Profesorado de Educación

Secundaria en Matemática

INGRESO 2015

Coordinadora: Prof. Adriana Mabel Lescano

1

La propuesta de ejercicios fue realizada por los siguientes Estudiantes

del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática:

Alonso Romina

Barrios Maximiliano

Blasco Roberto

Castro Víctor

Córdoba Cecilia

Escalona Emmanuel

Fuenzalida Irene

García Betsabé

Herrera Adriana

Lusi Yemina

Madrid Melisa

Racca Estefanía

Saavedra Ivana

Se desea agradecer la lectura atenta y sugerencias de los Profesores:

Boiteux Yanina, Celina Corrías, Martínez Julián, Zárate Érika.

2

Estimados Ingresantes:

Este cuadernillo contiene cinco grandes temas: Conjuntos numéricos, Polinomios, Función polinómica - racional,

Función exponencial - logarítmica y Función trigonométrica. Si bien los conceptos matemáticos que abordamos

ya han sido vistos en la escuela secundaria, el tipo de tratamiento que se propone no es tan habitual en esa

instancia de la escolaridad. Nuestro principal objetivo es, no sólo que ingresen a nuestra Institución, sino además

que permanezcan en el Profesorado. Es desde aquí que asumimos este compromiso, pues el abordaje de

estos temas es fundamental para comenzar con un cursado exitoso.

Para ello te proponemos que te comprometas en participar activamente en las actividades de manera que

puedas construir tu propio proyecto como futuro alumno y futuro profesional de la educación. Profundizando de

manera reflexiva cada una de las actividades para re-pensar la elección que has realizado y plantearte así, tus

propios propósitos para tu futuro desempeño profesional.

Es importante solicitarte que resuelvas por anticipado los ejercicios para poder consultar las dificultades que

pudieran presentarse, en los encuentros de consulta durante el mes de febrero

Este trabajo ha sido elaborado por estudiantes avanzados del profesorado, dirigidos por quien se desempeña en

este momento como Coordinadora de la carrera. Se contó con la lectura atenta y las sugerencias de los

Profesores: Zárate Érika, Corrías Celina, Yanina Boiteux y Julián Martínez Cinca.

Deseo agradecer la colaboración de las Licenciadas Cintia Fredes y Miriam Fernández.

Esperamos así, que al final del camino propuesto, puedan reafirmar su elección.

Nuestro pensamiento:

“El Éxito no es producto de la casualidad sino del esfuerzo".

Profesora Adriana Mabel Lescano

Coordinadora del Profesorado de Matemática

3

DATOS IMPORTANTES:

Cursado:

Desde el miércoles 11/02/2015 al viernes 13/02/2015 inclusive y desde el miércoles 25/02/2015 al viernes

27/02/2015

Horario: 18:30 a 20:30

Modalidad: presencial

Asistencia: no obligatoria

Consulta: 2 y 3 de marzo del 2015

Horario: 18:30 a 20:30

Examen obligatorio: 05/03/2015

Horario: 18:30 (traer documento de identidad)

Publicación de resultados: 13/03/2015

Publicación de exámenes con consulta:13/03/2015

Horario: 18:30 a 20:30.

Título que se otorga:

PROFESOR/A DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA

Duración de la carrera:

4 (cuatro) AÑOS

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TRABAJO PRÁCTICO N° 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS

Este trabajo práctico propuesto tiene la intención de lograr un repaso de los números reales, complejos, ecuaciones y propiedades fundamentales pertenecientes a cada campo numérico. Es probable que usted ya esté familiarizado con estos conceptos, pero es útil hacer un repaso para ver cómo estas ideas trabajan juntas para resolver problemas y modelar o describir situaciones del mundo cotidiano. Para estar preparado para el cálculo, el estudiante requiere no sólo habilidades técnicas, sino también entender con claridad sus propiedades. Nuestra selección de ejercicios ha sido clasificada con todo cuidado para que impulsen al estudiante en el entendimiento de conceptos y desarrolle sus habilidades para resolver problemas. Los ejercicios van desde el desarrollo de habilidades elementales hasta problemas más complejos. Esperamos les sean útiles, ya que consideramos que son fundamentales para la comprensión del cálculo matemático.

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ACTIVIDADES:

1. Completa los siguientes enunciados de modo que resulten verdaderos

a) Si a, b , a + b ………….….

b) Si a , a + ……………...

c) ……….….…

d) π ………….… e) Entre dos números reales diferentes existen …………...…… números reales. f) Un número irracional expresado en forma decimal presenta …………………. g) La suma de dos números racionales es ................……………………………… 2. Marca con una X la respuesta correcta

a) a, b , (a / b) cuando:

a = b b = a < b a > b

b) Si a = 1

3 30,25 , b= 0,15 , c= ( 6)

b<c<a c>a>b c<a<b

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

c) Un comerciante vende tres tipos de café: brasileño, colombiano y cubano. El peso total es de 885 kg. Si el

peso del café brasileño corresponde a del total y el del colombiano a los que quedan:

Las cantidades de café brasileño y colombiano son las mismas.

Hay más café brasileño que colombiano.

Hay más café colombiano que brasileño.

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. d) Se reparte un premio entre tres apostadores, A, B y C. Si A recibió el 25%, B el 45% del resto y C $ 8.250, entonces:

Falta mayor información El apostador que más ganó obtuvo $ 8.250

A ganó lo mismo que C El premio era de $ 20.000

e) Al pagar con tarjeta de crédito, el comercio le aplica un recargo del 35% al 50% del valor del producto. Si lo abonado fue $ 411,25:

El recargo es de $ 61,25 El producto costaba $ 350,00

Todas las respuestas anteriores son correctas

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta f) Si a - 3 = b, entonces podemos afirmar que:

b – a = - 3 b + a = - 3 a + b = 3 a – b = - 3

g) Un huerto tiene forma rectangular de lados 80m y 150m. Se quiere ampliar añadiendo la misma longitud a cada lado, de forma que el nuevo perímetro mida 660 m. ¿Cuál será la dimensión del largo del nuevo terreno?

6

190 m 200 m 235 m 220 m

3. Resuelve:

a)

22

0,6 - 23

b)

1

3 ( 0,973 1)1 3

(4 )2 5

c)

2

3 5

: 0,43

(1 )(0,2) (0,2)2

4. Expresa como intervalo los siguientes conjuntos de y grafica de en la recta:

a) A = ^ - 2 x

b) B = ^ - 2x

c) C = ^ |- 2x| 8}

d) D = ^ |5 - 2x| < 4}

e) E = ^ (5 - 2x) < 4}

f) F = ^ |3 - x| > }

g) G = ^ |4 - 3x| > 5}

5. Resuelve analítica y gráficamente las siguientes operaciones, a partir de los siguientes conjuntos.

A = ^ - 4 - x , B = [- 5; 5], C = ^ - 2x > 3}

a) A C b) B C c) (A B) C

6. Con respecto a los resultados de los ítems a), b) y c) del ejercicio anterior, indica si es verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si x A entonces x C ……………….

b) Si x B, x A ………………..

c) x A si x C ………………

7. Según las afirmaciones dadas, indica la/s respuesta/s correcta/s con una X

a) Si a, b y n, m , con respecto a la potenciación se cumple:

es conmutativa, =

es ( =

es distributiva respecto de la adición, = +

b) Si a, b y n, m , m > 3 ^ n > 3 con respecto a la radicación se cumple:

=

=

d) (- + 2 ) . (2 ) =

7

e) =

8

4 2

f)- Al simplificar la expresión obtenemos:

g) El valor de la expresión 2

1 2 1 2

6.18

2 .6 .9

n

n n obtenemos:

h)4 1 2 3

.x x

a a

es:

6 2

4x

a

8. Se ha llegado a la mínima expresión de:

0

2

2 2

2

1.

1 1

aa

aa a

Analiza y completa en cada paso con la definición, propiedad o propiedades que se aplicaron:

i.

0

2

2

2 2 2 2 2

2

1.

1

1 1

aaa

a a aa

a a

ii.

0

2

2

2 2 2 2

2

1.

1

21 1

aaa

a aa

a a

iii.

0

2

2

2 2 2 4

2

1.

1 21 1

aaa

a aa

a a

iv.

0

2

2 2 4

2

1.

1

11 1

aa

aa

a a

8

v.

0

2

4

2 2 4

2

1.

21 1

aaa

aa

a a

9. Nombra las propiedades de las operaciones que se realizan en los siguientes ejercicios:

a) =

b) : = c) 4 x y + 2 z = 2 z+ 4 x y

d) . =

e) =

f) 3 33 5 4 5 42 .2 2 . 2

10. Resuelve las siguientes expresiones utilizando las propiedades correspondientes y racionaliza resultados, cuando sea necesario

a)

21 13/2 1/2 . . ( : ) y

xyx x

; con x e y ≠ 0

b) 11

5 32

c) 6 (2 3)

2

d)

23 7 2

3

3 .3 . 3

3 .27

11. Dados , resuelve las siguientes operaciones entre números complejos:

a) 1 2 3z z z b) 2 1z z c)

2

2

3

z

z

12- Aplicaciones

a) Volumen del mar: El promedio de la profundidad del mar es de 3,7 . , y la superficie del mar es

de 3,6 . ¿Cuál es el volumen total del mar en litros? (Un metro cúbico contiene 1000 litros). b) Número de moléculas: Un cuarto aislado de hospital mide 5m de ancho, 10m de largo y 3m de alto, se

llena de oxígeno puro. Un metro cúbico contiene 1000 litros y 22.4 litros de cualquier gas contiene

6,02 . moléculas (número de Avogadro) ¿Cuántas moléculas de oxígeno hay en el cuarto? c) Herencia: Un señor decide realizar el reparto de sus bienes a sus tres hijos, antes de morir. Al primero

le otorga la cuarta parte del total, al segundo la mitad del resto. Si al tercero le tocó 300.000$ ¿Dé cuánto era la herencia?

d) Halla a) 50% de 1890………………………………………………………………… b) 15% de 4010………………………………………………………………….. c) 125% de 1000………………………………………………………………… d) 157% de 6300………………………………………………………………… e) 0.5% de 2500…………………………………………………………………

e) Cada porcentaje tienes su número decimal, completa

9

50% 23% 150% 238% 340%

0,50 0,05 2,38 5,62

f) Completa la tabla como en el ejemplo:

TOTAL 300 5020 700 987 540

% 60% 38,8% 55,5%

PARTE 180 1757 414,54

f) En el centro de compras se anuncian las siguientes ofertas. Calcula cuánto gastaré si decido

comprar todas éstas prendas.

13. Halla el valor de z:

a) 3

2 + 2 i = i

z

b)

243 7( 1) zi i

14. Resuelve las siguientes expresiones utilizando las propiedades correspondientes y racionaliza resultados, cuando sea necesario:

a) ( +

b) 1

2 113 2

2

1: . .a a b

a b

; con a y b

c)

15 5

4 4

3 3 3.

812

d)

2

5 3 . 3

8

$234

$95 $33,5

$

$98,5

$110

PRECIOS REBAJADO EL 18 %

10

15. Para cada uno de los siguientes enunciados, sólo una de las respuestas es correcta. Marca con una X la respuesta correcta.

a) El desarrollo de 2

5 2a es:

25 + 4.a 5 + 2

5 + 4 Ninguna Respuesta Anterior es Correcta.

b) Si 2

3i+2=i

iz

, entonces z es igual a :

6

5i

5

6

i Ninguna Respuesta Anterior es Correcta.

c) 2

13 15. 1i i es igual a:

-2 i + 1 2 i + 1 2i -1 Ninguna Respuesta Anterior es Correcta. 16- Simplifica la expresión y elimina todos los exponentes negativos.

a) 4 2 81b . .b . 12.b

3

b) 3 4 5 5.b / .ba a

c) 3 1 6 212.s .t . .s . 16.t

4

17-Escriba, si es posible, como intervalo o unión de intervalos los siguientes conjuntos de números reales:

a) A ={ x / 5 < x < 9}

c) C = { x / x < 2 ó x > 2}

b) B = { x / -1 x 3} d) D = { x / -4< x < 2 y x -1} 18- Resuelve los siguientes ejercicios combinados.

a) 804520

b) 23-4· 223

c) 183285

d)

ba

bacba

3 33

19- Extrae factores del radical

3 43 250x y

5 84 32a b c

2 647. 2 .7

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20-Expresa en forma binómica los siguientes complejos: a) 5 + (− 81 i) b) 3 – ( −100 i) c) 2 + ( − 7 i)

Elaborado por Herrera Adriana, García Betsabé y Racca Estefanía Revisión: Prof. Lescano Mabel

12

TRABAJO PRÁCTICO N° 2: POLINOMIOS-FUNCIONES POLINÓMICAS

Debido a los múltiples inconvenientes que encuentran los estudiantes en primer año fundamentalmente, hacemos hincapié en el tema de factorización para hallar las raíces de un polinomio, pues a partir de ellas se efectúan diversos cálculos interesantes a la hora de realizar los gráficos de las funciones polinómicas Cuando las funciones polinómicas son de grado mayor que dos, sus gráficas parecen ser un poco más complicadas porque tendrás que realizar una tabla con muchos valores para tener una idea de la forma de la función. Sin embargo podemos realizar una gráfica aproximada de un polinomio sin la trabajosa tabla de valores, teniendo en cuenta algunas características de las funciones polinómicas:

Los puntos de contactos entre el gráfico y el eje x son las raíces del polinomio.

Si el polinomio tiene raíces reales distintas la gráfica cruza el eje x.

Si el polinomio tiene raíces reales repetidas (iguales) la gráfica toca el eje x pero no lo cruza (rebota).

En el intervalo formado por raíces consecutivas la gráfica se mantiene sobre el eje x o debajo de él porque el polinomio toma valores positivos o negativos.

El gráfico corta el eje y en el valor del termino independiente. Consideramos un breve repaso de algunas nociones básicas:

Los monomios también se llaman términos y en general trabajaremos con monomios cuyos elementos están afectados por las operaciones multiplicación y potenciación.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas las letras.

nM x ax

Donde a es cualquier número real y n es un número natural.

Si 0a , n es el grado del monomio; si 0a , el monomio es de grado cero. Un polinomio es la suma de monomios de distinto grado, si el polinomio es de dos términos se llama

binomio, de tres, trinomio, etc. El grado de un polinomio es el grado del término de mayor grado. El valor numérico de un polinomio es el que se obtiene al sustituir la indeterminada x por un número

real a y efectuando las operaciones indicadas en el polinomio. 5 4( ) 3x 5 2 9P x x x Cuando 2x

Las operaciones con polinomios cumplen las mismas propiedades que los números reales. 3 2( ) 3 2 5P x x x x ; 2 2( ) 5 3 2 1Q x x x x

P(x) + Q(x) ; P(x).Q(x) ; P(x) - Q(x) Existen algunos productos que aparecen con mayor frecuencia en los cálculos algebraicos y con los que tendrás que familiarizar debido a si interés práctico.

PRODUCTO NOMBRE 2 2 2( )( ) ( ) 2x a x a x a x xa a Diferencia de cuadrados 2 2 2( )( ) ( ) 2x a x a x a x xa a Trinomio cuadrado perfecto 2 2 2( )( ) ( ) 2x a x a x a x ax a Trinomio cuadrado perfecto

3 3 2 2 3( )( )( ) ( ) 3 3x a x a x a x a x x a xa a Cuatrinomio cubo perfecto 3 3 2 2 3( )( )( ) ( ) 3 3x a x a x a x a x x a xa a Cuatrinomio cubo perfecto

Como hemos visto, la adición, la sustracción, y la multiplicación, no presentan mayores inconvenientes. La división de polinomios merece una mención especial. Recordemos que el algoritmo de la división de números reales es

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Esa expresión también es válida en el cociente de polinomios, acompañada por el algoritmo de la división para funciones polinómicas. El algoritmo de la división de polinomios consiste en el conjunto de las siguientes instrucciones: El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el del polinomio divisor, ambos deben tener la misma letra y para poder efectuar la división hay que seguir los siguientes pasos:

1) Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes de la indeterminada. Si falta algún término se completa el polinomio colocando los coeficientes nulos en los términos faltantes o dejando un lugar vacío en el mismo.

2) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente.

3) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.

4) Con el dividendo obtenido en el paso 3), se repiten las operaciones de los pasos 2) y 3) hasta que se obtenga un resto igual a cero o de menor grado que el del divisor.

Regla de RUFFINI Cuando tenemos una división entre un polinomio y un binomio de la forma (x-a), siendo a un número real, se aplica una regla práctica (Ruffini) para encontrar los coeficientes del cociente pues el grado es siempre una unidad menor que el del polinomio dividendo. Ejemplo: Para dividir, aplicando la Regla de Ruffini se deben realizar los siguientes pasos: 1) Colocamos en un renglón solamente los coeficientes del polinomio ordenado en forma decreciente

(completando con ceros si falta algún término) 2) En el renglón que sigue, el 1, que es valor de x con el que el divisor x-1 se hace cero, es decir, el cero o

raíz del polinomio divisor. 3) Las operaciones que se realizan en el esquema son:

a) Bajamos el primer coeficiente donde lo indica la flecha (tercer renglón) b) Los multiplicamos por el número del segundo, el 1, el producto se coloca en ese mismo renglón

debajo del segundo coeficiente. c) Se realiza la operación indicada verticalmente, colocando el resultado en el tercer renglón. d) Se repiten los pasos b) y c) hasta haber trabajado con el último coeficiente. e) El último resultado es el resto y los anteriores son los coeficientes del polinomio cociente. f) Armamos el polinomio cociente ordenado y de un grado menor que el dividendo.

TEOREMA DEL RESTO

El resto (r) al dividir un polinomio por otro de la forma (x-a), siendo a un número real, es igual al valor numérico del polinomio al hacer x=a, es decir P(a), Con x=a el algoritmo de la división resulta:

P(a) = (a-a). C(a) + r =0, por lo tanto, r= P(a)

CÁLCULO DE LOS CEROS O RAÍCES DE UN POLINOMIO. FACTORIZACIÓN.

Recordemos que los ceros de una función f(x), gráficamente son las intersecciones de la misma con el eje x. Decimos que: a es un cero o raíz de P(x) si al calcular P(a) obtenemos por resultado cero. En forma simbólica:

X=a es raíz de P(x) P(a)=0

Es decir, las raíces dan las intersecciones de la gráfica de y= P(x) con el eje x. Se calculan haciendo P(x)=0 Combinemos el teorema del resto y el algoritmo de la división de un polinomio P(x) por un binomio de la forma (x-a):

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P(x)= (x-a). C(x) + P(x), Si P(x)=0 entonces: (*) P(x) = (x-a) . C(x)

¿Cuántas raíces tiene un polinomio dado? Esta pregunta la contesta un teorema, cuya demostración necesita de un conocimiento matemático más avanzado, que se llama: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Todo polinomio de grado n tiene n raíces (reales o complejas, iguales o distintas) Si conocemos de un

polinomio de grado n, sus n raíces y son números reales: 1 2, ,...., xnx x y siendo el coeficiente principal na

podemos escribirlo:

1 2 3( ) ( ).( ).( )...( )n nP X a x x x x x x x x

Y esta expresión es la conocida Descomposición factorial de un polinomio de grado n Es muy importante conocer la descomposición factorial de un polinomio porque es el camino que nos lleva a resolver más adelante las ecuaciones de grado mayor o igual que dos. Además es un recurso muy útil para graficar funciones. La expresión (*) podemos escribirla también así:

1 2 3 2 1( )( ...n n n n n nx a x a x x a x a a Se lee: P(x) es divisible por

(x-a) Decir es divisible por nos asegura que el resto de ese división es cero. Ahora podemos generalizar este concepto para cualquier división entre polinomios diciendo: Si al realizar P(x) : Q(x) = C(x) y el resto es cero entonces P(x) es divisible por Q(x). Este concepto matemático se conoce como Divisibilidad.

A veces un polinomio de grado no nulo es posible expresarlo como producto de polinomios de grado menor, se dice que es un polinomio primo.

La descomposición factorial de un polinomio conocidas sus raíces, no es la única forma de expresar un polinomio como un producto de polinomios primos (factorizar), recordaremos otras maneras que sn muy útiles cuando se trabaja con operaciones entre expresiones algebraicas enteras y fraccionarias, a saber:

FACTOR COMÚN: Dado el polinomio 4 2( ) 2x 4P x x , el mecanismo de extraer factor común es:

La x es la letra común a ambos términos y la extraemos elevada al menor exponente; entre los números también se extraen factores comunes, luego se divide cada término del polinomio por dicho factor común. FACTOR COMÚN POR GRUPO: Dado el polinomio P(x)= ax + ay + bx + by, podemos observar que el primer término tienen de común el factor a, y los dos últimos, el factor b. Encerramos los dos primeros términos entre paréntesis y a los dos términos restantes dentro de otros paréntesis precedidos por el signo +:

ax + ay + bx + by= (ax +ay) + (bx + by) Luego extraemos de cada paréntesis el factor común:

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x +y) Observamos que han quedado dos términos que tienen como factor común (x + y), entonces extraemos ese factor común:

ax + ay + bx + by = (x + y) (a + b) Los polinomios que se pueden factorizar de esta forma cumplen con el siguiente requisito: Los grupos de términos que tienen factores comunes deben tener el mismo número de términos. Si es un polinomio de 6 términos podemos hacer dos grupos de tres términos o también tres grupos de dos términos y llegaremos al mismo resultado.

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Llamamos trinomio cuadrado perfecto a aquel trinomio que factorizado es el cuadrado de un binomio. Un trinomio cuadrado perfecto consta de tres términos, que cumplen con las siguientes condiciones:

1. Dos de los términos son cuadrados perfectos. 2. El término restante es el duplo del producto de las bases de los cuadrados perfectos.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadráticos son siempre positivos, en cambio el termino del duplo del producto de las bases de los cuadrados pueden ser negativo; en cuyo caso es negativo uno de los términos del binomio.

El cuatrinomio cubo perfecto factorizado es el cubo de un binomio. Consta de cuatro términos y cumplen las siguientes condiciones:

1) Dos de los términos son cubos perfectos 2) Un tercer término, es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo. 3) El cuarto término, es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo

cubo. n nx a

SUMA O DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS ELEVADOS A LA n: Factorizar n nx a o

n nx a es un tema muy utilizado en Cálculo, por lo tanto conviene aprenderlo bien ahora para cuando se les presente en sus futuros

cursos y no tengan dificultades en resolverlos. Lo que deben averiguar es si n nx a o x a Son divisibles

por n nx a O por

n nx a ; en ambos casos el secreto está en si n (numero natural) es par o impar Observa:

En n nx a si n es par al aplicar el teorema del resto haciendo x=-a queda: ( ) 2n n n n na a a a a por

lo tanto:

0n na a es un polinomio primo, no se puede factorizar

En n nx a si n es impar al aplicar el teorema del resto para x= -a

( )n n n na a a a =0 por lo tanto: n nx a es divisible por x a , es decir por la suma de las bases de las potencias, y en forma general

queda factorizado así: 1 2 3 2 1( )( ... )n n n n n nx a x a x x a x a a

Debes tener en cuenta que este binomio tan particular solamente tiene una raíz real. Observando el segundo factor: El exponente de x decrece desde n-1 hasta 0, en cambio el de a crece desde 0 hasta n-1. Además los signos de los términos se van alternando.

En n nx a si n es impar al aplicar el teorema del resto para x=a 0n na a por lo tanto: n nx a es divisible por x a , es decir por la diferencia de las bases de las potencias, y en general queda

factorizado así: 1 2 3 2 1( )( ...n n n n n nx a x a x x a x a a )

Este binomio también tiene sólo una raíz real.

Si n es par n nx a es divisible por x a y también por x a , pero generalmente nos conviene factorizarlo como una diferencia de cuadrados porque obtenemos más cantidad de factores. Este binomio tiene dos raíces reales opuestas.

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ACTIVIDADES: 1. Determine los valores constantes de a, b y c para que los polinomios P y Q sean iguales.

a. 3 2(x) (a 2 ) 0,5 (3 ) 1P b x x c d x , 3 2( ) 3 ( ) 4Q x x c d x x a d

b. 4 2( ) (2 3 ) ( ) 7P x x a b x c d x , 4( ) ( ) 5 ( )Q x c d x x a b

2. Dados los siguientes polinomios:

2P(x) 2x x 1 , 3Q( ) 5x x , R( ) 0,3 4x x

Halle si es posible a) ( ) Q(x)P x

b) (2 / 3)P(x) 3Q(x)

c) Q(x) / P(x)

d) P(x).Q(x)

e) P( 1).Q(3) (0)R

3. Aplique la regala de Ruffini para determinar el cociente y el resto en los siguientes casos:

a) 4(2 1) : (1 )x x x

b) 4 2(12 30 30 12) : (6 12)x x x x

c) 3 2( 2 3 ) : (2 )x x x x

4. Divida cada polinomio P por D. Luego exprese ( ) (x).Q(x) ( )P x D R x

3 2( ) 6 30P x x x x a) D( ) 2x x a’) D( ) 3x x

5 4 2P( ) 5 3 2 3x x x x b) 2D( ) 2 1x x x

5. Factor común

a) P( ) (4 / 3) (5 / 3)x x y , donde y es una constante real

b) 2 3T( ) 0,1 3x x x x

c) 3 5R( ) 2x exy x x z , donde y, z, y e son irracionales, siendo este último el número de

Nepper.

6. Factor común por grupos

a) 1ab a b

b) acm adm bcm bdm can and bcn bdn

c) 6 12 27 4 8 18bc cn cm bx nx mx 7. Trinomio cuadrado perfecto

a) 6 4 2 3( ) 2R y y a a y

b) 6 3( ) 5 2 5Q t t t

8. Cuatrinomio cubo perfecto

a) 3 2 2 3( ) 0,027 2,7 90 1000P a a a b ab b , con b R

b) 12 6 12 4 12 3 12 5( ) 27 9 27Q b a b a b a b a b

9. Diferencia de cuadrados

a) 2( ) 2 1P x x

17

b) 23( ) 9

4Q y y

c) 2 2 2( ) 8R x a x b , con a, b R

d) 2( ) ( 2) 1T y y

10. Suma o Diferencia de dos potencias de igual grado

a) 3 3( )P x x a

b) 6 3( ) a bQ x x y

c) 3( ) 125R x x

d) 4( ) 0,01 yS y

11. Factorización de trinomios de la forma 2P( )x ax bx c (a, b, c reales)

a) 2( ) 8 15P x x x

b) 2( ) 3 9 30Q x x x

c) 2( ) 2 36 64T y y y

12. Resuelve:

a) 2

3 3 12

3 3 9

x x x

x x x

b) 3 2 2

2 2

1 1:

2 3 3

x x x x

y xy x y x

13. Escribir al lado de cada gráfica su función polinómica correspondiente.

a) 2 2f ( x ) x x

b) 3 2( ) ( / 5) (4 / 5) (7 / 5) 2f x x x x

c) 1 1

( ) ( 4)(x 1)(x 1)(x 3)14 2

f x x

d) 1

( ) ( 4)(x 1)(x 1)(x 3)(x 2) 220

f x x

a)

18

b)

c)

d)

Elaborado por: Alonso Romina, Barrios Maximiliano, Castro Víctor Revisado por: Prof. Lescano Mabel

19

TRABAJO PRÁCTICO N° 3: FUNCIONES RACIONALES

INTRODUCCIÓN

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente. Una función

racional tiene la forma:

, donde , y además, P y Q son polinomios.

Ejemplo: ; ;

Dominio El dominio de una función racional es el conjunto de los números reales, excepto aquellos para los que

. Analicemos el dominio de las funciones del ejemplo anterior:

la función f no está definida para x=0. Por lo que el dominio de la función es:

la función no está definida cuando , resolviendo la ecuación obtenemos que para x=3 la

función no está definida, luego o también

la función no está definida para x=4, entonces

Asíntotas

Consideremos nuevamente la función

Tanto en la gráfica como en la tabla de valores vemos que a medida que x tiende a cero ya sea por izquierda o derecha, los valores de f(x) se aproximan cada vez más a la recta x=0 pero no la tocan. A la recta x=0 se la llama asíntota vertical de la gráfica.

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Se distinguen tres tipos:

Asíntota Vertical (AV)

Asíntota Horizontal (AH)

Asíntota Oblicua (AO) Ejemplo:

Esta función tiene una asíntota vertical en x=-2 y una asíntota horizontal en y=1

20

Una función racional puede tener más de una asíntota vertical, pero solo una que sea horizontal u oblicua (es decir que si tiene asíntota horizontal entonces no puede tener asíntota oblicua, y viceversa).

La división de polinomios proporciona las asíntotas horizontales u oblicuas.

=

1) Si m<n, hay una asíntota horizontal de ecuación: y = 0.

2) Si m=n, hay una asíntota horizontal de ecuación: y = pm/qn (el cociente de los coeficientes principales).

3) Si m>n, no hay asíntota horizontal; si el grado del numerador es exactamente uno más que el denominador, hay una asíntota oblicua, y su ecuación viene dada por el cociente de la división de los polinomios.

Las asíntotas verticales se dan en los valores que anulan el denominador pero no el numerador.

Ejemplo 1 : 2

2

2 4 5

2 1

x xf x

x x

1) Factorizamos el denominador

2 2

2 2

2 4 5 2 4 5

2 1 1

x x x xf x

x x x

, luego la recta x=1 es una asíntota vertical.

2) Multiplicamos por el inverso de

2 2 2

2

2 2

1 4 52

2 4 5

1 2 12 11

x x xx xf xx x

xx x

Las expresiones fraccionarias 4

x,

2

5

x,

2

x,

2

1

xtienden a 0 cuando x tiende a

Por lo que2

2

4 52

2 0 02

2 1 1 0 01

x xy

x x

, así la asíntota horizontal es la recta y=2

Ejemplo 2: 2 4 5

3

x xf x

x

1) No posee asíntota horizontal porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

2) x=3 es una asíntota vertical.

3) Como el grado del numerador es uno más que el grado del denominador, la función tiene una asíntota oblicua.

2 1 34 5 8 81

3 3 3 3

x xx xx

x x x x

, por lo tanto y=x-1 es la asíntota oblicua

21

Actividades:

1. Dadas las siguientes funciones, complete el cuadro, colocando la función correspondiente a cada gráfica.

Gráfica 1 Gráfica 2

Gráfica 3 Gráfica 4

22

2. Complete el Siguiente Cuadro y Grafique.

f(x) =

f(x) =

Dominio Dominio

Imagen Imagen

Raíz Raíz

Asíntotas Verticales Asíntotas Verticales

Asíntotas Horizontales Asíntotas Horizontales

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad

Intervalos de Crecimiento Intervalos de Crecimiento

Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

FUNCIONES t(x)= 1/(1- ) f(x)=4/(x-2) g(x)= 1/x h(x)=( x-3)/ -9)

Grafico n°

Dominio

Imagen

Asíntotas Horizontales

Asíntotas Verticales

Ceros o Raíz

Intervalo de Positividad

Intervalo de Negatividad

Intervalo de Crecimiento

Intervalo de Decrecimiento

f(x) =

f(x) =

Dominio Dominio

Imagen Imagen

Raíz Raíz

Asíntotas Verticales Asíntotas Verticales

Asíntotas Horizontales Asíntotas Horizontales

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad

Intervalos de Crecimiento Intervalos de Crecimiento

Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

f(x) =

f(x) =

Dominio Dominio

Imagen Imagen

Raíz Raíz

Asíntotas Verticales Asíntotas Verticales

23

Asíntotas Horizontales Asíntotas Horizontales

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad

Intervalos de Crecimiento Intervalos de Crecimiento

Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

f(x) = f(x) =

Dominio Dominio

Imagen Imagen

Raíz Raíz

Asíntotas Verticales Asíntotas Verticales

Asíntotas Horizontales Asíntotas Horizontales

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad

Intervalos de Crecimiento Intervalos de Crecimiento

Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

f(x) =

f(x) =

Dominio Dominio

Imagen Imagen

Raíz Raíz

Asíntotas Verticales Asíntotas Verticales

Asíntotas Horizontales Asíntotas Horizontales

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad

Intervalos de Crecimiento Intervalos de Crecimiento

Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

f(x) =

f(x) =

Dominio Dominio

Imagen Imagen

Raíz Raíz

Asíntotas Verticales Asíntotas Verticales

Asíntotas Horizontales Asíntotas Horizontales

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad

Intervalos de Crecimiento Intervalos de Crecimiento

Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

24

3. Dadas las siguientes funciones marque con una cruz en el casillero la opción correcta.

f(x) =

f(x) =

f(x) =

A. Vertical en y=+4, y= -4 A.Vertical en x=+3,x= -3 A.Horizontal en y=+3,y=0

A. Horizontal en x=+ 4, x= -4 A.Horizontal en y=+3,y=-3 A.Vertical en x=+9, x=-9

A.Vertical en x=+4 A.Horizontal en y=+3 A.Vertical en x=3

A.Vertical en x=-4 A.Vertical en x=-3 A.Vertical en x=+3,x=-3

f(x) =

f(x) =

f(x) =

I de Crecimiento ( I de Crecimiento ( I de Crecimiento (

I de Decrecimiento (-4, I de Decrecimiento (-3, I de Decrecimiento (-3,3)

I de Decrecimiento (

I de Crecimiento (

I de Decrecimiento

I de Crecimiento (4, I de Decrecimiento (

I de Crecimiento

(- ,-3)U(-3,-1)

f(x) =

f(x) =

f(x) =

Cero en y= 4 cero x= ceros x=

cero en x= 2 cero x= 3 ceros: no posee

cero en x=0 ceros: no posee Cero en x=9

Cero en x= -2 ceros x= Cero en x = -9

y =

y =

A Vertical en x=-1, x=1 Dominio: (0, f(0) = 1

A vertical en x=0, x=2 Dominio: IR f(0) = 0

A vertical en x= 1, x=0 Dominio: IR –{1} f(0) = 1/6

A Vertical en x=1, x=2 Dominio: IR- {0,1} f(0) = 6

4. Decir si las siguientes expresiones son equivalentes. Justifica tu respuesta.

; ;

5. ¿Es una expresión algebraica racional? Justifica

6. Con las expresiones P(x) = y Q(x) = calcular:

i) P(x).Q(x) ii) P(x):Q(x) iii) P(x)+Q(x)

7. Unir con flechas

25

i) a.

ii) b.

iii) c.

iv) d.

e. NRA

Elaborado por: Fuenzalida Irene y Lusi Yemina Revisión: Prof. Corrías Celina

26

TRABAJO PRÁCTICO N° 4:

¿Qué es la trigonometría?

El primer paso antes de entrar de lleno en el análisis del significado de la palabra trigonometría es

proceder al establecimiento de su origen etimológico. En este sentido tenemos que exponer que el citado se encuentra en el griego donde podemos observar cómo está formada aquella por la unión de trigonon que equivale a “triángulo”, metron que puede definirse como “medida” y tria que es sinónimo de “tres”. medidas de precisión.

La trigonometría es la subdivisión de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. Esta especialidad interviene en diversas áreas de las matemáticas en las que se necesita trabajar con precisión. Unidades angulares

En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π radianes (algo más de 6,28).

Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales. Mil angular: unidad angular que divide la circunferencia en 6400 unidades.

Transportador en radianes Transportador en grados sexagesimales

Transportador en radianes Transportador en grados sexagesimales

27

Transportador en grados centesimales

La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.

Razones trigonométricas fundamentales

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo α, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

si consideramos una circunferencia de radio 1 tenemos que AB=1 por lo que tenemos

28

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

si consideramos una circunferencia de radio 1 tenemos que AB=1 por lo que tenemos

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

29

ACTIVIDADES: 1. Complete el siguiente cuadro:

Ángulo Medida en el sistema sexagesimal

Medida en el sistema radial

Nulo 0º 0 radianes

Recto 90º

Llano radianes

Giro completo 360º 2 radianes

Α 360

2

2

360

2. Responda, indicando los cálculos necesarios para justificar. ¿Cuántos grados mide aproximadamente

un radián?

3. Convierta a grados la medida de los siguientes ángulos que en el sistema radial miden:

a) 7

6 radianes

b) 2

radianes

c) 6

4 radianes

d) 3

2 radianes

e) 1,84 radianes

f) 4,6 radianes

4. Convierte a radianes los ángulos que en el sistema sexagesimal miden:

a) 0º

b) 20º

c) 120º

d) 340º

e) 82º

f) 270º

30

5. En una circunferencia de radio r = 1 marque un ángulo α = 45º e indique gráficamente cuál es el sen ,

cos y la tg

6. Dibuje dos circunferencias de radio r =1 y otra de r = 2. En ambas dibuje un ángulo de 60º y calcule el

60sen y el cos60 . Saque conclusiones observando las dos gráficas y comparando los resultados obtenidos.

7. Sabiendo que 0,86sen calcule, sin utilizar calculadora, las demás razones trigonométricas

directas e indirectas ( cos , tg , cosec , sec y ctg ).

8. Sabiendo que 1

3tg y que pertenece al segundo cuadrante, halle las demás razones

trigonométricas.

9. Calcula las relaciones trigonométricas directas de α y β 50 cm 30 cm 40 cm 10. Halle las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) 135º

b) 560º

c) 360º

d) 135º

e) 45º 11. Compruebe las siguientes identidades trigonométricas:

a) sec costg ctg ec

b) 2 2 4

2

1cos cos

secsen

c) 22 2cos c cosctg tg

d) sec cosctg ec

e) 2 2 2

2

1sec cos cosec

sen

31

f) 2 3

cos2 3sec

sen

tg

12. Calcule la altura de un árbol que a una distancia de 10m se ve bajo un ángulo de 30º

13. Calcule x e y para los siguiente casos.

32

14. Calcule el valor de y (las longitudes están expresadas en m)

15. Calcula el valor de los lados x e y.

16. Juan y Pedro ven desde las puertas de sus casas una torre bajo ángulos de 45° y 60°. La distancia entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halle la altura de la torre.

33

17. Calcule las relaciones trigonométricas ( sen , cos , tg ) de los ángulos que se mencionan, sin

usar calculadora y apoyándose en el Teorema de Pitágoras. A modo de ejemplo se calculan dos relaciones. Complete la tabla. En caso de ser necesario, racionalice

Ejemplo:

Se toma un triángulo isósceles y se traza la altura “y”, con lo que quedan determinados dos triángulos

rectángulos. Aplicando el Teorema de Pitágoras se calcula el cos60 :

1cos60

2 2

r (cateto adyacente sobre hipotenusa)

160

2 2

rsen (cateto opuesto sobre hipotenusa)

cos30 y

2 2

2 33

4 4 2

r r ry r

3

cos302

r

34

Ángulo sen cos tg

30º

1

2 3

2

45º

60º

1

2

90º

120º

135º

150º

180º

210º

225º

240º

270º

300º

315º

330º

360º

Elaborado por: Blasco Roberto y Saavedra Ivana Revisión: Prof. Julián Martínez Cinca – Prof. Mabel Lescano

35

TRABAJO PRÁCTICO N° 5

Función exponencial: y = k. k: coeficiente de la función. Es un número IR no nulo

a: base de la función. Es un número positivo distinto de 1. Actividad N°1: Determinen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica. En todos los casos, a es un número real positivo.

a.an = a n+1

an.an =

= ( )p

n : a = a n-1

–n =

Actividad N°2: Observa los siguientes gráficos a),b),c) yd).Completa: Dominio, imagen, ceros, conjuntos de negatividad y positividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos. Gráfico a)

Gráfico b)

36

Gráfico c)

Gráfico d)

37

Actividad N°3: Resolver encontrando la función que modelice y graficarla: a) En el banco “Mendoza” se obtiene una tasa de interés del 1,5% mensual por la colocación de dinero a plazo fijo. Un ahorrista deposita $1500. ¿Cuál será el monto de su cuenta después de tres meses? ¿Y después de un año? b) Una sustancia radiactiva pierde el 3% de su masa cada día. Diez días después de comenzada la observación, se tiene 150g de masa. ¿Cuántos gramos de sustancia había al comienzo de la observación? ¿Cuál es el porcentaje de decrecimiento por hora? ¿Y por semana?¿Después de cuánto tiempo se reduce la masa de la sustancia a la mitad? Actividad N°4: Une la función con su asíntota:

y = y = 1/2

y = y = 5

y = + 1/8 y = -3

y = +5 y = 1/8 Actividad N°5: Hallar la fórmula de la función exponencial que pasa por los puntos: *(0,5) y (-1,5/2) *(0,2) y (-3,1/4) *(1,-8) y (-2,-1) *(-2,8) y (1,1) Actividad N°6:

Dadas las funciones f(x) = y g(x)= . Indicar para qué valores de x resulta: a) f(x) > g(x) b) f(x) = g(x)

38

c) f(x) < g(x) Actividad N°7: Hallen los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes igualdades.

=

2 – x.6 = 32x :7

2 – 3x. 2x+1 = 8 x.

Actividad N°8: Resolver las siguientes ecuaciones:

7

7

FUNCIONES LOGARÍTMICAS SON AQUELLAS QUE RESPONDEN A LA FORMA:

loga x y si y sólo si ya x .Siendo a la base y el número x , el argumento.

En donde a debe ser un número positivo. Son las funciones inversas de las funciones exponenciales. En este apartado te proponemos unas actividades que resaltarán lo más importante de este tipo de función. 9) Completar los espacios en blanco. Las siguientes proposiciones corresponden a las propiedades de logaritmos.

=………….., cualquiera sea su base.

Para toda…...……...., = 1.

El logaritmo de un producto :

………………+………………..., para todo x >0 , y>0.

El logaritmo de un cociente :

= …………….-……………….. y , para todo x > o ,y є IR

10) Completar con el valor de verdad de las siguientes proposiciones No existe el logaritmo de un número con base negativa. ………… Existe el logaritmo de cero. …….. El logaritmo de 1 es cero. ………

39

Los números negativos tienen logaritmo. …….. El logaritmo en base “a” es igual al exponente. …… 11) Calcular el valor de Y ,aplicando la definición de logaritmo

a) = y b) y

c) = y

d) = y

12) Resolver aplicando las propiedades

a. )=

b. =

c. + =

13) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

a) = 2

b) = 0

c) = d) 2. =

e) 3 =

f) =

13) Observa las siguientes funciones y determina

40

Función

f(x)= log(x- 2) g(x)= ln(x - 2) h(x)=

Dominio

Imagen

Asíntota

14) Indicar la fórmula apropiada para la función logarítmica del tipo:

que pasa por los puntos: o (4,1) y p ( 10,2)

y =

y =

y =

y =

15) Plantear y resolver: a) La población de cierta ciudad es de 80.000 habitantes. Si aumenta 5% cada año, estimar cuál será la población al cabo de 10 años. b) Un automóvil comprado en $ 35.000 disminuye su valor en un 12 % cada año. Calcular su valor al cabo de 6 años.

Elaborado por: Córdoba Cecilia y Madrid Melisa

Revisado por: Prof. Zárate Érika

41

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA PARA CONSULTA:

James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (2009) Precálculo. Quinta Edición. Editorial: Cengage Learning

42

GRILLA DE RESPUESTAS: TRABAJO PRÁCTICO N° 1 1)

a)

b)

c)

d)

e) Infinitos

f) Infinitas cifras decimales no periódicas

g) Un número racional.

2)

a) b=0

b) c<a<b

c) Las cantidades de café brasileño y colombiano son las mismas.

d) El premio era de $20.000. El apostador que más ganó obtuvo $ 8.250

e) Todas las respuestas anteriores son correctas

f) b-a = - 3

g) 200m

3)

a) 101

92

b) 49

170

c) 5489

225

4)

a) 7

2;2

b) 5 2

;2 3

c) 4;4

d) 1

;4,52

e) 0,5;

f) ;2,75 3,25;

g) 1

; 3;3

Gráficos a)

43

b)

c)

d)

e)

f)

g)

5)

a) ;4A C

b) 3

5;2

B C

c) 3

( ) 5;2

A B C

Gráficos

a)

b)

44

c)

6)

a) F

b) F

c) F

7)

a) .

)(m

n mnaa

b) . .m m ma b a b

c) 7

d) 8

2

e) 3 - 2

f) 8

9

g) 3 1x

a

8) Propiedades de la potenciación, Asociatividad de la adición, Recíproca de la distributiva, División

de potencias de igual base, Simplificación, Regla de los signos, Inverso multiplicativo en .

9)

a) Distributiva de la potencia respecto del producto.

b) División de Potencias de bases iguales.

c) Conmutativa de la adición.

d) Multiplicación de potencias de igual base.

e) Potencia de otra potencia.

f) Distributivad de la raíz respecto del producto.

10)

a) 2

x

y

b) 5 3

4

c) 3+2 3

d) 9 3

11)

45

a) 2 i

b) - 5+2 2i

c) 2 2 i

12)

a) 211,332 10 litros

b) 274,03 10 moléculas

c) $800.000

d) a)945 b)601,5 c)1250 d)9891 e)12,5

e)

50% 23% 5% 150% 238% 340% 562%

0,50 0,23 0,05 1,50 2,38 3,40 5,62

f)

TOTAL 300 5.020 700 987 540

% 60% 35% 38,8% 42% 55,5%

PARTE 180 1,757 271,6 414,54 299,7

g) Total de gastos $ 468,22

13)

a) 1

z= -1+2

i

b) z= i

14)

a) 5 3

10

b) 13 6 2

.a b

c) 42

273

d) 7 3

6 302 2

15)

a) Ninguna es correcta

b) Ninguna es correcta

c) Ninguna es correcta

16)

46

a) 2

4

b

b) 2a

b

c) 98.s .t

17)

a) 5;9

b) ; 2 2;

c) 1;3

d) 4; 1 1;2

18)

a) 5

b) 24 - 17 2

c) -160

d) 2

6.

ba c

b

19)

a) 35xy 2y

b) 2 42ab . 2ac

c) 47 14

20)

a) 273 31́ 56,2"z=81,15 forma polar

b) 88 16´54"z=100,044 forma polar

c) 285 56´43,4"z=7,28 forma polar

47

GRILLA DE RESPUESTAS:TRABAJO PRÁCTICO N° 2 1)

a) 13 1 7 5

, , ,4 8 4 4

a b c d

b) 21, 14, 3, 2a b c d

2)

a) 3 2( ) ( ) 2 6P x Q x x x x

b) 3 22 4 2 46( ) 3 ( ) 3

3 3 3 3P x Q x x x x

c) ( ) 1 1

( ) 2 4

Q xx

P x

d) 5 4 3 2( ). ( ) 2 10 5 5P x Q x x x x x x

e) ( 1). (3) (0) 4P Q R

3)

a) 3 22 2 2 1x x x

b) 3 22 4 3 1x x x

c) 2x x

4)

a) 2( 8 15).( 2) 0x x x

a’) 2( 9 26).( 3) 48x x x

b) 3 2 25 1 11 7 29 55( ).(2 1)2 4 8 16 16 16

x x x x x x

5)

a) 1

( ) (4 5 )3

P x x y

b) 2( ) (0,1 3 1)T x x x x

c) 2 4( ) ( 2 )R x x ey x x z

6)

a) ( 1).( 1)b a

b) ( ).( ).( )a b m n c d

c) (2 4 9 ).(3 2 )b n m c x

7)

a) 3 2 2( ) ( )R y y a

b) 3 2(t) ( 5 )Q t

8)

a) 3( ) (0,3 10 )P a a b

48

b) 12 3 3( ) . .(3 1)P b a b b

9)

a) ( ) ( 2 1).( 2 1)P x x x

b) 3 3

( ) ( 3).( 3)2 2

Q y y y

c) ( ) ( 8 ).( 8 )R x ax b ax b

d) ( ) 2 1 . 2 1T y y y

10)

a) b) c) d)

11) a) ( ) ( 3)(x 5)P x x

b) ( ) ( 5)(x 2)Q x x

c) ( ) ( 2)( 16)T x x x

12)

a) ( ) 0P x

b) 23( 1)

( )( ).( 1)

xP x

y x x

13)

La función (a) corresponde a la gráfica (d) La función (b) corresponde a la gráfica (a) La función (c) corresponde a la gráfica (b) La función (d) corresponde a la gráfica (c)

49

GRILLA DE RESPUESTAS:TRABAJO PRÁCTICO N° 3

Ejercicio 1:

FUNCIONES t(x)= 1/(1- ) f(x)=4/(x-2) g(x)= 1/x h(x)=( x-3)/(x2-9)

Grafico n° 4 3 1 2

Dominio Imagen Asíntotas Horizontales

y = 0 y = 0 y = 0 y = 0

Asíntotas Verticales

x = 1; x = -1 x = 2 x = 0 x = -3

Ceros o Raíz No tiene Raíz No tiene Raíz No tiene Raíz No tiene Raíz

Conjunto de Positividad

Conjunto de Negatividad

Intervalos de Crecimiento

No crece No crece

Intervalos de Decrecimiento

Ejercicio 2

a)F(x) =

b) F(x) =

Dominio Dominio Imagen Imagen Raíz x = 0 Raíz No posee

Asíntotas Verticales No posee Asíntotas Verticales x = 2

Asíntotas Horizontales

No posee Asíntotas Horizontales y = 0

Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Negatividad

Conjuntos de Negatividad

Intervalos de Crecimiento

Intervalos de Crecimiento No crece

Intervalos de Decrecimiento

No decrece Intervalos de Decrecimiento

c) F(x) =

d) F(x) =

Dominio Dominio Imagen Imagen Raíz x = -2 Raíz x = -2

Asíntotas Verticales x = 1; x = -1 Asíntotas Verticales x = 1

Asíntotas Horizontales y = 2 Asíntotas Horizontales y = 1

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad

50

Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad Intervalos de Crecimiento Intervalos de Crecimiento No crece

Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

e)F(x) =

f) F(x) =

Dominio Dominio Imagen Imagen Raíz x = -5 Raíz x = -5

Asíntotas Verticales x = 0 Asíntotas Verticales x = -4; x = 4

Asíntotas Horizontales y = 1 Asíntotas Horizontales y= -1,7

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad Intervalos de Crecimiento No crece Intervalos de Crecimiento Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

g)F(x) =

h) F(x) =

Dominio Dominio Imagen Imagen Raíz x =-1,42; x =1,42 Raíz x = -1 ; x = 2

Asíntotas Verticales

x = -3; x = 3 Asíntotas Verticales x = -4 ; x = 3

Asíntotas Horizontales

y = 2 Asíntotas Horizontales y = 2

Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Negatividad

Conjuntos de Negatividad

Intervalos de Crecimiento

Intervalos de Crecimiento

Intervalos de Decrecimiento

Intervalos de Decrecimiento

i)F(x) =

j) F(x) = =

Dominio Dominio Imagen Imagen y = -1/2

Raíz x = -4 Raíz No posee

Asíntotas Verticales x = 4 Asíntotas Verticales No posee

Asíntotas Horizontales Y= -0,06 Asíntotas Horizontales No posee

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad No Posee

Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad Intervalos de Crecimiento No Crece Intervalos de Crecimiento No crece

Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento No decrece

51

k)F(x) =

l) F(x) =

Dominio Dominio Imagen Imagen Raíz No tiene Raíz x = -1

Asíntotas Verticales x = -1 Asíntotas Verticales x = 5

Asíntotas Horizontales y = 0 Asíntotas Horizontales No tiene

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad Intervalos de Crecimiento No Crece Intervalos de Crecimiento I= (7,5 ;

Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

Ejercicio n°3

a) F(x) = A. Vertical en x=-4

b) F(x) = A. Vertical en x=-3

c) F(x) = A. Vertical en x=+3,x=-3

d) F(x) = I de Decrecimiento ( (4,

e) F(x) = I de Crecimiento (

f) F(x) = I de Crecimiento (

g) F(x) = Cero o Raíz en x= 2

h) F(x) = Cero o Raíz en x= 3

i) F(x) = Ceros: No posee

j) F(x) = A vertical en x= 1, x=0

52

k) F(x) = Dominio :

F(x) = f(0)=

Ejercicio 4 Las expresiones son equivalentes, si factorizamos la segunda y tercera expresión quedan igual a la primera. Ejercicio 5

No es una expresión algebraica racional pues en el denominador tenemos la expresión que no es un polinomio. Ejercicio 6

i)

ii)

iii)

Ejercicio 7 i) d)

ii) a)

iii) b)

iv) c)

Gráficas ejercicio 2 Gráfica (a) f(x) = (x2+3x)/(x+3)

53

Gráfica (b) f(x) = (x+5)/(x2+3x-10)

Gráfica (c) f(x) = (x+2)/(1-x

2)

Gráfica (d) f(x) = (x+2)/(x-1)

Gráfica (e) f(x) = (x+5)/x

54

Gráfica (f) f(x) = (5x+25)/(x2-16)

Gráfica (g) f(x) = (2x

2-4)/(x

2-9)

Gráfica (h) f(x) = (2x

2-2x-4)/(x

2+x-12)

Gráfica (i) f(x) = (x+4)/(x3-64)

55

Gráfica (j) f(x) = (9-x2)/(2x

2-18)

Gráfica (k) f(x) = 1/(x+1)

Gráfica (l) f(x) = (3x3+x+4)/(x-5)

56

GRILLA DE RESPUESTAS:TRABAJO PRÁCTICO N° 4

1) Complete el siguiente cuadro:

Ángulo Medida en el sistema sexagesimal

Medida en el sistema radial

Nulo 0º 0 radianes

Recto 90º л/2 radianes

Llano 180º Л radianes

Giro completo 360º 2л radianes

Α α=(360º/2л).α α=(2л/360º).αº

2) ¿Cuántos grados mide aproximadamente un radián? α=(360º/2л).α α= 1 radián = (360º).1radian = 57º 17’ 2л radianes 3) Convierte a grados la medida de los siguientes ángulos que en el sistema radial miden:

g) 7/6 л radianes: 66º 50’ 42’’ h) л/2 radianes : 90º i) 6/4 л radianes: 85º 56’ 37’’ j) 3/2 л radianes: 85º 56’ 37’’ k) 1,84 radianes: 105º 25’ 27’’ l) 4,6 radianes: 263º 33’ 38’’

4) Convierte a radianes los ángulos que en el sistema sexagesimal miden:

g) 60º : 1,047 rad. h) 20º : 0,349 rad. i) 120º : 2,094 rad. j) 340º : 5,93 rad. k) 82º : 1,431 rad. l) 270º : 4,712 rad.

5) En una circunferencia de radio uno (1) marque un ángulo de 45º e indique gráficamente cuál es el sen, cos y la tg del ángulo mencionado.

57

6) Dibuje una circunferencia de radio uno (1) y otra de radio (2). En ambas dibuje un ángulo de 60º y calcule el sen 60º y el cos 60º en las dos circunferencias. Saque conclusiones observando las dos gráficas y comparando los resultados obtenidos.

58

Tomamos primero la circunferencia de radio 1: ▲ La hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma FAE mide 1 Por el teorema de Pitágoras tenemos : Hip2= (Cat. Op.)2 + (Cat. Ady.)2

Reemplazando por los valores de la gráfica : 12 = (Cat. Op.)2 + 0,52

Despejando (Cat. Op.)2 = 1 – 0,25 = 0,75 Cat. Op. = √0,75 = 0.866 Entonces: sen 60º= Cat. Op = 0,866 = 0,866 Hip. 1 cos 60º = Cat. Ady. = 0,5 = 0,5 Hip. 1 En la circunferencia de radio 1 tenemos: sen 60º = 0,866 cos 60º = 0,5 Tomamos luego la circunferencia de radio 2: ▲ La hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma GAD mide 2 Por el teorema de Pitágoras tenemos : Hip2= (Cat. Op.)2 + (Cat. Ady.)2

Reemplazando por los valores de la gráfica : 22 = (Cat. Op.)2 + 12

Despejando (Cat. Op.)2 = 4 – 1 = 3 Cat. Op. = √3 = 1,732 Entonces: sen 60º= Cat. Op = 1.732 = 0,866 Hip. 2 cos 60º = Cat. Ady. = 1 = 0,5 Hip. 2 En la circunferencia de radio 2 tenemos: sen 60º = 0,866 cos 60º = 0,5 Conclusión: Los valores de sen y cos de un ángulo son independientes del valor del radio de la circunferencia utilizada para calcularlos. 7) Sabiendo que sen α = 0,86 ; calcula las demás razones trigonométricas directas e indirectas (cos, tg, cosec, sec y cotg) Utilizamos la relación trigonométrica fundamental : sen2 α + cos2 α = 1 cos α = √ 1- sen2 α = 0,51 tg α = sen α = 1,68 cotg α = cos α = 1 = 0,59

59

cos α sen α tg α cosec α = 1 = 1,16 sec α = 1 = 1,96 sen α cos α 8) Sabiendo que tg α = -1/√3 ; y que α está en el 2º cuadrante, halla las demás razones trigonométricas. tg α = -1 = - 0,5773 arc tg -0,5773 = 150º √3 sen 150º= 0,5 cos 150º= -0,866 cosec 150º= 2 sec 150º= -1,15 cotg 15º= -1,73 9) Calcula las relaciones trigonométricas directas de α y β 50 cm 30 cm 40 cm sen α = 40 cm = 0,8 cos α = 30 cm = 0,6 tg α = 40 cm = 1,33 50 cm 50 cm 30 cm sen ß= 30 cm = 0,6 cos ß = 40 cm = 0,8 tg ß = 30 cm = 0,75 50 cm 50 cm 40 cm 10) Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

f) 135º g) 560º h) 360º i) 45º

135º 560º 360º 45º

sen 0,707 -0,342 0 0,707

cos -0,707 -0,939 1 0,707

tg -1 0,363 0 1

cotg -1 2,754 ∞ 1

cosec 1,414 -2,923 ∞ 1,414

sec -1,414 -1,065 1 1,414

11) Comprobar las siguientes identidades:

60

g) tg α + cotg α = sec α . cosec α

sen α + cos α = __1_ . __1__ cos α sen α cos α sen α sen2α + cos2α = ____1_____ cos α . sen α cos α . sen α sen2α + cos2α = 1

h) 1/sec2 α = sen2 α . cos2 α + cos4 α cos2 α = cos2 α (sen2 α + cos2 α) cos2 α = cos2 α . 1 cos2 α = cos2 α

i) cotg2 α = cos2 α + (cotg α . cos α)2 _ 1__ = cos2 α + ( _1__. cos α)2 tg2 α tg α _ 1__ = cos2 α + cos2 α tg2 α tg2 α _ 1__ = cos2 α ( 1 + ___1_ ) No se cumple la igualdad tg2 α tg2 α

j) cotg α . sec α = cosec α

1 _ . __1__ = __1__ tg α cos α sen α cos α . __1__ = __1__ sen α cos α sen α __1__ = __1__ sen α sen α

k) sec2 α + cosec2 α = 1/ sen2 α . cos2 α __1___ + __1____ = _____1________ cos2 α sen2 α sen2 α . cos2 α sen2 α + cos2 α_ = _____1_______ cos2 α . sen2 α sen2 α . cos2 α sen2 α + cos2 α = 1

l) (2 sen α + 3) / (2 tg α . 3 sec α) = cos α (2 sen α + 3)___ = cos α 2 sen α . __1___ cos α 3 cos α (2 sen α + 3). cos2 α = 3 cos α sen α 2 2 sen α . cos2 α + 3 cos2 α = 3 cos α sen α 2 No se cumple la igualdad

12) Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.

61

tg 30º = ___y___ → y = tg 30º . 10 m = 0,577 . 10 m = 5,77 m 10 m y = 5,77 m 13) Calcula x e y:

tg 30º = ____y____ → y = tg 30º . (x + 40 m) 1 x + 40 m tg 47º = y → y = tg 47º . x 2 x De 1 y 2 : tg 30º . (x + 40 m) = tg 47º . x x . tg 30º + 40 m . tg 30º = x . tg 47º x . tg 47º - x . tg 30º = 40 m . tg 30º x . (tg 47º - tg 30º) = 40 m . tg 30º x = 40 m . tg 30º = 46,65 m x = 46,65 m (tg 47º - tg 30º) y = tg 47º . x = 1,07236 . 46,65 m = 50,03 m y = 50,03 m 14) Calcula x e y

62

x = 115,47 y = 57,73

15) Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m).

y = 7,75

16) Calcula el valor de los lados x e y.

x = 2,64 m y = 1,96 m

17) Juan y Pedro ven desde las puertas de sus casas, una torre, bajo ángulos de 45° y 60°. La distancia entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.

63

h = 79,88

18) Calcular las relaciones trigonométricas (sen, cos, tg) de los ángulos que se mencionan, sin usar calculadora y apoyándose en el Teorema de Pitágoras. A modo de ejemplo se calculan dos relaciones. Completar la tabla. En caso de ser necesario, racionalice. Ejemplo:

Se toma un triángulo isósceles y se traza la altura “y”, con lo que quedan determinados dos triángulos rectángulos. Aplicando el Teorema de Pitágoras calculo el cos 60º: cos 60º= r/2 = ½ (cateto adyacente sobre hipotenusa) r sen 60º = r/2 = ½ (cateto opuesto sobre hipotenusa) r cos 30º = y y= √r2-r2/4 = √3r2/4 = r.√3 cos 30º = r.√3 = √3 r 2 2.r 2

ángulo sen cos tg

30º

½

√3 2

√3 3

45º

√2 2

√2 2

1

60º

√3 2

½

√3

64

90º

1

0

∞

120º

√3 2

- ½

-√3

135º

√2 2

-√2 2

-1

150º

½

-√3 2

-√3 3

180º

0

-1

0

210º

-½

-√3 2

√3 3

225º

-√2 2

-√2 2

1

240º

-√3 2

-½

√3

270º

-1

0

-∞

300º

-½

√3 2

-√3 3

315º

-√2 2

√2 2

-1

330º

-√3 2

½

-√3

360º

0

1

0

65

GRILLA DE RESPUESTAS:TRABAJO PRÁCTICO N° 5 1)

V,F,V,V,F 2)

Gráfico D(f) I(f) C(+) C(-) Intervalo de crecimiento

Intervalo de decrecimiento

IR IR IR(decrecen)

IR IR IR

IR IR IR

IR IR IR

IR IR IR

IR IR IR

IR IR IR(crece)

IR IR IR

IR IR IR

IR IR IR

IR IR IR(decrece)

IR IR IR(crece)

IR IR IR(decrece)

3) a)

,pues cada mes aumenta 1,5% entonces obtiene 100%+1,5%=101,5%.

Quedando .

b) Sabemos que disminuye el 3% diario, entonces cada día queda 97% de la sustancia de lo que había el día anterior. En consecuencia la masa se debe multiplicar por 0,97.Para calcular la masa inicial nos dan datos: 10 días después la masa es de 150g.Entonces:

Luego: 4)

y=

+

+5

5) La fórmula es , entonces nuestro primer punto es (0,5)

Ahora hay que averiguar , para ello usamos el segundo punto

66

Para los puntos (1,-8) y (-2,-1) la fórmula es:

(0,2) y (-3,1/4) la fórmula es

(-2,8) y (1,1) la fórmula es

6)

7)

Propiedad de la potenciación

Aplicamos a ambos miembros propiedad de los logaritmos

Pasaje de términos

Luego, verificamos:

Luego, se cumple la igualdad para 11

7x

Rta:

Rta:

Rta:

8)

Rta:

Rta:

Definimos que:

Resolvemos la ecuación de 2º grado

Luego, No existen los logaritmos de números negativos, por lo tanto este valor no nos sirve.

67

Entonces de (1)

Rta:

Rta:

9) a: 0, b: a, c: y

10) V, f, v, v, f 11) a. y=5 b. y=2 c. y=-7

d. 6

12)

y=-1

y=6,77

13)

x=11/3

x=1

x=-2

Por definición de logaritmo

Luego para x=0

no existen log de nº negativos

Entonces solo podemos usar x=5

x=42

14) D(f)=(2, , I(x)=IR, asíntota vertical x=2

D(f)=(2, , I(x)=IR, asíntota vertical x=2

D(x)= (-1, ), I(x)=IR, asíntota vertical x=-1

15) Según la fórmula 16) a: 120000 b: 9800