Potencial Elétrico

Evandro Bastos dos Santos

21 de Maio de 2017

1 Energia Potencial Elétrica

Vamos começar fazendo uma analogia mecânica. Para um corpo caindo em um campogravitacional ~g, a partir de uma altura hi até uma altura hf , a diferença de energia potencialgravitacional entre os dois pontos será

Uf − Ui = −∫ hf

hi

m~g · d~l. (1)

Fazendo o produto escalar(~g · d~l = gdl cos π) e resolvendo a integral, temos que

Uf − Ui = mgh, (2)

que é nosso resultado conhecido para a energia potencial gravitacional.No caso do campo elétrico temos uma situação análoga

Uf − Ui = −∫ hf

hi

q ~E · d~l. (3)

em que trocamos o campo gravitacional pelo campo elétrico e a massa pela carga elétrica.É importante lembrar que a integral acima é uma integral de linha, porém como o campoelétrico (assim como o campo gravitacional) é conservativo, para essa integral não importa ocaminho. Então escolhendo o melhor caminho (linha reta) e fazendo que Ui = 0 no infinito,pois no infinito a carga elétrica está livre de campo (Eltimes 1

r2), temos que

U(r) = −∫ r

∞q ~E · d~l. (4)

que é interpretado como a energia necessária para trazer a carga de um ponto muitodistante até um ponto ~r próximo. Se for entre duas cargas pontuais, temos que:

U(r) =1

4πε0

qq0r

(5)

Exemplo: Um elétron está posicionado em uma região do espaço. Qual o trabalho neces-sário para trazer um pósitron (q=+e) do infinito até a posição de 2m de distância? Expressesua resposta com a melhor unidade ou subunidade que se adequar ao valor final.

1

1.1 Sistema de partículas

Assim como vimos na força elétrica, quando temos diversas cargas (q1, q2, q3, ..., qn) gerandoum campo elétrico, que faz uma força sobre uma carga q0, teríamos a força sobre ela sendo:

~F0 =1

4πε0

n∑i=1

qiq0(ri − r0)2

(6)

E o campo elétrico nesse ponto, seria:

~E(r) =1

4πε0

n∑i=1

qi(ri − r)2

(7)

No caso da energia potencial elétrica, vale a mesma relação, sendo portanto a energia deinteração entre n partículas,

~U =1

4πε0

n∑i=1

qiq0(ri − r0)

. (8)

2 Potencial Elétrico

O potencial elétrico nos ajudará no cálculo do campo elétrico, pois eles estão intimamenteligados. Sendo, por vezes, mais fácil calcular o potencial elétrico e em seguida o campoelétrico a partir dele.

Imagine um campo elétrico gerado por uma carga Q, ao ser colocada um carga de provaq em seu espaço de atuação podemos perceber que, conforme a combinação de sinais entreas duas cargas, esta carga q, será atraída ou repelida, adquirindo movimento, e consequen-temente Energia Cinética.

Lembrando da energia cinética estudada em mecânica, sabemos que para que um corpoadquira energia cinética é necessário que haja uma energia potencial armazenada de algumaforma. Quando esta energia está ligada à atuação de um campo elétrico, é chamada EnergiaPotencial Elétrica ou Eletrostática, simbolizada por Ep.

Ep =KQq

r(9)

A unidade usada para a energia potencial é o joule (J).Pode-se dizer que a carga geradora produz um campo elétrico que pode ser descrito por

uma grandeza chamada Potencial Elétrico (ou eletrostático).De forma análoga ao Campo Elétrico, o potencial pode ser descrito como o quociente

entre a energia potencial elétrica e a carga de prova q. Ou seja:

V =Ep

q(10)

Logo

V =KQ

r(11)

2

A unidade adotada, no SI para o potencial elétrico é o volt (V), em homenagem ao físicoitaliano Alessandro Volta, e a unidade designa Joule por coulomb (J/C).

Quando existe mais de uma partícula eletrizada gerando campos elétricos, em um pontoP que está sujeito a todas estes campos, o potencial elétrico é igual à soma de todos ospotenciais criados por cada carga, ou seja:

V = V1 + V2 + V3 + ...+ Vn (12)

2.1 Superfícies Equipotenciais

Uma maneira muito utilizada para se representar potenciais é através de equipotenciais, quesão linhas ou superfícies perpendiculares às linhas de força, ou seja, linhas que representamum mesmo potencial.

Para o caso particular onde o campo é gerado por apenas uma carga, estas linhas equipo-tenciais serão circunferências, já que o valor do potencial diminui uniformemente em funçãodo aumento da distância (levando-se em conta uma representação em duas dimensões, poiscaso a representação fosse tridimensional, os equipotenciais seriam representados por esfe-ras ocas, o que constitui o chamado efeito casca de cebola, onde quanto mais interna for acasca, maior seu potencial).

Figura 1: Linhas equipotenciais

Um resultado interessante é que se todas as cargas em um condutor estão em repouso, ecomo já vimos elas vão pera a superfície, então essa superfície é uma equipotencial.

2.2 Diferença de Potencial

Considere dois pontos de um campo elétrico, A e B, cada um com um posto a uma distân-cia diferente da carga geradora, ou seja, com potenciais diferentes. Se quisermos saber adiferença de potenciais entre os dois devemos considerar a distância entre cada um deles.

3

Figura 2: Diferença de potencial entre pontos

Então teremos que sua tensão ou d.d.p (diferença de potencial) será expressa por U ecalculada por:

U = V1 − V2 (13)

U =KQ

r1− KQ

r2(14)

3 Cálculo do Potencial Elétrico

Sendo o potencial elético para uma distribuição discreta dado por

V =U

q0(15)

em que

~U =1

4πε0

n∑i=1

qiq0(ri − r0)

. (16)

então o potencial elétrico é simplesmente

V =1

4πε0

n∑i

qiri. (17)

Porém se as cargas estiverem distribuídas infinitesimalmente é conveniente escrever

V =1

4πε0

∫dq

r(18)

que é muito parecido com o que vimos para o campo elétrico. Como o integrando temum grau menor do que no caso do campo elétrico, esse cálculo pode ser ligeiramente maisfácil.

4

3.1 Potencial Elétrico a partir do Campo Elétrico

Nosso objetivo, no entanto, é calcular o potencial elétrico a partir do campo elétrico. Se aforça sobre uma carga q0 é dada por

~F = q0 ~E. (19)

O trabalho dessa força entre dois pontos a e b é

Wa→b =

∫ b

a

~F · d~l (20)

Wa→b =

∫ b

a

q ~E · d~l. (21)

Como o trabalho entre dois pontos é a diferença de energia entre eles, temos que

Wa→b

q0= Va − Vb. (22)

Então

Va − Vb =∫ b

a

~E · d~l (23)

é a diferença de potencial entre os pontos a e b, quando um campo elétrico ~E age naregião do espaço. Perceba, portanto, que o Volt é N

Cm.

No caso de um elétron em uma região de potencial 1V, terá sua energia como sendo

U = qV (24)U = 1.6 · 10−19C · 1V (25)

pode ser escrito simplesmente como U = 1eV (um elétron-volt). Portanto a unidade eVé unidade de energia!

Exemplo: Considere um próton, em uma região de campo elétrico ~E = 1.5 · 107iV/m.Calcule:

(a) A força sobre o próton.(b) O trabalho do campo sobre o próton, para levar do ponto A(0,0) até o ponto B(3m,3m)(c) A ddp entre os pontos A e B.

4 Gradiente de Potencial

Já vimos que

Va − Vb =∫ b

a

~E · d~l. (26)

Queremos, agora, determinar o campo elétrico a partir do potencial conhecido. A varia-ção de potencial pode ser escrita como

5

Va − Vb =∫ b

a

dV. (27)

Então

∫ b

a

dV =

∫ b

a

~E · d~l. (28)

Portanto,

dV = ~E · d~l. (29)

Calculando o produto escalar

dV = −(Exdx+ Eydy + Ezdz). (30)

Por exemplo, se não há dependência com y e z, temos que

dV = −Exdx (31)

Ex = −∂V∂x

(32)

Para y e z temos formas análogas.

Ey = −∂V∂y

(33)

Ez = −∂V∂z

(34)

Então

~E = −(∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

), (35)

portanto,

~E = −∇V. (36)

Ou seja, o campo elétrico é o gradiente do potencial elétrico.

5 Exercícios

Halliday 8ed: 3, 2, 14, 15Halliday 9ed: 1, 2, 12, 17

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