UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

João Ricardo Cardenuto

O projeto de conceitual de aeronaves eo Teorema de Arrow

São Carlos

2018

João Ricardo Cardenuto

O projeto de conceitual de aeronaves eo Teorema de Arrow

Monografia apresentada ao Curso de Enge-nharia Aeronáutica da Escola de Engenhariade São Carlos da Universidade de São Paulo,como parte dos requisitos para obtenção dotítulo de Engenheiro Aeronáutico.

Orientador: Prof. Dr. Alvaro Martins Abdalla

São Carlos2018

AUTORIZO A REPRODUÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO,POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINSDE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Dr. Sérgio Rodrigues Fontes daEESC/USP com os dados inseridos pelo(a) autor(a).

Cardenuto, João Ricardo C257o O projeto conceitual de aeronaves e o Teorema de

Arrow. / João Ricardo Cardenuto; orientador Prof. Dr.Alvaro Martins Abdalla. São Carlos, 2018.

Monografia (Graduação em Engenharia Aeronáutica) -- Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade deSão Paulo, 2018.

1. Projeto conceitual de aeronaves. 2. Teoria dos Jogos. 3. Teoria das escolhas sociais. 4. Teorema dearrow. 5. otimização. 6. decisão. 7. projetosaeronáuticos. I. Título.

Eduardo Graziosi Silva - CRB - 8/8907

À minha família.

AGRADECIMENTOS

Não há resultado final que seja capaz de exprimir todo o caminho trilhado aonível de revelar todas as nuânces e detalhes da jornada. Nesses detalhes, descobrimosaqueles que são nossos companheiros e amigos. Encontramos aqueles que se comprometema partilhar do mesmo laço que nos rodeiam, a manter os mesmos objetivos e a dividir umaeterna amizade, sem nenhuma requisição.

Aos meus pais: Helena e João Paulo, cujos os imensuráveis e inimagináveis esforços,são os pilares de tudo o que compreendo como mundo. Seus exemplos e caminhos foram,são e sempre serão a maior fonte de aprendizado que poderia existir. O sustento dosmomentos frágeis é sempre balanceado pelo amor e carinho de ambos.

À minha esposa, Amanda, cuja compreensão e companheirismo são reflexos do seuamor, que inúmeras vezes me possibilitou superar as nuances. Sem eles, não haveria adisposição, o tempo e a inspiração para seguir sempre adiante.

Ao meu irmão: João Phillipe, por ser o meu exemplo, a minha admiração. Pordividir comigo o interesse mais simples e puro na tentativa de tentar entender este mundo.

Aos bons amigos que tive o privilégio de conhecer durante esse período e que comigodividiram sua experiências e sábias verdades sobre a vida.

Ao Prof. Dr. Alvaro Martins Abdalla, cuja espontaneidade é algo ímpar. Por elevara inspiração, despertar a curiosidade sem reduzir o carácter, sem presumir que algo é óbvioantes de conhecê-lo é o que motiva a finalização deste trabalho.

“Nobody ever figures out what life is all about, and it doesn’t matter. Explore the world.Nearly everything is really interesting if you go into it deeply enough”

Richard P. Feynmann

RESUMO

CARDENUTO, J.R. O projeto de conceitual de aeronaves eo Teorema de Arrow. 2018. 52p. Monografia - Escola de Engenharia de São Carlos,Universidade de São Paulo, São Carlos, 2018.

Neste trabalho, são exploradas as conexões entre as aplicações de Teoria dos Jogos e aindústria Aeronáutica, especificamente ao desenvolvimento de aeronaves na etapa conceitualdo projeto. Utilizam-se os conceitos derivados da Teoria das Escolhas Sociais, o Teorema deArrow, para mostrar que não é possível em um ambiente de projeto aeronáutico, compostopor profissionais projetistas de alta experiência, desenvolver um sistema de escolhasque seja capaz de representar todos os requisitos de projeto, definidos neste trabalho,simultaneamente. Isso ocorre pois o Teorema de Arrow, dentro do escopo de condiçõesenumeradas neste trabalho, determina que deve existir em um sistema multiagente deescolhas um Ditador. O Ditador é o agente que dualmente no ambiente de projetoaeronáutico não permite que existam os espectros de preferências de escolhas necessáriospara o cumprimento simultâneo de todas as relações de compromisso e requisitos.

Palavras-chave: Projeto Conceitual de Aeronaves, Teoria dos Jogos, Teoria das EscolhasSociais, Teorema de Arrow, otimização

ABSTRACT

CARDENUTO, J.R. Conceptual Aircraft Design and Arrow’s Theorem. 2018.52p. Monografia - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, SãoCarlos, 2018.

In this work, we explore the connections between Game Theory and Aeronautical Industry.Game Theory concepts are applied on the decision making process of conceptual phase ofaircraft projects. Concepts and ideas of Social Choice Theory, more specifically, Arrow’sTheorem, are applied to show that is impossible to exist a decision making scenario thatfulfills all requirements to design an optimal aircraft, as defined in this work, if the decisionenvironment is composed of experts in aeronautical engineering focused on specific tasks.This fact is due to Arrow’s Theorem which states, under certain conditions explored in thiswork, the existence of a Dictator and a Dictatorship is inevitable. The Dictator is shownto be the agent, which presence does not allow the existence of the complete preferencespectrum required to fulfill all requirements in order to optimize the aircraft’s design underaircraft designer’s point of view.

Keywords:Conceptual Aircraft Design, Game Theory, Social Choice Theory, Arrow’sTheorem, optimization

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Esquema simplificado das etapas de um projeto aeronáutico civil (JEN-KINSON; MARCHMAN, 2003) Adaptado. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Figura 2 – Configurações de estudo, Projetos conceituais do Lockheed C-5, daesquerda para a direita, de cima para baixo os nomes apelidados ori-ginalmente nos desenhos são; High Wing Configuration, Low Wing -Fuselage Mounted Engine Configuration, Low Wing Configuration, Bu-ried Engine Configuration, Lambda Wing Configuration(GARRARD,1978) Adaptado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Figura 3 – C-133: Cargo Master (TAYLOR, 2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 4 – C-141: Starlifter (USAF, 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 5 – Configuração Proposta inicial para o C-5: CX-4 (GARRARD, 1978) . 27Figura 6 – Requisitos de um Projeto de Aeronave (FAA, 2018), (JENKINSON;

MARCHMAN, 2003), (HIRST, 2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 7 – Projeto ótimo sob a perspectiva específica de cada departamento de

engenharia: 1 - Aerodinâmica, 2 - Propulsão, 3 - Controle de Peso, 4 -Controle e Estabilidade, 5 - Estruturas (JENKINSON; MARCHMAN,2003), Adapatado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 8 – Confronto de início simultâneo sequencial. Esquerda a proposição domecanismo, iniciando na base da estrutura. Direita, um exemplo depossível resultado do processo. Extraído de (WOOLDRIDGE, 2012)com adaptações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 9 – Confronto de início não-simultâneo (árvore) sequencial. Esquerda a pro-posição do mecanismo, iniciando na base da estrutura. Direita, um exem-plo de possível resultado do processo. Extraído de (WOOLDRIDGE,2012) com adaptações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Tabela resultado da Contagem de Borda para o exemplo proposto nasubseção 3.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 PROJETO CONCEITUAL DE AERONAVES . . . . . . . . . . . . . 232.1 O Bloco de Decisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Formação de Requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 O Processo de Tomada de Decisões - Conceitualização Multiagentes 28

3 A TEORIA DOS JOGOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1 As Funções de Escolha Social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Modos de Decisão - Procedimentos de Votação e Escolha . . . . . . 353.2.1 Pluralidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2 A contagem de Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.3 Escolhas Majoritárias Sequênciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 O TEOREMA DA IMPOSSIBILIDADE DE ARROW . . . . . . . . . 414.1 Propriedades dos Procedimentos de Decisão Razoáveis . . . . . . . . 414.1.1 As condições de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.2 A condição de existência do vencedor Condorcet . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.3 Independência das alternativas irrelevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.4 Ditadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.5 O Teorema de Arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 O TEOREMA DE IMPOSSIBILIDADE DE ARROW E DUALISMOCOM DECISÕES EM PROJETOS AERONÁUTICOS . . . . . . . . 45

6 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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1 INTRODUÇÃO

Os métodos de otimização em projetos aeronáuticos apresentam cada vez maisrelevância no ambiente industrial e no ambiente acadêmico. Inúmeros estudos propõemmodelos cada vez mais complexos algebricamente, exigindo também adaptações de métodoscada vez mais sofisticados de otimização.(IZMAILOV; SOLODOV, 2005; HACKER, 1998)Os métodos de otimização são relacionados a critérios de decisão, e tem o intuito defornecer respostas a perguntas do tipo: Qual decisão devo tomar?Em projetos aeronáuticos, onde há um número gigantesco de variáveis, questionamentossobre as melhores decisões a serem tomadas tornam-se processos muito complexos, distor-cendo várias noções de ótimo, degradando a intuição do que seria o processo de escolher amelhor opção.

A melhor opção, podemos definir aqui como: a melhor escolha que seja capaz desatisfazer o maior número possível de exigências que são propostas. Aplicado ao contextode projetos aeronáuticos, as exigências são representadas pelos requisitos de projetos quepodem ser classificados de uma forma simplificada como:

• Requisitos de Mercado

• Requisitos de Certificação

• Requisitos Tecnológicos

Ao longo do desenvolvimento de uma aeronave, os processos de decisão definem asequência de continuação, ou parada, do processo de conceitualização. De forma simplificadao processo de desenvolvimento de um produto aeronáutico consiste em várias etapas dedecisões que são tomadas por vários agentes de distintas motivações. São os conflitosdestas motivações e a consequente resolução destes, ao se alcançar um objetivo, quedeterminam o sucesso de um projeto aeronáutico. Neste contexto de resolução de conflitos,esse manuscrito explora uma oportunidade de aplicação de otimização usando técnicasque possuem como fundamento a multidisciplinaridade.

É proposta a utilização da Teoria dos Jogos para o estudo e compreensãodo mecanismo de tomada de decisão por vários agentes durante o desenvolvimento doprojeto conceitual de uma aeronave. A compreensão destes mecanismos pode então ofereceroportunidades de otimização que expressam não somente os critérios quantitativamentemensuráveis, como forma de parâmetros de projeto, mas, também, exploram a subjetividadeque existe de forma inerente no processo de escolha e decisão.

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As decisões dos projetos aeronáuticos, e em projetos no geral, são processos queenvolvem várias etapas e, frequentemente, envolvem decisões multiagentes. Os agentesdividem as tarefas motivados por razões diferentes, e concentram de forma desigualrecursos alocados. Quando eles estão inseridos em um ambiente corporativo, que é o casode construtores aeronáuticos, os agentes responsáveis pelas decisões tomam a forma dedepartamentos de engenharia especializados, shareholders; os acionistas responsáveis pelorecursos financeiros, o conselho gestor que representa a vontade dos acionistas, além degovernos e representantes militares que, em caso de projeto de armamentos ou satélitesoperacionais militares, enxergam a possibilidade de gerenciamentos de riscos à defesa deuma nação.

O sucesso de um projeto aeronáutico, ou um projeto aerospacial, se dá na formaem que estes conceitos são gerenciados e como as mínimas decisões tomadas em pequenasescalas podem influenciar as futuras decisões e decisões de mais alto nível no projeto.Compreender como as decisões são tomadas ao longo das etapas é equivalente a entenderonde projetos obtiveram êxito e onde os projetos possivelmente podem fracassar.

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2 PROJETO CONCEITUAL DE AERONAVES

2.1 O Bloco de Decisão

O Projeto Conceitual de Aeronaves compreende uma das primeiras etapas do ciclode desenvolvimento de uma aeronave. Ela é caracterizada principalmente pela traduçãoe simplificação em termos de engenharia dos diferentes requisitos que são lançados aopreenchimento de alguma oportunidade, para atender uma demanda específica, ou umademanda tecnológica, uma demanda de infraestrutura, ou ainda, uma demanda militar.Nesta etapa os projetistas mais seniores de uma companhia ficam diretamente envolvidoscom as decisões estratégicas da companhia, onde eles devem ser capazes de elaborar, emum breve período de tempo, propostas de projetos que atendam as demandas solicitadasprincipalmente por estudos de oportunidade, tanto de mercado, como estudos operacionais.

A Figura 1 ilustra de forma esquematizada o funcionamento do fluxo de processoque ocorre durante a etapa conceitual de uma aeronave civil. Destaca-se o que é definidoaqui como o Bloco de Decisão.O Bloco de Decisão consiste nas etapas onde o processo de tomada de decisão envolve doistipos de critérios a serem definidos:

• Critérios Objetivos de Escolha: são interpretados como formas de escolha que podemser modelas por meio de equações e inequações matemáticas, definidas em um campode otimizações, ou seja, as formulações podem ser restritas a certas condições edevem satisfazê-las de forma em que se busca encontrar um máximo ou um mínimoda função, tanto global como local.

• Critérios Subjetivos de Escolha: são interpretados como formas de escolhas nas quaisé impossível quantificar de forma objetiva, a determinação de um critério mensurávelpor meio de parâmetros numéricos. Os critérios subjetivos incluem conceitos comoos de preferência, definidos como na seção 3.1. Tais conceitos são formas de modelaros resultados das escolhas, mas que não exigem um método de mensuração em tornode parâmetros de engenharia. É importante ressaltar que em várias ocasiões, quandonão é possível modelar matematicamente de forma apropriada um critério de escolha,diz-se que é necessário tomar uma decisão sob o critério do ’bom senso’ ou ’sensocomum’. Estes nomes geralmente são utilizados quando as decisões a serem tomadasnão são de fácil modelagem ou o critério subjetivo impera sobre o critério objetivo.

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Figura 1 – Esquema simplificado das etapas de um projeto aeronáutico civil (JENKINSON;MARCHMAN, 2003) Adaptado.

No Bloco de Decisão ocorre a definição da configuração inicial da aeronave para oprocesso das etapas de detalhamento de configuração. A configuração inicial é determinadamuitas vezes de um leque de opções que são conceitualizadas durante as etapas deconceitualização da aeronave. Um exemplo de caso está expresso na Figura 2. Durante oprojeto conceitual da Aeronave Lockheed C5, em meados dos anos 1960, várias configuraçõesforam idealizadas como possíveis soluções para atender os requisitos estabelecidos pelaUSAF (United States Air Force) e DOD (Department of Defence), respectivas Força Aérea

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Figura 2 – Configurações de estudo, Projetos conceituais do Lockheed C-5, da esquerdapara a direita, de cima para baixo os nomes apelidados originalmente nosdesenhos são; High Wing Configuration, Low Wing - Fuselage Mounted EngineConfiguration, Low Wing Configuration, Buried Engine Configuration, LambdaWing Configuration(GARRARD, 1978) Adaptado.

Norte-Americana e o Departamento de Defesa, para a substituição operacional do C-133:Cargo Master, Figura 3.

"... we wracked our brains to come up with an innovation to appeal to USAF and give us acompetitive edge. One potential idea emerged - zero sweep. We considered that, to win,

that zero sweep or straight wing airplane must offer at least 10% cost reduction to offsetits uninspiring visual impact...

The 10 year system cost benefit of the Bat Wing was only 2%, insufficient to justify thisdesign. After completion of the Lambda and Straight wing studies in mid-1963, all work

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Figura 3 – C-133: Cargo Master (TAYLOR, 2011)

was concentrated on the conventional C-141 type configuration.(GARRARD, 1978).

Os projetistas tentaram compensar um atributo que eles consideraram subjetiva-mente, o visual não inspirador, por meio de critério objetivo, 10 % em redução de custo.Um estudo posterior da configuração proposta de asa sem enflechamento, mostra que aredução de custo seria de apenas 2%, o que sob o critério subjetivo dos projetistas nãoseria suficiente para avançá-lo para as etapas de detalhamento. Assim eles concentraramesforços em uma configuração já convencional do C-141, similar a High Wing Configuration,conforme Figura 4. Ao final da etapa conceitual, o projeto proposto foi o da Figura 5. Épossível notar a similaridade entre as configurações.

Figura 4 – C-141: Starlifter (USAF, 2015)

Isso mostra que uma combinação de critérios subjetivos e objetivos possui umgrande impacto no desenvolvimento de um projeto aeronáutico, ao ponto de interromperprocessos de decisão que poderiam levar a caminhos totalmente distintos dos resultadosfinais que realmente ocorreram como, por exemplo, poderia ocorrer no caso da escolha daconfiguração Lambda, Figura 2. No entanto, sob avaliação dos projetistas, considerandocritérios objetivos e subjetivos, nenhuma outra configuração poderia cumprir os requisitosestipulados.

Os critérios de decisão são uma forma de atender ou, pelo menos, tentar cumprir omaior número de requisitos possíveis estabelecidos antes do início do projeto detalhado

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da aeronave. Assim, consequentemente, a formação dos requisitos impacta diretamenteno modo em que serão selecionados os critérios objetivos e subjetivos, determinados noBloco de Decisão. Estes, por sua vez, irão impactar nos rumos que o projeto tomará apartir desse bloco, impactando também em estimativas de custos, performance, formas deoperação, entre outros aspectos correlacionados ao ciclo de desenvolvimento da aeronave.

Figura 5 – Configuração Proposta inicial para o C-5: CX-4 (GARRARD, 1978)

2.2 Formação de Requisitos

A formação de requisitos ocorre como consequência da compreensão das necessi-dades impostas pelos agente motivadores do projeto como por exemplo; governos, clientes,novas regulamentações, oportunidades de mercado, etc.. As necessidades são vinculadas amudanças em escala macro da economia, política, e social que impactam diretamente asociedade em processos de mudanças históricos. Essas mudanças ocasionam a mudançatemporária de estados de equilíbrio da economia e da vida social, permitindo a descontinu-ação e promoção de novos eventos, que a longo prazo podem ser determinantes para amudança em macro escala do mundo. Por exemplo, em um evento de guerra entre países,a indústria mundial bélica possui oportunidades de mercado para venda de armamentospesados, entre eles, novos aviões. Então, a necessidade seria o uso de aeronaves parao combate, que seriam transformados em requisitos específicos tecnológicos como por

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exemplo, a adaptação de uma missão ao terreno onde a guerra é promovida. Aeronaves dealto poder de fogo ar-terra podem ser necessárias, por exemplo. (PRZEMIENIECKI, 2000)

As oportunidades também podem ser previstas, em funções de estimativas futurasde demanda e oferta. Um exemplo, muito praticado pelas grandes construtoras de aeronavescomerciais, é a formulação de uma complexa modelagem de previsão de demanda e ofertade assentos para os próximos 20 anos, em uma tentativa de antecipar movimentaçõesestratégicas da companhia e antever projetos aeronáuticos com potencial probabilidadede sucesso (HIRST, 2008). As previsões são uma forma de antecipar as necessidades,segmentadas em mercados e tipos de prováveis concorrências no futuro.Além dessas formas, podem ainda surgir oportunidades por meio de cooperação entre países,com o intuito em macro escala de promover o desenvolvimento dos setores econômicos,tecnológico e de relações internacionais. Um exemplo de tal cooperação é o desenvolvimentodo Concorde (RECH; LEYMANN, 1980).

De uma forma geral o processo de transformação das necessidades em requisitosocorre por meio da transformação das necessidades em requisitos tecnológicos, de certifica-ção, e de mercado que viabilizem a execução do projeto. Os requisitos tecnológicos sãoposteriormente transformados em requisitos de performance. Os requisitos de certificaçãosão transformados em requisitos de aeronavegabilidade e segurança, por exemplo. Osrequisitos de mercado são compreendidos como as restrições econômicas aos quais o projetoestará submetido, como custos operacionais e riscos associados a operação da aeronavequando comercializada. No caso genérico de uma aeronave, os requisitos são traduzidoscomo:

Requisitos→

Tecnológicos

Certificação

Mercado

Os requisitos compõe uma lista gigantesca de itens enumeráveis. Com base em (FAA,2018), (JENKINSON; MARCHMAN, 2003) e em (HIRST, 2008), é possível enumeraralguns deste itens como de acordo com a Figura 6.

2.3 O Processo de Tomada de Decisões - Conceitualização Multiagentes

Após a determinação dos requisitos, os projetistas irão propor soluções que otimi-zam o cumprimento de todos os requisitos simultaneamente. No entanto, os projetistas são,em sua maioria presente na indústria, experts em determinados ramos do conhecimento e deengenharia, não sendo especialistas em todos campos simultaneamente. Seria praticamenteimpossível dominar simultaneamente todos os campos do conhecimento em engenharia,particularmente aplicada ao setor aeronáutico dentro de um limite de idade do ser humano.

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Figura 6 – Requisitos de um Projeto de Aeronave (FAA, 2018), (JENKINSON; MARCH-MAN, 2003), (HIRST, 2008)

Por esta razão, os departamentos de design e engenharia dentro das maiores construtorasé composto por profissionais com alto nível de experiência em projetos, porém tambémaltamente especializados.

De modo simplificado, uma configuração comum destes departamentos é a reuniãode especialistas das áreas de Aerodinâmica, Estruturas, Controle de Peso, Controle eEstabilidade, Materiais de Construção Aeronáutica, Processos e Manufatura, Propulsão,Finanças e Controle de Custos. É intuitivo pensar que, apesar de todos os projetistaspartilharem do mesmo objetivo, no desenvolvimento otimizado da aeronave cada projetistapossui restrições muitos específicas relacionadas aos aspectos técnicos e de viabilidade decada campo da engenharia. Consequentemente, pode-se inferir que contabilizadas todas asvariáveis de decisão, inclusive os efeitos que as preferências particulares de cada projetistapossui sobre os processo de decisão, é possível considerar que cada decisão será um reflexoda tentativa de otimizar um problema específico de cada grupo de engenharia. Ou seja,cada projetista tentará minimizar os efeitos negativos das escolhas em conjuntos do timede projetos, sobre a parte específica que cada projetista está trabalhando. A Figura 7ilustra a forma com que cada projetista enxerga um ótimo projeto, considerando as suasrestrições específicas.

É natural que o Departamento de Aerodinâmica tente otimizar a aeronave sobuma perspectiva de aerodinâmica, por meio da melhora da performance aerodinâmica daaeronave, com a diminuição do coeficiente de arrasto total para determinadas condições devoo. De forma análoga, o departamento de Propulsão irá otimizar a aeronave para receber

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Figura 7 – Projeto ótimo sob a perspectiva específica de cada departamento de engenharia:1 - Aerodinâmica, 2 - Propulsão, 3 - Controle de Peso, 4 - Controle e Estabilidade,5 - Estruturas (JENKINSON; MARCHMAN, 2003), Adapatado

a escolha de uma determinada turbina, ou motor em sua instalação, e assim otimizar asperformance da aeronave para determinadas condições de voo, além de tentar reduzir oconsumo de combustível. Neste caso essas escolhas influenciam diretamente nos coeficientesde arrasto da aeronave, influenciando o projeto aerodinâmico. No caso do Departamentode Controle e Estabilidade, é interessante garantir as margens de estabilidade para as maisvariadas condições de voo, além de projetar as superfícies de controle de forma a garantira manobrabilidade da aeronave. A manobrabilidade e controle dependem diretamente dosistema de propulsão escolhido e como ele é posicionado na aeronave. O Departamentode Estruturas visa o desenvolvimento de estruturas cada vez mais robustas, sem perderas margens de segurança em tensão necessárias para a certificação da aeronave, mas issorequer a utilização de materiais mais pesados, que possuem maiores valores de resistência,tanto em fadiga como em casos estáticos. Além disso, o Departamento de Controle dePeso, deve garantir que o peso da aeronave permaneça controlado dentro de uma faixa de

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valores de projeto, portanto prezam pela a simplificação dos sistemas a fim de reduzir opeso final da aeronave.

Nessa complexa relação de compromisso que foi apresentada anteriormente, aindasequer foram adicionados departamentos como o de Controle de Custos, de Processos enovos Materiais, mas já é possível observar o encadeamento entre todas as decisões deprojeto.

Processos de decisão que possuem características semelhantes as essas, o encadea-mento de processos sob uma complexa rede de proposições de compromisso, são modeladoscomo Sistemas Multiagentes de Tomada de Decisão, e o modo como os processosde escolhem se desenvolvem a ponto de ser possível predizer o comportamento em conjuntodos mais variados processos de decisão de cada agente, é estudado pelo Capítulo 3.

O processo de decisão acima é descrito de forma em que apenas os critériosobjetivos, conforme definidos em seção 2.1, são relevantes para a análise. Além disso,deve-se considerar o caso em que todos os projetistas atuam de forma subjetiva sobre oprocesso de decisão. É muito provável que este tipo de comportamento do projetista, emdecidir por meio de critérios subjetivos seja um dos mais comuns existentes na indústria,conforme descrito em:

"It would be nice to say that the objectives and constraints were explicitly detailed andthat, using the theoretical and experimental design methods described in 3.2, an entirely

logical process led to the selection of the chosen configuration. It was not like that! Inreality, the relationships between the objectives and the constraints, the interdependence ofaerodynamic, structural and systems requirements, were of such complexity that the choice

was made following a progressive and iterative, sometimes laborious path, relying oncommon sense and intuition on the part of the engineer.(RECH; LEYMANN, 1980)

No caso multiagentes do processo de decisão que ocorreu durante o projeto conceitualdo Concorde, é possível notar a importância do uso de critérios subjetivos durante odesenvolvimento, principalmente nos departamentos de engenharia com os pacotes detrabalho mais complexos de desenvolvimento, Aerodinâmica, Estruturas e Sistemas deControle.

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3 A TEORIA DOS JOGOS

A Teoria dos Jogos é um campo muito amplo do conhecimento que entrelaça asciências econômicas, sociais e matemáticas. Neste campo o objetivo é estudar conflitos ecomo os participantes destes conflitos influenciam os possíveis resultados finais, além decompreender o mecanismo no qual os jogadores tomam suas decisões. O crescente uso emoutros conceitos como o da otimização, por exemplo, tem ganhado impulso frente ao rápidodesenvolvimento da ciência da computação, que tem utilizado esta teoria para os maisdiversos fim de otimização. É possível modelar um conflito como um dual de otimização,ou seja, por vezes é possível modelar uma situação de otimização de um recurso como umconflito de agentes, e assim resolver o problema da otimização é equivalente a resolver oconflito e vice-versa.

Historicamente, a Teoria dos Jogos teve uma relevância muito grande nos períodosdas duas guerras mundiais (1914 e 1938) e também na guerra fria (PRZEMIENIECKI,2000). Além disso, a criação da Rand Corporation no início dos anos 1950, inicia ouso formal da Teoria dos Jogos aplicado como políticas de governo no mundo ocidentalmoderno. Inúmeros matemáticos ilustres fizeram parte dessa organização inclusive JohnVon Neumann, que juntamente com Morgenstern, é atribuída a formalização matemáticados conceitos de utilidade e a resolução de um dos mais importantes resultados da teoria,o Teorema Minimax para jogos de soma zero. (MORGENSTERN; NEUMANN, 1953)

Além deste resultado importante é necessário destacar dois outros principais teóricos,John F. Nash, (NASH et al., 1950), responsável pela demonstração da existência doponto de equilíbrio para um jogo com um número finito de participantes, e John Arrow,(ARROW, 1950) a quem é atribuído o Teorema da Impossibilidade de Arrow, um importanteresultado que é elucidado e explorado em Capítulo 4. Ambos matemáticos foram laureadoscom o Prêmio Nobel de Economia, em função da importância dos resultados para odesenvolvimento da Teoria dos Jogos e consequente entendimento das relações de conflitona sociedade.

Neste manuscrito, iremos focar no detalhamento e aplicação do Teorema da Im-possibilidade de Arrow , página 41, em especial, como aplicar o importante resultado emcenários multiagentes de decisão como no projeto conceitual de aeronaves e a principaisconclusões a respeito dos resultados. Para isso utilizaremos os princípios da Teoria daEscolha Social, que é considerado um dos ramos da Teoria dos Jogos.

De forma mais particular, a Teoria da Escolha Social modela os cenários multiagen-tes, em que eles devem selecionar candidatos de acordo com sua preferências, ou melhor,com a forma que eles ordenam os candidatos de acordo com o resultado esperado do

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processo de escolha. O cenário de um projeto conceitual de aeronave pode ser modelado,desta forma, como um cenário de decisão multiagente de forma intuitiva.

3.1 As Funções de Escolha Social

Para uma modelagem formal de um ambiente de decisão multiagente é necessárioa formalização de alguns conceitos que modelam o que ocorre neste ambiente. O primeirodesses conceitos é o conceito de Função de Escolha Social.

Assumimos que existe um conjunto Ag = 1, ..., n de agentes tal que |Ag| = n.|Ag| denota o número de agentes. Iremos assumir, sem perda de generalidade que n é umnúmero impar, pois assim não é necessário criar critérios de desempate. Caso n fosse umnúmero par, seria necessário a adoção de um critério de desempate. Esse critério adicionacomplexidade as análises mas não altera os resultados finais do tópicos que serão expostos(SHOHAM; LEYTON-BROWN, 2008). Por vezes os agentes podem receber a denominaçãode eleitores.

Os eleitores realizam escolhas sobre um grupo de decisões com respeito a Ω =ω1, ω2, ... e obtém possíveis valores de resultados, ou por vezes denominados candidatos.Quando |Ω| = 2 diz-se que o cenário de votação é binário. Quando |Ω| > 2 diz-se que ocenário de votação é geral.

Ainda, define-se o conceito de preferência de um agente, identificado pelo símboloagente. Preferência de um agente ai ∈ Ag é a função de escolha em que se ω i ω′, paraω, ω′ ∈ Ω, então o agente, ou eleitor ai prefere o resultado da escolha de ω sobre o resultadoda escolha de ω′.

Para todas os possíveis resultados das sequências de ordenamento de ai, ou prefe-rências, sobre Ω denotamos o conjunto que os contém como Π(Ω).

Exemplo: Seja um agente ai ∈ Ag, com Π(Ω) = (ω2 i ω3 i ω1), então diz-se queo ai prefere o candidato ω2 sobre o candidato ω3 e além, prefere o candidato ω3 sobre ocandidato ω1.

Além disso, pode-se definir o conceito de preferência estrita de um agente, iden-tificado pelo símbolo agente. Preferência estrita de um agente ai ∈ Ag é a função deescolha estrita em que se ω i ω′, para ω, ω′ ∈ Ω, então o agente, ou eleitor ai prefereprioritariamente o resultado da escolha de ω sobre o resultado da escolha de ω′.

Os conceitos de preferência são uma outra forma de representar o conceito deutilidade definido por Von Neumann e Morgenstern em (MORGENSTERN; NEUMANN,1953). Sendo assim o conceito de preferência é reflexivo, transitivo e comparável, ou seja:

• Reflexividade: para todo ω ∈ Ω⇒ ω i ω

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• Transitividade: Se ω i ω′e ω′ i ω′′ ⇒ ω i ω′′

• Comparabilidade: Para todo ω ∈ Ω e ω′ ∈ Ω⇒ ω i ω′ ou ω′ i ω

No entanto, o conceito de preferência estrita não é Reflexivo. Ele é apenas transitivoe comparável. Com base no conceito de preferência para um agente pode-se definir funçõesque mapeiam escolhas de vários agentes simultaneamente.

A Função de Escolha Social é definida como uma função que mapeia entreas preferências de todos os agentes e retorna apenas um candidato, ou um resultado daescolha:

f : Π(Ω)× . . .× Π(Ω)︸ ︷︷ ︸n vezes

→ Ω (3.1)

É natural questionar se todos os agentes possuem preferências distintas ou, seráque existe alguma forma de "unificar"todos os critérios de preferência entre os agentese representar um critério de preferência de Ag? Este é o cerne de todos os estudos emteoria das escolhas sociais.

A Função de Bem Estar Social é uma função que mapeia entre as preferênciasde todos os agentes e retorna apenas um espectro de preferências, ou seja representa aderivação de uma combinação de critérios de preferência de todos os agentes:

f : Π(Ω)× . . .× Π(Ω)︸ ︷︷ ︸n vezes

→ Π(Ω) (3.2)

Nota-se que os conceitos a funções definidas em Equação 3.2 e Equação 3.1 nãotransmitem necessariamente as propriedades dos postulados definidos na página 34, con-forme veremos nas seções seguintes. Para simplificar a notação e evitar ambiguidade,denotaremos que ∗ indica o resultado da Função de Bem Estar Social, isto é se ω ∗ ω′

então isso significa que ω é preferido como resultado da escolha social em relação a ω′. Adefinições apresentadas estão de acordo com a simbologia utilizada em (WOOLDRIDGE,2012).

3.2 Modos de Decisão - Procedimentos de Votação e Escolha

Definidos quem são os participantes dos processos de escolhas e o que eles escolhem,precisamos definir algumas formas com que as escolhas podem ser realizadas, os processosde escolha, ou também conhecidos como Procedimentos de Votação.

3.2.1 Pluralidade

Pluralidade é o mais comum dos sistemas de votação. Ele simplesmente defineque o candidato eleito é aquele que possui o maior número de votos, depois que cada um

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dos agentes depositaram um único voto em cada candidato. Os votos são somados e ocandidato que obtiver mais votos é o vencedor. De forma simplificada segue um exemplo.Suponhamos que temos Ω = ω1, ω2, ω3 e três agentes, Ag = 1, 2, 3. As preferênciasdos agentes são definidas como:

Ag1 : ω1 1 ω2 1 ω3 (3.3)

Ag2 : ω1 2 ω3 2 ω2 (3.4)

Ag3 : ω2 3 ω3 3 ω1 (3.5)

Neste caso tem-se como vencedor o candidato ω1, pois dois agentes escolhem simultane-amente o mesmo candidato. O resultado da função escolha social é o candidato ω1, ouseja:

f : Π(Ω)1 × Π(Ω)2 × Π(Ω)3 = ω1

Em uma outra situação, suponhamos que em um cenário de projetos de aeronaves,os projetistas envolvidos diretamente com o projeto são um grupo significativo em termosde contagem. Os projetistas devem selecionar o motor do tipo turbina a ser utilizadona aeronave. Eles possuem três tipos de escolhas Ω = m1, m2, m3. Ainda, foi possívelmapear que os projetistas apresentam as seguintes preferências:

43 % dos projetistas m1 m2 m3 (3.6)

12 % dos projetistas m2 m1 m3 (3.7)

45 % dos projetistas m3 m2 m1 (3.8)

O vencedor neste caso seria o motor m3.

No entanto deve-se notar que 55 % dos projetistas têm como última opção o motorm3. Mesmo assim o motor foi escolhido para ser utilizado. É importante também ressaltarque não há nenhum indicativo de como são as funções preferências dos projetistas, ouseja, se elas são fundamentadas em critérios objetivos, subjetivos ou uma combinação deambos. Não sabemos e isso não importa para o resultado, pois neste modelo somente éconsiderado a ordenação do critério de preferências.A esse resultado paradoxal, ou pelo ao que o exemplo canônico representa, define-se oParadoxo de Condorcet, (WOOLDRIDGE, 2012).

Apesar de simples o exemplo, é possível inferir que dentro de um ambiente deescolhas multiagentes, paradoxos de escolhas podem ocorrer, e eles não seguem a intuiçãode que a maioria dos agentes, após o processo de escolha estará satisfeita com o resultadoescolhido.

3.2.2 A contagem de Borda

O procedimento de contagem de Borda incorpora uma propriedade ao processode escolha que a Pluralidade e as Escolhas Majoritárias (subseção 3.2.3) não tomam

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em consideração: o colapso das escolhas de menores representações e a predominânciados melhores colocados na ordenação. A contagem de Borda toma em consideração todaa informação relevante na ordenação das preferências, evitando o colapso da menorespreferências e a amplificação das maiores preferências. A maneira como a contagem funcionaé a seguinte:

Para um número de candidatos |Ω| = k, verificamos o perfil de preferências quecada eleitor possui, por exemplo;

Ωi = ω3 ω5 ... ωk ... ω2︸ ︷︷ ︸n termos

Quando um candidato está na primeira posição de ordenamento (maior preferência), elerecebe k-1 pontos. Quando um candidato está na segunda posição de ordenamento (segundamaior preferência), ele recebe k-2 pontos. E assim por diante até que o candidato que estiverna k-ésima posição de ordenamento recebe 0 pontos. Após visitar todas as ordenações detodos os eleitores, soma-se a pontuação de cada candidato e realiza-se uma ordenação deacordo com sua pontuação final. No caso do processo de escolha de apenas um candidato,o vencedor é aquele que conseguir a maior pontuação.

Exemplo: considera-se a mesma situação expressa em Equação 3.6. Os resultadossão ilustrados na Tabela 1.

Tabela 1 – Tabela resultado da Contagem de Borda para o exemplo proposto na subse-ção 3.2.1.

Pontos AtribuídosPercentual Eleitores 0.43 0.12 0.45Escolha 1 m1 m2 m3 2Escolha 2 m2 m1 m2 1Escolha 3 m3 m3 m1 0

Dos resultados da tabela a ordenação de Borda é caracterizada pelo conjunto deequações:

m1 : 0.43× 2 + 0.12× 1 + 0.45× 0 = 0.98

m2 : 0.43× 1 + 0.12× 2 + 0.45× 1 = 1.12

m3 : 0.43× 0 + 0.12× 0 + 0.45× 2 = 0.9

E portanto o resultado do processo de escolha do motor é:

m2 ∗ m1 ∗ m3

Esse resultado é diferente do que foi encontrado nos processos de escolha naEquação 3.6, onde o motor escolhido seria o m3. No caso da contagem de Borda há a

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existência de ’pesos’ sobre a contagem de votos final, inferindo uma relação mais diretaentre a Função de Bem Estar Social e e as preferências de cada agente.No entanto, o método de contagem de Borda é sensível a uma das técnicas conhecidas comovoto tático, em que os agentes mudam propositalmente a sua ordenação de preferênciapara tentarem promover algum candidato sobre o outro(SHOHAM; LEYTON-BROWN,2008).

3.2.3 Escolhas Majoritárias Sequênciais

Suponha-se que iremos realizar o exemplo sobre a decisão dos motores em umprojeto de aeronave, semelhante ao exposto em Equação 3.6, com um integrante candidatoa mais, m4. Desta vez iremos realizar o processo de escolha considerando que não sabemosas preferências de cada projetista:

m3, m1, m4, m2 ⇒ Agenda

Esse pode ser um cenário exemplificando que os projetistas já definiram suaspreferências, mas ainda não foi estabelecido o processo multiagente de escolha, pois asescolhas não foram reveladas.A Agenda é uma ordenação da sequência com que os candidatos serão avaliados. No casoacima, o candidato 3 é avaliado antes do candidato 1 que, por sua vez é avaliado antesdo candidato 4 e, por último, é avaliado o candidato 2. Consideraremos dois tipos deprocessos. O primeiro processo de escolha é definido como o confronto par a par de cadaum dos candidatos, seguindo as estruturas ilustradas na Figura 8. A agenda neste casoé definida como; o motor 3 e o motor 1 são escolhidos primeiramente, e o vencedor éescolhido para enfrentar o vencedor entre o motor 4 e o motor 2. Os vencedores de cadaetapa são escolhidos e se enfrentam. O vencedor do processo de escolha é o vencedor daúltima decisão.

Na segunda situação, Figura 9, os projetistas devem escolher primeiro entre o motor3 e 1, o vencedor então é submetido ao confronto entre ele e 4, e o vencedor deste confrontoenfrenta o motor 2. O vencedor do último confronto é o vencedor do processo de decisão.

Os dois esquemas obedecem a mesma ordem da agenda, no entanto o resultadofinal do processo de escolha é diferente. No primeiro processo, Figura 8, o vencedor ém4. Já no segundo processo, Figura 9, o vencedor é m1. Observamos que a ordem emque os motores são escolhidos ao confronto muda completamente o resultado da escolha.Esse pode ser considerado, por exemplo um efeito da defasagem temporal no processo dedecisão de um projeto aeronáutico , em que o tempo promove o confronto não simultâneode decisões. Assim, considerando que há possibilidade da Agenda ser definida de modoaleatório, as funções preferência de cada agente não denotam que a maioria possa eleger amelhor decisão, mas a melhor decisão instantânea, definida para aquele período de tempo,ou fase no processo de escolha.

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Figura 8 – Confronto de início simultâneo sequencial. Esquerda a proposição do mecanismo,iniciando na base da estrutura. Direita, um exemplo de possível resultado doprocesso. Extraído de (WOOLDRIDGE, 2012) com adaptações

Figura 9 – Confronto de início não-simultâneo (árvore) sequencial. Esquerda a proposiçãodo mecanismo, iniciando na base da estrutura. Direita, um exemplo de possívelresultado do processo. Extraído de (WOOLDRIDGE, 2012) com adaptações

Além disso, há novamente a possibilidade de que o organizador do processo mudeintencionalmente a Agenda, e isso também pode influenciar no resultado final do processode decisão.

Caso construíssemos todas as Agendas possíveis e determinássemos que a agendanão modificou o resultado de vencedor para um candidato específico, digamos ωw, então aesse candidato será denominado de Vencedor Condorcet. Esse conceito é extremamenteútil para o Teorema de Arrow, no Capítulo 4, e será usado mais adiante. A existência deum Vencedor Condorcet implica que o processo de tomada de decisão multiagente podeser representado por um grafo em que uma das arestas, e somente uma, possui todos osvértices direcionados para outras arestas. Esse conceito é explorado em (WOOLDRIDGE,2012). Assim caso seja possível encontrar o grafo dual ao problema de escolha, o grafoque representa o processo de escolha, podemos determinar o ponto invariante ao processo,ou seja, aquele que representa o Vencedor Condorcet. Isso poderia ser utilizado como umalgoritmo para encontrar e decidir prontamente qual é o vencedor que melhor satisfaz a

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condição do Bem Estar Social mapeado pela função de Bem Estar Social.

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4 O TEOREMA DA IMPOSSIBILIDADE DE ARROW

Ao longo deste manuscrito, o exemplo de escolha de um motor aeronáuticofoi utilizado para indicar a relevância que os modos de escolhas, os processo de decisãopossuem sobre o resultado escolhido e como eles são discrepantes da noção de que a escolhada maioria deve prevalecer sobre as demais. Apesar de existirem provavelmente outrosmétodos mais criativos e inventivos que os aqui apresentados para os processos de escolhas,os métodos presentes representam a noção mais intuitiva dos processos de escolha e porisso são utilizados em vários tipos de tomada de decisão multiagentes, inclusive em projetosaeronáuticos. Ao que foi exposto fica ilustrado que um método multiagente de decisão éextremamente sensível a parâmetros como:

• A Agenda de confrontos

• Informação sobre votos táticos

Assim é natural o questionamento: existe um modo ’razoável’ de se realizar oprocesso multiagente de decisão?

Caso exista um processo razoável, ele poderia ser utilizado como um método deotimização de escolha no complexo ambiente de requisitos em projetos aeronáuticos. Asubjetividade poderia ser implementada como critério quasiobjetivo, ou seja, seria possívelquantificar este critério de forma paramétrica, ou pelo menos encontrar alguma relaçãoabsoluta de ordem que permita criar modelos algébricos de otimização.Dadas certas condições de escolha esperamos que o processo razoável deve no mínimosatisfazer as condições propostas a seguir.

4.1 Propriedades dos Procedimentos de Decisão Razoáveis

4.1.1 As condições de Pareto

As condições de Pareto são uma forma de representar que caso um agente nãopossa realizar uma escolha melhor de candidato, sem que haja outro agente motivadoa escolher outro candidato em função desta escolha, e que leve o primeiro agente a terum resultado inferior a escolha inicial, então o resultado de processo de decisão nãoserá modificado. Caso exista algum agente que possa escolher um resultado que sejamelhor para ele, e consequentemente este resultado motive o outro agente a escolher umresultado distinto, em um processo que se repete entre todos os agentes indefinidamente,eles chegariam a um resultado pior do que se não tivessem mudado a escolha. Essa situaçãoé denominada de equilíbrio, e a condição necessária que ocasiona este efeito é a condição

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de pareto. A condição de Pareto é definida como:

Para todo agente i, se ωi i ωj ⇒ ωi ∗ ωj (4.1)

A condição de Pareto é satisfeita para os processos de pluralidade e contagem de Borda,mas não é satisfeita no processos sequenciais de escolha.

4.1.2 A condição de existência do vencedor Condorcet

Se existe sempre o mesmo candidato ωi que vence em um processo genérico deseleção sobre qualquer outro candidato, em um processo dois a dois de seleção, indepen-dentemente da Agenda, então a Função de Escolha Social = ωi, para qualquer Agenda.De fato, caso exista esse tipo de candidato, ele é o mais importante dentro do processo deescolha multiagente. Apesar de ser uma condição razoavelmente direta da intuição, apenaso processo sequencial de seleção é capaz de possuir um vencedor de Condorcet.

4.1.3 Independência das alternativas irrelevantes

Caso existam dois candidatos ordenados de tal forma que ωi ∗ ωj e após aadição de um terceiro candidato ωk, haja modificação de Ωi de qualquer agente, mas nãohá modificação do ordenamento em ωi i ωj , para nenhum agente, então ωi ∗ ωj ainda éválido.O surgimento de um terceiro candidato que modifique todas as ordem de preferência menosuma ordem de relação específica para todos os agentes, preserva na função de Bem EstarSocial a preferência generalizada. Ou de forma semelhante, no caso de existirem mais dedois candidatos, a subtração de um deles do processo de escolha não altera a ordenação depreferência de nenhum dos agentes.

Considerando a situação dos motores, no caso em que todos os agentes prefiram omotor 1 ao motor 2, dentro de um universo de 4 motores. Caso haja a possibilidade deum quinto motor participar do processo de decisão, e ele preserve a relação de que todosainda preferem o motor 1 ao motor 2, então o resultado geral do processo de decisão deveconservar que todos preferem o motor 1 ao motor 2.De forma surpreendente, nenhum dos protocolos apresentados neste manuscrito satisfaz acondição.Como exemplo, tomamos o descrito na Equação 3.6.

60 % satisfazem m2 m1, 55 % satisfazem m2 m3 e 55 % satisfazem m1 m3.

Isolamos os possíveis cenários:

• Caso m1 seja escolhido: sem a adição de m3, 60% preferem m2 a m1, o que viola ocritério.

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• Caso m2 seja escolhido: sem a adição de m1, 55% preferem m3 a m2, o que viola ocritério.

• Caso m3 seja escolhido: sem a adição de m2, 55% preferem m1 a m3, o que viola ocritério.

Isso mostra que para um exemplo particular, mesmo que simples, o critério não é satisfeito.É possível encontrar informações mais detalhadas sobre outros processos onde o critérionão é satisfeito em (CONITZER, 2006).

4.1.4 Ditadores

Ditadura é o processo de seleção multiagente que se comporta como se existisseapenas um agente que toma as decisões. Ou seja, se existe um agente Ditador, qual ωi i ωj

para qualquer j diferente de i, então a função de Bem Estar Social = ωi ∗ ωj. Ou seja oDitador tem poder máximo de escolha, não importando as escolhas de outro agentes.Em um contexto de projetos aeronáuticos, a presença de um ditador pode deslocar ospontos ótimos de projetos, por meio de tomada de decisão que são unilaterais e sãoincapazes de reproduzir em totalidade o cumprimento todos os requisitos necessários paraatender o Bem Estar Social de todos os projetistas e demais envolvidos. O Ditador nãoconsegue reproduzir a ordenação de preferência de todos os projetistas simultaneamente,pois se o fizesse, todos os projetistas seriam Ditadores equivalentes com a mesma ordenaçãode preferências. Como por definição aqui executada e exposto na seção 2.3, os projetistaspossuem preferências distintas, assim como os clientes e demais envolvidos no projetoaeronáutico e portanto a presença de um ditador leva ao não cumprimento de todas aspreferências que são mapeamentos dos requisitos de projeto.

4.1.5 O Teorema de Arrow

Podemos então enunciar o teorema de Arrow:

O único sistema de decisão multiagente que satisfaz simultaneamente as condições dePareto, Vencedor de Condorcet e Independência de Alternativas Relevantes é o sistema de

Ditadura, composto pela presença de um Ditador.(ARROW, 1950)

A demonstração do Teorema de Arrow é laboriosa e necessita de alguns outros conceitossuplementares em Teoria das Escolhas Sociais. Sem perder generalidade, é um poderosoteorema que demonstra a impossibilidade de agentes decidirem de modo ’razoável’ dentrode conceitos intuitivos sobre preferências, compostas por critérios não quantificáveis(subjetivos) e quantificáveis, sem a presença de um Ditador. Lembrando-se que o conceitode preferência é um conceito auxiliar ao conceito de utilidade que no caso é mensurável. A

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extensão deste teorema é aplicável a qualquer tipo de composição de preferências, semperda de generalização.

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5 O TEOREMA DE IMPOSSIBILIDADE DE ARROW E DUALISMO COM DE-CISÕES EM PROJETOS AERONÁUTICOS

O problema é chamado de dual caso, sob a modelagem de um problema propostocom uma estrutura aparentemente distinta, é capaz de mapear os resultados da estruturade forma equivalente sobre a estrutura proposta. Resolver o problema dual é o mesmo queresolver o problema proposto. (IZMAILOV; SOLODOV, 2005)Um exemplo de utilização de um problema dual para a resolução de problema é o próprioTeorema da Existência de Equilíbrios, (NASH et al., 1950). Onde John Nash utilizou umproblema dual, com base em Teoremas do ponto fixo e demonstrou a existência dos pontode equilíbrio em Jogos n-jogadores.

Iremos aqui criar um dualismo, entre o Teorema de Arrow e o processo de decisãoem projetos aeronáuticos, a fim de mostrar que: não é possível satisfazer simultaneamentetodos os requisitos de um projeto aeronáutico, que satisfaçam as condições ótimas paracada projetistas individualmente, quando são necessário processos de decisão multiagentes.

Na seção 2.1 mostramos com exemplos práticos e históricos, que os critérios desubjetividade estão presentes em importantes etapas dos projeto conceitual de aeronaves.Essas etapas são gargalos de outras, ou seja, necessariamente o projeto ao atingir essaetapa não possui outras etapas em paralelo que possam servir de substitutas no processode decisão. Ainda, mostra-se que em todo projeto aeronáutico, existem requisitos e partesinteressadas nestes requisitos, que necessariamente irão transformá-los em critérios deengenharia e consequentemente serão definidos os critérios de utilidade somados a critériossubjetivos, conforme descrito na seção 2.3. Para estas partes interessadas estão consolidadasas respectivas funções de preferência, Ω, definidas para cada um dos integrantes. Oselementos de Ω podem ser:

• Configurações de Aeronaves

• Decisões sobre critérios de projeto

• Componentes a serem utilizados, como no caso do motor. Equação 3.6

• Número de requisitos a serem cumpridos

É importante ressaltar que o espectro de candidatos, ou seja, |Ω| será finito nestascondições, como muitas vezes é observado na prática. No caso deste espectro ser muitogrande, é comum em engenharia a redução a faixa de valores prováveis. Por exemplo, naestimativa do tamanho de uma superfície de controle plausível a um projeto aeronáutico,teoricamente a faixa de valores é contínua e infinita, mas os projetistas reduzem a faixa a

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valores significativos a prática já consolidado pelo históricos de outros projetos. Temosentão definidos os agentes e os espectros de decisões como finitos.

O projetistas precisam exercer o seu poder de escolha, por definição. Somente assimeles são capazes de realizar o trabalho necessário. Portanto, eles precisam decidir qualo método de escolha utilizarão. De acordo com o que pode-se intuir dos excertos aquiapresentados (GARRARD, 1978) e (RECH; LEYMANN, 1980), os processos de decisãode escolha são muito simples. É provável que critérios como pluralidade sejam utilizados.Em alguns casos é possível ainda reconhecer o agente ditador, eximindo os projetistas deutilizarem os seus critérios de preferência como em:

The selection of engines was critical decision. Here, the need for the highest attainablereliability and maintainability along with easy serviceability was paramount. The

Chairman of the Board owner wanted to be able to count on his jet transport being able togo at any time and get him back with minimum of delay or interruptions. The Rolls-Royce

turboprop Dart was selected. It already had an impressive reliability record. (MEAD;COPPI; STRAKOSCH, 1980).

O problema em permitir que um Ditador decida pelos demais agentes seria queele não conseguiria simultaneamente representar todas as outras formas de preferênciaspossíveis. Por exemplo, caso em uma rodada de decisões de projeto, o Ditador seja umprojetista do Departamento de Aerodinâmica, toda a carga de subjetividade e preferênciaserá desbalanceada para questões relevantes prioritariamente a Aerodinâmica, desconside-rando as outras áreas, pois conforme foi postulado na seção 2.3, um projetista não possuia capacidade de dominar todos os campos da engenharia, simultaneamente, necessáriospara o desenvolvimento completo de uma aeronave.

O cerne de toda questão está em: quando há um ditador as soluções ótimas dePareto são reduzidas, mas ainda existem. No entanto, elas deixam de representar a melhorsolução que poderia existir caso não houvesse o Ditador, pois ele não é capaz de reproduzirtodas as subjetividades e preferências necessárias ao desempenho equilibrado do Projeto.

É intuitivo estabelecer que os processos de decisão aeronáutica devem satisfazer ascondições propostas na seção 4.1. Se uma decisão de projeto é melhor a qualquer outraexistente, e todos os projetistas utilizando suas experiências são capazes de detectar essefato, então pode-se estabelecer que deve existir a Condição de Pareto

A Condição de existência do Vencedor Condorcet pode ser entendida como oobjetivo pelo qual todos os projetistas trabalham. Detectar qual é a melhor decisão a sertomada é o objetivo principal de um projetista. Reconhecer simultaneamente que existeuma solução, ou decisão que é mais vantajosa a todos os projetistas simultaneamente é omesmo que estabelecer que existe o Vencedor Condorcet .

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É possível ainda a seguinte situação corriqueira em projetos de alta complexidade;alterar os requisitos, de forma a facilitar a execução dos projetos. No entanto, ao se fazer aquebra de requisitos, caso existam escolhas que anteriormente representavam ordenação depreferência e não foram afetadas pela adição ou remoção de novos escolhas, então pode-seestabelecer que deve ser válido o critério de Independência das Alternativas Relevantes.

Estes pontos criam os fundamentos da dualidade entre um processo multiagente deescolhas e o projeto conceitual aeronáutico. Portanto, o Teorema de Arrow garante queexistirá um Ditador.

Assim escreve-se: não é possível satisfazer simultaneamente todos os requisitos de umprojeto aeronáutico quando são necessários processos de decisão multiagentes, pois existiráum Ditador que não é capaz de representar simultaneamente todos os requisitos de umprojeto aeronáutico de forma equivalente ao sistema multiagente. Esse é um paradoxo quesurge da própria natureza complexa das relações de compromisso dos projetos aeronáuticos.

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6 CONCLUSÕES

Neste manuscrito foi apresentado o conceito de Teoria dos Jogos, mais especifica-mente alguns conceitos da Teoria das Escolhas Sociais. Por meio de uma conceitualizaçãorazoavelmente simples, o Teorema de Arrow se mostra bastante útil para entender osmotivos da impossibilidade do cumprimento simultâneo de todas os requisitos de um pro-jeto aeronáutico, quando este depende de processos de escolhas gerenciados por múltiploagentes, ou neste caso, projetistas.

Os resultados aqui propostos podem ser utilizados na compreensão dos mecanismosde escolha que ocorrem durante as primeiras etapas de um projeto conceitual de aeronaves.A existência de um Ditador leva a crer que em etapas e processos cruciais de decisãoé necessário possuir um e somente um agente responsável pela tomada de decisão, aoinvés de um sistema multiagentes. O Ditador, neste caso o projetista responsável, deveser então, o responsável pelo processo de tomada de decisão, mas ele nunca será capaz derepresentar todos os critérios de projetos e preferências que os outros projetistas podemapresentar e, consequentemente, o projeto nunca alcançará a ótima configuração, ondetodos os projetistas são considerados invariavelmente satisfeitos.

Como resultado aplicável diretamente a indústria de construção aeronáutica, épossível a reflexão de que apesar dos esforços imensos que se faz com o auxílio de métodosde otimização para a resolução de problemas específicos, não tem efeito esses esforços casoo critério de decisão final seja algum critério subjetivo que invariavelmente depende dasdecisões de outros projetistas. O ótimo não pode ser alcançado. No entanto esse esforçosservem para direcionar o projeto a alcançar a maior eficiência sobre a perspectiva desatisfação de todos os projetistas e envolvidos no processo de tomada de decisão, mesmoque a eficiência ideal do processo de decisão não possa ser alcançada.

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