Resoluo Algebra (1)

Resoluções das atividades

Sumário

ÁLGEBRALIVRO 4

12a Série – Ensino Médio

Capítulo 12 – Probabilidade II – Probabilidade condicional e multiplicação de probabilidades ...............................................................................................................1

Capítulo 13 – Probabilidade III – Distribuição binomial .............................................................................................................................................................................2

Capítulo 14 – Estatística I – Variável e tabelas de frequências ...................................................................................................................................................................4

Probabilidade II – Probabilidade

condicional e multiplicação de probabilidades

Capítulo 12

Atividades para sala

Atividades propostas

01 D

O número total de espécies animais é dado por 263 + 122 + 93 + 1 132 + 656 = 2 266.

Portanto, a probabilidade pedida é dada por:

1132

2 266100 49 96⋅ ≅% , %

02 D

De acordo com os dados da tabela, pode-se obter o seguinte diagrama:

580

110

RS

U

M

90 50

203040

80

Portanto, a probabilidade de um estudante selecionado ao

acaso preferir apenas MPB é dada por 110

1000100 11⋅ =% %.

03 C

Considere o diagrama a seguir.

Portador

Saudável

NegativoPositivo

60

20 380

40

Calcula-se a probabilidade condicional:

P saud vel negativon saud vel negativo

n negativo( / )

( )

( )á

á=

∩

Portanto, de acordo com o diagrama, tem-se:

P saud vel negativo

P saud vel negativo

( / )

( / )

á

á

=+

=

380

380 40

19

21

04 D

P = =

10

14

5

7

05 A

O jogador I converte chutes em gol com probabilidade

45

60

3

4= , enquanto o jogador II converte chutes em gol com

probabilidade 50

75

2

3= .

Portanto, como 3

4

2

3> , o jogador I deve ser escolhido para ini-

ciar a partida.

01 D

Sejam os eventos A: “amostra pertence à cultura A ” e B: “amostra escolhida germinou”.

Deve-se calcular a probabilidade condicional P(A | B). Portanto, de acordo com os dados da tabela, tem-se

P A Bn A B

n B( )

( )

( )| =

∩

=

392

773

02 B

3 doses → (1 - 0,93) · 100% = 27%

4 doses → (1 - 0,94) · 100% = 34%

5 doses → (1 - 0,95) · 100% = 41%

Resposta: 4 doses.

2

ÁLGEBRA LIVRO 4


03 B

Verde: 25 segundos

Amarelo: 5 segundos

Vermelho: 70 segundos

Total: 100 segundos

Logo, a probabilidade de se encontrar um sinal verde é:

25

100

1

4=

Nas duas vezes que passar, tem-se: = 1

4

1

4

1

16⋅ = (princípio

multiplicativo).

04 E

Os ilhos poderão ser: homem, homem e mulher; mulher, homem e homem; ou homem, mulher e homem. Logo, a probabilidade será:

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

80 375 37 5⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = =, , %

05 C

com defeito com defeito sem defeito sem defeito

0 2 0 2 99 8 99 8

0 2 99 84

2 20 24

2 2 2 2

, % , % , % , %

( , %) ( , %)!

! !( , %),

⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ = ⋅P 22 2

2 2

99 8

6 0 2 99 8

⋅ ⇒

⇒ ⋅ ⋅

( , %)

( , %) ( , %)

06 Ω = (1, 1), (1, 2), ..., (6, 5), (6, 6) → n(Ω) = 36

Evento A: sair soma 8 → A = (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)

Evento B: sair 3 no primeiro dado → B = (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

A B P A B P B

pP A B

P B

∩ = ∩ = = =

=

∩

= =

( , ); ( ) ; ( )

( )( )

( )

3 51

36

6

36

1

61

36

1

6

A| B11

6

07 Considere:

Evento A: a pessoa é advogada Evento B: a pessoa é do sexo feminino Procura-se P(A|B).

P B

n A B

P A B

P

( )

( )

( )

( )

= =

∩ =

∩ = =

⇒ =

280

500

14

25

20

20

500

1

25

1

2A B|

55

14

25

1

14=

Outra maneira: Em vez de considerar a população toda, pode-se restringir

o estudo apenas às mulheres e perguntar qual é a probabili-dade de ser advogada uma mulher tomada ao acaso. Dessa forma:

P( )A B| = =

20

280

1

14

08 Considerando os eventos: A: sair número ímpar na 1a retirada.

B: sair número ímpar na 2a retirada.

B/A: sair número ímpar na 2a retirada, sabendo que na 1a já saiu número ímpar.

1 2 3 4 5

Ímpares

P A( ) =

3

5

Por outro lado, a probabilidade de que o 2o número sor-teado seja ímpar, sabendo-se que o 1o foi ímpar, é:

P( )B|A = =

2

4

1

2

Sabendo que P(B|A) = P B A

P A

( )

( )

∩, então P(B ∩ A) = P(A) · P(B|A).

Assim, a probabilidade de sair um número ímpar na 1a e

na 2a retirada é:

P B A ou P B A( ) , ( ) %∩ = ⋅ = = ∩ =

3

5

1

2

3

100 30 30

09 Ω = (M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F), (F, M, M), (F, M, F), (F, F, M), (F, F, F); n(Ω) = 8

Evento A: o casal tem duas meninas ⇒ P(A) =3

8

Evento B: primeira criança é menina ⇒ P(B) = 4

8 A ∩ B: duas meninas, sendo a primeira uma menina ⇒

P(A ∩ B) = 1

4 Logo:

P(A | B) = P A B

P B

( )

( )

∩

= =

1

44

8

1

2

10 Possíveis códigos: 4 567 4 568 4 569

4 578 4 579 4 589

4 678 4 679 4 689

4 789 5 678 5 679

5 689 5 789 6 789

Número de códigos possíveis de digitar: 15

a) 1

15

b) 14

15

13

14

1

13

1

15⋅ ⋅ =

01 U cara coroa

n U

= =

,

( ) 2

Capítulo 13Probabilidade III – Distribuição

binomial


ÁLGEBRALIVRO 4


Assim:

A cara P A p

A coroa P A p

= ⇒ = = =

= ⇒ = − = − =

( )

( )

1

21

1 11

2

1

2

Logo:

P A

n

kp p

P A

kk n k

( )

( )

=

⋅ −( )

=

−

−

1

5

3

1

2

1

23

3 5 33

3 101

8

1

4

10

32

5

16P A( ) = ⋅ ⋅ = =

02 A

Tem-se uma face com soma máxima em 6.

Logo: P =1

6

4 8 12 soma 24 (máxima)

3 7 11 soma 21

2 6 10 soma 18

1 5 9 soma 15

03 A

Deve-se calcular P P Q( )∩ :

P P Q P P P Q P P Q

P P Q

P P Q

( ) ( ) ( ) ( )

% % % ( )

( ) % %

∪ = + − ∩ ⇔

= + − ∩ ⇔

∩ = − =

40 36 16

52 40 112%

04 D

De acordo com o gráico, a única peixaria que vende peixes

frescos na condição ideal é a V. Portanto, a probabilidade

de a peixaria selecionada vender peixes frescos na condição

ideal é 1

5.

05

n

p

q p

r

Pn

rp q Pr n r

=

=

= − = − =

=

=

⋅ ⇒ =

−

10

1

5

1 11

5

4

5

6

10

6

⋅

⋅

⇒

⇒ =

⋅

⋅

−1

5

4

5

10

6

1

5

4

5

6 10 6

6

P

⇒ =

⋅4 4

10

10

6

4

5P


01 D

O espaço amostral do lançamento dos dois dados é:

Ω =

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),

( , ), ( , ), ( , ), (

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

2 1 2 2 2 3 2,, ), ( , ), ( , ),

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),

( , )

4 2 5 2 6

3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6

4 1 ,, ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), (

4 2 4 3 4 4 4 5 4 6

5 1 5 2 5 3 5 4 5,, ), ( , ),

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )

5 5 6

6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6

Desse modo, como a soma dos dados é igual a 6 em (5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4) e (1, 5), segue que a probabilidade de

Pedro ganhar o sorteio é5

36.

Por outro lado, os únicos resultados favoráveis a Tadeu e Ricardo são, respectivamente, (1,1) e (6,6).

Logo, a probabilidade de Tadeu e Ricardo icarem com a

taça é 1

36

1

36

2

36+ = .

Portanto, como 5

36

2

36> , Tadeu e Ricardo tinham razão,

pois os dois juntos tinham menos probabilidade de ganhar

a guarda da taça do que Pedro.

02 A

De acordo com as informações do enunciado, pode-se cons-truir a seguinte tabela:

Posição 2013 2014

1o B C

2o D B

3o C A

4o A D

Portanto, como nenhum dos times obteve mesma classii-cação no torneio em 2013 e 2014, segue que a probabili-dade pedida vale zero (evento impossível).

03 E

De acordo com o gráico, pode-se concluir que o número total de ilhos é dado por 7 · 1+ 6 · 2 + 2 · 3 = 25. Portanto, como cada uma das sete mães teve um único ilho, a pro-babilidade de que a criança premiada tenha sido um(a)

ilho(a) único(a) é 7

25.

04 D

No método I, a probabilidade de um aluno do turno diurno ser sorteado é:

1

2

1

300

1

600⋅ =

4

ÁLGEBRA LIVRO 4


enquanto que a probabilidade de um aluno do turno noturno ser sorteado é:

1

2

1

240

1

480⋅ =

No método II, a probabilidade de um aluno do turno diurno ser sorteado é:

1

16

1

30

1

480⋅ = ,

enquanto que a probabilidade de um aluno do turno noturno ser sorteado é:

1

16

1

40

1

600⋅ =

Portanto, no método I, a probabilidade de um aluno do noturno ser sorteado é maior do que a de um aluno do diurno, enquanto no método II ocorre o contrário.

Observação: Chance de ocorrência de um evento é a razão entre a probabilidade de sua ocorrência e a probabilidade de sua não ocorrência. Desse modo, chance e probabili-dade não são sinônimos.

05 C

Se possui duas bolas nas linhas 4 e 5, logo, cada uma das linhas restantes terá apenas uma bola (total de 7 bolas).

Portanto, a probabilidade de ganhar o prêmio será:

P= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1

3

1

4

1

3

2

3

2

2

1

54

06 D

Imagina-se uma pessoa chegando depois das 7h ao terminal. Se ela chegar entre 7h e 7h10, ela tomará o ônibus Bom-

passeio. Se ela chegar entre 7h10 e 7h30, ela tomará o ônibus Anda-

bem Se ela chegar entre 7h30 e 7h40, ela tomará o ônibus Bom-

passeio Se ela chegar entre 7h40 e 8h, ela tomará o ônibus Anda-

bem.

Portanto, a cada hora, o tempo de espera para um ônibus da empresa Andabem é o dobro do tempo de espera para um ônibus da empresa Bompasseio.

Logo, a probabilidade de Carlos viajar em um ônibus da empresa Andabem é duas vezes maior do que a probabili-dade de ele viajar em um ônibus da empresa Bompasseio.

07 B

Considerando os dois setores juntos, têm-se um semicírculo de raio 10 km.

Portanto, a probabilidade será dada por:

P =

⋅

= =

π 10

2628

0 25 25

2

, %

08 E

Ganhar na primeira opção: 3

1030= %.

Ganhar na segunda opção: 18

10

9

10− ⋅ (perder nos dois

sorteios) = 28%

Ganhar na terceira opção: 19

10

9

10

9

10− ⋅ ⋅ (perder nos três

sorteios) = 27,1% Portanto, X > Y >Z.

09 C

P = ⋅ =

8

10

9

1072% (perder nos dois)

10 D

Probabilidade não é algo exato, não signiica que a cada dez anos cairá um raio, mas que existe chance de que isto ocorra, portanto a alternativa D é a correta.

Capítulo 14Estatística I – Variável e tabelas de

frequências


01 C

De acordo com o gráico, o polo com maior crescimento foi o de Guarulhos, e o menor, a capital de São Paulo. Por conse-guinte, a diferença entre o maior e o menor centro em cresci-mento no polo das indústrias é 60,52 – 3,57 = 56,95%.

02 C

De acordo com o gráico, tem-se que 200 · 0,25 = 50 hotéis cobram diárias de $ 200,00; 200 · 0,25 = 50 hotéis cobram diárias de R$ 300,00; 200 · 0,4 = 80 hotéis cobram diárias de R$ 400,00; e 200 · 0,1 = 20 hotéis cobram diárias de R$ 600,00.

Considere a tabela abaixo, em que Xi é o valor da diária, em reais, para um quarto padrão de casal, ƒ

i é a frequência sim-

ples absoluta e Fi é a frequência absoluta acumulada.

Xi ƒ

iF

i

200

300

400

600

50 50

50 100

80 180

20 200

n = ∑ ƒi = 200

10 km 10 km

10 km

10 km

Município

B

A

ÁLGEBRALIVRO 4


Portanto, como En

Md= = =

2

200

2100, o valor mediano da

diária é M Rd =+

=300 400

2350 00$ , .

03 B

Considere a seguinte tabela.

Avaliador Xi Yi Xi + Yi

A

B

C

D

E

18

17

14

19

16

16

13

1

14

12

34

30

15

33

28

Σ (xi + yi) = 140

Logo, a média anterior é dada por m = =140

1014.

Descartando-se a nota maior e a nota menor, obtém-se

m' =

− −=

140 1 19

815.

Portanto, a nova média, em relação à média anterior, é 15 – 10 = 1,00 ponto maior.

04 C

Os países com notas abaixo da média são: Rússia, Portu-gal, México, Itália e Israel. Dentre esses países, o que apre-senta maior quantidade de horas de estudo é Israel.

05 B

Considere a tabela abaixo.

Empresa Li TiL

i=

L

Ti

i

FGHMP

242425159

3,02,02,51,51,5

81210106

Assim, a empresa G apresentou o maior lucro médio anual e, portanto, deve ter sido a escolhida pelo empresário.


01 D

Considere a tabela abaixo, em que ej é o índice de eiciên-

cia descrito no enunciado.

Vj Tj Pj lj eT P

ljj j

j

=⋅

Malhada

Mamona

Maravilha

Mateira

Mimosa

360

310

260

310

270

12,0

11,0

14,0

13,0

12,0

15

12

12

13

11

288,0

284,2

303,3

310,0

294,5

Por conseguinte, a vaca que apresentou o melhor índice de

eiciência foi a mateira.

02 E

De acordo com o gráico, a maior venda absoluta ocorreu em junho e a menor em agosto.

03 E

De acordo com a tabela, um jovem entre 12 e 18 anos gasta 5 · 5 + 2 · 1 = 27 horas de seu tempo, durante a semana inteira, com atividades escolares.

04 A

Colocando os dados em ordem crescente, tem-se:

- 449 444, 11 796, 13 117, 25 363, 29 595, 47 436, 58 836, 94 893, 101 425, 105 384, 123 785, 211 068, 260 823

A mediana (Ma) é o termo central da sequência anterior.

05 E

Como o gráico correspondente ao ano 2007 apresenta a menor extensão de gelo marítimo em setembro, pode-se concluir que houve maior aquecimento global nesse ano.

06 E

Desvio padrão:90

30000

30

10000

1

22 2

kg

m

kg

m

saca

hectare= =

Logo, a variância das produções dos talhões será dada por:

1

2 1

40 25

2

2saca

hectaresaca hect

= = , ( / )

07 C

O período de queda mais vertiginosa ocorreu entre 2003 e 2006.

30

25

20

1994

1995

1996

1997

1998

199

9

200

0

2001

2002

2003

200

4

2005

2006

2007

200

8

2009

2010

2011

2012

Em % ano a ano

26,4 26,125,1

24,1

24,2 24,624,6

23,623,7

23,7 23,3

23,5 22,2

21,8

22,122,522,9

25,1 25,7

08 B

85 56

185

16 73

1000 46 0 17 0 29

, ,, , ,− = − =

09 C

25

100279 70⋅ ≅

Portanto, mais de 50 e menos de 75.

6

ÁLGEBRA LIVRO 4


10 B

Colocando os dados em ordem crescente: 13,5 - 13,5 - 13,5 - 13,5 - 14 - 15,5 - 16 - 18 - 18 - 18,5 - 19,5 -

20 - 20 - 20 - 21,5 A média é 17 ºC, pois todas as alternativas apresentam

este valor como resposta. A mediana é o termo central de distribuição em ordem

crescente. Portanto, a mediana é o oitavo termo, ou seja, 18 ºC.

A moda é 13,5 ºC, pois é o termo que apresenta maior frequência (4 vezes).

Resoluções de ENEM e vestibulares

ÁLGEBRALIVRO 4


01 D

Tem-se U = (1, 1), (1, 2), ..., (6, 5), (6, 6) e n(U) = 36.

Para que a soma seja igual a 7:

A = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) e n(A) = 6

Para que a soma seja igual a 9:

B = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) e n(B) = 4

Logo, P(A ∪ B) = P(A) + P(B), pois A ∩ B = ∅.

Portanto:

P(A ∪ B) = 6

36

4

36

10

36

5

18+ + =

02 D

A = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 B = 5, 10, 15, 20 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 10

20

4

20

2

20

12

20

3

5+ − = =

03 E

Comédia Não comédia

A45

100

55

100

B20

100

80

100

C50

100

50

100

Não assistir comédia: em A ou em B ou em C

1

3

55

100

1

3

80

100

1

3

50

100

55 80 50

300

37⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ =

+ +=

P660

04 B

Evento A ⇒ “dama” (4 cartas) Evento B ⇒ “ouros” (13 cartas) Evento A ∩ B ⇒ “dama de ouros” (1 carta) A probabilidade de ocorrer “ouros”, sabendo-se que ocor-

reu “dama”, é:

P

n B A

n AB/A( ) =

∩( )

( )=

1

4

05 E

A ⇒ Evento: cartão com as duas cores.B ⇒ Evento: face vermelha para o juiz, tendo ocorrido o

cartão de 2 cores. P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B/A)

Em que:

P A( ) =

1

3

P( )B/A =

1

2

Probabilidade condicional – ocorre B, se ocorrer A:

P A B( )∩ = ⋅ =

1

3

1

2

1

6

06 E

Evento A ⇒ “dama” (4 cartas) Evento B ⇒ “copas” (13 cartas) Evento A ∩ B ⇒ “dama de copas” (1 carta) A probabilidade de ocorrer “dama”, sabendo-se que ocor-

reu “copas”, é:

P

n A B

n B( )

( )

( )A/B =

∩

=

1

13

07 A

Masculino Feminino Total

Matemática 20 10 30

Física 20 30 50

Química 10 10 20

Total 50 50 100

Evento A ⇒ evento: sexo feminino e do curso de Matemática n(A) = 10

n(U) = 50

P = =

10

50

1

5

08 E

Em pelo menos 6 questões, tem-se:

1o 6 questões certas:

P

P

1

6 1

1 6 7

7

6

1

2

1

2

71

2

1

2

7

2

=

⋅

⋅

= ⋅ ⋅ =

ou

2o 7 questões certas:

P

P

P P P

2

7 0

2 7 7

1 2 7

7

7

1

2

1

2

11

21

1

2

7

2

1

=

⋅

⋅

= ⋅ ⋅ =

= + = +22

8

2

2

2

1

2

1

16

7 7

3

7 4

=

= = =P

2

ÁLGEBRA LIVRO 4


09 A

Considerando P o número estimado de pessoas na foto, tem-se:

P = 500 · (1,5 · 2 + 2 · 4 + 3 · 5 + 2 · 4 + 1,5 · 3)

P = 500 · (3 + 8 + 15 + 8 + 4,5)

P = 500 · 38,5 = 19 250

10 a) O resultado pedido é (1 – 0,53) · 1,5 · 10 = 705 000 pizzas consumidas diariamente no Brasil.

b) O número de pizzas de muçarela e calabresa consumi-das diariamente no Estado de São Paulo é igual a: 0,53 (0,35 + 0,25) · 1,5 ·106 = 477 000.

11 20 alunos correspondem a 360o

3 alunos correspondem a 54o




Logo, o maior ângulo apresentado é o de 162o, correspon-dente ao setor B.

12 A

Observando o valor da população e os ângulos dos seto-res correspondentes, conclui-se que o gráico da alterna-tiva A é o que melhor representa os dados da tabela.

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