UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃOCENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLOGICAS

CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

EXERCÍCIOS SOBRE PA

SÃO LUIS - MA2012

Natália dos Santos - 101k208

EXERCICIOS SOBRE PATrabalho apresentado ao Professor Teylson Gomes, da disciplina de

Cálculo Numérico, para obtenção de nota.

SÃO LUIS - MA2012

EXERCÍCIOS RECOMENDADOS

2. Calcule a soma de todos os inteiros que divididos por 11 dão resto 7 eestão compreendidos entre 200 e 400.

Menor inteiro maior que 200 com resto 7 na divisão por 11 = 205Maior inteiro menor que 400 com resto 7 na divisão por 11 = 392Depois de 205, o próximo inteiro com resto 7 na divisão por 11 é justamente 205+11 = 216, resultando a PA:

(205,216,...,392)

Primeiro termo a1 = 205 e razão r = 11. Indice do termo an = 392. Fórmula do termo geral da PA:

an = a1+(n-1)r392 = 205+(n-1)11392 = 205+11n-11392+11-205 = 11n198 = 11n18 = n

Soma dos termos.

Sn = [(a1+an) x n]/2S18 = [(205+392) x18] /2S18 = [597 x 18]/2S18 = [10746] /2S18 = 5373

Resposta: A soma de todos os inteiros é: 5373

3. Quanto vale o produto a.(aq).(aq2).(aq3)....(aqn-1)?

a.(aq).(aq2).(aq3)....(aqn-1)= an.q1+2+3+...+(n-1) = anq (1+n−1 )(n−1)

2 = anq

n(n−1)2

4. Um quadrado mágico de ordem n é uma matriz n x n, cujos elementossão os inteiros 1, 2, ... , n2, sem repetir nenhum, tal que todas as linhase todas as colunas têm a mesma soma. O valor dessa soma é chamadode constante mágica. Por exemplo, os quadrados

são mágicos, com constantes mágicas respectivamente iguais a 15, 15e 65. Aliás, os dois últimos são hipermágicos, pois as linhas, colunas etambém as diagonais têm a mesma soma. Calcule a constante mágica deum quadrado mágico de ordem n.

A soma de todos os elementos da matriz é de 1+2+...+ n2 = (n2+1)n2

2 . Como a soma de

todos os elementos é igual a n vezes a constante mágica, vale

C = 1n

. (n2+1)n2

2 = n(n2+1)

2

13. Mostre que Δak = Δbk então ak - bk é constante.

∆ak=∆bk⇒ ak+1−ak=bk+1−bk⇒ak+1−bk+1=ak−bk para todo k e ak−bk é constante.

14. Use o teorema fundamental da somação para calcular:

a) ∑k=1

n

3k

∑k=1

n

3k = 12∑k=1

n

3k(3-1) = 12∑k=1

n

Δ3k

b) ∑k=1

n

k . k !

∑k=1

n

k . k ! = ∑k=1

n

[ (k+1 ) . k !−k ! ] = ∑k=1

n

[ (k+1 ) !−k !] = ∑k=1

n

Δk ! = (n+1)!-1.

c) ∑k=1

n1

k (k+1)

∑k=1

n1

k (k+1) = ∑

k=1

n

( 1k− 1k+1 ) = - ∑

k=1

n

∆1k

= - ( 1n+1

−1) = nn+1

EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

7. Os inteiros de 1 a 1000 são escritos ordenadamente em torno de umcírculo. Partindo de 1, riscamos os números de 15 em 15, isto é, riscamos1, 16, 31,... O processo continua até se atingir um número já previamenteriscado. Quantos números sobram sem riscos?

Na primeira volta são riscados 1, 16,... , 991 (múltiplos de 15 aumentados de 1:67 números).

Na segunda volta são riscados 6, 21, 36, ..., 996 (múltiplos de 15 aumentados de 6:67 números).

Na terceira volta são riscados 11, 26, 41, ..., 986 (múltiplos de 15 aumentados de 11:66 números).

São riscados 67+67+66=200 números.

Sobram 800 números não riscados.

10. Calcule a soma de todas as frações irredutíveis, da forma p

72 , que perten-

çam ao intervalo [4,7].

A soma de todas as frações da forma p

72 que pertencem ao intervalo [4,7] é

288+289+…+50472

= 1193,5.

Como 72 = 23.32, as frações irredutíveis devem ter p relativamente primo com 2 e com 3.

Devemos, portanto, descontar as frações que tenham numerador par ou múltiplo de 3.

A soma das frações de numerador par é 288+289+…+504

72 =

144+145+…+25236

=

599,5

A soma das frações de numerador múltiplo de 3 é 288+289+…+504

72 =

96+97+…+16824

= 401,5

A soma das frações de numerador múltiplo de 6,que são as que têm numerador par e múltiplo de 3 e, portanto, estão incluídas nos dois grupos acima, é

288+289+…+50472

= 48+49+…+84

12 = 203,5

A soma das frações redutíveis é 599,5+401,5−203,5=797,5 e a soma das irredutíveis é 1193,5 – 797,5=396.

15. Determine no quadro abaixo:

(a) O primeiro elemento da 31ª linha.

O primeiro elemento da linha de número 31 é precedido por um elemento na primeira linha, por dois elementos na segunda,..., trinta trigésima. Ora, 1+ 2

+...+30 = (1+30 ) .30

2 = 465.

O primeiro elemento da linha de número 31 é o elemento a466 da progressão aritmética dos números ímpares.A466 = a1 + 465r = 1+ 465.2 = 931.

(b) A soma dos elementos da 31ª linha.

O último elemento da linha de número 31 é a466 = a1 + 495r = 1+ 495.2 = 991.

A soma vale S= (931+991 ) .31

2 = 29791.

21. Prove: se an é um polinômio de grau p então Δan é um polinômio degrau p - 1.

an = anp + P(n), sendo P(n) um polinômio de grau ≤ a p.

Δan = a(n-1)p + P(n-1) – nap - P(n), que é de grau ≤ a p.

F(k) = A0 + A1k+ A2k2 + ... + Apkp

∑k=1

n

F (k ) = ∑k=1

n

¿¿k + A2k2+...+ Apk

p) =A0P1(n)+ A1P2(n)+ A2P3(n)+...+ ApPp-1(n),

sendo Pj (n) polinômio de grau n, pelo teorema 1.

Logo ∑k=1

n

F (k ) é um polinômio de grau p – 1 em n.

25. A razão entre as somas dos n primeiros termos de duas progressões aritméticas

é 2n+34n−1

, para todo valor de n. Quanto vale a razão entre seus termos de ordem n?

(a1+an ) n2

(b1+bn ) n2

= 2n+34n−1

a1+anb1+bn

= 2n+34n−1

2a1+ (n−1 ) r2b1+ (n−1 ) r '

= 2n+34n−1

Pondo n-1 = 2(p – 1):

2a1+2 ( p−1 )r2b1+2 ( p−1 )r '

= 2 (2 p−1 )+34 (2 p−1 )−1

a1+( p−1 )rb1+( p−1 ) r '

= 4 p+18 p−5

anbn

= 4 p+18 p−5