O ALGEBRISTA Autor: Larcio Vasconcelos www.laercio.com.br Livro de LGEBRA do ensino fundamental 2 (6 ao 9 ano) Preparatrio para Colgio Naval, EPCAr, Colgio Militar (ensino mdio) e parcial (ver contedo abaixo) para Pr-IME, Pr-ITA, EsPCEx, EEAer, ENEM. VOLUME 1: TEORIA e EXERCCIOS 600 pginas Captulos 1, 2 e 3 do vol 1 disponiveis gratuitamente para os estudantes em PDF. VOLUME 2: QUESTES DE CONCURSOS RECENTES Captulos (ambos os volumes): 1) Nmeros inteiros teoria e 1.100 exerccios 2) Nmeros racionais teoria e 1.100 exerccios 3) Expresses algbricas teoria e 880 exerccios 4) Produtos notveis 5) Fatorao 6) MMC e MDC de expresses algbricas 7) Fraes algbricas 8) Equaes do primeiro grau 9) Sistemas de equaes do primeiro grau 10) Problemas do primeiro grau 11) Tpicos sobre ANLISE 12) Inequaes do primeiro grau 13) Equaes do segundo grau 14) Clculo de radicais 15) Equaes redutveis ao segundo grau 16) Sistemas do segundo grau 17) Inequaes do segundo grau 18) Problemas do segundo grau 19) Funes 20) Trinmio do segundo grau 21) Polinmios Larcio Vasconcelos obteve o primeiro lugar no Colgio Naval em 1976, onde cursou 2 anos, como 1001 e 2001. Foi segundo colocado no IME, onde se formou em engenharia eletrnica. autor de 58 livros e atualmente cursa o PROFMAT no IMPA e o doutorado em Engenharia de Defesa no IME. Livro completo em verso impressa em www.laercio.com.br e em livrarias. Copyright 2015, Larcio Vasconcelos Este livro est registrado na Biblioteca Nacional e est protegido pela lei de direitos autorais brasileira, 9.610/98. Nenhuma parte poder ser reproduzida sem consentimento do autor. Verso em PDF para uso individual por estudantes, no permitido seu uso para criao de novos materiais didticos, nem para utilizao para confeco de livros e apostilas por cursos ou editoras, seja na verso em papel ou eletrnica.

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Captulo 3

Expresses algbricas

Este captulo uma introduo s expresses algbricas simples. Entretanto, toda a lgebra consiste em utilizar expresses algbricas, portanto o assunto ser continuado em outros captulos, apresentando tpicos cada vez mais avanados.

Questes clssicas

No volume 2 deste livro, a maioria das questes so de concursos posteriores a 2000, entretanto neste volume 1 apresentamos questes clssicas, ou seja, questes cadas em concursos antigos. Note que em um concurso atual, pequena a chance de carem questes idnticas s antigas (apesar de ainda aparecerem). Entretanto, as questes antigas so excelentes para exercitar o contedo da lgebra, e elas servem como base para as questes atuais. Por exemplo, difcil atualmente uma questo pedir apenas o MDC entre expresses algbricas, entretanto as questes atuais pedem outros resultados mais elaborados, para os quais ser preciso, durante a resoluo, calcular o MDC, uma fatorao e oturas tcnicas bsicas. Portanto, nos concursos atuais, considerado que as operaes bsicas (que eram pedidas nos concursos antigos) so consideradas como contedo dominado para a resoluo das questes modernas. Sem o conhecimento das questes clssicas, no possvel resolver as questes das provas atuais. Uma questo cada, por exemplo, no Colgio Naval em 1953, nunca deve ser encarada como isso no cai mais, mas como preciso saber fazer isso para resolver as questes modernas.

Termos e expresses

Voc j conhece os termos e as expresses desde os primeiros anos do ensino fundamental. Por exemplo, ao realizar uma operao de adio como 5+3, dizemos que o 5 e o 3 so os termos da adio. Tambm est acostumado a trabalhar com expresses, desde as mais simples, como a do exemplo acima, at expresses mais complexas e trabalhosas para calcular, porm envolvendo somente nmeros. Agora voc conhecer os termos algbricos e as expresses algbricas.

Termo algbrico

O termo algbrico uma multiplicao de nmeros e letras. As letras representam nmeros. Os nmeros e as letras que os representam, so a princpio desconhecidos, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Podemos calcular o valor de uma expresso algbrica, desde que sejam dados os valores dessas letras. Quando temos equaes que envolvem essas expresses, podemos muitas vezes descobrir os valores dessas letras, que nesse caso so chamadas de variveis. Isto ser abordado a partir do captulo 9.

Captulo 2 Nmeros racionais 3

Exemplos: 2x 4x2 3ab 5x2y3 4ab2c2 Todo termo algbrico pode ser dividido em duas partes:

Parte numrica ou coeficiente

Parte literal Exemplos: 2x5y3: Coeficiente: 2 Parte literal: x5y3 3abc2: Coeficiente: 3 Parte literal: abc2 12: Coeficiente: 12 Parte literal: no tem (considera-se 1) Este ltimo no um termo algbrico, mas sim, um termo, j que no possui parte literal. As letras da parte literal so chamadas de variveis.

Termos semelhantes

Dizemos que dois termos algbricos so semelhantes quando possuem a mesma parte literal, podendo ter coeficientes diferentes. Exemplos: 4x3 e 12x3 4abc e 6abc 2x e 5x 4mp2 e 10mp2 6xyz e 2xyz Uma caracterstica importante dos termos semelhantes que podem ser somados algebricamente. Por exemplo, 3x+7x igual a 10x. como dizer 3 laranjas + 7 laranjas igual a 10 laranjas. Para somar termos semelhantes, basta somar algebricamente seus coeficientes e repetir a parte literal. Exemplos: 4x3 12x3 = 8x3 4abc + 6abc = 10abc 2x 5x = 3x 4mp2 +10mp2 = 6mp2 6xyz 2xyz = 4xyz

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Por outro lado, no podemos efetuar a adio de termos que no sejam semelhantes. Uma adio como 3x+2y no pode ser efetuada como fazemos em 3+2=5. Devemos deixar o resultado indicado, simplesmente como 3x+2y, nesse caso. claro que se forem indicados os valores de x e y, podemos substitu-los e encontrar o nmero resultante.

Reduo de termos semelhantes

Reduzir os termos semelhantes em uma expresso algbrica realizar todas as adies algbricas possveis de tal forma que no haja repetio. Nem sempre conseguimos juntar todos os termos semelhantes, em alguns casos podemos apenas reduzi-los. Exemplo: Reduzir os termos semelhentes da expresso 3x + 7y + 4x 2y + x2 +5 3x e 4x so semelhantes 3x+4x=7x 7y e 2y so semelhantes 7y 2y = 5y Ficamos ento com: 7x + 5y + x2 +5 Exemplo:

Reduzir os termos semelhantes da expresso 22

2

521

421

xxx

xxx

No numerador do radicando, podemos reduzir 2x+4x=6x. No denominador podemos reduzir 2x2+5x2 = 3x2. Ficamos ento com a expresso:

2

2

31

61

xx

xx

Essa expresso equivalente anterior, entretanto ainda possui termos semelhantes: 6x e x so semelhantes x2 e 3x2 so semelhantes Entretanto, esses termos semelhantes que restaram no podem ser juntados atravs de soma algbrica. Quando uma expresso tem apenas adies e subtraes de termos, possvel eliminar totalmente os termos semelhantes. Quando existem fraes ou expresses mais complexas, pode no ser possvel agrupar todos os semelhantes.

Expresses algbricas

Uma expresso algbrica uma combinao de operaes matemticas nas quais esto envolvidos termos algbricos. Tipicamente so envolvidas as operaes estudadas no captulo anterior: Exemplos:

1)

102

11

34

x

y

x

xyx uma expresso algbrica

2) 2x uma expresso algbrica ( tambm um termo algbrico)

Captulo 2 Nmeros racionais 5

3) (3a2b3 + 5ab + 7) uma expresso algbrica 4) x3 + 4x2 + 5x + 18 uma expresso algbrica

Valor numrico

As letras de uma expresso algbrica representam nmeros quaisquer. O valor numrico de uma expresso algbrica o resultado numrico obtido quando especificamos valores particulares para cada uma de suas letras. Exemplo: Calcule o valor numrico da expresso algbrica abaixo para x = 1 e y = 2 4x2y3 2x 3y Substituindo x por 1 e y por 2, ficamos com: 4.12.(1)3 2.1 3.(1) = 4.(1) 2 + 3 = 4 2 + 3 = 3

Exerccios

E1) Reduzir os termos semelhantes das seguintes expresses algbricas a) 2x + 5 + 3a + 6 4ax k) a3 + a2b + ab2 + b3 + a2b + ab2 + ba2 + b2a b) 2x + 3y +4x 6y +8x 4y +10x 8y l) 2x2 + 5xy 3y2 + 6 + 2x 3y + 4 + 4xy +6x 4y +12 c) x + y + z + 3x + 5y + 4z +6xyz m) 6xy + 2x2 3x3 +8xy + 2x +3x2 + 6y + 4x d) 4x + 5y + 3x2 + 2xy + 5y2 12x 15y + 4x2 n) 4a2b + 3a2 6b2 + 4ba2 2ab + 2b2 + 3b2a + 6ba e) 3x2 +2y2 3x +5x2 2xy +3x 2y +x 4x2 2y2 3xy o) x2y3 3x2y2 + 4xy 3x3y2 + 2x2y2 3x2y3 f) 2xy + 4y3 5x2 + 5xy2 + 3xy 9y3 + 4x2 3x p) 3ab + 2a2 5b2 + 2a2b 4ab + 3b2 + 2ab2 + 5ab g) 3m2n + 4p2q + 5nm2 + 4qp2 +2mp + 4nq q) 5x2 + 2x3 + 4x 7 + 3x2 5x3 12x + 15 h) 2x2 3y2 + 12x 10y + 3x2 + 5y2 2x + y 12 r) 3x2y +2xy + 4xy2 + 3yx 7y2x 8yx2 + 10 i) 2xyz + 4xz + 6zy + 3xy 8zx + 3yz + 3yzx s) 2ab + 4a2b + 6ab2 4a2 3b2 + 5ba + 2b2a + 3ba2 j) 2x2 +5y2 6x +4x2 7xy +6x 3y 9x2 5y2 6xy t) 3x2 4y2 + 18x 8y + 7x2 + 9y2 12x + 2y 10 E2) Calcule os valores numricos das seguintes expresses algbricas, dados os valores de suas variveis a) x2 + 3x +2 para x=3 k) 1/(x+y) + 2/xy + (xy)1/2 para x=1 e y=4 b) a2 + 3ab + b2 para a=1 e b= 1 l) abc + a+b+c para a=1, b=2 e c=3 c) 3x+5 y2 + 3xy para x=2 e y=3 m) a2 + b2 + c2 + 3abc para a=2, b= 2 e c=3 d) x3 + 4x2 3x + 7 para x=2 n) 3x+2y + 4xy(xy) para x=2 e y=1 e) 3/x + 4/y para x=5 e y=6 o) (x2 y2)/3 + (2x + 3xy)/4 para x=2 e y= 2 f) x2 3x + 7 para x= 4 p) (x1).(x2).(x3).(x4).(x5).(x6).(x7) para x=5 g) 9x2 para x= 5 q) (a4).(b7 + 10b6 + b5) para a=4 e b=5 h) x3 x + 1 para x=2 r) (x3).(x+4).(x+5).(x+6) para x=3 i) (x+1).(y2).(z+3); para x=2, y=1 e z= 5 s) 4x8 +10x7 +3x6 +60x5 para x= 1 j) x9 x8y + x7y2 x6y3; para x=1 e y= 1 t) 34x6 32x8 + 10x para x=3

Classificao de expresses algbricas

Podemos formar infinitos tipos de expresses algbricas, bastando partir de expresses numricas e colocar letras no luga