MODELAGEM CINEMÁTICA DE ROBÔ INDUSTRIAL · de seu tamanho e de sua configuração cinemática....

Construindo Hoje a Engenharia do Amanhã Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial

MODELAGEM CINEMÁTICA DE ROBÔ INDUSTRIAL

Evandro Bertoldi (1)

([email protected]), Everton Bertoldi (2)

([email protected]),

Nara Liege Barbieri (3)

([email protected])

(1) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ); Departamento de Engenharia Mecânica.

(2) Universidade de Passo Fundo (UPF); Departamento de Engenharia de Produção Mecânica. (3) Universidade de Passo Fundo (UPF); Departamento de Agronomia.

RESUMO: Um robô é um manipulador, reprogramável e projetado para deslocar materiais, partes,

ferramentas, ou dispositivos, através de movimentos variáveis programados para o desempenho de uma

variedade de tarefas, ou seja, um robô industrial é um manipulador, com propósito geral, constituído

estruturalmente de vários segmentos mecânicos rígidos ligados em série por juntas e tendo na extremidade

uma garra ou ferramenta. Esse estudo trata-se do problema de modelagem cinemática de robô industrial

com o objetivo de demonstrar a modelagem de um robô com estrutura cinemática do tipo prismática,

rotativa, rotativa (PRR), a partir da identificação dos elos e juntas, definição das coordenadas de

referência, determinação dos parâmetros de Denavit-Hartenberg (D-H), matriz de transformação

homogênea, e cálculo da velocidade e posição do efetuador final em relação à base fixa, através da matriz

jacobiana. Através desse desenvolvimento, pode-se verificar que durante o projeto de um robô, antes da

escolha e do dimensionamento de componentes, necessita-se o conhecimento sobre modelagem cinemática

de robô industrial. A partir da modelagem cinemática do robô, percebe-se que é possível através de

cálculos, saber qual será a posição do efetuador final, e definir quanto será a contribuição de cada junta

para a velocidade do mesmo.

PALAVRAS-CHAVE: Modelagem Cinemática, Robô Industrial, Estrutura Prismática, Estrutura

Rotativa, Parâmetros de Denavit-Hartenberg.

INDUSTRIAL ROBOT KINEMATIC MODELING

ABSTRACT: A robot is an operator, reprogrammable and designed to move materials, pieces, tools or

devices, trough variable and programmed movements to perform many tasks, in other words, an industrial

robot is an operator, with general purpose, made structurally from many mechanic rigid segments

connected in series by joints and having on its extremity a claw or tool. This study is about the industrial

robot kinematic modeling problem aiming to demonstrate the modeling of a robot with kinematic structure

of the type prismatic, rotating, rotating (PRR), from the identification of the links and joints, reference

coordinating definition, Denavit- Hartenberg (D-H) determining parameters, homogenous transformation

matrix, speed calculation and final effector position in relation to the fixed base, through Jacobian matrix.

Through this development, it is verified that during the design of a robot, before the choice and components

dimensioning, it is necessary knowledge about industrial robot kinematic. From the kinematic modeling of

the robot, we see it is possible, by calculation, to know what will be the final effector position, and to define

how much will be the contribution of each joint for its speed.

KEYWORDS: Kinematic Modeling, Industrial Robot, Prismatic Structure, Rotative Structure, Denavit-

Hartenberg Parameters.

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial

Auditório do Senai CIMATEC - Prédio 2 - 2º andar - Salvador - BA,

23 a 26 de Setembro de 2014

Construindo Hoje a Engenharia do Amanhã

Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 2

1. INTRODUÇÃO

A história da automatização industrial é caracterizada por períodos de rápidas mudanças nos

métodos de produção. Como uma causa, ou talvez como um efeito, esses períodos de mudanças nas

técnicas de automatização, e também nas técnicas de produção, está intimamente ligado às situações

econômicas. O uso de robôs industriais caracteriza a direção do desenvolvimento da automatização

industrial nos últimos tempos.

Atualmente a robótica tem sido um tema bastante utilizado tanto no meio industrial quanto

no meio acadêmico. Tal fato se deve à sua diversificada utilização, a qual proporciona de modo

geral, êxito em questões levantadas como redução de custos, aumento da produtividade, problemas

trabalhistas com funcionários e segurança a vida humana. Tais vantagens decorrentes da utilização

de robôs permitem afirmar que esta área tende a crescer cada vez mais, abrangendo uma série de

aplicações (NETO e REIMBOLD, 2011).

A economia brasileira vem crescendo de forma constante, isso faz com que o país necessite

cada vez mais de tecnologias que tornem o processo de produção industrial mais rápido, pois são as

indústrias as principais responsáveis pelo crescimento acelerado do Brasil (MARTINS, OSINSKI e

RASIA, 2012).

De acordo com Valdiero (2005), um braço mecânico controlado por computador, sem

dúvida define-se como um robô. Quando um dispositivo mecânico pode ser programado para

realizar grande leque de tarefas é considerado provavelmente um robô industrial.

A definição formal de um robô industrial enfrenta certas dificuldades devido a algumas

diferenças conceituais adotadas por alguns mercados como: mercado asiático e mercado euro-

americano. Para os japoneses, um robô é qualquer dispositivo mecânico dotado de articulações

móveis destinadas à manipulação. Já o mercado ocidental é mais restritivo, exigindo um maior grau

de complexidade, sobre tudo no que se refere à forma de controle adotada. A definição mais aceita é

a empregada pela Associação Internacional de Robótica (RIA), segundo a qual, um robô industrial é

um manipulador multifuncional reprogramável, capaz de mover materiais, peças, ferramentas ou

dispositivos especiais, em trajetórias variáveis e programadas para realizar tarefas diversas

(BARRIENTOS e PENIN, 1997).

Com respeito à estrutura, um robô é um sistema mecânico de geometria variada, composto

por corpos rígidos, articulados entre si, destinados a sustentar, posicionar e orientar a ferramenta

terminal (ROSÁRIO, 2005). Atualmente existem diversos tipos de robôs para a execução de

diversas tarefas. A especialidade que o robô pode vir assumir depende muito do tipo de atividade

que ele irá desempenhar, e principalmente do ambiente em que ele estará inserido. Um robô

manipulador é normalmente constituído por um conjunto de corpos rígidos ligados em série por

intermédio de juntas rotativas ou prismáticas, formando uma cadeia cinemática aberta, onde uma

das extremidades do manipulador encontra-se rigidamente ligada a uma base fixa, enquanto que a






extremidade oposta suporta o efetuador que pode mover-se livremente no espaço (LOPES, 2001).

Podemos também classificá-los segundo uma característica arbitrada, como: mobilidade, tipo de

atividade, forma, etc (GRAIG,1989).

A aplicação de robôs na indústria moderna é uma realidade cada vez mais evidente.

Diversos segmentos industriais têm feito uso de robôs em atividades como: soldagem por

resistência por pontos, manipulação de materiais, soldagem por arco, pintura, corte a jato de água,

corte por gás, acabamento e montagem, etc. Podemos citar a indústria automobilística e petrolífera

como os segmentos que mais investem em robótica. O crescimento do uso de robôs na indústria é

hoje motivado, por um lado, pelo aumento do custo da mão-de-obra e, por outro, pela melhoria de

produtividade, da qualidade, das condições de segurança e qualidade de vida que a utilização de

robôs traz, sobretudo quando eles substituem o homem na realização de tarefas perigosas. Por fim, a

queda no custo dos robôs também tem contribuído para a disseminação de seu uso (ROSÁRIO,

2005).

Esse estudo trata-se do problema de modelagem cinemática de um robô industrial a ser

utilizado em tarefas como manipular uma tocha de solda ou movimentar peças, a partir de um robô

com estrutura cinemática do tipo prismática, rotativa, rotativa (PRR).

Tem-se como objetivo, demonstrar como se calcula a modelagem cinemática de um robô

considerando três graus de liberdade e estrutura cinemática do tipo PRR, a partir da identificação

dos elos e juntas e definição das coordenadas de referência de cada elo de acordo com a convenção

de Denavit-Hartenberg (D-H), determinação dos parâmetros de D-H, matriz de transformação

homogênea, e cálculos das velocidades e posição do efetuador final em relação à base fixa, através

da matriz jacobiana.

2. ROBÔ INDUSTRIAL A SER MODELADO

O desenvolvimento da modelagem cinemática baseou-se no robô industrial modelo KR 30

JET KRC2 da marca Kuka ilustrado na Figura 1 (http://www.used-robots.com). No

desenvolvimento analisaram-se três graus de liberdade e considerou-se estrutura cinemática do tipo

PRR.

Esses robôs industriais podem ser montados tanto pela cabeça quanto lateralmente. Os

diversos modelos de pórtico e uma unidade linear ajustada de acordo com as necessidades de

produção individuais garantem que seja utilizado o sistema de automatização mais adequado para

cada processo de produção (http://www.used-robots.com).

A precisão de um robô pode ser definida como sendo a diferença entre a posição

programada e a posição real do manipulador depois da execução do movimento programado. A

precisão de um robô do ponto de vista mecânico depende da rigidez da estrutura, dos jogos e atritos

nas juntas e da qualidade da fabricação dos componentes em geral. Do ponto de vista do controle,

http://www.used-robots.com/







essa precisão depende dos erros do cálculo das coordenadas, da precisão da calibração, das

diferenças entre o modo do ensaio e a execução do movimento e da precisão dos sensores de

posição (VALDIERO, 2005).

FIGURA 1. Manipulador robótico modelo KR 30 JET KRC2 da marca Kuka.

O robô industrial modelo KR 30 JET KRC2 possui área de trabalho a partir de um raio de

alcance de 2002 mm, estrutura articulada com seis eixos, capacidade de carga de 30 kg, precisão de

±0.1 mm. As posições de montagem podem ser no chão ou teto e seu peso total é de

aproximadamente 435 kg (http://www.used-robots.com).

Esses robôs podem ser utilizados em diversas áreas como: manipulação, carga e descarga,

pintura e tratamento de superfície, fixação, forjarias, manipulação de outras máquinas,

empacotamento e escolha de pedidos, fundições, processamento de plásticos, ferramentas de

conformação, montagem, ferramentas de corte, entre outras aplicações (http://www.used-

robots.com).

O espaço de trabalho do manipulador é o termo que se refere ao espaço dentro do qual este

pode movimentar o efetuador. É definido como o volume total conformado pelo percurso do

extremo do último elo, o punho, quando o manipulador efetua todas as trajetórias possíveis

(PAZOS, 2002). De acordo com Valdiero (2005), o espaço de atuação de um manipulador depende

de seu tamanho e de sua configuração cinemática.

Esse espaço pode ser dividido em duas regiões, sendo a primeira região onde todos os graus

de liberdade são atuantes e a segunda região onde nem todos os graus de liberdade estão atuando.

Essas limitações são causadas pelos limites de atuação das juntas, pela definição dos ângulos entre

os eixos de rotações das juntas, pelas dimensões dos componentes do manipulador ou pela

combinação dessas limitações. As limitações da rotação ou do deslocamento das juntas precisam ser

escolhidas de tal maneira que deixem margem de espaço de atuação para a reorientação das

ferramentas ou garras do robô (VALDIERO, 2005).









O espaço de atuação do manipulador robótico estudado é representado na Figura 2

(http://www.used-robots.com).

FIGURA 2. Espaço de atuação para o sistema de coordenadas do manipulador robótico modelo KR

30 JET KRC2 da marca Kuka.

3. MATERIAIS E MÉTODOS

3.1 Modelagem cinemática do robô

Conforme descrito em Valdiero (2005), cinemática é a ciência que trata os movimentos sem

considerar as forças que os causam. Dentro da cinemática, estuda-se a posição, a velocidade, a

aceleração e as demais derivadas de ordem superior das variáveis de posição. Assim, o estudo

cinemático dos manipuladores refere-se a todas as propriedades geométricas e às propriedades do

movimento dependentes do tempo.

A cinemática direta de um manipulador robótico trata-se das equações da posição e da

orientação do efetuador final, garra ou ferramenta, a partir dos valores das variáveis de juntas.

A seguir, apresenta-se a modelagem cinemática do referido robô industrial. Inicialmente

identificaram-se os elos e juntas, em seguida definiram-se as coordenadas de referência de cada elo

segundo a convenção de D-H, posteriormente determinou-se os parâmetros cinemáticos de D-H

representando os mesmos a partir de uma tabela, e em seguida desenvolveu-se a matriz de

transformação homogênea. Com base na matriz de transformação homogênea, calculou-se o

jacobiano para a obtenção das velocidades de cada elo e também a velocidade do efetuador final em

relação à base zero, que é a única base fixa do robô.







A modelagem cinemática do robô industrial baseou-se na metodologia descrita em Valdiero

(2005) e Santos (2004), no qual é dividida em cinco passos: entender o robô identificando-se os elos

e as juntas, definir um sistema de coordenadas de referência em cada elo de acordo com a

convenção de D-H, especificação da posição e orientação do sistema de referência através dos

parâmetros de D-H, dedução da matriz de transformação homogênea que relaciona os sistemas de

referência e calcular a equação matricial da cinemática direta através do produto à esquerda.

3.1.1 Escolha dos sistemas de referência, elos e juntas pela convenção de Denavit-Hatenberg

Valdiero (2005) descreve que existe uma enorme variedade de caminhos durante o processo

de projeto para a realização de um robô industrial, como, por exemplo, a variedade dos sistemas de

coordenadas, na base dos quais o manipulador pode ser construído.

A evolução no tempo das coordenadas das juntas de um robô representa o modelo

cinemático de um sistema articulado no espaço tridimensional. A notação de D-H é uma ferramenta

utilizada para sistematizar a descrição cinemática de sistemas mecânicos articulados com n graus de

liberdade (DENAVIT, 1955).

Para se descrever a posição e a orientação de um corpo no espaço, necessita-se fixar um

sistema de coordenadas para esse corpo. Já que qualquer sistema de coordenadas pode servir como

um sistema de referência, necessita-se transformar a descrição da posição e da orientação dos

objetos de um sistema de coordenadas para outro. A matemática providencia metodologias para

descrição e manipulação dessas quantidades (VALDIERO, 2005).

Um manipulador consiste de juntas e barras. Barras quase rígidas são ligadas através das

juntas, no qual permitem o movimento relativo das barras. As juntas normalmente são equipadas

com sensores de posição que permitem medir a posição relativa das barras ligadas à junta. Em caso

de junta rotativa, o deslocamento da junta é chamado ângulo da junta. Em caso de junta prismática,

o sensor mostra o deslocamento linear da junta. O número de graus de liberdade do manipulador é

igual ao número de variáveis de posição independentes que precisam ser especificadas para definir a

localização de todas as partes do mecanismo (VALDIERO, 2005).

Conforme descrito anteriormente, existem dois tipos de juntas: a prismática e a rotativa. A

junta prismática tem movimento linear. Os robôs com juntas prismáticas de eixos perpendiculares

são fáceis para operar e para calcular as posições desejáveis das juntas para qualquer posição da

garra. Os robôs com juntas rotativas normalmente são mais difíceis para controlar, entretanto é mais

fácil projetar e construir uma boa junta rotativa do que uma junta prismática (VALDIERO, 2005).

Um lado da cadeia cinemática do manipulador é fixo, sendo o outro lado livre. Esse lado

livre pode ser chamado como ponta de atuação do manipulador. Dependendo da aplicação do robô,

na ponta de atuação pode ser montada uma garra, um dispositivo para solda, um eletroímã ou outras

ferramentas. Geralmente, a descrição da posição de um manipulador é dada através da descrição da






posição do sistema de coordenadas da ferramenta em relação ao sistema de coordenadas da base

fixa do manipulador (VALDIERO, 2005).

A partir do primeiro e segundo passo da metodologia para determinação da cinemática direta

de robô industrial, descrita em Valdiero (2005) e Santos (2004), determinou-se os elos, juntas e os

sistemas de coordenadas de referência de cada elo.

Primeiramente analisou-se o robô industrial a fim de entendê-lo para em seguida identificar

os elos e juntas conforme indicado na Figura 3.

Em seguida, definiu-se o sistema de coordenadas de referência em cada elo, conforme

Figura 3, de acordo com a convenção de D-H no qual descreve o seguinte:

Em cada junta “i” deve-se representar o eixo Zi-1;

Na normal comum entre Zi-1 e Zi representa-se o eixo Xi, no sentido de Zi-1 para Zi;

Para Yi, representa-se através da regra da mão direita.

FIGURA 3. Robô industrial com a identificação dos elos, juntas e sistemas de coordenadas de

referência.

3.1.2 Parâmetros de Denavit-Hartenberg

Após definidos os elos, juntas e os sistemas de coordenadas de referência para cada elo do

robô industrial, aplicou-se o terceiro passo da metodologia da cinemática direta para a especificação

da posição e orientação do sistema de referência “i”, conforme descrito em Valdiero (2005) e

Santos (2004).

No estudo dos manipuladores existe uma preocupação constante com a localização de

objetos no espaço tridimensional. Esses objetos são elementos do manipulador, peças e ferramentas

manipuladas e outros objetos no ambiente de trabalho do robô. De modo simplificado, pode-se falar






que esses objetos são descritos através de dois atributos: posição e orientação. Um tópico de

interesse imediato é a maneira pela qual nós representamos essas quantidades e as manipulamos

matematicamente (VALDIERO, 2005).

A representação D-H de um elo rígido depende de quatro parâmetros a ele associados, os

quais descrevem completamente o comportamento cinemático de uma junta prismática ou revoluta

(ROSÁRIO, 2005). Especifica-se a posição e orientação do sistema de referência “i” em relação ao

sistema de referência “i-1” através dos parâmetros de D-H, conforme ilustrado na Tabela 1, no qual

relaciona os valores de ai, θi, αi e di que possuem as seguintes definições:

ai: é a distância entre os eixos Zi-1 e Zi;

θi: é o ângulo entre os eixos Xi-1 e Xi em torno do eixo Zi-1. Quando se tem junta rotativa, θi

será variável, e quando tem-se junta prismática, θi será constante;

αi: é o ângulo entre os eixos Zi-1 e Zi em torno do eixo Xi;

di: é a coordenada ao longo do eixo Zi-1, no qual representa a posição de Xi em relação à Xi-

1.

TABELA 1. Parâmetros de D-H.

Parâmetros D-H

eloi ai θi αi di

elo1 a1 θ1 α1 d1

elo2 a2 θ2 α2 d2

elo3 a3 θ3 α3 d3

Na Figura 4, indicam-se os parâmetros de D-H para o robô industrial de acordo com os

valores apresentados na Tabela 1 e especificações técnicas do robô industrial modelo KR 30 JET

KRC2 da marca Kuka.

FIGURA 4. Especificação dos parâmetros de D-H para o robô industrial.






A Tabela 2 representa os valores de ai, θi, αi e di para o robô industrial de acordo com as

especificações da Tabela 1 e Figura 4.

TABELA 2. Parâmetros de D-H.

Parâmetros D-H

eloi ai θi αi di

elo1 489 0 0 d1

elo2 825 θ2 0 0

elo3 1003 θ3 0 0

3.1.3 Cálculo das matrizes de transformação homogênea

Na sequência, calculam-se as matrizes de transformação homogênea através do quarto passo

da metodologia da cinemática direta descrita em Valdiero (2005) e Santos (2004).

Uma vez determinados os parâmetros de D-H, deduziu-se a matriz de transformação

homogênea, no qual relaciona o sistema de referência “i” em relação ao sistema de referência “i-1”.

Na Equação 1, representa-se a fórmula da matriz de transformação homogênea para o robô

industrial em estudo.

i-1 A i =

[

] (1)

O cálculo de cada matriz de transformação homogênea entre um elo e o anterior conforme

D-H, é representado a partir das Equações 2, 3 e 4.

A Equação 2 representa a matriz de transformação homogênea entre o elo 1 e o elo 0.

0 A 1 = [

] (2)


1 A 2 = [

] (3)


2 A 3 = [

] (4)






3.1.4 Matriz de transformação para o sistema de referência da base

Após o cálculo das matrizes de transformação homogênea, calcula-se o produto das matrizes

pela esquerda até obter a matriz de transformação que relaciona o último sistema de referência ao

sistema da base, no qual se trata do quinto passo da metodologia da cinemática direta descrita em

Valdiero (2005) e Santos (2004).

O quinto passo trata-se do cálculo da equação matricial da cinemática direta. A partir de

cada matriz de transformação homogênea que relaciona o elo com o anterior, pode-se calcular a

equação da cinemática direta por meio do produto à esquerda.

As matrizes de transformação de cada elo devem ser multiplicadas pela esquerda, ou seja,

deve-se multiplicar a matriz do elo 1 para o 0 pela matriz do elo 2 para o 1. Essa multiplicação gera

uma matriz transformada do elo 2 para o 0 representado na Equação 5.

0 T 2 =

0 A 1 .

1 A 2 = [

] (5)

Dessa forma, faz-se mais uma multiplicação, agora a matriz do elo 2 para o 0 multiplica-se

pela matriz do elo 3 para o 2, obtendo-se a matriz transformada do elo 3 para o 0 representado na

Equação 6. 0 T 3 =

0 T 2 .

2 A 3 =

[

](6)

A partir da matriz de transformação homogênea denominada de 0 T 3, representado pela

Equação 6, mostra-se a posição e orientação do efetuador final do robô industrial no sistema da base

em função das variáveis de junta.

Conforme Equação 6, o vetor posição do efetuador final do robô industrial no sistema da

base em função das variáveis de junta é representado na Tabela 3 e Figura 5 em função de: P3X, P3Y,

P3Z.

TABELA 3. Posição do efetuador final do robô industrial.

Posição do efetuador final do robô

0 P 3

P3X 1003.cosθ2.cosθ3 – 1003.senθ2.senθ3 + 825.cosθ2 + 489

P3Y 1003.senθ2.cosθ3 + 1003.cosθ2.senθ3 + 825.senθ2

P3Z d1






FIGURA 5. Posição do efetuador final do robô industrial.

De acordo com a Equação 6, a orientação do efetuador final do robô industrial no sistema da

base em função das variáveis de junta é representada na Tabela 4 e Figura 6 em função de: X3, Y3,

Z3.

TABELA 4. Orientação do efetuador final do robô industrial.

Orientação do efetuador final do robô

Orientação de 0

X 3 Orientação de 0

Y 3 Orientação de 0

Z 3

cosθ2.cosθ3 - senθ2.senθ3 -cosθ2.senθ3 - senθ2.cosθ3 0

senθ2.cosθ3 + cosθ2.senθ3 -senθ2.senθ3 + cosθ2.cosθ3 0

0 0 1

FIGURA 6. Orientação do efetuador final do robô industrial.






3.1.5 Matriz jacobiana do robô industrial

Finalmente, a partir dos cálculos das equações da cinemática diferencial, obtiveram-se as

velocidades linear e angular do efetuador final, garra ou ferramenta, do robô industrial em função

das velocidades das juntas. Representaram-se tais equações na forma matricial através do jacobiano

geométrico de acordo com Valdiero (2005) e Santos (2004).

Nas cinemáticas abordam-se as relações entre as coordenadas no espaço operacional e no

espaço das juntas de um dado sistema robótico. Todavia, essas relações não dão qualquer

informação sobre as características do movimento entre duas quaisquer configurações. Por

exemplo, a extremidade da mão deve descrever certo deslocamento, ou incremento, no espaço a seis

coordenadas durante um dado intervalo de tempo. Estes incrementos ou diferenças na posição

designa-se a chamada cinemática diferencial. A relação desses deslocamentos nos espaços

operacionais e das juntas dá-se a partir do jacobiano do manipulador (SANTOS, 2004).

Dessa forma, conforme mencionado por Santos (2004), a cinemática constitui-se de uma das

mais importantes ferramentas para caracterização da estrutura de um robô industrial, sendo útil

para:

Encontrar as configurações singulares;

Analisar as redundâncias;

Relacionar as forças estáticas no efetuador final com os torques de juntas.

A partir da matriz de transformação, pode-se calcular a matriz jacobiana do robô industrial,

obtendo-se as velocidades do efetuador final em relação à base fixa (SANTOS, 2004).

Na Equação 7, tem-se a expressão geral e literal do jacobiano geométrico para o robô

industrial em estudo.

v =

[

]

[

] [

] (7)

Dessa forma, apresenta-se a seguir as expressões e os cálculos para cada um dos vetores

utilizados no jacobiano geométrico representado anteriormente.

Primeiramente, calcula-se o Jp0 e o Jo0 de cada uma das juntas, no qual possuem as seguintes

definições:

Jp: é a matriz 3 x n relativa às contribuições das velocidades de juntas (q) para a velocidade

linear (p) do efetuador final;

Jo: é a matriz 3 x n relativa às contribuições das velocidades de juntas (q) para a velocidade

angular (w) do efetuador final.

Para a junta 1, prismática, calcula-se o Jp1 e o Jo1 conforme as Equações 8 e 9.






Jpi = Zi-1 (8)

Jp1 = Z0 = [ ]

Joi = [ ] = 0 (9)

Jo1 = [ ]

A partir das Equações 10 e 11, calcula-se o Jp2 e o Jo2 para a junta 2, rotativa.

Jpj = Zj-1 x (P-Pj-1) (10)

Jp2 = Z1 x (P3-P1)

Z1 = [ ]

P3 = [

]

P1 = [

]

P3 - P1 = [

] - [

]

P3 - P1 = [

]

K1 =

K2 =

Jp2 = |

|

Jp2 = -k2i+k1j+0k

Jp2 = [

]

Joj = Zj-1 (11)

Jo2 = Z1 = [ ]






Para a junta 3, rotativa, têm-se as Equações 12 e 13 para o cálculo do Jp3 e Jo3.

Jpj = Zj-1 x (P-Pj-1) (12)

Jp3 = Z2 x (P3-P2)

Z2 = [ ]

P3 = [

]

P2 = [

]

P3 – P2 = [

] - [

]

P3 – P2 = [

]

K1 =

K2 =

Jp3 = |

|

Jp3 = -k2i+k1j+0k

Jp3 = [

]

Joj = Zj-1 (13)

Jo3 = Z2 = [ ]

A partir da Equação 14, realiza-se o cálculo final do jacobiano geométrico através da

equação matricial da cinemática diferencial.

v =

[

]

[

]

. [

] (14)






v =

[

]

[

]

Na Equação 15, realiza-se o cálculo da velocidade linear do efetuador final do robô

industrial no sistema da base em função das variáveis e das velocidades das juntas.

v = [

] [

](15)

Por último, a partir da Equação 16, calculam-se as velocidades angulares do efetuador final

do robô industrial no sistema da base em função das variáveis e das velocidades das juntas.

v = [

] [

] (16)

Finalmente, na Figura 7, representa-se graficamente a velocidade angular possível do

efetuador final a partir do desenho do robô industrial.

FIGURA 7. Velocidade angular do efetuador final do robô industrial.

4. RESULTADOS E CONCLUSÕES

O desenvolvimento do estudo da modelagem cinemática do robô industrial constituído de

uma estrutura cinemática do tipo PRR permitiu conhecer e entender o funcionamento de robôs






industriais que requerem movimentos para executar uma determinada função, possibilitando a

especificação das variáveis conhecidas e desconhecidas que atuam no robô através de desenhos

esquemáticos, além da aplicação das equações para realizar os cálculos das variáveis do robô a

partir das variáveis de projeto conhecidas.

A metodologia aplicada na modelagem cinemática do robô industrial permitiu orientar e

facilitar o desenvolvimento, possibilitando a realização do trabalho dentro do planejado, cumprindo

os objetivos estabelecidos. Através dessa metodologia, conseguiu-se entender o robô, identificar os

elos e juntas, definir um sistema de coordenas de referência para cada elo, especificar a posição e

orientação do sistema de referências, deduzir a matriz de transformação homogênea que relaciona

os sistemas de referência, e calcular a equação matricial da cinemática direta.

A modelagem cinemática do robô permitiu verificar que os objetivos principais foram

alcançados. Através da matriz de transformação homogênea, conseguiu-se verificar a posição do

efetuador final a partir dos ângulos de cada junta e comprimento dos elos. E através da matriz

jacobiana, pode-se definir a contribuição de cada junta para a velocidade do efetuador final.

Através desse desenvolvimento, pode-se verificar que durante o projeto de um robô, antes da

escolha e do dimensionamento de componentes, tais como a estrutura do manipulador, o tipo de

atuadores e transmissões, necessita-se o conhecimento sobre modelagem cinemática de robô

industrial. Também conseguiu-se verificar a importância dos robôs industriais para resolver ou

minimizar problemas do cotidiano, podendo serem usados como um manipulador de tocha de solda,

já que a velocidade para soldar necessita ser constante, e movimentar peças, ferramentas ou

dispositivos.

A modelagem de robôs industriais deve ser realizada, pois com ela consegue-se definir com

clareza onde ficará a garra ou ferramenta, conhecendo-se os ângulos de junta. Pode-se também

definir qual serão as velocidades do efetuador final em relação à base fixa.

REFERÊNCIAS

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DENAVIT, J. Description and Displacement Analysis of Mechanics Based on the 2x2 dual

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MODELAGEM CINEMÁTICA DE ROBÔ INDUSTRIAL · de seu tamanho e de sua configuração cinemática....

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