Números Reais

Aula 01 - A Reta Real e o Plano Cartesiano

Números reais – Vamos iniciar o nosso curso de Cálculo I falando um pouco dos números reais. Não temos aqui a preocupação em introduzir os números reais de uma maneira formal. Vamos apenas chamar a atenção para alguns aspectos relevantes dos mesmos que serão utilizados no decorrer do semestre. Para uma abordagem mais precisa dos números reais seria necessário um curso de Análise Real. O conjunto dos números reais pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que serão em geral denotados por letras minúsculas: x, y, s, t, u etc. O conjunto dos números reais apresenta alguns importantes subconjuntos: i) Conjunto dos números naturais – = { 1, 2, 3, 4, ...} ii) Conjunto dos números inteiros – = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} iii) Conjunto dos números racionais – = { x = p/q, onde p e q *} Observação 1: São números racionais: a) todos os números inteiros 5 = 10/2 -4 = -12/3 0 = 0/1 b) todos os números com representação decimal finita 2,13 = 213/100 1,256 = 1256/1000 0,0035 = 35/10000 c) todas as dízimas periódicas 0,333... = 0,(3) = 1/3 0,142857142857... = 0,(142857) = 1/7 2,3737... = 2,(37) = 235/99 Observação 2: A cada ponto da reta real corresponde um número real e vice-versa. E é fácil notar que ⊂ ⊂ ⊂

Existem números reais que não podem ser escritos na forma p/q, onde p e q são inteiros e q não nulo. Esses números são denominados de números irracionais. Vamos mostrar que

log102 e são números irracionais. Demonstração:

Observação 2: Redução ao absurdo é uma técnica de demonstração onde para se provar que a premissa P é verdadeira, assume-se que ~P é verdadeira e daí deduz-se uma contradição e consequentemente se tem que P é verdadeira. Aplicações:

A1 – Ache a geratriz das dízimas 0,555... e 0,237237... .

A2 – Ache a geratriz das dízimas 2,313131... e 1,4616161... .

A3 – Mostre que se p é um número primo positivo, então é irracional.

A4 – Mostre que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A

Ordem e intervalos - Existe em uma relação de ordem. Dois números reais x e y podem ser comparados usando os seguintes símbolos: x = y ↔ x é igual a y, x ≠ y ↔ x é diferente de y, x ≥ y ↔ x é maior ou igual a y, x > y ↔ x é estritamente maior que y, x ≤ y ↔ x é menor ou igual a y, x < y ↔ x é estritamente menor que y. Podem também ser definidos conjuntos particulares chamados intervalos. Começaremos com os intervalos limitados. Se a < b são dois números reais, o intervalo fechado é definido como: [a; b] = {x : a ≤ x ≤ b} o conjunto dos números reais x tais que x seja maior ou igual a a, e menor ou igual a b. O intervalo aberto é definido como: (a; b) = {x : a < x < b} o conjunto dos números reais x tais que x seja maior que a, e menor que b. Define-se também os intervalos semi-abertos (ou semi-fechados) [a; b) = {x : a ≤ x < b}

(a; b] = {x : a < x ≤ b} ( ; a] = {x : x ≤ a} (a; ) = {x : x > a} Aplicações:

A5 – Sejam os intervalos reais A = (2, 10] e B = (6, 12). Encontre A ∩ B e A U B.

A6 – Sejam os intervalos reais A = ( , 10] e B = (5,10). Encontre A – B.

Observação 3: Dados dois conjuntos A e B, defini-se o conjunto A U B = { x : x A ou x B}, o conjunto A ∩ B = { x : x A e x B} e o conjunto A – B = { x : x A e x B}.

A U B A ∩ B A – B Plano Cartesiano ( 2) – Vamos agora construir um dos objetos mais importantes da matemática, o plano Cartesiano. Chamaremos de 0y a única reta perpendicular a reta real, passando pelo ponto 0, chamada de eixo vertical. Neste contexto, a reta real é denotada por 0x, denominado eixo horizontal. Um ponto a ∈ 0x é representado por (a, 0). O ponto 0 = (0, 0) é denominado origem do Plano Cartesiano. Um ponto b ∈ 0y é representado por (0, b). O Plano Cartesiano é o conjunto de todos os pontos do plano e que podem ser representados, esses pontos, por um par ordenado (xA, yA), xA é a abscissa do ponto e yA é a ordenada desse ponto. Distância entre dois pontos – Dados dois pontos A e B, ou seja, que tenham as coordenadas conhecidas podemos calcular a distância entre eles fazendo uso do teorema de Pitágoras. d2(A,B) = (xB – xA)2 + (yB – yA)2

d(A,B) =

Equação da circunferência – Uma circunferência de centro (a,b) e raio r > 0 pode ser representada pela equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Equação do segundo grau – Se a, b e c são números reais com a ≠ 0, então a equação do

segundo grau a.x2 + b.x + c = 0, tem como solução ( = b2 – 4.a.c):

Aplicações:

A7 – Ache a distância entre os pontos (-2,5) e (10,0).

A8 – Ache a equação cartesiana da circunferência de centro C(1, 2) e raio 2.

A9 – Ache a equação cartesiana do ciclo trigonométrico.

A10 – Qual a equação cartesiana da circunferência de equação paramétrica x = 2.sent e y = 2.cost?

A11 – Ache o centro e o raio da circunferência (x – 5)2 + (y – 3)2 = 16

A12 – O que representa a equação cartesiana x2 + y2 = 0?

A13 – Ache o centro e o raio da circunferência x2 + y2 + 2.x - 4.y - 11 = 0.

A14 – Ache o centro e o raio da circunferência x2 + y2 - 6.x - 8.y + 12 = 0.

A15 – Ache o raio e o centro da circunferência x = 3 + sent e y = 2 + cost.

A16 – Resolva as equações:

a) x2 – 6.x + 8 = 0

b) x2 + 10.x - 9 = 0

c) x2 - 4.x + 5 = 0

d) x2 + 8.x + 16 = 0

A17 – Construa uma equação do segundo grau que tem como raízes:

a) x1 = -3 e x2 = 7

b) x1 = x2 = 4

c) x1 = 3 + i e x2 = 3 – i

d) x1 = 1 + 2.i e x2 = 1 – 2.i

A18 – Resolva as desigualdades:

a) (x – 5)2 + (y - 3)2 < 16

b) x2 + y2 + 2.x - 4.y - 11 > 0

c) x2 + y2 + 10.x - 2.y - 10 ≤ 0