ *lim* ´x

S S drdzR SΔ

φγ→

= =A relação deformação – deslocamento para um veio de secção circular é 1 1

2 2xdrdzθφγε = =

As outras componentes do tensor das deformações em coordenadas cilíndricas são: 0r rz rr zzθ θθε ε ε ε ε= = = = =

2 zdr rdzθφγ θε = = =

u 0v r zw 0

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= θ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Vector Deslocamentos



O tensor das deformações tem a forma


zz z zr

z r z

rz r rr

0 r / 2 0r / 2 0 0 ou r / 2

0 0 0

θ

θ θθ θ θ

θ

θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ε ε ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥= θ = θε ε ε ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε ε ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦

12 z

w dv rr dzθγ θε

θ∂

= = + =∂sendo

O tensor das tensões toma a forma

zz z zr

z r z

rz r rr

0 Gr 0Gr 0 0 ou Gr (4.4)

0 0 0

θ

θ θθ θ θ

θ

θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ τ τ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= θ = θτ σ τ τ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ⎣ ⎦ ⎣ ⎦




Figura 4.3

(4.5)



Momento Torsor

As tensões distribuídas na secção correspondem a uma força num elemento de área dA que é dF dA= τ

O momento resultante da distribuição de tensões na secção é tA A

2

A A

rdF r dAM

r(Gr )dA G dAr

= = τ

= θ = θ

∫ ∫

∫ ∫



Momento Torsor e Tensão

O momento de Inércia Polar4

2z

A

rJ dAI r 2π

= = =∫

consequentemente o momento torsor ét zGM I= θ

t

z

MGI

θ =ou

Grτ = θA tensão é

t

z

rMI

τ =t

z

d Mdz GIφ

θ = =z

t

z0

(z)dzM(z) (0)G(z) (z)I

φ = φ + ∫



Torção de Um Veio de Secção Oca

sendo dA = r dϕ dr

No caso do veio ter a secção oca, a distribuição de tensões é linear como se representou, sendo o momento obtido pela fórmula

tA A

2

A A

rdF r dAM

r(Gr )dA G dAr

= = τ

= θ = θ

∫ ∫

∫ ∫

( )2

1

23 4 4

t 2 10

RdG d dr GM r R Rdz 2R

πφ π= ϕ = θ −∫ ∫



Momento de Inércia Polar

Momento de Inércia Polar



Tubos de Parede Delgada



Tensão e ângulo de Torção



Torção de Um Veio de Secção Composta

No caso de se considerar um veio constituído por dois materiais, o material A e o material B, como se representa na figura com módulos de elasticidade transversal respectivamente, as tensões são , sendo a 1ª a tensão no material A e a 2ª a tensão no

material B.



Torção de Um Veio de Secção Composta

O momento torsor é composto pelo momento torsor no material A e pelo momento torsor no material B, ou seja

t tA tB A A B BG J G JM M M= + = θ + θ

se nd o A B e J J o s m o m e nto s d e in érc ia p o la res d a s reg iõ es A e B .

Os momentos de inércia polares são obtidos a partir das dimensões e são4 44

AA BA B

)(r rr e J J2 2

π −π= =

O ângulo de torção por unidade de comprimento

t

A A B B

MG J G J

θ =+

t A t BA BA B

A A B B A A B B

G GM r M r e G J G J G J G J

= =τ τ+ +



Exemplo 17.1

Considere um veio de Secção Circular com 5cm de diâmetro e admita que o pretende substituir por um veio de secção circular oca. No caso do diâmetro exterior da secção oca ser de 7.5 cm, qual deve ser o diâmetro interior de modo que a tensão máxima no tubo não se alterar. Determine o peso dos dois tubos e compare-os e diga o que conclui dessa comparação. Considere o mesmo material para os dois tubos.



Exemplo 17.2

A

.

Considere um veio de secção circular composta, como se representa na figura, cujo diâmetro exterior é 140mm e cujo diâmetro interior édesconhecido. A tensão máxima instalada é de 150MPa.O material A tem um módulo de rigidez transversal GTA=110GPa e o material B tem um módulo de rigidez transversal GTB=80GPa. O momento torsor a que a peça está sujeita é 78.5KN.m. Determine o raio interior do veio.



Veio de Secção Arbitrária



O deslocamento PP* é rφ = r θ z cujas componentes segundo x e y são u,v. O vectordeslocamento referido aos eixos dos xx e dos yy é de acordo com a figura

Teoria de Saint Vennant

u r zsen zyv r z cos zxw w(x, y) w(x, y)

− θ α −θ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= θ α = θ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

x

y

P

P*

αvu

α




As deformações são obtidas a partir dos deslocamentos, tendo em conta as relações deformações deslocamentos, sendo o tensor das deformações

1 1 12 2 2

1 1 12 2 2

1 1 1 12 2 2 2

u u v u w w0 0 yx y x z x x

u v v v w w0 0 xy x y z y y

u w v w w w wy xz x z y z x y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂⎛ ⎞+ + − θ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + = + θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ + − θ + θ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ε

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎣ ⎦




As tensões são obtidas por aplicação da lei de Hooke, sendo o tensor das tensões w0 0 G y

x

w0 0 G xy

w wG y G x 0x y

⎡ ⎤∂⎛ ⎞− θ⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞∂⎢ ⎥σ = + θ⎜ ⎟∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥− θ + θ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

As equações de equilíbrio tomam neste caso a forma seguinte

xz yzw wG y e G xx y

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= − θ = + θτ τ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Teoria de Saint-Vennant

As derivadas dos deslocamentos w são tais que

xz yzw wG Gy e G Gx x y

∂ ∂− θ + θ= τ = τ

∂ ∂

Para assegurar a compatibilidade dos deslocamentos, pode derivar-se em ordem a y a 1ª equação e em ordem a x a 2ª equação, os resultados obtidos têm de ser iguais, donde se infere a equação de compatibilidade seguinte

zyzx 2Gy x

∂∂ ττ − = − θ∂ ∂




A solução do problema passa pela solução do sistema de equações

zyzx 0x y

∂∂ ττ + =∂ ∂

zyzx 2Gy x

∂∂ ττ − = − θ∂ ∂

considerando as condições de fronteira seguintes

zx x zy y 0+ =τ ν τ ν na superfície Lateral

yz xzA(x y )dxdy−τ τ∫∫ para z=0 e z=L.



Problema 1



Resolução do Problema 1




a b



Resolução Problema 1



Problema 2



Problema 3



Resolução Problema 3a)



Resolução Problema 3b)



Resolução Problema 3c)



Problema 4



Resolução 4b)



Problemas Propostos

2. Considere um veio composto de alumínio e aço com as dimensões representadas na figura e sujeito a um momento torsor de 2kN.m. Determine as tensões de corte máximas instaladas e determine o ângulo de corte. O módulo de rigidez transversal do Alumínio é 27 GPa e o módulo de rigidez transversal do Aço é 80GPa.

A

A

1250mm

50m 100mm

m

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