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Método de Lagrange
Laura Goulart
UESB
14 de Março de 2019
Laura Goulart (UESB) Método de Lagrange 14 de Março de 2019 1 / 8
Considere os seguintes polinômios chamados de polinômios de Lagrange:
Li (x) =(x − x0)(x − x1) · · · (x − xi−1)(x − xi+1) · · · (x − xn)
(xi − x0)(xi − x1) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn).
Observemos que Li (xi ) = 1 e Li (xj) = 0,∀i 6= j .
Tomemos q(x) =n∑
i=0
f (xi ) · Li (x) e segue que q(xj) = f (xj).
Portanto, pela unicidade do polinômio interpolador temos que
pn(x) =n∑
i=0
f (xi ) · Li (x).
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Considere os seguintes polinômios chamados de polinômios de Lagrange:
Li (x) =(x − x0)(x − x1) · · · (x − xi−1)(x − xi+1) · · · (x − xn)
(xi − x0)(xi − x1) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn).
Observemos que Li (xi ) = 1 e Li (xj) = 0,∀i 6= j .
Tomemos q(x) =n∑
i=0
f (xi ) · Li (x) e segue que q(xj) = f (xj).
Portanto, pela unicidade do polinômio interpolador temos que
pn(x) =n∑
i=0
f (xi ) · Li (x).
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Considere os seguintes polinômios chamados de polinômios de Lagrange:
Li (x) =(x − x0)(x − x1) · · · (x − xi−1)(x − xi+1) · · · (x − xn)
(xi − x0)(xi − x1) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn).
Observemos que Li (xi ) = 1 e Li (xj) = 0,∀i 6= j .
Tomemos q(x) =n∑
i=0
f (xi ) · Li (x) e segue que q(xj) = f (xj).
Portanto, pela unicidade do polinômio interpolador temos que
pn(x) =n∑
i=0
f (xi ) · Li (x).
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Considere os seguintes polinômios chamados de polinômios de Lagrange:
Li (x) =(x − x0)(x − x1) · · · (x − xi−1)(x − xi+1) · · · (x − xn)
(xi − x0)(xi − x1) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn).
Observemos que Li (xi ) = 1 e Li (xj) = 0,∀i 6= j .
Tomemos q(x) =n∑
i=0
f (xi ) · Li (x) e segue que q(xj) = f (xj).
Portanto, pela unicidade do polinômio interpolador temos que
pn(x) =n∑
i=0
f (xi ) · Li (x).
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Considere os seguintes polinômios chamados de polinômios de Lagrange:
Li (x) =(x − x0)(x − x1) · · · (x − xi−1)(x − xi+1) · · · (x − xn)
(xi − x0)(xi − x1) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn).
Observemos que Li (xi ) = 1 e Li (xj) = 0,∀i 6= j .
Tomemos q(x) =n∑
i=0
f (xi ) · Li (x) e segue que q(xj) = f (xj).
Portanto, pela unicidade do polinômio interpolador temos que
pn(x) =n∑
i=0
f (xi ) · Li (x).
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Exemplo
Vamos novamente resolver o problema da fábrica.
0 2
2 3
5 4
9 1
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Fenômeno de Runge
Nem sempre temos conhecimento, a priori, do grau adequado para o
polinômio interpolador a �m de obtermos uma melhor aproximação para o
valor não tabelado. Um teste razoável consiste em aumentar o número de
nós e ver se houve ou não melhoria nas aproximações.
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Consideremos a função f (x) =1
1+ 25x2e vamos interpolá-la no intervalo
[−1, 1] e procurar uma melhor aproximação para f (0, 89) .
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Número de nós f (0, 89)
5 -0,05
10 13,02
20 24,65
25 4,40
26 -233,67
27 -6,75
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Número de nós f (0, 89)
5 -0,05
10 13,02
20 24,65
25 4,40
26 -233,67
27 -6,75
Laura Goulart (UESB) Método de Lagrange 14 de Março de 2019 6 / 8
Número de nós f (0, 89)
5 -0,05
10 13,02
20 24,65
25 4,40
26 -233,67
27 -6,75
Laura Goulart (UESB) Método de Lagrange 14 de Março de 2019 6 / 8
Número de nós f (0, 89)
5 -0,05
10 13,02
20 24,65
25 4,40
26 -233,67
27 -6,75
Laura Goulart (UESB) Método de Lagrange 14 de Março de 2019 6 / 8
Número de nós f (0, 89)
5 -0,05
10 13,02
20 24,65
25 4,40
26 -233,67
27 -6,75
Laura Goulart (UESB) Método de Lagrange 14 de Março de 2019 6 / 8
Número de nós f (0, 89)
5 -0,05
10 13,02
20 24,65
25 4,40
26 -233,67
27 -6,75
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Ao aumentar o número de nós, em vez de obtermos uma melhor
aproximação, vamos obter maus resultados. Esse é o chamado fenômeno
de Runge.
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Observações Finais
Vantagem
O método de Lagrange nos fornece as fórmulas para a integraçãonumérica.
Desvantagem
É possível obter este polinômio com menos operações aritméticas.Se os nós utilizados na interpolação forem alterados em número e/ouposição, os polinômios de Lagrange construidos anteriormente nãopodem ser aproveitados.Pode ocorrer o fenômeno de Runge.
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Observações Finais
Vantagem
O método de Lagrange nos fornece as fórmulas para a integraçãonumérica.
Desvantagem
É possível obter este polinômio com menos operações aritméticas.Se os nós utilizados na interpolação forem alterados em número e/ouposição, os polinômios de Lagrange construidos anteriormente nãopodem ser aproveitados.Pode ocorrer o fenômeno de Runge.
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Observações Finais
Vantagem
O método de Lagrange nos fornece as fórmulas para a integraçãonumérica.
Desvantagem
É possível obter este polinômio com menos operações aritméticas.
Se os nós utilizados na interpolação forem alterados em número e/ouposição, os polinômios de Lagrange construidos anteriormente nãopodem ser aproveitados.Pode ocorrer o fenômeno de Runge.
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Observações Finais
Vantagem
O método de Lagrange nos fornece as fórmulas para a integraçãonumérica.
Desvantagem
É possível obter este polinômio com menos operações aritméticas.Se os nós utilizados na interpolação forem alterados em número e/ouposição, os polinômios de Lagrange construidos anteriormente nãopodem ser aproveitados.
Pode ocorrer o fenômeno de Runge.
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Observações Finais
Vantagem
O método de Lagrange nos fornece as fórmulas para a integraçãonumérica.
Desvantagem
É possível obter este polinômio com menos operações aritméticas.Se os nós utilizados na interpolação forem alterados em número e/ouposição, os polinômios de Lagrange construidos anteriormente nãopodem ser aproveitados.Pode ocorrer o fenômeno de Runge.
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