Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Modelização e...

Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo

DEEC/ISTIsabel Lourtie

Modelização e Linearização

Representação matemática de sistemasModelos de entrada/saídaModelo de estado

Representação matemática de SLITsLinearidade, invariância no tempo e causalidadeTransformada de Laplace unilateralFunção de transferência: formas factorizada e das constantes de tempo

Modelo físicoSistemas mecânicos de translaçãoSistemas mecânicos de rotaçãoSistemas electromecânicos

LinearizaçãoÁlgebra de blocos



Representação Matemática de Sistemas

sistema tx tyModelos de entrada/saída

Equação diferencial linear ou não linear variante ou invariante no tempo

Função de transferência só para sistemas lineares e invariantes no tempo

Resposta impulsional só para sistemas lineares e invariantes no tempo

linear ou não linear variante ou invariante no tempo

Modelo de estado -- relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema



Transformada de Laplace unilateral

Representação Matemática de SLITs Causais

SLIT tx ty

Sistema invariante no tempo

tytxtytx

Sistema linear

tyatyatxatxa

tytx

tytx22112211

22

11

Sistema causal

TttytyTttxtx ,, 2121

Função de transferência

thsH TL



(expressão algébrica & região de convergência ) sX B XR

Transformada de Laplace

jsdtetxsXtx stB

;Bilateral:

Unilateral: jsdtetxsXtx stU

;0

Caracteriza a evolução temporal do sinal para .0t tx

Quando é causal, i.e., , 00 ttx tx txtx UB TLTL

A transformada de Laplace unilateral de um sinal é completamente caracterizada pela sua expressão algébrica



Transformada de Laplace Unilateral

Exemplo 1: tuetx t1

2

1

t0

2Re;2

1

s

ssX B

sRe

sIm

2

2

1

ssXU

sXsX BU tx causal



Transformada de Laplace Unilateral

Exemplo 2: tetx 2

1

t0

tuetueetx ttt1

21

22

2Re2;22

4

sss

sX B

sRe

sIm

2

2

2

1TL 1

2

stuesX t

BU

sXsX BU tx não causal



Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral

P1: Linearidade

então sbXsaXtbxtax 2121 sXtx 11 Se e sXtx 22

P2: Translação no Tempo

sXtx Se causal, e então sXettx st0

0 tx 00 t

P3: Translação no Domínio da Transformada

sXtx Se então 00 ssXtxe ts

P4: Mudança de Escala

sXtx Se e então

a

sX

aatx

10a




P5: Convolução

sXtx 22 Se e causais, e

então sXsXtxtx 2121 sXtx 11 tx2

tx1

P6: Diferenciação no Domínio do Tempo

sXtx Se então 0xssX

dt

tdx

0

1

1

0

2

2

0

21 0

t

n

n

t

n

n

t

nnnn

n

dt

txd

dt

txds

dt

tdxsxssXs

dt

txd

Generalizando

P7: Diferenciação no Domínio da Transformada

sXtx Se então ds

sdXttx




P8: Integração no Domínio do Tempo

sXtx Se então

011 dxs

sXs

dxt

sXs

dxt 10

P9: Teorema do Valor Inicial

Se causal e se não contiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem , então ssXx

s

lim0 tx tx

0t

P10: Teorema do Valor Final

Se causal e se convergir para um valor constante quando , então ssXtx

st 0limlim

tx tx t



SLIT Causal Contínuo de Ordem N

txdt

dbty

dt

da

k

kN

k

M

kkk

k

k

0 0

0,,,00

1

1

0

t

N

N

t

tydt

dty

dt

dy

sistema invariante no tempo e causal:

sistema linear: condições iniciais nulas, i.e.,

MN

SLITcausal

tx ty



Equação Diferencial Função de Transferência

tySLITcausal

tx

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

00

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

0U

0U TLTL

condições iniciais nulas

sXsbsYsa kM

kk

N

k

kk

00

sXsbsYsa kM

kk

N

k

kk

00

N

k

kk

kM

kk

sa

sb

sX

sYsH

0

0

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

0U

0U TLTL



Função de Transferência 01

11

011

1

asasasa

bsbsbsbsH

NN

NM

MM

MM

Forma factorizada:

N

M

pspsps

zszszsKsH

21

21

zeros:

polos:Mzzz ,,, 21

Nppp ,,, 21

Forma das constantes de tempo:

N

M

sss

sTsTsTKsH

111

111

21

210

zeros:

polos:MTTT 1,,1,1 21

N 1,,1,1 21

Ganho estático: N

M

s ppp

zzzKsHK

21

21

00 lim



Modelação Matemática

Exemplos:

sistemas mecânicos de translação: amortecedor de um carro, sistema de controlo de velocidade;

sistemas mecânicos de rotação: pêndulo, carro com pêndulo invertido;

sistemas electromecânicos: motor de corrente contínua.

A partir de considerações de ordem física, e de um conjunto adequado de hipóteses simplificativas, encontrar um modelo matemático que descreva os aspectos essenciais do comportamento do processo a controlar.



Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção

Lei de Newton: dt

mvdF

– soma das forças aplicadas ao corpo – massa do corpo – velocidade linear – momento linear

F

mvvm

Para massa constante: m tmadt

txdm

dt

tdvmF

2

2 )(

xa

– deslocamento linear– aceleração linear



Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção(elementos básicos)

Massa

m tf

x

2

2

dt

txdmtf

Mola

tKxtf s

tf s

x

K

K K – constante elástica da mola

tf s – força de restituição da mola



Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção(elementos básicos)

Atrito

tfd

x

– coeficiente de atrito

tfd – força de atrito

dt

tdxtfd



deslocamento linearna mola e no atrito

aceleração do chassis

Modelo Físico Sistemas mecânicos de translacção

Exemplo: amortecedor de um carro

m

K

x

y

dt

txtydtxtyK

dt

tydm

2

2

força derestituiçãoda mola

força deatrito

maF



Sistema de Controlo de Velocidade

Objectivo: Manter constante a velocidade do veículo

Modelo do sistema físico: Entrada: força gerada pelo motor Saída: velocidade do automóvel

tf

tv

tf tvcontrolador motor

sensor de velocidade

tvref



força do atrito


Modelo do sistema físico

tf tv tf

x

m

maF Lei de Newton: dt

tdvmtvtftftf d

Sistema de 1ª ordem: tftv

dt

tdvm




Modelo do sistema físico

tf tv

tftvdt

tdvm

função de transferência

mssF

sVsG

ci

1

0

sVref

sCms

1 sV sF

sistema controlado



Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação

Lei de Newton: dt

JdT

– soma dos binários aplicados – momento de inércia – velocidade angular – momento angular

T

JJ

Para constante: J 2

2 )(

dt

tdJ

dt

tdJT

– deslocamento angular



Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação(elementos básicos)

tT Inércia

J

t

2

2

dt

tdJtT

tTs

t

Mola rotacional

K – constante da mola

tTs – binário de restituição da mola

tKtTs K



Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação(elementos básicos)

Atrito rotacional

– coeficiente de atrito

tTd – binário de atrito

dt

tdtTd

tTd

t



binário que resulta daforça da gravidade

aceleração angular da massa

Modelo Físico Sistemas mecânicos de rotação

JT Exemplo: pêndulo

m

tTc

L

mg

tTc2mLJ

- binário aplicado- momento de inércia em torno do ponto de rotação

cosmg

sinmg

tmgLtTdt

tdJ c

sin2

2



Carro com Pêndulo Invertido

x

y

M

L

F

mI ,),( GG yx

cos

sin

Ly

Lxx

G

G

centro de gravidade do pêndulo

Lei de Newton aplicada ao movimento segundo x:

dt

tdxF

dt

txdm

dt

txdM G

2

2

2

2

Ftdt

tdLmt

dt

tdLm

dt

tdx

dt

txdmM

sincos

2

2

2

2

2

F

dt

tdx

dt

tLtxdm

dt

txdM

2

2

2

2 sin



binário devido à aceleração linear do pêndulo

binário resultante daforça da gravidade

Lei de Newton aplicada ao movimento de rotaçãodo pêndulo:

tTtTI ga

Carro com Pêndulo Invertido

2

2

dt

txdm G

tTtdt

txdLm

xaG )(cos

2

2

2

dt

tydm G

tTtdt

tydLm

yaG )(sin

2

tTtTtTyx aaa

mg

sinmg

tLmgtTg sin



Carro com Pêndulo Invertido tTtTI ga

tLmgtTg sin

)(sin)(cos

2

2

2

2

tdt

tydLmt

dt

txdLmtTtTtT GG

aaa yx

)(sin

cos)(cos

sin2

2

2

2

tdt

tLdLmt

dt

tLtxdLm

2

22

2

2

)(cosdt

tdmLt

dt

txdLm

tLmgtdt

txdLm

dt

tdmLI

sin)(cos2

2

2

22



Sistemas Electromecânicos Motor de corrente contínua

tea

aLaR

tvb

campofixo

tTm tm

tia

circuito de armadura

tea tm

sVsEssILsIR baaaaa

sVsEsLR

sI baaa

a

1

tetvdt

tdiLtiR ab

aaaa

circuito de armadura:

sEa sIa

sLR aa 1

sVb



mK sTm


tea

aLaR

tvb

campofixo

tTm tm

tia


tea tm

sIKsT amm

tiKtT amm

Binário no veio do motor:

sEa sIa

sLR aa 1

sVb



Jss 1 sm


tea

aLaR

tvb

campofixo

tTm tm

tia


tea tm

mK sTm sEa sIa

sLR aa 1

sVb

tTdt

td

dt

tdJ m

mm

2

2

sTsssJs mmm 2

sTJss

s mm

1



sKb


tea

aLaR

tvb

campofixo

tTm tm

tia


tea tm

Jss 1 sm

mK sTm sEa sIa

sLR aa 1

sVb

ssKsV mbb

dt

tdKtv m

bb

Força contra-electromotriz:



Linearização

Exemplo: pêndulo

m

tTc

L

mg

tmgLtTdt

tdmL c

sin2

22

Aproximação linear em torno de pontos de equilíbrio

ponto de equilíbrio:

0,0 cT

Para pequenos: sin

tmgLtTdt

tdmL c

2

22



Linearização tu tutxf

dt

tdx,

sistema não linear

Pontos de equilíbrio: 0,:,0 0000 uxfux

dt

tdx

00 ,uxSérie de Taylor em torno de :

uu

uxfx

x

uxfuxfuuxxf

uxux

0000 ,,

0000

,,,, termos de ordem

superior

00 ,uxModelo linear em torno de :

uu

uxfx

x

uxf

dt

xd

uxux

0000 ,,

,,

x u

0



Linearização Exemplo: carro a alta velocidade

tf tv tf

21,

x

m

tvtvtfd2

21 Força de atrito: termo linear + termo quadrático

Sistema de não linear: tvtvtf

dt

tdvm 2

21




tvtvtfdt

tdvm 2

21 tf tv

Pontos de equilíbrio: 2210cte eeee vvf

dt

tdvvtv

Expansão em série de Taylor do termo quadrático:

tvvvtvdv

dvvtv ee

v

e

e

222

22

tfftf

tvvtv

e

e

Estudo do comportamento do sistema em torno de : ee fv ,




tvtvtfdt

tdvm 2

21

tf tv 221 eee vvf

tvvvtvvtffdt

tvvdm eeee

e 22

21

tvvvtv

tfftf

tvvtv

ee

e

e

222

tvvvtvvtffdt

tvdm eeee

22

211 2

tftvvdt

tvdm e

21 2 evmssF

sV

21 2

1



paralelo

série

Álgebra de Blocos Exemplo

sH 2

sG1 sG2

sG3

sG4

sH1

sX sY

Como simplificar?



Álgebra de Blocos Exemplo (cont.)

sH 2

sG1 sG2

sG3

sG4

sH1

sX sY

1. Combinar blocos em cascata

sGsG 41

2. Combinar blocos em paralelo

sGsG 32



realimentação


sH 2

sH1

sX sY sGsG 41 sGsG 32

sH 2

sX sY sHsGsG

sGsG

141

41

1 sGsG 32

3. Eliminar blocos de realimentação




sH 2

sX sY sHsGsG

sGsG

141

41

1 sGsG 32

sH 2

sX sY sHsGsG

sGsGsGsG

141

3241

1

forma canónica da realimentação



Álgebra de Blocos Outras transformações

sG sX

sY

sY

sG

sG sX

sY

sY

sG1

sG sX

sX

sY

sX

sG sX sY

sG sX1 sY

sX 2

sG

sG

sX 2

sY sX1



Álgebra de Blocos Outras transformações

sG2

sG1

sX 2

sY sX1

sX 2

sG1

sX1 sY

sGsG 12

sX sY sG

sH1

sH 2

sX sY sG

sHsH 21



malha de realimentação

Álgebra de Blocos Exemplo

sG1 sG3 sG2

sX sY

sG1 sG3 sG2

sX sY

sG31




sG1

sGsG

sGsG

32

32

1

sX sY

sG31

malha de realimentação

sG1 sG3 sG2

sX sY

sG31

sX sGsG

sGsGsG

32

321

1

sY

sG31

Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Modelização e...

Documents

Transcript of Modelização e LinearizaçãoFundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Modelização e...