INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E

TECNOLOGIA DE GOIÁS

BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Método de Gauss-Seidel aplicado na solução de Fluxo de Potência: Análise de um

algoritmo.

JOÃO PAULO M. TAVARES

ITUMBIARA

2015

SUMÁRIO

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL .......................................................................... 2

Aplicação: Fluxo de Potência ........................................................................... 3

ANÁLISE DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL ....................................... 5

Análise do Código ............................................................................................ 6

Resultados Obtidos ........................................................................................... 6

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................. 7

2

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

Considere um sistema linear Ax=b de ordem n, cujo determinante é diferente de

zero (det(𝐴) ≠ 0), representado por:

[

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

⋯ 𝑎1𝑛⋯ 𝑎2𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2

⋱ ⋮⋯ 𝑎𝑛𝑛

] . [

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

] = [

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛

]

Equação (1): Representação matricial de um sistema linear de ordem n.

A matriz de coeficientes A, pode ser representada por 𝑨 = 𝑹 + 𝑳 + 𝑫, sendo

que, R é a matriz triangular superior, L é a matriz triangular inferior e D é a matriz

diagonal principal.

𝑨 = [

0 𝑎120 0

⋯ 𝑎1𝑛⋯ 𝑎2𝑛

⋮ ⋮0 0

⋱ ⋮⋯ 0

] + [

0 0𝑎21 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2

⋱ ⋮⋯ 0

] + [

𝑎11 00 𝑎22

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮0 0

⋱ ⋮⋯ 𝑎𝑛𝑛

]

Equação (2): Decomposição da matriz de coeficientes do sistema.

A partir da equação (2), uma representação alternativa para o sistema da equação

(1) é dada por:

(𝑹 + 𝑳 +𝑫). 𝒙 = 𝒃 ⇒ 𝒙 = −(𝑳 + 𝑫)−𝟏. 𝑹. 𝒙 + (𝑳 + 𝑫)−𝟏𝒃 Equação (3): Equação matricial alternativa do sistema.

O processo iterativo de Gauss-Seidel é dado por:

𝒙𝑘+1 = −(𝑳 + 𝑫)−𝟏. 𝑹. 𝒙𝑘 + (𝑳 + 𝑫)−𝟏𝒃

Equação (4): Representação matricial do método iterativo de Gauss-Seidel.

Multiplicando a equação (4) por 𝑳 + 𝑫, obtem-se:

(𝑳 + 𝑫). 𝒙𝑘+1 = −𝑹. 𝒙𝑘 + 𝒃 ⇒𝒙𝑘+1 = 𝑫−𝟏. (−𝑳. 𝒙𝑘+1 − 𝑹. 𝒙𝑘 + 𝒃) Equação (5): Representação matricial alternativa do método iterativo de Gauss-Seidel.

Com base na equação (5), o valor de um elemento 𝑥𝑖 na iteração 𝑘 + 1 é dado

por:

𝑥𝑖𝑘+1 =

1

𝑎𝑖𝑖(𝑏𝑖 −∑𝑎𝑖𝑗. 𝑥𝑗

𝑘+1

𝑖−1

𝑗=1

− ∑ 𝑎𝑖𝑗. 𝑥𝑗𝑘

𝑛

𝑗=𝑖+1

) , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

Equação (6): Valor de um elemento 𝒙𝒊 na iteração 𝒌 + 𝟏.

No método iterativo de Gauss-Seidel inicia-se o vetor de soluções 𝒙0 e obtem-se

soluções aproximadas para o sistema de equações. A convergência do método depende

apenas do sistema de equações, o que significa que o vetor de soluções 𝒙0 pode ser

inicializado com qualquer valor. Com base nessa característica, inicia-se o vetor de

soluções com um vetor nulo.

3

A cada iteração realizada deve se verificar a convergência do vetor de soluções.

Para isso define um valor para o erro mínimo 𝜀, que varia em torno de 10-4

a 10-6

.

Assim, quando a condição expressa na equação (7) for satisfeita encerra-se o processo

de iteração.

𝜀 > 𝑚𝑎𝑥|𝑥𝑖𝑘+1 − 𝑥𝑖

𝑘| Equação (7): Condição de parada do método iterativo.

Na implementação computacional, quando a convergência do sistema não é

verificada, é comum adotar uma segunda condição de parada em que se define um

número máximo de iterações M e verifica-se, a cada iteração, a condição apresentada na

equação (8).

𝑘 > 𝑀

Equação (8): Condição de parada alternativa para verificação da convergência.

Na figura (1) é apresentado o fluxograma detalhado de um algoritmo para

implementação do computacional do método de Gauss-Seidel. Os dados de entrada do

algoritmo são: a matriz de coeficientes: A; o vetor de resposta: b; o número máximo de

iterações: M; o erro mínimo: 𝜀; e a ordem do sistema: N. A partir dos dados de entrada

inicializa-se o vetor solução X com um vetor nulo, iniciando na sequencia o processo

iterativo. A cada nova iteração 𝑘, os elementos do vetor X são atualizados utilizando-se

a equação (6), além disso, as condições apresentadas nas equações (7) e (8) são

verificadas.

Aplicação: Fluxo de Potência

Um Sistema Elétrico de Potência (SEP) contendo 𝑛 barras, sendo a barra 1 do

tipo Vθ, pode ser modelado pelo seguinte sistema de equações:

[�̇�22 ⋯ �̇�2𝑛⋮ ⋱ ⋮�̇�𝑛2 ⋯ �̇�𝑛𝑛

] . [�̇�2⋮�̇�𝑛

] = [𝐼2̇ − �̇�1. �̇�21

⋮𝐼�̇� − �̇�1. �̇�𝑛1

]

Equação(9): Sistema de equações para um SEP cuja a barra 1 é do tipo Vθ.

A partir das equações (6) e (9), o processo iterativo de Gauss-Seidel aplicado ao

problema de fluxo de potência é dado pela seguinte expressão (considerando a barra 1

do tipo Vθ):

�̇�𝑖𝑘+1

=1

�̇�𝑖𝑖(𝐼�̇� − �̇�1. �̇�𝑖1 −∑�̇�𝑖𝑗. �̇�𝑗

𝑘+1𝑖−1

𝑗=2

− ∑ �̇�𝑖𝑗. �̇�𝑗𝑘

𝑛

𝑗=𝑖+1

) , 𝑖 = 2,3, … , 𝑛

Equação(10): Valor da tensão em uma barra 𝒊 na iteração 𝒌 + 𝟏.

4

Figura (1): Fluxograma do algoritmo do Método de Gauss-Seidel.

Substituindo 𝐼�̇� = (𝑃𝑖 − 𝑗𝑄𝑖) �̇�𝑖∗𝑘⁄ na equação (10), obtém-se a seguinte expressão:

�̇�𝑖𝑘+1

=1

�̇�𝑖𝑖(𝑃𝑖 − 𝑗𝑄𝑖

�̇�𝑖∗𝑘

− �̇�1. �̇�𝑖1 −∑�̇�𝑖𝑗. �̇�𝑗𝑘+1

𝑖−1

𝑗=2

− ∑ �̇�𝑖𝑗. �̇�𝑗𝑘

𝑛

𝑗=𝑖+1

) , 𝑖 = 2,3, … , 𝑛

Equação(11): Valor da tensão em uma barra 𝒊 na iteração 𝒌 + 𝟏.

Para barras do tipo PV, onde o Qi não é especificado e se conhece V, a potência

reativa é obtida pela seguinte expressão:

5

𝑄𝑖𝑘𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜

= −𝐼𝑚{𝑉𝑖∗𝑘.∑(�̇�𝑖𝑗. �̇�𝑗

𝑘)

𝑛

𝑗=1

}

Equação (12): Potência reativa para barras do tipo PV.

A partir da equação (12), calcula-se um novo �̇�𝑖𝑘+1

a partir da expressão:

�̇�𝑖𝑘+1

𝑛𝑜𝑣𝑜=

1

�̇�𝑖𝑖(𝑃𝑖 − 𝑗𝑄𝑖

𝑘𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜

�̇�𝑖∗𝑘

− �̇�1. �̇�𝑖1 −∑�̇�𝑖𝑗. �̇�𝑗𝑘+1

𝑖−1

𝑗=2

− ∑ �̇�𝑖𝑗. �̇�𝑗𝑘

𝑛

𝑗=𝑖+1

)

Equação (13): Calculo da tensão em barras PV para se determinar o novo ângulo da barra.

Após o calculo de �̇�𝑖𝑘+1

𝑛𝑜𝑣𝑜, o módulo de �̇�𝑖

𝑘+1é igual à tensão especificada nos dados

de entrada do problema e o argumento é igual ao argumento calculado em �̇�𝑖𝑘+1

𝑛𝑜𝑣𝑜.

ANÁLISE DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL

O sistema analisado pela ferramenta consiste em um sistema de nove barras. Os

dados deste sistema são apresentados nas tabelas (1) e (2), que apresentam,

respectivamente, os dados dos ramos e das barras.

Barra Origem Barra Destino Resistência

[pu]

Impedância

[pu]

Impedância

Shunt [pu]

1 4 0 0,0576 0

2 7 0 0,0625 0

3 9 0 0,0586 0

4 5 0,01 0,085 0,088

4 6 0,017 0,092 0,079

5 7 0,032 0,161 0,153

6 9 0,039 0,17 0,179

7 8 0,0085 0,072 0,0745

8 9 0,0119 0,1008 0,1045 Tabela (1): Sistema de 9 Barras - Dados dos Ramos.

Barra Tipo Tensão

[p.u.]

θ

[°]

PG

[pu]

QG

[pu]

PD

[pu]

QD

[pu]

QMIN

[pu]

QMAX

[pu]

1 1 1,04 0 0 0 0 0 0 0

2 2 1,025 0 1,63 0 0 0 0,05025 0,08375

3 2 1,025 0 0,85 0 0 0 -0,0817 -0,1362

4 3 1 0 0 0 0 0 0 0

5 3 1 0 0 0 1,25 0,5 0 0

6 3 1 0 0 0 0,9 0,3 0 0

7 3 1 0 0 0 0 0 0 0

8 3 1 0 0 0 1 0,35 0 0

9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 Tabela (2): Sistema de 9 Barras - Dados das Barras.

6

Análise do Código

O código da ferramenta pode ser divido em três grandes partes: Tratamento e

definição de dados; Método de Gauss-Seidel aplicado em Fluxo de Potência;

Apresentação dos resultados.

Na etapa de tratamento e definição de dados, os dados apresentados nas tabelas

(1) e (2) são armazenados em duas matrizes, que posteriormente, são decompostas em

vetores auxiliares. A partir da matriz formada pelos dados apresentados na tabela (1),

obtém-se a matriz de admitância do sistema, que é invertida na sequencia, obtendo

assim a matriz impedância do sistema. Com os dados apresentados na tabela (2) é

extraído vetores que são grande importância para o processo iterativo: tensão inicial das

barras; o tipo das barras; a potência ativa e a potência reativa líquida nas barras; e os

limites máximo e mínimo da potência reativa. Por fim, define-se o erro mínimo 𝜀=0,001

e o número máximo de iterações M=100.

Concluído a etapa de tratamento e definição de dados, descrita anteriormente,

inicia-se o processo iterativo de Gauss-Seidel. O algoritmo do processo iterativo de

Gauss-Seidel adaptado para a analise de fluxo de potência, é bastante similar ao

algoritmo apresentado no fluxograma da figura (1). No entanto, como há barras do tipo

PV inseridas no sistema e que estas possuem os limites máximo e mínimo de potência

reativa especificados, então há necessidade de se adicionar operações adicionais ao

algoritmo tradicional apresentado na figura (1). Vale ressaltar que para as barras do tipo

PQ não há necessidade de um tratamento especial, sendo que a tensão nestas barras é

determinada pela equação (11). Para as barras do tipo PV, calcula-se o valor da potência

reativa por meio da equação (12), na sequência verifica se restrição imposta pelos

limites foi quebrada. Se algum dos limites de potência reativa foi ultrapassado, o valor

calculado é substituído pelo valor do limite ultrapassado e barra passa a ser do tipo PQ.

Caso a barra PV não apresente uma violação nos limites de potência reativa, calcula-se

a tensão fasorial por meio da equação (13), por fim, mantem-se o módulo da tensão

igual ao especificado e substitui o argumento.

O processo iterativo contínua até que o número de iterações exceda o número

máximo M, ou até que erro máximo encontrado seja menor que o erro mínimo

especificado 𝜀. Vale ressaltar que diferente do processo iterativo tradicional,

apresentado na figura (1), em que o vetor x poderia ser iniciado como um vetor nulo, no

método de Gauss-Seidel adaptado para calculo do fluxo de potência, o vetor de soluções

x (�̇�) não pode conter nenhum zero. Essa característica é explicada pela equação (11).

Após a conclusão do processo iterativo e a obtenção da solução, é possível

calcular a potência na barra 1. Por fim, todos os resultados encontrados pelo método de

Gauss-Seidel são apresentados no fim do programa.

Resultados Obtidos

O método de Gauss-Seidel aplicado na analise de fluxo de potência para o

sistema de 9 barras, apresentado anteriormente, convergiu para uma solução após 42

iterações com um erro mínimo especificado 𝜀 = 0,0001. Os resultados obtidos com a

iteração são apresentados nas tabelas (3), (4) e (5).

7

Barra Tensão [pu] Ângulo [°] Potência Reativa

[pu]

1 1,04 0 0

2 1,0217 9,3382 0,0838

3 1,0162 4,7439 -0,1362

4 1,0238 -2,2432 0

5 0,9927 -4,0273 -0,5

6 1,0087 -3,7208 -0,3

7 1,0216 3,74 0

8 1,0103 0,7316 -0,35

9 1,0253 2,0071 0 Tabela (3): Tensões e potências reativas nas barras.

Barra Origem Barra Destino Potência Ativa

[pu]

Potência Reativa

[pu]

1 4 0,7235 0,3065

2 7 1,6291 0,0822

3 9 0,8489 -0,1378

4 5 0,323 0,419

4 6 0,2491 0,2184

5 7 -0,7959 -0,2786

6 9 -0,5619 -0,1973

7 8 0,7210 0,2649

8 9 -0,2084 -0,1724 Tabela (4): Fluxo de potência nos ramos.

Barra Potência Ativa [pu] Potência Reativa [pu]

1 0.7235 -0.3065 Tabela (5): Potência ativa e reativa na barra 1.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] BORGES, C. L. T.. Análise de Sistemas de Potência. Universidade Federal

do Rio de Janeiro -UFRJ- (Apostila), Departamento de Eletrotécnica. Março de 2005.

[2] FRANCO, N. B.. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall,

2006.

[3] ZOCOLLOTTI, D.; MAGALHÃES, H. F.; PELLEGRINI, I. C. M.;

KRAHN, M.. Densenvolvimentode software didático para cálculo de Fluxo de Potência.

Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (Projeto Final de Graduação).

Curitiba: 2002.