Registro CMI 40616 Aula 03 - Amazon Web Services
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Pág 1 [email protected] Registro CMI 40616 – Aula 03 7 a Parte Conjuntos e Sistemas I) CONJUNTOS ASPECTOS CONCEITUAIS Elementos – Relações de pertinência ( , ) Indicamos que um elemento x pertence a um conjunto A por: x A (lê-se: “x pertence a A) Se x não for elemento de A, escrevemos x A (lê-se: “x não pertence a A”) Observações: Os elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c... Os símbolos e são utilizados apenas para relacionar elementos com conjuntos. Representação Por extensão ou listagem: Escrevendo todos os elementos do conjunto entre chaves e separados por vírgulas. Exemplos: A = {a, e, i, o, u} Por propriedade: Através de uma propriedade característica dos elementos do conjunto, e só deles. Nem todos os conjuntos podem ser representados dessa forma. Exemplo: O conjunto A = {a, e, i, o, u} pode ser representado por compreensão da seguinte forma: A = {x/x é vogal} lê-se: “A é o conjunto dos elementos x tal que x é vogal” Por diagramas: O conjunto é representado pelo conjunto dos pontos interiores a uma linha fechada. Os elementos do conjunto serão indicados por pontos colocados no interior da linha e os elementos que não pertencem ao conjunto serão indicados por pontos que estiverem na região exterior. Quando são usados somente círculos, os diagramas são chamados de Euler ou Venn. Exemplo: No diagrama, tem-se: a A, e A, i A, u A, m A e g A Observações:
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Registro CMI 40616 – Aula 03
7a Parte
Conjuntos e Sistemas
I) CONJUNTOS
ASPECTOS CONCEITUAIS
Elementos – Relações de pertinência ( , )
Indicamos que um elemento x pertence a um conjunto A por: x A (lê-se: “x pertence a A)
Se x não for elemento de A, escrevemos x A (lê-se: “x não pertence a A”)
Observações:
Os elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c...
Os símbolos e são utilizados apenas para relacionar elementos com conjuntos.
Representação
Por extensão ou listagem: Escrevendo todos os elementos do conjunto entre chaves e separados por vírgulas.
Exemplos: A = {a, e, i, o, u}
Por propriedade: Através de uma propriedade característica dos elementos do conjunto, e só deles. Nem todos os conjuntos
podem ser representados dessa forma.
Exemplo: O conjunto A = {a, e, i, o, u} pode ser representado por compreensão da seguinte forma:
A = {x/x é vogal} lê-se: “A é o conjunto dos elementos x tal que x é vogal”
Por diagramas: O conjunto é representado pelo conjunto dos pontos interiores a uma linha fechada. Os elementos do
conjunto serão indicados por pontos colocados no interior da linha e os elementos que não pertencem ao conjunto serão
indicados por pontos que estiverem na região exterior. Quando são usados somente círculos, os diagramas são chamados de
Euler ou Venn.
Exemplo:
No diagrama, tem-se:
a A, e A, i A, u A, m A e g A
Observações:
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Conjunto unitário: Os conjuntos que possuem um só elemento são chamados de conjuntos unitários.
Exemplo: A = {x N/2 < x < 4} = {3}
Conjunto vazio: Conjunto vazio é aquele é aquele que não possui elementos. Ele é representado por { } ou Ø.
Subconjuntos – Relações de Inclusão ( , , , )
Quando todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um outro conjunto B, dizemos que A é
subconjunto de B ou que A é parte de B ou que A está contido em B (A B) ou, ainda, que B contém A (B A).
Observações:
Qualquer conjunto está contido em si mesmo, isto é: A A; qualquer que seja A(propriedade reflexiva da relação de
inclusão)
Convenciona-se que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, isto é: Ø A, qualquer que seja A.
Se pelo menos um elemento de um conjunto A não pertencer também a um conjunto B, este com mais elementos que A,
dizemos que A não está contido em B (A B) ou que B não contém A (B A).
Dados dois conjuntos A e B, se A B e B A, então necessariamente A = B.
As relações de inclusão , , , só servem para relacionar dois conjuntos entre si. Não podemos utilizar esses símbolos
para relacionar elementos com conjuntos.
Dados três conjuntos A, B e C, se A B e B C, então A C.
Números de Subconjuntos – Conjuntos das Partes
Observe os exemplos:
O conjunto A = {0, 1} possui os seguintes subconjuntos Ø, {0}, {1}, {0, 1}, num total de 4 (22).
O conjunto B = {a, b, c} possui os seguintes subconjuntos Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, [a, c}, {b, c} e {a, b, c}, num total de 8 (22).
Podemos, então, concluir que um conjunto com n elementos possui 2n subconjuntos.
Operações com conjuntos
Interseção ( )
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos comuns a A e a B é chamado interseção de A com
B, que representamos por A B (lê-se: “A interseção B” ou “A inter B”). Então: A B = {x/x A e x B}
Graficamente:
Observações: Dois conjuntos que possuem interseção vazia são chamados de disjuntos.
Dados dois conjuntos A e B. Se A B, então A B = A.
Graficamente:
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União ou Reunião ( )
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, a B ou a ambos é chamado
união ou reunião de A com B e é representado por A B (lê-se: “A união B”). Então: A B = {x/x A ou x B}
Graficamente:
Diferença ( - )
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B é chamado
diferença A – B (lê-se: “A menos B). Então: A – B = {x/x A e x B}
Graficamente:
Complementar ( C )
Se um conjunto A está contido em um conjunto B, chamamos de complementar de A em relação a B o conjunto formado
pelos elementos que faltam a A para ser igual a B (completar B) e representamos por CAB (lê-se: “complementar de A em
relação a B”). Logo, pela definição, concluímos que: Se A B, então CAB = B – A = {x/x B e x A}
Graficamente:
Notação Simbólica
x A → x pertence a A
x A → x não pertence a A
A = B → A é igual a B
A ≠ B → A é diferente de B
A B → A está contido em B
A B → A não está contido em B
A B → A contém B
A B → A não contém B
Ø → Conjunto vazio
A B → A interseção B
A B → A união B ou A reunião B
CAB → Complementar de A em relação a B
/ → Tal que
→ Existe pelo menos um
! → Existe um único
→ Não existe
→ Para todo ou Qualquer que seja
→ E
→ Ou
→ Implica ou Acarreta
→ Equivalente
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QUESTÕES DE CONCURSOS
QUESTÃO 01
Uma pesquisa foi realizada com 200 pacientes em diversos consultórios médicos quanto ao uso dos seguintes aplicativos para
celulares: A – Informações sobre alimentação, B – Registro de níveis de estresse físico e psicológico e C – Controle do horário
da medicação. Essa pesquisa revela que apenas 10% dos entrevistados não fazem uso de nenhum dos aplicativos; 30% dos
entrevistados utilizam apenas o aplicativo A; 10 pacientes utilizam apenas o aplicativo B; 1
4 dos pacientes utilizam apenas o
aplicativo C e 36 pacientes fazem uso dos três aplicativos.
Texto Adaptado: Revista Época, nº 795.
Sabe-se que a quantidade de pacientes que utilizam apenas os aplicativos A e B, A e C e B e C é a mesma, portanto, o número
de pacientes entrevistados que fazem uso de pelo menos dois desses aplicativos é: a) 21. b) 30. c) 36. d) 48. e) 60.
QUESTÃO 02
Um evento cultural ofereceu três atrações ao público: uma apresentação de dança, uma sessão de cinema e uma peça de teatro.
O público total de participantes que assistiu a pelo menos uma das atrações foi de 200 pessoas. Sabe-se, também, que 115
pessoas compareceram ao cinema, 95 à dança e 90 ao teatro. Além disso, constatou-se que 40% dos que foram ao teatro não
foram ao cinema, sendo que destes 25% foram apenas ao teatro. Outra informação levantada pela organização do evento foi que
o público que assistiu a mais de uma atração é igual ao dobro dos que assistiram somente à apresentação de dança. Se apenas 2
pessoas compareceram a todas as atrações, então a quantidade de pessoas que assistiu a somente uma das atrações é: a) 102 b) 114 c) 98 d) 120 e) 152
QUESTÃO 03
Um artigo publicado na Revista da Sociedade Brasileira de Medicina Tropical em 2004 apresentou um estudo sobre os fatores
de risco para Doenças Sexualmente Transmissíveis (DST) na adolescência. Neste trabalho, foram observadas associações
estatisticamente significativas entre ter uma DST na adolescência e outras variáveis onde destacamos o uso de drogas lícitas
(álcool e tabaco) e ilícitas. A tabela a seguir determina o número de entrevistados que fazem uso de cada um dos tipos de
drogas estudadas divididos em dois grupos: grupo A (portadores de DST) e grupo B (não portadores de DST).
Supondo que:
- todos os componentes do grupo B utilizam um e somente um tipo de droga estudada.
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- todos do grupo A que usam drogas ilícitas também fazem uso das duas drogas lícitas.
- exatamente dois entrevistados fazem uso das duas drogas lícitas e não fazem uso das ilícitas.
O número total dessas pessoas que só fazem uso de bebidas alcoólicas é igual a :
a) 107
b) 117
c) 131
d) 105
e) 97
QUESTÃO 04
Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para
cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada
homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a a) 100 b) 105 c) 115 d) 130 e) 135
QUESTÃO 05
Uma pequena empresa fabrica dois tipos de colchão: solteiro e casal. A tabela a seguir refere-se ao faturamento da empresa nos
meses de agosto e setembro:
Faturamento mensal com
colchão de solteiro
Faturamento mensal com
colchão de casal TOTAL
AGOSTO (?) (?) R$ 8 320,00
SETEMBRO Metade do valor faturado
em agosto
Um terço do valor faturado
em agosto R$ 3 200,00
Cada colchão de solteiro custa R$ 320,00, e cada colchão de casal custa R$ 480,00.
A quantidade de colchões de solteiro vendidos em agosto corresponde a a) 6. b) 8. c) 10. d) 11.
QUESTÃO 06
Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o
custo total de R$65,00 . Veja na tabela os preços da água por embalagem:
Volume da embalagem
(L)
Preço
(R$)
20 10,00
10 6,00
2 3,00
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de embalagens de 20 L, e a quantidade de
embalagens de 2 L corresponde a n.
O valor de n é um divisor de: a) 32 b) 65
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c) 77 d) 81
QUESTÃO 07
Um pai deixou de herança para seus filhos Aldo, Baldo e Caldo, mas determinou que, distribuída a
herança:
- Aldo desse uma parte do que recebera a Baldo e a Caldo, de modo que os legados de Baldo e Caldo
dobrassem;
- Depois disso, Baldo desse uma parte do que recebera a Aldo e a Caldo, de modo que os legados de Aldo
e Caldo dobrassem;
- Finalmente, Caldo fizesse o mesmo, de modo que os legados de Aldo e Baldo dobrassem.
Cumpridas as determinações do pai, os filhos verificaram que cada um ficara com 160 mil reais. Qual é a soma dos algarismos
do número que representa o que fora o legado original de Aldo? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
8a Parte
REGRA DE TRÊS
COMPOSTA
Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente
proporcionais ou uma mistura dessas situações.
O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha
indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda
situação.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os
valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados
em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as
medidas das outras grandezas.
Situa-
ção
Gran-
deza
1
Gran-
deza
2
Gran-
deza
3
Gran-
deza
4
Gran-
deza
5
Grand..
.
Gran-
deza
? Situa-
ção 1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1
Situa-
ção 2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:
Z1
---
Z2 =
A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 …
---------------------------------------
A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por
exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:
Z1
---
Z2 =
A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 …
----------------------------------------
A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …
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As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta)
que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem
inversa daquela que apareceram na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente
proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:
Z1
---
Z2 =
A1 · B2 · C1 · D2
------------------------
A2 · B1 · C2 · D1
PORCENTAGEM
De uma forma geral, o termo porcentagem indica uma fração cujo denominador é 100.
Assim, quando escrevemos 35%, estamos indicando a fração 35/100.
Calcular, então, 40% de 200 é o mesmo que efetuarmos a operação .
Exemplos :
27% de 120 =
Suponha uma pensão alimentícia de R$500,00; assim, 18,5% da pensão alimentícia equivale a
Suponha um salário mínimo regional de R$ 280,00; 120% do SMR, desta forma, equivaleria a
Se um agricultor colhe 42 t de soja, 51,3% da sua produção é de soja.
Se precisarmos AUMENTAR um certo valor P em 20% do seu valor, devemos executar as seguintes operações:
Simplificando, se precisarmos aumentar P em 30% do seu valor, basta multiplicar P por 1,3;
Aumentar em 47% multiplicar por 1,47
Aumentar em 157% multiplicar por 2,57
Aumentar em 61,8% multiplicar por 1,618
Se precisarmos REDUZIR um certo valor P de 20% do seu valor, devemos executar as seguintes operações:
Simplificando, se precisarmos reduzir P de 30% do seu valor, basta multiplicar P por 0,7;
Reduzir de 47% multiplicar por 0,53
Reduzir de 98% multiplicar por 0,02
Devem ser observadas, com cuidado, as expressões “reduzir de” e “reduzir para”; a última indica o cálculo simples do
percentual.
Ou seja, reduzir 100 para 30% do seu valor, limita-se, para se obter o novo valor, a calcular 30% de 100.
Juros simples indicam uma taxa, aplicada sobre o capital inicial, que geram um valor único, somado àquele capital,
durante o período determinado.
Podem ser associados, por vezes, à progressões aritméticas.
Juros compostos indicam uma taxa aplicada, a cada período, sobre o novo capital (montante), obtido da aplicação da
taxa até o período imediatamente anterior.
Podem ser associados, por vezes, à progressões geométricas, com implicações exponenciais e logarítmicas.
Obs.: Se um empréstimo de R$ 100,00 for tomado a uma taxa de 10% com capitalização mensal, indica que, ao final do primeiro
mês, a dívida será de 100 x 1,1, se não houver pagamentos.
Esta dívida, sem qualquer amortização, daqui há 3 meses será igual a 100 x 1,1 x 1,1 x 1,1 = 100 x (1,1)3
QUESTÕES DE CONCURSOS
QUESTÃO 01
Uma empresa deseja iniciar a coleta seletiva de resíduos em todas as suas unidades e, para tanto, encomendou a uma gráfica a
impressão de 140 000 folhetos explicativos.
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A metade desses folhetos foi impressa em 3 dias por duas máquinas de mesmo rendimento, funcionando 3 horas
por dia. Devido a uma avaria em uma delas, a outra deve imprimir os folhetos que faltam em 2 dias. Para tanto, deve funcionar
diariamente por um período de:
a) 9 horas e meia.
b) 9 horas.
c) 8 horas e meia.
d) 8 horas.
e) 7 horas e meia.
QUESTÃO 02
Certo mês, o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionários uma gratificação no valor de R$500,00. Essa quantia
foi dividida entre eles, em partes que eram diretamente proporcionais aos respectivos números de horas de plantões que
cumpriran no mês e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se um dos funcionários tinha 36
anos e cumpriu 24 horas de plantões e, o outro, de 45 anos, cumpriu 18 horas, coube ao mais jovem receber?
a) R$302,50
b) R$310,00
c) R$ 312,50
d) R$ 325,00
e) R$ 342,50
QUESTÃO 03
A pintura de uma loja será executada por 13 pintores ( de mesma capacidade de trabalho ) trabalhando durante 11 dias com
jornada de trabalho de 6 horas por dia.
Decorridos 8 dias do início da obra 3 pintores se afastam e a obra deverá ser concluída pelos pintores restantes no prazo
estabelecido anteriormente.
Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo
previsto ?
a) 7 horas e 42 minutos
b) 7 horas e 44 minutos
c) 7 horas e 46 minutos
d) 7 horas e 48 minutos
e) 7 horas e 50 minutos
QUESTÃO 04
A figura abaixo exibe, em porcentagem, a previsão da oferta de energia no Brasil em 2030, segundo o Plano Nacional de
Energia.
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Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do país irá atingir 557 milhões de tep (toneladas
equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever que a parcela oriunda de fontes renováveis, indicada em cinza na figura,
equivalerá a a) 178,240 milhões de tep. b) 297,995 milhões de tep. c) 353,138 milhões de tep. d) 259,562 milhões de tep.
QUESTÃO 05
Um apostador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança,
que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a
caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações.
Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança
deve ser de, no máximo, a) R$ 200.000,00
b) R$ 175.000,00
c) R$ 150.000,00
d) R$ 125.000,00
e) R$ 100.000,00
QUESTÃO 06
Na compra de três unidades idênticas de uma mesma mercadoria, o vendedor oferece um desconto de 10% no preço da segunda
unidade e um desconto de 20% no preço da terceira unidade. A primeira unidade não tem desconto. Comprando três unidades
dessa mercadoria, o desconto total é a) 8%. b) 10%. c) 22%. d) 30%. e) 32%.
QUESTÃO 07
Uma concessionária anunciou um veículo no valor de R$30.000,00 à vista. Após negociação, um cliente adquiriu o veículo
pagando R$20.000,00 de entrada e R$11.200,00 após 30 dias. A taxa mensal de juros cobrada nessa venda foi de a) 4%. b) 6,6%. c) 11,2%. d) 12%.
9a Parte SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS COM LEI DE FORMAÇÃO DEFINIDA
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Conceito de Progressão Aritmética - PA
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao
anterior somado com um valor constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
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B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA estacionária ou constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:an = a1 + (n – 1).r
A expressão an = a1 + (n – 1).r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão
Aritmética – PA.
Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte
forma:Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a
seguinte fórmula genérica:
aj = ak + (j - k).r
Propriedades das Progressões Aritméticas
Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.
Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida
facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima. Temos:Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos
termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA. Daí
então, vem finalmente que:
Importante:as progressões aritméticas, por indicarem incrementos aditivos, podem ser associadas a funções de 1o grau.
Por exemplo, o montante de um capital, aplicado na modalidade de juros simples define, em geral, termos de uma PA.
Na doutrina de Darwin também podemos encontrar as Progressões Aritméticas e Geométricas. O Darwinismos – teoria
estudada em biologia, criada por Charles Robert Darwin.
Na geografia podemos afirmar que sim, existe uma teoria chamada malthusiana que diz que os recursos naturais crescem
em forma de PA, enquanto a população cresce em forma de PG. Isso resultará numa grande falta de recursos, já que PG cresce
mais rápido que PA.
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Define-se progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do
primeiro, multiplicando o número anterior por um valor constante q, denominado razão.
Pode-se calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos
consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.
Cálculo do termo geral
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:
a1 a2 a3 ... a20 ... an ...
a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ...
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Assim, pode-se deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para
qualquer progressão geométrica.
an = a1 x qn-1
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, considera-se o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q
Conforme a definição de PG, reescreve-se a expressão como:Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chega-se à seguinte fórmula da soma:
Substituindo an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite
teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontra-se:
As PG’s podem ser divididas em quatro tipos, de acordo com o valor da razão
Oscilante (q < 0) - Neste tipo de PG, ainda que alguns autores não a reconheçam, a razão é negativa, o que fará com que a
sequência numérica seja composta de números negativos e positivos, se intercalando.
(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde a razão é -2
Crescente (a1>0 e q>1, ou a1<0 e 0<q<1) - Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a sequência será formada por
números crescentes, como:
(1, 3, 9, 27, 81, …), onde a razão é 3
Obs.:atenção com o sinal do 1o termo ! (*)
Constante - Nesta PG, a sequência numérica tem sempre os mesmos números. Para isso, a razão deve ser sempre 1:(4, 4, 4, 4, 4,
4, 4, …) onde a razão é 1
Descrescente (a1>0 e 0<q<1, ou a1<0 e q>1) - As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e
diferente de zero, e os números da sequência são sempre menores do que o número anterior:
(64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..) razão = ½
Obs.: PG (-1, -3, -9, -27, -81, …) onde a razão é 3 (note que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o
número inicial aqui é negativo, alterando toda a sequência)
Propriedades da PG
1. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma P.G. é igual ao produto desses extremos
2. Qualquer termo, exceção feita ao 1o, é a média geométrica entre seu antecedente e seu conseqüente
Uma das aplicações mais evidentes da PG na vida do cidadão é a modalidade de aplicação financeira
denominada “juros compostos”.
Utilizada, por exemplo, em aplicações bancárias (caderneta de poupança, etc) ou na cobrança de penalidades por
dívidas não saldadas no prazo, as PG mostram um crescimento exponencial e rápido, visto apresentarem um incremento
multiplicativo.
São associadas a equações e funções exponenciais e, por vezes, requerem o uso dos logaritmos como ferramenta na
resolução de questões.
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QUESTÕES DE CONCURSOS
QUESTÃO 01
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, uma progressão
aritmética.
O vigésimo termo dessa progressão corresponde a: a) −50 b) −40 c) −30 d) −20
QUESTÃO 02
Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém 200 comprimidos, e cada
comprimido tem massa igual a 20mg.
Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um destes comprimidos tenha
30mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados os seguintes procedimentos:
- numeram-se os frascos de 1 a 15;
- retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua numeração;
- verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos retirados é igual a 2540mg.
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A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15
QUESTÃO 03
Guilherme pretende comprar um apartamento financiado cujas prestações mensais formam uma progressão aritmética
decrescente; a primeira prestação é de R$ 2600,00 e a última, de R$ 2020,00.
A média aritmética das prestações é um valor:
a) entre R$ 2250,00 e R$ 2350,00
b) entre R$ 2350,00 e R$ 2450,00
c) menor que R$ 2250,00
d) maior que R$ 2450,00
e) impossível de determinar com as informações dadas
QUESTÃO 04
A sequência (2, x, y, 8) representa uma progressão geométrica.
O produto xy vale: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
QUESTÃO 05
O quadrado ABCD abaixo tem 6 cm de lado e E, F, G e H são pontos médios de seus lados. Considerando os quadrados
hachurados, se o padrão de construção dos mesmos seguir infinitamente (com cada lado sempre igual à metade do lado do
quadrado imediatamente maior), então a área da região hachurada seria dada por
a) 9 cm2
b) 10 cm2
c) 12 cm2
d) 15 cm2
e) 16 cm2
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QUESTÃO 06
Mila é uma jovem formada em Administração que está iniciando a sua carreira. Apesar de estar começando a trabalhar agora,
com base no que aprendeu na faculdade, ela já está pensando na economia que pretende fazer para sua aposentadoria, que ela
pretende iniciar após 400 meses de trabalho. Seu plano é iniciar poupando R$500,00 do seu primeiro salário e ir aumentando
esse valor mensalmente, para atingir um milhão de reais de economia total durante todo esse período.
Se Mila aumentar a sua economia mensal na mesma quantidade de reais em todos os meses de sua vida profissional, o valor
que ela precisará poupar no 400º mês para que sua meta seja atingida será igual a
a) R$1.500,00.
b) R$3.500,00.
c) R$4.500,00.
d) R$6.500,00.
e) R$7.500,00.
QUESTÃO 07
Uma empresa contratou um empregado para trabalhar de segunda a sexta durante duas semanas. O dono da empresa pagou R$
1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ele recebeu no dia anterior. Quanto o empregado recebeu
pelos 10 dias que trabalhou?
a) R$ 511,00
b) R$ 660,00
c) R$ 830,00
d) R$ 941,00
e) R$ 1.023,00
