ESCOLA DE ENGENHARIA

AVALIAÇÃO PARCIAL 1

Disciplina: Resistência dos Materiais II

Semestre 2014.1

Equação da Linha Elástica

Prof. Fernando Peroba

GABARITO

01) Dada a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha para 𝑥 = 5 e

a rotação no apoio da esquerda. Utilize a tabela de deslocamento transversal

e inclinação da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚².

𝑦 = −𝑞𝑎3

24𝐿𝐸𝐼(4𝐿2 − 7𝑎𝐿 + 3𝑎2)

𝑦 = −24 ∙ 53

24 ∙ 8 ∙ 2 ∙ 105∙ (4 ∙ 82 − 7 ∙ 5 ∙ 8 + 3 ∙ 52) = −𝟑, 𝟗𝟖𝒎𝒎

𝜃𝐴 = −𝑞𝑎2

24𝐿𝐸𝐼(2𝐿 − 𝑎)2 = −

24 ∙ 52

24 ∙ 8 ∙ 2 ∙ 105∙ (2 ∙ 8 − 5)2 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟗 𝒓𝒂𝒅

02) Considere a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima

e a inclinação nos apoios. Aplique o método da superposição por meio da

utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙105𝑘𝑁. 𝑚².

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𝑦 = 𝑦𝑞 + 𝑦𝑃

i) Cálculo da flecha máxima.

𝑦 = −𝑞𝑎2

24𝐿𝐸𝐼(2𝑥3 − 6𝐿𝑥2 + 𝑎2𝑥 + 4𝐿2𝑥 − 𝑎2𝐿) −

𝑃𝑥48𝐸𝐼

(3𝐿2 − 4𝑥2)

𝑦 =1

𝐸𝐼[−

24 ∙ 22

24 ∙ 8∙ (2 ∙ 𝑥3 − 6 ∙ 8 ∙ 𝑥2 + 22 ∙ 𝑥 + 4 ∙ 82 ∙ 𝑥 − 22 ∙ 8) −

12 ∙ 𝑥

48∙ (3 ∙ 82 − 4 ∙ 𝑥2)]

𝑦 =1

𝐸𝐼(24𝑥2 − 178𝑥 + 16)

𝑦′ =1

𝐸𝐼(48𝑥 − 178)

𝑦′ = 0 48𝑥 − 178 = 0 𝑥 = 3,71𝑚

𝑦𝑚á𝑥 =1

2 ∙ 105∙ (24 ∙ 3,712 − 178 ∙ 3,71 + 16) = −𝟏, 𝟓𝟕𝒎𝒎

ii) Cálculo da rotação no apoio da esquerda.

𝑦 = −𝑞𝑥

24𝐿𝐸𝐼(𝐿𝑥3 − 4𝑎𝐿𝑥2 + 2𝑎2𝑥2 + 4𝑎2𝐿2 − 4𝑎3𝐿 + 𝑎4) −

𝑃𝑥

48𝐸𝐼(3𝐿2 − 4𝑥2)

𝑦 =1

𝐸𝐼[−

24 ∙ 𝑥

24 ∙ 8∙ (8 ∙ 𝑥3 − 4 ∙ 2 ∙ 8 ∙ 𝑥2 + 2 ∙ 22 ∙ 𝑥2 + 4 ∙ 22 ∙ 82 − 4 ∙ 23 ∙ 8 + 24) −

12 ∙ 𝑥

48

∙ (3 ∙ 82 − 4 ∙ 𝑥2)]

𝑦 =1

𝐸𝐼(−𝑥4 + 7𝑥3 − 146𝑥)

𝑦′ =1

𝐸𝐼(−4𝑥3 + 21𝑥2 − 146)

𝜃𝐴 =1

2 ∙ 105∙ (−4 ∙ 03 + 21 ∙ 02 − 146) = −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟑 𝒓𝒂𝒅

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03) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de

apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela

de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚².

Deve-se retirar o apoio da esquerda e, em seu lugar, inserir uma reação

superabundante 𝑃 = 𝑉𝐶, de baixo para cima, a fim de compatibilizar o

deslocamento nulo referente ao apoio C. Desta forma, tem-se:

𝑦𝑇 + 𝑦𝑃 = 0

(𝑦𝐵 + 𝑚𝜃𝐵) + 𝑦𝑃 = 0

(−𝑞𝐿𝐴𝐵

4

30𝐸𝐼− 4 ∙

𝑞𝐿𝐴𝐵3

24𝐸𝐼) +

𝑉𝐶𝐿3

3𝐸𝐼= 0

−10 ∙ 44

30− 4 ∙

10 ∙ 43

24+

𝑥 ∙ 83

3= 0

𝑽𝑪 = 𝟏, 𝟏𝟐𝟓𝒌𝑵

Cálculo das reações de apoio.

→ ∑ 𝐻 = 0 𝑯𝑨 = 𝟎

↑ ∑ 𝑉 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 20

↶ ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝐶 ∙ 8 − 20 ∙4

3− 𝓂𝐴 = 0

𝑉𝐴 + 1,125 = 20 𝑽𝑨 = 𝟏𝟖, 𝟖𝟕𝟓𝒌𝑵

1,125 ∙ 8 − 20 ∙4

3+ 𝓂𝐴 = 0 𝓶𝑨 = 𝟏𝟕, 𝟔𝟕𝒌𝑵

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04) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da

flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga mostrada a seguir. Dado:

𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚².

1. Equação diferencial.

𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0

6 ∙ 𝑉𝐵 + 12 + 24 = 0

𝑉𝐴 = −𝑉𝐵 = 6𝑘𝑁

𝐸𝐼𝑦" = 6𝑥 − 24

𝐸𝐼𝑦′ = 3𝑥2 − 24𝑥 + 𝐶1

𝐸𝐼𝑦 = 𝑥3 − 12𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2

2. Condições de contorno.

i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0

ii) 𝑥 = 6 e 𝑦 = 0

3. Cálculo das constantes de integração.

𝐸𝐼(0) = (0)3 − 12(0)2 + 𝐶1(0) + 𝐶2

𝑪𝟐 = 𝟎

𝐸𝐼(0) = (6)3 − 12(6)2 + 𝐶1(6)

𝑪𝟏 = 𝟑𝟔

4. Flecha máxima.

A flecha é máxima onde a inclinação é nula.

𝐸𝐼𝑦′ = 3𝑥2 − 24𝑥 + 36 = 0

𝐱 = 𝟐𝐦 𝐱 = 𝟔𝐦 (máximo local)

𝐸𝐼𝑦 = 𝑥3 − 12𝑥2 + 36𝑥

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𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = (2)3 − 12(2)2 + 36(2)

𝒚𝒎á𝒙 = +𝟎, 𝟏𝟔 𝒎𝒎 ↑

5. Rotações nos apoios.

𝐸𝐼𝑦′ = 3𝑥2 − 24𝑥 + 36

𝐸𝐼𝜃𝐴 = 3(0)2 − 24(0) + 36

𝜽𝑨 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟖 𝒓𝒂𝒅

𝐸𝐼𝜃𝐵 = 3(6)2 − 24(6) + 36

𝜽𝑩 = 𝟎