RESISTNCIA DOS MATERIAIS II

Prof. Dr. Daniel Caetano

2012 - 2

TORO PARTE III

Objetivos

Conceituar e capacitar paa a resoluo de problemas estaticamente indeterminados na toro

Compreender as limitaes da teoria para o caso de barras macias de seo no circular

Material de Estudo

Material Acesso ao Material

Apresentao http://www.caetano.eng.br/ (Aula 7)

Material Didtico Resistncia dos Materiais (Hibbeler) Parte 1 / 2 Pginas 166 a 174.

http://www.caetano.eng.br/

RELEMBRANDO:

TORO E TORQUE

Pelo que vimos at agora...

=.

.

=

.

= .

Frmulas para Toro

T:

0 10kN.m

+

0

-

10kN.m

PROBLEMAS DE TORO ESTATICAMENTE

INDETERMINADOS

Similar queles com as tenses axiais...

Equilbrio esttico?

= 0

. + + = 0

Prob. Estat. Indeterminados

A

C

P

B

D

x

TA

TB

1 equao 2 incgnitas

Esforos axiais: compatib. Dos alongamentos

=.

.

Tores: compatibilidade das rotaes

=.

.

Compatibilidade de Deslocamentos

Redesenhemos a barra em 2D

Prob. Estat. Indeterminados

A

C

P

B

D

x

TA

TB

T = P.LCD A TA TB B

C

Vamos dividir nos diagramas de corpo livre

Pela esttica: = .

Compatibilidade?

Ponto C o mesmo em duas barras... Logo...

C,A = C,B

Prob. Estat. Indeterminados

T = P.LCD A TA TB B

C

A

TA

C

TA

C

TB

B

TB

Calculando as rotaes

C,A = C,B

, =. . = . . = ,

Logo...

= .

Prob. Estat. Indeterminados

A

TA

C

TA

C

TB

B

TB

Considere o eixo macio abaixo

Calcule as reaes, sabendo que: o dimetro D=20mm, G=75GPa

Exemplo

A

B

x

0,3m

0,2m

1,5m

500 N.m

800 N.m

D=20mm G=75GPa

Equilbrio esttico

= 0

= 0

=

Exemplo

C

x 0,3m 0,2m 1,5m

A TA TB B 500 N.m 800 N.m D

D=20mm G=75GPa

Qual a compatibilidade?

Rotao de B em relao a A = 0: B,A = 0

Mas... , = , + , + , = 0

Exemplo

C

x 0,3m 0,2m 1,5m

A TA TB B 500 N.m 800 N.m D

D=20mm G=75GPa

Exemplo Corpo Livre

C

0,3m

A TA

x 0,3m 0,2m 1,5m

A TA TB B 500 N.m 800 N.m

TA

B

0,2m

D TB TB

C D

D

1,5m

C TA +TC TA +TC

D=20mm G=75GPa

, =.

.

, =. .

Exemplo Rotao

C

0,3m

A TA TA

D=20mm G=75GPa

, =.

.

, =( + ). .

Exemplo Rotao

D

1,5m

C TA +TC TA +TC

D=20mm G=75GPa

, =.

.

, = . .

Exemplo Rotao

B

0,2m

D TB TB

D=20mm G=75GPa

Assim, se... , = , + , + , = 0

Ento . .

+( + ). .

+. . = 0

. = ( + ). + .

=. ( + ) + .

Exemplo

D=20mm G=75GPa

Juntando... =

=. ( + ) + .

. ( + ) + .

=

Exemplo

D=20mm G=75GPa

Reorganizando... . ( + ) + .

=

. + + . = . . .

. + +. = . . .

Exemplo

D=20mm G=75GPa

Reorganizando... . + +. = . . .

. + + = . . ( + )

=. . ( + )

+ +

Exemplo

D=20mm G=75GPa

Calculando...

=. . ( + )

+ +

=800000.0,2 500000. (0,2 + 1,5)

1,5 + 0,3 + 0,2

=800000.0,2 500000.1,7

2= 345

Exemplo

D=20mm G=75GPa

Calculando... =

Mas... =

= 800000 500000 345000

= 300000 + 345000 = 645000

=

Exemplo

EIXOS MACIOS DE SEO NO CIRCULAR

Conforme j estudado...

Toro Pura em Barras Circulares

Sees permanecem

planas e paralelas

entre si

Conforme j estudado...

Toro Pura em Barras Circulares

Sees permanecem

planas e paralelas

entre si

Infelizmente, no vale para sees genricas!

Observe a distoro nas bordas

Toro Pura em Barras Quadradas

Razo: distrib. das tenses de cisalhamento

Toro Pura em Barras Quadradas

Nos cantos, o cisalhamento tem de ser zero!

Toro Pura em Barras Quadradas

Cisalhamento na superfcie sempre ZERO!

Como calcular?

Teoria da Elasticidade

Clculo complexo!

Compare os resultados

=2.

. 3

=2. .

. . 4

Toro Pura em Barras Genricas

O eixo abaixo tem uma seo em forma de tringulo equiltero. Determine o maior torque para o adm = 56MPa e para um ngulo de extremidade restrito a adm = 0,02 rad. Considere G = 26GPa.

Exemplo

1,2m

40mm

60o

adm = 56MPa adm = 0,02 rad G = 26GPa

Usando as equaes...

=20.

3

56. 106 =20.

(4. 102)3

Exemplo

1,2m

40mm

60o

adm = 56MPa adm = 0,02 rad G = 26GPa

Usando as equaes...

56. 106 =20.

(4. 102)3

=56. 106. 64. 106

20= 179,2 .

Exemplo

1,2m

40mm

60o

adm = 56MPa adm = 0,02 rad G = 26GPa

Usando as equaes...

=46. .

. 4

2. 102 =46. . 1,2

2,6. 1010. (4. 102)4

Exemplo

1,2m

40mm

60o

adm = 56MPa adm = 0,02 rad G = 26GPa

Usando as equaes...

2. 102 =46. . 1,2

2,6. 1010. (4. 102)4

=2. 102. 2,6. 1010. 256. 108

46.1,2= 241,2 .

Exemplo

1,2m

40mm

60o

EXERCCIO

Exerccio (Em Dupla)

A barra abaixo, que possui G = 20GPa no trecho de 3m e G = 60GPa no trecho de 1m, tem R = 10 cm. Calcule as reaes de apoio.

200kN.m

3m 1m

PARA TREINAR

Para Treinar em Casa

Hibbeler (Bib. Virtual), Pg. 166 a 171

Mnimos:

Exerccios 5.75, 5.77, 5.84

Extras:

Exerccios 5.76, 5.79, 5.80

Adote essas converses:

1 ksi = 7MPa 1hp = 1000W

1 pol = 25mm 1lb.pol = 0,125 N.m

1lb.p = 1,5 N.m

Para Treinar em Casa

CONCLUSES

Resumo possvel calcular estruturas estaticamente

indeterminadas sujeitas toro

Eixos de seo no circular tm a distribuio da tenso de cisalhamento complexa

Eixos de seo circular so os mais eficientes na resistncia toro

Exercitar

Exerccios Hibbeler

Prxima Aula

Como calcular a resistncia a toro em perfis de paredes finas fechados?

H concentrao de tenso?

PERGUNTAS?

BOM DESCANSO A TODOS!