44. AAss mmaarrggeennss ddoo NN ii ll oo__________________________________________________________________________________________________________________________

66. AA GGeeoommeettrrii aa GGrreeggaa__________________________________________________________________________________________________________________________

88. AAss ccoonn ttrrii bbuu ii ççõõeess ddee EEuuccll ii ddeess ddee AAll eexxaannddrrii aa__________________________________________________________________________________________________________________________

11 00.. OOss PPoossttuu ll aaddooss ddee EEuuccll ii ddeess__________________________________________________________________________________________________________________________

11 22. OO QQuu ii nn ttoo PPoossttuu ll aaddoo ddee EEuuccll ii ddeess nnaa ll ii nnhhaa ddoo tteemmppoo__________________________________________________________________________________________________________________________

11 44.. OO ssuurrgg iimmeenn ttoo ddaa GGeeoommeettrrii aa nnããoo EEuuccll ii dd ii aannaa__________________________________________________________________________________________________________________________

11 66.. LLoobbaacchheevvsskkyy,, GGaauussss,, BBeell ttrraammii ee aa GGeeoommeettrrii aa HH ii ppeerrbbóóll ii ccaa__________________________________________________________________________________________________________________________

11 88. RRii eemmaannnn ee aa GGeeoommeettrrii aa EEssfféérrii ccaa__________________________________________________________________________________________________________________________

2200. AA GGeeoommeettrrii aa TTooppooll óógg ii ccaa__________________________________________________________________________________________________________________________

2222. GGeeoommeettrrii aa FFrraaccttaall__________________________________________________________________________________________________________________________

2244 AAll gguummaass SSuuggeessttõõeess__________________________________________________________________________________________________________________________

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

20

22

24

A dimensão desses confl itos pode ser apreciada narepercussão que se encontra no Livro dos Mortos do Egito,onde uma pessoa que acabada de falecer teria de jurar aosdeuses que não enganou o vizinho, roubando-lhe terra. Eraum pecado que terminava com o coração do infratorarrancado e comido por uma besta horrível chamada o“devorador”. Roubar a terra do vizinho era considerado umaofensa tão grave como quebrar um juramento ou assassinaralguém. Sem marcos fronteiriços, os agricultores eadministradores de templos, palácios e demais unidadesprodutivas fundadas na agricultura não tinham referênciaclara do limite das suas possessões para poderem cultivá -la e pagarem os impostos devidos na medida da suaextensão aos governantes.

A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de contabil izar diversos tipos de objetos.De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo = terra + metria = medida, ou seja, "medir a terra") está intimamentel igada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deramos primeiros passos para o desenvolvimento da discipl ina.

Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam noscampos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais férti l terra arável do mundo antigo. A mánotícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra. Dessa forma, nasciam daíconfl itos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada.

Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários,os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos dascheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses.Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ouesticadores de corda (assim chamados devido aosinstrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidaspara marcar ângulos retos), acabaram por aprender adeterminar as áreas de lotes de terreno dividindo - os emretângulos e triângulos.

PPaarraa ddeemmaarrccaarreemm nnoovvaammeenn ttee ooss ll iimmii tteess eexxii ssttii aamm ooss""ppuuxxaaddoorreess ddee ccoorrddaa"" ,, ooss ""hhaarrppeeddoonnaappttaass"" qquuee bbaasseeaavvaamm aassuuaa aarrttee eesssseennccii aa llmmeenn ttee nnoo ccoonnhheecciimmeenn ttoo ddee qquuee oo ttrrii âânngguu ll oo

ddee ll aaddooss 33,, 44 ,, 55 éé rreettâânngguu ll oo..

Após as cheias, as margens do rio ficavam cobertar por húmus - adubo natural, que dava ao solo a ferti l idade necessária para o plantio. Notempo da estiagem, num trabalho de união de forças e de conjunto, os egípcios aproveitaram as águas do rio para levar a irrigação até terrasmais distantes ou construir diques para controlar as cheias, protegendo o vale contra essas catástrofes terríveis. No período das cheias, oscamponeses eram encaminhados para as cidades, onde realizavam outros trabalhos que não a agricultura.

Todo o conhecimento que temos hoje sobre a Matemáticaegípcia baseia - se em dois grandes documentos: o papiro deRhind e o papiro de Moscovo. Outros documentos importantessão os papiros deBerl im, deKahun e doCairo.

Estes papiros são compostos porexposições de problemas triviais e suasresoluções. Na verdade, o que distinguea matemática egípcia da matemáticababilônica e, mais tarde, da grega é ofato de não exstirem demonstraçõesnem serem conhecidas as origens dasfórmulas uti l izadas. O que se encontrasão exemplos comprovatórios; nuncademonstrações.

44

As margens doNilo 44

Papiro de Rhind

Será na Grécia do séc. VI I a.C. que a geometria se estabelece como ciência dedutiva. Ageometria grega é a geometria da régua e do compasso. Os gregos herdam toda a

experimentação, intuição e empirismo dos egípcios, estipulando leis e regras acerca do espaço..

Platão foi um fi lósofo e matemático do períodoclássico da Grécia Antiga, autor de diversos

diálogos fi losóficos e fundador da Academia emAtenas, a primeira instituição de educação

superior do mundo ocidental. Juntamente comseu mentor, Sócrates, e seu pupilo, Aristóteles,

Platão ajudou a construir os alicerces dafi losofia natural, da ciência e da fi losofia

ocidental.

Pitágoras de Samos foi um fi lósofo e matemáticogrego que nasceu em Samos entre cerca de 571a.C. e 570 a.C. e morreu em Metaponto entre cerca

de 497 a.C. ou 496 a.C. A sua biografia estáenvolta em lendas. Diz-se que o nome significa

altar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia, poismãe ao consultar a pitonisa soube que a criançaseria um ser excepcional. Pitágoras foi o fundadorde uma escola de pensamento grega denominadaem sua homenagem de pitagórica. Teve como sua

principal mestra, a fi lósofa e matemáticaTemstocléia.

Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego,nascido por volta do ano 640 e falecido em 550

a.c. , em Mileto, cidade da Ásia Menor,descendente de uma famíl ia oriunda da Feníciaou Beócia. Tales foi incluído entre os sete sábiosda antiguidade. Estrangeiro rico e respeitável, ofamoso Tales durante a sua estadia no Egito

estudou Astronomia e Geometria.Fundou a mais antiga escola fi losófica que se

conhece - a Escola Jónica.

Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 21 2 a.C) foium matemático, físico, engenheiro, inventor, e

astrônomo grego. Entre suas contribuições à Física,estão as fundações da hidrostática e da estática,tendo descoberto a lei do empuxo e a lei daalavanca, além de muitas outras. Ele inventou

ainda vários tipos de máquinas para usos mil itar ecivi l , incluindo armas de cerco, e a bomba deparafuso que leva seu nome. Experimentosmodernos testaram alegações de que, paradefender sua cidade, Arquimedes projetou

máquinas capazes de levantar navios inimigos parafora da água e colocar navios em chamas usando

um conjunto de espelhos.

A GeometriaGrega

1 : Zenón de Citio o Zenón de Elea – 2: Epicuro – 3: Federico I I Gonzaga – 4: Boecio o Anaximandro o Empédocles – 5: Averroes – 6: Pitágoras – 7: Alcibíades o AlejandroMagno – 8: Antístenes o Jenofonte – 9: Hipatia (pintada como Margherita pelo jovem Francesco Maria della Rovere) – 1 0: Esquines o Jenofonte – 11 : Parménides – 1 2:

Sócrates – 1 3: Heráclito (pintado como Miguel Ángel) – 1 4: Platão (pintado como Leonardo da Vinci) – 1 5: Aristóteles – 1 6: Diógenes de Sinope – 1 7: Plotino – 1 8: Euclides eArquimedes junto a um grupo de estudantes (pintado como Bramante) – 1 9: Estrabón o Zoroastro? – 20: Claudio Ptolomeu – R: Apeles como Rafael – 21 : Protógenes como

Sodoma.OOss ttrrêêss pprroobbll eemmaass ccll áássssii ccooss ddaa GGeeoommeettrrii aa ggrreeggaa

Os três problemas clássicos da Geometria grega eram sobre como realizar uma construção geométrica usando somente régua e compasso. Tratavam-se dos seguintes problemas:

Duplicação do cubo: Dado um cubo, construir outro cubo com o dobro do volume do anterior.

Trissecção do ângulo: Dado um ângulo, construir um ângulo com um terço da amplitude.

Quadratura do círculo: Dado um círculo, construir um quadrado com a mesma área.

66

AAss ccoonn ttrrii bbuu ii ççõõeess ddee EEuu ccll ii ddeess ddee AAll eexxaannddrrii aa

No ano de 325 a.C. nasce na Síria um professor,escritor grego e célebre matemático, Euclides deAlexandria. Foi educado em Atenas e frequentou aAcademia de Platão. Anos mais tarde, a convite dorei Ptolomeu I , fez parte do quadro de professores darecém fundada Academia, o Museu, em Alexandria,no Egito. Passando aí grande parte da sua vidaalcançou grande prestígio pela forma extraordináriacomo ensinava Geometria e Álgebra, conseguindodeste modo aliciar um grande número de discípulospara as suas lições públicas.

Muitas das suas obras foram perdidas, mas a mais importante, a monumental publicação Stoichia (OsElementos, 300 a.C.) resistiu passando assim até os dias de hoje. Compõe-se de um conjunto de 1 3 l ivros (oucapítulos), em que Euclides faz uma exposição rigorosa e ordenada dos assuntos básicos da matemáticaelementar, incluindo aritmética, geometria e álgebra..

Os Elementos é considerada a obra mais antiga da história damatemática e uma das mais importantes segundo algunshistoriadores. A sua contribuição foi tão grande que a maior parte dasproposições nela contida é tratada na escola atual, principalmente nocampo da geometria, conhecida, hoje, como Geometria Euclidiana,em homenagem ao seu criador.

É unânime entre os historiadores que a geometria, antes dosgregos, era puramente experimental, sem que houvesse qualquercuidado com os princípios matemáticos que regiam osconhecimentos geométricos. Foram então, os gregos os primeiros aintroduzir o raciocín io dedutivo.

O nome de Euclides ficou na história da ciênciapara sempre associado à primeira concepçãoda Geometria como um conjunto sistematizadoe lógico de propriedades. Muitas dessaspropriedades eram já uti l izadas anteriormente,de forma dispersa e com objetivos, tantouti l i tário como de mero prazer intelectual ouartístico, por outras civi l izações.

AAss ccoonn ttrrii bbuu ii ççõõeess ddee EEuu ccll ii ddeess ddee AAll eexxaannddrrii aa88

Os Elementos é a compilação de todo o conhecimentomatemático e se tornou parte do ensino da matemáticapor 2000 anos.

A obra está dividida em 1 3 livros. Os seis primeiros tratam da Geometria plana elementar; os trêsseguintes são sobre Teoria dos Números; o l ivro X sobre os Irracionais e os três últimos tratam daGeometria espacial.

Eucl ides escreveu outras obras, entre elas: Os Dados, onde apresenta 94 proposições a respeitode diversas propriedades de figuras geométricas; Divisão de Figuras onde podemos encontrarmaneiras de dividir figuras em duas partes com suas áreas representando uma razão dada; Ópticaonde apresenta o primeiro trabalho grego sobre perspectiva e Os Fenômenos que é umaintrodução elementar à Astronomia.

Leonard Mlodinow, PhD em Física eMatemática, é um cientista fora doconvencional. Como imaginar que umfísico especial izado em educação paracrianças e adolescentes e fascinadocom números pudesse ser também umroteirista para fi lmes de entretenimento,como a série “Jornada nas Estrelas”?

O Partenon material iza os princípios que levaram aarquitetura grega à perfeição: harmonia, proporção,

elegância e graça

Um Postulado ou axioma é uma preposição pequena que não necessita de demonstração. “Postular” significa “pedir para aceitar”.

Apesar dos matemáticos modernos considerarem que não existe nenhuma diferença essencial entre os dois, Aristóteles sugeriu duas formas de

distinguir postulados e axiomas:

· Os postulados não seriam tão evidentes como os axiomas,

· Os postulados só seriam aplicáveis numa ciência específica enquanto que os axiomas seriam mais gerais.

Teoremas escritos(Livro: Os Elementos)

Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ânguloreto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto.

(Teorema 47)

São raros os livros que têm sido tão editados, traduzidos e comentados como os Elementos de Euclides. Na antiga Grécia, esta obra foi comentada por Proclo(412 ­ 485), Herão (c. 10 ­ 75) e Simplício (490 ­ 560); na Idade­Média foi traduzida em latim e árabe; após a descoberta da imprensa, fizeram­se dela numerosas

edições em todas as línguas europeias.A primeira destas edições foi a de Campano (1220 ­ 1296), em latim, publicada em 1482, edição usada por Pedro Nunes (1502 ­ 1578).

OOss PPoossttuu ll aaddooss ddee EEuuccll ii ddeess

II II II

II II IIII VV

VV

11 00

Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos doisângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, entãoessas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam - se domesmo lado em que estão esses dois ângulos.

Dados um ponto qualquer e uma distânciaqualquer pode - se construir um círculo decentro naquele ponto e com raio igual àdistância dada.

Todos os ângulos retossão iguais.

Dados dois pontos, há umsegmento de reta que os une.

Um segmento de retapode ser prolongadoindefinidamente paraconstruir uma reta.

PPrrooppoossii ççõõeess eeqquu ii vvaall eenn tteess aaoo VV ppoossttuu ll aaddoo ddee EEuuccll ii ddeess::

Os ângulos colaterais internos formados por duas paralelas sãosuplementares. (Ptolomeu)Duas retas paralelas são equidistantes. (Ptolomeu)Dadas duas paralelas, toda a reta que cortar uma delas corta também aoutra. (Próclus)Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.

OO QQuuiinnttoo PPoossttuullaaddoo ddee EEuu cclliiddeess nnaa lliinnhhaa ddoo tteemmppoo

((11 3355 -- 5511 aa.. cc))

Posidônio apresentou uma definição deparalel ismo segundo a qual as retasparalelas são as retas equidistantes.

((4411 22 -- 448855))

Próclus, no século V, criticouesta definição de Posidônio eapontou o fato de que éplausível a ideia do quintopostulado não se verificar, poishá l inhas como a hipérbole queconvergem para as suasassíntotas, mas não chegam aintersectar-se.

Nasiraddin apresenta umademonstração que falha nofato de admitir que dadasduas retas paralelas, sãocortadas por outra reta queé perpendicular a uma

delas somente.

((11 550099 –– 11 557755))

Commandino cai no erro de juntar àdefinição de paralel ismo a idéia de

equidistância. No entanto, no que tocaao quinto postulado, acaba por aceitar ademonstração de Proclus que como já

se referiu, está errada.

((sséécc.. XXII II II ))

OO QQuuiinnttoo PPoossttuullaaddoo ddee EEuu cclliiddeess nnaa lliinnhhaa ddoo tteemmppoo

Crisóbal Clavio traduziu para latim os Elementos,reproduziu e criticou a demonstração de Proclus eapresentou uma demonstração sua do quinto postulado.A sua demonstração assenta no fato de o conjunto dospontos eqüidistantes de uma reta (de um lado da reta)formarem uma linha reta. Ora, supor isso é equivalentea supor o quinto postulado. A sua demonstração acabapor ter algumas semelhanças com a de Nasiraddin.

((11 553377--11 6611 22))

((11 554488--11 662266))

Pietro Cataldi foi o primeiromatemático a publicar uma obra

exclusivamente dedicada à teoria dasparalelas. Cataldi assume uma

hipótese que é equivalente ao quintopostulado: l inhas retas não

equidistantes convergem numadireção e diverge na outra.

Giovanni Alfonso Borel l iregressou à ideia de

equidistância das l inhasparalelas, que havia sidolevantada por Posidônio.

((11 660088--11 667799))

John Wall is desiste de tentar demonstrar oquinto postulado a partir unicamente dosprimeiros quatro postulados e introduz umaxioma que considera ser mais plausívelque o quinto postulado: sobre umsegmento é sempre possível construir umtriângulo semelhante a um triângulo dado.

((11 6611 66--11 770033))

((11 666677--11 773333))

Saccheri analisou e criticou muitas das tentativas dedemonstrar o quinto postulado por matemáticos

anteriores. Nessas análises, Saccheri subl inhou quetudo tinha que ser demonstrado e que, portanto, não

fazia sentido tomar certas hipóteses sem asdemonstrar, como haviam feito muitos matemáticos

anteriores.

((11 772288--11 777777))

Johann Heinrich Lambert teve tambémuma aproximação semelhante à deSaccheri, ao estudar quadri láteros cujascaracterísticas essenciais seriam ter pelomenos três ângulos retos (quadri láterosde Lambert).

11 22

1 - Pelo fim do século XVI I I foram feitas novas tentativas de

demonstrar o quinto postulado de Euclides por meio de

demonstrações indiretas. Mas, em vez de conduzir a uma

contradição, este novo conjunto de axiomas formou a base de uma

teoria consistente chamada hoje de Geometrias não Euclidianas.3 - Em 1 832, Bolyai, independentemente,

obteve os mesmos resultados. Essa

geometria passou a ser chamada de

geometria hiperbólica.

4 - Em 1 854, Riemann nega o quinto postulado de Euclides admitindo a outra

negação: por um ponto fora de uma reta não se pode conduzir uma reta paralela à reta

dada. Essa outra geometria não euclidiana passou a ser chamada de geometria

esférica.

Escreve ao seu pai Farkas Bolyai:

"Eu descobri coisas tão maravilhosas que sinto-

me aturdido . . . do nada eu criei um

estranho mundo novo."

Gauss ao ser informado da descoberta correspondeu-se com

o colega Farkas para elogiar seu fi lho: "Eu considero este

jovem geômetra Bolyai um gênio de primeira ordem."

7 - Felix Christian Klein (1 849 - 1 925) foi

um matemático alemão. Seu trabalho

incidiu na geometria não - euclidiana e

nas interl igações entre a teoria dos

grupos e a geometria.

EEssffeerraa

11 44

O surgimento daGeometria não Euclidiana

2 - Lobachevsky em 1 829, negou o quinto postulado de Euclides, admitindo que por um ponto fora de uma reta passam pelo menos duas

retas paralelas. Ele foi a primeiro a publicar esta teoria, por isso é considerado o fundador oficial das geometrias não euclidianas, embora

Gauss em 1 824 numa carta enviada a Taurinus, já soubesse dessa possibi l idade.

5 - Na época, as diferenças entre as geometrias

euclidiana e hiperbólica eram puramente formais, ou

seja, diferiam no conjunto dos axiomas. Isto quer dizer

que não havia um modelo concreto para a geometria

hiperbólica, ou seja, não havia uma representação

gráfica para os objetos geométricos, por exemplo, para

uma reta hiperbólica. O primeiro modelo para a

geometria hiperbólica foi criado por Eugenio Beltrami

(1 835-1 900).

6 - Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras

da geometria não Euclidiana. O termo foi criado em 1 975 por

Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polônia,

que descobriu a geometria fractal na década de 70.

GGaarrrraaffaa ddee KKll eeii nn

PPsseeuuddoo -- EEssffeerraa

Os primeiros a suspeitar que era impossível obter uma contradição negando o postulado

das paralelas, ou seja, que ele era independente dos outros postulados foram Gauss, o

húngaro Janos Bolyai (1 802-1 860) e o russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1 793-1 856).

Carl Friederich Gauss (1 777-1 855) foi o primeiro a descobrir esta geometria, embora não

tivesse publicado nada, pois a Geometria Euclidiana ainda era vista como uma verdade

infalível. Qualquer um que se atrevesse a contradizer isso era desprestigiado e era a última

coisa que Gauss desejaria, manchar a reputação que tinha frente ao meio científico.

A Geometria Hiperbólica é a Geometria não Euclidiana que admiteos quatro primeiros postulados de Euclides, mas nega a existênciada unicidade das paralelas, ou seja, o V postulado. NessaGeometria o postulado das paralelas é substituído pelo postuladodeLobachevsky, dizendo:

””PPoorr uumm ppoonn ttoo PP ffoorraa ddee uummaa rreettaa rr ppaassssaa mmaaii ss ddee uummaa rreettaappaarraall ee ll aa àà rreettaa rr””

Beltrami usou uma superfície para representar ageometria hiperbólica. Ele chamou essa superfície

de pseudo-esfera.

A soma dos ângulos de umtriângulo desenhado sobre asuperfície de uma pseudo-esfera é MENOR que 1 80o,como esperado de uma

superfície que represente ageometria hiperbólica.

Mauritius Escher usou o disco SOMA em algumas de suasgravuras. Essas duas vistas são chamadas de Círculo Limite I(esquerda) e Círculo Limite I I I . Essa última, umas das poucas

gravuras coloridas de Escher, foi feita em 1 959.

CCíírrccuu ll oo LLiimmii ttee II II II CCíírrccuu ll oo LLiimmii ttee II

A soma dosângulos de umtriângulo sobreum superfície de

ccuurrvvaattuu rraanneeggaattii vvaa é menorque a da curva

plana.

Busca da chamada física pós - Einstein.

TTooddooss aa bboorrddoo

ddoo EExxpprreessssoo

BBuurraaccoo ddee

MMii nnhhooccaa,, rruummoo àà

pprriimmeeii rraa vvii aaggeemm

rreeaallmmeenn ttee

eessppaaccii aa ll ddaa

eessppééccii ee hhuummaannaa..

Os ângulos do plano hiperbólico correspondem aosângulos euclidianos, são medidos como no plano

euclidiano. Eles são, por definição, a medida do menorângulo formado pelas semirretas euclidianas tangente aos

arcos.

Área de um triângulo hiperbólico

Abóbada hiperbólica para o giro dascarruagens da entrada do Parc Güell

(Barcelona - Espanha).

As bromélias florescem somente uma vez durante seutempo de vida. Após a floração, a planta geralmentedesenvolve uma brotação lateral que substituirá a

planta que irá morrer.

Tenda confeccionada em estrutura metál ica, montada porsistema de encaixe e fixação. Seu design especial e arrojadooferece ampla área interna e efeitos visuais impressionantes

quando aplicada iluminação.

(Catedral de Brasíl ia) Oscar Niemeyer, notável arquiteto brasileiro.

Trombeta do Zeferino

11 66

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1 826-1 866) deixou um grande legado paraa humanidade, quando na tentativa de demonstrar o quinto postulado deEuclides introduziu o conceito de espaço com mais de três dimensões. Abriuum grande campo para novos estudos, criando um novo universo geométrico,que contribuiu para grandes descobertas, como o caso de Einstein que sóresolveu problemas fundamentais da Teoria da Relatividade depois de uti l izarconceitos desta Geometria.

Indo contra o quinto postulado de Euclides, Riemannestabeleceu um de seus axiomas

que:

““PPoorr uumm ppoonn ttoo PP qquuaall qquueerr,, ffoorraa ddee uummaa rreettaa rr,,nneennhhuummaa rreettaa qquuee ppaassssaa ppoorr PP éé ppaarraall ee ll aa aa eell aa.. ””

QQuuaaii ssqquueerr dduuaass rreettaasseemm uumm ppll aannoo ttêêmm uummppoonn ttoo ddee eennccoonn ttrroo..

DDaaddooss ddooii ss ppoonn ttooss ssoobbrree aa eessffeerraa,,ppooddee--ssee eennccoonn ttrraarr ii nn ffii nn ii ttaass rreettaass qquuee

ppaassssaamm ppoorr eesssseess ppoonn ttooss..

DDuuaass ccii rrccuunnffeerrêênnccii aass mmááxxiimmaass qquueeppaassssaamm ppeell ooss PPóóll ooss,, ii nn tteerrcceeccttaamm uummaa

ccii rrccuunnffeerrêênnccii aa mmááxxiimmaa ooppoossttaa aaooss PPóóll ooss,, AAee BB,, ffoorrmmaannddoo uumm âânngguu ll oo ddee 9900ºº..

OO âânngguu ll oo ssoobbrree aa eessffeerraa éécchhaammaaddoo ddee âânngguu ll oo eessfféérrii ccoo..

AA uunn ii ããoo ddee ttrrêêss ppoonn ttooss AA,, BB ee CC nnããooppeerrtteenncceenn tteess aa uummaa mmeessmmaa ccii rrccuunnffeerrêênnccii aa

mmááxxiimmaa,, ffoorrmmaa uumm ttrrii âânngguu ll oo eessfféérrii ccoo..

Área de um triângulo esférico

A Geometria Esférica é a Geometria decurvatura positiva

AA ssoommaa ddooss âânngguu ll oossddee uumm ttrrii âânngguu ll ooeessfféérrii ccoo éé sseemmpprreemmaaii oorr qquuee 11 8800ºº eemmeennoorr ddoo qquuee 554400ºº..

Do Rio Pinheiros (SP) pode - se apreciar a cúpula geodésica que envolve a prestigiosacidadela de Higienópolis.

Bolha de SabãoDente de leão

Quase cem anos depois, uma sonda espacial daNasa, a agência espacial americana, confirmouprevisões cruciais feitas pelo físico alemão AlbertEinstein em 1 91 5. As observações da sonda degravidade B (GP-B) comprovaram que a massa daTerra está muito suti lmente causando umacurvatura no tempo e no espaço ao seu redor, e atéarrastando-os consigo.

As esferas tem uma função científica,servindo para representar o Universo, em

exata proporção, ou para efetuartransformações numéricas entre

quantidades, de modo semelhante aosantigos computadores analógicos.

11 88RIEMANN E A GEOMETRIAESFÉRICA

OOss eessttuuddooss ddee TTooppooll oogg ii aa aabbrrii rraamm ccaammii nnhhooss ppaarraa aa mmooddeerrnnaa tteeoorrii aa ddooss GGrraaffooss.. EEsssseess ppooddeemm sseerr aappll ii ccaaddooss ppaarraa ppll aanneejj aarr ddeessddee aass rreeddeess ddee sseerrvvii ççooss

uurrbbaannooss,, ccoommoo áágguuaa ee eell eettrrii ccii ddaaddee,, aattéé aass ddee ccoommppuu ttaaddoorreess..

Garrafa Klein

Garrafa TunelConjectura de Poincaré: A superfície tridimensional de uma esfera é o único espaço fechado de dimensão 3onde todos os contornos ou caminhos podem ser encolhidos até chegarem a um simples ponto.

Em 2003, o russo Grigory Perelman, anunciou uma solução positiva para oproblema, recusando o prêmio Clay no valor de um milhão de dólares.

GEOMETRIA TOPOLÓGICA2200

TTooppooll oogg ii aa ((ddoo ggrreeggoo ttooppooss,, "" ll uuggaarr"" ,, ee ll ooggooss,, ""eessttuuddoo"")) éé oo rraammoo ddaa mmaatteemmááttii ccaa qquuee eessttuuddaa ooss eessppaaççooss ttooppooll óógg ii ccooss,, sseennddooccoonnssii ddeerraaddoo ccoommoo uummaa eexxtteennssããoo ddaa ggeeoommeettrrii aa..

No século XVI I I havia na cidade de Königsberg um conjuntode sete pontes que cruzavam o rio Pregel. Os moradores deKöenigsberg (hoje Kaliningrad, cidade da Rússia) seperguntavam se era possível fazer um passeio pela cidadepassando exatamente uma vez em cada uma das setepontes.

Descoberta em 1 865 pelo matemático e astrônomo alemão AugustFerdinand Moebius (1 790-1 868), a faixa de Moebius foi o embrião deum ramo inteiramente novo da matemática conhecido como topologia,o estudo das propriedades de uma superfície que permaneceminvariantes quando a superfície sofre uma deformação contínua.Superfície de Boy. Trata-se de uma superfície

unilátera, sem bordo, fechada sobre si mesma.Pode ser obtida a partir do rebatimento dascoordenadas cartesianas x, y, z, ou se costurando obordo único de uma cinta de Moebius triplamentetorcida.

Toro ou Toróide - é um espaço topológicohhoommeeoommoorrffoo ao produto de dois círculos. Apresentao formato aproximado de um pneu. Em geometria

pode ser definido com o lugar geométricotridimensional dos pontos que distam r de uma

circunferência.

Mas o que é umhomeomorfismo?Umhomeomorfismo é anoção principal de

igualdade em topologia.

A imagem ilustra a interseção de uma mola com uma esfera,onde mostra o domínio das funções das superfícies. A molaé uma superfície flexível obtida através do enrolamento emtorno de um cil indro e a esfera é um sólido geométricoformado por uma superfície curva contínua cujos pontosestão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamadocentro. Uti l izar como ferramenta de ilustração do conteúdode geometria e topologia.

Celso Costa em sua tese de doutorado no IMPA (Rio deJaneiro), exibiu em 1 982 um exemplo de uma superfície mínimacom certas propriedades especiais. Esta superfície, que éconhecida no mundo inteiro como a ssuuppeerrffííccii ee ddee CCoossttaa, foiinspirada, segundo o autor, por um chapéu de uma passista deuma escola de samba do Rio de Janeiro.

A Geometria Fractal é considerada a geometria da Teoria do Caos. Benoit Mandelbrot (Mandelbrot, 1 983), o criador da Teoria dos Fractais,

insiste e mostra que é a geometria fractal, e não a geometria clássica euclidiana, a que realmente reflete a geometria dos objetos e dos

processos do mundo real.

Celso Costa em sua tese de doutorado no IMPA (Rio deJaneiro), exibiu em 1 982 um exemplo de uma superfície mínimacom certas propriedades especiais. Esta superfície, que éconhecida no mundo inteiro como a ssuuppeerrffííccii ee ddee CCoossttaa, foiinspirada, segundo o autor, por um chapéu de uma passista deuma escola de samba do Rio de Janeiro.

Geometria FractalA palavra Fractal vem do Latim “fractus”, que quer dizer fragmentado, fracionado. E mais: “Frac” dá a ideia de fração (parte), e “tal” dá a ideia de total (todo).

Fractais são formas geométricas elementares, cujo padrão se replica indefinidamente, gerando complexas figuras que preservam, em cada uma de suas partes,

as características do todo. Por isso, podem apresentar dimensão espacial inclusive fracionária. Daí, a ideia de que a parte está no todo e o todo está na parte.

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A Geometria é a arte de raciocinar sobre as figuras mal desenhadas.

(Poincaré)Não há estradas reais para chegar à Geometria.

(Euclides de Alexandria)

A matemática, de modo geral, é fundamentalmente a ciência das coisas que

são evidentes por si mesmas.

( Felix Klein)

" Deus é o grande geômetra. Deus geometriza sem cessar". "Os números

governam o mundo ". " Não entre aqui quem não fôr geômetra ".

"Chama­se reta a linha cujo meio está colocado sôbre o trajeto entre as

duas extremidades ". (Platão)

"Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta

ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o

que proporciona o máximo prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem,

não e a posse mas a aquisição, não e a presença, mas o ato de atingir a meta".

(Gauss Carl Friederich)

Os três grandes fundamentos para se conseguir

qualquer coisa são, primeiro, trabalho árduo;

segundo, perseverança; terceiro, senso comum.Thomas A. Edison

Wanderley Pivatto Brum é natural de I tajaí (SC), graduado em Matemática pelaUniversidade Federal de Santa Catarina (UFSC), pós graduado em Metodologia noEnsino de Matemática, Mestrando em Ensino de Ciências Naturais e Matemática pelaUniversidade Regional de Blumenau (FURB). Atualmente é professor da rede estadual eparticular de Ensino no Estado de Santa Catarina.

Este l ivro destina - se aos docentes que atuam nas escolas de Ensino Fundamental e Médio na discipl ina de Matemática. Contempla aspectos que auxil iam nodesenvolvimento do ensino de Geometria, contribuindo junto aos estudantes para a compreensão acerca do tema, de tal modo que a estrutura do conhecimentocientífico assim como seu potencial explicativo possam ser apropriados. Pressupõe que os conhecimentos de Geometria devem se concebidos como parte domundo que o estudante caminha e vive.

Elcio Schuhmacher é l icenciado em Física pela Universidade Federal de Santa Catarina, mestre em Física edoutor em Química. Atualmente é PROFESSOR DO QUADRO - CONCURSADO da Fundação UniversidadeRegional de Blumenau. Atuando principalmente nos seguintes temas: Construção de Conceitos, Ensino deCiências e Ensino de Física. Atualmente coordena o Mestrado de Ciências Naturais e Matemática, e desenvolvea sua linha de pesquisa nos seguintes temas: Ensino de Física, Educação Tecnológica, Ciências para Todos.

WWAANNDDEERRLLEEYY PPIIVVAATTTTOO BBRRUUMMELCIO SCHUHMACHER

O MUNDO SOB A ÓTICA DA GEOMETRIA