Movimentos complexos - Guia do professor.indd

of 29 /29
Software Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação Secretaria de Educação a Distância Guia do professor números e funções requisitos de software Navegador moderno (Internet Explorer 7.0+ ou Firefox 3.0+), Adobe Flash Player 9.0+ e máquina Java 1.5+. restrições de acessibilidade Este software não possui recurso nativo de alto contraste nem possibilita navegação plena por teclado. licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Movimentos complexos Objetivos da unidade 1. Estudar o efeito da translação, rotação, dilatação e contração no plano complexo; 2. Aplicar os conceitos e propriedades de número complexo; 3. Utilizar as propriedades geométricas das operações de números complexos.

Embed Size (px)

Transcript of Movimentos complexos - Guia do professor.indd

  • Software

    Ministrio da Cincia e Tecnologia

    Ministrio da Educao

    Secretaria de Educao a Distncia

    Guia do professor

    nmeros e funes

    requisitos de software Navegador moderno (Internet Explorer 7.0+ ouFirefox 3.0+), Adobe Flash Player 9.0+ e mquina Java 1.5+.restries de acessibilidade Este software no possui recurso nativo de alto contraste nem possibilita navegao plena por teclado.licena Esta obra est licenciada sob uma licena Creative Commons

    Movimentos complexos

    Objetivos da unidade1. Estudar o efeito da translao, rotao, dilatao e contrao

    noplano complexo;2. Aplicar os conceitos e propriedades de nmero complexo;3. Utilizar as propriedades geomtricas das operaes de nmeros

    complexos.

  • Guia do professor

    SinopseNeste software, utilizando o conceito e propriedades de nmeros comple-xos, so estudadas as transformaes de translao, rotao, dilatao econtrao no plano complexo. O estudo realizado por meio da anlise do efeito dessas transformaes em tringulos e, em especial, so utiliza-das as interpretaes geomtricas das operaes de nmeros complexos.

    Contedos Transformaes: translao, rotao, dilatao e contrao; Nmeros complexos: operaes e propriedades;

    Objetivos1. Estudar o efeito da translao, rotao, dilatao e contrao no plano

    complexo;2. Aplicar os conceitos e propriedades de nmero complexo;3. Utilizar as propriedades geomtricas das operaes de nmeros complexos.

    DuraoUma aula dupla.

    Recomendao de usoSugerimos que as atividades sejam realizadas em duplas e que os alunos levem lpis e papel para a sala de informtica.

    Material relacionado Experimento: Transformaes de Mbius. Vdeo: Um sonho complexo.

    Movimentos complexos

  • Movimentos complexos

    Introduo

    As transformaes geomtricas constituem ferramentas importantes em geometria facilitando a resoluo de vrios problemas. O objetivo des-se software o estudo das transformaes geomtricas de translao, rotao, dilatao e contrao utilizando o conceito, operaes, proprie-dades e interpretao geomtrica das operaes de nmeros complexos. Sobretudo, so exploradas as relaes entre as operaes com nmeros complexos e as transformaes geomtricas no plano. Sendo assim, a pro posta constitui uma motivao para o estudo dos nmeros complexos adequada para o desenvolvimento no Ensino Mdio.

    O software

    Estrutura do software

    O software Movimentos Complexos composto por uma atividade e um desafio, sendo que este ltimo pode gerar novos desafios aleatoriamente enquanto o usurio desejar.

  • Guia do professor 2 / 15

    A Atividade 1 cobre todo contedo, enquanto que o desafio explora ocontedo apresentado anteriormente com um grau de dificuldade maior. Fica a cargo do professor decidir como us-lo com seus estudantes.

    1 Os movimentos

    O objetivo desta atividade o estudo da translao, rotao, dilatao e contrao no plano, utilizando o conceito e operaes de nmeros complexos, propriedades e caractersticas geomtricas. Desse modo, conveniente que, antes do incio do software, seja feita com os alunos uma recordao desses tpicos (ver a seo Fechamento deste guia). Esta atividade dividida em 6 partes.

    Parte 1: ApresentaoNa parte 1 apresentada uma ilustrao com dois tringulos de vrtices os nmeros complexos A, B, C e A, B, C, respectivamente. O tringulo ABC fixo e o tringulo ABC obtido a partir do tringulo ABC e de dois nmeros complexos Z1 e Z2, da forma descrita a seguir. O vrtice A obtido multiplicando-se A por Z1 e ao resultado o nmero complexo Z2 somado. Ou seja, A=A Z1+Z2. No software, este proce-dimento denotado por A=A Z1+Z2 . De modo anlogo so obtidos os vrtices B e C.

    tela 1 Mapa do software.

    ATIVIDADE

  • Movimentos complexos

    O aluno pode variar os nmeros complexos Z1 e Z2, e o software auto maticamente apresenta na tela o tringulo ABC. Sugerimos que os alunos sejam orientados a calcular os nmeros complexos A, B, C utilizando o procedimento descrito anteriormente e comparar com os va-lores apresentados pela ferramenta. Inclusive aconselhvel que estes nmeros sejam analisados via a interpretao geomtrica das operaes dos nmeros complexos. Enfim, o objetivo desta parte a familiarizao com a ferramenta.

    Parte 2: RotaoNa parte 2 o nmero complexo Z2 igual a 0+0i e Z1 pode variar em uma circunferncia de centro na origem e raio igual a 1. Assim, o nmero complexo Z1 tem mdulo 1 e seu argumento varia. Sendo 1 o argumento de Z1 e Z um nmero complexo qualquer de mdulo r e argumento , opro-duto Z Z1 tem mdulo re argumento +1. Assim, o nmero com ple xo Z Z1 a rotao de ngulo 1 do nmero complexo Z. Emparticular, isto ocorre com os pontos do tringulo ABC. Portanto, o tringulo ABC arotao de ngulo 1 do tringulo ABC. Ao variar Z1 na circunferncia podemos observar o tringulo ABCgirando em volta da origem do plano complexo.

    A rotao preserva distnciasPara justificar que a rotao preserva distncias, vamos utilizar a forma trigonomtrica de nmeros complexos e a identificao de um nmero complexo com um par ordenado. Sejam os nmeros complexos

    A= ra(cosa+ isena) e B= rb(cosb+ isenb).

    Para um dado nmero complexo Z1 na circunferncia de centro na origem e raio igual a 1, sendo seu argumento, temos

    Z1= cos+ isen.

    Assim, como A=AZ1 e B=BZ1, segue que

    A= ra[cos(a+)+ isen(a+)] e B= rb[cos(b+)+ isen(b+)],

  • Guia do professor 3 / 15

    que so identificados com os pares ordenados

    (ra cos(a+),ra sen(a+)) e (rb cos(b+),rb sen(b+)),

    respectivamente. Assim, usando a frmula da distncia entre dois pontos no plano, a distncia entre A e B, denotada por d(AB)

    d(AB) =

    =[ra cos(a+)rb cos(b+)]2+[ra sen(a+)rb sen(b+)]2

    Usando as identidades de cosseno e seno da soma de ngulos chegamosa

    d(AB) =[ra cosarb cosb]2+[ra senarb senb]2 .

    Assim, d(AB) =d(AB), ou seja, a rotao preserva distncias.

    Uma funo do plano no plano que preserva distncias chamada iso-metria. Assim, as rotaes so isometrias.

    Algumas propriedades da rotaoUtilizando o fato das rotaes preservarem distncias, podem ser pro-vados os seguintes resultados: as rotaes transformam retas em retas, segmentos em segmentos congruentes, retas perpendiculares em retas perpendiculares, retas paralelas em retas paralelas, ngulos em ngulos congruentes. (ver Isometrias. E. L. Lima). Sugerimos que, utilizando o soft-ware gratuito GeoGebra (www.geogebra.org), sejam elaboradas algumas atividades simples para que os alunos constatem visualmente esses resul-tados. Neste software muito fcil utilizar o recurso rotao. A rotao em torno da origem de uma reta r que passa pela origem uma reta r que tambm passa pela origem. Alm disso, se A um ponto em r, distinto da origem O, a medida do ngulo AOA igual medida do ngulo da rotao 1, onde 1 o argumento do nmero complexo Z1.

    Definio

  • Movimentos complexos

    Se a reta r no passa pela origem, a rotao de ngulo 1 em torno da origem, para 1 distinto de 180 e de 360, uma reta r que no passa pela origem e as duas retas, r e r, so concorrentes em um ponto X dis-tinto da origem. De fato, considerando a reta s paralela a r passando pela origem e lembrando que a rotao transforma retas paralelas em retas paralelas, as retas s e r so paralelas, onde s e r so as rotaes de s e r, respectivamente. Como s no paralela a s, pois tambm passa pela origem e distinta de s (1 diferente de 180 e de 360), a reta r tambm no paralela a r. Portanto, r no passam pela origem e as retas r e r so concorrentes em um ponto X distinto da origem.

    A seguir vamos analisar os ngulos determinados pelas retas r e rquando r no passa pela origem. Em X as retas r e r determinam dois pares de ngulos congruentes opostos pelo vrtice, assim como, em O ocorre o mesmo com as retas s e s. Podemos observar as relaes entre esses ngulos na ilustrao seguinte.

    rr

    s

    x

    s

    O

    fig. 1

  • Guia do professor 4 / 15

    O prximo objetivo ver a relao desses ngulos e o ngulo de rotao 1. Essa relao depende do valor de 1, ou seja, do argumento do nmero complexo Z1.

    rr

    s

    x

    s

    O

    fig. 2

    O

    1Z

    fig. 3

  • Movimentos complexos

    Podemos resumir em quatro situaes ilustradas a seguir. Em cada uma delas tambm est representado o nmero complexo Z1.

    1. 0< 1 90O ngulo de vrtice a origem destacado na ilustrao determinado pelas retas s e s 1 e, como r e s so paralelas, assim como, as retas r e s, ongulo de vrtice X tambm destacado 1. Enfi m, o ngulo de vrtice X destacado na ilustrao tem medida igual ao argumento de Z1.

    rr

    s

    x

    s Z

    O 1

    Z

    O

    fig. 4

  • Guia do professor 5 / 15

    2. 90< 1 < 180De modo anlogo, os ngulos destacados na ilustrao tm medidas iguais ao argumento de Z1.

    r

    rs

    x

    sZ

    O

    O 1

    Z

    fig. 5

  • Movimentos complexos

    3. Idem para 180< 1 270. Os ngulos marcados tm medidas iguais ao argumento de Z1.

    r

    r

    s

    x

    s

    Z

    O

    O

    Z1

    fig. 6

  • Guia do professor 6 / 15

    4. Idem para 180< 1 270. Os ngulos marcados tm medidas iguais ao argumento de Z1.

    Parte 3: DilataoO nmero complexo a+0i, ou seja, o nmero complexo cuja parte imagi-nria igual a zero, identifi cado com o nmero real a. Esta identifi cao permite considerar os nmeros reais como um subconjunto dos nmeros complexos. Na parte 3 o nmero Z1 pode variar entre os nmeros reais positivos e diferente de 1. Ou seja, a parte imaginria igual a zero e a parte real, r1, positiva e diferente de 1. O nmero complexo Z2 fi xo e igual a 0+0i.

    r

    r

    s

    x

    s

    Z

    O

    O 1

    Z

    fig. 7

  • Movimentos complexos

    Sendo Z1= r1, Z2= 0+0i e Z um nmero complexo qualquer, com argumento e mdulo r, o nmero complexo Z=ZZ1+Z2=Z Z1 o nmero complexo de argumento e mdulo rr1. Assim, cada nmero complexo Z do plano complexo transformado no nmero complexo Z de mesmo argumento e de mdulo igual ao mdulo de Z multiplicado por r1. Se Z1= r1 > 1 a transformao Z=Z Z1 denominada dilatao, com fator de dilatao r1.

    O 1

    Z

    Z = Z Zr r

    r

    Z

    fig. 8

    Z= r(cos+ isen)

    Z=ZZ1= rr1(cos+ isen)

    Dilatao

  • Guia do professor 7 / 15

    Se Z1= r1 com 0< r1 < r, a transformao Z=Z Z1 denominada contrao, com fator de contrao r1.

    Em particular, para o tringulo ABC temos:

    A=AZ1+Z2=AZ1

    B=BZ1+Z2 =BZ1

    C=CZ1+Z2 =CZ1

    O mesmo acontece com os demais pontos do tringulo. A fi gura a seguir ilustra a imagem ABC do tringulo ABC pela transformao Z=Z Z1.

    O 1

    Z = Z Z

    Zr

    Z

    r r

    fig. 9

    Z= r(cos+ isen)

    Z=ZZ1= rr1(cos+ isen)

    contrao

  • Movimentos complexos

    Note que os pontos O, A e A so colineares, assim como, os pontos O, B e B so colineares e, tambm, os pontos O, C e C.

    Distncia entre pontosSejam os nmeros complexos

    A= ra(cosa+ isena) e B= rb(cosb+ isenb).

    Como A=AZ1 e B=BZ1, segue que

    A= rar1(cosa+ isena) e B= rbr1(cosb+ isenb),

    que so identifi cados com os pares ordenados

    (rar1 cosa,rar1 sena) e (rbr1 cosb,rbr1 senb),

    respectivamente. Assim, a distncia entre A e B, denotada por d(AB)

    d(AB) =(rar1 cosarbr1 cosb)2+(rar1 senarbr1senb)2 .

    O 1

    B

    CA

    A = A Z

    B = B Z

    C = C Z

    Z

    fig. 10

  • Guia do professor 8 / 15

    Assim,

    d(AB) = r1(ra cosarb cosb)2+(ra senarb senb)2 .

    Portanto, d(AB) = r1 d(AB), ou seja, a distncia entre os pontos AeB igual r1 multiplicado pela distncia entre A e B.

    Consequncias A medida do segmento AB igual a r1 multiplicado pela medida do seg-

    mento AB. Para o tringulo ABC e seu transformado ABC valem as seguintes rela-

    es entre as medidas de seus lados:

    ABAB

    =BCBC

    =ACAC

    = r1.

    Assim, pelo caso LLL de semelhana de tringulos, os tringulos ABC e ABC so semelhantes com razo de semelhana r1.

    Parte 4: Rotao e dilataoNesta parte, o aluno poder variar livremente o nmero complexo Z1 e onmero complexo Z2 permanecer fi xo na origem. Esperamos que oaluno perceba que a transformao sofrida pelo tringulo a composio de uma rotao e de uma dilatao ou contrao. Sendo Z1 de argumento 1 e mdulo r1, para qualquer nmero com-plexo Z de argumento e mdulo r, o nmero complexo Z, defi nido por Z=ZZ1+Z2=Z Z1 , tem argumento +1 e mdulo rr1. Assim, Z arotao de 1 de Z, seguida de uma dilatao ou contrao de fator r1.

  • Movimentos complexos

    Com isso, podemos concluir que o tringulo ABC obtido por meio da rotao de ngulo 1 seguido da dilatao, se r1 > 1, (ou contrao, se0< r1 < 1) do tringulo ABC com fator igual a r1.

    O 1

    Z

    Z

    + Z

    r r

    r

    r

    fig. 11 Composio de rotao e dilatao

    O

    B

    CA

    Z

    1

    A = A Z

    B = B Z

    C = C Z

    fig. 12 Composio de rotao e contrao.

    Z= r(cos+ isen)

  • Guia do professor 9 / 15

    Parte 5: TranslaoNas questes desta parte, o nmero complexo Z1 mantido fi xo igual a1+0i e Z2 pode ser qualquer valor diferente de 0+0i. Sendo Z2=a+bi , para qualquer nmero complexo Z= x+ iy, o nmero complexo Z, defi nido por Z=ZZ1+Z2, a translao de Z na direo e sentido do vetor correspondente ao nmero complexo Z2, pois Z=(x+ iy)(1+0i)+(a+bi)= (x+a)+(y+b)i.

    Z

    A = A Z

    B = B ZC = C Z

    B

    CA

    O 1

    fig. 13

  • Movimentos complexos

    Assim, para Z1= 1+0i e Z2=a+bi, onde (a,b) =(0,0), o tringulo ABC, com A=AZ1+Z2, B=BZ1+Z2 e C=CZ1+Z2, a translao do tringulo ABC na direo e sentido do vetor correspondente ao nmero complexo Z2.

    O Z

    Z

    x

    b

    y

    y+b

    Z

    Z

    a x+a

    fig. 14

  • Guia do professor 10 / 15

    Parte 6: Mos a obra!Nas questes desta parte so apresentados dois tringulos ABC e DEF, sendo que DEF obtido a partir de ABC por meio de uma nica transformao: ou rotao; ou dilatao (ou contrao); ou translao. O aluno deve descobrir, inicialmente por meio da visualizao, qual a transformao. A seguir, deve movimentar os pontos Z1 e Z2 para descobrir seus valores para que tal transformao ocorra. Para realizar as questes, preciso ter em mente as concluses obtidas nas partes anteriores, a saber:

    Se o mdulo de Z1 igual a 1 e Z2= 0+0i ocorre uma rotao em torno da origem do tringulo. Alm disso, o ngulo de rotao igual ao argumento de Z1.

    Se Z1 um nmero real positivo, diferente de 1, e Z2= 0+0i ocorre uma dilatao (ou contrao) do tringulo.

    Se Z1= 1+0i e Z2=a+bi, com (a,b) =(0,0), ocorre uma translao do tringulo. A translao ocorre na direo e sentido do vetor correspondente ao nmero complexo Z2.

    O Z

    Zb

    A

    A

    B

    B

    C

    C

    a

    fig. 15

  • Movimentos complexos

    Por exemplo, a ilustrao a seguir apresenta dois tringulos. Percebemos facilmente que o tringulo azul no obtido por meio de uma dilatao (ou contrao) a partir do amarelo e, tambm, no obtido por meio de uma translao. Por outro lado, possvel perceber que uma rotao trans-formar o amarelo no azul.

    Para descobrir os valores de Z1 e Z2, movimentamos estes pontos at que o tringulo pontilhado se sobreponha ao tringulo azul. No caso de rotao, convm lembrar-se que Z2 deve coincidir com a origem e Z1 deve ter mdulo 1. Assim, deixamos Z2 na origem e movimentamos o ponto Z1 fazendo-o percorrer bem prximo aos pontos de mdulo 1 (pontos na circunferncia de raio 1 e centro na origem) at que o tringulo pontilhado coincida com o tringulo azul. Em geral, no software, isto conseguido de modo aproximado, como mostra a ilustrao a seguir. preciso fazer coincidir o mximo possvel os dois tringulos.

    tela 2

  • Guia do professor 11 / 15

    Lembrando que A=AZ1+Z2, B=BZ1+Z2 e C=CZ1+Z2, e con-siderando os valores para Z1 e Z2 encontrados pelos alunos, cujas formas trigonomtricas aparecem na ferramenta, sugerimos que o professor orien-te os alunos a comparar as transformaes visualizadas na ferramenta com as interpretaes geomtricas das operaes com nmeros complexos.

    Desafio

    No desafio so apresentados dois tringulos ABC e DEF, sendo que DEF obtido a partir de ABC por meio de uma transformao que uma com-posio de algumas das transformaes estudadas na atividade1. Oaluno deve descobrir a transformao que leva o tringulo ABC no tringulo DEF movimentando os pontos Z1 e Z2. Convm primeiro movimentar o ponto Z1, deixando Z2 na origem, para descobrir a rotao e dilatao (ou contrao) envolvidas, caso existam, e, depois, movimentar o Z2 no caso de ocorrer alguma translao.

    tela 3

  • Movimentos complexos

    Depois de encontrar os valores para Z1 e Z2, sugerimos que o professor oriente os alunos a descrever as transformaes envolvidas. Para isso, devem utilizar a forma trigonomtrica de Z1 e a forma algbrica de Z2, que aparecem no canto superior esquerdo da ferramenta, e, tambm, asinterpretaes geomtricas das operaes de nmeros complexos.

    Fechamento

    Na aula anterior ao uso do software, sugerimos que seja feita uma recorda-o do conceito de nmeros complexos e suas operaes. Especial ateno deve ser dada as interpretaes geomtricas dessas operaes.

    Nmeros ComplexosO nmero complexo z= x+yi pode ser representado em um plano carte-siano pelo ponto P(x,y) e, tambm, pelo vetor com ponto inicial na origem e ponto fi nal em P. O plano em que os nmeros complexos so representados chamado plano complexo ou plano de Argand-Gauss.

    O

    yP(x,y)z = x + yi

    x

    Im

    Re

    fig. 16

  • Guia do professor 12 / 15

    A soma de nmeros complexosA soma dos nmeros complexos z1= x1+y1i e z2= x2+y2i defi nida por

    z1+z2=(x1+x2)+(y1+y2)i.

    Interpretao geomtrica da soma de nmeros complexosA soma z1+z2 corresponde ao ponto (x1+x2,y1+y2) e, tambm, aovetor com ponto inicial na origem e ponto fi nal em (x1+x2,y1+y2). Assim, o nmero complexo z1+z2 representado pela soma dos vetores que representam z1 e z2, como mostra a fi gura.

    O produto de nmeros complexosSejam r e as coordenadas polares do ponto representando z= x+yi, como na fi gura, onde r 0. O nmero r chamado o mdulo de z e o argumento. Geometricamente, o ngulo de inclinao do vetor repre-sentando o nmero complexo z e r o comprimento do vetor.

    O

    Im

    Rex

    y

    y + y

    z

    z + z

    x + xx

    zy

    fig. 17

  • Movimentos complexos

    Assim, x= rcos, y= rsen, r=x2+y2 e z= r(cos+ isen),

    com r 0.

    Expresso trigonomtrica para o produto de nmeros complexosPara encontrar a expresso do produto de z1= r1(cos1+ isen1) e z2= r1(cos2+ isen2), fazemos:

    z1 z2= r1(cos1+ isen1) r2(cos2+ isen2)= r1 r2[(cos1 cos2sen1 sen2)+ i(cos1 sen2+sen1 cos2)]= r1 r2[cos(1+2)+ isen(1+2)].

    A expresso para o produto dos nmeros complexos z1= r1(cos1+ isen1) e z2= r2(cos2+ isen2)

    z1 z2= r1 r2[cos(1+2)+ isen(1+2)].

    Interpretao geomtrica do produto de nmeros complexosPela expresso para o produto obtemos que o mdulo do produto oproduto dos mdulos, ou seja, r1 r2, e o argumento do produto a

    O x

    zyIm

    Re

    fig. 18

    Produto de nmeros complexos

  • Guia do professor 13 / 15

    soma dos argumentos, ou seja, 1+2. Geometricamente, a distncia do ponto representando o nmero complexo z1 z2 at a origem igual a r1 r2, ou seja, igual ao produto das distncias dos pontos representando z1 e z2 origem. Alm disso, o ngulo de inclinao do produto a soma dos ngulos 1 e 2, conforme fi gura.

    Sugerimos que, ao trmino de cada uma das partes de 2 a 6 da ativi-dade1, o professor comente com os alunos sobre os resultados obtidos nas questes e enfatize a relao entre as operaes com nmeros complexos envolvidas em cada parte e a correspondente transformao geomtrica. O mesmo convm ser feito aps a realizao da parte 2 do desafi o.

    ORe

    Im

    Z

    r Z

    r

    +

    r r

    Z Z

    fig. 19

  • Movimentos complexos

    Bibliografia

    E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner, A. C. Morgado. A Matemtica do Ensino Mdio, Vol. 3, Coleo do Professor de Matemtica, (3 Edio). Rio de Janeiro: sbm, 2000.

    E. L. Lima com a colaborao de P. C. P. Carvalho. Coordenadas no Plano. Coleo do Professor de Matemtica, (5 Edio). Rio de Janeiro: sbm, 2005.

    E. L. Lima. Isometrias. Coleo do Professor de Matemtica. Rio de Janeiro: sbm, 1996.

  • Guia do professor 14 / 15

  • Ficha tcnica

    Ministrio da Cincia e Tecnologia

    Ministrio da Educao

    Secretaria de Educao a Distncia

    Matemtica MultimdiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de SoftwareLeonardo BarichelloCoordenador de ImplementaoMatias Costa

    Instituto de Matemtica, Estatstica e Computao Cientfica (imecc unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

    Universidade Estadual deCampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPr-Reitor de Ps-GraduaoEuclides de Mesquita Neto

    licena Esta obr est licenciada sob uma licena Creative Commons

    AutoraClaudina Izepe Rodrigues

    Reviso do contedoSamuel Rocha de Oliveira

    Projeto grfico e ilustraestcnicasPreface Design IlustradorLucas Ogasawara