1

POLÍGONOS.

POLÍGONO: é unha superficie plana

pechada limitada por rectas

que se cortan formando vértices.

PERÍMETRO: é a suma dos seus lados.

- O polígono pode ser cóncavo se ten

algún ángulo interior maior de 180º.

- O polígono pode ser convicto se todos

os seus ángulos interiores son

menores de 180º.

TRIÁNGULOS

É unha figura plana limitada por tres rectas que se cortan dous a dous

formando tres lados e tres ángulos.

Os ángulos noméanse con letras maiúsculas A,B,C.

Os lados noméanse coa letra correspondente ao ángulo oposto pero en

minúscula.

Os ángulos A= B= C=

Segundo os seus lados:

Segundo os seus ángulos:

convicto cóncavo

A

B C

A

B C

A

B C a

b c c b

a

c b

a

Equilátero

a=b=c

Isósceles a=b=c

Escaleno a=b=c

un ángulo obtuso

A A A

B B B C C C a a a

b b b c c c

Acutángulo 3 ángulos agudos

Rectángulo un ángulo de 90º

Obtusángulo

A. exterior A. interior

diagonal

lado vertice

2

Propiedades dos triángulos

-A suma dos ángulos dun triángulo é

de 180º. Â+B+C=180º

-Un triángulo non pode ter máis dun

ángulo recto ou dun ángulo obtuso.

-Nun triángulo rectángulo os seus

dous ángulos agudos son ángulos

complementarios. (1º)

-O ángulo exterior dun triángulo é igual

á suma dos dous ángulos interiores adxacentes. (2º)

-A maior ángulo, maior lado oposto.

-A suma de dous lados é maior sempre que a

do outro lado. A resta de dous lados é

menor sempre que a do outro lado.

-Se nun triángulo ABC trazamos arcos con entro en A, B e

radio b e a respectivamente unindo posteriormente os

resultados o vértice C, teremos un triángulo a base do cal é o perímetro

do triángulo anterior e os ángulos da cal cumpre (3º).

Puntos notables dun triángulo.

Circuncentro: Cc.

É o punto onde a unes as mediatrices dun

triángulo e é o centro dunha

circunferencia circunscrita ao triángulo.

Incentro: Ic.

É o punto onde se unen as bisectrices dos

ángulos dun triángulo e é o centro da

circunferencia inscrita ao triángulo.

45º 75º

60º

A

B C

A+B=135º

2º)

A

B C A' B'

/2

/2

3º)

B C

A

a

b c Cc.

A

B C

1º)

A

B

A. complementario

C

A

B

Ic.

3

Baricentro: Ba.

É o punto onde se unen as medianas do triángulo.

Mediana: recta que vai dende o vértice ata a

metade do lado oposto.

Ortocentro: Oc.

É o punto onde se xuntan as alturas

dun triángulo. Unindo os pés das alturas fórmase

o triángulo Órtico.

Con centro no ortocentro pódese trazar a

circunferencia Órtica que está inscrita no triángulo Órtico.

Altura: é a recta que vai perpendicularmente

dende o vértice ata o lado oposto.

Cando o triángulo é obtusángulo o ortocentro é exterior.

Cando o triángulo é acutángulo o ortocentro é interior.

Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro coincide

co vértice recto do triángulo.

Recta de Euler:

É aquela recta que pasa polo Ortocentro,

Circuncentro e o Baricentro.

Exercicio nº 1

Debuxar un triángulo coñecendo os tres lados,

a= 30 mm, b=20mm, c=15mm.

Exercicio nº 2

Debuxar un triángulo coñecendo dous lados e

o lado comprendido. a=30mm, b=40mm e C=30º.

A

B C

0c.

Pa

Pb Pc

B C

A

Mc Mb

Ba

Ma

Oc Ba

Cc

B C

A

A

B C a

b c

A

a

b

c

C B

30º

R40

4

R60

30º

C A

B

b

c

a

Exercicio nº 3

Construción dun triángulo isóscele de lado

desigual 20 mm e lados iguais 40 mm.

Exercicio nº 4

Constución dun triángulo isóscele dos lados

de 40 mm e ángulo  30º.

Exercicio nº 5

Construción dun triángulo coñecendo un lado

e os ángulos adxacentes. a=40mm, B=60º, C=45º.

Exercicio nº 6

Construción dun triángulo coñecendo un lado

a=40mm, b=50mm e B=75º

Exercicio nº 7

Construción dun triángulo rectángulo

coñecendo os dous catetos b=50mm e c=30mm.

Exercicio nº 8

Construción dun triángulo rectángulo coñecendo

a hipotenusa a=60mm e o ángulo C= 30º

A

B C

R40 R40

a

b c

A B

C R40 b

c

a

30º

A

a B

b

C

c

60º 45º

A

B C

R40

a

b

75º

50

30

B

A

C

a

b

c

5

50

60º

o

b

B

A

a

C

c

Exercicio nº 9

Construír un triángulo rectángulo

coñecendo un cateto de 50 mm e

o ángulo oposto de 60º.

Exercicio nº 10

Construír un triángulo coñecendo dous

lados e o ángulo oposto a un deles.

a=30mm, b=45mm, Â=30º.

Exercicio nº 11

Construír un triángulo equilátero sabendo

que a súa altura é de 35 mm.

Exercicio nº 13

Construír un triángulo Isósceles dada a

altura de 35 mm e os seus

dous lados iguais de 38 mm.

a B C

O

A

A'

b

b'

R45

30 A

B C

h 35

30º

R38

35

A

B C a

b

c

6

20 28.93

C

A B B'

C'

37º30'

Exercicio nº 14

Construír un triángulo Isósceles dada

a base de 20 mm e a súa altura

de 35 mm.

Exercicio nº 15

Construír un triángulo Isósceles dado o ángulo Â=37º30' e o seu lado

oposto a=20mm.Trazar de dúas formas.

1º procedemento 2º procedemento

Exercicio nº 16

Trazar un triángulo coñecendo a=40mm,

b=30mm, e a altura ha=20mm.

Exercicio nº 17

Debuxar o triángulo de lado BC= 35 mm, e dúas medianas mb= 30 mm e a

mc= 40 mm

35

20

A

B C

A

B C

0

20

R30

40 C

A

a B

b c

40

Ba=26.67

B C R20

R30

R26.67 R40 A

Ba

7

Ma=40

40 45º

A'

B C

A

O

A

B C

A'

Cc.

R25

R25

40

10

Exercicio nº 18

Representar un triángulo de lado a=40mm,

Â= 45º e mediana da,

Ma= 40 mm.

Exercicio nº 19

Trazar o triángulo de lado a= 40 mm,

b=25mm e co circuncentro Cc

situado a 1 cm do lado a.

Exercicio nº 20

- Achar o triángulo rectángulo de

perímetro P=70mm e o ángulo B= 60º.

Recorda que en calquera

triángulo os ángulos que

forman un triángulo de base o

perímetro e os outros dous lados

chegan ata o vértice oposto do

triángulo orixinal os da figura.

Pasos:

-Polo extremo do segmento

perímetro trasládanse os

ángulos 45º/2 e 60º/2 que

córtanse en C.

- Por C perpendicular ao segmento perímetro dá A. Por C 60º/2 e dá B

-Tamén se pode trazar a mediatriz de A/2C e dá A.

- Tamén se traza a mediatriz de CB/2 e dá B

A

B C A' B'

/2

/2

30º

60º 90º

30º

45º

C

B A A/2 B/2

B/2

70

8

Exercicio nº 21

Achar o triángulo Isósceles de perímetro P=70mm

e ángulo oposto á base Â=30º

Sábese que a suma dos

ángulos dun triángulo é de 180º.

Asi que se temos un ángulo de

30º os outros dous teñen que ser

de 75º.

Pasos:

-Trazamos o segmento perímetro.

-Trázase os ángulos de 37º 30' en cada extremo do devandito segmento que

córtanse no punto A.

- Trázase ángulos de 37º 30' polo vértice A. Dándonos o ángulo de 30º e o

triángulo buscado.

- Tamén se pode achar as mediatrices para dar os vértices B e C xa que son

triángulos isósceles os creados polo perímetro A,B/2,B e A,C,C/2.

Pódese achar con outro procedemento: Crear un triángulo Isósceles auxiliar e

buscando o seu perímetro.

CONSTRUCIÓNS "TIPO" DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Exercicio nº 22

Construción dun triángulo rectángulo coñecendo a

hipotenusa a=65mm e a diferenza de catetos b-c=15mm

Razoamento:

Se temos un triángulo rectángulo calquera e

buscamos o segmento b-c. Pódese crear un

triángulo rectángulo isóscele os ángulos da cal serían 45º cada un.

Para construír o noso triángulo rectángulo buscado, só fai falta aplicar

este coñecemento.

37º30'

30º

75º 75º 37º30' 37º30'

70

A

B C B/2 C/2

b-c

45º

45º

b

c

a

A

B

C c

9

Pasos:

-Nunha recta pon o segmento b-c =CX.

-Por X trázase un ángulo de 45º.

-Por C trázase un arco con distancia

hipotenusa a= 65 mm.

-Ditos trazados córtanse no vértice B.

-Dende B trázase unha perpendicular á

recta inicial e dá o vértice A.

-o triángulo buscado é o triángulo ABC.

Exercicio nº 23

Construír un triángulo rectángulo coñecendo a hipotenusa a=55mm e a suma

dos seus catetos b+c=70mm.

Razoamento:

Se temos un triángulo rectángulo calquera e buscamos

o seu segmento b+c, veremos que se forma un pequeno

triángulo rectángulo isóscele cun dos vértices e o

extremo do segmento suma.

Pasos:

-Dado o segmento b+c=XC.

-Por X trázase un ángulo de 45º.

-Por C trázase un arco de radio hipotenusa.

-Estes córtanse en B.

-Dende B trázase unha recta perpendicular a

“b+c” e dá o vértice A.

-Trázase máis forte o triángulo ABC.

R65

15

C X

b

A

c

a

B

45º

X A'

B'

B

A C

R55

45º

b+c

a

a'

45º

45º

b+c

c b

a c

B

A C

10

Exercicio nº 24

Construción dun triángulo rectángulo coñecendo un cateto b=25mm e a

suma da hipotenusa e o outro cateto a+c=90mm.

Razoamento:

Se nun triángulo rectángulo buscamos o segmento a+c

podemos crear untriángulo isóscele e como a mediatriz

do lado desigual pasa sempre polo vértice desigual.

Se trazamos a mediatriz do lado desigual XC pasará

polo vértice B.

Pasos:

-Dado a+c=XA.

-Por A trazar unha perpendicular de 25 mm.

-Únese XC. Trázase a Mediatriz de XC.

que corta ao segmento a+c en B.

-Márcase máis

o triángulo ABC.

Exercicio nº 25

Construción dun triángulo rectángulo coñecendo un cateto c=30mm e a

diferenza da hipotenusa e o outro cateto a-b=15mm.

Razoamento:

Se nun triángulo rectángulo calquera buscamos o segmento a-b,

podemos determinar un triángulo isóscele os vértices do cal serían

BCX. A mediatriz do lado desigual dun triángulo isóscele pasa sempre polo vértice oposto.

Pasos:

-Sobre unha recta poñer a-b=AX.

-Trazar unha perpendicular por A de 30 mm

e dános o punto B.

-Unimos BX e trazamos a mediatriz que

corta á recta r en C. Unir os vértices ABC.

a+c

a

a

c

b

X A

C

B

X B

a+c

a

a

c

b

A

C

a

b

a c

a-b

X A C

B

15

30

b

c a

r A

B

C X

11

Exercicio nº 26

Construción dun triángulo isóscele, coñecendo o ángulo Â=30º e o segmento

a+ha=5cm.

Pasos:

-Trazar un triángulo isóscele auxiliar de 30º formado

por A ' B 'C'. Buscamos o segmento auxiliar

a'+ha' que nos dará o punto X' na prolongación

da altura auxiliar.

- Unimos C X e B'X'.

- Dende A' transportamos o noso a+ha de 5 cm e daranos o punto X.

- Trazamos polo punto X paralelas a C 'X' e B'X' que corta ás

rectas de prolongación dos lados do triángulo auxiliar en C e B.

- Unimos ABC e temos o triángulo buscado.

Exercicio nº 27

Construción dun triángulo coñecida a altura ha=3cm. a mediana ma=4'5cm. e

sabendo que o lado a=2b

-Trázase unha recta r onde se coloca perpendicularmente a ha=3cm.

Esta recta dános o vértice do triángulo buscado A.

-Con centro en A e radio ma=4'5 trázase un arco que

corta á recta no punto Ma (punto medio do lado a )

-Trazamos a mediatriz de ma para buscar o vértice B

xa que a=2b, aínda que non se sabe canto vale b,

o lado ma será o lado desigual dun triángulo isóscele.

-Trázase o simétrico de CMa e daranos B.

30º

50

A'=A B'

C' C

B

X' X

A

ha

c

ma

Ma

b

b

A

ha ma

Ma

b

b C B

R45

30

12

Exercicio nº 28

Construír un triángulo coñecido un ángulo Â=45º e as medianas ma=5'5cm e

mb=4cm.

Podemos ver que temos de datos a mediana do lado b e o ángulo  que é o seu oposto,

trazando o arco capaz conseguimos unha parte do triángulo buscado, só nos faltaría un vértice

que conseguiremos coa prolongación da mediana da ou a metade do lado b.

-Dividimos a mediana mb ( extremos Mb e B) en tres partes iguais e localizamos o

baricentro do triángulo buscado.

-Trazamos o arco capaz do segmento mb e o ángulo de 45º.

-Dividimos a mediana ma en tres partes iguais.

-Con centro no Baricentro e radio dúas partes de ma trazamos

un arco que corta ao arco capaz no punto A.

-Con centro en Mb e radio MbA trazamos un arco que

corta á prolongación AMb en C.

-Unimos e dános o triángulo buscado.

Exercicio nº 29

Construír un triángulo coñecendo un lado c=5cm. un ángulo adxacente Â=30ºe

o segmento Wb=3cm.

-Recórdase a nomenclatura do triángulo.

-Trázase o lado c e o ángulo Â.

-Con centro en B e radio Wb trazamos un arco que

corta ao  en X.

-Temos a metade do ángulo B, polo que

soamente temos que transportar outra metade de B que cortará o lado anterior en C.

40

36.67

55

45º

ma

mb

A

Mb B

C

Ba

=

=

c

C

A B

a X

b Wb

30º

13

Exercicio nº 30

Debuxar o triángulo de lado a=30mm, e as medianas mb=50mm, mc=35mm.

-Dividir mc e mb en tres partes iguais.

-Poñer o lado a.

-Polo extremo B trázase un arco con radio dúas partes de mb.

-Polo extremo de C trázase un arco con radio dúas partes de mc.

Os devanditos

Arcos córtanse no baricentro.

-Prolóngase mc engadindo a parte que lle falta.

dános Mc (punto medio do lado c).

-Unimos BMc e prolongamos.

-Prolóngase mb engadindo a parte que lle falta.

Dános Mb (punto medio do lado b).

-Unimos CMb e prolongamos. As

devanditas prolongacións córtanse en A.

Exercicio nº 31.

Constrúe un triángulo coñecendo o lado a=35mm, a altura ha=25mm e o Â=60º

-Trázase o arco capaz do lado a e o ángulo A.

-Prolóngase o lado a para trazar unha

perpendicular ou trasladar a altura hai.

-Trázase unha paralela coa distancia

da altura que corta ao arco capaz en

dous puntos, hai dúas solucións a 'BC e ABC.

33.33 16.67

a=5

0

23.33 35

11.67 a B C

R23.33

R35 R50

A

R33.33

Ba

Mc Mb

c b

A

B C

A'

a

c b ha

O

60º

14

Exercicio nº 32

Construír un triángulo coñecendo o lado c=40mm; mc=45mm e hc=35mm

-Trázase o lado c.

-Búscase a mediatriz de c e dános Mc

-Trázase unha paralela coa altura hc.

-Con centro en Mc e radio mc curta á

paralela en dous puntos.

-Hai dúas solucións.

Exercicio nº 33

Debuxar un triángulo ABC dado ángulos Â=75º o ángulo B=75º e a

lonxitude da mediana a partir de c de 45 mm. (é dicir mc=45mm).

-Trázase un triángulo auxiliar a ' B 'C' que

teña un ángulo de 45º e outro de 75º.

-Búscase o seu segmento auxiliar mc'.

-Transpórtase noso mc sobre a mediana

auxiliar e trázase unha paralela ao

lado auxiliar c' daranos o triángulo xa ben

prolongando os lados de auxiliar se

fose máis grande, ou no propio auxiliar

se fose máis pequeno.

R45 A B

C C'

hc

mc

Mc c

b a

45

C

A'

A

Mc'

Mc

B

B'

75º 45º

15

Exercicio nº34

Construír un triángulo coñecendo o ángulo Â=30º ángulo C=45º

e a bisectriz Wc=45mm

-Trázase un triángulo auxiliar

A ' B 'C' cos ángulos de 3º e 45º.

-Búscase a bisectriz do auxiliar

e transpórtase sobre ela a nosa wc=45mm.

-Trázase unha paralela ao lado c' e daranos o noso triángulo ABC.

Exercicio nº 35

Debuxar un triángulo ABC dados os ángulos Â=75º,

o ángulo B=45º e a altura hc=35mm.

- Trázase case igual que os anteriores cun

triángulo auxiliar.

Exercicio nº36 PARA 2º BACH.

Construír un triángulo ABC do que se coñece o lado AB=55mm,

a altura sobre este lado hc=44mm, e a altura ha=40mm sobre

o lado BC. Explicación razoada.

Se coñecemos o segmento ha e o lado continuo neste caso o lado c,

podemos determinar sempre a dirección do lado da , co arco capaz de

90º, xa que o segmento altura e a porción do segmento lado do

triángulo forman un ángulo de 90º

-Trázase o lado AB, trázase o arco capaz de 90º,

o centro da cal será o punto medio do devandito

segmento.

-Con centro en A e radio ha trázase un arco que

corta ao arco capaz. Únese o vértice B, o punto

de corte anterior e prolóngase.

-Trázase unha perpendicular coa

altura hc, trázase unha paralela que

corta á prolongación en C.

-Unimos ABC e temos o triángulo buscado.

A' A

B

B'

C

Wc=45

A B

ha a

c

C

b

C

A'

A B

B'

hc=35

44

55

R40

A B

C

hc

ha

16

Exercicio nº 37

Construír un triángulo do que se coñece o lado AB=c e o seu baricentro G.

Explicación razoada.

O baricentro é o centro de gravidade dun triángulo e

segméntoos que o forman son as medianas que van

dende o vértice ata a metade do lado oposto.

O baricentro corresponde a 1/3 da súa correspondente mediana, por iso:

-Trázase a mediatriz do lado c para buscar o punto medio fáiselle pasar

polo baricentro prolongandose.

-Transpórtase dúas partes do segmento McBa dándonos o vértice C.

-Únense ABC e temos o triángulo buscado.

-Pódese trazar doutra forma como é utilizando as medianas ma e mb.

Exercicio nº 38

Debuxar o triángulo ABC sendo AB+BC=a+c, AC=b e coñecendo o ángulo

B de 60º. o segmento a+b=60mm., b=40

Razoamento:

-Se nun triángulo aliñamos dous lados, o c e o a, pódese ver

na figura que forma un triángulo isóscele (raiado), onde terá

dous ángulos iguais e a mediatriz do lado desigual pasarà

polo vértice oposto.

-O ángulo B sería B= R+T. xa que B é o suplementario de S

e o ángulo exterior dun triángulo é a suma dos outros dous

ángulos interiores do triángulo. B= 2 R (xa que R=T).

De aquí dedúcese R=B/2.

-A bisectriz do ángulo B, é sempre paralela ao lado desigual do

triángulo isóscele anterior.

A c

Ba

B

A c

Ba

B Mc

C

A

B C

c

c

b

a

S R

T

X

T

R

X c

c

B

S

a

A

b

C

17

Pasos:

- Trázase o segmento a+c.Por o punto X ponse

un ángulo de 30º.

- Con centro en C e radio b, trázase un arco que

corta ao lado do ángulo en A (pode cortar en dous

sitios e entón habería dúas solucións).

- Trázase a Mediatriz do segmento XA que nos

dará o vértice B.

Exercicio nº 39

Debuxar un triángulo de lado a=6cm., e as alturas ha=4cm e hc=4'4cm.

-Sobre unha recta “r” búscase un punto calquera P. trázase unha

perpendicular con lonxitude hc. e dános o vértice C.

-Dende o vértice C trázase un arco co lado

“a “ que corta á recta “r” no vértice B.

-Por C trázase unha recta perpendicular ao

lado a de lonxitude ha e dános X.

-Dende X trázase unha paralela ao lado a

que corta á recta r no vértice A.

-Unimos ABC e temos a solución.

Tambén pódese facer como o exercicio 36 co arco capaz

Exercicio nº 40

Construción dun triángulo os datos do cal son: a altura hc=45mm, ángulo

C=60º e Ángulo B=45º.

-Trázase un triángulo auxiliar a ' B 'C cos

ángulos de 45º e o de 60º.

-Búscase a altura auxiliar hc'.

-Con centro en C e radio hc=45

trázase un arco que corta á altura auxiliar.

Dende este último punto trázase unha

paralela á recta auxiliar a 'B', esta paralela

hc

r

ha

P

C

A B

a

c

b X

hc'

R45

hc

C B' B

A'

A

60º

45º

18

curta nos puntos A,B. Unimos ABC.

Exercicio nº 41

Construír o triángulo os datos do cal son: O ángulo C=60º, hb=5cm e ma=4cm.

- Trázase unha recta e búscase un punto

calquera P e nela trasládase a altura hb.

- Trázase unha paralela á recta.

- Por outro punto calquera da recta C

trasládase o ángulo se 60º que corta á

recta paralela en B

-Xa temos o lado a trázase a mediatriz

para obter o punto Ma.

-Con centro Ma e radio ma trázase un

arco que corta á recta en A.

-Unimos ABC.

Exercicio nº 42

Construír un triángulo rectángulo coñecendo as medianas correspondentes á

hipotenusa de 40 mm e ao cateto de 55 mm.

-Trázase o arco capaz de 90º baixo o

segmento da mediana de b mb.

-Divídese polo teorema de Tales ma e mb.

-Nun extremo do segmento mb estará o

punto B e no outro Mb. O baricentro está a 1/3 de Mb.

-Con centro en Ba e radio 2/3 de ma trázase

un arco que corta ao arco capaz de 90º

dándonos o vértice A.

-Con centro en Ba e radio 1/3 de ma

trázase un arco que corta á prolongación

de ma en Ma.

-Con centro en MB e radio MbA trázase un

arco que corta á prolongación MbA en C.

C P

hb

B

b

a

Ma

40

A

c

B Mb Ba

A

C

mb

ma

55

40

26.67

19

-Únese AMa e propóñase que concorre no vértice C.

Exercicio nº 43.

Debuxar o triángulo de lados proporcionais a 4,5, e 6 e de radio da

circunferencia circunscrita de 60 mm.

-Este exercicio é en realidade unha homotecia

de centro Cc con triángulos semellantes

(recorda que as figuras semellantes son

aquelasque teñen os ángulos iguais e os

lados proporcionais).

- Como non coñecemos os ángulos,

trázase un triángulo auxiliar que teña

os lados proporcionais a 4, 5, e 6 A ' B 'C'

así poderemos obter os ángulos do triángulo

buscado. Se busca o circuncentro de A´B´C´.

- Co centro no Cc trácese a circunferencia

circunscrita de radio 60 mm.

- Como é unha homotecia únense CcC' e prolóngase.

-Únese CcA' e prolóngase. Únese CcB' e prolóngase.

-Estas prolongacións curta á circunferencia de 60 mm en AB triángulo buscado

Exercicio nº 44

Nun triángulo ABC, Â=75º, ángulo B=60º e radio =30mm

(radio da circunferencia inscrita), debuxar o triángulo

-Trázase un triángulo auxiliar que teña por

ángulos 77º e 60º., búscase o seu incentro

e a súa circunferencia inscrita.

-Con centro no incentro e radio 30 trázase a

nosa circunferencia inscrita. Dende o Ic trázanse

rendas tanxentes para buscar os puntos

de tanxencia sobre a nosa circunferencia inscrita.

-Polos puntos de tanxencias trázanse rectas

perpendiculares p paralelas ao triángulo auxiliar

A

A' B'

B

C

C'

Cc

R50 R60

R40

R60

R30

60º 75º

Ic

C'

C

A

A' B'

B

20

que se cortan dous a dous formando os vértices ABC.

Exercicio nº 45

Debuxar o triángulo isóscele, o lado desigual do cal é a metade dos lados

iguais, inscrito na circunferencia de radio 4 cm.

-Trázase un triángulo auxiliar da cal o lado desigual

a=c/2, é dicir por exemplo a=20, c e b=40mm.

-O triángulo que temos que buscar está inscrito

nunha circunferencia, polo que a circunferencia e o

punto que temos que achar é o circuncentro e a

súa circunferencia..

- Áchase o circuncentro Cc auxiliar e a súa circunferencia

(aínda que non sirva para nada).

-Con centro en Cc, e radio 4 cm trázase a circunferencia

circunscrita, prolóngase a mediatriz da que pasa polo vértice e se

trazan paralelas aos lados, dándonos ABC.

Exercicio nº 46

Debuxar o triángulo XYZ que ten un vértice no punto X, a súa circunferencia

inscrita é C, e o ángulo no vértice Y vale 75º. Distancia XO=60mm, Radio de

C= 20 mm. O: Centro de C.

Formulación:

Se vemos os datos que nos dá o problema podemos ver que hai un

triángulo rectángulo que se pode obter. O noso triángulo acharémolo

despois trazando recta perpendicular a 75º e recta tanxente á circunferencia.

Pasos:

-Sobre unha recta r búscase un punto T calquera e trázase a

súa perpendicular con distancia 20 mm. Dános Ic.

-Con centro en Ic “O” e radio 60 mm arco que corta á recta r en X.

-Trázase a circunferencia inscrita de radio 20mm.

-Noutro punto calquera da recta r trázase un ángulo de 75º.

-Trázase dende O unha recta perpendicular á

recta de ángulo 75º esta curta á circunferencia

noutra T1. Tanxente por T1 e dános Y.

R40

A

A'

B' C'

B C

Cc

75º

20

60

X

Ic

T Y

75º T Y X

Z

O

T1

21

- Trázase outra recta por X tanxente á circunferencia e achamos o vértice Z (a mellor

forma para trazar é o exercicio de recta tanxente a unha circunferencia por un punto

exterior a ela).

Exercicio nº 47

Construción dun triángulo coñecendo a mediana ,la bisectora e a altura do

mesmo vértice. ma=25mm,wa=20mm e ha=18mm.

razoamento sobre as rectas notables bisectriz e mediatriz.

Sexa E un ángulo inscrito nunha circunferencia de centro O.

Este ángulo central,mide o dobre do correspondendo inscrito 2E.

O arco abranguido por estes dous ángulos é o FNG.

Se trazamos a bisectriz do ángulo E, daranos dúas metades é dicir

dous E/2. A bisectriz corta ao arco FNG no seu punto medio M

(posto que a medida dun inscrito depende do arco abranguido)

Na figura do triángulo se se acha a mediatriz de FG esta divide ao

arco da devandita corda en M punto medio do arco. Hai que recordar

que a mediatriz é perpendicular ao lado FG.

Se fundimos as dúas figuras anteriores, podemos ver que a mediatriz

dun lado e a bisectriz do ángulo oposto dun triángulo se cortan no

punto medio do arco da circunferencia circunscrita ao triángulo.

Pasos:

-Sobre unha recta r trázase unha recta perpendicular

que será ha e daranos o vértice A.

-Con centro en A e radio ma trázase un arco que corta á

recta en Ma (punto medio do lado a).

-Por este punto Ma trázase unha recta perpendicular

(que sería a mediatri do lado a).

-Con centro en A e radio wa trázase un arco que corta á

recta r en x, esta wa prolóngase ata que corte á mediatriz

en M (punto que pertence á circunferencia circunscrita.

E

F

N

O

2E

G

F

N

2E

O

G

E

E/2 E/2

F

N G

E

Cc

N

F

G

E

R25

Ma

Cc

A

B C

ha

wa

M

22

-Únese AM (corda da circunferencia circunscrita) áchase a mediatriz, que corta á

perpendicular por Ma en Cc.

-Con centro en Cc e radio CcA, circunferencia circunscrita que dá os puntos B e C.

Exercicio nº 48

Construción dun triángulo coñecendo as tres medianas. ma=45mm, mb=30mm e

mc=25mm.

Razoamento

-Para saber que pasa coas medianas dun triángulo trazamos

un triángulo calquera e buscamos as súas medianas. Estas

medianas dividen cada lado en partes iguais.

-Hai que recordar que dende o baricentro ao vértice hai 2/3,

e dende o baricentro ao punto medio hai 1/3.

-Se dende o vértice B se pode trazar unha paralela

a mc e se leva 2/3 mc. dános o punto X. Pódese trazar

un triángulo con lados 2/3 das mediatrices BXBa.

Pasos:

- Segundo o anterior visto, trázase o segmento 2/3 ma e buscamos o seu punto medio

M.

- Búscase o vértice C sabendo que M é o punto medio do lado a. Unindo BM e

prolongando o dobre.

- Prolóngase XM e trázase 2/3 de ma a partir de M. dándonos o vértice A.

- Prolóngase BaB e con centro en Ba trasládase 1/3 mb dàndonos M de b.

- Unimos ABC e temos o triángulo.

Ba

B C

A

M

X

ma

mb mc

2/3ma

2/3mc

2/3mb

M

Ba

B

X

M

C

A

45 30 25 30 20 16.67

23

Exercicio nº 49 (2º bach.)

Construír un triángulo dado lado a=30mm, Â=45º e mb=28mm.

Razoamento:

Para crear este triángulo primeiro hai que saber que pasa co lugar

xeométrico dos puntos medios das cordas dunha circunferencia, que parten

dun punto dela.

Isto é, temos un punto P calquera dunha circunferencia, por este

punto facemos pasar infinitas cordas da devandita circunferencia, se

trazamos os puntos medios das devanditas cordas, estas describen unha circunferencia

(estas describen un lugar xeométrico) o centro da cal esta na corda que é o diámetro.

Se temos unha circunferencia e nesta dúas cordas concorrentes,

sendo unha delas o diámetro. unimos os extremos (UT) e daríanos

un triángulo rectángulo onde U é o ángulo de 90º.

Se trazamos polo centro O da circunferencia unha recta paralela a

UT, daríanos outro triángulo rectángulo POM, onde M sería o

punto medio da corda PU.

Tamén podemos facelo ao revés: o extremo do diámetro T sería o

centro dunha circunferencia onde U sería o punto medio doutra

circunferencia de corda o dobre de PU e de diámetro o dobre de PT.

Pasos.

-Temos a mediana mb que ten un extremo do segmento B nunha

circunferencia circunscrita e o outro extremo é Mb que é o punto

medio do segmento AC=b que é corda da circunferencia circunscrita.

-Temos o segmento a e o seu ángulo oposto polo que case

inmediatamente hai que facer o arco capaz, onde o centro sería

o circuncentro do triángulo buscado.

- Se unimos Cc co vértice C, este segmento sería o diámetro da

circunferencia formada polos puntos medios das cordas da

circunferencia anterior.

-Trázase a mediatriz de CcC dános X. Con centro en X e radio XCc

trazamos a circunferencia de puntos medios.

- Con centro en B e radio mb trázase un arco que corta á circunferencia de puntos

medios en Mb.

-Únese MbC e prolóngase ata cortar ao arco capaz en A. Unimos ABC.

M M M

M M

M M M M

P o

P o

M

U

T

P o T

M

U

B

Cc

a C

A

Mb

X

R28

45º