Pre Calculo para curso bacharel em matematica

Fundamentos do pr-clculo at para quem no C.D.F.

www.altabooks.com.br

ISBN 978-85-7608-823-3

Pr-clculo

W. Michael Kelley

O Guia Completo para Quem

No C.D.F.

Domine sua ansiedade matemtica e aprenda a...

Determinar as razes de funes complicadas.

Investigar funes logartmicas e exponenciais.

Resolver equaes trigonomtricas e provar suas identidades.

Dominar as sees cnicas.

Executar operaes com matrizes.

Resolver sistemas de equaes usando a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz.

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Traduo da 2 Edio

xy

Cincias exatas

Pr-clculo

Voc inteligente, claro. Pelo menos nunca havia se questionado quanto a isso, at descobrir o pr-clculo. Agora, as equaes esto ficando mais difceis, h essa coisa denominada trigonometria que voc no consegue especificar muito bem o que , e sempre que algum diz hiprbole, fica com tique nervoso.

A ajuda est a caminho! Se voc se sente pronto, ou j est perdido e sem esperanas na aula de pr-clculo, este livro lhe oferece no apenas a prtica necessria, mas tambm explicaes abrangentes em bom portugus! Com O Guia Completo Para Quem No C.D.F. Pr-clculo, voc obtm:

Uma rpida atualizao no bsico da lgebra.

Mais tcnicas de lgebra avanada do que se pode mencionar, desde a resoluo de equaes bsicas a elipses grficas.

Todas as habilidades trigonomtricas que voc precisar desenvolver para ter xito na matemtica avanada.

Instrues detalhadas sobre como usar matrizes para simplificar sua vida matemtica.

Um captulo especialmente voltado para a prtica, ajudando voc a refinar suas habilidades.

W. Michael Kelley um professor de clculo contemplado com prmio e autor de seis livros de matemtica, entre eles O Guia Completo Para Quem No C.D.F.

Clculo e O Guia Completo Para Quem No C.D.F. lgebra. Kelley foi premiado pelo Conselho de Professores de Matemtica da Universidade de Maryland, sendo reconhecido como um professor de matemtica notvel, alm de ter sido nomeado o professor mais popular por quatro anos consecutivos em sua escola. Tambm foi fundador e o editor do site calculus-help.com.

Sua posio padro na matemtica a posio fetal?

Do mesmo autor de O Guia Completo para Quem No C.D.F Clculo e lgebra

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Caro leitor, Se eu fosse um apostador (e sou), apostaria que neste momento voc se encontra bastante tenso. No so muitos os motivos que levam uma pessoa a pegar e abrir um livro de pr-clculo. No, no so muitas as situaes que demandam uma medida to extrema.

Talvez voc faa parte de uma turma de pr-clculo e esteja comeando a se sentir um pouco perdido, com a impresso de que, se no tomar uma atitude em breve, poder deixar de se sentir um pouco confuso para passar a no fazer a mnima ideia do que est acontecendo. Esta sensao de estar beira do precipcio, entre a esperana e o desespero, mentalmente exaustiva. Ainda assim, tudo o que voc precisa de um empurrozinho na direo certa para voltar a sentir o cho firme sob seus ps.

Talvez a situao seja ainda pior. Se voc olhar com ateno para aqueles dias em que no tinha certeza se entendia (porque agora voc sabe sem sombra de dvida que no entende mais o que est acontecendo), ver que ainda no est condenado. Este livro permite que voc comece do incio e caminhe de acordo com seu prprio passo. Em pouco tempo voc retomar o ritmo e ter uma boa base sobre a qual se apoiar at o restante do curso.

No importa onde voc se encontra dentro do espectro de respostas para a pergunta Por que esta aula est acabando comigo?, eu escrevi este livro especialmente para voc. No um livro-texto. Em vez de 30 problemas por seo (sem explicaes), fao uso de 5 ou 10 bons exemplos e explico cada passo necessrio para que a soluo seja alcanada. Afinal de contas, voc j tem um livro-texto, e, se eu fosse um jogador (sei que j considerei essa hiptese), apostaria que a leitura daquele livro algo to divertido quanto tacar fogo em si mesmo.

O livro que voc tem em mos no como aqueles manuais chatos de matemtica que destroem a alma. Eu realmente quero que voc compreenda cada tpico de cada captulo, de modo que nenhum detalhe fique a cargo da imaginao. Acho que voc entende o que quero dizer, nada daquelas bobagens de De onde saiu este passo? que cansam to rapidamente. De fato, espero que voc, durante o percurso, d algumas risadas de minhas piadas ou de mim (porque eu ainda tenho a ingenuidade de acreditar que anedotas matemticas so divertidas).

Admitir que voc precisa de ajuda o primeiro (e mais difcil) passo, e voc j deu. O segundo passo encontrar um bom recurso de ajuda (e agora voc j encontrou). Ento, neste momento, resta dedicar certo tempo ao estudo, ter algumas folhas de rascunho mo, um pouco de ambio e talvez um macaco de estimao vestindo smoking (para entretenimento durante os intervalos de estudo). Desse modo, voc estar a caminho de dominar o pr-clculo. Eu aposto nisso.

W. Michael Kelley.

Sobre o autorW. Michael Kelley professor de matemtica (e f de matemtica) e tem um jeito de ensinar elogiado por organizaes como o Maryland Council of Teachers of Mathematics (Conselho de Maryland de Professores de Matemtica que o reconheceu como Professor Notrio de Matemtica para o Ensino Mdio) e a companhia eltrica a poucas quadras da casa dele, que o homenageou com uma placa e um buffet (com cenouras baby) em sua honra.Mike obteve seu diploma no St. Marys College de Maryland em 1994 com dois objetivos principais em mente: ajudar as pessoas a entenderem matemtica (por mais doido que isso possa parecer) e tirar do trono Takeru O Tsunami Kobayashi em seu ttulo de campeo como maior comedor de cachorros--quentes do mundo. Ainda assim, quando ele descobriu que a competio tinha como nico foco a rapidez com que os cachorros-quentes so comidos, no no quanto delicioso com-los, ele decidiu focar exclusivamente no objetivo matemtico.Mike escreveu cinco outros livros, incluindo o grande sucesso O Guia Completo Para Quem No C.D.F. Clculo e O Guia Completo Para Quem No C.D.F. lgebra. Ele tambm o fundador e editor do site www.calculus-help.com (em ingls) que ajuda milhes de estudantes a dominarem suas ansiedades matemticas. De fato, se voc gostar deste livro, v at o site dele e envie um e-mail para dizer isso.Mike vive em Maryland com sua esposa, Lisa, seu filho Nicholas, suas filhas gmeas Erin e Sara e o gato Peanut (que nunca ganhou cenouras como prmio, sejam elas baby ou no).

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Pr-Clculo

por W. Michael Kelley

Rio de Janeiro, 2014

PF_CG_TCIG_Pre_Calculus.indb 1 22/05/2014 14:49:50

Rua Viva Cludio, 291 Bairro Industrial do JacarCEP: 20970-031 Rio de Janeiro Tels.: (21) 3278-8069/8419www.altabooks.com.br e-mail: [email protected]/altabooks www.twitter.com/alta_books

Translated from original The Complete Idiots Guide to Pre-Calculus 2005 by W. Michael Kelley, Inc. ISBN 978-1-59257-301-1. This transla-tion is published and sold by permission Penguin Group, the owner of all rights to publish and sell the same. PORTUGUESE language edition published by Starlin Alta Editora e Consultoria Eireli, Copyright 2014 by Starlin Alta Editora e Consultoria Eireli.

Todos os direitos reservados e protegidos por Lei. Nenhuma parte deste livro, sem autorizao prvia por escrito da editora, poder ser reproduzida ou transmitida.

Erratas: No site da editora relatamos, com a devida correo, qualquer erro encontrado em nossos livros. Procure pelo ttulo do livro.

Marcas Registradas: Todos os termos mencionados e reconhecidos como Marca Registrada e/ou Comercial so de responsabilidade de seus proprietrios. A Editora informa no estar associada a nenhum produto e/ou fornecedor apresentado no livro.

Impresso no Brasil 1 Edio, 2014

Vedada, nos termos da lei, a reproduo total ou parcial deste livro.

Produo Editorial Editora Alta Books

Gerncia Editorial Anderson Vieira

Editoria de Sries Claudia Braga

Superviso Grfica Angel Cabeza

Superviso de Qualidade Editorial Sergio Luiz de Souza

Superviso de Texto Jaciara Lima

Conselho de Qualidade Editorial Anderson Vieira Angel Cabeza Jaciara Lima Sergio Luiz de Souza

Design Editorial Auleriano Messias Marco Aurlio Silva

Marketing e Promoo [email protected]

Equipe Editorial

Cristiane Santos Daniel Siqueira Elaine Mendona

Evellyn Pacheco Hannah Carriello Livia Brazil

Marcelo Vieira Milena Souza Natlia Gonalves

Thi Alves

Traduo Brbara Rottman Chasteen

Copidesque Mateus Colombo Mendes

Reviso Tcnica Kleber Kilhian de Almeida Licenciado em Matemtica com Habilitao em Fsica

Reviso Gramatical Maria Helena R. Oliveira Brbara Azevedo

Diagramao Lucia Quaresma

O Guia Completo para Quem No C.D.F. Pr-Clculo Copyright 2013 da Starlin Alta Editora e Consultoria Eireli. ISBN: 978-85-7608-823-3

4


Sumrio Resumido

Parte 1: Requisitos Prioritrios do Prclculo 11 Revisando Nmeros e Aritmtica 3

Seria mais divertido se eu usasse as palavras nmerrir e aritmetruques? Provavelmente no aprender regras e leis numricas no muito divertido, mas pelo menos no difcil.

2 Equaes e Desigualdades 15Embora alguns sejam, nem todos os problemas matemticos so iguais; aprenda a encontrar solues mesmo assim.

3 Praticando com Polinmios 29Voc encontrar mais polinmios neste livro do que sua caneta capaz de resolver (ou canetas, j que muitas sero usadas). Ento, melhor revisar o assunto (e, por favor, pare de balanar essa caneta, voc vai ferir seu olho desse jeito).

4 Fatorao de Polinmios 43Assim como as rapaduras das festas juninas, os polinmios so mais saborosos em pedaos embalados individualmente e que cabem em uma s mordida.

5 Expresses Racionais e Desigualdades Estranhas 55Era s uma questo de tempo at as fraes entrarem em cena, como um pavo exibindo sua penugem. Aprenda tudo o que precisa para domar essas belas feras!

6 Funes 69As funes vo aterroriz-lo pelo resto da vida. Ento, a menos que voc encare seus medos agora, acabar dormindo com as luzes acesas pelo resto de sua carreira matemtica.

Parte 2: Equaes e Funes No Lineares 857 Funes e Equaes Elevadas a Altas Potncias 87

As funes e equaes diplomadas no mais alto grau acham que so espertas. Coloque-as em seus devidos lugares.

Rua Viva Cludio, 291 Bairro Industrial do JacarCEP: 20970-031 Rio de Janeiro Tels.: (21) 3278-8069/8419www.altabooks.com.br e-mail: [email protected]/altabooks www.twitter.com/alta_books


iv O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Pr-Clculo

8 Funes Logartmicas 101A lenha usada na matemtica no tem nenhum impacto no meio ambiente (mas voc tambm no tem passe livre para us-la como se tivesse ganhado um ingresso para fazer tudo o que quisesse no parque de diverses).

9 Funes Exponenciais 113Funes que crescem mais rpido que bolor no po, que voc cultivou para seu projeto de cincias da stima srie.

Parte 3: Trigonometria 12710 Sendo Dobrado pelos ngulos 129

Abandone o mundo bobo das funes para um breve descanso no mundo de belos contornos da geometria.

11 Representando Graficamente Funes Trigonomtricas 145Foi bom no pensar em funes durante cinco minutos, mas agora elas esto de volta e so peridicas (com isso quero dizer que esto de volta para uma vingana).

12 Identidades Trigonomtricas 159 como ser um investigador de cena de crime, mas sem o crime e sem a cena, e com funes trigonomtricas em vez de um cadver.

13 Resolvendo Equaes Trigonomtricas 171Equaes com respostas que contm ? Parece timo!

14 Teoremas do Tringulo Oblquo 183Se galinhas criadas livres produzem carnes mais especiais, ento os tringulos criados livres podem ser especiais o bastante para assistir J Soares ao seu lado e dar um grande abrao em voc, "simplesmente por voc existir".

Parte 4: Sees Cnicas 20115 Parbolas e Circunferncias 203

Duas formas que voc conhece e ama so muito mais complexas do que voc jamais imaginou. Sente-se para tomar um caf (sem biscoitos, no sejamos pretensiosos), para que possamos conhecer-nos novamente.


vSumrio Resumido

16 Elipses e Hiprboles 219Talvez seja porque estou com fome, mas elipses e hiprboles me lembram pipoca. Deixe-me explicar o motivo usando uma linguagem bem salgada

Parte 5: Matrizes e Montagem Matemtica 23317 Operaes e Clculos com Matrizes 235

Infelizmente, voc s aprender a fazer coisas chatas com matrizes aqui, no coisas legais como voar por a e destruir viles, como nos filmes Matrix.

18 A Enigmtica Plula Vermelha de Aplicaes de Matrizes 249Mesmo quando so um pouco difceis de engolir, as matrizes fazem coisas realmente incrveis, como resolver sistemas de equaes sem usar varivel alguma. Elas tm fora fsica para fazer milhares de apoios sobre uma nica mo; ento, melhor nos rendermos a elas enquanto exibem seus poderes.

19 Teste Final 267Este captulo contm tantos problemas para praticar que, se voc fizesse um por ano, teria que viver mais de 115 anos para termin-los. Claro que se voc fizer um por minuto, levar somente umas 2 horas para terminar.

Apndice

A Solues dos Quadros Voc Tem Problemas 285

B Glossrio 315

ndice 325


Sumrio

Parte 1: Requisitos Prioritrios do Prclculo 1

1 Revisando Nmeros e Aritmtica 3Classificaes dos Nmeros 4Propriedades Algbricas 6Regra dos Expoentes 8Expresses com Radicais 10

Potncias Fracionrias 11Simplificao de Expresses com Radicais 11

2 Equaes e Desigualdades 15Resoluo de Equaes com Uma Varivel 16Escrevendo Equaes Lineares 17Representao Grfica de Equaes Lineares 20Como Resolver Desigualdades Lineares 22

Notao de Intervalos 22Desigualdades Tm Gosto de Frango 24

Desigualdades com Valores Absolutos 25Desigualdades do Tipo Menor Que 25Desigualdades do Tipo Maior Que 27

3 Praticando com Polinmios 29Classificao de Polinmios 30Adio e Subtrao de Polinmios 31Multiplicao de Polinmios 33Diviso Longa de Polinmios 35Diviso Sinttica 37Nmeros Complexos 39

4 Fatorao de Polinmios 43Mximo Divisor Comum 44

Descobrindo o Mximo Divisor Comum de Nmeros Inteiros 44Descobrindo o Mximo Divisor Comum de Polinmios 46

Fatorao por Agrupamento 48Padres do Divisor Comum 49Fatorao de Trinmios Quadrticos 51O Mtodo Bomba de Fatorar Trinmios 52

5 Expresses Racionais e Desigualdades Estranhas 55Adio e Subtrao de Expresses Racionais 56

O Mnimo Mltiplo Comum 56Combinando Expresses Racionais 58

Multiplicao de Expresses Racionais 60


viii O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Pr-Clculo

Diviso de Expresses Racionais 61Resoluo de Equaes Racionais 62Representao Grfica de Desigualdades Estranhas 64

Desigualdades Quadrticas 65Desigualdades Racionais 67

6 Funes 69Combinao de Funes 69

Operaes com Funes 70Composio das Funes 71

Representao Grfica de Funes 72Quatro Importantes Grficos de Funes 73Transformao de Funes 74

Funes Inversas 78O Comportamento das Funes Inversas 78Criao de uma Funo Inversa 80

Assntotas de Funes Racionais 80O Mnimo que Voc Precisa Saber 83

Parte 2: Equaes e Funes No Lineares 85

7 Funes e Equaes Elevadas a Altas Potncias 87Resoluo de Equaes Quadrticas 88

Completando o Quadrado 89A Frmula Quadrtica 90

Encontro Judicial com as Razes 92Equaes vs. Funes 92O Teorema Fundamental da lgebra 93Teste do Coeficiente Principal 93A Regra dos Sinais de Descartes 94

Teste da Raiz Racional 96Fechando a Mala 98

8 Funes Logartmicas 101Avaliao de Logaritmos 102Representao Grfica de Logaritmos 103Logaritmo Comum e Natural 107A Frmula da Mudana de Base 108As Propriedades dos Logaritmos 110

9 Funes Exponenciais 113Representao Grfica de Funes Exponenciais 114O Equilbrio do Poder Logartmico/Exponencial 117Resoluo de Equaes Logartmicas e Exponenciais 119Crescimento e Decaimento Exponencial 123


ixSumrio

Parte 3: Trigonometria 127

10 Sendo Dobrado pelos ngulos 129ngulos no Plano Cartesiano 130Medio de ngulos 132

Graus e Radianos 132Converso entre Graus e Radianos 134

ngulos Cngruos 135Trigonometria de Tringulos Retngulos 137O Crculo Unitrio 140

11 Representando Graficamente Funes Trigonomtricas 145Funes Peridicas 146Representando Graficamente o Seno e o Cosseno 148

Conectando os Pontos por Diverso e Lucro 149Tempo de Brilhar do Cosseno 151Representando Graficamente Funes Trigonomtricas 151

Conhea o Resto da Famlia 153Tangente 154Cotangente 155Secante e cossecante 156

12 Identidades Trigonomtricas 159Treinamento Bsico 160

Identidades de Sinais 160Identidades de Cofunes 161Identidades Recprocas 162Identidades Pitagricas 163

Treinamento Avanado: Simplificao de Expresses Trigonomtricas 164Provando Identidades 166Identidades para Corajosos 168

Frmulas da Soma e da Diferena 169Identidades de ngulos Duplos 169

13 Resolvendo Equaes Trigonomtricas 171Funes trigonomtricas inversas 172Esta sua resposta final? 175Equaes bsicas 176Equaes Quadrticas 177Equaes Desencontradas e Carentes 178

Equaes Carentes com Quadrado 178Equaes carentes sem quadrado 179

Equaes com ngulos mltiplos 180


x O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Pr-Clculo

14 Teoremas do Tringulo Oblquo 183Verificao de Referncias para ngulos No Amigveis 184

Contemple o Lao de Gravata 184Amarrando Funes Trigonomtricas 188

Obliterao de Tringulos Oblquos 189A Lei dos Cossenos 191A Lei dos Senos 193

Como Calcular a rea de um Tringulo Oblquo 196Tringulos LAL 197Tringulos LLL 198

Parte 4: Sees Cnicas 201

15 Parbolas e Circunferncias 203Introduo a Sees Cnicas 204Exterminando Parbolas 206

Quadrticas Contendo um Termo x2 207Quadrticas Contendo um Termo y2 212

A Circunferncia Viciosa 215

16 Elipses e Hiprboles 219Eclipsando Elipses 220

Anatomia Elptica 221Forma Padro de uma Elipse 222Calculando a Excentricidade 226

Lidando com Hiprboles 227Partes Fresquinhas de uma Hiprbole 228Forma Padro de uma Hiprbole 229

Parte 5: Matrizes e Montagem Matemtica 233

17 Operaes e Clculos com Matrizes 235Adio e Subtrao de Matrizes 236Multiplicao de Matrizes 238Clculo dos Determinantes Usando Atalhos 239

Matrizes 2 2 240Matrizes 3 3 241

Clculo dos Determinantes Usando Expanses 242Clculo da Menor e dos Cofatores 243Expanso de Linhas e Colunas 244

Regra de Cramer 246


xiSumrio

18 A Enigmtica Plula Vermelha de Aplicaes de Matrizes 249Questes Relativas Miscelnea de Matrizes 250

Matrizes Aumentadas 250A Matriz Identidade 251

Operaes com Linhas de Matrizes 252Forma Escalonada por Linhas 254Forma Escalonada Reduzida por Linhas 257Por que Mesmo as Formas Escalonadas por Linhas Existem? 259Matrizes Inversas 261Resoluo de Equaes com Matrizes 263

19 Teste Final 267Captulo 1 268Captulo 2 268Captulo 3 269Captulo 4 269Captulo 5 270Captulo 6 270Captulo 7 270Captulo 8 271Captulo 9 271Captulo 10 272Captulo 11 273Captulo 12 273Captulo 13 274Captulo 14 274Captulo 15 275Captulo 16 275Captulo 17 275Captulo 18 276Solues 276

ApndiceA Solues dos Quadros Voc Tem Problemas 285

B Glossrio 315

ndice 325


IntroduoNunca fui f de pr nada. O nico objetivo de jogar um pr na frente de uma palavra dizer: Ei, no final das contas o que voc est fazendo ser importante, mas por enquanto no . Voc j fez algum pr-teste antes de um teste em aula? Basicamente, ele se parece com um teste e faz voc sentir-se como se estivesse fazendo o teste que far ao fim de uma unidade, mas aqui est o truque: voc precisa faz-lo antes de o professor, de fato, ensinar alguma coisa.

Supostamente, os pr-testes ajudam os professores a ajustar o plano de aula para indicar os pontos fortes e fracos de uma turma, mas voc e eu sabemos que isso no verdade. Fui professor durante muito tempo e no creio ter visto algum professor mudar seu plano de ensino com base no resultado de um pr-teste, no importa o que se diga sobre isso. O nico motivo pelo qual voc recebe um pr-teste para arraigar profundamente em seu subconsciente a seguinte ideia: Ah, no, como vou aprender isso? Decididamente, sinto-me um estpido, o que vou fazer? Eu sou uma desgraa!

Quando voc comea a entrar em pnico e perguntar se sua me estava certa ao tentar demov-lo da ideia de estudar isso (O mundo tambm precisa de escavadores, diria ela, de um jeito muito doce e humilhante), a professora entra em cena e diz: No se preocupem, estou aqui pra salv-los da ignorncia. Abram seus crebros e preparem-se para colocar tudo dentro. um jogo ardiloso de bom e mau policial, em que o pr-teste o policial mau que no quer que voc passe e a professora o policial bom que quer somente que voc passe (ou que voc, pelo menos, no fure os pneus do carro dela quando ela mandar-lhe para a diretoria).

Ento o pr-teste no um teste, s algo que voc precisa fazer antes de poder fazer algo mais interessante e gratificante. Quase todas as palavras com pr funcionam dessa maneira. As Olimpadas sempre ocorrem depois de competies de pr-qualificao, que s servem para fazer voc chegar s Olimpadas, no importa o resultado. A pr-escola representa somente o momento de aprender como ir escola. Os trailers de pr-estreia de filmes so somente pequenos pedaos de um filme para deix-lo entusiasmado com o lanamento, que, s vezes, demora meses ou anos.

As coisas com pr so irritantes, normalmente, no tm utilidade por si mesmas e so (talvez isto seja o mais apavorante), acima de tudo, compromissos. Quando voc estuda pr-clculo, h uma suposio implcita de que voc pretende estudar clculo adiante, e de que to difcil que voc precisa preparar-se para isso agora.

Felizmente, o pr-clculo no uma palavra que funciona como as palavras com pr em geral. Voc no est somente se preparando para lutar com um monstro faminto quando desenvolve habilidades que so, nelas mesmas, inteis. Embora dois cursos de Pr-clculo no sejam iguais, a maioria deles engloba lgebra avanada, trigonometria, sees cnicas e matrizes e valeria a pena aprender essas ferramentas mesmo se Clculo no existisse.


xiv O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Pr-Clculo

Acho que disso que eu gostaria que voc lembrasse mais que tudo ao abrir caminho na estrada dos tpicos deste livro. As coisas que voc est aprendendo no so sem sentido e no esto aqui somente para apavorar voc e faz-lo estudar mais para uma disciplina que surgir no futuro como um encontro s escuras com um doido. Esses tpicos so teis agora mesmo, por motivos que faro sentido para voc agora mesmo. Assim, jogue fora suas noes preconcebidas, seus medos preeminentemente destrutivos e abrace o pr-clculo (ou, pelo menos, compre este livro e abrace-o, caso o encontro fique conturbado).

Como Este Livro OrganizadoEste livro dividido em cinco sees:

Na Parte 1, Requisitos Prioritrios e do Pr-clculo, voc verificar se tem domnio das principais habilidades de lgebra necessrias no pr-clculo. Pense nela como um breve curso de pr-pr-clculo. E, entre as coisas que voc vai revisar, h as propriedades algbricas, regras exponenciais, polinmios, fatorao, equaes, desigualdades, fraes complicadas e funes. Voc provavelmente reconhecer muito do contedo aqui apresentado, mas est destinado a aprender algo novo para adquirir uma compreenso mais ampla das coisas com as quais voc j tinha algum tipo de familiaridade.

A Parte 2, Equaes e Funes No Lineares, amplia seus horizontes um pouco, usando o que voc sabe sobre funes e equaes e aumentando a aposta em cima disso. Voc comear resolvendo equaes quadrticas (usando trs tcnicas diferentes) e se qualificar para resolver equaes de graus mais altos, como cbicas e na quarta potncia. Ento, seguir o caminho das funes exponenciais e logartmicas, que so diferentes de tudo o que voc j viu na vida. Esses grficos no so simples retas. E no s isso, eles tm existncia prpria, o que faz deles uma introduo perfeita aos grficos loucos que ainda viro.

Na Parte 3, Trigonometria, voc far um aquecimento ao Sol com ngulos, tringulos, crculos e outras memrias geomtricas durante algum tempo, e as coisas comearo a ficar estranhas. De repente, voc estar fazendo representaes grficas de coisas repetitivas chamadas funes peridicas e manipulando o mecanismo complexo de funes trigonomtricas, a fim de tentar provar que as identidades que elas criam so, de fato, verdadeiras. No fim da seo, porm, o trabalho duro ser recompensado e voc estar medindo componentes de tringulos e calculando reas triangulares que voc nunca sonhou que pudessem retornar dos velhos tempos de geometria (se que voc sonha com esse tipo de coisa, o que eu no recomendo fazer).

Na Parte 4, Sees Cnicas, palavras como foco, vrtice, centro, raio e diretriz comearo a pipocar de todos os lugares, assim como todos os tipos de eixos (o que significa mais de um eixo, no os eixos do tipo Eu sou um manaco homicida fora do eixo), como: de simetria, maior, menor, transverso e conjugado. Todas essas peas


xvIntroduo

se renem para formar quatro formas no Plano Cartesiano: parbolas, crculos, elipses e hiprboles, que (juntas) so chamadas de sees cnicas.

Finalmente, na Parte 5, Matrizes e Montagem Matemtica, voc ser apresentado (ou reapresentado) ao relativamente novo campo de estudos matemticos denominado matrizes. Elas no so nada mais que linhas e colunas de nmeros (como tabuleiro de damas com dgitos, em vez de quadrados), mas com superpoderes incompreensveis. Enquanto o tabuleiro s serve para jogar damas e fazer irmos brigarem, as matrizes podem fazer todo o tipo de coisas, especialmente no que se refere a sistemas de equaes. Quando voc estiver sentindo que domina as matrizes (e todos os tpicos dos captulos precedentes), experimente pr as mos no Teste Final, no Captulo 19. Ele ajudar voc a descobrir o que voc realmente consegue fazer e o que voc no compreende.

Coisas para Ajud-lo aoLongo da Trajetria

Como professor, encontrava-me constantemente saindo por tangentes tudo o que mencionava me fazia lembrar de outras coisas. Esses fragmentos perifricos so abordados neste livro tambm. Apresento a seguir um guia para os diferentes quadros que voc encontrar complementando as prximas pginas.

Embora eu venha a avisar voc sobre ciladas e perigos comuns conforme for explicando os tpicos de pr-clculo, os perigos nestes quadros merecem ateno especial. Pense neles como crnios ou ossos cruzados pintados em sinais que voc encontra ao longo do caminho. Prestar ateno neles pode economizar horas de frustrao.

Alerta do Kelley

A lgebra repleta de palavras e expresses doidas usadas por nerds. Para tornar-se o rei ou a rainha nerd da matemtica, voc precisar conhecer seus significados.

Fale a LinguagemEstas observaes, dicas e ideias ajudaro, ensinaro e divertiro. Elas acrescentaro alguma coisa ao tpico abordado, seja um conselho sincero, um pouco de sabedoria ou algo para animar

um pouco.

Ponto Crtico


xvi O Guia Completo para Quem No C.D.F. - Pr-Clculo

Como Voc Fez Isso?

Muito frequentemente, as frmulas algbricas surgem como mgica, ou voc faz algo somente porque seu professor disse que era para fazer. Se alguma vez voc j fez a pergunta Por que isso funciona?, De onde vem isso?, Como aconteceu isso?, aqui que encontrar a resposta.

Voc Tem Problemas

A matemtica no um esporte para espectadores. Depois que eu explicar como resolver um problema, voc dever tentar resolver um exemplo sozinho. Esses convites prtica sero muito similares queles com os quais voc se deparar nos captulos, mas agora sua hora de brilhar. Voc encontrar todas as respostas, explicadas passo a passo, no Apndice A.

Para minhas filhinhas gmeas, Erin e Sara. Pedi a Deus que me desse uma garotinha para amar e Ele me deu duas. Claro, as duas tiveram clicas, mas ningum jamais disse que Deus no tinha senso de humor.

AgradecimentosSou dividido em duas partes distintas, o Mike dos livros e o Mike normal, e ambas requerem ateno constante, ajuda, apoio, amor e jogos de pquer peridicos para sobreviver. H um pequeno grupo de camaradas que no somente permitem que eu escreva, como tambm me encorajam a faz-lo (ento a eles que voc deve culpar). Agradecimentos especiais a Jessica Faust (minha agente), Mike Sanders (da Alpha Books), Nancy Lewis (minha editora incrvel e que muito sofreu), Sue Strickland (uma daquelas professoras raras que dizem que se importam com voc e se importam de fato) e a meus primeiros amigos verdadeiros na rea de publicaes (que ainda recebem minhas ligaes, acredite ou no), Roxane Cerda e David Herzog.

Minha estrutura de apoio familiar e de amigos tambm muito segura, e talvez seja obcecada com prazos do mesmo modo. Para Dave (meu irmo), Carol (minha me), Matt O profeta Halnon, Chris A Cobra Sarampote e Rob Nqueis Halstead (meus amigos mais prximos e velhos oponentes de pquer do Texas), Lisa (minha esposa, melhor amiga e luz na escurido), Nicholas (meu filho e realizao da qual mais me orgulho): no tenho palavras para expressar meus agradecimentos por tudo que vocs fazem por mim diariamente sem que eu sequer chegue a pedir.

Finalmente, obrigado a Erin e Sara, duas garotinhas que amo de todo o corao. Obrigado por acrescentarem uma alegria imensurvel minha vida e por esperarem para nascer depois que este livro foi escrito (quase que chegaram antes).


xviiIntroduo

Agradecimentos Especiais Revisora TcnicaO Guia Completo Para Quem No C.D.F. Pr-Clculo foi revisado por uma especialista, que verificou a exatido do contedo que voc vai aprender aqui, para que este livro fornea tudo o que voc precisa saber para preparar-se para estudar clculo. Agradecimentos especiais, ento, para Susan Strickland que tambm revisou O Guia Completo Para Quem No C.D.F. lgebra e O Guia Completo Para Quem No C.D.F. Clculo.

Susan Strickland obteve grau de bacharel em matemtica no St. Marys College, de Maryland, em 1979, e grau de Mestre em matemtica na Lehigh University, em 1982. Seguiu estudando matemtica e educao matemtica na The American University em Washington, D.C., de 1989 a 1991. Foi professora assistente de matemtica e professora de alunos supervisionados em matemtica secundria no St. Marys College, Maryland, de 1983 a 2001. Nesse perodo, teve a satisfao de ensinar Michael Kelley e supervisionar sua experincia como professor. Desde 2001, ela professora de matemtica no College of Southern Maryland e agora est envolvida com o ensino de matemtica para futuros professores do ensino fundamental. Dentre seus interesses, esto o ensino de matemtica a matematicofbicos, treinamento de futuros professores de matemtica e resoluo de jogos e quebra-cabeas matemticos (ela realmente capaz de resolver o cubo mgico).

Marcas RegistradasTodos os termos mencionados neste livro que so ou acredita-se serem marcas registradas ou marcas de servio aparecem com letras maisculas quando adequado. A Alpha Books e a Penguin Group (USA) Inc. no se responsabilizam pela preciso desta informao. No se deve considerar o uso de nenhum termo neste livro, como algo que afete a validade de alguma marca registrada ou marca de servio.


1Parte Requisitos Prioritrios do PrclculoAntes de comear a estudar prclculo, voc precisa dominar lgebra plenamente. Por isso, nesta parte, ajudarei voc a revisar as habilidades de lgebra que precisar usar depois. claro que terei de fazer isso um pouco rapidamente, pois a maioria dos captulos deve ser de reviso para voc. Se precisar de ajuda adicional com algum desses tpicos, sugiro minha introduo, O Guia Completo para Quem no C.D.F. lgebra. s uma introduo (no como Guerra nas Estrelas, Episdio 1: A Ameaa Fantasma), nada muito difcil de vencer.


Captulo1Revisando Nmeros e AritmticaNeste Captulo:

Classificao de nmeros de acordo com suas propriedades As regras bsicas da lgebra As leis dos expoentes Simplificao de expresses com radicais

Por muitos motivos, nunca saltarei de paraquedas. Tenho um medo paralisante de altura. Meu romance antigo com o cho est bem estabelecido, mas, se saio dele por alguns momentos para escalar algum local alto (normalmente, contra minha vontade), no tenho vontade de sentir que se afastou de meus ps porque sa de improviso, devido a um passo em falso ou a uma queda azarada.

Porm, se em algum momento eu decidisse experimentar queda livre de um avio, com certeza me prepararia durante algum tempo, dominaria todas as habilidades necessrias, at as mais simples, para que, no meio do salto, eu no fosse de repente perceber que no possua uma habilidade importante (tal como a de evitar cair em um celeiro ou a de engolir o mnimo possvel de insetos enquanto minha boca estivesse aberta em um grito de horror).


4 Parte 1: Requisitos Prioritrios do Pr-clculo

Aprender prclculo no algo to exaustivo fisicamente, tampouco to apavorante quanto queda livre, mas o curso dura muito mais tempo que um nico salto. Se voc no domina todos os requisitos matemticos, talvez se encontre de repente enrolado metaforicamente em seu paraquedas, ou, pior que isso, caindo rumo a um destino educacional cruel, ouvindo somente zumbidos dos sons de variveis e equaes incompreensveis que passam por voc durante a queda a uma velocidade inconcebvel.

Neste captulo, revisarei as habilidades mais bsicas de lgebra e os termos do vocabulrio que voc precisar dominar quando chegar aos substanciosos tpicos de prclculo, que comeam na Parte 2. Mesmo se voc achar que entende bastante de lgebra, dever revisar o captulo, pois seria trgico descobrir depois que a mochila em que voc achava que estava o seu paraquedas na verdade estava vazia.

Classificaes dos NmerosEm sua vida, voc j aprendeu vrias coisas sobre nmeros, mas precisar saber mais ainda a respeito da descrio dos nmeros. Ao longo do livro, farei referncia s principais classificaes numricas, como os nmeros racionais ou inteiros. Ento, importante que voc entenda a que estou me referindo. Aqui esto eles listados, em ordem, do menor grupo numrico at o maior.

Nmeros naturais: so os nmeros que voc usava para brincar de esconder. Enquanto seus parceiros de brincadeira fugiam correndo, desaparecendo

entre os arbustos, voc espremia os olhos contando 1, 2, 3, 4, 5, 6.... De fato, por esse mesmo motivo, este grupo tambm conhecido como grupo dos nmeros contveis. Note que o menor nmero natural 1 e o grupo no contm nmeros fracionrios, decimais ou negativos.

Nmeros naturais com zero: voc acrescenta um membro adicional (o nmero 0) ao conjunto de nmeros naturais. Assim, obtmse os nmeros naturais acrescidos de zero: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... Basicamente, so todos os nmeros no negativos que no contm uma frao ou um decimal.

Nmeros inteiros: Para gerar listas completas de nmeros inteiros, adicione 1, 2, 3, 4... (os opostos de cada nmero natural) ao conjunto de nmeros naturais com zero.

Tecnicamente, os nmeros naturais podem combinar fraes e decimais irrelevantes.

Por exemplo, 81

e 8,00 so nmeros

naturais porque podem serreescritos como 8, nmero queno requer a barra de frao nema vrgula decimal.

Alerta do Kelley


5Captulo 1: Revisando Nmeros e Aritmtica

Nmeros racionais: qualquer nmero que pode ser expresso na forma de frao ab (onde a e b so inteiros) automaticamente um nmero racional.

Assim, 23

, 8 12, e

75

so nmeros racionais. importante saber que se um

decimal repetirse infinitamente (como no caso de 5,172172172172172...) ou terminar em um nmero determinado de casas decimais (como em 3,7 ou 14,98132), o nmero , na verdade, uma frao disfarada e, desse modo, um nmero racional.

Nmeros irracionais: qualquer nmero que no esteja de acordo com os requisitos para encaixarse entre os nmeros racionais agrupado com os nmeros irracionais. Desse modo, para ser irracional, o nmero deve ser um decimal que no se repete e no termina (como o = 3,1415926535897932384626433832795..., que nunca segue nenhum padro de repetio, no importa quantas casas decimais sejam includas), sendo impossvel expresslo em forma de frao.

Nmeros reais: o que se obtm ao combinar todos os nmeros racionais e irracionais? Uma arma qumica perigosa e voltil? Uma dana estranha que se aprende no colgio, em que cada grupo de nmeros fica em um lado do ginsio sem conversar com os outros? No. Obtmse os nmeros reais. Como homens e mulheres, que em conjunto so denominados humanos, os racionais e irracionais juntos so conhecidos como reais.

Nmeros complexos: um nmero complexo tem a forma a + bi, em que a e b so nmeros reais e i tem o valor bizarro de i 1. Como no possvel obter a raiz quadrada de um nmero negativo, i descrito como imaginrio. Ento, no nmero complexo a + bi, a chamado de parte real e bi a parte imaginria.

Voc trabalhar s um pouco com nmeros complexos em prclculo, mas precisar saber como efetuar operaes aritmticas bsicas com eles. Abordarei esse assunto no final do Captulo 3.

Os nmeros inteiros so automaticamente nmeros racionais, porque podem ser

expressos como seus prprios quocientes e 1. Por exemplo, 13 131

= , de modo

que 13 definitivamente racional. E qualquer nmero real automaticamente um nmero complexo. Como possvel reescrever 5 como 5 + 0i, 5 um nmero complexo, mesmo que a parte imaginria, 0i, tecnicamente seja igual a 0.

Ponto Crtico



Tenha em mente que a maioria dos nmeros pode ser classificada de muitas formas diferentes e no pertence a um nico grupo. Assim como uma baleia pode ser classificada como um mamfero e como algo muito grande para caber com conforto em uma minivan, o nmero 7 pode ser classificado como um nmero natural (sem e com zero), nmero inteiro, nmero racional, nmero real, nmero complexo e como um nmero que aparece no nome de um filme incrvel com Brad Pitt e Morgan Freeman.

Propriedades AlgbricasUma propriedade um fato matemtico to bsico e fundamental que aceita como verdade (ainda que no seja possvel provla rigorosamente). A matemtica, como qualquer sistema lgico ou de crenas, tem certas verdades fundamentais que, embora sejam obviamente corretas, no podem ser provadas empiricamente. As propriedades algbricas mais comumente mencionadas esto listadas a seguir:

Propriedade associativa (da adio e da multiplicao). Se voc recebe uma soma (uma lista de nmeros reais somados) ou um produto (resultado de uma multiplicao de nmeros), possvel agruplos como desejado (colocando parnteses em qualquer local), e o resultado no ser modificado. Note que as expresses a seguir tm o mesmo valor, mesmo que a posio dos parnteses seja diferente.

(3 + 4 + 1) + 6 + (7 + 11) 3 + (4 + 1 + 6 + 7) + 11= 8 + 6 + 18 = 3 + 18 + 11= 32 = 32

Propriedade comutativa (da adio e da multiplicao). Diante de uma adio ou produto, possvel alterar a ordem dos nmeros envolvidos, mas isso no altera o valor da adio ou do produto.

Voc Tem Problemas

Problema 1: Simplifique a expresso

+5 23

e identifique todas as

classificaes possveis para o resultado.

Lembre-se de que as propriedades associativas e comutativas s funcionam com a adio e a multiplicao. Se voc reagrupar ou reordenar problemas de subtrao e diviso, bem provvel que o resultado seja diferente. Por exemplo, 10 2 e 2 10 fornecem resultados definitivamente diferentes.

Alerta do Kelley

As regras mais bsicas e no provadas que compem os fundamentos da lgebra so chamadas de propriedades algbricas (ou axiomas).

Fale a Linguagem



4 5 (3) 2 2 5 4 (3)= 20 (3) 2 = 10 4 (3)= 60 2 = 40 (3)= 120 = 120

Propriedades de identidade (da adio e da multiplicao). Se voc adicionar 0 a qualquer nmero real (a + 0) ou multiplicar um nmero real por 1 (a 1), obter o nmero original de volta, no modificado (a). Esse fato no faz a terra tremer, eu sei. No entanto, voc deve lembrar que, como resultado, 0 chamado de identidade aditiva e 1 conhecido como identidade multiplicativa (quando aplicados, esses dois nmeros no mudam a identidade de outros nmeros ou variveis).

Propriedade inversa. Cada nmero real b tem um oposto, escrito b, de modo que a soma de um nmero e seu oposto igual a 0: b + (b) = 0. Alm disso, cada nmero real b diferente de zero tambm tem um recproco, definido como 1

b, e quando voc multiplica um nmero por seu recproco,

obtm bb b

b1 1.

As identidades da adio e da multiplicao so (respectivamente) 0 e 1. Note que, quando uma propriedade inversa aplicada a

um nmero, o resultado sempre uma dessas identidades (ao adicionar opostos, voc obtm a identidade aditiva, quando multiplica recprocos, obtm a identidade multiplicativa).

Fale a Linguagem

Propriedade simtrica. Voc pode inverter os lados de uma equao sem afetar sua soluo. Em outras palavras, se x = y, ento y = x. A propriedade simtrica mais comumente usada ao tentar resolver uma equao e quando se quer isolar a varivel em um lado particular, normalmente o lado esquerdo da equao. Mesmo que uma soluo final de 4 = x seja aceitvel, a soluo considerada melhor esteticamente pela maioria das pessoas a de x = 4.

Propriedade transitiva. Se a = b e b = c, ento a = c. Pense nas propriedades transitivas deste modo: se voc to alto(a) quanto eu e eu sou to alto quanto o ator William Shatner (o que verdade, eu e ele temos 1,78m de altura), ento voc deve ter exatamente a mesma altura de William Shatner.



Propriedade distributiva. A expresso a(b + c) igual a ab + ac. Em outras palavras, possvel distribuir em um problema de subtrao ou uma combinao de adio e subtrao, deste modo: a (b + c d) = ab + ac ad.

Propriedade de substituio. Se duas expresses so iguais, possvel substituir uma pela outra. Por exemplo, se dado que 2x 3y = 9 e voc sabe que x = 5y, possvel substituir 5y por x na equao 2 (5y) 3y = 9.

Propriedades do Banco Imobilirio. Se voc j jogou Banco Imobilirio sendo ruim em lgebra, mantenha em mente que o objetivo adquirir propriedades como Avenida Paulista, Morumbi, Interlagos e Avenida Augusta. Voc vai xingar tudo e todos na hora de pagar o aluguel. diablico.

Mesmo que voc se sinta tentado a substituir os nomes das propriedades por nomes mais compreensveis (como referirse propriedade simtrica como a propriedade espelho), aprenda os nomes reais e faa uso deles. Desse modo, mais fcil comunicar seus pensamentos e justificativas, pois, mesmo que voc saiba o que quer dizer ao mencionar Sabe, aquela que diz que voc pode mover as coisas?, as outras pessoas podem no saber.

Voc Tem Problemas

Problema 2: Identifique as propriedades que justificam as expresses a seguir:

( )( )

a. 4 + 1 = 9 4 equivalente a 9 4 = 4 + 1

b. (3)(7)(8) = (8)(7)(3)

c. 4(x 2) = 4x 8

d.

=32

23

1

Regra dos Expoentes possvel indicar a multiplicao repetida de um nmero, varivel ou quantidade usando expoentes. Na expresso x7 (leia x elevado stima potncia), x a base e 7 o expoente, ou potncia. A notao x7 significa o mesmo que x x x x x x x. Alm disso, possvel reescrever a expresso 5y 5y 5y 5y 5y 5y como (5y)6, onde 5y a base elevada potncia 6 (o nmero total de vezes em que a base aparece multiplicada por si mesma).



Embora a notao exponencial seja tecnicamente s um jeito rpido de reescrever um problema, possvel trabalhar facilmente com expresses exponenciais sem ter que reescrevlas primeiramente do jeito longo. Siga estas regras:

xaxb = xa + b: se duas expresses exponenciais (com a mesma base) so multiplicadas, o produto a base comum elevada soma das potncias w w9 = w3+9 = w12. Mesmo que a expresso y y seja um produto, a resposta y5, no y6; necessrio adicionar os expoentes, no multipliclos. Lembre-se de que os expoentes so apenas o caminho mais curto das multiplicaes repetidas, ento y y na realidade corresponde a (y y)(y y y). De acordo com a propriedade associativa, possvel reagrupar todos esses ys juntos para obter y y y y y = y5.

xa

x b= x ab: se duas expresses exponenciais (novamente, devem ter a mesma

base) so divididas, o resultado a base comum elevada diferena das

potncias: b = b7 = b5b7 . Note que necessrio subtrair sempre a potncia

do denominador da potncia do numerador. A regra anterior afirmava que a multiplicao de expresses com expoentes implicava a adio de potncias, ento faz sentido que a diviso de expresses com expoentes implique a subtrao de potncias, uma o inverso da outra.

(x a)b = xab: se uma expresso exponencial elevada a um expoente,

multiplique os expoentes juntos e mantenha a base comum: (k 3)4

= k 34 = k12. Outra opo expandir a expresso com expoentes

(k 3)4= (k3)(k3)(k3)(k3) = k3+3+3+3 = k12.

(xy)a = xaya e xy

a

= xa

ya: se um produto ou quociente inteiro elevado a

um expoente, cada parte individual da expresso elevada ao expoente: (x2y)3 = (x2)3 ( y)3 = x6y3. x = x e x0 = 1: qualquer nmero elevado na primeira potncia igual ao prprio nmero, ento 13 = 13 e (4) = 4 (como isso verdadeiro, realmente no h necessidade de escrever o expoente de 1). Adicionalmente, se qualquer nmero (exceto zero) for elevado na potncia zero, possvel obter 1: 130 e (4)0 = 1. Voc no vai lidar com o valor de expresso 0 at estudar clculo.

Se uma soma ou diferena elevada a um expoente, no possvel elevar cada parte a esse expoente, como em (x + y) x + y e (a b) a + b. Esse tipo de problema de expanso revisadono Captulo 3.

Alerta do Kelley



x a = 1xa

e : um expoente negativo indica que o nmero ao qual est

vinculado est na parte errada da frao; se esse nmero for movido na barra de frao (do numerador para o denominador ou viceversa), isso resolve o problema e o expoente negativo fica positivo novamente.

Pegue, por exemplo, a frao x4 y2z1

. Como x e z

tm potncias negativas, mova cada um deles

na barra de frao para obter y2 zx4

. Por que fazer

isso? Muitos professores consideram algo no simplificado uma soluo contendo expoentes negativos, ento necessrio descartar essas potncias negativas em sua resposta final.

Exemplo 1: Simplifique a expresso (mp) (mp)2.Soluo: Note que cada expoente elevado a um expoente, ento multiplique as potncias:

(m2(3)p1(3))(m1(2)p2(2)) = m6p3 m2p4

De acordo com a propriedade comutativa, possvel rearranjar a ordem das bases e ento adicionar os expoentes s bases correspondentes.

m6m2 p3p4 = m62p34 = m4p1

Elimine o expoente negativo movendo p para o denominador.m4p

Voc Tem Problemas

Problema 3: Simplifique a expresso x yx y

3 5

7 2

2

.

Expresses com RadicaisAt agora discutimos somente expoentes que so inteiros, mas no somente possvel ter expoentes racionais, tambm bastante comum. Entretanto, essas potncias fracionrias se escondem em disfarces de expresses com radicais

Se uma frao inteira elevada a uma potncia negativa, possvel pegar o recproco da frao e tornar o expoente positivo:

xy

yx

yx2

2 2 2 4

2

=

=

Ponto Crtico



(infelizmente, elas no so to interessantes quanto parecem). Voc provavelmente no se referir a elas como radicais no sentido descritivo, a menos que seja um punk skatista duro na queda, animado com lgebra. Tenho certeza de que h poucos sujeitos assim, e no fcil encontrlos.

Potncias FracionriasUma expresso com radical se parece com isto: ab (leia raiz b-sima de a). Certifiquese de observar que a poderia ser qualquer nmero real, mas b deve ser um inteiro positivo. O nmero a dentro da raiz denominado radicando e o b minsculo aninhado sobre o da raiz denominado ndice.

Como mencionei h pouco, uma expresso com radical realmente o resultado de uma potncia fracionria. Especificamente, as potncias fracionrias so definidas assim: a1/b = b a. O denominador da potncia fracionria vira o ndice da raiz:

x1/4 = 4 x 71/2 = 7 (5w)1/3 = 3 5w

Uma potncia fracionria, contudo, nem sempre tem numerador 1, como acontecia com os exemplos anteriores. Ao transformar um expoente racional em uma expresso com raiz, o numerador vira a potncia do radicando ou o expoente da expresso com radical inteiro. Por exemplo, x2/3 pode ser reescrito como 3 x2 ou 3 x

2.

Em ambos os casos, o denominador do expoente racional sempre vira o ndice da expresso com radical.

Voc Tem Problemas

Problema 4: Reescreva os itens a seguir como expresses com radicais.

a. y1/2

b. b3/2

Simplificao de Expresses com RadicaisSe a lgebra ensinou alguma coisa, foi que (por algum motivo inexplicvel) simplificar as coisas era a razo de voc estar vivo. Frao no totalmente reduzida? Ataque! Isso um polinmio contendo termos semelhantes que no esto

Se uma expresso com radical no tem um ndice (como 7 ), entende-se que 2. Essas expresses so denominadas razes quadradas (expresses com um ndice 3 so

denominadas razes cbicas).

Ponto Crtico



combinados adequadamente? Siga em frente e neutralize os alvos imediatamente! Aqui esto alguns exemplos para ajudar a revisar a simplificao de expresses com radicais, de modo que voc esteja preparado para mobilizar sem aviso e atacar aqueles monstros demonacos no simplificados.

Exemplo 2: Simplifique as expresses com radicais.

a. 32xComo o ndice dessa expresso 2, voc quer escrever 32 e x3, de modo que contenha o mximo possvel de expoentes de 2 (fatore ambas usando os quadrados perfeitos maiores possveis).

16 2 x x 4 2 x x

Como as potncias de 42 e x2 so iguais ao ndice do radical, elas so tiradas da raiz (sem seus expoentes), mas o 2 e o x no radicando devem ficar antes da raiz: 4 |x| 2x . Verifique a barra com cuidado se estiver se perguntando de onde surgem essas frmulas com valores absolutos.

b. 84/3

Comece reescrevendo o expoente racional

em forma de expresso com radical: 84

(tambm possvel reescrevla como 84 , mas 84 um nmero bem grande e ser bem mais difcil de simplificar). Como 8 = 2, substitua 2 na expresso e voc ter (2)4, que igual a 16.

c. 16y 54y

No adicione os radicais juntos. possvel combinar os coeficientes dos radicais somente se os radicandos forem exatamente os mesmos (os ndices tambm precisam ser os mesmos, mas, neste caso, ambos so 3, ento est tudo certo). Tente simplificar os radicais usando o mximo possvel de cubos perfeitos, de modo que seja possvel tirar os expoentes de 3 do sinal do radical.

2 2 y 3 2 y 2 2y 3 2y

Agora que ambos os radicais nas expresses tm ndices correspondentes (3) e radicandos correspondentes (2y), possvel combinar seus coeficientes(2 3 = 1) para obter 1 2y ou simplesmente 2y.

Se a potncia n par de uma varivel for igual ao ndice do

radical , necessrio

escrever os smbolos de valores absolutos ao simplificar.

Alerta do Kelley



Voc Tem Problemas

Problema 5: Simplifique as expresses a seguir:

a. 16 5/2

b. 63x28x 7x

O Mnimo que Voc Precisa Saber As classificaes numricas algbricas bsicas, da menor maior, so: nmeros naturais, naturais com zero, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.

As propriedades algbricas, embora no sejam comprovveis tecnicamente, so aceitas como fatos.

Voc precisa aderir a leis especficas ao simplificar expresses com expoentes. Expresses com radicais normalmente so geradas por expoentes racionais


Equaes e DesigualdadesNeste Captulo:

Resoluo de equaes com uma varivel Criao e representao grfica de equaes lineares Solues para desigualdades lineares Aplicao de notao de intervalos a desigualdades Representao grfica de desigualdades unidimensionais e bidimensionais

A matemtica no seria muito mais divertida se tivssemos que lidar somente com os simples e bem conhecidos nmeros usados no dia a dia? Aprendendo a somar, subtrair, multiplicar e dividir, voc teria aprendido todo o necessrio. Por fim, voc se sentiria insatisfeito, pois os seres humanos buscam um pouco de mistrio na vida buscamos o desconhecido. Em matemtica, os desconhecidos so realmente fceis de identificar so as letrinhas em itlico que voc ama e conhece como variveis.

claro que as variveis, s vezes, podem causar mais problemas do que deveriam. Haver momentos em que elas o desafiaro e, apesar de seus melhores esforos, voc no conseguir descobrir o valor que esto escondendo. Mas vamos encarar os fatos: esse um dos motivos pelos quais voc as ama tanto. As variveis so um pouco malvadas, sempre tentando iludi-lo, mas tambm ficam muito satisfeitas quando voc descobre quem so, apesar de todo o seu ar de mistrio. Mesmo quando voc finalmente consegue reconhecer e proclamar Aha! x = 2, isso!, a varivel

2Captulo



d um sorrisinho e diz Talvez dessa vez, mas veremos se voc vai conseguir me descobrir em sua prxima tarefa.

Neste captulo, voc revisar as equaes e desigualdades bsicas com uma e duas variveis, como vocs se viram pela primeira vez. Convidei vocs para se encontrarem aqui, um local neutro, sem que soubessem, de modo que possam apaixonar-se novamente (algo do tipo Operao Cupido, com descobertas com gosto de matemtica).

Resoluo de Equaes com Uma Varivel

Todas as estratgias de resoluo de equaes se resumem a um princpio: tudo o que voc faz de um lado da equao deve tambm ser feito do outro, ou o delicado equilbrio da igualdade arruinado. Pense nos lados de uma equao como gmeos: se no trat-los da mesma maneira, toda sua famlia logo ficar muito insatisfeita.

Falando em termos matemticos, tratar os dois lados de uma equao da mesma maneira significa adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir pelo mesmo nmero em ambos os lados, com um objetivo em mente: isolar a varivel, de modo que fique sozinha em um dos lados da equao e a soluo fique do outro.

Exemplo 1: Resolva a equao 12 (3x 8) = 25.

Soluo: Comece distribuindo 12 pelos parnteses:

32x + 4 = 25

Isole o termo que contm a varivel, subtraindo 4 dos dois lados da equao

32 x 4 25

32 x 21

4 4

Lembre-se de que, para multiplicar uma frao e um nmero inteiro, possvel reescrever o nmero inteiro em forma de frao com o denominador 1. No exemplo 1,

= = 12

3 1231

32

Ponto Crtico


17Captulo 2: Equaes e Desigualdades

Para isolar x (e, assim, resolver a equao) multiplique ambos os lados pelo recproco do coeficiente de x.

Para verificar a resposta, possvel retornar equao original de x e ver o que acontece:

=

=

=

12

3 14 8

12

42 8

12

50

25

( ( ) )

( )

( )

Se voc tiver chegado a um resultado correto no fim, a soluo de x = 14 deve estar correta.

Voc Tem Problemas

Problema 1: Resolva a equao .

Escrevendo Equaes Lineares possvel construir a equao de qualquer reta tendo somente trs elementos importantes:

A inclinao da reta, m Um ponto na reta (a,b) Uma caixa cheia de ratos vivos



Honestamente, no compreendo porque o ltimo ingrediente necessrio, mas quem sou eu para discutir com o famoso matemtico Ren Descartes, fundador renomado da geometria analtica e amante de roedores? Falando srio, voc pode

mesmo construir a equao usando somente as duas primeiras coisas (mas acredite em mim, o clima no ser o mesmo).

Para criar a equao de uma reta, simplesmente junte o coeficiente angular m e o ponto (a,b) na frmula ponto-coeficiente angular (aposto que voc nunca descobrir de onde esse nome saiu).

y b = m(x a)

Alguns livros usam a frmula y y1 = m(x x1) para descrever a frmulaponto-coeficiente angular; isso ocorre porque eles usam (x1,y1) para denotar o ponto, em vez de (a,b), mas ambas as frmulas fornecero a mesma resposta.

Quando voc junta os valores corretos do coeficiente angular com os dos pontos, pode ser solicitado a escrever a equao de uma das duas formas a seguir:

Forma padro. Os termos x e y devero ser mantidos no lado esquerdo da equao; o nmero dever ficar direita. Alm disso, os coeficientes de x e y no podem ser uma frao, e o coeficiente de x deve ser positivo. Matematicamente falando, uma equao uma forma padro que se parece com Ax + By = C, onde A e B so inteiros e A > 0. Alm disso, se uma retaestiver na forma padro, sua inclinao igual a AB ; s vezes, esse atalho

muito til.

Forma do intercepto-coeficiente angular. Uma equao linear est automaticamente na forma do intercepto-coeficiente angular quando voc

isola o y no lado esquerdo da equao. Normalmente, bom fazer isso, pois o coeficiente x resultante a inclinao da reta, e a constante o intercepto y da reta. Em outras palavras, a equao y = mx + b est na forma do intercepto-coeficiente angular, pois est resolvida para y. A inclinao dessa reta m e seu intercepto y b.

Se no houver uma instruo especfica no problema para usar uma dessas formas, eu usaria como forma padro a intercepto-coeficiente angular. Como o seu resultado da frmula intercepto-coeficiente angular j est quase resolvido para y, s preciso uma pitada de esforo.

Se uma reta tem inclinao m e contm o

ponto (a, b), ento ela representada pela equao y b = m(x a), chamada frmula ponto-coeficiente angular.

Fale a Linguagem

Voc escrever equaes lineares pelo resto de sua carreira matemtica, ento certifique-se de memorizar as frmulas para intercepto-coeficiente angular e as formas padro (tambm certifique-se de ter sempre consigo aquela caixa com voc o resto da vida).

Alerta do Kelley



Exemplo 2: Escreva a equao de cada reta na forma indicada.a. Escreva a reta k, que contm os pontos (3,1) e (2,9), na forma

intercepto-coeficiente angular.

Soluo: Em lgebra, voc aprendeu que a inclinao que conecta dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) era igual a :

Agora que voc conhece a inclinao, substitua-a, juntamente com os valores dos pontos dados, na forma ponto-coeficiente angular. Eu usarei o ponto (3,1), mas voc obteria a mesma resposta final usando (2,9).

Para escrever isso na forma de intercepto-coeficiente angular, resolva a equao para y (subtraindo 1 de ambos os lados):

y = 10x + 29

b. Escreva o ponto j na forma padro, sabendo que j tem um intercepto y de 5 e perpendicular reta da equao 2x y = 5.

Soluo: A inclinao de 2x y = 5

=21 2 (de acordo com o atalho

que mencionei para a forma padro); ento, a inclinao de j deve ser a recproca oposta:

12

.

Se j tiver um intercepto y de 5, ento deve passar pelo ponto (0,5). Use esse ponto e essa inclinao na frmula ponto-coeficiente angular (voc adivinhou):

No se esquea desse importante fato algbrico. Retas paralelas tm inclinaes idnticas, e retas perpendiculares tm inclinaes que so opostas recprocas.

Ponto Crtico



Os termos x e y devem ficar no lado esquerdo da equao na forma padro (e a constante, 5, deve ser movida para a direita).

O coeficiente de x agora positivo, atendendo a outros requisitos da forma padro, mas no um nmero inteiro (lembre-se de que tanto este quanto o coeficiente de y devem ser inteiros), ento multiplique ambos os lados da equao por 2 para eliminar a frao.

Voc Tem Problemas

Problema 2: Se o ponto (7,3) encontra-se sobre a reta w, e w paralelo reta v (cuja equao 6x + y = 4), escreva a equao de w na forma intercepto-coeficiente angular.

Representao Grfica de Equaes Lineares

O grfico de uma reta, como qualquer grfico no plano cartesiano, consiste em todos os pontos (x,y) que tornam a equao verdadeira. Quantos pontos h no grfico de uma reta? Um nmero infinito. (Voc sabe exatamente ao que estou me referindo se j ficou esperando na fila para andar na montanha russa mais badalada do momento.)

No entanto, por sorte, todos os pontos de um grfico linear se comportam de maneira previsvel (todos ficam limpinhos e organizados numa linha, como formiguinhas voltando para casa carregando pedaos de um sanduche); ento, desnecessrio determinar mais de dois pontos para obter um grfico que to preciso quanto um que contm 3.000 pontos. O mtodo que descrevo no Exemplo 3 (denominado mtodo do intercepto em alguns livros-texto) somente um dos vrios modos de representar uma reta graficamente, mas acho que o mais fcil.



O mtodo do intercepto no funciona se houver somente uma varivel na equao, como em x = 3 ou y = 1, mas voc realmente no precisa fazer isso. O grfico de uma reta com a equao x = a somente uma linha vertical no plano de coordenadas naquele valor de a. Por exemplo, o grfico de x = 2 uma linha vertical infinitamente longa, duas unidades esquerda da origem. De maneira semelhante, o grfico de y = b uma linha horizontal em b. No h necessidade de fazer nenhum trabalho real para gerar esses grficos, eles so automticos.

Alerta do Kelley

Exemplo 3: Represente graficamente a equao linear 3x 2y = 6.Soluo: Um de cada vez, substituirei x e y por 0 e ento vou obter com a operao o valor do intercepto da outra varivel. Embora eu comece definindo que x = 0, poderia, do mesmo modo, ter comeado corretamente tambm com y = 0; a ordem no importa.

Essa reta cruzar o eixo y no ponto (0,3). Para achar o intercepto de x, volte equao original, agora substituindo por y = 0:

A reta deve alcanar o eixo x no ponto (2,0). Para gerar o grfico, simplesmente indique os pontos (0,3) e (2,0) no plano cartesiano e trace uma reta que passe por eles, como na Figura 2.1. Lembre-se de que a reta se estende infinitamente em qualquer direo. No um segmento como aqueles que tm pontos finais.



Figura 2.1

O grfico de 3x 2y = 6 a reta que conecta e se estende atravs de seu intercepto x (2,0) e seu intercepto y (0,3).

Voc Tem Problemas

Problema 3: Represente graficamente a equao x 3y = 5.

Como Resolver Desigualdades LinearesDesigualdades so muito semelhantes a equaes. Gostam do mesmo tipo de msica (contempornea, estranhamente), dos mesmos tipos de filmes com Kevin Costner (nenhum) e ambas esperam poder um dia participar de Topa tudo por dinheiro. De fato, seria possvel pensar em equaes e desigualdades como irms gmeas, como se fossem as atrizes Mary-Kate e Ashley Olsen do mundo matemtico. Contudo, irmos gmeos tm diferenas muito sutis, e so essas diferenas que voc precisa entender.

Notao de IntervalosEm pr-clculo, a notao de intervalos usada para expressar as respostas das desigualdades. No um novo tipo de problema que voc precisa resolver, s um jeito novo de escrever respostas de problemas que voc j consegue fazer. Um



intervalo um pedao da reta numrica, embora parea s um par de nmeros no jardim entre parnteses, colchetes ou uma combinao dos dois. Esses nmeros so os limites da resposta escritos em ordem, o limite menor primeiro e o limite maior depois.

Voc precisar decidir sobre usar colchetes ou parnteses para cada limite do intervalo separadamente, e esta a pergunta que voc se faz para chegar a essa deciso: Este um nmero real finito que est includo no resto do grupo?. Se a resposta for afirmativa, use colchetes. Se a resposta para qualquer parte da pergunta for negativa, use parnteses. Lembre-se de investigar cada limite separadamente, pois a incluso ou excluso de um no implica a necessidade de fazer o mesmo com o outro.

Exemplo 4: Reescreva as desigualdades usando a notao de intervalos.a. 1 < x < 5

Soluo: Os limites menor e maior no podiam ser mais claros, so eles 1 e 5, respectivamente. Contudo, 1 e 5 no so de fato membros do grupo. A desigualdade declara que x deve ser menor que 5 (no menor ou igual a 5) e maior que 1 (no maior que ou igual a 1). Como os limites so excludos, use parnteses em torno de cada um em uma resposta de (1,5), um intervalo aberto.

b. 3 y 10

Soluo: Desta vez, os limites so includos, indicando um intervalo fechado, ento use colchetes [3,10].

c. 9 > p 2

Essa desigualdade escrita primeiro com o limite maior. Lembre-se de que a notao de intervalos requer primeiro o limite menor, ento 2 deve estar antes de 9. Alm disso, observe que 2 est includo no intervalo (j que o sinal perto dele contm a expresso ou igual a) e, desse modo, merece um colchete. O limite maior, 9, tem somente um parntese: [2,9).

A notao de intervalos um mtodo fcil de expressar desigualdades que consistem em dois nmeros limites entre parnteses ou colchetes, dependendo se cada limite est includo na notao de intervalos.

Fale a Linguagem

Um intervalo com dois parnteses denominado intervalo aberto. Se houver dois colchetes, o intervalo considerado fechado. Contudo, se houver somente um parntese e um colchete, pode ser denominado tanto intervalo meio aberto como meio fechado.

Fale a Linguagem



d. x > 3

O limite menor fica claro aqui; no possvel ir alm de 3. Ainda assim, no h limite finito acima, ento, use (infinito). Note que voc deve usar um parntese perto de um limite infinito, j que um dos requisitos de um colchete que o nmero seja finito (3,).

e. p 9.

Desta vez, o limite finito maior fica bvio (9) e est includo no intervalo. Agora o intervalo menor infinito, ento se escreve : (,9]. Observe que um limite infinito sempre negativo quando o limite menor de um intervalo e sempre positivo quando o limite maior.

Voc Tem Problemas

Problema 4: Reescreva as notaes de intervalos a seguir:

a. y 1

b. 9 < z 13

c. x 4 (dica: requer dois intervalos)

Desigualdades Tm Gosto de FrangoSe voc consegue resolver uma equao, voc consegue resolver uma desigualdade. Elas tm praticamente os mesmos comportamentos, cheiros, sensaes e gostos. Mas lembre-se de uma coisa: se voc multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um nmero negativo, deve inverter o sinal de desigualdade. Com isso, quero dizer mudar < para >, ou mudar para . A possibilidade de igualdade no ser modificada (ento < no vai se tornar ), s a direo do sinal de desigualdade ser modificada.

Exemplo 5: Resolva a desigualdade e represente a soluo graficamente: 2(y 4) + 1 > 4y 5.

Soluo: Distribua o 2 pelos parnteses e simplifique.2y 8 + 1 > 4y 5

2y 7 > 4y 5

muito importante mover os termos da varivel para o lado esquerdo da desigualdade e empurrar todo o resto para o lado direito. Neste problema, isso significa subtrair 4y e adicionar 7 a ambos os lados da desigualdade. basicamente o mesmo que voc faria se o sinal de > fosse um sinal de =.

2y > 2



Divida ambos os lados por 2, lembrando-se de inverter o sinal de desigualdade:

y < 1

A representao grfica dessa desigualdade bem fcil. Comece com uma linha de nmeros e marque a constante com um ponto vazado ou cheio. (Os sinais de desigualdade e se transformam em pontos cheios, pois revelam como os nmeros perto deles devem ser includos como parte do grfico. Os sinais de > e 4y 5 verdadeira.

Voc Tem Problemas

Problema 5: Resolva a desigualdade e represente graficamente a soluo: 5y 9(y + 2)

Desigualdades com Valores AbsolutosAs desigualdades de valores absolutos so divas do mundo da matemtica. Vocs dois se dariam bem sem terem que fazer muito esforo (Ei, elas se comportam quase como equaes. Consigo lembrar de inverter o sinal de desigualdade de vez em quando, sem problemas!) Contudo, aparentemente, durante a noite, elas mudaram completamente. Agora, s bebem certos tipos de gua a temperaturas muito especficas e se recusam a comer qualquer coisa alm de M&Ms amarelos (Adivinhe quem tem que abrir o saco e separ-los? Correto, voc!) Quando o assunto matemtica, essas divas requerem duas tcnicas de soluo completamente diferentes, uma para cada modo dependendo para onde o sinal de desigualdade pode apontar.

Desigualdades do Tipo Menor QueSe uma desigualdade de valor absoluto contm um sinal de < ou , ser necessrio criar uma desigualdade composta para resolv-la. Isso significa que, em vez de uma constante e um sinal de desigualdade, agora voc tem dois de cada. Estas so as etapas especficas que devem ser seguidas:



1. Isole a expresso de valor absoluto no lado esquerdo da desigualdade. Voc precisa chegar a algo deste tipo: |ax + b| < c, onde a, b e c so nmeros reais.

2. Reescreva como uma desigualdade composta, removendo os sinais de valores absolutos. Transforme a desigualdade |ax + b| < c em c < ax + b < c. E, deste modo: retire as barras dos valores absolutos, adicione o sinal de desigualdade correspondente do lado esquerdo, ento, esquerda dele escreva o oposto da constante original.

3. Resolva a desigualdade composta de x. No esquea que necessrio adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir todas as trs partes da desigualdade composta.

Caso voc esteja um pouco confuso com essas etapas, veja aqui um exemplo para ajud-lo a clarear suas ideias.

Exemplo 6: Resolva a desigualdade e represente graficamente sua soluo: .

Soluo: Subtraia 5 de ambos os lados da desigualdade para isolar os valores absolutos

. Agora, reescreva isso como uma desigualdade composta, colocando o oposto de 8 (que, claro, 8) e outro smbolo esquerda da desigualdade: 8 3x 2 8. (No esquea de retirar as barras de valores absolutos tambm.)

Para a resoluo de x, necessrio adicionar 2 a todas as trs partes da desigualdade e, ento, dividir todas por 3.

O grfico de uma desigualdade composta consiste em dois pontos marcando os pontos finais (lembre-se de usar pontos cheios somente se a desigualdade contiver ou igual a; de outro modo, use pontos vazados) e marque o segmento de reta que conecta esses pontos, como na Figura 2.3.

Uma desigualdade composta tem dois limites em torno de uma expresso com varivel: a < x < b. Isso pode ser lido como a menor que x, que menor que b ou x est entre a e b. Tambm possvel escrever a < x < b em notao de intervalos (a,b).

Fale a Linguagem

Algumas pessoas preferem representar desigualdades graficamente, usando parnteses e colchetes na reta numrica em vez de pontos de aberto e fechado, pois isso faz com que

os grficos fiquem mais parecidos com a notao de intervalo. Por exemplo, a Figura 2.3 poderia ter um [ em 2 e um ] em 10/3, em vez dos pontos.

Ponto Crtico



Figura 2.3

O grfico de solues possveis para o Exemplo 6: qualquer nmero no intervalo fechado 2103,

tornar a desigualdade verdadeira.

Desigualdades do Tipo Maior QueA soluo para uma desigualdade de valor absoluto que contm > ou consiste em dois intervalos separados e no sobrepostos. Qualquer nmero em qualquer desses intervalos uma soluo possvel. Veja aqui como enfrentar esses problemas comuns s divas.

1. Isole a expresso de valor absoluto no lado esquerdo da desigualdade. Essa a mesma regra inicial que voc tinha que seguir em desigualdades menores que.

2. Escreva duas desigualdades de valor no absoluto separadas com base na original. A primeira fcil: s retire as barras de valores absolutos. Para obter a outra, inverta o sinal de desigualdade e pegue o oposto da constante. (Para ser matematicamente preciso, necessrio escrever sempre ou entre as duas desigualdades.) Desse modo, ax b c+ seria reescrito como ax + b c ou ax + b c.

3. Resolva as desigualdades separadamente, mas represente-as graficamente na mesma reta numrica. Mesmo que os grficos combinados fiquem parecendo com dois braos, est correto.

Assim como sua contraparte menor que, as desigualdades de valor absoluto maior que precisam ter suas expresses completamente reescritas antes que voc possa comear a resolv-las.

Exemplo 7: Resolva a desigualdade e represente graficamente sua soluo: .

Soluo: Para isolar as barras de valores absolutos, necessrio dividir ambos os lados por 2; voc acabar chegando a . Reescreva isso como duas desigualdades de valores no absolutos e resolva-as.

x + 1 > 3 ou x + 1 < 3 x > 2 ou x < 4



Qualquer nmero maior que (mas no igual a) 2 torna a desigualdade original verdadeira, assim como qualquer nmero menor que (mas no igual a) 4. Desenhe os grficos de x > 2 e x < 4 na linha dos mesmos nmeros para obter o grfico com a soluo completa da desigualdade original 2|x + 1| > 6, ilustrada na Figura 2.4.

Figura 2.4

Grfico de solues possveis da desigualdade 2|x + 1| > 6.

Voc Tem Problemas

Problema 6: Resolva e represente graficamente as desigualdades.

a.

b.

O Mnimo que Voc Precisa Saber possvel escrever a equao de uma reta, dados somente sua inclinao e um de seus pontos.

As retas podem ser escritas nas formas de ponto-coeficiente angular, intercepto-coeficiente angular ou padro.

As desigualdades sem valores absolutos so facilmente resolvidas, mas, se os valores absolutos estiverem presentes, primeiro necessrio reescrever a desigualdade como duas desigualdades mais simples antes da resoluo.


3CaptuloPraticando com PolinmiosNeste Captulo:

Descrio e classificao dos polinmios Operaes bsicas com polinmios Diviso sinttica e longa Trabalhando com nmeros complexos

O pessoal da matemtica adora definies. Mais at do que as pessoas que ganham a vida com a literatura. Nunca entendi por que professores de matemtica fornecem definies to cuidadosas e concisas das coisas que ensinam, quando quase ningum entende o que eles esto dizendo.

Pegue, por exemplo, o conceito de polinmio. Que diabos isso? Talvez esta definio ajude a entender: polinmio uma expresso da forma a0x

n + a1xn1 + a2x

n2 + + an1x + an, em que n um nmero inteiro finito e ak (para qualquer inteiro k de modo que 0 k n) um nmero real. Essa definio no somente a menos til de todos os tempos como provavelmente tambm uma definio que s serve para deixar voc mais confuso(a).

Por enquanto, pense em um polinmio como um ou mais aglomerados de coisas (chamadas termos) somados ou subtrados uns dos outros. Esses aglomerados so compostos por nmeros (denominados coeficientes) e variveis (que so frequentemente elevadas a expoentes de nmeros naturais) multiplicados.



Isso tudo que voc realmente precisa saber. Haver muito tempo para aprender a definio rigorosa, caso voc deseje tornar-se um nerd da matemtica como eu (com todas as suas alturas estonteantes, quedas livres e mais exerccios para voc balanar o seu lpis).

Classificao de PolinmiosNo Captulo 1, revisei parte do vocabulrio bsico para que voc soubesse o que um nmero inteiro e o que torna um nmero racional ou irracional. Voc percebeu quanto tempo isso j nos poupou? Agora, quando eu digo inteiro, voc sabe a que estou me referindo, um nmero como 7 ou 5, mas no 3,12598. Quando falamos a mesma lngua, fazemos muita economia de tempo. Imagine se eu tivesse que escrever x tem que ser um nmero que pode ser expresso em forma de frao ou de decimal que se repete ou acaba em vez de x tambm racional? Sou muito ocupado para ficar redefinindo esses termos a cada cinco minutos, tenho muito o que fazer. Tenho certeza de que Star Trek deve estar passando em algum canal da TV.

Os polinmios podem ser categorizados to facilmente quanto os nmeros, sendo til e econmico saber como fazer isso. Tecnicamente, h dois modos diferentes de classificar polinmios. O primeiro mtodo tem por base a quantidade de termos que ele possui. Conte quantos agrupamentos no-nulos um polinmio possui e descreva-o usando o termo adequado da Tabela 3.1

Tabela 3.1 Classificaes de Polinmios com Base no Nmero de Termos

Nmero de Termos Classificao Exemplo1 Monmio 2y4

2 Binmio 9x 13 Trinmio x7 + 12x + 5

Infelizmente essa tcnica til somente na margem. Quando um polinmio tem quatro ou mais termos, no h apelidos para ele; nesse caso, usa-se a descrio genrica polinmio. por isso que um segundo esquema de classificao necessrio. baseado no no nmero de termos, mas no maior expoente (chamado de grau) do polinmio, conforme ilustrado na Tabela 3.2.

Se um polinmio tiver mais de uma varivel, encontre o grau adicionando as potncias em cada termo e pegando a maior soma. Por exemplo, o grau de 2x3y4 9x2y6 8 porque 2 + 6

(a soma dos expoentes no segundo termo) 8, o que excede a soma dos exponentes 7 do primeiro termo.

Ponto Crtico


31Captulo 3: Praticando com Polinmios

Tabela 3.2 Classificao de Polinmios com Base no Grau

Grau Classificao Exemplo0 Constante 5x0 ou 51 Linear 2x 1 ou 2x 12 Quadrtico 4x + x 253 Cbico x 84 Qurtico 3x4 x 15 Quntico 3x5 + 2x4 7x 2

Mais uma vez, h um limite maior aqui. Outras classificaes descrevem polinmios com potncias maiores que 5, mas no so usadas normalmente. Mesmo assim, com este esquema e o esquema de classificao da Tabela 3.1, voc ser capaz de descrever a grande maioria dos polinmios que surgirem no seu caminho.

Voc Tem Problemas

Problema 1: Classifique os polinmios com o mximo possvel de preciso.

a. 8x3

b. 3x2 2x + 5

c. 7x 3

Adio e Subtrao de PolinmiosSe eu desse a voc duas pores de frango frito, cada uma com vrios pedaos, e pedisse para acrescentar o que falta, o que voc faria? Vamos supor, em favor do argumento, que voc no vegetariano, adora pores de frango e saboreia de verdade questes importantssimas como Ei, quanto voc tem de galinha a? mesmo que, provavelmente, ningum costume fazer essa pergunta a voc.

Para definir o total de pedaos de frango com preciso, seria necessrio abrir dos pacotes e classificar cada pedao. Quando terminar a primeira poro, talvez descubra que tem quatro peitos, trs asas e cinco coxas (nas pores, caso contrrio, chame um mdico imediatamente). Se a segunda poro contiver dois peitos, sete asas, trs coxas e uma quantidade aleatria de bicos, isso significa que tem o grande total de:



(4 + 2) peitos + (3 + 7) asas + (5 + 3) coxas + 1 bico

= 6 peitos + 10 asas + 8 coxas + 1 bico

Seu instinto natural classificar as pores em pedaos semelhantes e agrup-las. No faria muito sentido adicionar trs asas do primeiro grupo a trs coxas do segundo grupo e anunciar que tem um total de 6 coxasas, no ? No, voc s coloca as coisas juntas quando so semelhantes.

O mesmo se segue em relao adio e subtrao de polinmios. ( hora de voltarmos matemtica, pois h muito para escrever sobre a soma de frangos antes de dedicar um livro inteiro sobre o assunto, e no estou preparado para isto.) Assim como voc classificou os pedaos de frango anatomicamente e os agrupou por partes, possvel agrupar os termos de um polinmio e agrup-los de acordo com as variveis encontradas. Aqui est o segredo: possvel agrupar dois termos com variveis somente se tiverem termos semelhantes, o que significa que eles tm variveis que se combinam perfeitamente, incluindo seus graus.

Exemplo 1: Simplifique a expresso combinando os termos semelhantes: (x3 + 6x2 3x + 4) 2x(x2 + 8x 5)

Soluo: Comece distribuindo 2x pelo segundo conjunto de parnteses. Lembre-se de adicionar os expoentes ao multiplicar as expresses contendo variveis com a mesma base (ento, 2x x2 = 2 x1+2 = 2 x3).

x3 + 6x2 3x + 4 2x3 16x2 + 10x

De acordo com a propriedade comutativa da adio, possvel mover os termos semelhantes para que fiquem prximos um do outro (assim como voc moveria os pedaos de frango combinados para seus grupos).

x3 2x3 + 6x2 16x2 3x + 10x + 4

Agora, combine os termos semelhantes.x3 2x3 = x3 6x2 16x2 = 10 x2 3x + 10 x = 7x 4 + 0 = 4

A resposta final a soma de todos os resultados dos termos semelhantes:x3 10x2 + 7x + 4

Dois termos de polinmios com variveis combinadas so denominados termos semelhantes e podem ser somados (ou subtrados) um do outro. Por exemplo, 5x3y2 e 9x3y2, porque suas variveis, x3y2, combinam-se perfeitamente. Assim, 5x3y2 + (9x3y2) = 4x3y2.

Fale a Linguagem



Voc Tem Problemas

Problema 2: Simplifique a expresso: x(4x 3y + 1) + 5y(2x + y+ 2).

Multiplicao de PolinmiosO erro algbrico mais comum de todos os tempos o da multiplicao incorreta de binmios. Digamos que voc tenha que multiplicar (a + b)(x + y). Qual a resposta? Se voc disse ax + by, ento mais uma vtima desse trgico engano aritmtico. No se preocupe, deve haver algum grupo de apoio em sua regio para ajud-lo a lidar com a confuso e a dor. Recomendo a organizao sem fins lucrativos Sempre Equivocados com Produtos de Polinmios (SEPP).

Para ajudar a vencer essa epidemia, a maioria dos professores de lgebra apresenta a tcnica do PEIU, um truque para ajudar a lembrar como multiplicar dois binmios adequadamente. O nome PEIU um acrnimo que se refere a quatro palavras: primeiros, externos, internos e ltimos todos os pares de coisas do problema que voc precisa multiplicar. No produto de (a + b)(x + y) esto os pares aos quais PEIU se refere:

Primeiros: primeiros termos de cada binmio (a e x) Externos: termo da esquerda do primeiro binmio e termo da direita do segundo binmio (a e y)

Internos: termo da direita do primeiro binmio e termo da esquerda do segundo binmio (b e x)

ltimos: ltimos termos de cada binmio (b e y)

Para calcular o produto de (a + b)(x + y), multiplique cada par de nmeros que acabei de escrever e adicione o resultado:

ax + ay + bx + by

Isso muito diferente daquela resposta ax + by errada, no ? Claro que isso parte da resposta, mas h dois termos adicionais inteiros aqui. Observe que admirvel trabalho a tcnica PEIU est realizando menos um SEPP no mundo.

S h um problema: a tcnica PEIU no funciona, a menos que voc esteja multiplicando binmios. Embora isso no fosse muito difcil em lgebra (a maioria das multiplicaes envolvendo polinmios que voc fez at ento envolvia somente binmios), necessrio saber multiplicar os outros polinmios tambm. Voc vai usar um mtodo que eu chamo de distribuio estendida. A boa notcia que no muito difcil e pode ser usado para multiplicar quaisquer dois polinmios.



A multiplicao estendida reduzida a esta regra de ouro: multiplique cada termo do polinmio esquerda (um de cada vez) por cada termo do polinmio direita. Repita isso com cada termo do polinmio esquerda e, ento, some todos os produtos que voc obteve.

Exemplo 2: Multiplique os polinmios e expresse a resposta de forma simplificada.

a. (2x y)(x + 5y)Multiplique o primeiro termo do binmio esquerda (2x) por cada termo do binmio direita.

2x(x) + 2x(5y) = 2x2 + 10xy

Agora faa o mesmo com o termo restante do binmio esquerda.(y)(x) + ( y)(5y) = xy 5y2

Some os resultados e simplifique.

Esse o mesmo resultado obtido com o mtodo PEIU.

b. (x 3)(x2 2x + 1)Distribua primeiro o x e ento o 3 do polinmio esquerda por cada termo do polinmio direita.

x(x2) + x(2x) + x(1) + (3)(x2) + (3)(2x) + (3)(1)

= x3 2x2 + x 3x2 + 6x 3

Lembre-se de combinar os termos semelhantes.x3 5x2 + 7x 3

Voc Tem Problemas

Problema 3: Calcule o produto e simplifique: (2a+ 5b)(a2 + 7ab 4b2).

Embora o processo de distribuio estendida seja uma prtica comum, no h nome comumente aceito para ele, razo pela qual uso um

nome escolhido por mim. Ao us-lo, certifique-se de mostrar seu trabalho em vez de correr at a resposta e escrever Eu fiz isso usando a distribuio estendida, pois seu professor no faz ideia do que seja isso.

Ponto Crtico



Diviso Longa de PolinmiosQuando fui apresentado diviso longa, na quinta srie, fiquei um pouco intimidado. Esta tcnica era to peculiar que pedia o seu prprio smbolo, uma grande linha horizontal com uma barra vertical sua esquerda. Levei um tempo para entender no somente o que deveria fazer, mas tambm para saber onde deveria escrever as coisas.

A diviso longa de polinmios funciona quase do mesmo modo que a diviso de nmeros inteiros. Ento, o que estou a ponto de revisar com voc ser, provavelmente, vagamente familiar. Ainda assim, de todas as operaes com polinmios, os estudantes costumam achar a diviso a mais difcil. Ento, em vez de simplesmente listar os passos a serem seguidos e ento fazer um exemplo, farei um exemplo primeiro e listarei as etapas, conforme seguir adiante. Desse jeito, posso explicar melhor, no contexto de um problema, para que faa mais sentido.

Exemplo 3: Calcule o quociente: (2x3 x2 + 5) ( x2 + 3x 1).Soluo: A primeira coisa a ser feita reescrever o problema de modo que o dividendo fique esquerda e o divisor fiq

Pre Calculo para curso bacharel em matematica

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