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ÍNDICE ÍNDICE.......................................................1 INTRODUÇÃO...................................................2 8 a Classe.................................................... 3 1. Equações................................................ 3 1.1. Noção de equações....................................3 1.2. Resolução de equações................................4 1.3. Equações lineares a uma incógnita....................6 1.4. Classificação de equações............................7 1.5. Equações literais....................................8 2. Sistema de duas equações lineares a duas incógnitas.....8 2.1. Resolução de siatemas de equações lineares...........9 2.2. Classificação dos sistemas de equações..............12 2.3. Resolução de problemas conducentes a sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas....................13 3. Funções Lineares.......................................13 3.1. Conceito de função..................................14 3.2.Variável dependente e variável independente..........14 3.3. Modos de definir uma função.........................14 3.4. Classificação de aplicações ( funções)..............15 3.5. Função linear.......................................15 10 a Classe...................................................17 1. Funções quadráticas....................................17 1.1. Função do tipo ...............................18 1.2. Função do tipo .............................18 1.3. Função do tipo .........................19 2. Funções trigonométricas................................20 1

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ÍNDICE

ÍNDICE.....................................................................................................................................1

INTRODUÇÃO.........................................................................................................................2

8a Classe.....................................................................................................................................3

1. Equações............................................................................................................................3

1.1. Noção de equações.....................................................................................................3

1.2. Resolução de equações...............................................................................................4

1.3. Equações lineares a uma incógnita.............................................................................6

1.4. Classificação de equações...........................................................................................7

1.5. Equações literais.........................................................................................................8

2. Sistema de duas equações lineares a duas incógnitas........................................................8

2.1. Resolução de siatemas de equações lineares..............................................................9

2.2. Classificação dos sistemas de equações...................................................................12

2.3. Resolução de problemas conducentes a sistemas de duas equações lineares com

duas incógnitas.................................................................................................................13

3. Funções Lineares.............................................................................................................13

3.1. Conceito de função...................................................................................................14

3.2.Variável dependente e variável independente...........................................................14

3.3. Modos de definir uma função...................................................................................14

3.4. Classificação de aplicações ( funções).....................................................................15

3.5. Função linear............................................................................................................15

10a Classe.................................................................................................................................17

1. Funções quadráticas.........................................................................................................17

1.1. Função do tipo .............................................................................................18

1.2. Função do tipo ..........................................................................................18

1.3. Função do tipo ..................................................................................19

2. Funções trigonométricas..................................................................................................20

2.2. Representação gráfica da função ............................................................20

CONCLUSÃO.........................................................................................................................21

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INTRODUÇÃO

O presente trabalho é uma abordagem descritiva de como são tratadas as equações e funções, a nível

da 8a e da 10a Classes, respectivamente. Em relação a 8a classe, focalisou-se a noção e o conceito de

equações, a resolução das mesmas, pelos diferentes métodos. Apresenta-se ainda, problemas

conducentes a equações tanto a uma incógnita assim como a duas incógnitas. Quanto a 10 a Classe,

faz-se a descrição do modo de tratamento das funções quadráticas e trigonómétricas.

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8a Classe

1. Equações

1.1. Noção de equações

Ao se introduzir o estudo de equações pode-se começar por apresentar um problema da vida

prática.

Exemplo:

“O Rafael João pensou num número; adicionou-lhe 3 e obteve 10. Qual foi o número que ele

pensou?”

Para se resolver esse problema, traduz-se em primeiro lugar para a linguagem matemática do

seguinte modo:

Supõe-se que seja x o número em que o Rafael João pensou, então, x + 3 = 10.

Segue-se de imediato com a definição de incógnita e equação. Fala-se dos membros da

equação e dos termos (termo dependente e termo independente). Sem nenhum método

mostra-se que o nómero cujo a soma é 10 quando adiconado a 3 é 7. De seguida apresenta-se

a definição de solução de uma equação e algums exemplos onde se exige que se determine a

solução de algumas equações.

Exemplo: Qual é a solução das seguintes equações.

a) x + 5 = 9 b) x + 8 = 12 c) 3x + 1 = 7 d) x + 2 = 11

Resolução:

a) x + 5 = 9, a solução é 4, pois 4 + 5 = 9

b) x + 8 = 12, a solução é 4, pois 4 + 8 = 12

c) 3x + 1 = 7, 2 é a solução, pois 3(2) + 1 = 7

d) x + 2 = 11, 9 + 2 = 11 logo a solução é 9.

Considera-se as equações das alíneas a) e b) para se falar de equações equivalentes, e dá-se

exercícios que exigem que se escreva uma equação equivalente a uma dada.

Exemplo:

Escreva uma equação qualquer equivalente a equação:

a) x + 2 = 3 b) 3x = 12 c) x +1 = 2x – 1

Resolução

a) 2x + 4 = 6 x + 2 = 3 porque tem a mesma solução {1}.

b) x - 4 = 8 – 2x 3x = 12, pois {4} é solção de ambas equaões.

c) x + 7 = 2x + 5 x +1 = 2x – 1, porque ambas equações tem como solução {2}.

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1.2. Resolução de equações

1.2.1. Princípios de equivalência

É com base nas equações equivalentes que se determina o conjunto-solução de uma equação.

Mostra-se que ao se adicionar quantidades iguais em ambos os membros de uma equação a

solução não se altera, ou seja, a equação que resulta da adição de certa quantidade em ambos

membros de uma equação antiga é equivalente a mesma.

Exemplo:

A figura mostra uma balança em equlíbrio.

a) Observe-se as transformações verificadas nos pratos da balança ao se passar de (I) para

(II).

b) Repare-se agora, nas transformações verificadas nos pratos da balança ao se paasar de (I)

para (III).

Das observações feitas conclui-se que as equações em

(I) x + 2 = 6

(II) x + 2 + 1 = 6 + 1

(III) x + 2 – 2 = 6 – 2, têm todas mesma solução x = 4, sendo assim, equivalentes.

Em geral,

x + 2 = 6 x + 2 + a = 6 + a, para todo a .

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Depois, enuncia-se o 1o princípio de equivalência ou o princípio de adição e resolve-se

alguns exercícios aplicando o princípio de adição.

Exemplo:

Resolva a seguinte equação:

a) x – 7 = 10 b) 2x – 5 = x + 5

Resolução

a) x – 7 = 10 x – 7 + 7 = 10 + 7 x = 10 + 7 x = 17

Adicionando-se a ambos os membros o 7 é mesmo que passar o termo + 7 para o outro,

trocando-lhe o sinal.

b) 2x – 5 = x + 5 2x – x – 5 + 5 = x – x + 5 + 5 x = 5 + 5 x = 10.

Considere-se a equação 2x = 6 para se enunciar o 2o princípio de equivalência.

Multiplicando por 2 ambos membros da equação obtem-se, que é memo que

. A solção da equação 2x = 6, é {3} e da equação é também {3}. Então,

2x = 6 .

Se se multiplicar ambos os membros da equação 2x = 6 por obtem-se x = 3 que é a

solução da equação.

Há que salientar que, o a factor a multiplicar os membros duma equação tem de ser diferente

de zero.

De um modo geral, com a 0. De seguida enuncia-se o 2o princípio de

equivalência (princípio de multiplicação) e menciona-se que, para se obter a solução da

equação do tipo ax = b com a 0, multiplica-se ambos membros por .

Exemplo:

5x = 7 .

1.3. Equações lineares a uma incógnita

Antes de se definir uma equação linear, pode afirmar-se que os princípios de equivalência de

equações permite reduzí-las a uma forma característica, chamada forma geral canónica das

equações.5

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Definição: uma equação linear ou do primeiro grau a uma incógnita é toda aquela que pela

aplicação dos princípios de equivalência pode ser reduzida à forma ax + b = 0 com a 0.

Exemplo:

Das equações que que se seguem indique as que são lineares a uma incógnita:

a) – 4x + 1 – 3x = 2x b) 2z2 + 6 – z = z2 – 2x + 1 c) x2 – x + 3 = 4x – 7 + x2

Resolução

a) – 4x + 1 – 3x = 2x -4x – 3x – 2x + 1 = 0 -9x + 1 = 0

b) 2z2 + 6 – z = z2 – 2x + 1 2z2 + 6 – z - z2 + 2x - 1 = 0 z2 + z + 5 = 0

c) x2 – x + 3 = 4x – 7 + x2 x2 – x + 3- 4x + 7 - x2 -5x + 10 = 0

1.3.1. Resolução de equações lineares a uma incógnita

Qualquer equação linear pode ser resolvida seguindo-se os seguintes passos:

1. Desembaraçar de parêntesis.

2. Desembaraçar de denominadores.

3. Juntar os termos com incógnitas num dos membros e os que não têm incógnita no

outro membro, utilizando o princípio de adição.

4. Efectuar os cálculos para simplificar as expressões em cada membro.

5. Obter o valor da incógnita utilizando o princípio de multiplicação.

Exemplo:

Resolva as seguintes equações:

a) 5x – 3 = - 2x + 11 b) 4(x – 2) – 7(x – 3) = 5 – x c)

Resolução

a) 5x – 3 = - 2x + 11 5x + 2x = 11 + 3 7x = 14 x = 2

b) 4(x – 2) – 7(x – 3) = 5 – x 4x – 8 – 7x + 21 = 5 – x -3x + x = 13 – 21

-2x = - 8

c)

.

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1.4. Classificação de equações

Para se classificar as equações lineares atendendo a existencia ou não de solução, considere-

se os seguintes exemplos:

a) 2(3y – 4) = 6y + 1 b) 5z – 2 = 5(z + 1) – 7 c) 2x – 5x = 3 + x

Resolução

a) 2(3y – 4) = 6y + 1 6y – 6y = 8 + 1 0y = 9

Vê-se que não há número que multiplicado a zero seja igual a 9 ( zero é o elemento

absorvente da multiplicação) por isso, a equação 2(3y – 4) = 6y + 1 não tem solução e diz-se

uma equação impossível.

De seguida define-se uma equação impossível e salienta-se que o conjunto-solução de uma

equação impossível é o conjunto vazio.

b) 5z – 2 = 5(z + 1) – 7 5z -2 = 5z +5 – 7 5z- 5z = 5 – 7 + 2

0z = -2 + 2 0z = 0

z pode tomar qualquer valor, pois o produto de zero por qualquer número é zero. Por isso, 5z

– 2 = 5(z + 1) – 7 é uma equação possível e indeterminada. Assim, segue-se com a

definição de uma equação possível e indeterminada e sublinha-se que o seu conjunto-solução

é o conjunto dos números reais.

c) 2x – 5x = 3 + x 2x – 5x – x = 3 -4x = 3

é o único valor que satisfaz a equação, por isso a equação 2x – 5x = 3 + x é possível e

determinada. Desta feita, segue-se coma definição de uma equação possível e determinada e

afirma-se que a solução é uma e única.

1.5. Equações literais

Em primeiro lugar dá-se a definição de uma equação literal e explica-se que resolver uma

equação literal em ordem a uma variável equivale a considerar, na resoluão, essa letra como a

incógnita.

Exemplo de equações literais são 3x + 2y = 20, P = 2πr e .

1.5.1. Resolução de equção literal em ordem a uma variel

Exemplo:

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Resolva em ordem a x a equação 3x + 2y = 20.

Resolução

3x + 2y = 20 3x = 20 + 2y

1.6. Resolução de problemas conducentes à equação do primeiro grau a uma incógnita

Na resolução de problema segue-se de um modo geral o seguinte processo:

1. Definição por escrito do significado da variável (incógnita).

2. Formação da equação que traduz o problema.

3. Resolução da equação.

4. Análise da solução em relação à definiç`ao da incógnita.

5. Formulação da resposta em harmonia com a questão colocada no problema.

Exemplo: A soma de três números inteiros consecutivos é 33. quais são esses números?

Resolução

Sejam x, x + 1 e x + 2 os números.

x + (x + 1) + (x + 2) = 33 x + x + x + 1 + 2 = 33 3x + 3=33

3x = 33 – 3 3x = 30

Resposta: Os números são 10, 11 e 12.

2. Sistema de duas equações lineares a duas incógnitas

Para o estudo de sistema de equações lineares com duas incógnitas pode-se considera o

problema:

A soma de dois números é 3, mas adicionando um deles ao dobro do outro obtem-se 5. Quais

são os números?

Sejam x e y os números desconhecidos, então x + y = 3 e x + 2y = 5 são as condições que

permitem equacionar o problema.

A fim de se determinar a solução do sistema de equação recorre-se ao gráfico abaixo.

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A solução das duas equações é o ponto P(2, 3).

Afirma-se que o conjunto de solução do problema é dado pelo par ordenado de valores (X0,

Y0) que verifica simultaneamente as duas equações.

Dá-se a definição de sistema de duas equações lineares a duas incógnitas e mostra-se como

ela e representsda ( forma canónica). Define-se ainda, a solução de um sistema de duas

equações lineares a duas incógnitas.

Sistemas equivalentes

Deinfine-se dois sistemas de equações a duas incógnitas equivalentes como sendo aqueles

que tem a mesma solução.

Exemplo:

As equações são equivalentes pois tem a mesma solução que é (7, 3).

2.1. Resolução de siatemas de equações lineares

Afirma-se que um sitema de equações lineares pode-se resolver analítica ou graficamente.

2.1.1. Resolução analítica

Exitem três métodos para se determinar solução de um sistema de equação

analiticamente.

2.1.2. Método de substituição

O método de substuição baseia-se no princípio de se resolver primeiro, uma das equações

em ordem a uma das incógnitas e substituir-se o valor dessa incógnita na outra equação e

obter-se um sistema equivalente ao sistema dado.

Exemplo: Consider-se o segiunte sistema:

Para se resolver o sistema seguem-se os seguintes passos:

1o Reduz-se o sistema á forma canónica:

2o Resolve-se uma das equações em ordem a uma das variáveis:

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3o Substitui-se essa variável em outra equação pela sua expressão designatória:

4o Resolve-se esta equação linear à uma incógnita, isto é, calcula-se a sua raíz:

5o Substitui-se na primeira equação a variável cujo valor numérico acabou-se de se

determiner, pela raíz encontrada, de modo a calcular o valor da outra incognita.

O par ordenado que satisfaz o sistema é (1, 2).

2.1.3. Método da redução ou adição ordenada

Este método consiste em, multiplicar por um valor simétrico a uma das variáveis numa

das equações do sistema, de modo a se eliminar essa variável e reduzir-se o sistema à

equação linear à uma incognita.

Exemplo:

Considere-se o sistema:

1o Reduz-se o sistema á forma canónica:

2o Reduzem-se os coeficientes de uma das variáveis a valores simétricos, aplicando os

princípios de equivalência de equações:

3o Soma-se membro-a-membro os termos correspondentes:

4o Resolve-se a equação resultante:

Repete-se o procedimento do 2o passo em relação a outra incognita e obtem-se x = 5.

A solução do sistema é (5, 1).

2.1.4. Método misto

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+___________

Explica-se que o método em causa, consite em calcular-se, em primeiro lugar, uma das

incógnitas pelo método de redução, depois substituir-se o valor encontrado numa das

equações. Assim determina-se o valor da outra incógnita.

Exemplo:

Considere-se o sistema:

1o.

2o.

O sistema tem como conjunto-solução (2, 5).

2.1.5. Resolução gráfica de equações

Explica-se que um sistem de equações é resolvido graficamente de seguinte modo:

Resolve-se as duas equações em ordem a y

Faz-se arepresentação gráfica das duas funções lineares

Determina-se o ponto de intersecção das duas rectas que é a solução do sistema.

Exemplo:

Resolva grficamente o sistema

Resolução

Traça-se os gráficos das duas equações e determina-se o ponto de intersecção.

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As rectas encontram-se no ponto de coordenadas (-2, 4) que é a solução da equação.

2.2. Classificação dos sistemas de equações

Os sistemas de equações são classificados atendendo a existeência ou não de solução assim

como as equações lineares a uma incógnita. Portanto, umm sistema de equação pode ser

impossível ( não tem solução), possível determinado (tem solução única) e indeterminado

(tem infinidade de soluções).

Afirma-se também que, um sistema resolvido graficamente, é impossível quando as rectas

não se cruzam, isto é, são paralelas; possível e determinado quando as rectas tem um ponto

de intersecção; possível e indeterminado quando as rectas coincidem, isto é, tem todos pontos

em comum.

2.3. Resolução de problemas conducentes a sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas

É dito que para se resolver um problema conducente a sistemas de equações é viável

considerar-se uma série de fases.

Exemplo:

Um fabricante de cestos ganha 3 meticais por cada cesto que fabrica sem defeito e perde 5

meticais por cada c esto que fabrica com defeito.

Numa semana fabricou 160 cestos e obteve um lucro de 400 meticais.

Quantos cestos com defeito foram fabricados?

Resolução

x - número de cestos fabricados com defeito

y – número de cestos sem defeito

Adicionando-se as duas equações tem-se

Determina-se o valor de y fazendo-se

Resposta: Foram fabricados 10 cestos com defeito.

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3. Funções Lineares

Para se fazer o estudo de funções é condição necessária que se tenha o domínio dos seguintes

temas: sistema cartesiano ortogonal, proporcionalidades e correspondência.

3.1. Conceito de função

Para se definir uma função considera-se uma correspondência em que cada elemento do

conjunto de partida tem uma e somente uma imagem.

Exemplo:

Seja f a correspondência “...tem grupo sanguíneo...”

A = {Carla, Ana, António, João, Natércia} é

o conjunto de partida.

C = {O, A, B, AB} é o conjunto de chegada.

Df = {Carla, Ana, António, João, Natércia} = A

D’f = {O, A, B} C

Todos elementos de A tem uma imagem em C, por isso f diz-se uma função de A em C.

3.2.Variável dependente e variável independente

Explica-se que uma variel é independente quando toma qualquer valor e dependente quando

depende da independente.

Exemplo:

Num quadrado o perímetro e a área são dados por, e , respectivamente.

Para cada valor l resulta um valor de P e de A, por isso, l é variável independente e P e A são

variáveis dependentes.

3.3. Modos de definir uma função

Afirma-se que uma função pode ser definida por meio de tabela, gráficos ou pelo diagrama

sagital.

Exemplo:

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Seja e e f a correspondência de B em A definida por “...é o

perímetro do quadrado de lado a...”. f é uma função, porque cada perímetro corresponde a um

e um só quadrado.

a) Representação da função pelo diagrama sagital

b) Representação por tabela

Representam-se os objectos pela letra x e as imagens pela letra y.

x 8 12 16y 2 3 4

c) Representação gráfica

3.4. Classificação de aplicações ( funções)

A classificação é feita apartir do comportamento da função relativamente ao domínio e o

contradomínio da função. Assim, afirma-se que uma aplicação pode ser injectiva,

sobrejectiva e bijectiva.

Exemplo:

Considere-se as aplições f, g e h assim definidas:

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A função f é injectiva porque a objectos diferentes correspondem imagens diferentes.

A função g é sobrejectiva pois o contradomínio coincide com o conjunto de chegada.

A função h é bijectiva por ser simultaneamente injectiva e sobrejectiva.

3.5. Função linear

Dá-se a definição de função linear antes de se navegar no estudo da mesma e menciona-se

que ela é do tipo y = ax + b, com a e b constantes quaisquer.

Exemplo:

y = 3x – 5,

3.5.1. Gráfico de uma função linear

Ilustra-se como se pode representar graficamente uma função linear. Afirma-se que é

conveniente estabelecer-se um quadro de valores que é a guia para se traçar o gráfico. Marca-

se os pares de valores obtidos no sistema cartesiano, a partir da observação feita na tabela e

une-se os pontos obtendo-se uma recta que é a imagem gráfica da função linear.

Exemplo:

Esboce o gráfico da função y = x + 1

Resolução

x y0 1-1 02 31 2-2 -1

3.5.2. Significado geométrico das constantes a e b

Ao se interpretar as constantes a e b, considera-se um gráfico e fazem-se várias afirmações

em relação a função linear. Fala-se sobre a inclinação da recta, a ordenada na origem e o

declíve. Exemplo:

Determine a expressão analítica da função representada no gráfico:

15

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Observando-se o gráfico, pode-se concluir que a função:

Tem como domínio o conjunto IR;

Tem como contradomínio ;

É decrescente no intervalo e crescente no

intervalo ;

São dados os pontos P(-4, 0) e Q(0, 2).

A função é do tipo y = ax + b.

Para se obter o valor de b faz-se 2 = a.0 + b 2 = b b = 2.

Para-se obter o valor de a faz-se

Por fim substitui-se os valores de a e b em y = ax + b e obtem-se

10a Classe

1. Funções quadráticas

Define-se função quadrática como sendo toda a função polinomial do tipo de

IR em IR, com .

Exemplo: As funções , e são quadráticas.

Para se fazer o estudo deste tipo de função primeiro faz-se a sua representação gráfica.

O estudo da equação quadrática consite em se analizar o seu domínio, contradomínio, a

monotonia, simetria, determinar os zeros, o sinal da função.

Começa-se por analizar uma função em que , e , concretamente , o

seu gráfico é,

É positivo nos intervalos ;

Não é injective (dois objectos diferentes correspondem à mesma imagem);

É nula no ponto x = 0, isto é, x = 0 é o zero da função;

É simétrica a si própria através do eixo das ordenadas.

De seguida faz-se a análise da função e , ou seja, .

16

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Observando-se o gráfico, pode-se concluir que a função:

Tem como domínio o conjunto IR;

Tem como contradomínio ;

Zero da função é x = 0.

A função não é injectiva.

O gráfico da função é,

É decrescente no intervalo e crescente no intervalo ;

É negativa nos intervalos ;

É simétrica a si própria através do eixo das ordenadas.

1.

1. Função do tipo

Mostra-se que funções do tipo , tem concavidade virada para cima se a > 0, e virada

para baixo se a < 0. afirma-se ainda que a abertura do seu gráfico depende do valor de ,

isto é, terá uma abertura tanto maior quanto menor for .

Exemplo:

O gráfico da função tem maior abertura que o gráfico da função ,

porque .

1.2. Função do tipo

Primeiro, esboça-se no mesmo sistema cartesiano alguns gráficos com algumas

características e afirma-se que o gráfico da função em estudo tem o seguinte comportamento:

Translada-se c unidades para cima se c > 0.

Translada-se c unidades para baixo se c < 0.

Constata-se que o seu vértice é o ponto V(0; c).

Exemplo:

Considere-se as funções e .

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A função f translada-se 2 unidades para cima, ao longo do eixo das ordenadas e o vértice é

V(0; 2).

A função h translada-se 3 unidades para baixo, ao longo do eixo das ordenadas e o vértice é

V(0;-2).

1.3. Função do tipo

1o Caso:

Procede-se do mesmo modo que no caso da função do tipo , a diferença reside no

facto de a translação, para o último caso observar-se ao longo do eixo das abcissas.

O gráfico da função em estudo tem o seguinte comportamento:

Se p > 0, o gráfico translada-se para direita

Se p < 0, o gráfico translada-se para esquerda.

Observa-se que o vértice da função é V(p; 0) ; a equação do eixo de simetria e o zero da

função é x = p.

Exemplo:

Considere-se a função .

O gráfico da função desloca-se a direita, pois 1 > 0.

A equação do eixo de simetria é x = 1.

2o Caso:

Afirma-se que, o gráfico desta função obtém-se a partir do gráfico de por meio de

uma translação ao longo do eixo das abcissas p unidades e ao longo do eixo das ordenadas q

unidades. Menciona-se também que, o vértice da função é V(p; q) e a equação do eixo de

simetria é x = p.

Exemplo: esboçe o gráfico da função

Resolução

1o Esboç-se o gráfico de

2o Faz-se a translação ao longo do eixo do XX’.

Por último faz-se a translação vertical, ou seja,

translada-se ao longo do eixo dos YY’.

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Observa-se o gráfico e conclui-se que:

O domínio da função é IR;

O contrdomínio é o intervalo [ -1; 1];

A função é periódica e o seu período é 2 ;

Os zeros são dado por

Observa-se o gráfico e conclui-se que:

O domínio da função é IR;

O contrdomínio é o intervalo [ -1; 1];

A função é periódica e o seu período é 2 ;

2. Funções trigonométricas

São expostas funções trigono métricas elementares, a função seno e coseno.

Apresentam-se os domínios e contradomínios, comenta-se em relação a periodicidade das

funções e apresentam-se os zeros da função.

2.1. Representação gráfica da função

2.2. Representação gráfica da função

19

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CONCLUSÃO

Ao nível da 8a classe os temas são abordados de um modo não abstracto para que se facilite a

compreensão. Os receptores neste nível não tem o pensamento abstracto bastante

desenvolvido, razão pela qual, ao se tratar os conteúdos, ilustram-se todos os passos, todas as

simplificações, e por vezes figuras ilustrativas são apresentadas.

Ao nível da 10a classe, os métodos de tratamento dos conteúdos são mais avaçados em

relação aos da 8a atendo e considerando que os receptores aqui, tem um nível de pensamento

mais abstracto. Portanto, não é necessário mostrar-se todas as simplificações necessárias na

resolução de um exercício, por exemplo.

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BIBLIOGRAFIA

NHÊZE, Ismael Cassamo, Matemática 8a Classe, Diname, Maputo, 1998.

NHÊZE, Ismael Cassamo, Matemática 10a Classe, Diname, Maputo., 1999.

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