Método dos Mínimos Quadrados

Motivação

A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar

Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros

Há necessidade de ajustar à função tabelada, uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados

Esta boa aproximação deve permitir extrapolação com uma certa margem de segurança

Método dos mínimos Quadrados

Método dos mínimos Quadrados

Método dos mínimos Quadrados

Método dos mínimos Quadrados

f(x) – h(x)

h(x)

Método dos mínimos Quadrados

Método dos mínimos Quadrados

h(x)

Método dos mínimos Quadrados

h(x)

Caso discreto

Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos

Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções escolhidas de alguma forma

Sendo m >= n

O objetivo é determinar coeficientes α1, α2,..., αn tal que

h(x)= α1g1(x)+ α2g2(x)+...+ αngn(x)

E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)

Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk

O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima

m

k

m

k

k kk xhxfd1 1

22 )()(

m

k

m

k

knnkkkk xgxgxgxfd1 1

22 )(...)()()( 2211

Minimizando os desvios

Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos

Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero

m

kk knnkkk xgxgxgxfxF

1

2)(...)()()()( 2211

m

kkn xgxgxgxgxf

Fknnkkk

111

1)]([)(...)()()(2)...( 2211

Regra da Cadeia

.,...,2,1,0),...,,( 21 njj

Fn

.)()()...()(2),...,,(1

1121

m

k

kjknnkkn xgxgxgxfj

F

0)()()...()(1

211

m

k

kknnkk xgxgxgxf

0)()()...()(1

111

m

k

kknnkk xgxgxgxf

0)()()...()(1

11

m

k

knknnkk xgxgxgxf

...

...

)()()()(...)()( 22121

111

kknkknkk xgxfxgxgxgxgm

k

m

k

m

k

)()()()(...)()(111

11 knknknknknk xgxfxgxgxgxgm

k

m

k

m

k

)()()()(...)()( 11111

111

kknkknkk xgxfxgxgxgxgm

k

m

k

m

k

22222121 .... baaa nn

11212111 .... baaa nn

nnnnnn baaa ....2211

...

Propriedades

aij = aji – a matriz A é simétrica

Se as funções gi(x) forem tais que os vetores gi resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução

Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)

Exemplo

Seja o conjunto de pontos:

Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos usando MQ

x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1

f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

)()()()(11

1

11

1

kkkk xgxfxgxgkk

)()()(11

1

11

1

2kkk xgxfxg

kk

11

1

211

1

2 )()()( 2

kk

k

kk xfxx

x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 somas

x2.x2 1 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0 0,0016 0,0256 0,0625 0,2401 1 2,8464

f(x).x2 2,05 0,6485 0,162 0,1 0,045 0 0,008 0,096 0,128 0,588 2,05 5,8756

2,8464α = 5,8756

α = 2,0642

Assim, h(x)=2,0642 x2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada

Para o caso contínuo

Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto

Como fazer para o caso contínuo?

...

)(2)()(2)(...1)(2)(1111

xkgxkfnxkgxkgnxkgxkgm

k

m

k

m

k

)()()()(...1)()(1111

xkgnxkfnxkgnxkgnxkgnxkgm

k

m

k

m

k

)(1)()(1)(...1)(1)(1111

xkgxkfnxkgxkgnxkgxkgm

k

m

k

m

k

dxxgxfndxxgxgndxxgxgb

a

b

a

b

a)(2)()(2)(...1)(2)(1

...

dxxgxfndxxgxgndxxgxgb

a

b

a

b

a)(1)()(1)(...1)(1)(1

dxxgnxfndxxgnxgndxxgnxgb

a

b

a

b

a)()()()(...1)()(1

dxxgxfndxxgxgndxxgxgb

a

b

a

b

a)(2)()(2)(...1)(2)(1

...

dxxgxfndxxgxgndxxgxgb

a

b

a

b

a)(1)()(1)(...1)(1)(1

dxxgnxfndxxgnxgndxxgnxgb

a

b

a

b

a)()()()(...1)()(1

Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as gi(x) são contínuas

Casos não Lineares

Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros

Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente

O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado

Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original