So Paulo, 2014

MANUAL DE APLICAO DO MODELO BLACK SCHOLES PARA A PRECIFICAO DE

OPES Time: Guilherme Sola Guilhermessantos94@gmail.com Raphael Noronha raphaelnasl@al.insper.edu.br Luiz Razuk luizfvr@al.insper.edu.br Mateus Schwening mateusss@al.insper.edu.br NassimGhosn nassimaebg@al.insper.edu.br Caio Conde caiocc1@al.insper.edu.br Mateus Ribeiro mateusar@al.insper.edu.br

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 2

Objetivo do Manual

O presente manual tem como objetivo explicar os conceitos bsicos referentes ao Black

Scholes de precificao de opes para aes que no pagam dividendos

Basicamente, a estrutura do manual ser dividida da seguinte forma:

1 Objetivo do Modelo - Especifica de forma clara o motivo de utilizar de Black Scholes.

2 Breve Explicao das definies de opes De forma breve, define os conceitos e

expresses do mercado de opes, para que o leitor se familiarize com as variveis que sero

utilizadas no modelo.

3 Breve explicao do funcionamento das opes no Brasil- Esclarece sobre as

especificidades do mercado de opo no Brasil, dando enfoque na explicao do cdigo de

uma opo no pas.

4 Hipteses e Premissas- Explica-se quais so as hipteses e premissas do modelo, para que

o leitor possa identificar quais as situaes especificas em que o modelo pode ser utilizado.

5 Explicao do Modelo Apresenta de forma sintetizada a construo do modelo de Black

Scholes

6 Aplicao Explica para o leitor como aplicar o modelo de black Scholes nas planilhas

apresentadas.

7 Apndice Alguns comentrios finais para quem deseja obter maior profundidade no

assunto.

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 3

1 Objetivo do Modelo

O objetivo do Modelo de Black Scholes de Precificao de Opes para aes que no

pagam dividendos precificar opes em funo do valor de sua ao, de forma

relativamente simples.

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 4

2 Breve Explicao e definies de opes

As opes so instrumentos financeiros derivativos. Esta nomenclatura deve-se ao fato de o seu

valor derivar de outro ativo financeiro. Existem dois principais tipos de opes: de compra ou

venda.

Opo de compra: d o direito, ao seu dono, de exercer a compra de um determinado ativo por um

determinado preo e em um determinado dia. Tanto o preo quanto o dia de exerccio esto contidos

no contrato de emisso da opo. Opes de compra tambm so normalmente chamadas de call.

Opo de venda: d o direito, ao seu dono, de exercer uma venda de um ativo determinado por um

determinado preo e em um determinado dia. Tanto o preo quanto o dia de exerccio esto contidos

no contrato de emisso da opo. Opes de venda tambm so normalmente chamadas de put.

O preo de exerccio normalmente denominado de Strike

Exemplificando o funcionamento das opes de compra

vendida uma opo de compra da ao PETR4. A opo confere o direito de compra de uma ao

PETR4 pelo valor de R$ 10,00, no dia 21/abr/2014.

Data de exerccio 21/abr/2014

Preo de exerccio (strike) R$ 10,00

Assim teremos o seguinte, se na data de exerccio a cotao da ao estiver acima de R$ 10,00 isso

significa que o dono da opo pode exercer o seu direito comprando uma ao de PETR4 por R$

10,00 (menos que o valor de mercado) e vender a opo por mais de R$ 10,00 (atual valor de

mercado). Assim, na data de exerccio o valor da opo seria:

=

Agora imaginemos que na data de exerccio o preo de mercado da ao PETR4 esteja abaixo de R$

10,00. Nesse caso no faz sentido exercer a opo e pagar mais pela ao do que o seu valor de

mercado, neste caso o valor da opo seria 0.

= 0

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 5

Exemplificando o funcionamento das opes de venda

vendida uma opo de venda da ao PETR4. A opo confere o direito de compra de vender uma

ao PETR4 pelo valor de R$ 10,00, no dia 21/abr/2014.

Assim teremos o seguinte, se na data de exerccio a cotao da ao estiver abaixo de R$ 10,00 isso

significa que o dono da opo pode exercer o seu direito vendendo uma ao de PETR4 por R$ 10,00

(mais que o valor de mercado) e depois recomprar a ao menos de R$ 10,00 (atual valor de mercado).

Assim, neste caso, na data de exerccio o valor da opo seria

=

Agora imaginemos que na data de exerccio o preo de mercado da ao PETR4 esteja acima de R$

10,00. Ento no faz sentido exercer a opo e vender PETR4 por R$ 10,00 (menos que o seu valor de

mercado). Neste caso o valor da opo seria 0.

Opes europeias e americanas

O nosso modelo tratar basicamente de opes europeias. Nesta modalidade o detentor da opo pode

exercer o seu direito apenas na data de exerccio. Por outro lado existe a modalidade chamada opes

americanas, onde o detentor da opo pode exercer o seu direito a qualquer momento, at a data em

que a opo expira.

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 6

3 Breve Explicao do funcionamento das opes no Brasil

O cdigo de uma opo

Toda opo designada atravs de um cdigo. O entendimento desse cdigo um meio de saber as

principais caractersticas de uma opo (preo de exerccio, ativo objeto, etc). Opes da BM&F

possuem cdigos com uma estrutura diferente das transacionadas na Bovespa, dessa forma dedicamos

um tpico para cada um destes mercados.

Cdigo de opes da Bovespa

As opes, na Bovespa, possuem cdigos compostos por 7 caracteres. Um exemplo tornar o

entendimento mais fcil

PETRD12

PETR

Os quatro primeiros caracteres indicam o ativo objeto. Neste caso temos uma opo de aes da

Petrobrs. Vale mencionar que o cdigo da opo no indica que a ao em questo preferencial ou

ordinria.

D

O quinto caractere indica duas coisas. Primeiro, se esta uma opo de compra ou venda; segundo, o

ms de vencimento da opo. A tabela abaixo traduz o significado de qualquer caractere nesta posio

(quinto caractere):

Opo de compra

Opo de venda

JANEIRO A M

FEVEREIRO B N

MARO C O

ABRIL D P

MAIO E Q

JUNHO F R

JULHO G S

AGOSTO H T

SETEMBRO I U

OUTUBRO J V

NOVEMBRO K W

DEZEMBRO L X

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 7

importante lembrar que na Bovespa o vencimento de toda opo sempre ocorre na terceira

segunda-feira de cada ms. Assim, D significa que esta uma opo de compra que vencer na

terceira segunda-feira de Maio. Alm disso, o cdigo de opes da Bovespa o ano de vencimento.

13

Por fim, os dois ltimos caracteres indicam o preo de exerccio da opo (strike). Neste caso temos

um Strike de R$ 13,00.Deve-se adicionar que nem sempre o preo de strike da opo o mesmo

representado pelo seu cdigo, isto acontece pois o strike de uma opo pode ser ajustado por uma

gama variada de motivos: distribuies de dividendos, fracionamentos, agrupamentos, entre outros.

Cdigo de opes da BM&F

As opes, na BM&F, possuem cdigos compostos por 13 caracteres. Um exemplo tornar o

entendimento mais fcil

DOLZ15C185000

DOL

Os trs primeiros caracteres indicam qual o ativo objeto, neste caso temos o dlar.

Z

O quarto caractere indica o ms de vencimento. A tabela abaixo traduz o significado de todo possvel

quarto algarismo. Neste caso especfico temos Dezembro como ms de vencimento do contrato.

Opo de compra

JANEIRO F

FEVEREIRO G

MARO H

ABRIL J

MAIO K

JUNHO M

JULHO N

AGOSTO Q

SETEMBRO U

OUTUBRO V

NOVEMBRO X

DEZEMBRO Z

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 8

15

O quinto e o sexto caracteres indicam o ano de vencimento da opo. Neste caso temos um

vencimento em 2015.

C

O stimo caractere indica se esta uma opo de venda ou compra. C significa uma opo de

compra e P uma opo de venda. Neste caso temos uma opo de compra.

185000

O preo de exerccio da opo est representado no oitavo caractere at o dcimo terceiro (ltimo).

Neste caso temos um preo de exerccio de R$ 1850,00.

Comentrios finais

Assim como no caso da Bovespa o preo de exerccio da opo, que est representado no seu cdigo,

pode no permanecer exatamente o mesmo ao longo da vida da opo. Atravs do portal da Bovespa

sempre possvel buscar o preo de exerccio atual de um contrato de opo.

Link: http://www.bmfbovespa.com.br/opcoes/opcoes.aspx?Idioma=pt-br

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4 Hipteses e Premissas do modelo

A existncia de opes permite que para cada ativo seja possvel um investidor utilizar uma estratgia

livre de risco. Esta estratgia baseia-se num portflio que mescla o ativo em questo e sua opo, em

uma determinada proporo.

Como este portflio tem o mesmo risco de um ativo livre de risco, supe-se que o seu retorno seja o

mesmo de um ativo livre de risco. Caso o retorno do ativo livre de risco fosse maior no teria sentido

algum formar tal portflio, e caso o retorno do portflio fosse maior no existiria sentido em algum

investir no ativo livre de risco.

=

O retorno do portflio depende dos retornos da opo e da ao. O retorno da opo, por sua vez,

depende do retorno da ao (pois o valor da opo depende do valor da ao). Isso significa que dada

uma variao na cotao da ao, o valor da opo se move de forma que mantenha a relao

verdadeira

=

Uma segunda concluso disto que a taxa de juros livre de risco uma taxa adequada para calcular

o valor presente de uma opo.

Alm disso, o modelo de Black Scholes uma concluso de um conjunto de premissas, estas podem

so sumarizadas abaixo:

O comportamento do preo da ao corresponde a um modelo lognormal com desvio padro e

mdia constante

No h custos de transao

Todos os ttulos so perfeitamente divisveis

No existe oportunidade de arbitragem

A negociao de ttulos e aes continua

Os investidores podem tomar emprestado ou emprestar recursos mesma taxa de juros livre

de risco

A taxa de juros de curto prazo livre de risco constante

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 10

5 Explicao do Modelo

O preo de uma opo de compra (Call), no modelo Black Scholes, dado pela frmula:

= 1 (2)

Onde

So = preo do ativo objeto

T = tempo at a data de exerccio da opo

r = taxa de juros livre de risco

q = taxa ao ano paga de dividendos pela ao. Isto , a razo entre o valor anual pago em

dividendos pela ao e o seu preo.

A explicao para N(d1) e N(d2) um pouco menos direta. N(X) a funo probabilidade

cumulativa padronizada. N(X) mede a probabilidade de uma varivel com distribuio normal padro

ser menor que X, graficamente temos:

Dessa forma, N(d1) mede essa probabilidade quando X igual a d1, enquanto que N(d2) esta

probabilidade quando X igual a d2.

Alm disso, d1 ed2 so calculados atravs das seguintes frmulas:

1 = ln

0 + +

2

2

2 = 1

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 11

Onde

X = preo de exerccio (strike)

= a volatilidade do preo da ao.

Por outro lado, o preo de uma opo de venda (Put), no modelo Black Scholes, dado pela

frmula:

= 1 + (2)

Ressaltando que os clculos de "1" e 2" so dados pelas mesmas frmulas anteriormente

apresentadas.

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 12

6 Aplicao na planilha

O uso da planilha automatizada simples e intuitivo. Primeiro, ao abrir o arquivo v at a sheet

clculo da opo e ento insira todos os dados requeridos para o clculo de uma opo:

Data de incio e data de vencimento: nestes campos voc deve inserir a data em que a opo foi

comprada e a data de exerccio desta opo, respectivamente. Em caso de maiores dvidas, sobre

como descobrir a data de exerccio de uma opo (a sua data de vencimento), o captulo 3 deste

manual traz uma rpida e simples explicao.

Opo Call ou PUT: neste campo o usurio deve escolher se est precificando uma opo de compra

(Call) ou de venda (Put). Em caso de dvidas o captulo 2 aborda de forma didtica a distino entre

estes tipos de opes.

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 13

Volatilidade: neste campo deve ser inserido o desvio padro dos retornos do ativo a quem a opo

se refere. Se for uma opo de compra da ao PETR4, deve ser inserido o desvio padro anual deste

ativo (em percentual).

Taxa livre de risco: deve-se inserir a taxa de juros de um ativo livre de risco. importante ressaltar

que a taxa deve estar expressa ao ano e deve ser inserida na forma percentual.

Taxa de dividendos da ao: neste campo deve ser inserida a razo, em porcentagem, entre o

quanto a ao paga em dividendos ao ano e o seu preo.

Preo do ativo objeto: o campo mais fcil. Simplesmente o preo atual do ativo que serve de

referncia para a opo. Deve ser inserido em reais.

Preo de exerccio: o strike da opo. Se for uma opo de compra, indica por quanto o detentor

da opo ter o direito de comprar o ativo objeto na data de exerccio. O preo de exerccio da opo

decidido no momento de emisso da opo, podendo mudar posteriormente. Este dado deve ser

inserido em reais.

Preo da opo: depois de inserir todos os dados necessrios para a precificao da opo, segundo

este modelo, a planilha retornar, neste espao, o preo o qual o modelo avalia a opo. A concluso

seria a seguinte, opes com preo abaixo do calculado aqui estariam subavaliadas, opes com

preo acima do calculado aqui estariam superavaliadas.

Manual de aplicao Modelo Black Scholes Pgina 14

7 Apndice

No apndice constam alguns comentrios adicionais sobre o modelo de precificao utilizado,

especialmente interessante para aqueles que desejarem se aprofundar no assunto. A sua leitura no

necessria para o uso da planilha de precificao.

Clculo de dias teis

Uma dvida que sempre surge quando se trabalha com taxa de juros o clculo de dias teis. A

planilha faz essa contagem usando o mtodo inclusive e inclusive, isto , o primeiro e o ltimo dia

(dia de compra e do exerccio) so contados como dias em que a taxa de juros render.

Vale lembrar que o usurio da planilha pode ter em mente uma taxa de juros que faz contagem de dias

teis de outra forma. Um exemplo seria a LTN, que faz o clculo de dias teis com a regra inclusive e

exclusive, ou seja, conta o dia de compra mas no conta o dia de exerccio. Nesse caso a planilha

faria o clculo contando 1 dia a mais, para reverter a situao basta o usurio colocar adiantar a data de

vencimento da opo em 1 dia.