Universidade do Algarve

Departamento de Fısica

Problemasde Mecanica

Orlando Camargo Rodrıguez

Faro, 19 de Setembro de 2005

Capa:

Relativiteit

(Relatividade)

por:

M.C. Escher

2

1 Analise dimensional

Problema 1 Uma unidade de energia usada comummente pelas companhias de electri-cidade corresponde ao QuiloWatt-Hora (kWh). Determine o valor equivalente de 1 kWhem unidades do SI.

Problema 2 A posicao de um ponto material e dada por x = kv2 m, onde v representaa velocidade, e k e uma constante. Determine as unidades de k.

Problema 3 A posicao de um ponto material e dada por x = ka2 m, onde a representaa aceleracao, e k e uma constante. Determine as unidades de k.

Problema 4 A aceleracao de um ponto material e dada por a = kv2 m/s2, onde vrepresenta a velocidade, e k e uma constante. Determine as unidades de k.

Problema 5 Uma grandeza T depende de duas grandezas g e R atraves da expressao:

T = 2π

√R

g,

onde [g] = m/s2 e [R] = m. Determine as unidades de T .

Problema 6 Considere um ponto material que se desloca em linha recta ao longo doeixo x de acordo com a lei:

x(t) = a0 + a1t+ a2t2 + a3t

3 m .

Determine as dimensoes das constantes a0, a1, a2 e a3.

Problema 7 Considere um ponto material que se desloca de acordo com a seguinte lei:

x(t) = a0t sin(ωt) + a1 cos(ωt) m .

Determine as dimensoes das constantes a0, a1 e ω.

Problema 8 Um ponto material em movimento rectilıneo tem uma aceleracao dada pelaseguinte lei:

a(t) = a0 + a1t2 m

s2 .

Determine as dimensoes das constantes a0 e a1.

Problema 9 Um ponto material move-se em linha recta de acordo com aceleracao

a(t) = a0t+ a1eγt + a2 sin(ωt)

m

s2 .

Determine as dimensoes das constantes a0, a1, a2, γ e ω.

Problema 10 De acordo com a Lei de Gravitacao Universal de Newton a intensidadeda forca atractiva entre dois corpos de massa m1 e m2, separados por uma distancia r, edada pela expressao

F = γm1m2

r2.

Tendo em conta que no sistema SI de unidades [m1] = [m2] = kg, [F ] = N e [r] = m,determine as unidades de γ.

1

2 Calculo Vectorial

Problema 11 Desenhe numa folha de papel quadriculado os seguintes vectores: v =(v, θ) = (30mm,0), (30mm,45), (30mm,90), (30mm,120), (30mm,180), (30mm,-90),(45mm,30), (45mm,210) e (45mm,-150).

Problema 12 Desenhe numa folha de papel os vectores v1 = (40mm,30) e v2 = (65mm,-60). Calcule v1 + v2.

Problema 13 Desenhe numa folha de papel quadriculado os seguintes vectores: v =(x, y) = (20mm,30mm), (30mm,20mm), (20mm,-30mm), (-20mm,30mm) e (-20mm,-30mm).

Problema 14 Transforme de notacao polar para cartesiana, e viceversa, os seguintesvectores:

a) v = (v, θ) = (15mm,30), (15mm,90), (15mm,120), (15mm,-120);

b) v = (x, y) = (20mm,10mm), (20mm,-10mm), (-20mm,-10mm), (-20mm,10mm).

Problema 15 Na Fig.1 estao representados os vectores v1 e v2, de modulos 7 e 8unidades, respectivamente, α = 45. Determine:

a) S = v1 + v2;

b) D = v1 − v2;

c) o angulo que S e D formam com o eixo X(+).

v1

v2

X

Y

α

Figura 1

Problema 16 Determine a resultante das forcas representadas na Fig.2 e o angulo queesta faz com a horizontal, sabendo que α = 20, β = 60, F1 = 300 N e F2 = 200 N.

Problema 17 Um navio de carga, avariado, e arrastado por tres rebocadores, comomostra a Fig.3. Sabendo que a tensao em cada cabo e 5000 N, e que α = 20, β = 10, γ= 15, determine a forca resultante que actua na proa do navio, utilizando as componentesdas forcas num sistema de coordenadas cartesianas.

2

F1

F2

Xα

β

Figura 2

Problema 18 Um corpo colocado num foguete e largado na horizontal do alto de umatorre. Admitindo que a aceleracao provocada pelo foguete e horizontal e de valor 20 m/s2,calcule a aceleracao a que fica sujeito o corpo (considere g = 10 m/s2).

Problema 19 Determine a resultante de tres forcas de intensidade iguais a F1 = 1 N,F2 = 2 N e F3 = 3 N (ver Fig.4), cujas direccoes e sentidos sao as diagonais das tres facescontıguas de um cubo, orientadas do vertice comum para o vertice oposto da respectivaface.

Problema 20 Prove que:

a) se o modulo da soma e a diferenca de dois vectores sao iguais entao os vectores saoperpendiculares;

b) se a soma e a diferenca de dois vectores sao perpendiculares, entao os dois vectorestem modulos iguais.

Problema 21 Utilizando a definicao do produto interno deduza a lei do co-seno.

Problema 22 Determine o produto interno e o modulo do produto externo de dois vec-tores de modulos 6 e 7 unidades, se o angulo entre os mesmos e de 60.

Problema 23 Dados os vectores u = ex + 2ey + ez e v = ex + ey − ez determine:

a) os modulos dos dois vectores;

b) a soma e a diferenca vectorial e os seus modulos;

c) o produto interno ;

d) o produto externo e o modulo do mesmo;

e) o angulo entre u e v.

Problema 24 Demonstre, usando coordenadas esfericas, que v2 = v2x + v2

y + v2z .

3

R1

R2

R3

Xα

βγ

Figura 3

Problema 25 Determine o modulo de um vector que faz um angulo de 45 com o eixoX(+) e de 60 com o eixo Y (+), se sabemos que a sua componente vz = 3; escreva o

F1

F3

F2

X

Z

Y

Figura 4

4

vector em coordenadas ortogonais (cartesianas).

Problema 26 Dado o vector u = 5ex + 3ey − 2ez determine o modulo do mesmo e osangulos das correspondentes coordenadas esfericas.

Problema 27 Uma forca e aplicada na origem de um referencial, e tem uma direccaodeterminada pelos angulos θx = 75 e θz = 112. Sabendo que a componente em Y , daforca, e 1250 N, determine:

a) o valor de θy;

b) as componentes e o modulo da forca.

Problema 28 Determine o angulo formado pelos vectores a, b e c, se

a + b + c = 5ey + 3ez ,

a− 3b + 2c = 3ex + 4ey ,

2a + b− c = 4ex + 2ez .

Problema 29 Uma antena com a altura de 27 m e sustentada pelos cabos AB, AC eAD como mostra a Fig.5, a = 17 m, b = 12 m, c = 14 m, d = 9 m, e = 8 m. Usandoo produto interno entre vectores determine o angulo entre os cabos AB e AC e entre oscabos AC e AD.

Problema 30 Demonstre que u× (v ×w) = v (u ·w)−w (u · v).

Problema 31 Dado o vector a = 2ex + ey + 2ez determine:

a) o modulo do vector;

b) o vector unitario segundo a direccao de a;

c) o angulo formado por a e b = 3ex − 4ey;

d) os co-senos directores de a× b.

Problema 32 Determine o valor de m para que os vectores u = mex + 5ey + 3ez ev = 2ex −mey − ez sejam perpendiculares entre si.

Problema 33 Determine o valor de a e b para que os vectores u = aex + 3ey + ez ev = 2ex + bey + 2ez sejam colineares entre si.

Problema 34 Determine a resultante de dois vectores v1 e v2, sabendo que a projeccaoda resultante sobre um deles vale 4, que v1 · v2 = 0, e que |v1 × v2| = 12.

Problema 35 Dados os vectores a+b = 11 (ex − ey)+5ez e a−b = −5ex +11ey +9ez

determine:

a) a e b;

5

Figura 5

b) o angulo entre a e a + b.

Problema 36 Tres vectores v1, v2 e v3, de modulos 1, 2 e 3, estao aplicados respecti-vamente nos vertices A, B e C de um triangulo equilatero. As direccoes e sentidos dos

vectores sao segundo−→AB,

−→BC e

−→CA. Determine a resultante.

Problema 37 Dados os vectores u = ex + 3ey + 2ez e v = ex + ey − ez determine:

a) os modulos;

b) o vector soma;

c) o produto interno;

d) o produto externo;

e) o angulo entre os vectores.

Problema 38 Determine o modulo da resultante de dois vectores v1 e v2, que fazem umangulo de 120 e tem modulos 1 e 2.

Problema 39 Determine o modulo da resultante de tres forcas perpendiculares entre si,de modulos 2, 3 e 4 N.

6

Problema 40 Dados os vectores u = 2ex − 4ey + 2ez e v = 4ex + 3ey − 5ez determine:

a) a soma dos mesmos;

b) o produto interno;

c) os modulos dos vectores e os co-senos directores;

d) o angulo formado pelos dois vectores.

Problema 41 Dados os vectores u = 3ex + 4ey e v = 3ey − 4ez determine:

a) os modulos dos vectores;

b) os co-senos directores;

c) o produto interno;

d) o produto externo;

e) o angulo entre os mesmos.

Problema 42 Calcule a distancia mınima entre os pontos B(2, 3, 1) e a recta que passapelos pontos B1(1, 2, 4) e B2(5, 1, 2).

Problema 43 Um tetraedro e um corpo solido, limitado por quatro superfıcies triangu-lares (triangulos regulares). Considere um tetraedro com os vertices nos pontos (0,0,0),(2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2). Determine:

a) o vector que representa cada uma das faces;

b) o vector que representa todo o tetraedro;

c) o valor da superfıcie do tetraedro.

7

3 Cinematica

3.1 Movimento Geral

Problema 44 O vector posicao de um ponto material e dado por:

r(t) = tex +1

2t2ey + tez m .

Determine:

a) o vector velocidade e o seu modulo;

b) o vector aceleracao e o seu modulo.

Problema 45 O vector posicao de um ponto material e dado por:

r(t) = 3t2ex + tey m .

a) Determine a velocidade e a aceleracao no instante t = 3 s;

b) classifique o movimento;

c) escreva a equacao cartesiana da trajectoria.

Problema 46 A equacao vectorial do movimento de um ponto material e:

r(t) =(t2 + 1

)ex + (3t− 2) ey +

(2t3 − 4t2

)ez m .

Determine a velocidade e aceleracao da partıcula no instante t = 2 s.

Problema 47 Considere novamente o vector posicao

r(t) = tex +1

2t2ey + tez m .

Determine:

a) a aceleracao tangencial e o seu modulo;

b) a aceleracao normal e o seu modulo;

c) o raio de curvatura da trajectoria.

Problema 48 As coordenadas da posicao de um ponto material sao dadas por x(t) =2t3 − 4t m e y = 2t m. Determine:

a) o instante em que a aceleracao se reduz a sua componente normal;

b) determine para esse instante o raio de curvatura.

8

3.2 Movimento Rectilıneo

Problema 49 Um ponto material desloca-se numa dada direccao, sendo a sua posicaoem cada instante dada por x(t) = 5t2 + 1 m. Calcule a velocidade media nos seguintesintervalos de tempo: [2 , 3] s, [2 , 2,1] s, [2 , 2,001] s, [2 , 2,0001] s e [2 , 2,00001] s.Compare os resultados com o valor da velocidade instantanea no instante t = 2 s.

Problema 50 Determine a velocidade e a aceleracao medias de um ponto material nointervalo de [0 , 5] e [0 , 10] segundos, sendo o seu movimento dado pelo grafico develocidade ilustrado na Fig.6.

Problema 51 Considere um ponto material que se desloca em linha recta ao longo doeixo x de acordo com a lei:

x(t) = a0 + a1t+ a2t2 + a3t

3 m .

Determine: a) a velocidade do ponto material para t = 1 s com a0 = 4 m, a1 = 3 m/s, a2

= 2 m/s2 e a3 = 1 m/s3; b) a aceleracao como funcao do tempo.

Problema 52 Considere um ponto material que se desloca de acordo com a seguinte lei:

x(t) = a0t sin(ωt) + a1 cos(ωt) m .

Determine: a) v(t) e a(t); b) os graficos de x(t), v(t) e a(t) com a0 = 1 e a1 = 0.

Problema 53 Um ponto material em movimento rectilıneo tem uma aceleracao dadapela seguinte lei:

a(t) = a0 + a1t2 m

s2 .

Determine: a) a velocidade do ponto material para t = 1 s sabendo que a velocidadeinicial e nula; b) a posicao do ponto material para t = 1 s, sabendo que no instante inicialt = 0 s a sua posicao inicial era x(0) = 0 m.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

t (s)

v (m

/s)

Figura 6

9

Problema 54 Um ponto material move-se em linha recta de acordo com aceleracao

a(t) = a0t+ a1eγt + a2 sin(ωt)

m

s2 .

Determine: a) a velocidade do ponto material para t = π s sabendo que v(0) = 1 m/s; b)a posicao como funcao do tempo considerando que a posicao inicial e dada por x(0) = 2m.

Problema 55 Determine v(t) e a(t) para a partıcula cuja posicao obedece a seguinte lei:

x(t) = 12− 8t+ t2 m .

Comente o tipo de movimento.

Problema 56 Uma partıcula move-se ao longo do eixo x segundo a lei:

x(t) = t3 − 3t2 − 9t+ 5 m .

Comente o tipo de movimento.

Problema 57 A posicao de um ponto material em movimento rectilıneo e dada por:

x(t) = t3 − 6t2 − 15t+ 40 m .

Determine: a) o instante t1 em que v(t1) = 0 m/s; b) x(t1) ; c) o espaco percorrido ateesse instante; d) a(t1); e) a distancia percorrida entre 4 e 5 s.

Problema 58 Um ponto material em movimento rectilıneo parte do repouso com umaaceleracao de 10 m/s2 que decresce linearmente ate se reduzir a metade ao fim de 2 s.A partir desse instante o ponto move-se com aceleracao constante durante 60 s, findosos quais actua sobre ele uma retardacao constante que o faz parar ao fim de 10 s. a)Represente graficamente a aceleracao e a velocidade como funcoes do tempo; b) calcule avelocidade maxima atingida e o valor da retardacao.

Problema 59 Um comboio tem uma velocidade maxima de 144 km/h, um maximo deaceleracao de 0,25 m/s2 e um maximo de desaceleracao de 0,5 m/s2. O comboio paraem duas estacoes distanciadas de 30 km. Calcule o tempo mınimo que leva a ir de umaestacao a outra.

Problema 60 O grafico da Fig.7 representa o valor da velocidade de um ponto materialem funcao do tempo. A trajectoria e uma linha recta e, inicialmente, o ponto materialdesloca-se para norte. a) Indique em qual dos tres intervalos de tempo ([2,3] s, [4,5] s, e[6,7] s) i) e maxima a velocidade media para norte; ii) e mınima a distancia percorrida; b)para alem do instante da partida, em que instantes esteve o ponto material em repouso?;c) determine a(t = 3 s); d) durante o intervalo de tempo [2,5] s qual foi: i) a distanciapercorrida pelo ponto material? ii) o deslocamento do ponto material; e) em que instanteesteve o ponto material a sua maior distancia, para norte do ponto de partida? f) se asareas situadas dos dois lados do eixo do tempo fossem iguais, qual a posicao do pontomaterial no instante t = 7 s; g) construa o o grafico a(t) para o movimento deste pontomaterial no intervalo de tempo [0,7] s. Admita que no intervalo de tempo [6,7] s aaceleracao varia linearmente com o tempo segundo a lei a = −5t+ 70 m/s2.

10

0 1 2 3 4 5 6 7

−5

0

5

10

t (s)

v (m

/s)

Figura 7

Problema 61 A aceleracao de um ponto material em movimento rectilıneo e directa-mente proporcional ao tempo, para alem de que v(0) = 9 m/s. Sabendo que no instantet = 3 s a velocidade e coordenadas da posicao do ponto material sao nulas, escreva aequacao do movimento da partıcula.

Problema 62 Um ponto material desloca-se em linha recta com velocidade inicial v0 6= 0e aceleracao constante a. Quando atinge a velocidade de 5v0, a aceleracao muda de sentidoficando a sua grandeza inalteravel. Qual a velocidade do ponto material no instante emque volta a passar no ponto de partida?

Problema 63 Duas partıculas materiais separadas por uma distancia S, partem, comvelocidades iniciais nulas, ao seu mutuo encontro, animadas de aceleracoes do mesmomodulo e sentidos opostos, encontrando-se ao fim de 10 s. Qual o incremento a dar aaceleracao de uma delas para que se encontrem ao fim de 5 s? .

Problema 64 Um corpo tem aceleracao constante de 9,8 m/s2 e parte do repouso.Sabendo que durante o ultimo segundo percorre 3/4 do percurso, determine o espacototal percorrido e o tempo gasto no mesmo.

Problema 65 A posicao de um ponto material dada e por x(t) = A sin(ωt+φ). Sendo v0

e x0 a velocidade e posicao iniciais mostre que: a) tanφ = x0ω/v0; b) A =√x2

0 + (v0/ω)2.

Problema 66 Uma pedra e lancada com velocidade inicial v0y = 2 m/s, ficando sujeitaa aceleracao da gravidade g. Calcule a altura maxima atingida pela pedra, a velocidadecom que chega ao chao e o tempo que leva a ir e a vir.

Problema 67 Uma pedra e lancada para dentro de um poco. Ao fim de 2 s ouve-se obater da pedra na agua. A que profundidade e que esta a superfıcie da agua do poco?(considere que vsom = 340 m/s).

11

Problema 68 Um automovel de massa 1000 kg acelera partindo do repouso. Durante osprimeiros 10 s a forca resultante que actua sobre ele e dada por F (t) = F0 −Kt onde F0

= 10000 N e K = 200 N/s, sendo t o tempo gasto desde o arranque. Calcule a velocidadeao fim de 10 s de movimento e tambem a distancia percorrida (comentario: pela segundalei de Newton F = ma).

Problema 69 A aceleracao de um ponto material e dada por a(t) = kt2 m/s2. Deter-mine: a) a constante k sabendo que v(0) = -24 m/s e que v(t = 4 s) = 40 m/s; b) escrevaas equacoes do movimento, sabendo que x(t = 2 s) = 6 m.

Problema 70 A aceleracao de um ponto material e dada por a = −kv2 m/s2 onde vrepresenta a sua velocidade. O ponto material parte do repouso com velocidade inicial de20 m/s e quando atinge o ponto x = 100 m a sua velocidade e de 15 m/s. Determine: a) adistancia percorrida ate a velocidade atingir o valor v = 10 m/s; b) a distancia percorridaate que a velocidade se anule.

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3.3 Cinematica de Projecteis

Problema 71 Um projectil e disparado com velocidade inicial de 60 m/s, segundo umangulo de 60 com a horizontal. Calcule: a) o alcance horizontal; b) a altura maxima; c)a velocidade apos 3 s do disparo; d) a velocidade e o tempo decorrido quando o projectilesta a 100 m de altura.

Problema 72 Uma bola e lancada do cimo de uma torre (ver Fig.8(a), h = 35 m, θ =25) com uma velocidade inicial v0 = 80 m/s. Determine:

a) o tempo que a bola demora a atingir o chao e a distancia horizontal correspondenteR;

b) a intensidade (i.e. o modulo) e direccao da velocidade no momento do impacto.

Problema 73 Um projectil e disparado com velocidade inicial de 240 m/s contra umalvo situado a 600 m acima do nıvel da arma e a uma distancia de 3600 m da mesma.Determine o valor do angulo de disparo.

Problema 74 Um jogador atira uma bola com velocidade inicial de 15 m/s, de umaaltura h = 1,5 m em relacao ao solo (ver Fig.8(b), R = 18 m). Sabendo que a H = 6 m,determine a altura do ponto B.

θY

R

h

X

h

R

HB

(a) (b)

Figura 8

Problema 75 Uma avioneta em voo descendente com uma velocidade de modulo V =360 km/h (ver Fig.9) deve largar uma boia a fim de salvar um naufrago, na origem dosistema de coordenadas. Diga, desprezando o atrito do ar e considerando todos os objectospontos materiais, qual a altura da avioneta para a qual a tripulacao deve largar a boia,sabendo que o naufrago ja nao esta em condicoes de nadar (θ = 30, a = 50 m).

13

y

x

θ

a

v

Figura 9

14

3.4 Movimento Circular

Problema 76 Um ponto material descreve uma trajectoria circular em torno da origemdos eixos. A sua posicao e dada, em cada instante, por

r(t) = 3 sin(2t)ex + 3 cos(2t)ey m ,

e o argumento do seno e do coseno e dado em radianos. Determine: a) v(t) e a(t) eos modulos dos mesmos; b) escreva as componentes tangencial e normal da aceleracao;c) escreva a expressao de S(t) que da o deslocamento sobre a circunferencia; d) calculer(t),v(t) e a(t) para t = 0 s e t = π/4 s; qual foi o espaco percorrido entre estes doisinstantes?; e) desenhe uma circunferencia centrada nos eixos cartesianos e represente sobreela as quantidades acima calculadas; f) calcule o angulo descrito pelo vector de posicaoentre os dois instantes referidos e a partir daı calcule a velocidade angular ω. Que relacaoexiste entre ω e S?; e entre ω e v?; g) comente o movimento.

Problema 77 Um ponto material descreve uma circunferencia de acordo com a lei θ(t) =3t2 + 2t rad. Calcule: a) a velocidade angular para o instante t1 = 4 s; b) a aceleracaoangular no mesmo instante.

Problema 78 Um ponto material inicialmente em repouso e acelerado numa trajectoriacircular de raio 1 m segundo a lei S(t) = t2 − 3t+ 2 m. a) Escreva a expressao de θ e ω;b) calcule o valor da aceleracao normal e da aceleracao tangencial para o instante t1 = 1s.

Problema 79 Um carro desloca-se com velocidade constante numa curva de raio 1000m. Sabendo que a componente normal da aceleracao nao pode exceder 0,7 m/s2 determinea velocidade maxima com que a curva pode ser feita.

Problema 80 Um ponto material percorre um arco de cırculo de 0,4 m de raio comvelocidade que varia segundo a lei v(t) = (4 − 30t) m/s. Determine para t = 0 s aaceleracao do ponto material e o angulo que a aceleracao faz com a velocidade.

Problema 81 Calcule a velocidade angular da terra, a velocidade e a aceleracao normalde um ponto situado no equador (consulte a tabela de constantes fısicas para encontrar oraio da terra).

Problema 82 Um carro, movendo-se com a velocidade de 97 km/h, tem rodas de diame-tro 76 cm. a) Calcule a velocidade angular das rodas; b) se o carro parar apos 30 rotacoes,calcule a aceleracao angular das rodas; c) que distancia percorre o carro durante essetempo? (considere a retardacao constante).

Problema 83 Dois pontos materiais podem descrever uma trajectoria circular de raio 1m. Partem no mesmo instante e no mesmo ponto em sentidos contrarios; um deles temvelocidade inicial de 5 m/s e aceleracao tangencial de 2 m/s2; o outro move-se segundo alei S(t) = −t2 + 5t m. Determine o instante em que os corpos se encontram.

15

3.5 Movimento Curvilıneo

Problema 84 O braco OA gira em redor de O e o seu movimento e definido pela relacaoθ(t) = 1, 55 − t2 rad. O cursor desliza ao longo do braco, sendo o seu deslocamento emrelacao a O dado por r(t) = 1− 0, 13t2 m. Determine a velocidade e aceleracao do cursorapos o braco ter girado 30 (ver Fig.10).

Y

X

θ

r

Figura 10

16

3.6 Movimento Dependente

Problema 85 Determine as relacoes entre as posicoes, velocidades e aceleracoes dos blo-cos nos casos das Figuras 11(a) e 11(b).

A

B

A

B

C

(a) (b)Figura 11

Problema 86 Sabendo que ∆xA = 4 m, vA(t1) = 6 m/s, v = 1,5 m/s (constante) e quevA(0) = 0 m/s, determine ∆xB, vA(t), vB(t), a1, a2 e t1 na Fig.12.

A

B

v

Figura 12

3.7 Movimento Relativo

Problema 87 Um aviao deve voar rumo norte de A para B, e entao voltar para A. Adistancia entre A e B e L. A velocidade do aviao em relacao ao ar e Va, e a velocidade

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de ar e Vv. Prove que:a) o tempo para uma viagem de ida e volta quando nao ha vento (Vv = 0) e:

Ta =2L

Va

;

b) o tempo para uma viagem de ida e volta quando o vento sopra para leste (oeste) e:

Tb =Ta√

1− (Vv/Va)2;

c) quando o vento sopra para norte (sul), o tempo para uma viagem de ida e volta e:

Ta =Ta

1− (Vv/Va)2;

d) qual a possibilidade das viagens b) ou c) quando Vv = Va? explique; e) para um dadovalor de Vv, que tempo sera maior, Tb ou Tc?.

Problema 88 Seja Va = 250 km/h a velocidade de um aviao relativamente ao ar, e Vv

= 35 km/h a velocidade do vento na direccao norleste. O objectivo e ir de A para B nadireccao 25 noroeste. Determine a direccao de voo que devera ter o aviao para chegar aoseu destino e a velocidade resultante.

Problema 89 Um comboio desloca-se com velocidade -20ex m/s. O passageiro A move--se em relacao ao comboio com velocidade ex + 2ey m/s. O passageiro B desloca-se emrelacao a um objecto fixo no exterior com velocidade -21ex − 2ey m/s. Calcule:a) a velocidade do passageiro A em relacao ao exterior;b) a velocidade do passageiro B em relacao ao passageiro A.

Problema 90 Um estudante dirigindo a 80 km/h sob uma uma tempestade, observa quea chuva deixa nas paredes laterais marcas inclinadas de 80 com a vertical. Ao parar ocarro ele nota que a chuva cai verticalmente. Calcule a velocidade da chuva relativamenteao carro, quando: a) este esta parado; b) este se move a 80 km/h.

Problema 91 Qual devia ser a duracao do dia na terra para que um corpo, situado noequador, se encontrasse no estado de imponderabilidade (ausencia de peso)?

Problema 92 Suponha que um corpo cai de uma altura de 1000 m e que a sua trajectoriae coplanar ao plano equatorial. Calcule o desvio que sofre o corpo devido a aceleracao deCoriolis. Despreze o efeito da aceleracao centrıfuga na aceleracao da gravidade resultante(g = g0 = 9,8 m/s2).

Problema 93 Imagine que voce esta a voar ao longo do equador para leste num jacto a450 m/s. Qual e a sua aceleracao de Coriolis?

18

4 Dinamica

Problema 94 Duas forcas constantes F1 e F2 actuam sobre um ponto material de massam, como indica a Fig.13. Considere que m = 8 kg, α = 30, F1 = 4 N e F2 = 6 N.a)Determine a aceleracao do ponto material. b)Determine a velocidade V para t = 1 s,sabendo que V (0) = 1 m/s e que tem a mesma direccao e sentido que F2.

F1

F2

α

Figura 13

Problema 95 Dois blocos estao em contacto sobre uma mesa plana sem atrito. Umaforca horizontal e aplicada a um dos blocos, conforme mostra a Fig.14. a) Se m1 = 2 kg,m2 = 1 kg e F = 3 N, achar a forca de contacto entre os dois blocos. b) Mostrar que sea mesma forca F for aplicada nao em m1, mas em m2, a forca de contacto entre os doisblocos sera 2 N, de valor diferente ao encontrado em (a).

m1 m

2

F

Figura 14

Problema 96 Um bloco com 3 kg de massa e colocado sobre outro com 5 kg. Admitirque nao ha atrito entre o bloco de 5 kg e a superfıcie sobre a qual ele repousa. Ocoeficiente de atrito estatico e 0,2. a) Qual e a forca maxima que, aplicada no corpoinferior, movimenta o sistema sem que os blocos se desloquem um relativamente ao outro?b) Qual e a aceleracao quando essa forca e aplicada?.

Problema 97 Tres blocos estao ligados como mostra a Fig.15 sobre uma mesa horizontallisa e sao puxados para a direita com uma forca T3 = 60 N. Se m1 = 10 kg, m2 = 20 kge m3 = 30 kg, achar as tensoes T1 e T2.

Problema 98 Um bloco de 90,7 kg esta em repouso num plano horizontal. Determineo modulo da forca R necessaria para produzir no bloco uma aceleracao de 3 m/s2 para adireita (ver Fig.16). O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano e de 0,25, α = 30.

19

m1

m2

m3

T1

T1 T

2T

2T

3

Figura 15

m

Rα

a

Fat

Figura 16

Problema 99 Um pendulo de comprimento 2 m descreve um arco de circunferencia numplano vertical. Se a tensao na corda e 2,5 vezes o peso do pendulo para a posicao mostrada,determine a velocidade e a aceleracao do pendulo nesta posicao (θ = 30).

l

θ

Figura 17

Problema 100 Dado o sistema representado na figura, determine a tensao na corda, aaceleracao do sistema e a velocidade dos blocos no instante em que m1 se encontra a 1,5m abaixo da posicao inicial (m1 = 6 kg, m2 = 12 kg, V (0) = 0 m/s).

Problema 101 Considere o sistema representado na figura:

20

m2

m1

Figura 18

α β

m1

m2

a) Determine a aceleracao dos blocos (α = 60, β = 30). b) Determine o espacopercorrido pelos corpos ao fim de um segundo sabendo que: V (0) = 1 m/s, m1 = 1 kg,m2 = 1 kg.

Problema 102 Suponha um comboio que se move sobre uma mesa horizontal com movi-mento circular e uniforme de velocidade angular ω1 = constante. Suponha que o comboiotem uma massa m1 = 100 g e que o raio da trajectoria tem 2 m. O comboio esta ligadopor um fio (sem massa) a uma massa m2 = 2 g, como indica a figura. Determine quevelocidade angular deve ter o comboio para equilibrar a massa.

m1

m2

Problema 103 Calcule as aceleracoes dos corpos na figura e a tensao no fio.

F m1

m2

(a) (b) m2

m1

F

21

Problema 104 Considere o sistema indicado na figura. Supondo que a roldana estaanimada de um movimento vertical com aceleracao constante a0, determine a aceleracaode cada uma das massas m1 e m2 e a tensao da corda (despreze a forca de atrito).

2m

g

a0

m1

Problema 105 Mostre que as aceleracoes dos corpos nos casos (a) e (b) da figura abaixoilustrada correspondem aa) a1 = 4m2m3P , a2 = (m1m3 −m1m2 − 4m2m3)P , a3 = (m1m3 −m1m2 + 4m2m3)P , eb) a1 = (4m2m3 −m1m2 −m1m3)P , a2 = (3m1m3 −m1m2 − 4m2m3)P , a3 = (m1m3 −3m1m2 + 4m2m3)P , onde

P =g

m1m2 +m1m3 + 4m2m3

.

m1

m2

m3

(a) m1

m2

m3

(b)

Problema 106 Um objecto e lancado com velocidade inicial V0x, estando sujeito a umaforca de atrito proporcional a velocidade: Fat = kηV , em que η e a viscosidade e k ofactor forma.a) Escreva a equacao do movimento.

22

b) Determine a velocidade em funcao do tempo. Esboce o grafico.c) Determine a posicao em funcao do tempo, partindo da posicao inicial x0. Que espacopercorre o objecto ate parar?

Problema 107 Um paraquedista salta da altura de 2000 m e mantem o paraquedasfechado ate a altura de 600 m. Nesse instante abre-o e desce ate o solo. A massa dohomem e de 80 kg, e a do paraquedas de 20 kg. A superfıcie do paraquedas aberto e daordem de 50 m2 e a superfıcie do homem exposta ao ar e estimada em 0,25 m2. Considereque a resistencia do ar e dada por uma forca oposta ao movimento Fat = 2ρSV 2, em queρ e a massa especıfica do ar (1,2 kg/m3) e S e a superfıcie de atrito.a) Determine as velocidade limites do homem com o paraquedas fechado e aberto. Escrevaa equacao de movimento do paraquedista considerando que quando o paraquedas se abrea sua velocidade passa instantaneamente a ser igual a velocidade limite.b) Determine a velocidade em funcao da posicao V (x).c) Determine a velocidade em funcao do tempo.

23

5 Estatica

Problema 108 Determine o centro de massas de um sistema constituıdo por quatropartıculas, distribuıdas pelas posicoes r1 = (0, 0) m, r2 = (3, 4) m, r3 = (6, 0) m e r4 =(−3, 2) m, respectivamente (notacao cartesiana). As massas das partıculas correspondema m1 = 5 kg, m2 = 30 kg, m3 = 15 kg e m4 = 25 kg.

Problema 109 Determine o momento total que o sistema de forcas F1 = ex + 2ey + 3ez

N, F2 = −ex +3ey + ez N e F3 = 2ex + ey +2ez N produz quando as forcas sao aplicadasnum ponto A de coordenadas ( 2 , 3 , 1 ) m.

Problema 110 Demonstre que o sistema de forcas definido pelos vectores F1 = 3ex +4ey + 4ez N e F2 = −2ex + 5ey + ez N, aplicados nos pontos A = ( 4 , 5 , 0 ) m e B = (4 , -1 , 8 ) m, respectivamente, nao pode ser reduzido a um sistema com uma unica forcaresultante.

Problema 111 A forca P e aplicada a uma pequena roda de massa desprezavel que sedesloca sobre um cabo inextensıvel ABC (ver figura). Determine P sabendo que a tensaonas duas partes do cabo e de 600 N, e que α = 45 e β = 65.

α β

P

A

B

C

Problema 112 Determine o intervalo de valores que a massa m0 pode ter, de maneiraque o bloco de 100 kg da figura nao deslize nem para cima nem para abaixo ao longo doplano. O coeficiente de atrito estatico para as superfıcies em contacto e de 0,3 (α = 20).

α

m1

m0

Problema 113 Uma barra uniforme AB tem um comprimento L = 4 m e tem umamassa m1 = 100 kg. Entre A e B existe um ponto C em torno do qual a barra pode rodar(ver figura, AC = 2,5 m). Um homem de massa m2 = 75 kg parte de A em direccao a B.

24

Determine a distancia maxima percorrida pelo homem antes da barra comecar a rodarem torno do ponto C.

A BC

Problema 114 a) Prove que a barra AB esta em equilıbrio se for satisfeita a condicao:

m1(m2 +m3)l1 = 4m2m3l2 ;

b) calcule a forca que o ponto de apoio exerce na barra.

m1

m2

m3

l l1 2

A B

Problema 115 Uma escada AB, de massa m = 30 kg e comprimento L = 8 m, esta emequilıbrio apoiada numa parede vertical sem atrito. Calcule a accao sobre a escada nospontos A e B, bem como a direccao no ponto A (α = 60).

25

X

Y

A

B

C

F3

W

F2

F1

α

Problema 116 Uma barra leve AD esta suspensa por um cabo BE e suporta um blocode massa m = 20 kg, preso no ponto C. As extremidades A e D da barra estao emcontacto sem atrito com as paredes verticais. Determine a forca de traccao no cabo BEe as reaccoes nos pontos A e D. Indique o diagrama de forcas; considere a = 1,25 m, b =0,75 m, c = 1,75 m e d = 2 m.

AB

C

D

E

m

a b c

d

Problema 117 Determine o momento duma forca de intensidade F = 6 N (ver figura)para abrir uma porta de comprimento L = 0,8 m (α = 45).

26

Parede

Porta

LF

α

Problema 118 Determine a resultante das quatro forcas tangentes a um cırculo de raior = 3 m (ver figura), e o momento resultante em relacao ao centro do cırculo. ConsidereF1 = 150 N, F2 = 50 N, F3 = 100 N e F4 = 80 N (α = 30).

X

Y

F3

F2

F1

α

F4

Problema 119 Determine as coordenadas do centro de massas, ou centroide, da figuraabaixo ilustrada.

X

Y

h

r-r

Problema 120 Determine o centro de massas das figuras limitadas pelas seguintes cur-vas: a) y = kx para x ∈ [0, a]; b) y = kx3 para x ∈ [0, a]; c) y = 4x para x ∈ [0, 1] e y = 4para x ∈ [1, 2]; e d) y = 3 sinx para x ∈ [0, π].

27

6 Trabalho, Potencia e Energia

Problema 121 Um corpo e atraıdo, para a origem, por uma forca dada por: F = −6x3.Determine o trabalho necessario para transportar o corpo da posicao x = 1 m para aposicao x = 2 m.

Problema 122 Determine o trabalho realizado por um homem, ao exercer uma forca de245 N para arrastar um saco de farinha de 65 kg, ao longo de uma distancia de 10 m, epara levantar o mesmo saco ate uma altura de 75 cm. Qual a potencia media desenvolvida,se todo o processo foi realizado em 2 minutos?

Problema 123 Um corpo de massa 4 kg move-se para cima num plano inclinado (α =20). As seguintes forcas actuam sobre o corpo: uma forca horizontal de 80 N, uma forcade 100 N, paralela ao plano inclinado no sentido do movimento, e uma forca constante deatrito de 10 N. O corpo desliza ao longo de 20 m sobre o plano. Determine o trabalho decada uma das forcas e o trabalho total, realizado pelo sistema de forcas.

Problema 124 Um corpo de 0,1 kg de massa cai de uma altura de 3 m, sobre um montede areia. Se o corpo afunda 3 cm antes de parar, qual o modulo da forca que a areiaexerceu sobre o corpo?

Problema 125 Um homem com 80 kg de massa caminha, para acima, num plano incli-nado (α = 10) com uma velocidade de 6 km/h. Determine o valor da potencia desen-volvida.

Problema 126 Um automovel sobe uma rampa inclinada (α = 3), com velocidade de45 km/h. A massa do mesmo e 1600 kg. Qual e a potencia desenvolvida pelo motor?qual e o trabalho realizado em 10 s? despreze as forcas de atrito.

Problema 127 Sob a accao da forca F = 3ex + 4ey uma partıcula desloca-se segundouma certa trajectoria no plano xy, do ponto 1 ao ponto 2 (definidos pelos vectores-posicaor1 = ex + 2ey e r2 = 2ex − 3ey respectivamente). Calcule o trabalho realizado pela forca.

Problema 128 Uma locomotiva, de massa m, parte de uma estacao com uma velocidadetal que varia segundo a lei V = α

√x, onde x e a posicao da locomotiva e α e uma

constante. Determine o trabalho realizado pelas forcas externas, aplicadas a locomotiva,nos primeiros t segundos de movimento.

Problema 129 Um corpo, que escorrega por uma superfıcie irregular com velocidadeinicial de 50 m/s e massa de 8 kg, para devido ao atrito. Determine o trabalho da forcade atrito e a distancia percorrida pelo corpo, considerando que a forca de atrito e constantee igual a 60 N.

Problema 130 Considere um copo hemisferico, como mostra a figura. Supondo que sedeixe cair, de θ = 90, um corpo de massa 0,1 kg e sabendo que a tensao maxima que ocopo suporta e de 2 N, determine o angulo para o qual o copo se parte. Sugestao: apliqueprimeiro a 2a. Lei de Newton ao movimento do corpo e em seguida aplique a Lei deConservacao da Energia.

28

θ

Problema 131 Uma pequena bola de aco com 1 kg de massa esta ligada a extremidadede um fio de 1 m de comprimento, girando num cırculo vertical com uma velocidadeangular constante de 120 rad/s. Calcule a sua energia cinetica. Se em lugar da velocidadeangular for a energia total que permanece constante, qual sera a variacao da energiacinetica e da velocidade angular entre o topo e a parte mais baixa do cırculo? (considerea velocidade angular no topo do cırculo igual a 120 rad/s).

Problema 132 Exprima, em eV, a energia de: a) um electrao; b) um protao (considerev = 1×106 m/s, 1 eV = 1,6×10−19 J).

Problema 133 Determine a velocidade de um protao que tem uma energia cinetica de3×105 eV.

Problema 134 Um menino de massa m esta sentado sobre um monte de gelo de formasemiesferica (ver figura). Se ele comecar a deslizar a partir do repouso (considere o gelosem atrito) em que ponto P perdera contacto com o monte?

R

θ

P

Problema 135 Um corpo com 0,5 kg de massa e largado de uma altura de 1 m sobreuma pequena mola vertical que tem uma extremidade presa ao solo. A constante da molae k = 2000 N/m. Determine a deformacao maxima da mola.

Problema 136 Um treno com 20 kg de massa desliza de uma colina partindo de umaaltitude de 20 m. O treno parte do repouso e tem uma velocidade de 16 m/s quandoatinge o fim da encosta. Determine a perda de energia devida ao atrito.

Problema 137 Uma massa de 2 kg ligada a um fio de um metro de comprimento, como outro extremo fixo, e deslocada de um angulo de 30 com a vertical e abandonada.Determine a velocidade da massa quando o fio forma um angulo de 10 com a vertical.

29

Problema 138 Um corpo de massa 2 kg desliza por um plano inclinado. Determine aaltura que devera ter o plano inclinado para o corpo atingir a velocidade de 4 m/s na basedo plano.

Problema 139 Abandona-se um bloco de 400 g do ponto A (ver figura), quando a molaque esta debaixo do bloco esta comprimida de 8 cm. O bloco move-se pelo arco ABCD.Determine o valor mınimo da constante k da mola, para que o bloco nao perca o contactocom o arco durante todo o movimento (considere g = 10 m/s2, h = 0,5 m, R = 0,2 m).

B D

C

h

A

R

Problema 140 Dados a massa m de uma esfera e o raio R do cırculo, determine a alturamınima h, da qual deve partir a esfera, para completar com sucesso a curva em lacomostrada na figura. Suponha que a bola desliza sem rodar e sem atrito e que a suavelocidade inicial e nula.

h

Problema 141 Determine o valor ∆X em que a mola, representada na figura, deve sercomprimida para que um ovo, de massa 10 g, colocado na sua extremidade, atinja o alvoindicado na figura. A constante elastica da mola e k = 1 N/m, h = 10 m, R = 0,5 me g = 10 m/s2. Considere o ovo e o alvo como pontos materiais. Despreze o atrito dasuperfıcie em que esta colocada a mola.

h

R

30

7 Conservacao da Quantidade de Movimento

Problema 142 Duas vagonetas A e B movem-se sobre carris rectilıneos; inicialmente Besta parada e A move-se para a direita com uma velocidade de 5 m/s. A certa altura Achoca com B; depois da colisao A comeca a deslocar-se em sentido oposto aquele em quese movia ate aı, com velocidade de 1 m/s, enquanto B passa a mover-se para a direitaa velocidade de 3 m/s. Posteriormente A, carregada com 1 kg de areia, e empurrada deencontro a B a velocidade de 5 m/s. Depois da colisao A fica em repouso e B desloca-separa a direita com velocidade de 5 m/s. Determine a massa de cada uma das vagonetas.

Problema 143 Um homem de massa 72 kg que se encontra de pe sobre o gelo, lancauma bola de 1 kg horizontalmente com uma velocidade de 24 m/s. Determine:a) a velocidade e a direccao com que o homem se desloca;b) qual seria a forca media aplicada ao homem se este lancasse quatro bolas por cada 3segundos?

Problema 144 Uma carrinha de 1,8 T percorre a estrada rumo a leste, com velocidadede 72 km/h. Em dado instante choca com um camiao de 4 T, que se deslocava para osul, com velocidade de 27 km/h. Se permaneceram unidos depois do choque, qual seria ovector velocidade depois da colisao?

Problema 145 Na reaccao quımica H + Cl → HCl as velocidades dos atomos de Cl eH sao perpendiculares entre si. Determine a velocidade da molecula de acido clorıdricosabendo que VH = 1,57×105 m/s, mH = 1,66×10−27 kg, VCl = 3,4 ×104 m/s, mCl =5,88×10−26 kg. (nota: use valores numericos tao exactos como possıvel).

Problema 146 Dois objectos A e B, movendo-se sem atrito sobre uma recta horizontal,estao em interaccao. A quantidade de movimento de A e pA(t) = p0 − bt, onde p0 e b saoconstantes e t e o tempo. Determine a quantidade de movimento de B como funcao dotempo quando:a) B inicialmente esta em repouso;b) a quantidade inicial de movimento de B e −p0.

Problema 147 Dois corpos, com velocidades perpendiculares entre si, e iguais a 5 e 10m/s respectivamente, chocam um com outro, permanecendo ligados depois disto. Deter-mine a massa do segundo dos corpos sabendo que a massa do primeiro era de 4 kg e avelocidade depois do choque formava um angulo de 45 com a velocidade do primeiro.

Problema 148 Sobre um corpo actua uma forca F = 10 + 2t (t em segundos, F em N).Determine:a) a quantidade de movimento do corpo;b) a variacao da quantidade de movimento entre 0 e 4 segundos;c) o tempo t1 para o qual p(t1) = 200 Ns.

31

8 Gravitacao e Momento Angular

Os dados dos problemas desta seccao deverao ser procuradosna Tabela de Constantes Fısicas.

Problema 149 Determine a massa do sol com base na lei de gravitacao universal deNewton.

Problema 150 Determine a aceleracao da gravidade que deve sentir um astronauta nasuperfıcie da Lua.

Problema 151 Uma pedra de 750 g de massa esta ligada a um fio de comprimento l= 80 cm e descreve um cırculo horizontal. O momento angular da pedra em relacao aocentro do cırculo tem um modulo de 2,5 kg·m2/s. Determine a velocidade angular dapedra e descreva qual sera o movimento da mesma se o fio se partisse repentinamente.

Problema 152 A Terra descreve uma orbita elıptica a volta do Sol. No afelio (ponto demaior separacao entre a Terra e o Sol) a distancia entre os dois corpos celestes correspondea 1,521×108 km, e no perihelio (ponto de maior aproximacao) a 1,471×108 km. Determinea relacao entre as velocidades da Terra nos dois pontos.

Problema 153 No perigeo (ponto de menor separacao entre um satelite e a Terra) aaltura de um satelite em relacao ao nıvel do mar e de 420 km e a sua velocidade orbitalde 8,39 km/s. Determine a velocidade orbital do satelite no seu apogeo (ponto de maiorseparacao), quando a sua altura em relacao ao nıvel do mar e de 3820 km.

Problema 154 Determine a velocidade de escape dos foguetoes que descolam do nossoplaneta.

Problema 155 Um satelite de comunicacoes devera orbitara Terra a uma altura de 100km em relacao a sua superfıcie. Determine a velocidade orbital, a aceleracao e o perıodode movimento do satelite.

Problema 156 A que distancia da superfıcie da Terra se devera posicionar um satelitegeo-estacionario que orbite ao longo do equador?

Problema 157 Os vaivens espaciais costumam orbitar a Terra a uma distancia de 400quilometros em relacao a superfıcie desta. Determine a velocidade e o perıodo orbitalcorrespondentes.

Problema 158 As anas brancas sao estrelas com um diametro bastante pequeno, aprox-imadamente igual ao diametro da terra, mas com uma massa semelhante a massa do Sol.Determine a aceleracao da gravidade na superfıcie de uma ana branca.

Problema 159 O perıodo de rotacao da Lua a volta da Terra e de aproximadamente27,2 dias. Determine o raio da orbita lunar e a velocidade orbital da Lua.

Problema 160 O raio da orbita de Mimas, um dos satelites de Saturno, e de 1,87×108

m, e o seu perıodo orbital e de aproximadamente 23 horas. Determine a massa de Saturno.

32

9 Dinamica do Corpo Rıgido

(Em todos os problemas, para simplificar os calculos, considere g = 10 m/s2)

Problema 161 Um bloco de massa m1 = 3 kg encontra-se sobre um plano inclinado eligado por meio de um fio, que passa por uma roldana de massa mR = 1 kg e raio R =10 cm, a outro bloco de massa m2 = 9 kg. Sendo µ = 0,1 o coeficiente de atrito dinamicoentre o primeiro bloco e o plano, determine a aceleracao dos blocos e as tensoes no fio(β = 30).

m1

mβ

2

mR

Figura 19

Problema 162 A roldana da figura tem um raio R = 10 cm e massa mR = 1 kg. De-termine as tensoes nos fios e a aceleracao dos blocos (m1 = 4 kg e m2 = 7 kg).

m1

m2

mR

Figura 20

33

Problema 163 Mostre que o perıodo de um pendulo fısico e dado por:

T = 2πI

mgd,

onde d e a distancia entre o ponto de suspensao e o centro de massas do pendulo, I e oseu momento de inercia e m e a sua massa.

Problema 164 Uma esfera de massa m = 5 kg e raio R = 20 cm, esta presa ao extremode um fio inextensıvel de comprimento l = 1 m e massa desprezavel, estando o outroextremo do fio fixo no tecto. Se a esfera for deslocada num angulo de α = 10 comomostra a figura e largada, o seu movimento sera harmonico simples. Determine:a) O perıodo de oscilacoes deste pendulo fısico.b) A equacao do movimento.c) A velocidade do centro de massa da esfera, quando α= 5.(Nota: Para a esfera ilustrada na figura I = ml2 +(2/5)mr2; para o calculo da velocidadee necessario exprimir os angulos em radianos).

α

R

l

Figura 21

34

10 O sistema SI de unidades

Unidades basicasQuantidade Unidade Sımbolo

Comprimento metro mMassa quilograma kgTempo segundo sTemperatura kelvin KCorrente electrica ampere AIntensidade luminosa candela cdQuantidade de substancia mol mol

Unidades adicionais

Angulo plano radiano rad

Angulo solido esteradiano sr

Unidades derivadas com nome proprioQuantidade Unidade Sımbolo Derivacao

Frequencia hertz Hz s−1

Forca newton N kg×m×s−2

Pressao pascal Pa N×m−2

Energia joule J N×mPotencia watt W J×s−1

Carga coulomb C A×sPotencial electrico volt V W×A−1

Capacidade electrica farad F C×V−1

Resistencia ohm Ω V×A−1

Conductancia electrica siemens S A×V−1

Fluxo magnetico weber Wb V×sDensidade do fluxo magnetico tesla T Wb×m−2

Inductancia henry H Wb×A−1

Fluxo luminoso lumen lm cd×srIluminancia lux lx lm×m−2

Actividade becquerel Bq s−1

Dose absorbida gray Gy J×kg−1

Dose equivalente sievert Sv J×kg−1

11 Prefixos

yotta Y 1024 giga G 109 deci d 10−1 pico p 10−12

zetta Z 1021 mega M 106 centi c 10−2 femto f 10−15

exa E 1018 quilo k 103 milli m 10−3 ato a 10−18

peta P 1015 hecto h 102 micro µ 10−6 zepto z 10−21

tera T 1012 deca da 10 nano n 10−9 yocto y 10−24

35

12 Constantes fısicas

Aceleracao da gravidade g 9,80665 m/s2

Const. gravıtica G, γ 6, 67259× 10−11 m3kg−1s−2

Velocidade da luz no vacuo c 2, 99792458× 108 m/s (def)Carga elementar e 1, 6021892× 10−19 CConstante de Coulomb K 9× 109 Nm2/C2

Constante electrica ε0 8, 85418782× 10−12 F/mConstante magnetica µ0 4π × 10−7 =

µ0 = 12, 5663706144× 10−7 H/m(4πε0)

−1 8, 9876× 109 Nm2C−2

Const. da estructura fina α = e2/2hcε0 ≈ 1/137

Const. de Planck h 6, 6260755× 10−34 JsConst. de Dirac h = h/2π 1, 0545727× 10−34 JsMagnetao de Bohr µB = eh/2me 9, 2741× 10−24 Am2

Raio de Bohr a0 0, 52918 AConst. de Rydberg Ry 13,595 eVMagnetao nuclear µN 5, 0508× 10−27 J/TMomento magn. do electrao µe 9, 2847701× 10−24 A·m2

Momento magn. do protao µp 1, 41060761× 10−26 A·m2

c.d.o de Compton λCe = h/ (mec) 2, 2463× 10−12 mc.d.o de Compton λCp = h/ (mpc) 1, 3214× 10−15 mpara o protaoc.d.o de Compton λCn = h/ (mnc) 1, 3195909× 10−15 mpara o neutrao

Const. de σ 5, 67032× 10−8 Wm2K−4

Stefan-BoltzmannConst. de Wien kW 2, 8978× 10−3 mKConst. universal R 8,314472 J/moldos gasesConst. de Avogadro NA 6, 02214199× 1023 mol−1

Const. de Boltzmann k = R/NA 1, 3806503× 10−23 J/KVolume dum gas em Vm 22, 41383× 10−3 m3/molcondicoes normais

Raio do electrao re 2, 817938× 10−15 mMassa do electrao me 9, 109534× 10−31 kgMassa do protao mp 1, 6726485× 10−27 kgMassa do neutrao mn 1, 674954× 10−27 kgUnid. elementar de massa mu = 1

12m(12

6C) 1, 6605656× 10−27 kg(ou unid. de massaatomica, u.m.a.)

36

Diametro do Sol D 1392× 106 mMassa do Sol M 1, 989× 1030 kgPerıodo rot. do Sol T 25,38 diasRaio da Terra RT 6, 378× 106 mMassa da Terra MT 5, 976× 1024 kgPerıodo rot. da Terra TT 23,96 horasPerıodo orb. da Terra Ano tropical 365,24219879 dias

31556926 sUnidade astronomica AU 1, 4959787066× 1011 mAno-luz ly 9, 4605× 1015 mParsec pc 3, 0857× 1016 mUnidade Astronomica AU 149597870000 mConst. de Hubble H ≈ (75± 25) km×s−1×Mpc−1

c.d.o = comprimento de onda

13 Escalas de temperaturas

K = C + 273,15,C = K - 273,15,C = 5/9(F - 32),F = 9/5 C + 32.

37

14 Relacoes uteis

Unidades angulares57,29577951308232 = 1 rad1 = 0,01745329251 rad1′ = 2,90888208666×10−4 rad1′′ = 4,8481368111×10−6 rad1 gradiano = 0,01570796326795 rad(angulo recto/100)

Unidades de comprimento1 angstrom = 1×10−10 m1 polegada = 0,0254 m1 pe = 0,3048 m1 pe (USA) = 1200/3937 m1 jarda = 0,9144 m1 jarda (USA) = 3600/3937 m1 milha nautica = 1852 m1 milha terrestre = 1609,344 m1 milha terrestre = 6336000/3937 m(USA)

Unidades de area1 acre = 4046,8564224 m2

1 are = 1×102 m2

1 hectare = 1×104 m2

Unidades de volume1 litro = 1×10−3 m3

1 barril de petroleo = 0,15898729492 m3

1 galao (USA) = 3,785411784×10−3 m3

1 galao (UK) = 4,54609929488×10−3 m3

38

Unidades de massa1 libra = 0,45359237 kg1 onca = 0,02834952312 kg1 slug = 14,5939029372 kg

Unidades de velocidade1 no = 1852/3600 m/s1 milha por hora = 0,44704 m/s

Unidades de pressao1 atm = 101325 Pa1 atmosfera tecnica = 98066,5 Pa1 metro de agua = 9806,65 Pa1 milimetro de mercurio = 101325/760 Pa1 torr = 101325/760 Pa1 pe de agua = 2989,06692 Pa1 polegada de agua = 249,08891 Pa1 polegada de mercurio = 3386,38815789 Pa1 libra por polegada quadrada = 6894,75729317 Pa

Unidades de forca1 dine = 1×10−5 N1 quilograma-forca = 9,80665 N1 libra-forca = 4,44822161526 N

Unidades de potencia1 cavalo-forca metrico = 735,49875 W1 BTU por hora = 0,29307107017 W

Unidades de energia1 cal = 4,186 J1 eV = 1,602×10−19 J1 pe libra-forca = 1,35581794833 J1 cavalo-forca = 745,699871582 J1 BTU = 1055,05585262 J(British thermal unit)

39

15 Nocoes relevantes de Matematica

15.1 Alfabeto grego

A α alfa N ν niuB β beta Ξ ξ csiΓ γ gama O o omicron∆ δ delta Π π, $ piE ε, ε epsilon P ρ, % roZ ζ zeta Σ σ, ς sigmaH η eta T τ tauΘ θ, ϑ teta Υ υ upsilonI ι iota Φ φ, ϕ fiK κ kapa X χ quiΛ λ lambda Ψ ψ, ϕ psiM µ miu Ω ω omega

15.2 Constantes matematicas

Nome Sımbolo Valor

Constante de Arquimedes π 3,14159265358979323846...Constante de Napier e 2,718281828459...

Constante de Euler γ = limn→∞

(n∑

k=1

1/k − ln(n)

)= 0,5772156649...

Constante de Catalan G =∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)2 = 0,915965594...

40

15.3 Figuras no plano

Figura Perımetro Area

Triangulo

b

ac

ha+ b+ c b× h/2

Quadrado

a

a 4a a2

Rectangulo

b

a 2a+ 2b a× b

Cırculo

r 2πr πr2

41

Perımetro dum polıgono regular de n ladosinscrito no cırculo

Triangulo Quadrado(n = 3) (n = 4)

r

2π/3

r

π/2

P3 = 6r sin (π/3) P4 = 8r sin (π/4)

Polıgono de n lados:

Pn = 2nr sin (π/n) (1)

42

15.4 Solidos no espaco

Solido Area Volume

Cubo de lado a

a

aa

6a2 a3

Cilindro de altura he raio da base r

r

h

r

rr

2πr × h+ 2πr2 h× πr2

Cone de altura he raio da base r

r

h

r

πr × g ondeg = h/ cosα etanα = r/h

h× πr2/3

Esfera de raio r

rr

r4πr2 (4/3)πr3

43

15.5 Trigonometria

b

ah

α

Para o triangulo rectangulo da figura ter-se-ia que

sinα = a/h , (2)

cosα = b/h , (3)

tanα = a/b . (4)

15.5.1 Relacoes fundamentais

sin (−α) = − sinα , cos (−α) = cosα , sin2 α+ cos2 α = 1 , (5)

sin (π − α) = sinα , cos π − α = − cosα , (6)

sin (π/2− α) = cosα , cos (π/2− α) = sinα , (7)

tanα =sinα

cosα, tan (−α) = − tanα , (8)

cotα =cosα

sinα, secα =

1

cosα, cscα =

1

sinα, (9)

tan2 α = sec2 α− 1 , cot2 α = csc2 α− 1 , (10)

sin x = sinα ⇒ x = α± 2kπ ou x = (π − α)± 2kπ, k ∈ N , (11)

cosx = cosα ⇒ x = α± 2kπ ou x = −α± 2kπ , (12)

tan x = tanα ⇒ x = α± kπ e x 6= π

2± kπ . (13)

15.5.2 Relacoes entre senos

sin (α+ β) = sinα cos β + sin β cosα , (14)

sin (α− β) = sinα cos β − sin β cosα , (15)

sin (2α) = 2 sinα cosα , (16)

sinα− sin β = 2 sin

(α− β

2

)cos

(α+ β

2

), (17)

sin2 α =1− cos (2α)

2, (18)

sin(α

2

)= ±

√1− cosα

2, (19)

44

sinα+ sin β = 2 sin

(α+ β

2

)cos

(α− β

2

), (20)

sinα− sin β = 2 cos

(α+ β

2

)sin

(α− β

2

). (21)

(22)

15.5.3 Relacoes entre co-senos

cos (α+ β) = cosα cos β − sin β sinα , (23)

cos (α− β) = cosα cos β + sin β sinα , (24)

cos (2α) = cos2 α− sin2 α , (25)

cosα+ cos β = 2 cos

(α+ β

2

)cos

(α− β

2

), (26)

cosα− cos β = −2 sin

(α+ β

2

)sin

(α− β

2

), (27)

cos2 α =1 + cos (2α)

2, (28)

cos(α

2

)= ±

√1 + cosα

2. (29)

15.5.4 Relacoes entre tangentes

tan (α+ β) =tanα+ tan β

1− tanα tan β, (30)

tan (α− β) =tanα− tan β

1 + tanα tan β, (31)

tan (2α) =2 tanα

1− tan2 α, (32)

tan(α

2

)= ±

√1− cosα

1 + cosα. (33)

15.5.5 Relacoes entre funcoes inversas

arctanα = arcsin

(α√α2 + 1

)= arccos

(1√

α2 + 1

), (34)

sin (arccosα) =√

1− α2 . (35)

45

15.6 Numeros complexos

i =√−1 , (36)

ρcisθ = ρ cos θ + iρ sin θ , (37)

(ρ1cisθ1) . (ρ2cisθ2) = ρ1ρ2cis (θ1 + θ2) , (38)

ρ1cisθ1

ρ2cisθ2

=ρ1

ρ2

cis (θ1 − θ2) , (39)

(ρcisθ)n = ρncis (nθ) , (40)

n

√ρcisθ = n

√ρcis

(θ + 2kπ

n

), k ∈ 0, . . . , n− 1 . (41)

46

15.7 Logaritmos

• lnx corresponde ao logaritmo de x em base e.

• log x corresponde ao logaritmo de x em base 10.

• loga x corresponde ao logaritmo de x em base a (a > 1).

15.8 Propriedades

ln (x1x2) = lnx1 + lnx2 ; (42)

ln (xn) = n lnx; (43)

ln(

n√x)

= ln x/n; (44)

ln (x1/x2) = lnx1 − lnx2 ; (45)

ln (1) = 0 ; (46)

ln (e) = 1 ; (47)

loga (1) = 0 ; (48)

loga (a) = 1 ; (49)

loga (x) = logb (x) / logb (a) ; (50)

loga (ax) = x ; (51)

aloga(x) = x . (52)

47

15.9 Limites Notaveis:

limx→0

sin x

x= 1 , (53)

limx→0

tan x

x= 1 , (54)

limx→0

ex − 1

x= 1 , (55)

limx→0

ax − 1

x= ln a , (56)

limx→0

(x+ 1)1/x = e , (57)

limx→0

ln (x+ 1)

x= 1 , (58)

limx→0

(x+ 1)m − 1

x= m , (59)

limx→∞

ex

xp= ∞ (p ∈ IR) , (60)

limx→∞

xp

loga x= ∞ (p > 0 e a > 1) .

(61)

48

15.10 Propriedades das derivadas

(C)′ = 0 (Cf)′ = Cf ′

(f ± g)′ = f ′ ± g′ (fg)′ = f ′g + g′f(f

g

)′=

f ′g − g′f

g2(f(g))′ = fgg

′

15.11 Tabela de derivadas

x′ = 1 (xm)′ = mxm−1

(ex)′ = ex (ax)′ = ax ln a

(lnx)′ =1

x

(sinx)′ = cosx (cosx)′ = − sin x

(tan x)′ =1

cos2 x(cotx)′ =

−1

sin2 x

(arcsinx)′ =1√

1− x2(arccos x)′ =

−1√1− x2

49

15.12 Propriedades dos integrais indefinidos

(∫f(x)dx

)′= f(x) d

(∫f(x)dx

)= f(x)dx∫

dP (f) = P (f) + C∫Cf(x)dx = C

∫f(x)dx∫

(f ± g)dx =∫fdx±

∫gdx

∫fdg = fg −

∫gdf

15.13 Tabela de integrais indefinidos

∫dx = x +C

∫xmdx =

xm+1

m+ 1+C∫ dx

x= ln |x| +C

∫exdx = ex +C∫

sin xdx = − cosx +C∫

cosxdx = sinx +C∫ dx

sin2 x= tan x +C

∫ dx

cos2 x= − cotx +C∫ dx√

1− x2= arcsinx +C

∫ dx

1 + x2= arctanx +C∫ dx√

x2 + λ= ln

∣∣∣x+√x2 + λ

∣∣∣ +C∫ dx

(x2 + λ)3/2=

x

λ√x2 + λ

+C∫ xdx

(x2 + λ)3/2= − 1√

x2 + λ+C

50

15.14 Mudancas de Sistemas de Coordenadas

1. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilındricas (r, φ, z):

r =√x2 + y2 , tanφ = y/x .

2. De coordenadas cilındricas (r, φ, z) para coordenadas cartesianas (x, y, z):

x = r cosφ , y = r sinφ .

3. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esfericas (φ, θ, r):

tanφ = y/x , tan θ = z/√x2 + y2 , r =

√x2 + y2 + z2 .

4. De coordenadas esfericas (φ, θ, r) para coordenadas cartesianas (x, y, z):

x = r cosφ sin θ , y = r sinφ sin θ , z = r cos θ .

51

16 Sistemas de coordenadas

X

Y

Z

x

y

z

(x, y, z)

ex

ey

ez

Coordenadas cartesianas(x, y, z)

X

Y

Z

r

φ

z

(r, φ, z)

er

eφ

ez

X

Y

Z

r

φ

θ

(r, θ, φ)

er

eφ

eθ

Coordenadas cilındricas Coordenadas esfericas(r, φ, z) (φ, θ, r)

52