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Transformada de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distoro Energia, Potncia e Autocorrelao

Anlise e Transmisso de Sinais

Edmar Jos do Nascimento(Princpios de Comunicaes)

Universidade Federal do Vale do So Francisco


Roteiro

1 Transformada de Fourier

2 Sistemas Lineares

3 Filtros

4 Distoro

5 Energia, Potncia e Autocorrelao


Representao de Sinais Aperidicos

Para sinais aperidicos, a representao em frequnciapode se obtida a partir das sries de Fourier no limiteT0 Para um sinal g(t), tem-se:

G() = F [g(t)] e g(t) = F1[G()]g(t) G()

G() =

g(t)ejtdt

g(t) = 12pi

G()ejtd

= 2pif

G(f ) =

g(t)ej2piftdt

g(t) =

G(f )ej2piftdf


Amplitude e Fase do Espectro

G() em geral uma funo complexa de G() = |G()|ejgQuando g(t) real, tem-se:

G() = G() ={ |G()| = |G()|g() = g()

}


Exemplo

Calcular a transformada de Fourier deg(t) = eatu(t), a > 0G() = 1a+j = 1a2+2 e

j arctan (/a)


Transformadas de algumas funes

A funo retangular (Unit Gate) definida como:

rect(x

) =

0, |x | > 212 , |x | = 21, |x | < 2



g(t) = rect( t) G() = sin/2

/2 = sinc(

2 )

A funo sinc(x) = sin xx possui as seguintes propriedades:

sinc(x) = sinc(x)sinc(x) = 0 = sin x = 0, x 6= 0 = x = npi; n ={1,3, }sinc(0) = 1sinc(x) uma funo com perodo 2pi que decresce deacordo com 1/x



O espectro do pulso retangular se estende at infinito(largura de banda infinita)Uma estimativa grosseira: 2pi/ rad/s ou 1/Hz



Impulso no tempo

(t) 1

Impulso em frequncia

1 2pi()

Impulso em frequncia deslocado

ej0t 2pi( 0)ej0t 2pi( + 0)



Cosseno

cos0t =12(e

j0t + ej0t)

F [cos0t ] = pi[( + 0) + ( 0)]

Seno

sin0t =12j (e

j0t ej0t)F [sin0t ] = pij[( + 0) ( 0)]


Propriedades da Transformada de Fourier

Simetria

g(t) G()G(t) 2pig()

Example

rect(t) sinc(2 )

sinc( t2 ) 2pirect(

)



Scaling

g(t) G()g(at) 1|a|G(

a)

a > 1, compresso no tempo resulta na expanso emfrequnciaa < 1, expanso no tempo resulta na compresso emfrequncia



Deslocamento no tempo

g(t) G()g(t t0) ejt0G()

Deslocamento em frequncia

g(t) G()g(t)ej0t G( 0)

Sinal Modulado

g(t) cos0t 12 [G( 0) +G( + 0)]



Convoluo

g(t) w(t) =

g()w(t )d

Convoluo no tempo

g1(t) G1(); g2(t) G2()g1(t) g2(t) G1()G2()

Convoluo em frequncia

g1(t) G1(); g2(t) G2()g1(t)g2(t) 12piG1() G2()



Diferenciao no tempo

g(t) G()dg(t)

dt jG()

Integrao no tempo

g(t) G() t

g()d G()j + piG(0)()


Sistemas Lineares

Para um sistema LIT, a relao entre a entrada e a sada dada por

y(t) = g(t) h(t)

No domnio da freqncia, tem-se

Y () = G()H()= |Y ()|ey () = |G()||H()|e[g()+h()]

Portanto,

|Y ()| = |G()||H()|y () = g() + h()


Transmisso sem Distoro

Em uma transmisso sem distoro, a forma de onda deentrada deve ser preservada

Toleram-se atrasos e uma alterao uniforme na amplitude

y(t) = kg(t td )

No domnio da freqncia, tem-se

Y () = kG()ejtd H() = kejtd

Resposta em amplitude constante - |H()| = kResposta em fase linear - h() = td


Transmisso sem Distoro

O atraso pode ser representado pelo negativo dainclinao da resposta em fase

td () = dhdtd () constante implica que todas as componentes dosinal so igualmente atrasadas por tdPara um sistema sem distoro, td () deve ser pelomenos constante na banda de interesse


Exemplo

Para o circuito RC, determinar H(), esboar |H()|, h() etd (). Para que a transmisso seja sem distoro, qual orequisito da largura de banda de g(t) se a variao tolerada naresposta em amplitude de 2% e de 5% no atraso? Qual oatraso? Encontre y(t).


Exemplo

H() = 11+ jRC =a

a+ j ; a =1

RC = 106

|H()| = aa2 + 2

' 1; a

h() = arctan a '

a; a

td () = dhd =a

2 + a2' 1

a= 106; a


Exemplo


Exemplo

Como H(0) = 1 e td (0) = 1/a, a regio de transmissosem distoro calculada como

|H(0)| = aa2 + 20

0,98 0 203.000

td (0) =a

20 + a2

0,95a 0 229.400

Assim, a banda de g(t) deve ser menor que 203.000 rad/sou 32,31 kHz


Filtros Ideais

Em muitas situaes prticas necessrio limitar oespectro de freqncias de um sinal

Melhor aproveitamento do espectroComponentes de alta freqncia de pouca relevncia naaplicao considerada

Os filtros ideais permitem que a transmisso ocorra semdistoro em uma determinada banda e suprimem asfreqncias fora dessa bandaOs principais tipos de filtros so:

Passa-baixas (Low-pass)Passa-altas (High-pass)Passa-faixas (Band-pass)Rejeita-faixas


Filtros Ideais


Filtros Ideais

Os filtros ideais no so fisicamente realizveis

H() = rect(

2W

)ejtd h(t) = W

pisinc[W (t td )]

h(t) no causal e portanto no fisicamente realizvelOutra forma de verificar se um filtro fisicamenterealizvel verificar se ele atende o critrio dePaley-Wiener

| ln |H()||1+ 2 d <


Filtros Realizveis

Filtros fisicamente realizveis podem ser obtidostruncando-se a parte negativa de h(t), resultando emh(t) = h(t)u(t)Se td grande, h(t) e h(t) so bastante prximos

H() uma boa aproximao


Filtros Realizveis

Os filtros prticos no realizam cortes bruscosO espectro de amplitude do filtro de Butterworth seaproxima do filtro ideal quando n


Filtros de Butterworth para n = 4


Tipos de Distoro

Os sinais quando so transmitidos atravs de canais estofreqentemente sujeitos distoro

Caractersticas no ideais dos canaisOs principais tipos de distoro so os seguintes:

Distoro linearDistoro causada por no linearidades do canalDistoro causada por efeitos de multipercursoDesvanecimento (Fading)


Distoro Linear

Quando as caractersticas do canal no so ideais, ascomponentes de Fourier no so igualmente afetadas

Componentes que se cancelavam podem no mais secancelarO resultado o espalhamento ou disperso dos pulsos deinformao


Distoro Causada por No Linearidades do Canal

O modelo de canal linear vlido apenas para pequenossinais

Para grandes amplitudes, as caractersticas no linearesno podem ser negligenciadas

y = f (g) = a0 + a1g(t) + a2g2(t) + + akgk (t) +

Se g(t) tem largura de banda de B Hz, ento gk (t) temlargura de banda de kB Hz

Espalhamento ou disperso espectralNocivo para sistemas multiplexados em freqncia (FDM)


Exemplo

y(t) = x(t) + 0,001x2(t)

x(t) =1000pi

sinc(1000t)


Distoro Causada por Efeitos de Multipercurso

O sinal transmitido pode chegar no receptor atravs dedois ou mais caminhos

A atenuao e o atraso podem ser diferentes para cadacaminhoA interferncia entre os dois sinais d origem aodesvanecimento seletivo em freqncia


Energia de um Sinal

A energia de um sinal g(t) pode ser calculada no domniodo tempo a partir da seguinte expresso

Eg = |g(t)|2dt

No domnio da freqncia, de acordo com o teorema deParseval, a energia de g(t) pode ser calculada como

Eg =1

2pi

|G()|2d


Densidade Espectral de Energia

A partir da expresso de Parseval verifica-se que a energiapode ser obtida atravs da rea do grfico de |G()|2Define-se ento a densidade espectral de energia (DEE -ESD em ingls) como

g() = |G()|2

Assim, tem-se que:

Eg =1

2pi

g()d =

g(f )df

Para um sistema LIT em que y(t) = h(t) g(t), ento:

y () = |H()|2g()


Largura de Banda Essencial

O espectro da maioria dos sinais se estende at o infinitoEntretanto, como a energia em geral finita, o espectro deamplitude tende a zero quando Pode-se ento suprimir as componentes acima de B Hz(2piB rad/s) com pouco efeito no sinal originalSegundo esse critrio, a largura de banda B chamadade largura de banda essencialO critrio para estimar B depende da aplicaoconsiderada

Faixa de freqncia que contm 95% da energia do sinal


Exemplo

ProblemaEstime a largura de banda essencial W em rad/s do sinaleatu(t), a > 0, sendo que essa banda deve conter 95% daenergia do sinal.

Soluo

g(t) = eatu(t) G() = 1j + aEg =

0

e2at =1

2pi

12 + a2

d = 12a

0,95 12a =1

2pi

WW

12 + a2

d W = (12,706.a)rad/s


Energia de Sinais Modulados

Seja g(t) um sinal em banda bsica limitado em banda aB Hz (2piB rad/s) com DEE igual a g()Seja (t) = g(t) cos0t um sinal modulado em amplitude,com 0 2piB, tem-se que:

() = F{(t)} = 12 [G( + 0) +G( 0)]

() = |()|2 = 14 |G( + 0) +G( 0)|2

=14

[|G( + 0)|2 + |G( 0)|2

]

=14

[g( + 0) + g( 0)

]


Energia de Sinais Modulados

Assim, a energia do sinal modulado corresponde metadeda energia do sinal em banda bsica, ou seja

E =12Eg


Autocorrelao

A autocorrelao de um sinal real g(t) definida como

g() =

g(t)g(t + )dt =

g(t)g(t )dt

Mostra-se que a autocorrelao uma funo parUm resultado importante relaciona a autocorrelao e aDEE

g() g() = |G()|2


Exemplo

ProblemaCalcule a funo de autocorrelao no tempo deg(t) = eatu(t), a > 0 e obtenha a partir dela a DEE de g(t)

Soluo

g(t) = eatu(t); g(t ) = ea(t)u(t )g() =

g(t)g(t )dt = 12aea , > 0

g() = g() g() = 12aea , < 0

g() =1

2aea| | g() = 1

2 + a2


Exemplo


Potncia de um Sinal

A potncia de um sinal g(t) definida como

Pg = limT

1T

T/2T/2

g2(t)dt

A potncia pode ser interpretada como sendo a energiamdia da verso truncada de g(t), definida por

gT (t) ={

g(t) , |t | T/20 , |t | > T/2

}

Tem-se ento,

Pg = limT

EgTT


Densidade Espectral de Potncia

Analogamente ao que foi feito para os sinais de energia,pode-se mostrar que para um sinal de potncia g(t)

Pg =1

2pi

limT

|GT ()|2T d

Define-se ento a Densidade Espectral de Potncia (DEP- PSD em ingls) de g(t) como sendo

Sg() = limT

|GT ()|2T

Logo, a potncia pode ser expressada como

Pg =1

2pi

Sg()d


Autocorrelao de Sinais de Potncia

A autocorrelao no tempo para um sinal de potncia realg(t) definida como

Rg() = limT

1T

T/2T/2

g(t)g(t + )dt

= limT

1T

T/2T/2

g(t)g(t )dt

Rg() uma funo par


Autocorrelao de Sinais de Potncia

Como

Rg() = limT

1T

gT (t)gT (t + )dt = limTgT ()

T

Tem-se que

Rg() limT

|GT ()|2T = Sg()

O valor mdio quadrtico (RMS) de g(t) dado por[g(t)]RMS =

Pg

A relao entre a DEP da sada de um sistema LIT e aDEP da entrada dada por

Sy () = |H()|2Sg()

Transformada de FourierSistemas LinearesFiltrosDistoroEnergia, Potncia e Autocorrelao

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