Método Forças 2

Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2

21

A tabela de integração desenvolvida pelo pesquisador A. N. Vereshchagin

fornece equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo de integração. Esta tabela é apresentada a seguir como tabelas 3a e 3b. Tabela 3a: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu)

1/2.L.M.Mub

1/2.L.M.Mua

1/2.L.M.(Mua+ Mub)

1/2.L.M.(Mua+ Mub)

1/3.L.Mb.Mub

1/6.L.Mb.Mua

1/6.L.Mb.(Mua+2Mub)

1/6.L.Mb.(Mua+2Mub)

1/6.L.Ma.Mub

1/3.L.Ma.Mua

1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub)

1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub)

1/6.L.(Ma+2Mb).Mub

1/6.L.(2Ma+Mb).Mua

1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+

Mb.(Mua+2Mub)]


Mb.(Mua+2Mub)]

1/6.L.(Ma+2Mb).Mub

1/6.L.(2Ma+Mb).Mua


Mb.(Mua+2Mub)]


Mb.(Mua+2Mub)]

1/3.L.Mm.Mub

1/3.L.Mm.Mua

1/3.L.Mm.(Mua+ Mub)

1/3.L.Mm.(Mua+ Mub)

# #

1/6.L.(Ma - 2Mb).Mub

1/6.L.(2Ma - Mb).Mua

1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)-

Mb.(Mua+2Mub)]

1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)-

Mb.(Mua+2Mub)]

OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra deve ser inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. Exemplos:

Mub Mua

M

Mb

Ma

Ma Mb

Ma

par. 2º grau

Mm

Mb

Ma

Mb

Mua Mub Mua

Mub

# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb

Mb

Mub

Mb Mub

Mb Mub

Mb Mub

- 1/3.L.Mb.Mub

1/3.L.Mb.Mub

1/3.L.Mb.Mub

- 1/3.L.Mb.Mub

Mua ou Mub tracionando lado oposto ao do Ma: inserir o sinal de ( - ) no início da equação


22

Tabela 3b: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu)

*****

*****

L.M.Mu

1/2.L.M.( Mua - Mub)

1/2.L.M.(- Mua + Mub)

1/2.L.Mb.Mu

1/6.L.(Mua - 2Mub).Mb

1/6.L.(-Mua +2Mub).Mb

1/2.L.Ma.Mu

1/6.L.(2Mua - Mub).Ma

1/6.L.(-2Mua + 2Mub).Ma

1/2.L.(Ma+Mb).Mu

1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)-

Mub.(Ma+2Mb)]

1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+

Mub.(Ma+2Mb)]

1/2.L.(Ma+Mb).Mu

1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)-

Mub.(Ma+2Mb)]

1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+

Mub.(Ma+2Mb)]

2/3.L.Mm.Mu

1/3.L.(Mua - Mub).Mm

1/3.L.(- Mua + Mub).Mm

# #

1/2.L.(Ma - Mb).Mu

1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+

Mub(-Ma+2Mb)]

1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+

Mub(Ma - 2Mb)]

# #

1/2.L.(-Ma + Mb).Mu

1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+

Mub(Ma - 2Mb)]

1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+

Mub(-Ma+2Mb)]

OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra deve ser inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. Exemplos:

Mb

Mub

Mb Mub

Mb Mub

Mb Mub

- 1/3.L.Mb.Mub

1/3.L.Mb.Mub

1/3.L.Mb.Mub

- 1/3.L.Mb.Mub

M

Mb

Ma

Ma

Mm

Ma

Mb

Ma

Mu Mua

Mub

Mub

Mua

Para os casos: Mua = Mub ; Mua > Mub E Mua < Mub

Mb

Ma

par. 2º grau

Mb

Mb




23

Exemplo2: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos:

a) a rotação relativa do ponto b; b) o deslocamento horizontal do ponto c;

E = 205 GPa; υ = 0,3

Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa

Resolução: Item a) Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=bh) A = 280 cm2

Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iz = bh3/12) Iz = 37333,33 cm4

Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fz = 6/5) AQz = A/fz = 233,33 cm2

A = 280x10-4 m2; Iz = 37333,33x10-8 m4; AQz = 233,33x10-4 m2 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa no ponto b.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento unitária em b. Caso 3 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força momento virtual unitária.

Ma= 0 + Vd . 6,0 + 1,0 = 0 Vd = 1/6 = - 0,167 Vd = 0,167

+ Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = Vd = 0,167

b

A A

50 kN

4,0 m

a

6,0 m

3,0 m

b c

d

1ª

2ª

3ª

q= 10 kN/m

Ha = 0

Mu = 1

4,0 m

a

6,0 m

3,0 m

b c

d

va = 0,167 Vd = 0,167

1ª

2ª

3ª

A A B

B

B

B

A A h = 40 cm

b = 7 cm

a

h b h

a

b


24

3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: carregamento exterior.

Ma= 0 + Vd . 6,0 + 50,0 . 4,0 - R . 2,0 = 0 Vd = -120/6 = -20,0 KN Vd = 20 KN

+ Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = Vd = 20,0 KN

4 - Cálculo da rotação relativa do ponto b ( =?)

𝛿 = ∑ [∫�̅�𝑀

𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥

0

𝑥

]

0

𝑖=1,2,𝑛

Parcela do Momento fletor de todas as barras:

𝛿 = ∫�̅�1𝑀1


0

𝑙1

+ ∫�̅�2𝑀2


0

𝑙2

+ ∫�̅�3𝑀3


0

𝑙3

= ∑ [ 𝟏

𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]

0

𝑖=1,2,𝑛

Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas a barra 2 contribui para a rotação do ponto b Barra 2: 1/3.L.Ma.Mua

= 1 . [ 0 + 1/3.L.Ma.Mua + 0 ] = 1 . [1/3 . 6 . 120000 . 1 ] E.I (205x109. 37333,33x10-8)

= 3,14x10-3 rad lembrete: 2rad = 3600 O valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força momento virtual unitária está correto, ou seja, o ponto b sofre uma rotação de 3,14x10-3 rad no sentido anti-horário.

Ha = 10 KN

50 KN

4,0 m

a

6,0 m

3,0 m

b c

d

va = 20,0 KN

Vd = 20,0 KN

R = 40 KN

Ma = 120 KN Mua =1


25

Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c. Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força virtual unitária.

Ma= 0 + Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 Vd = 4/6 = 0,67

+ Fy = 0 Va + Vd = 0 Va = - 0,67 = 0,67

3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: carregamento exterior. ** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo diagrama.

Ha = 1

Fu = 1

4,0 m

a

6,0 m

3,0 m

b c

d

va = 0,67 Vd = 0,67

1ª

2ª

3ª


26

4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto c ( =?)

𝛿 =1

𝐸 . 𝐼 . [∑ 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑏𝑠. 3𝑎 𝑒 3𝑏]

Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto c Barra 1: + - 1/3.L.Ma.Mua + 1/3.L.Mm.Mub - 1/3 . 4. 120000 . 4 + 1/3 . 4 . 20000 . 4 = - 533333,33 Barra 2: -1/3.L.Ma.Mua -1/3 . 6 . 120000 . 4 = - 960000

= 1 . [ - 533333,33 - 960000 + 0 ] = 1 . - 1493333,33 E.I (205x109. 37333,33x10-8)

= - 0,0195 m = - 19,2 mm O valor negativo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está errado, ou seja, o ponto c sofre um deslocamento horizontal de 19,2 mm, porém para a esquerda. Exemplo3: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos:

a) a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b; b) o deslocamento vertical do ponto e;

E = 205 GPa; υ = 0,3

Resolução: Item a) Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=hth + 2btb) A = 285 cm2

Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iy = b3tb/6) Iy = 21333,33 cm4

Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fy = A/hth) AQy = A/fy = 125 cm2

A = 285x10-4 m2; Iy = 21333,33x10-8 m4; AQy= 125x10-4 m2

b A A

a

Ma = 120KN.m Mua = 4

Mb = 120 KN.m Mub = 4 Mub = 4 Mm = 20 KN.m

10 kN

4,0 m

a

5,0 m

3,0 m

b c

d

1ª

2ª 3ª

q= 18 kN/m 15 kN

4ª e

3,0 m

A A A A B

B

B

B

b b = 40 cm

h = 50 cm

tb

th

a

b

h

h

tb = 2,0 cm

th = 2,5 cm


27

Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento virtual unitária em torno da rótula b. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação do par de Força momento unitária. 1ª ordem:

Mb= 0 + Vd . 5,0 + 1,0 = 0 Vd = 1/5 = - 0,2 Vd = 0,2

+ Fy = 0 Vb - Vd = 0 Vb = Vd = 0,2 2ª ordem:

Ma= 0 + - Ma - 1,0 = 0 Ma = -1 Ma = 1

Mu = 1

Mu = 1

b 3,0 m

b c

d

2ª 4ª e

3,0 m

Vd = 0,2

4,0 m

a

5,0 m

1ª

3ª

Mu = 1

Mu = 1

b c

d

e

a

Q. 1ª ordem

Q. 2ª ordem

Hb = 0

vb = 0,2

vb’ = 0,2

Ha = 0

va = 0,2

Ma = 1


28

3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação do carregamento exterior. 1ª ordem:

Mb= 0 + Vd .5,0 - R.2,5 - 15. 8,0=0 Vd = 345/5 = 69 KN

+ Fy = 0 Vb + Vd = 105 Vb = 36 KN 2ª ordem:

Ma= 0 + - Ma + 10. 4,0 = 0 Ma = 40 KN.m

4 - Cálculo da rotação relativa entre as barras 1 e 2 no ponto b ( =?)

𝛿 = ∑ [ 𝟏


0

𝑖=1,2,𝑛

Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para a rotação relativa entre as barras 1 e 2 no ponto b

b 3,0 m

b c

d

2ª 4ª e

3,0 m

Vd = 69 KN

4,0 m

a

5,0 m

1ª

3ª

b c

d

e

a

Q. 1ª ordem

Q. 2ª ordem

Hb = 10 KN

vb = 36 KN

vb’ = 36 KN

Ha = 10 KN

va = 36 KN

Ma = 40 KN.m

R = 90 KN

10 kN

q= 18 kN/m 15 kN

10 kN

15 kN

Hb’ = 10 KN


29

Barra 1: - 1/2.L.Ma.Mu - 1/2. 4. 40000.1 = - 80000,0 Barra 2: 1/6.L.Mb.Mua + -1/3.L.Mm.Mua 1/6. 5. 45000.1 + - 1/3.5. 56250.1 = - 56250,0

= 1 . [ - 80000 - 56250,0 ] = 1 . - 136250,0 = - 3,115x10-3 rad E.I (205x109. 21333,33x10-8) O valor negativo indica que o sentido arbitrado para o par de força momento unitária está errado, ou seja, as barras 1 e 2 se aproximam, conforme ilustrado no esquema ao lado. Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto e.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em e Caso 1 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força unitária. 1ª ordem:

Mb= 0 + Vd . 5,0 - 1. 8,0 = 0 Vd = 8/5 = 1,6

+ Fy = 0 Vb + Vd = 1,0 2ª ordem: Vb = - 0,6

Ma= 0 + - Ma = 0 Vb = 0,6 Ma = 0

Mb = 45KN.m Mua = 1

Ma = 40 KN.m Mu = 1

Mm = 56,25 KN.m Mua = 1

b 3,0 m

b c

d

2ª 4ª e

3,0 m

Vd = 1,6

4,0 m

a

5,0 m

1ª

3ª

b c

d

e

a

Q. 1ª ordem

Q. 2ª ordem

Hb = 0

vb = 0,6

vb’ = 0,6

Ha = 0

va = 0,6

Ma = 0

Fu = 1

Fu = 1


30


4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto e ( =?)

𝛿 = ∑ [ 𝟏


0

𝑖=1,2,𝑛

Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 2 e 4 contribuem para o deslocamento do ponto e Barra 2: 1/3.L.Mb.Mub + -1/3.L.Mm.Mub 1/3. 5. 45000.3 + - 1/3.5. 56250.3 = - 56250,0

Mb = 45KN.m Mub = 3 Mm = 56,25 KN.m Mub = 3


31

Barra 4: 1/3.L.Ma.Mua 1/3 . 3 . 45000 . 3 = 135000,0

= 1 . [ - 56250,0 + 135000 ] = 1 . 78750,0 E.I (205x109. 21333,33x10-8)

= 1,80 x10-3 m = 1,80 mm O valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está correto, ou seja, o ponto e sofre um deslocamento vertical de 1,80 mm para baixo. Exemplo4: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos:

a) a rotação absoluta da corda bc da grelha; b) o deslocamento vertical do ponto c;

E = 205 GPa; υ = 0,3

Resolução: Item a) Área da seção transversal das barras: tabela 1 ( A= 2(hth + btb) ) A = 105 cm2 Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 ( Iy = b2 (btb + 3hth)/6 )

Iy = 4218,75 cm4

Momento de inércia à torção da seção transversal: 1( J = 2b2h2(tbth)/(btb + hth) ) J = 7714,29 cm4


Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fy = A/hth) AQy = A/fy = 60 cm2

A = 105x10-4 m2; Iy = 4218,75x10-8 m4; AQy = 60x10-4 m2; J = 7714,29x10-8 m4

G = 78,85 x109 N/m2 E= 205x109 N/m2

b

h

Ma = 45 KN.m Mua = 3

a

3 kN.m

a

2,0 m b

c

b

1ª 2ª

q= 8 kN/m 6 kN

1,5 cm

B

B

h

1,0 m

4 kN.m d

1,5 m

X

Y Z

A

A

b = 15 cm

h = 20 cm

A

A

B

B

b c b

h

b = 15 cm

h = 20 cm

1,5 cm b


32

Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação absoluta da corda bc da grelha.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias no ponto b e no ponto c. Caso 6 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu e o diagrama de momento torçor Tu devido à ação do par de forças unitárias.

Tab = 0 + - Fu . 1,5 + Ta = 0 Ta = 1

Tbc = 0 + Ma = 0 3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M e o diagrama de momento torçor T devido à ação do carregamento exterior.

+ Fz = 0 Va = 6 + R Va = 18 KN

Tab = 0 + Ta - 4 - R . 0,75 = 0 Ta = 13 KN.m

Tbc = 0 + Ma + Va . 2,0 - 6 . 1,0 + 3 = 0 Ma = - 33 KN.m Ma = 33 KN.m

a

2,0 m

b

c 1ª 2ª

Fu = 1/1,5

1,0 m

d

1,5 m

X

Y Z

Fu = 1/1,5

Va = 0

Ma = 0

Ta = 1

a

2,0 m

b

c 1ª 2ª

R = 12 KN

1,0 m

d

1,5 m

X

Y Z

Va = 18 KN

Ma = 33 KN.m

Ta = 13KN.m 3 kN.m 6 kN

4 kN.m


33

4 - Cálculo da rotação absoluta da corda bc da grelha ( =?)

𝛿 = ∑ [(∫ �̅�𝑀

𝐸. 𝐼

0

𝑥

+ �̅�𝑇

𝐺 . 𝐽 ) . 𝑑𝑥] = ∑ [ ∫

�̅�𝑀

𝐸. 𝐼

0

𝑥

. 𝑑𝑥]

0

𝑖=1,2,𝑛

+ ∑ [ ∫ �̅�𝑇

𝐺. 𝐽

0

𝑥

. 𝑑𝑥]

0

𝑖=1,2,𝑛

0

𝑖=1,2,𝑛

***Obs: �̅� e T e também G e J são constantes ao longo da barra, isto permite obter:

∫ �̅�𝑇

𝐺 . 𝐽. 𝑑𝑥

0

𝑥

= �̅�𝑇

𝐺 . 𝐽 . ∫ 𝑑𝑥

0

𝑥=𝐿

= �̅�𝑇

𝐺 . 𝐽 . [𝑥]0

𝐿 = �̅�𝑇 . 𝐿

𝐺 . 𝐽 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐿 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

A contribuição de cada barra em termos de Momento torçor vale: �̅�𝑇 .𝐿

𝐺 .𝐽

A contribuição de cada barra em termos de Momento fletor: equações tabs. 3a e 3b Então, a equação acima pode ser escrita da seguinte forma:

𝛿 = ∑ [ 𝟏

𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +

�̅�𝑇 . 𝐿

𝐺 . 𝐽 ]

0

𝑖=1,2,𝑛

Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Em termo de momento fletor apenas a barra 2 contribui com a rotação. Já em termo de momento torçor apenas a barra 1 contribui para a rotação. Contribuição em termo de Momento fletor: Barra 2: 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua + -1/3.L.Mm.Mua 1/6. 1,5.(2.13000 + 4000).1 + -1/3.1,5. 2250.1 = 6375,0

Mb = 4KN.m

Mua = 1 Mm = 2,25 KN.m Mua = 1 Ma = 13KN.m


34

OBS: caso a barra 1 contribuísse teria que ser feito: DOIS TRECHOS ad e db. Contribuição em termo de Momento torçor: Barra1: Tu1 . T1 . L1.= (-13000) . (-1) . 2,0 = 26000

= 1 . [ 6375 ] + 1 . [ 26000 ] = E.I GJ

= [ 6375 ] + [ 26000 ] =

(205x109. 4218,75x10-8) (78,85x109. 7714,29x10-8)

= 5,0x10-3 rad O valor positivo indica que o sentido arbitrado para o par de força unitária está correto, ou seja, a corda bc da grelha rotaciona o sentido horário. Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto c.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c Caso 1 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu e o diagrama de momento torçor Tu devido à ação da força unitária.

+ Fz = 0 Va = 1

Tab = 0 + - Fu . 1,5 + Ta = 0 Ta = 1,5

Tbc = 0 + Ma + 1. 2,0 = 0 Ma = - 2,0 Ma = 2,0

a

b

c

a

2,0 m

b

c 1ª 2ª

Fu = 1

1,0 m

d

1,5 m

X

Y Z

Va = 1

Ma = 2

Ta = 1,5

d


35


4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto c ( =?)

𝛿 = ∑ [ 𝟏

𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +

�̅�𝑇 . 𝐿

𝐺 . 𝐽 ]

0

𝑖=1,2,𝑛

Contribuição em termo de Momento fletor: Barra 1: trecho(ad): Lad = 1,0m e não 2,0m 1/6.L. [ Ma .(2Mua + Mub) + Mb .(Mua + 2Mub) ] 1/6. 1,0.[ 33000 . ( 2 . 2 + 1) + 15000 .(2 +2.1) ] = 37500 trecho(db): Ldb = 1,0m e não 2,0m 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 1/6. 1,0.(2.15000 + 3000). 1 = 5500 Total da barra 1 : 43000

Mb = 15 KN.m Mua = 2

Ma = 33 KN.m

Mb = 3 KN.m

Mua = 1 Ma = 15 KN.m

Mub = 1


36

Barra 2: 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua + - 1/3.L.Mm.Mua 1/6. 1,5.(2.13000 + 4000).1,5 - 1/3.1,5. 2250.1,5 = 9562,5 Contribuição em termo de Momento torçor: Barra1: Tu1 . T1 . L1.= (-13000) . (-1,5) . 2,0 = 39000 Rotação absoluta da barra bc:

= 1 . [ 43000 + 9562,5 ] + 1 . [ 39000 ] = E.I GJ

= [52562,5 ] + [ 39000 ] =

(205x109. 4218,75x10-8) (78,85x109. 7714,29x10-8)

= 0,0125 m = 12,5 mm O valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está correto, ou seja, o ponto c da grelha desloca verticalmente para baixo 12,5 mm. Exemplo5: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento horizontal do ponto b;

E = 25 GPa; υ = 0,2

Resolução: Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=b.h) A = 1200 cm2

Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iy = bh3/12) Iy = 360000,0 cm4

Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fy =6/5) AQy = A/fy = 1000 cm2

A = 1200x10-4 m2; Iy = 36,0x10-4 m4; AQy= 1000x10-4 m2

1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto b.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária horizontal no ponto b. Caso 2 da tabela 2

Mb = 4KN.m

Mua = 1,5 Mm = 2,25 KN.m Mua = 1,5 Ma = 13KN.m

a

b

c

b A A

a

1 kN

4,0 m

a

5,0 m

3,0 m

b c

d

1ª

2ª 3ª

q= 3 kN/m 2 kN

4ª e

3,0 m

A A A A B

B

B

B

b

b

h

h

b = 20 cm

h = 60 cm

a


37

2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força virtual unitária.

Ma = 0 + Vd . 5,0 + 1,0 .4,0 = 0 Vd = -0.8 Vd = 0.8

+ Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = 0,8 3 - Esboçar o diagrama de momento fletor devido ao carregamento exterior.

Ma = 0 + Vd . 5 - R . 2,5 - 2 . 8 - 1. 4 = 0 Vd = 11,5 kN

+ Fy = 0 Va + Vd = 17 kN Va = 5,5 kN

Fu = 1

3,0 m

3,0 m

Vd = 0,8

4,0 m

5,0 m

b c

d

e

a

Ha = 1 Va = 0,8

3,0 m

3,0 m

Vd = 11,5 kN

4,0 m

5,0 m

b c

d

e

a

Ha = 1 Va = 5,5 kN

1 kN 2 kN R=15 kN


38

4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto b ( =?)

𝛿 = ∑ [ 𝟏


0

𝑖=1,2,𝑛

Utilizando as tabelas 3a e 3b para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento horizontal do ponto b Barra 1: - 1/3.L.Ma.Mua - 1/3. 4. 4000 . 4 = - 21333,33 Barra 2: - 1/6.L.(2Ma - Mb).Mua + -1/3.L.Mm.Mua - 1/6. 5. (2 . 4000 - 6000). 4 + - 1/3.5. 9375 . 4 = - 69166,67

= 1 . [ - 21333,33 - 69166,67] = 1 . (- 90500,0) = - 100,55 x10-5 m E.I (25x109. 36,0x10-4)

= - 1,00 mm O valor negativo indica que o sentido arbitrado para a força virtual unitária está errado, ou seja, o ponto b desloca 1,0 mm para a direita e não para a esquerda conforme arbitrado inicialmente.

Mb = 6 KN.m Mua = 4

Ma = 4 KN.m Mu = 4

Mm = 9,375 KN.m Mua = 4

Ma = 4 KN.m


39

6) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b.

E = 21 GPa; υ = 0,2


Resolução: Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=b.h) A = 825 cm2

Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iy = bh3/12) Iy =15468,75 cm4

Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fy =6/5) AQy = A/fy = 990 cm2

A = 825x10-4 m2; Iy = 1,55x10-4 m4; AQy= 990x10-4 m2

1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento unitária em b. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação do par de força momento virtual unitária. Neste caso não é necessário calcular as reações de apoio para esboçar o diagrama Mu

5,0 m

b c d a

2,0 m 3,0 m

13 kN. m

50 kN q = 15 kN/ m

1ª 2ª 3ª A

A

h

A

A

h = 55 cm

b = 15 cm

b

7 kN. m

5,0 m

b

c d

a

2,0 m 3,0 m

Mu = 1

b

Mu = 1


40

3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação do carregamento exterior. Neste caso não é necessário calcular as reações de apoio deste trecho da viga gerber para esboçar o diagrama M

4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto b ( =?)

𝛿 = ∑ [ 𝟏


0

𝑖=1,2,𝑛

Utilizando as tabelas 3a e 3b para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as 3 barras contribuem para a rotação relativa entre as barras 1 e 2 Barra 1: - 1/6.L .( Ma – Ma ). Mub - 1/6. 5. (13000 – 7000).1 = - 4166,67

Ma = 13 KN.m

Mub = 1

5,0 m

b

c d

a

2,0 m 3,0 m

7 kN.m

b

7 kN.m 13 kN.m

Vb = 42,1 kN Vd = 52,9 kN

50 kN R = 45 kN

Mb = 7 KN.m


41

Barra 2: 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6. 2,0 [ 7000 .(2 . 1 + 0,6) + 91200 . (1 + 2 . 0,6)] = + 72946,67 Barra 3: + 1/3.L.Ma .Mua + 1/3.L.Mm.Mua 1/3. 3. 91200 . 0,6 + 1/3.3. 16875 . 0,6 = + 64845

= 1 . [- 4166,67 + 72946,67 + 64845] = 1 . (133625) = 0,041 rad E.I (21x109. 1,55x10-4)

= 0,041 rad O valor positivo indica que o sentido arbitrado para o par de força momento unitária está correto, ou seja, as barras 1 e 2 se aproximam, conforme ilustrado no esquema ao lado.

Mb = 91,2 KN.m Mua = 1 Ma = 7KN.m Mub = 0,6

Mua = 0,6 Mm = 16,875 KN.m Mua = 0,6 Ma = 91,2 KN.m


42

1 Lista de exercícios: 1) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação do ponto d. Considerar concreto de módulo de elasticidade igual a 21GPa. 2) Determine o deslocamento vertical do ponto c da estrutura esquematizado na figura abaixo. Considerar módulo de elasticidade igual a 205 GPa. 3) Calcule a para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento horizontal do ponto c;

E = 25 GPa; υ = 0,2

4) Determine o deslocamento vertical do ponto c do pórtico esquematizado na figura abaixo, sendo E= 25 GPa.

h

1,5 m

b a 1ª

5,0 m

b c d a

2,0 m 3,0 m

20 KN. m

50 KN q = 30 KN/ m q = 20 KN/ m

1ª 2ª 3ª A

A

h

A

A

h = 30 cm

b = 40 cm

b

1,5 m

c d

2,0 m

q = 10 KN/ m

3ª

A

A

b

A

A

h = 100 cm

b = 15 cm

2ª 1,5 m

3,0 m

b c d a

2,0 m 5,0 m

q = 30 KN/ m 10 kN.m

1ª A

A

b

A

A

h 3,0 m

e 2ª 3ª 4ª

th = 1,5 cm

b = 15 cm

h = 40 cm

tb = 1,5 cm

tb

b A A

a

4,0 m

a

5,0 m

b c

1ª

2ª

q= 3 kN/m

A A A A B

B

B

B

b

b

h

h

b = 20 cm

h = 60 cm

a

4kN.m


43

5) Calcule a para a estrutura abaixo a rotação relativa entre as barras 2 e 3

E = 25 GPa; υ = 0,2

6) Calcule para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos:

a) a rotação do ponto c; b) o deslocamento horizontal do ponto b;

E = 205 GPa; υ = 0,3

7) Determine o deslocamento horizontal do ponto d da estrutura apresentada abaixo.

Considerar concreto de módulo de elasticidade igual a 27 GPa e υ = 0,2.

b

3,0 m

A A

a

2 kN

4,0 m

a

b c

1ª

2ª

3ª

q= 9 kN/m

d

4,0 m

A A A A

B

B

B

B

h

a

h

1,5 cm

b = 15 cm

h = 60 cm

b b

A A

a

15 kN

4,0 m

5,0 m

b

c

e

1ª

2ª 3ª

q= 10 kN/m

4ª

d

5,0 m

A A A A

B

B

B

B

h

1,0 m

a a

h

h = 70 cm

b = 15 cm

b

b A A

a

4,0 m

a

5,0 m

b

d

1ª

2ª 3ª

q= 3 kN/m

A A A A B

B

B

B

b

b

h

h

b = 20 cm

h = 60 cm

a

2kN.m 2kN.m


44

8) Calcule para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos:

a) a rotação relativa entre as barras 2 e 4 que concorrem para a rótula c; b) o deslocamento horizontal do ponto f;

E = 205 GPa; υ = 0,3

9) Calcule para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento vertical do ponto a.

E = 26 GPa; υ = 0,2

10) Calcule para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento vertical do ponto c.

E = 205 GPa; υ = 0,3

f d

b

A

4,0 m

a

4,0 m

a

b c

1ª

2ª

3ª

q= 10 kN/m

e

3,0 m

A A

B

B

t = 2,0 cm

d = 50 cm

3,0 m

q= 15 kN/m

5ª

4ª

A

a

d B

B

b d

4,0 m

X

Y Z

q = 30KN/m

30 KN

3,0 m

3,0 m

29KN. m

18 KN. m

30 KN

a

1ª

b c

d

2ª

3ª

h

b

A

A

h = 100 cm

b = 20 cm

A

A

1,5 m

X

Y Z

q = 3 KN/m

2 KN

2,0 m

2,0 m

4 KN. m

a

1ª

c

d

2ª

3ª

b

h

A

A

A

A 4 KN

b = 35 cm

h = 45 cm

t = 2,0 cm

t


45

11) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação da corda cd.

E = 26 GPa; υ = 0,2

12) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação relativa entre as cordas ab e bc.

E = 205 GPa; υ = 0,3

2,0 m

X

Y Z

q = 6KN/m

7 KN

5,0 m

2,0 m

8 KN. m

a 1ª b

c d

2ª

3ª

d

d

A

A

A

A

4,0 m

X

Y Z

q = 7 KN/m

6 KN

3,0 m 4,0 m

8 KN. m 3,5 KN

a

3ª

b

c d

2ª

4ª

b

h

A

A A

A

d = 60 cm

5 KN. m

e

2,0 m

b = 30 cm

h = 35 cm

tb

1ª

tb = 2,0 cm

th = 2,5 cm

th

Método Forças 2

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