Questões resolvidas de matemática

Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves

1

(01) Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao mesmo tempo em que um poste de 12 m projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo?

Solução

Pela semelhança de triângulos, temos:

(02) Um terreno foi dividido em lotes com frentes para a Rua 01 e para a Rua 02, como você vê na ilustração abaixo. As laterais dos terrenos são paralelas. Calcule os valores de x, y e z.

𝑥

𝑦

5

𝑧

5

5

𝑦 8

5 𝒚 𝟏𝟖 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔

𝑧 8

5 𝒛 𝟐𝟒 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔

Solução

Aplicando o Teorema de Tales, temos:

x = 540

45 𝒙 𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔


2

(03) Na praça central de uma cidade foi construído um obelisco, em forma de cruz, conforme mostra figura abaixo. A cruz é compacta e construída com cubos de alumínio de arestas iguais a 80 cm. O volume de alumínio usado para construir somente a cruz foi de: a) 5,12 m³ b) 4,80 m³ c) 4,48 m³ d) 4,16 m³ e) 3,84 m³

(04) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade. O seu volume, em litros, é: a) 3.750. b) 37.500. c) 375.000. d) 3.750.000. e) 37.500.000.

𝑉𝑑𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧 𝑎3 𝑉𝑑𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧 8 3

𝑉𝑑𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧 5. . 𝑐𝑚³ 𝑽𝒅𝒂 𝒄𝒓𝒖𝒛 𝟓,𝟏𝟐 𝒎³

Solução

A cruz é formada por 10 cubos de aresta 80 cm

cada um.

Resposta: letra (a)

𝑉 𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑉 5 . 5.3 𝑉 375 𝑚3

𝑉 3.75 . 𝑑𝑚³

Solução

A piscina tem a forma de um paralelepípedo retângulo,

logo:

Como: 1 dm³ = 1 litros

Resposta: 3.750.000 litros, letra (d).


3

(05) Calcule área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas na figura abaixo.

Solução

Sabemos que quando conhecemos os três lados (diferentes) de um triângulo, a área

dessa região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron.

Vejamos:

(1) Cálculo do semiperímetro do triângulo:

3 8

3

,

(2) Cálculo da área do triângulo:

√ (Fórmula de Heron)

√ 5,5 5,5 3 5,5 8 5,5

√ 5,5 ,5 7,5 5,5

√ 598, 375

,

(06) Qual é a área da região triangular limitada pelo triângulo cujas medidas estão indicadas na figura abaixo?


4

Solução

Quando conhecemos dois lados de um triângulo e o ângulo formado por eles, a área

da região triangular é dada por:

.

. ̂ (“a” e “b” são os lados conhecidos e ̂ o ângulo formado por eles).

Logo:

.

. ̂

.

. 3 5 ,5

(07) Sabe-se que é a medida (em graus) de um dos ângulos internos de um

triângulo retângulo. Se sen

, cos e a hipotenusa do triângulo mede 20

cm, determine sua área. Solução

Note que:

0, logo:

5

cos

Note que cos

0

𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑘

𝑘

𝑘 𝑘

𝑘

𝑘 𝑘 𝑘

5𝑘 𝑘 3

∆ 6 ∆ 6

𝑘 ± 6

𝑘

± 8

𝑘′

3

5, 𝑘" 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒

𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑘

𝑠𝑒𝑛 𝜃

35

𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝟒

𝟓


5

3

5

Cálculo da área do triângulo:

.

6.

(08) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos

considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual é a

estimativa do número de pessoas presentes numa praça de 4.000 m² que tenha

ficado lotada para um comício, segundo essa avaliação?

Solução

Esse problema pode ser solucionado através de uma regra de três simples:

(09) Um mapa é feito em uma escala de 1 cm para cada 200 km. O município onde se encontra a capital de certo estado está representado, nesse mapa, por um losango que tem um ângulo de 120° e cuja diagonal menor mede 0,2 cm. determine a área desse município. Dado: 3 ,7.

Solução


6

Note que a área do município equivale ao dobro da área de um triângulo equilátero

de lado igual a 40 km:

. 3

.

3

6 3

8 3 8 . ,7

(10) O lado, o semiperímetro e a área de um hexágono regular formam, nessa ordem, uma PG. Determine o apótema desse hexágono.

Solução

PG (L, 3L,

)

3

3 3

3 3

3

3 6

Cálculo do apótema:

No triângulo vermelho, temos:

(

)

3

3( 3)

3. .3

9

𝑆 6.𝐿 3

𝑺 𝟑

𝑳 𝟑

𝟐

Lado = L

Semiperímetro = 3L

Área do hexágono:


7

(11) Calcule a área da região colorida na figura abaixo.

(2) Área da região triangular:

. 6.6. 5

. 36.

(3) Área do segmento circular:

9

9

9 8

√

(12) O perímetro do quadrado ABCD da figura abaixo é 32 cm. Calcule a área da região colorida (amarelo) da figura.

(2) Cálculo da área do círculo de raio igual a 4 cm.

.

𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝜋𝑅 𝛼

36 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟

𝜋. 6 . 5

36

𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝜋. 36. 5

36 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟

5𝜋

𝑺𝒔𝒆𝒕𝒐𝒓

𝟗𝝅

𝟐

A área colorida é conhecida como “segmento

circular”. Ela pode ser obtida pela diferença

entre a área do setor circular e a da região

triangular:

(1) Área do setor circular:

𝑆 𝐿 𝑺 𝟔𝟒 𝒄𝒎

Solução

(1) Cálculo do lado do quadrado:

Perímetro = 32

𝐿 3 𝑳 𝟖 𝒄𝒎 ∴

Área do quadrado de lado igual a 8 cm:


8

(3) Área da região colorida:

6 6

(13) Calcule a área do setor circular da figura abaixo.

Podemos usar o seguinte raciocínio:

.

.

(14) Uma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios isósceles e por fundo um quadrado de 19 cm de lado. Desprezando a espessura da madeira, quantos metros quadrados de madeira foram necessários para fabricar essa cesta de lixo?

Solução

Temos na figura ao lado: raio = 4 cm e

comprimento do arco = 10 cm. Logo, devemos

calcular a área do setor circular em função

dessas duas dimensões:


9

Solução

A área total da cesta é dada por:

.

. ( 7 9 3

) 9

. 6. 5 36

75 36 3 ,

(15) Dado um triângulo equilátero de lado L. Qual a área da coroa circular limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita nesse triângulo? Solução

(3) Área da coroa:

*( 3

3)+

[( 3

6)

] (3

9 3

36)

𝐿 𝑅 3 𝑅 𝐿

3 𝑹

𝑳 𝟑

𝟑

𝐿 𝑟 3 𝑟

𝐿 3

3 𝒓

𝑳 𝟑

𝟔

(1) Se R é o raio da circunferência circunscrita, então:

(2) Se r é o raio da circunferência inscrita, então:


10

( 3

36) (

9

36)

(16) Um triângulo escaleno ABC tem área igual a 96 m². Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Calcule a área do quadrilátero BMNC. Solução

(17) Na figura ABC é um triângulo retângulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O

segmento DE é paralelo a AB, F é um ponto de AB e o segmento CF intercepta DE

no ponto G, com CG = 4 e GF = 2. Calcule a área do triângulo CDE.

(3) Logo, a razão entre as áreas é:

( 3

)

9

9

A razão entre os lados dos triângulos ABC e

AMN é k = 2.

A razão entre suas áreas é:

k² = 4 96

𝑆 𝑺 𝟐𝟒 𝒄𝒎

Então a área do trapézio BMNC é:

96 – 24 = 72 cm²

𝑆𝐶𝐴𝐵 .5

𝑺𝑪𝑨𝑩 𝟏𝟎 𝒄𝒎

𝑘 𝐶𝐹

𝐶𝐺 𝑘

6

𝒌

𝟑

𝟐

Solução

(1) O triângulo menor CDE é semelhante ao maior CAB, pois

�̂� é comum e as bases 𝐷𝐸 𝑒 𝐴𝐵 são paralelas. Assim, a área

do triângulo CAB é:

(2) A razão entre os segmentos CF e CG é:


11

(18) A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1:50. Assim sendo, calcule a área real, em m², de uma sala retangular cujas medidas na planta são 12 cm e 14 cm.

Solução

(19) Em uma metalúrgica, uma talhadeira industrial recorta 24 discos de uma chapa metálica, como mostra a figura abaixo. A sobra vai para a reciclagem para a produção de novas chapas. Quantas sobras são necessárias para produzir uma nova chapa com as mesmas dimensões? Dado: π = 3,14.

Solução

(1) Área da chapa

. ,8

.


12

(2) Diagonal do círculo:

,

6

, ∴ ,

(3) Como são 24 discos, a área recortada da chapa é:

. . , .3, . , ,

(4) Área da sobra:

,96 ,7536 , 6

5 Sobras necessárias para uma nova chapa:

,96

, 6

Resposta: Serão necessárias sobras de 5 chapas para produzir uma nova

chapa.


13

(20) O triângulo inscrito na circunferência da figura abaixo de raio 1 cm é

isósceles de raio 1 cm. Calcule a área da região pintada de vermelho.

Solução

(2) Área do triângulo

.

3

3

(3) Área do segmento:

(a) Cálculo da área do setor:

Observe que no triângulo equilátero de lado 1, cada ângulo interno vale 60°,

portanto:

𝑆𝑐 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝜋𝑟 𝑆𝑐 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝜋. 𝑺𝒄 𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 𝝅

A área da região pintada de vermelho é igual à área do

círculo de raio 1 cm menos à área do triângulo isósceles

menos a área do segmento circular.

(1) Área do círculo:


14

. 6

36

. . 6

36

(b) Cálculo da área do triângulo equilátero de lado 1:

3

3

(c) Área do segmento:

(4) Área da região pintada:

- ( + )

*( 3

) (

6 3

)+

(3 3 3 3

)

6


15

(21) O triângulo ABC da figura abaixo é equilátero e tem área 3 cm². As circunferências têm centro em A, B e C. Calcule a área da região pintada de amarelo.

Como:

R =

(2) Área amarela:

3. 3.

3. ( ) 3.

. ( ) . 6

36 6

(22) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. Calcule a área da região pintada de azul.

Solução

𝑆𝑡𝑟𝑖 𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿 3

3

𝐿 3

𝐿 8 𝑳 𝟐 𝟐

Solução

Observe que o raio de cada círculo vale a metade do lado

do triângulo ABC, logo:

R = 𝐿

(1) Área do triângulo ABC = 3 cm².


16

(1) O quadrado ABCD de lado 1, tem área igual a:

(2) Cálculo da área do triângulo ADE:

3

3

O ângulo ̂ é o complemento do ângulo ̂ que mede 60°, então med ( ̂

3 . Da mesma forma, a medida do ângulo ̂ é 30°.

Assim podemos visualizar a seguinte figura:

(3) Quando subtrairmos da área do quadrado, a área do triângulo ADE e as áreas

dos dois setores circulares (BAE e CDE), encontraremos a área procurada:

( 3

6)

𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐵𝐴𝐸 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐶𝐷𝐸 𝜋𝑅 .𝛼

36 𝜋. . 3

36

𝜋

Note que na figura ao lado:

Como são dois setores, a área colorida ao lado vale: 2. 𝜋

𝜋

6


17

(23) (Variação do problema anterior) - O quadrado da figura abaixo tem lado unitário. Calcule o valor da área colorida.

Solução

𝑆𝐴𝐷𝐸 𝐿 3

𝑆𝐴𝐷𝐸

3

𝑺𝑨𝑫𝑬

𝟑

𝟒

𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐵𝐴𝐸 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐶𝐷𝐸 .𝜋𝑅 .𝛼

36 .

𝜋. . 6

36 .

𝜋

6 𝝅

𝟑

𝑆𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑆𝑡𝑟𝑖 𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜

𝑺𝒄𝒐𝒍𝒐𝒓𝒊𝒅𝒂 𝝅

𝟑 𝟑

𝟒

O triângulo ADE é equilátero. Logo, a área destacada é a área do

triângulo equilátero somada a 2 segmentos circulares de 60°.

Como são dois setores, a área colorida ao lado vale: 2. 𝜋

𝜋

6

𝑺𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝝅

𝟔

𝟑

𝟒

𝑆𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑖𝑑𝑎 3

4

𝝅

𝟔

𝟑

𝟒

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