Instituto Superior Pedagógico Público 

“Gregoria Santos” 

 

PRONAFCAP “Mejores maestros, mejores alumnos”  1 

MÉTODO DE GAUSS PARA LA RESOLUCIÓN  DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 

  LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES  BREVE INTRODUCCIÓN   Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales, haciendo  abstracción  del  tipo  de  problemas  que origina  su planteamiento,  consiste en averiguar  si tiene o no solución, en caso de tenerla, saber si es única  o  es  un  conjunto  de  soluciones,  es  decir, resolver  un  sistema  es  calcular  su  solución  (o soluciones).  Partiremos por analizar el  caso general:  cualquier número  de  ecuaciones  y  cualquier  número  de incógnitas. Luego veremos  los casos más  sencillos (3 ecuaciones con 3 incógnitas, 4 ecuaciones con 4 incógnitas...)   CONCEPTO  DE  SISTEMA  DE  ECUACIONES LINEALES.‐  Es  un  sistema  de  “m”  ecuaciones  con “n”  incógnitas.  Es  un  conjunto  de  expresiones algebraicas de la forma:  

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = c1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = c2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = c3 … am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = cn 

 xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n). aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n). ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m). 

 • Los  números m  y  n  pueden  ser  cualesquiera: 

m>n, m=n ó m<n.  • Los escalares a ij y ci son números reales.  • El escalar aij es el coeficiente de xj en la i‐ésima 

ecuación.  • Cuando “n” es pequeño, es usual designar a las 

incógnitas con la s letras x, y, z, t, ... 

• Obsérvese  que  el  número  de  ecuaciones  no tiene  por  qué  ser  igual  al  número  de incógnitas. 

 • Cuando  ci=0  para  todo  i,  el  sistema  se  llama 

homogéneo.  CONVERSIÓN DE UN SISTEMA EN UNA MATRIZ  Un  sistema  de  ecuaciones  lineales  puedes expresada como una matriz, en la que únicamente se  consideran  los  coeficientes.  El  sistema  de  la forma  general  se  representaría  de  la  siguiente manera:  

a11  a12  a13  … a1n     c1 a21  a22  a23  … a2n       c2 a31  a32  a33  … a3n     c3 … am1 am2 am3  … amn    cn 

  Ejemplo. Expresar  el  siguiente  sistema  de  3  ecuaciones lineales en la forma matricial:  

3x +2y + z = 1    5x +3y +4z = 2  x + y ‐ z = 1 

 Primero  identificamos  los  coeficientes  de  la primera ecuación del sistema, que son los números 3,  2,  1  y  1,  este  último  es  el  término independiente.  Lo mismo  hacemos  con  todas  las ecuaciones del sistema, de modo que queda así:  

3   2   1      1    5   3   4      2  1   1  ‐1      1 

 Esta  es  la  expresión  matricial  del  sistema  de ecuaciones lineales. 

 

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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.‐   Atendiendo  al número de  soluciones  los  sistemas de ecuaciones se clasifican de la siguiente manera:  

CLASE  SOLUCIÓN Incompatible  No tiene solución. Compatible  Tiene solución. Compatible determinado   Solución única. Compatible indeterminado  Infinitas soluciones.  Sistemas de ecuaciones lineales escalonados Son  aquellos  en  que  cada  ecuación  tiene  una incógnita menos que la anterior.   

x + y + z = 3                 1   1   1     3     y + 2z = ‐ 1     0   1   2    ‐1              z = ‐ 1    0   0   1    ‐1 

 Si observamos la 3ra ecuación, tenemos que: z = ‐1.  Sustituyendo su valor en la 2da obtenemos:   y = 1. Y  sustituyendo  en  la  1ra  los  valores  anteriores tenemos que:   x = 3.   

  

También es un sistema escalonado:  

x + y + z = 4       y +  z =  2  

 Como  en  este  caso  tenemos más  incógnitas  que ecuaciones, tomaremos una de  las  incógnitas (por ejemplo la “z” y la pasaremos al segundo miembro.   

x + y +  z = 3           y = 2 ‐ λ 

 Consideraremos  z=  λ,  siendo  λ un parámetro que tomará cualquier valor real.  Las soluciones son:     z = λ,  y = 2‐λ   x= 1.  

EL MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES  Consiste en transformar un sistema de ecuaciones en  otro  equivalente  de  forma  que  éste  sea escalonado.  Para facilitar el cálculo es necesario transformar el sistema  en  una matriz,  en  la  que  pondremos  los coeficientes  de  las  variables  y  los  términos independientes (separados por una línea vertical).  Reglas básicas para lograr una matriz escalonada:  

1. Cada  fila  de  la  matriz  puede  ser multiplicada por un número real.‐   Esto significa que si tenemos: E1: 2x + y = 3, podemos  multiplicar  la  ecuación  E1:  por cuatro. Eso significa efectuar: 4 ( E1 )  Es  decir:  E2  :  4  (2x  +  y  =  3),  de  donde obtenemos: E2 : 8x + 4y = 12, equivalente a E1  

2. Se  puede  sumar  o  restar  una  fila  o  su equivalente  a  cualquier  otra  o  su equivalente.  Esto significa que si tenemos: F1 : x + y = 5     y   F2 : 2x – 3y = 1, entonces podemos hacer: F1 + F2 :  3x – 2y = 6,  o también:  F1 – F2 :  ‐1x – 4y = 4  –2F1 + 3F2 :  4x – 14y = ‐7   Pero  no  se  trata  de  sumar  por  sumar  o restar  por  restar.  Es  preciso  ir  buscando que  la matriz se transforme en una matriz escalonada. 

 Ejemplo: Resolver el siguiente sistema:   

3x +2y + z = 1    5x +3y +4z = 2  x + y ‐ z = 1 

 Solución: Convertimos el sistema en una matriz:  

Hay  que  notar  que  en  la  forma matricial  escalonada  resaltan  los ceros,  que  representan  a  las variables ausentes.  

 

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 3   2   1      1    5   3   4      2  1   1  ‐1      1 

  3   2   1      1          3   2   1      1 5   3   4      2      3f2 ‐5f1    0  ‐1   7      1 1   1  ‐1      1      3f3‐f1    0   1  ‐4      2   3   2   1      1          3   2    1      1 0  ‐1   7      1           0  ‐1    7      1 0   1  ‐4      2      f3+f2    0   0    3      3  Luego  de  haber  obtenido  la  matriz  escalonada, retornamos las variables:  3x + 2y + 1z = 1 0x  ‐1y + 7z = 1     0x + 0y + 3z = 3    de donde:  z = 1  Con el valor de z podemos encontrar el de “y” y “x”  En E2 :  ‐ y + 7(1) = 1       de donde:   y = 6   En E1 :   3x + 2(6) + 1(1) = 1   de donde:   x = ‐4  

∴El C.S. = { x = ‐4,  y = 6,  z = 1 }   Ejemplo: Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de m.  

x +my + z = 1    mx + y +(m‐1)z = m x + y + z = m + 1 

 Resolución:  Convertimos el sistema a una matriz:  

  

Efectuamos las operaciones para lograr una matriz escalonada:  

  

  Luego de hacer el cambio entre las columnas 2 y 3, notamos que:  Si:  1 – m = 0        El sistema se hace incompatible Es decir, con  m = 1  el sistema no tiene soluciones.  Si: m ≠ 1       El sistema se hace compatible.  

x + z + my = 1    – z + (1‐m2)y = 0 (1 – m)y = m 

 De donde:  

m-1m y = ,   

 z = (1 + m)m, 

m-11m2m-m x

23 ++=  

   RESOLUCIÓN DE  PROBLEMAS  CON  SISTEMAS DE ECUACIONES   Pasos a seguir: • Leer y comprender el enunciado. • Anotar los datos utilizando: esquemas, dibujos, 

diagramas,...  • Elegir una notación que nos permita relacionar 

las distintas variables.  • Plantear y resolver el sistema. • Comprobar la solución.  

 

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PRÁCTICA DIRIGIDA  1. El dueño de una tienda ha comprado refrescos, 

cerveza  y  vino  por  importe  de  S/.  500  (sin impuestos).  El  valor del  vino es  S/. 60 menos que  el  de  los  refrescos  y  la  cerveza  juntos. Teniendo  en  cuenta  que  los  refrescos  deben pagar un  impuesto del 6%, por  la  cerveza del 12% y por el vino del 30%,  lo que hace que  la factura  total  con  impuestos  sea  de  S/.  592.4. Calcular  la  cantidad  invertida en  cada  tipo de bebida.   A) 120, 160, 220  B) 130, 150, 225 C) 130, 160, 220  D) 130, 150, 220  

2. Decir  si  son verdaderas o  falsas  las  siguientes afirmaciones: a) En  un  sistema  compatible  indeterminado 

se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.  

b) Un  sistema  compatible  indeterminado  es equivalente a un sistema homogéneo.  

c) Todo  sistema  compatible  indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.  

d) De  un  sistema  incompatible  podemos extraer  otro  compatible  (no  equivalente) eliminando ecuaciones.  

 A) VVFF      B) VFFV      C) FVFV      D) VFVF 

 3. Estudiar si existe algún valor de m, para el cual 

el  sistema es compatible. Si es así,  resolver el sistema para ese valor de m.   

  A)  El  sistema  es  compatible  para  cualquier valor de m. B) El sistema es incompatible para m = 0. C)  El  sistema  es  incompatible  para  cualquier valor de m. D) No se puede afirmar con precisión. 

 4. Se  tienen  tres  lingotes  compuestos  del 

siguiente modo: 

• El primero de 20 partes de oro, 30 partes de plata y 40 partes de cobre.  

• El segundo de 30 partes de oro, 40 partes de plata y 50 partes de cobre.  

• El tercero de 40 partes de oro, 50 partes de plata y 90 partes de cobre.  

Se  pide  qué  peso  habrá  de  tomarse  de  cada uno  de  los  lingotes  anteriores, respectivamente,  para  formar  un  nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.  

  A) 20, 60, 20  B) 30, 50, 25 C) 10, 60, 22  D) 45, 48, 54 

 5. La edad de un padre es doble de la suma de las 

edades  de  sus  dos  hijos,  mientras  que  hace unos  años  (exactamente  la  diferencia  de  las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que  la suma de  las edades, en aquel tiempo,  de  sus  hijos.  Cuando  pasen  tantos años como  la suma de  las edades actuales de los  hijos,  la  suma  de  edades  de  las  tres personas  será  150  años.  ¿Qué  edad  tenía  el padre en el momento de nacer sus hijos? 

 A) 35 y 40    B) 30 y 50 C) 35 y 60    B) 30 y 60 

 6. Clasificar  y  resolver  el  siguiente  sistema  de 

ecuaciones:  

  

Rpta:___________________________   7. Evaluar el siguiente sistema de ecuaciones:  

x + 2y – z = 2 2x + 5y – z =0 3x + 7y – 2z = 3 

 Rpta:_________________________