OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

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Versão Online ISBN 978-85-8015-080-3Cadernos PDE

I

A FORMAÇÃO DO CONCEITO DE QUADRILÁTEROS: AULAS BASEADAS NA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E EM CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

Edilene Aparecida Damasceno Antigo1

Marcelo Carlos de Proença2

Resumo: O presente artigo tem por objetivo apresentar os resultados do Projeto de Intervenção Pedagógica do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED), desenvolvido na Escola Estadual Benedito Romualdo de Souza – Ensino Fundamental, no município de Marialva – PR. Este trabalho foi realizado em 32 h/a, por meio de Unidade Didática, baseado na abordagem de resolução de problemas em meio a uma sequência de atividades, tendo em vista as dificuldades dos alunos referentes aos atributos definidores do conceito de quadriláteros. Durante o desenvolvimento deste estudo, verificou-se que na avaliação inicial, os 19 alunos do sexto ano do Ensino Fundamental, envolvidos neste trabalho, apresentaram média geral de 4,2. Analisando o trabalho desenvolvido verificou-se o progresso da turma, obtendo uma média geral de 8,4, desempenho desejável. Torna-se evidente o favorecimento aos alunos, da compreensão do conceito de quadriláteros e seus atributos definidores, após este trabalho. Palavras-chave: Resolução de Problema. Formação de Conceito. Geometria. Quadriláteros.

1 Introdução

A produção deste artigo é fruto de estudos realizados no Programa de

Desenvolvimento Educacional PDE/2014, ofertado pela Secretaria de Estado e

Educação do Estado do Paraná. Este programa visa à melhoria da qualidade do

ensino das escolas públicas e oportuniza aos professores refletir sobre sua prática

docente e aprimorar seus conhecimentos.

Teve como objeto de estudo alunos do 6º ano do ensino fundamental,

objetivou-se possibilitar a aprendizagem do conceito de quadrilátero. Os alunos

demonstram ter familiaridade com conceitos matemáticos cotidianos, já trazem um

conjunto de noções informais sobre geometria, no entanto apresentam dificuldades

em resolver problemas matemáticos que envolvem conceitos e propriedades

geométricas no ambiente escolar.

A Prova Brasil, sistema de avaliação que analisa o desempenho do aluno na

resolução de problemas com base em descritores referentes aos conhecimentos que

1 Professora participante do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, Turma 2014 – SEED/

PR, Especialista em Educação Matemática e Neuropedagogia em Educação, Professora da Rede Pública Estadual, na cidade de Marialva – Paraná. E-mail: ediantigo@seed.pr.gov.br 2 Professor Doutor do Departamento de Matemática da UEM-PR. Orientador no PDE. E-mail:

mcproenca@uem.br

deveriam ser desenvolvidos pelos alunos, aponta que os alunos têm pouco

conhecimento quando o assunto é geometria.

Por exemplo, numa atividade cujo descritor era “identificar propriedades

comuns e diferenças entre figuras bidimensionais pelo número de lados e pelos tipos

de ângulos”, “apenas 39% dos alunos conseguiram identificar polígonos a partir da

observação de seus lados.” (PROVA BRASIL, 2011, p.115).

Outra atividade em que o descritor era “identificar quadriláteros observando

as relações entre seus lados (paralelos, congruentes, perpendiculares)”, o resultado

mostrou que apenas “38% dos alunos avaliados dominaram a habilidade requerida.”

(PROVA BRASIL, 2011, p.116).

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais:

A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. (BRASIL, 1998, p.40)

Nesse sentido, buscou-se favorecer a formação conceito de quadriláteros –

desenvolvimento desse conceito. Diante desse objetivo, a resolução de problemas,

como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem, teve o papel de

evidenciar o uso desse conceito e aulas baseadas no desenho geométrico como

desencadeador do processo de formação do conceito.

2 Entendendo o que é Resolução de Problema

Segundo Echeverría (1998, p.48), “[...] para que possamos falar da existência

de um problema, a pessoa que está resolvendo a tarefa precisa encontrar alguma

dificuldade que a obrigue a questionar-se sobre qual caminho que precisa seguir

para alcançar a meta.”

No entanto, no caso dos problemas escolares de matemática, verifica-se que

são abordados em sala de aula de forma equivocada. Explica-se o conteúdo,

expõem-se alguns exemplos e depois se aplica um problema, resolvendo-o

mecanicamente. Essa função corresponderia a um exercício de fixação do conteúdo.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p.41) apontam que:

[...] o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório [...], a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem.

Desse modo, ao se resolver um problema, envolve-se em etapas de

resolução. Sternberg (2000, p. 306-309) descreve sete etapas de resolução de

problemas que seguiria o seguinte ciclo: Identificação do problema – Identificar a

situação a ser resolvida como um problema, ou seja, identificar a existência do

problema; Definição e representação do problema – Identificado o problema, é

importante defini-lo e representá-lo para posteriormente ser capaz de resolvê-lo;

Formulação da estratégia – Definido o problema, planeja-se, então, uma estratégia

de resolução, lembrando que “não há uma única estratégia ideal para tratar de um

problema”; Organização da informação – Formulada a estratégia, organiza-se a

informação disponível no problema para facilitar a execução da estratégia, pode ser

em forma de tabela, um mapa, um calendário; Alocação de recursos – Os recursos

podem ser tempo, dinheiro, equipamentos, espaço físico, recursos mentais e outros.

Alocar estes e outros recursos é necessário para evitar frustrações futuras e ganhar

tempo; Monitorização – É importante monitorar todo o processo, conferindo cada

passo dado, para atingir o objetivo com segurança e sucesso; Avaliação – É preciso

avaliar a solução, pois novos problemas podem ser reconhecidos, o problema pode

ser redefinido, então novas estratégias, novos recursos podem ser usados de

maneira mais eficiente.

Segundo Sternberg (2000), a posição dessas etapas é flexível, podendo

mudar sua ordem, omitir etapas ou acrescentar outras, de acordo com a

necessidade. No entanto, entende-se que não basta seguir as etapas que a solução

do problema será alcançada com sucesso e que a aprendizagem e a compreensão

de conceitos matemáticos serão efetivadas.

Tendo em vista o que seria um problema e as etapas de resolução, é

importante pensar sobre o ensino por meio da resolução de problema.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p.40):

A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las.

Nesse sentido, é possível instigar o aluno a pensar, a buscar conceitos já

formados e a construir novos conceitos. Assim, é de suma importância que o

professor tenha claro o que pretende ensinar, pois a seleção dos problemas que

serão propostos aos alunos deve possibilitar a construção de conceitos, visando a

um ensino-aprendizagem acompanhado de significado.

Desse modo, exercer um ensino de matemática baseado na perspectiva de

resolução de problemas é necessário estruturar uma sequência de ações: o

problema deve ser apresentado ao aluno antes de abordar o conteúdo matemático,

o professor deve fazer as intermediações, lançar questões desafiadoras que levem o

aluno a pensar, as estratégias de resolução devem ser registradas no quadro, uma

discussão coletiva deve ser realizada para que cada aluno ou grupo defenda suas

ideias/estratégias de resolução. Para dar início à apresentação do conteúdo

matemático, o professor realiza uma síntese das estratégias expostas no quadro em

cada situação problema, buscando articulação ao conceito em estudo.

O processo de Formação de Conceitos

Klausmeier e Goodwin (1977, p. 50) definem um conceito como:

[...] informação ordenada a respeito das propriedades de uma ou mais coisas – objetos, eventos ou processos – que torna qualquer coisa particular ou classe de coisas capaz de ser diferenciada e também relacionada com outras coisas ou classes de coisas.

Para Pais (2011, p. 55), “[...] os conceitos são ideias gerais e abstratas

desenvolvidas no âmbito de uma área específica de conhecimento, criadas para

sintetizar a essência de uma classe de objetos, situações ou problemas relacionados

ao mundo-da-vida.”

Klausmeier e Goodwin (1977) destacam que um conceito pode ser entendido

como construtos mentais de indivíduos e entidades públicas. O conceito como

entidade pública é a padronização de significados de palavras, para facilitar a

comunicação, são “[...] informações organizadas que correspondem ao significado

de palavras. Estes significados são colocados em dicionários, enciclopédias e outros

livros.” (KLAUSMEIER; GOODWIN, 1977, p. 50), e estes são aceitos socialmente

numa tentativa de transmitir conhecimento.

O conceito como construto mental está relacionado às experiências de

aprendizagem de cada indivíduo em consonância com o seu grau de maturidade.

“Os conceitos formados são usados para pensar sobre o mundo físico e social.”

(KLAUSMEIER; GOODWIN, 1977, p. 50).

Os conceitos segundo Klausmeier e Goodwin (1977, p. 317-320) podem

apresentar oito atributos, que são características discrimináveis de um objeto ou

evento. São eles: Aprendibilidade: alguns conceitos apresentam exemplos mais

perceptíveis tornando-se mais fáceis de serem aprendidos, enquanto outros são

mais difíceis por não terem exemplos perceptíveis; Utilidade: os conceitos podem

variar quanto ao seu uso para compreender, formar princípios e resolver problemas;

Validade: um conceito é válido na medida em que se avança nos estudos sobre ele

e está de acordo com a definição aceita pelos especialistas; Generalidade: os

conceitos são classificados em níveis hierárquicos, têm conceitos mais gerais que

definem um grupo maior em relação a outros conceitos mais específicos;

Importância: um conceito é importante quando este facilita ou se torna indispensável

para a formação de outros conceitos; Estrutura: qualquer conceito como entidade

pública, definido em termos de atributos tem uma estrutura denominada de regras

conceituais, que encontra presente nas escolas como regras afirmativas,

conjuntivas, disjuntiva inclusiva, condicionante ou bicondicional; Perceptibilidade de

exemplos: às vezes o exemplo de um conceito não é perceptível pelos órgãos do

sentido. Quando isso acontece, o exemplo do conceito pode ser representado

através de desenho ou outros meios, por exemplo, o conceito de ponto, de reta e de

plano; Numerosidade de exemplos: é importante apresentar um número expressivo

de exemplos para se aprender um determinado conceito, no entanto o número de

exemplos de um conceito pode variar de um até infinitos números.

O atributo de um objeto ou evento, de acordo com Klausmeier e Goodwin,

pode ser diferenciado em atributos definidores e irrelevantes, por assumirem valores

diferentes. Exemplo: formas geométricas chamadas de polígonos têm como atributo

definidor ser uma figura plana de contorno fechado, ser formado por segmentos de

reta que não se cruzam. Atributos irrelevantes referem-se às características como

cor, tamanho, rotação, etc., que não interferem na formação do conceito.

Para os autores, erros na formação de conceitos podem ser evitados quando

se trabalha com exemplos (formados pelos atributos definidores) e não exemplos

(que não apresentam em sua totalidade os atributos definidores, portanto não

contemplam todas as características que definem o conceito desejado).

Nesse sentido, é fundamental que o professor tenha domínio sobre os

atributos definidores que irá trabalhar para um ensino efetivo de conceitos, além dos

exemplos e não exemplos. Tal domínio pode ajudar os alunos a desenvolverem

seus conhecimentos de determinado conceito ao longo de quatro níveis cognitivos,

os quais implicam em operações mentais necessárias, a saber: Nível concreto: os

conceitos formados neste nível podem ser usados na solução de problemas simples,

ele se forma “[...] quando o indivíduo reconhece um objeto que foi encontrado numa

ocasião anterior.” (KLAUSMEIER; GOODWIN, 1977, p. 52), o nome do conceito

pode ou não ser aprendido neste nível; Nível de identidade: neste nível o indivíduo

deve ter formado conceito no nível concreto, além de reconhecer o objeto ele

reconhece em perspectivas físicas diferentes ou num outro aspecto sensorial

diferente, o indivíduo discrimina o objeto de outros objetos e generaliza as formas

equivalentes; Nível classificatório: a formação de um conceito neste nível se infere

quando o indivíduo pode classificar corretamente os vários exemplos e não

exemplos de um objeto, evento ou ações, mas não pode definir a palavra que

representa o conceito; Nível formal: Um indivíduo forma conceito neste nível quando

ele sabe nomear o conceito e defini-lo em termos de seus atributos definidores,

quando sabe discriminar e nomear seus atributos, diferenciar exemplos e não

exemplos em termos dos atributos definidos.

Formação de conceitos de geometria

A ausência do ensino de geometria e a forma de abordar este conteúdo

prejudica a formação dos alunos, pois de acordo com os PCN (1998) “[...] por meio

dos conceitos de geometria, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento

que lhe permite compreender, descrever e representar de forma organizada, o

mundo em que vive.” (BRASIL, 1998, p.51).

Proença e Pirola (2009) mostram em sua pesquisa que os alunos do Ensino

Médio apresentaram dificuldades em identificar atributos definidores de polígonos

como figura plana, segmento de reta e figuras simples, atributos essenciais na

aprendizagem do conceito abordado. Pirola (1995) aponta dificuldades dos alunos

no Ensino Fundamental em identificar atributos definidores (figuras simples,

segmento de reta, figura plana) de triângulos e paralelogramos.

Segundo Pirola (1995, p. 05-06) o ensino de geometria constitui-se em um

grande problema. Realizando uma análise sob a ótica do modelo de formação de

conceitos de Klausmeier (1977), o autor evidenciou motivos que pouco favorecem a

aprendizagem dos alunos: atividades apoiadas única e exclusivamente nos livros

didáticos; o número de exemplos e não exemplos do conceito a ser ensinado é

muito reduzido, e os não exemplos quase não aparecem nos textos e nas aulas de

Geometria; a desvinculação entre as figuras planas (propriedades, atributos

definidores, atributos relevantes e irrelevantes) e as construções executadas com os

instrumentos geométricos.

No que diz respeito à disciplina de desenho geométrico, verifica-se que sua

presença não está explícita nas DCE (PARANÁ, 2008). No entanto os Parâmetros

Curriculares Nacionais (BRASIL 1998) recomendam que:

[...] o professor de Matemática explore situações em que sejam necessárias algumas construções geométricas com régua e compasso, como visualização e aplicação de propriedades das figuras, além da construção de outras relações. (BRASIL, 1998, p. 51).

Segundo os PCN (1998), cabe ao professor ser o mediador, organizador,

facilitador, orientador, incentivador e avaliador no processo de ensino e

aprendizagem.

3 Implementação da Unidade Didática: formação do conceito de quadriláteros

A Produção Didática Pedagógica, elaborada no PDE, foi desenvolvida no 2º

semestre do ano letivo de 2015, na Escola Estadual Benedito Romualdo de Souza.

Participaram 19 alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, sendo dez meninas e

nove meninos. Tal produção correspondeu à modalidade Unidade Didática, a qual

teve como proposta abordar o conceito de quadriláteros através da resolução de

problemas e a formação desse conceito por meio de uma sequência de atividades,

envolvendo construções geométricas e a retomada de novos problemas.

A Unidade Didática seguiu estratégias de ações em três etapas:

Primeira etapa: para verificar o conhecimento dos alunos participantes em

atividades de resolução de problema que envolve o conceito de quadriláteros,

aplicou-se uma avaliação inicial com três situações problemas para resolverem

individualmente. Destaca-se que as atividades foram baseadas em exemplos de

problemas que ilustram o modelo da Prova Brasil, sendo os mesmos modificados

quanto ao seu enunciado.

Quadro1: Prova de matemática utilizada Problema 1: Dominó

Você provavelmente já viu um jogo de dominó e já jogou com seus colegas. É um jogo milenar, divertido, jogado por todas as pessoas de todas as idades. O dominó é o jogo formado por peças que têm uma espessura que lhes dá a forma de paralelepípedo.

Note que a face superior tem formato de um quadrilátero.

Figura 1: Representação da peça de um dominó

Fonte: Própria

Dos quadriláteros que você conhece, qual melhor caracteriza a face superior da peça de um

jogo de dominó? Problema 2: A cadeira

Uma fábrica de móveis quer lançar um modelo de cadeira cujo encosto tem a forma de um quadrilátero com dois lados paralelos. Para isso, a fábrica lançou um concurso de desenho de encosto de cadeira que atendesse à forma citada. Qual seria um exemplo de desenho de encosto de cadeira que atendesse à expectativa da fábrica? Problema 3: Coleções de figuras Laura coleciona figuras. Quando não consegue trocar as figuras repetidas ela cola numa página de seu caderno de matemática. O desenho abaixo mostra como ficou sua última colagem.

Figura 2: Figuras planas

Fonte: Própria

Analisando estas figuras, cite uma característica comum.

Questionamento: Houve dificuldades para resolver os problemas propostos? Se houve, qual ou quais foram?

Fonte: Própria

Após a resolução, os alunos reuniram-se em duplas, discutiram as estratégias

utilizadas por cada um na resolução dos problemas propostos e expuseram-nas com

registros no quadro. Realizou-se uma síntese das estratégias utilizadas pelos

alunos, apresentando-se a solução de cada problema e deu-se início à

apresentação do conteúdo.

Segunda etapa: desenvolveu-se por meio de uma sequência de nove

atividades, algumas delas destinadas a um estudo de reta, ângulos, paralelismo e

perpendicularismo, tudo para uma melhor compreensão das propriedades de

quadriláteros. Para ampliar esse conhecimento, construções geométricas foram

propostas e resolução de problemas. Pretendeu-se neste momento possibilitar que

os alunos se apropriassem do conceito formal de quadriláteros, nomeando e

identificando tais termos, definindo-o em termo de seus atributos definidores. Segue

a descrição das atividades aplicadas.

Atividade 1: Conceito de quadriláteros: nesta atividade, por meio da

linguagem oral e escrita, construiu-se com os alunos o conceito de quadriláteros.

Com base nas discussões e sínteses realizadas na primeira etapa foram propostos

os seguintes questionamentos: O que é quadrilátero? Os quadriláteros são figuras

planas ou espaciais? Que quadrilátero você conhece? Represente na malha

quadriculada esses quadriláteros e pinte-os. Cite dois exemplos que você não

considera como quadriláteros e por quê?

O professou listou as respostas no quadro e com os alunos analisaram todas

as respostas e definiram quadriláteros, destacando os elementos, lado, ângulo

interno e vértice.

Atividade 2: Noções primitivas: ponto, reta e plano: com o objetivo que os

alunos reconhecessem as noções primitivas de geometria, através de exercícios, foi

pedido aos mesmos de maneira intuitiva, exemplos que representassem a ideia de

ponto, reta e plano: na sala de aula, em casa e no material escolar.

Atividade 3: Os instrumentos de desenho: objetivou-se com esta atividade

que os alunos conhecessem os instrumentos de desenho, em especial régua,

compasso e transferidor e sua utilização, pois o emprego desses materiais seria

indispensável para o desenvolvimento das próximas atividades.

Atividade 4: O estudo da reta: o estudo da reta e de suas partes (semirreta,

segmento de reta), assim como as posições de uma reta no plano, a posição de

duas retas no plano (paralelas e concorrentes), levou os alunos a verificarem de

modo intuitivo quantas retas passam por um único ponto e que uma única reta passa

por dois pontos, reforçou-se o trabalho com as capacidades de abstrações e

generalizações dos alunos, pois as aplicações desses conhecimentos estão

presentes no cotidiano.

Questionamentos foram realizados durante a exposição do conteúdo,

atividades foram propostas e houve intervenções do professor para esclarecimentos

dos termos matemáticos, refinando os conceitos.

Atividade 5: Ângulos: para discussão sobre o conceito de ângulo em sala de

aula, os alunos foram organizados em grupos, os quais realizaram a

construção/montagem de representações/figuras, envolvendo duas semirretas. Os

grupos expuseram suas representações no quadro, realizou-se discussão de modo

que os mesmos apresentassem subgrupos dessas representações.

Pretendeu-se identificar como os grupos reconheceriam ângulo, tendo em

vista um direcionamento de seus atributos definidores, assim introduziu-se o

conceito de ângulo e sua classificação, foram resolvidos alguns exercícios, alguns

com construções de ângulo utilizando régua e transferidor.

Atividade 6: Construções de retas paralelas e perpendiculares: objetivou-

se com esta atividade o reconhecimento de posição relativa de duas retas em um

plano, por meio da construção de retas paralelas e perpendiculares com régua e

compasso, para posteriormente reconhecer essas posições nos quadriláteros e nas

suas construções. Os traçados foram apresentados e conduzidos passo a passo

pelo professor o qual os executou no quadro. Após isso, os alunos executaram as

construções seguindo os passos apresentados por meio de exercícios.

Atividade 7: Estudo dos quadriláteros – classificação: para a realização

desta atividade os alunos foram organizados em grupos. No estudo dos

quadriláteros foram destacados os paralelogramos e trapézios, e enfatizados os

paralelogramos por estarem presentes nos objetos, nos móveis etc.

Com os exercícios propostos objetivou-se levar os alunos a identificarem os

quadriláteros, seus elementos, propriedades e classificá-los. Durante sua execução

os instrumentos régua e transferidor foram utilizados para sanar dúvidas com

relação à classificação dos quadriláteros (atributos definidores), folhas de papel

quadriculado também foram utilizadas para os alunos desenharem quadriláteros

baseando-se nas suas propriedades (inclusão de classes). Ao término das

atividades, os grupos apresentaram no quadro a solução e promoveu-se uma

discussão a respeito das propriedades mínimas para definir cada quadrilátero.

Atividade 8: Construção geométrica de quadriláteros: possibilitou-se com

esta atividade a formação do conceito de quadriláteros e suas propriedades. Os

alunos realizaram a construção de um quadrado, de um retângulo, de um losango e

de um trapézio. Durante o passo a passo das construções os atributos definidores

do objeto em estudo (características mínimas, lados congruentes e ângulos retos)

puderam ser percebidos pelos alunos.

Atividade 9: Resolvendo problemas: ofereceu-se aos alunos uma

sequência de situações-problema com o objetivo de aplicarem o conceito de

quadriláteros na sua resolução. Os alunos estavam organizados em grupos, foram

disponibilizados os recursos materiais, palitos, tiras de papel, régua e registrou-se no

quadro as estratégias utilizadas em cada problema.

Terceira etapa: objetivou-se verificar se houve aprendizagem significativa

após este trabalho, na perspectiva de resolução de problemas com foco no desenho

geométrico, visando à formação do conceito de quadriláteros. Para isso foi proposta

uma nova prova individual com situações-problemas envolvendo a aplicação do

conceito em estudo. Os problemas foram baseados em simulados que ilustram o

modelo da Prova Brasil e do livro do Projeto Araribá, sendo os mesmos modificados

quanto ao seu enunciado. Seguem as situações-problema aplicadas aos alunos.

Quadro 2 : Segunda prova de matemática utilizada Problema 1: O percurso

Chegando a uma cidade, Gustavo fez algumas visitas. Visitou a igreja local, a pracinha, em seguida o museu e o teatro, retornando finalmente para a igreja. O mapa do percurso descrito está representado na figura abaixo. De acordo com a figura, qual é o quadrilátero que representa o percurso de Gustavo? Escreva suas características indicando-as na figura.

Figura 3: O percurso de Gustavo

Fonte: Portal MEC

Problema 2: Descubra o boné de cada um

Kelvin, Gabriel, João e Otávio usam bonés com logotipos com formas de figuras geométricas: quadrado, retângulo, losango e trapézio. Qual é o logotipo do boné de cada adolescente?

Otávio disse: “Meu boné tem um paralelogramo”. Gabriel falou: “João tem um boné que não é losango”. Kelvin afirmou: “No boné de Gabriel não há paralelogramo”. João disse: “No boné de Otávio há um losango que é também um retângulo”.

Problema 3: Coleções de figuras Ana Júlia coleciona figuras. Quando não consegue trocar as figuras repetidas ela cola numa página de seu caderno de matemática. O desenho abaixo mostra como ficou sua última colagem.

Figura 4: Coleção de figuras planas

Fonte: Própria Analisando estas figuras e todas suas características, como podem ser classificadas?

Problema 4: O desafio

O departamento de saúde de um município, preocupado com a saúde da população, lançou um desafio o qual incentivava a caminhar. A proposta era de todos os dias pela manhã dar uma volta na quadra onde reside. Dona Maria aceitou o desafio, a quadra onde ela caminha é retangular como mostra a figura, mede 100 metros de largura e 220 metros de comprimento. Quantos metros ela caminha diariamente?

Figura 5: Retângulo

Fonte: Própria

Fonte: Própria

Para analisar os dados, apresentamos os da avaliação inicial e final em

quadros e em termos de notas médias. Para as atividades de formação de

conceitos, apresentamos as dificuldades dos alunos e seus conhecimentos na

realização das atividades.

5 Análise dos resultados da implementação

Na primeira etapa, a análise dos dados mostrou que a nota média geral da

turma, numa escala de zero a dez, foi nota 4,2. O quadro a seguir mostra o resultado

geral obtido pelos alunos da turma em cada situação-problema:

Quadro 3: Acertos e erros em cada problema Situações-problema

Número de acerto

Número de erro

Total de alunos

Problema 1 7 (36,84%) 12 (63,16%) 19 (100%)

Problema 2 10 (52,63%) 9 (47,37%) 19 (100%)

Problema 3 7 (36,84%) 12 (63,16%) 19 (100%)

Fonte: Própria

Analisando o Quadro 3, pode-se perceber que o problema 2 obteve o maior

número de acertos. Com relação aos erros, buscou-se apresentar as dificuldades no

uso dos conceitos, conforme segue.

No problema 1, os alunos tiveram dificuldade em descrever o retângulo

como o quadrilátero que melhor caracterizava a face superior da peça de dominó,

várias foram as respostas, dois quadrados, quatro, paralelepípedo, dado.

A Figura 6, a seguir, ilustra uma das respostas obtidas para esse problema,

nota-se o não conhecimento do conceito de quadrilátero, pois se a face superior da

peça de dominó tinha o formato de quadrilátero, a resposta círculo estaria

descartada, já a resposta quadrado, ou dois quadrados até poderia aparecer.

Figura 6: Resposta de uma aluna para o problema 1

Fonte: Produção dos alunos

No problema 2, partindo da identificação das posições dos lados de

quadriláteros (paralelismo), respostas como retângulo, quadrado, trapézio, losango

poderiam ser aceitas para este problema, dos alunos que acertaram o problema o

retângulo apareceu como único modelo. Vale destacar que no momento da

exposição dos alunos sobre as estratégias utilizadas, ao serem questionados, se

neste problema o modelo tivesse dois lados paralelos e dois não paralelos, e de

mesmo comprimento, três alunos conseguiram desenhar o modelo pedido.

No problema 3 tratava-se de identificar atributos comuns, relevantes e

irrelevantes. Os alunos ao analisarem figuras (todas sendo quadriláteros) tiveram

dificuldades em identificar características comuns que fossem relevantes para definir

o conceito. Observa-se que a cor foi identificada como uma característica comum,

pois todas as figuras tinham a mesma cor, no entanto esta é uma característica

irrelevante, que não faz parte do conceito de quadriláteros, pontas também foram

identificadas como característica comum. Ao questionar o significado de pontas, a

resposta foi os cantos das figuras. Nota-se que as características pontas e cantos

estão relacionadas às experiências de aprendizagem do aluno (construto mental).

Porém, apesar de os vértices serem elementos dos quadriláteros, corresponderia a

um atributo definidor se tivessem citado que tais figuras são formadas por quatro

vértices.

Apresenta-se uma síntese do relato dos alunos quanto à pergunta que consta

no final da avaliação inicial sobre haver ou não dificuldades para resolver os

problemas, se sim qual ou quais foram às dificuldades.

Quadro 4: Dificuldades dos alunos em entender e resolver os problemas da avaliação inicial

Relatos dos alunos sobre as dificuldades encontradas Quantidade de alunos

Não houve dificuldade 8

Entender direito os problemas 1 e 3 4

Entender o problema 2 e desenhar a figura 3

Entender o problema 1 2

Em branco 2

Fonte: Própria

De acordo com o Quadro 4 e com base nos questionamentos dos alunos, em

grupos, durante a resolução dos problemas, percebeu-se dificuldade na

interpretação dos problemas devido a não familiaridade com o vocabulário

conceitual da geometria, como paralelo, quadrilátero, face, espessura do

paralelepípedo, bem como o não conhecimento de outros menos comuns como

encosto (da cadeira), milenar, característica comum.

Na segunda etapa - formação do conceito de quadriláteros - foram analisadas

as dificuldades dos alunos e também seus conhecimentos por meio da realização

das atividades 1, 7 e 9, por tratarem diretamente da formação do conceito de

quadriláteros, da classificação e aplicação do conceito em situações problemas.

Com base nas discussões e sínteses realizadas na primeira etapa, tornou-se

claro, na atividade 1, que os 19 alunos ao responderem à questão “O que é

quadrilátero?” uma figura para ter a forma de um quadrilátero é necessário ter

quatro lados, comprovaram esta ideia quando citaram corretamente círculos e

triângulos como não exemplos de quadriláteros à outra questão, mas ao serem

questionados se os quadriláteros são planos ou espaciais, dos 19 alunos envolvidos

nove responderam erroneamente que são espaciais.

A Figura 7, a seguir, ilustra o conhecimento de quadriláteros de um aluno,

que, na malha quadriculada, apresentou cinco exemplos corretos e uma definição

adequada com base em suas experiências, corresponde ao seu construto mental

desse conceito.

Figura 7: Respostas de um aluno às questões da Atividade 1

Fonte: Produção dos alunos

Na atividade 7, os alunos não tiveram dificuldades em classificar os

quadriláteros em paralelogramos, trapézios, partindo da observação dos

paralelismos dos lados. No entanto, tiveram dificuldades em classificar os

paralelogramos de acordo com as medidas dos lados e dos ângulos internos. A

Figura 8, abaixo, ilustra a resposta de uma aluna para uma questão de análise de

respostas de desenhos que representasse um retângulo com quatro lados de

mesma medida.

Figura 8: Resposta de uma aluna a uma das questões da atividade 7

Fonte: Produção dos alunos

Nessa figura, nota-se que a aluna não classificou corretamente os

paralelogramos, não estabeleceu relações entre as figuras, revelando

incompreensão da inclusão de classes, quadrado para a aluna não poderia ser

retângulo e retângulo não poderia ter quatro lados de mesma medida, como

evidenciado na explicação da análise apresentada por ela. Conforme a Figura 8, as

respostas corretas seriam de Ana Júlia e Hugo e incorretas de Maria Vitória e André.

Na atividade 9, os alunos tiveram oportunidade de aplicar seus

conhecimentos conceituais de geometria em situações-problema, como estavam

dispostos em grupos as discussões eram ricas em argumentos, fundamentados nas

aulas anteriores. Quanto ao conceito de quadriláteros, de suas propriedades e

classificação, essa atividade despertou o interesse dos alunos, facilitou a

compreensão, tornando-os concretos e mais claros.

A Figura 9 revela que a utilização de representações visuais evidenciou a

compreensão que os alunos tiveram, com oito tiras de papel separado em dois

grupos de tamanhos diferentes, puderam perceber quais quadriláteros poderiam

formar e quais não poderiam formar.

Figura 9: Resposta de uma aluna a uma das questões da atividade 9

Fonte: Produção dos alunos

Observa-se que às atividades de construções geométricas contribuíram para

promover a compreensão do conceito de quadriláteros e suas propriedades e a

perceber atributos definidores como lados congruentes.

Na terceira etapa, de avaliação final, a média geral da turma foi a nota 8,4

numa escala de zero a dez. Segue o resultado geral obtido pelos alunos da turma

em cada situação-problema:

Quadro 5: Resultado geral dos alunos em cada problema Situações-problema

Acertos Acertos parciais

Erros Em branco Total de alunos

Problema 1 15 (78,94%) 3 (15,8%) 1 (5,26%) 0 (0%) 19 (100%)

Problema 2 14 (73,68%) 5 (26,32%) 0 (0%) 0 (0%) 19 (100%)

Problema 3 12 (63,16%) 4 (21,05%) 2 (10,53%) 1 (5,26%) 19 (100%)

Problema 4 18 (94,73%) 0 (0%) 1 (5,26%) 0 (0%) 19 (100%)

Fonte: Própria

Analisando o Quadro 5, pode-se observar que o problema 4 obteve o maior

número de acertos, o problema explorou o conhecimento do aluno partindo da

observação do paralelismo dos lados, pares de lados paralelos.

6 Considerações Finais

A partir de um trabalho na abordagem de resolução de problemas, objetivou-

se favorecer a aprendizagem do conceito de quadriláteros de alunos do 6º ano do

Ensino Fundamental. Assim, investigou-se o desempenho e as dificuldades dos

educandos na resolução de problemas envolvendo o conceito em estudo, bem como

um trabalho realizado em sala de aula por meio de uma sequência de atividades.

Constatou-se, através das médias da avaliação inicial de 4,2 e avaliação final

de 8,4, que houve avanço significativo após este trabalho, embora alguns alunos

demonstraram certas dificuldades na resolução de problemas, pode-se considerar

que ensinar através da resolução de problema favoreceu o aprendizado dos alunos,

oportunizou aos mesmos, condições de ampliarem seus conhecimentos, de

aplicarem o conceito de quadriláteros em novas situações.

Durante as aulas propostas para a formação do conceito de quadriláteros,

verificou-se que houve o desenvolvimento da compreensão desse conceito. Os

alunos conseguiram se aprofundar na capacidade de representação mental das

figuras, no desenvolvimento do vocabulário geométrico, na classificação dos

quadriláteros (com base na identificação dos atributos definidores), na identificação

de propriedades comuns (inclusão de classes), no discernimento entre exemplos e

não exemplos de quadriláteros, e se sentiram motivados e estimulados nas

discussões em sala de aula ao fazer uso do conceito na resolução dos problemas.

REFERÊNCIAS

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2009. PROJETO ARARIBÁ. Matemática. 5ª série. São Paulo: Moderna, 2006. SIMULADO PROVA BRASIL 2011. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16640&Itemid=1109>.Último acesso em: 10/11/1014.

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