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Resistência dos MateriaisProf. Antonio Dias

Antonio Dias / Cap.2 1

Objetivos

• Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.

• Expressar a força e sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores.

Antonio Dias / Cap.2 2

2.1 Escalares e Vetores

Antonio Dias / Cap.2 2-3

Figura 2.1

Escalar É uma quantidade caracterizada por um número positivo ou negativo.

Exemplos: massa, comprimento e volume.

Vetor É uma quantidade que tem intensidade (módulo) , direção e sentido.

Exemplos: posição, força e momento.

2.2 Operações Vetoriais


Figura 2.2

Multiplicação e divisão de um vetor por um escalar


Figura 2.3

Adição Vetorial


Figura 2.4

Adição Vetorial


Figura 2.5

Subtração Vetorial


Figura 2.6

R’= A – B = A + (– B)

Decomposição de Vetores


Figura 2.7

2.3 Adição de Forças Vetoriais


2.3 Adição de Forças Vetoriais


Figura 2.8

2-12

Figura 2.9

Direção da força resultante

Intensidade da força resultante

Antonio Dias / Cap.2

Exemplo 2.1: O parafuso tipo gancho da figura está sujeito a

duas forças F1 e F2. Determine a intensidade

(módulo) e a direção da força resultante.

2-13

Figura 2.10


2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares


Figura 2.14

F = Fx + Fy F’ = F’x + F’y

Notação Escalar

2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares


Figura 2.15

Notação de Vetor Cartesiano

F = Fxi + Fyj F’ = F’xi - F’yj

Figura 2.16

Notação vetorial cartesiana: F1 = F1xi + F1yj

F2 = -F2xi + F2yj

F3 = F3xi – F3yj

Resultantes de Forças Coplanares


Figura 2.16Vetor resultante:

FR = F1 + F2 + F3

FR = (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j

FR = (FRx) i + (FRy) j

2-17Antonio Dias / Cap.2

Resultantes de Forças Coplanares

FRx = SFx

FRy = SFy

Intensidade da força resultante

Direção da força resultante

22

RyRxR FFF

Rx

Ry

F

Ftg 1


Exemplo 2.5: Determine os componentes x e y de F1 e F2 que

atuam sobre a lança mostrada na figura abaixo.

Expresse cada força como vetor

cartesiano.


2.5 Vetores Cartesianos


Figura 2.20

Componentes Retangulares de um Vetor


Figura 2.21

A = Ax + Ay + Az

Vetor Unitário


Figura 2.22

A = AuA

uA = A / A

Vetores Cartesianos Unitários


Figura 2.23

Representação de um Vetor Cartesiano


Figura 2.24

A = Axi + Ayj + Azk

Intensidade de um Vetor Cartesiano


Figura 2.25

22'

zAAA

22'

yx AAA

222

zyx AAAA

Direção de um Vetor Cartesiano

Antonio Dias / Cap.2 2-27Figura 2.26

Ângulos diretores coordenados:

(alfa)

b (beta)

g (gama)

Ângulos medidos entre a origem

de A e os eixos positivos x, y, z.

A

AxcosA

Aybcos

A

Azgcos


2-29

kA

Aj

A

Ai

A

A

A

Au zyx

A

222

zyx AAAA

kjiA )cos()cos()cos( gb AAA

1coscoscos 222 gb


2.6 Adição e Subtração de Vetores Cartesianos


Figura 2.28

R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k

2-32

Figura 2.29

Exemplo 2.8: Expresse a força F como um vetor cartesiano.


2-33

Figura 2.30

Exemplo 2.9: Determine a intensidade e os ângulos diretores

coordenados da força resultante que atua sobre o anel.


Exemplo 2.11: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na

figura abaixo. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2,

de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo positivo y

e tenha intensidade de 800 N.

2-34

Figura 2.32


2.7 Vetores Posição


Figura 2.33

Vetor Posição: É um vetor fixo que localiza um ponto do

espaço em relação a outro.

2-36

Figura 2.34

r = xi + yj + zk


2-37

Figura 2.35

rA + r = rB

r = rB – rA = (xBi + yBj + zBk) - (xAi + yAj + zAk)

r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB – zA)k


Exemplo 2.12: Uma fita elástico está presa aos pontos A e B

como mostra a figura 2.36a. Determine seu comprimento e sua

direção, medidos de A para B.

2-39

Figura 2.36


2.8 Vetor Força orientado ao longo de uma reta


Figura 2.37

r

rFuFF

A força F é orientada ao longo da

corda AB.

Pode-se definir F como um vetor

cartesiano pressupondo que ele

tenha a mesma direção e sentido que

o vetor posição r orientado do ponto

A para o ponto B da corda.

2-41

A força F que atua ao longo da corrente pode ser representada como um vetor cartesiano

definindo-se primeiro os eixos x, y, z, formando-se um vetor posição r ao longo do

comprimento da corrente e determinando-se depois o vetor unitário u = r/r

correspondente que define a direção tanto da corrente quanto da força. A intensidade da

força é combinada com sua direção, F = Fu.


Exemplo 2.13: O homem mostrado na figura puxa a corda com

uma força de 70 lb. Represente essa força, que atua sobre o suporte

A, como vetor cartesiano e determine sua direção.

2-42

Figura 2.38


2-43

Exemplo 2.15: A cobertura é suportada por cabos, como

mostrado na foto. Se os cabos exercerem as forças FAB = 100 N e

FAC = 120 N no gancho em A, como mostrado na figura 2.40a,

determine a intensidade da força resultante que atua em A.

Figura 2.40


2-44

Figura 2.40


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