Resoluo de Problemas: Conceptualizao, Concepes, Prticas e Avaliao Joaquim Antnio P. Pinto Aluno do Mestrado em Ensino da Matemtica Nmero mecanogrfico: 030370027 Departamento de Matemtica Pura da Faculdade de Cincias da Universidade do Porto Disciplina: Educao Matemtica Docente: Professora Doutora M Manuela Soares David

Introduo

A resoluo de problemas est hoje, em Portugal, presente em todos os

currculos de Matemtica, desde o Currculo Nacional do Ensino Bsico at ao actual

Programa de Matemtica do Ensino Secundrio, onde considerada um contedo de

aprendizagem (DES, 2002), deixando assim de ser uma mera finalidade do ensino da

Matemtica. Estudos Nacionais e Internacionais reconhecem grande importncia

resoluo de problemas em Matemtica pois contribuem para o desenvolvimento de

capacidades e competncias dos alunos.

Do exposto, ressalta que a resoluo de problemas em Portugal comea a estar

presente nas nossas salas de aula e como tal, comeam a aparecer os resultados das

investigaes feitas em torno do que um problema; que concepes tm os professores

sobre a resoluo de problemas; qual a influncia da formao inicial de professores no

ensino da resoluo de problemas; e como avaliado o desempenho dos alunos na

resoluo de problemas.

Neste texto pretendemos fazer uma conceptualizao e uma anlise das

principais caractersticas da resoluo de problemas, apresentar o modelo de resoluo

de problemas proposto por Charles e Lester (1984), citado em Borralho (1995), discutir

possveis formas de avaliar a resoluo de problemas e por fim, analisar dois artigos de

pesquisa realizados por Borralho (1997) e Graa (2003) em torno das concepes e das

prticas dos professores em aulas de resoluo de problemas, de modo a perceber que

em termos de resoluo de problemas um longo caminho h ainda a percorrer.

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Conceptualizao e principais caractersticas da resoluo de problemas Quando em Zurique (1931) George Polya anunciou numa conferncia perante a

Sociedade Suia de Professores de Matemtica que tinha um novo mtodo para a

resoluo de problemas (Polya, 2003), estvamos longe de imaginar que o ensino

atravs da resoluo de problemas iria preocupar um to grande nmero de profissionais

da comunidade de educadores matemticos, donde destacamos os trabalhos de A. H.

Schoenfeld, F. K. Lester e R. Charles (Borralho, 1995).

Ao querermos que o aluno comece a pensar matematicamente pretendemos que

haja uma aprendizagem dos conceitos matemticos atravs da resoluo de problemas,

deixando de nos preocuparmos tanto com os resultados mas mais com os processos. A

Matemtica sobretudo, saber fazer: uma cincia na qual o mtodo predomina sobre o

contedo (Guzmn, 1989, em Borralho, 1995).

Polya (2003), considera que um indivduo est perante um problema quando se

confronta com uma questo a que no pode dar resposta, ou com uma situao que no

sabe resolver usando os conhecimentos imediatamente disponveis. J Lester (1980, em

Graa, 2003) considera que, para alm de o problema ser uma situao para a qual um

indivduo no dispe de um mtodo imediato de resoluo, se considera que o

empenhamento na procura dessa soluo constitui um aspecto fundamental. Para o

ensino da Matemtica importa salientar dois aspectos desta definio: s h problema se

um indivduo o quiser resolver; e no existe um mtodo eficaz para encontrar uma

soluo para o problema (Borralho, 1995). Assim, ser problema no uma caracterstica

intrnseca e imutvel de uma determinada tarefa, mas depende da relao que cada

indivduo estabelece com essa tarefa e do contexto particular em que decorre a

resoluo. Podemos inferir daqui que um estudante est perante um problema quando,

confrontado com uma questo, no dispe de um processo rotineiro conhecido para o

resolver, mas a sua curiosidade leva ao desejo de o solucionar.

A resoluo de problemas preconizada de diferentes formas consoante os

autores que se toma como referncia, no entanto as quatro fases propostas por Polya

(2003): (i) Compreenso do problema; (ii) Estabelecimento de um plano; (iii) Execuo

do plano; (iv) Verificao, so ainda hoje o fio condutor das diferentes fases

apresentadas por autores como Guzmn (1990), Hayes (1981, em Borralho, 1995).

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Tendo como pano de fundo o modelo apresentado por Polya (2003), Lester

(1980, em Borralho, 1995) vai mais longe, pois concebe um modelo onde tem em linha

de conta os processos mentais envolvidos na resoluo de problemas de Matemtica, o

que at aqui no tinha sido considerado. O seu modelo constitudo por seis fases: (i)

Fase da consciencializao; (ii) Fase da compreenso; (iii) Fase da anlise do(s)

objectivo(s); (iv) Fase do desenvolvimento do plano; (v) Fase da implementao do

plano; (vi) Fase de avaliao dos procedimentos e da soluo.

Com preocupaes semelhantes, ao nvel dos processos mentais envolvidos na

resoluo de problemas, encontramos tambm o modelo apresentado por Schoenfeld

(1985a, em Borralho 1995) caracterizado por apresentar quatro aspectos/categorias do

conhecimento e comportamento: (i) Recursos; (ii) Heursticas; (iii) Controlo; (iv)

Concepes (percepes/pr-conceitos). Assim, segundo este autor, o sucesso ou

insucesso na resoluo de problemas deve ter em conta estes quatro aspectos, pois esto

interligados, sobrepem-se e interagem entre si.

Segundo Borralho (1995) os sistemas de concepes/percepes/pr-conceitos

so a viso do mundo matemtico que cada aluno (professor e/ou resolvedor de

problemas) possui, a perspectiva com a qual cada estudante se relaciona com a

Matemtica, com as tarefas matemticas e com a resoluo de problemas de

Matemtica. O pr-conceito/percepo/crena que cada um tem sobre a Matemtica

determina o modo de abordar um problema, a nvel das tcnicas a utilizar, tempo e

empenho na dedicao ao problema, etc. Os sistemas de concepes estabelecem o

contexto no qual os recursos, as heursticas e o controlo se relacionam (p. 22).

Como estratgias para a resoluo de problemas surgem as heursticas, que no

so mais do que procedimentos destinados a resolver um problema usando regras que

possibilitem chegar rapidamente soluo ou aproximar-se dela. A heurstica

apresentada por Polya (2003) foi construda no mbito matemtico. Quanto s

heursticas apresentadas por Hayes e Lester, referidas em Borralho (1995) tm o intuito

de contribuir para a anlise dos resultados, no apenas a nvel do produto final, mas

tambm a nvel de procedimentos. Na heurstica apresentada por Schoenfeld so de

destacar as decises tomadas durante a resoluo de problemas, identificando duas

espcies de decises: decises tcticas e decises estratgicas. As decises tcticas

incluem procedimentos standard para implementar a resoluo de problemas

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(algoritmos, heursticas, etc.); as decises estratgicas fazem sentir o seu impacto na

direco que a resoluo de problemas pode tomar, e na fixao dos recursos de cada

um no processo de resoluo. A este tipo de decises, Schoenfeld chama de decises de

execuo ou de gesto (Borralho, 1995).

Na resoluo de problemas, e levando em conta o que temos vindo a referir,

facilmente se depreende que a quantidade de variveis muito grande, assim como a

sua natureza, o que torna que umas sejam mais evidentes que outras. As investigaes

que tm sido efectuadas, entre outros autores, por Lester (1980, em Borralho, 1995)

apresentam quatro categorias de variveis implicadas na resoluo de problemas: o

problema, o sujeito (o resolvedor de problemas), o processo de resoluo de problemas

e o ambiente de resoluo de problemas.

No querendo, neste texto, destacar nenhuma das variveis em particular, no

podemos deixar de fazer referncia aos processos mentais envolvidos na resoluo de

problemas, uma vez que quando tivermos de falar na avaliao da resoluo de

problemas este um aspecto que tem de ser tido em conta. Assim, destacamos uma vez

mais os estudos realizados por Charles e Lester (1984, em Borralho, 1995), que

apresentam trs tipos de factores implicados nos processos mentais de resoluo de

problemas de Matemtica: (i) Factores afectivos (presso, motivao, interesse,

resistncia aos bloqueios prematuros, perseverana, stress); (ii) Factores relacionados

com a experincia (familiaridade com o contexto e o contedo dos problemas, idade,

familiaridade com estratgias de resoluo de problemas, background matemtico

prvio); (iii) Factores cognitivos (capacidade espacial, capacidades computacionais,

capacidade lgica, capacidade de leitura).

Este conjunto de factores facilmente explica o porqu de tanto insucesso na

resoluo de problemas, apesar de o aluno possuir, teoricamente, todos os

conhecimentos necessrios para resolver um problema. Repare-se que a resoluo de

problemas compreende uma interaco do aluno com o problema, como um factor

complexo, no qual o aluno produz transformaes no s no plano material externo,

como tambm no plano mental, interno. Importa considerar a resoluo de problemas

como processo de pensamento, torna-se necessrio observ-la como actividade mental,

na qual se encontram acima de tudo as operaes bsicas do pensar, ou seja, a anlise, a

sntese, a generalizao, a abstraco e a comparao (Borralho, 1995). Inferimos

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assim, que os processos cognitivos tm uma influncia decisiva na resoluo de

problemas, e que as operaes bsicas do pensamento devem ser desenvolvidas com

cuidado, para que se possa pensar matematicamente a nvel da resoluo de problemas.

A par das estratgias cognitivas comea a ser reconhecido um papel cada vez de

maior relevncia a aspectos metacognitivos na resoluo de problemas. Flavel (1976,

em Borralho, 1995) define metacognio como o conhecimento que cada um tem dos

seus prprios processos e produtos cognitivos ou de qualquer aspecto com eles

relacionados. Temos pois, como aspectos fundamentais da metacognio: (i) o

conhecimento e controlo de si prprio e (ii) conhecimento e controlo do processo.

Assim entende-se por capacidades metacognitivas as capacidades cognitivas que so

necessrias ou teis, para a aquisio, emprego e controlo do conhecimento.

No nos podemos esquecer neste texto que o aluno tem que sentir que o

problema seu, ele tem que ter um papel central no processo de resoluo, ser um

agente activo, sujeito do seu prprio ensino. Desempenha aqui um papel importante o

professor, ao necessitar de saber dosear a sua participao, de modo a aumentar a

actividade do aluno levando sua progressiva autonomia. Salientamos, tambm, que a

resoluo de um problema pode no ser algo que se faa rapidamente, pois necessrio

desenvolver a perseverana no aluno promovendo a persistncia em vez da rapidez.

A definio de problema, por ns explorada neste texto, pressupe a necessidade

ou desejo de resolver o problema por parte do aluno. Ora, a falta de interesse ou

motivao o maior obstculo a ultrapassar por parte do aluno. A par deste, destacamos

tambm como factores que podem interferir no grau de dificuldade do problema: a

complexidade do enunciado; o modo de apresentao e representao do problema; a

dificuldade em arranjar sub-metas atingveis; a familiaridade com processos de

resoluo de problemas; e constrangimentos resultantes de equvocos no entendimento

da informao concebida no problema.

Do que foi referido at aqui depreendemos que a resoluo de problemas uma

actividade extremamente complexa. Segundo Charles et al. (1987, em Graa, 2003) a

grande quantidade de variveis em jogo na resoluo de problemas, torna complexa a

sua avaliao, pois feito um apelo a um conjunto de factores de mbito diferente, ao

uso de uma grande variedade de experincias e procedimentos, alm de exigir a

capacidade de avaliar o prprio pensamento e tambm o progresso na resoluo de

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problemas. No fundo, estamos a tentar avaliar a capacidade de usar uma srie de

estratgias e as suas atitudes em relao a essa resoluo e, assim, entramos no domnio

dos processos cognitivos, tendo tambm que levar em conta os processos

metacognitivos associados e inerentes prpria resoluo de problemas.

Estes autores, Charles et al. (1987, em Graa, 2003), identificam quatro reas

fundamentais para caracterizar o nvel de desempenho dos alunos: (i) A compreenso

do problema; (ii) O desenvolvimento de um plano; (iii) A implementao do plano; (iv)

A procura de resposta ao problema.

Lester et al. (1992, em Graa, 2003) salienta a importncia do pensamento do

aluno, que deve ser estimulado pelo professor, pois pode assim fazer registos

sistemticos das observaes realizadas ou utilizar instrumentos mais estruturados tais

como escala de classificao ou lista de verificao.

No podemos deixar de referir que segundo Kilpatrick (1991) a avaliao, da

resoluo de problemas, deve usar uma escala holstica, pois este autor considera a

resoluo de problemas como uma tarefa de composio escrita, em que o aluno deve

no s encontrar uma soluo para o problema, que seja pessoalmente satisfatria, como

tambm deve descrever por escrito uma soluo que satisfaa o leitor.

Concepes e prticas pedaggicas dos professores Da anlise feita aos artigos de pesquisa, referidos na introduo, de salientar

que segundo Fernandes, (1991, em Graa 2003) as concepes referem-se s ideias

que os indivduos tm de si prprios, da Matemtica, dos problemas, da escola e do

mundo em geral. Estas, tomando como referncia Pajares (1992, em Graa 2003),

formam-se cedo e tendem a manter-se, persistindo apesar das contradies causadas

pela razo, pelo tempo e pela experincia, salienta mesmo que as concepes ficam

perfeitamente definidas a partir do tempo de aluno. Assim, para Ponte (1992, em Graa

2003), estudar as concepes dos professores implica salientar os valores, as

motivaes, os eixos principais do pensamento dos actores fundamentais do processo

educativo, o que pelas variveis envolvidas se torna um esforo difcil de fazer.

Podemos pois salientar que a forma como os professores interpretam e

implementam o currculo influenciada significativamente pelos seus conhecimentos,

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experincias e convices, o que inevitavelmente se reflecte nas decises que tomam

(Graa, 2003).

O estudo feito por Graa (2003) mostra que os professores observados se

referem de forma muito positiva relativamente s suas concepes sobre a resoluo de

problemas e, ainda que existe uma forte coerncia entre as suas concepes e as suas

prticas neste domnio, dado que a resoluo de problemas est absolutamente integrada

na forma como desenvolvem o currculo de Matemtica nas suas aulas (p. 68).

Concluso divergente dos resultados referidos por Ponte (1992, em Graa 2003),

Thompson (1992, em Graa 2003), Vale (1993, em Graa 2003) e Delgado (1993, em

Graa 2003), no que se refere relao entre as concepes e as prticas no domnio

da resoluo de problemas e seu ensino, pois estes autores relatam que esta relao

marcada pela inconsistncia.

Mas, dado que estes professores esto fortemente motivados e possuem

concepes positivas na rea da resoluo de problemas desde o seu tempo de

estudantes, os resultados obtidos so consistentes com os apresentados por alguns

investigadores (Clark e Peterson, 1986; Nespor, 1987; Pajares, 1992, em Graa 2003),

que referem que quanto mais cedo uma concepo se incorporar no sistema de

concepes mais dificilmente se alterar, e ainda que as concepes sobre o ensino

ficam definidas a partir do tempo de aluno.

No que diz respeito avaliao da resoluo de problemas existe uma diferena

significativa entre as concepes e as prticas dos professores estudados por Graa

(2003). Estes professores esto conscientes da importncia de incluir na planificao

das tarefas a desenvolver os mtodos para avaliar as diversas componentes da resoluo

de problemas, embora nem todos o concretizem na respectiva prtica, no dando assim

visibilidade aos olhos dos alunos dos aspectos que consideram relevantes nesse

domnio. O conhecimento da forma como os alunos participam nas tarefas de resoluo

de problemas, e comunicam os seus raciocnios, considerado fundamental para a sua

avaliao neste domnio, por estes professores, constatando-se, no entanto, que a

observao dos respectivos alunos na resoluo de problemas se baseia

fundamentalmente numa avaliao informal, j que nenhum destes professores realiza

de uma forma sistemtica qualquer registo de aula (p. 69-70).

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Este estudo salienta ainda que a avaliao da resoluo de problemas um

domnio de grande complexidade, mesmo para professores com reconhecida

experincia, como era o caso dos professores envolvidos.

Refere ainda que deve ser dada grande importncia resoluo de problemas na

formao inicial de futuros professores de Matemtica: No discordamos de que tal no

deva ser feito, mas o estudo apresentado por Borralho (1997) refere que apesar dos

futuros professores de Matemtica terem tido duas disciplinas na Licenciatura em

Ensino da Matemtica onde a resoluo de problemas foi abordada, a realidade que

quando foram para a sala de aula mantiveram-se as concepes do tempo de alunos do

ensino secundrio, onde nunca tinham resolvido problemas, mostrando os resultados

que a relao entre a formao inicial e a prtica de ensino destes futuros professores

muito reduzida. O modelo de ensino protagonizado pelos seus professores do ensino

secundrio prevalece quando, estes futuros professores de Matemtica, preparam e

implementam uma aula (Borralho, 1997).

Do que tem sido a nossa prtica lectiva, a resoluo de problemas surge como

uma forma, entre outras, de colocar os alunos numa situao de fazer matemtica

como preconizado em DES (2002), e ainda contribui para uma maior motivao

permitindo reduzir o insucesso a Matemtica.

Temos que estar conscientes que s se aprende a resolver problemas resolvendo

problemas e que s transferimos para as nossas aulas procedimentos que dominemos,

um possvel caminho para deixar todo o processo da resoluo de problemas

transparente aos olhos dos alunos o professor apresentar-se como um resolvedor de

problemas, e no como um solucionador de problemas desde o seu incio. necessrio

que o professor trabalhe o problema desde o seu incio, caminhando devagar atravs do

processo de resoluo (Borralho, 1995; p. 48).

Do nosso ponto de vista e da nossa experincia o mais complicado a avaliao

do desempenho dos alunos na resoluo de problemas, pensamos ser aqui, neste

momento, que temos de concentrar mais esforos de modo a superar esta grande

dificuldade.

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Consideraes finais Pelo que acabmos de escrever, a resoluo de problemas uma tarefa que

envolve uma enorme quantidade de variveis, cada uma mais complexa que a outra.

Ser por este facto que no sabemos como introduzir a resoluo de problemas numa

sala com alunos completamente desmotivados? Poder a resoluo de problemas ser

convenientemente introduzida e acompanhada numa turma com trinta alunos? Ser a

resoluo de problemas uma boa estratgia para recuperar lacunas ao nvel dos

conceitos bsicos e estruturantes do pensamento matemtico?

Por desconhecermos se existe investigao volta das questes colocadas,

achamos pertinente coloc-las aqui, no entanto, no queremos terminar este texto sem

levantar uma ltima questo: Como optimizar a resoluo de problemas no

ensino/aprendizagem da Matemtica?

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Referncias bibliogrficas APM (1988). Renovao do currculo de Matemtica. Lisboa: APM Borralho, A. (1995). Resoluo de problemas: Uma perspectiva para abordar o ensino/aprendizagem da Matemtica. Em, A. Borralho e M. Borres (Eds.), Ensino/Aprendizagem de Matemtica: Algumas perspectivas metodolgicas (pp. 9-65). vora: Universidade de vora. Borralho, A. (1997). O Ensino da resoluo de problemas de Matemtica por parte de futuros professores: Relaes com a sua formao inicial. Em, D. Fernandes, F. Lester, A. Borralho & I. Vale (Eds.), Resoluo de problemas na formao inicial de professores de Matemtica Mltiplos conceitos e perspectivas (pp. 129-157). Aveiro: GIRP. DES (2002). Matemtica A. Lisboa: Ministrio da Educao. Graa, M. (2003). Avaliao da resoluo de problemas: Que relao entre as concepes e as prticas lectivas dos professores? Quadrante, 12(1), 53-73. Guzmn, M. (1990). Aventuras matemticas. Lisboa: Gradiva Kilpatrick, J. (1991). Algumas questes na avaliao da resoluo de problemas em Matemtica. Em, Avaliao: uma questo a enfrentar. Lisboa: APM Polya, G. (2003). Como resolver problemas. Lisboa: Gradiva JOAQUIM ANTNIO PINTO joaquimpinto@mail.prof2000.ptPorto, 13 de Outubro de 2003

IntroduoConceptualizao e principais caractersticas da resoluo dConcepes e prticas pedaggicas dos professoresConsideraes finaisReferncias bibliogrficas