Questão 1Questão 1: Seja M uma matriz quadrada de ordem 3. Sabendo

que det(M) = 10, calcule: a) det(Mt) tdet(M )=det(M 0)=1

b) det(M-1) - 1- 1 1det(M )=det(M) = =

det(M)1

10

c) det(B)

2a 2b 2c

3d 3e 3f

- 5g - 5h - 5i

det(B)=det(M)×2×3×(- 5)=

=det(M)×(- 30) 0=- 30

3

det(4M)=det(M)×4×4×4=

=4 ×det(M)=64×10 0=64

d) det(4M)

4a 4b 4c

4d 4e 4f

4g 4h 4i

Questão 2Questão 2: Na figura a seguir, ABE e BCD são triângulos equiláteros de lados 4 e 6, respectivamente.

A B C

D

E

A área do quadrilátero ACDE é

(A) (B) (C) (D) (E)3192

3192

19 2 19 319

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

L

LL

60o

60o

60o

h

L 3h =2

2L 3A =

4

ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER

b

h

b b b

ah h

x xBASE ALTURA b hÁREA = =2 2

a b sen. .ÁREA =2

a

ha =3

A B C

D

E

4

64

466

60o

60o

60o 60o

60o

60o

2

ABE4 3A =

4 ABEA =4 3

2

BCD6 3A =

4 BCDA =9 3

60o

BDEA =6 3

+

+

ACDEA 19 3

04.6.sen 602

BDEA

Questão 3Questão 3: Determine o número de soluções para a

equação .

Tem concavidade voltada para baixo (a < 0).

Suas raízes são 2 e –2.

Seu vértice é o ponto (0, 1).

' "

V V

V V

b x xx ou x

2a 2

y f x4a

g(x) = cos(2x)

Sua imagem é [-1, 1].

Seu período é .

2 2

P = P = =k 2

kf(x) g(x)

2x

1 cos 2x4

2-x +1= cos 2x

4

2-x

f x = +14

g(x) = cos(2x)

2-x

f x = +14

f(x) = g(x)

2x

14

cos 2x

As soluções da equação correspondem às abscissas das intersecções entre os dois gráficos.

Assim, a equação possui 3 soluções.

Questão 4: Marque a alternativa que apresenta coerência entre as formas das taças e seus respectivos volumes.

(A) 1 litro, 2 litros, 3 litros

(B) 1 litro, 2,5 litros, 3 litros

(C) 1 litro, 2 litros, 4 litros

(D) 2 litros, 3 litros, 4 litros

(E) 2 litros, 3 litros, 6 litros

VOLUMES DE PRISMAS E CILINDROS

VOLUME = ÁREA DA BASE x ALTURA

h

VOLUMES DE PIRÂMIDES E CONES

xÁREA DA BASE AVOL LTUME= URA3

h

ESFERAS E SEMIESFERAS

ESFERA

34V R3

ESFERA

SEMIESFERA

VV2

ESFERA2A 4 R

1

1

1

1

1

1

2R .hV=3

2V= R .h

3

RV=

2

CONEV =3 3

3V= =V=

3

CILINDRO CONEV 3. VSEMIESFERA CONE V 2. V

Questão 5Questão 5: As circunferências que se interceptam são tangentes entre si. Se o raio das circun-ferências de centro A e B mede 8 e se as menores têm o mesmo raio, calcule o valor da área sombreada.

x

x

8 4x

8

4x - 8

2 2 2x 8 4x 8 x

Resolvendo a equação, temos como solução x = 5.

Dessa forma, as circunferências menores têm raio 5 e a maior tem raio 20.

x

x + 84x - 8

2 2 2= 20 - 4 5 - 1722 8 =

Questão 6Questão 6: Calcule o volume do maior cubo que pode ser inscrito em uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 3 e altura 6.

6 3

6

6 18 3 9 18 2

ALTURA ARESTA

altura aresta L L

L L L L

3 82 Volume LL

Questão 7Questão 7: Considere a figura, onde A é a esfera maior e B a menor. A distância entre os centros das duas esferas é igual à distância do centro de B ao vértice do cone. As esferas são tangentes entre si e à superfície lateral do cone. Calcule a razão entre os volumes de A e B.

RETA TANGENTE ÀCIRCUNFERÊNCIA

Perpendicular ao raio noponto de tangência

R

r

d

d

R 2d

r dR

Logo, 2 R 2r.r

Se a hipotenusa dobrou ...

... o raio também dobrou!

Razão de Semelhança para polígonos e sólidos semelhantes

GRANDE GRANDE

PEQUENO PEQUENO

COMP ÁREA=

COMP ÁREA

GRANDE GRANDE

PEQUENO PEQUENO

COMP VOLUME=

COMP VOLUME

( )2

( )3

3 33A A

B B

Volume Raio RLogo, 2 8.

Volume Raio r

Questão 8Questão 8: Calcule a distância entre os centros das circunferências de raio 3 e tangentes à reta 4x+3y=0, sendo os centros pertencentes ao eixo das ordenadas.

PONTO PERTENCENTE AOEIXO DAS ORDENADAS

RETA TANGENTE ÀCIRCUNFERÊNCIA

P = (0, y)

A distância do centro da circunferência à reta

tangente é igual ao raio

DISTÂNCIA DE PONTO À RETA

Reta na forma geral Ax + By + C = 0 e ponto P = (x0, y0).

2 2

0 0A.x +B.y +Cd=

A + B

Reta t: 4x + 3y = 0, ponto P = (0, y) e raio 3

2 2

4.0+3.y+03=

4 +3

A = 4, B = 3, C = 0, x0 = 0, y0 = y e d = 3

3y3=

53y 15

3y 15

3y = 15

3y = -15

y = 5

y = -5

C1 = (0, 5)

C2 = (0, -5)

+

-

Reta t

C1

C2

5

-5

10

Questão 9Questão 9: Num trapézio isósceles, as bases medem 2 e 8; a

altura mede 4. Qual é o volume do sólido (ou a área lateral)

obtido(a) ao girarmos esse trapézio em torno de sua base

menor?

28

Observe o trapézio isósceles abaixo.

A rotação desse quadrilátero em torno de sua base menor produz um sólido que pode ser analisado a partir do cilindro e cones “formados”.

Há um cilindro cuja altura é 8 e o raio da base é 4.

Há dois cones que estão inseridos “dentro” do cilindro. Em cada um deles, o raio da base é 4 e a altura é 3.

Assim, podemos calcular o volume desse sólido.

2´ Cilindro ConeSo lidoV V .V

22 4 34 8 2

3´So lido

. .V . . .

128 63 92´So lidoV

2

3

3

4

4

4

4

2

3

.r .h

2.r .h

3

3

284

5

Da mesma forma, podemos calcular a área lateral desse sólido, analisando o cilindro e os cones “formados”.

Há o cilindro cuja altura é 8 e o raio da base é 4.

Há os cones que estão inseridos “dentro” do cilindro. Em cada um deles, o raio da base é 4 e a altura é 3.

A geratriz de cada um desses cones mede 5.

Assim, podemos calcular a área lateral desse sólido.

2Lat Lat Cilindro Lat ConeA A .A

2 4 8 2 4 5LatA . . . . . .

64 40 104LatA

.r.g

2. .r.h