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Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos I

Prof. Willyan Machado Giufrida

Características geométrica das superfícies planas



1. Momento estático – Centro de Gravidade (C.G.)

1.1 Momento estático de um elemento de superfície.

O momento estático de um elemento de superfície é definido através doproduto entre a área do elemento e a distância que o separa do eixo dereferência.referência.

Mx = y.dA

My = x.dA



1.2. Momento Estático de uma Superfície Plana

Momento estático de uma superfície plana é definido através da integral de área dos momentos estáticos dos elementos de superfície que formam a superfície total.

Mx = ∫AydA

My = ∫AxdA



1.3. Centro de Gravidade de uma Superfície Plana

É um ponto localizado na própria figura, ou fora desta, no qual se concentra a superfície. A localização do ponto dar-se-á através das coordenadas xG e YG' que serão obtidas através da relação entre o respectivo momento estático de superfície e a área total desta.

∫ xdA

∫

∫=

A

AG

dA

xdA

X

∫

∫=

A

AG

dA

ydA

Y



• Para simplificar a determinação do centro de gravidade, divide-se a superfície plana em superfícies

geométricas cujo centro de gravidade é conhecido, tais como retângulos, triângulos, quadrados, etc.tais como retângulos, triângulos, quadrados, etc.

• Através da relação entre somatório dos momentos estáticos dessa superfície e a área total das mesmas, determinam-se coordenadas do centro de gravidade.



n

nnG AA

XAXAX

...

....

1

11

++=

nnYAYAY

....11 +=n

nnG AA

YAYAY

...

....

1

11

++=

∑

∑=

=

=

== ni

ii

ni

iii

G

A

XAX

1

1

∑

∑=

=

=

== ni

ii

ni

iii

G

A

YAY

1

1



1.4. Tabela do Centro de Gravidade de Superfícies Planas

Superfície Coordenadas do C.G

XG=b/2

YG=h/2




XG=YG=a/2

XG=b/3

YG=h/3




XG=YG=0

4rX =

π3

4rX G =

π3

4rYG =

0=GX

π3

4rYG =



Exemplo 1 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade do topázio representada na figura a seguir.

Solução

Área XG YG

A1 = a2 X1 = a/2 Y1 = a/2A1 = a2 X1 = a/2 Y1 = a/2

A2 = a2/2 X2 = a+a/3 Y2 = a/3

aa

a

a

a

a

a

aa

aa

aa

aa

aaaa

AA

XAXAX G 777,0

9

7

9

7

23

6

7

236

43

22

64

2

2

34

.22

...2

3

2

3

2

3

22

33

22

22

21

2211 ====

+

=+

+=

+

+=

++=



aaaa

aa

aaaa

AA

YAYAYG

44

2

3.

22...

3

33

22

2

21

2211

2

+

+

+=

++=

aa

a

a

aYG 444,0

9

4

9

4

23

622

3

2===

+=

XG = 0,777aYG = 0,444a



Exemplo 2 - Determinar as coordenadas do CG da superfície hachuradarepresentada na figura.

Solução

Área XG YG

A1 = πR2/2 X1 = 0 Y1 = 4R/3π

A2 = πr2/2 X2 = 0 Y2 = 4r/3π



• Como as coordenadas X1 e X2 são iguais a zero, XG = 0;

4422

34

.23

4.

2..

33

22

22

21

2211

rR

rR

rrRR

AA

YAYAYG

−

−=

−−=

πππ

ππ

π

)(

)(.

3

4

)(2

64

24

22

33

222

33

rR

rR

rRR

rR

YG −−=

−

+=

ππ



Exercício 1 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade de cantoneira de abas desiguais representada na figura a seguir.



Exercício 2 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil Urepresentado na figura a seguir.



Exemplo 3 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade da áreahachurada da figura a seguir, utilizando a subtração das áreas.



Para resolver este problema, dividiremos a figura em um triângulo retângulo ABC e

um ¼ de círculo



Exercício 3 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade da superfície hachadura representada na figura a seguir, considere o raio (r) igual a 8 cm.



Exercício 4 - Determinar o centro de gravidade para o perfil T ilustrado naFigura. Neste caso, considera-se o perfil T como constituído dos retângulos 1 e 2mostrados na Figura.



Exercício 5 - Determinar o centro de gravidade para o perfil T ilustrado naFigura.



Exercício 6 - Determinar o centro de gravidade para o perfil C ilustrado naFigura.

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