resumo_trigonometria_basico

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RESUMO DE TRIGONOMETRIA

TPICO 1FUNES TRIGONOMTRICAS

Funo seno f(x) = sen x:

Domnio: xImagem: 1senx1

A funo seno mpar:f (x)=f (x) ousen(x)=sen(x)

Funo cosseno f(x) = cos x:

Domnio: xImagem: 1cosx1

A funo cosseno par:f (x)= f (x) oucos(x)=cos x

Funo tangente f(x) = tg x = sen x / cos x:

Domnio: x2k , k

Imagem: tgx

A funo tangente mpar:f (x)=f (x) outg(x)=tg(x)

Funo cotangente f(x) = cotg x = cos x / sen x:

Domnio: xk , kImagem: cotg x

A funo cotangente mpar:f (x)=f (x) oucotg(x)=cotg(x)

Funo secante f(x) = sec x = 1 / cos x:

Domnio: x2k

Imagem: (,1 ][1,+ )

A funo secante par:f (x)= f (x) ousec(x)=sec (x)

Funo cossecante f(x) = cossec x = 1 / sen x:

Domnio: xk , kImagem: (,1 ][1,+ )

A funo cossecante mpar:f (x )=f(x) oucossec (x)=cossec (x)

TPICO 2RELAES ENTRE AS FUNES

1 - sen2 xcos2 x=1 (Relao Fundamental)

2 - tg x=sen xcosx

3 - cotg= cos xsenx ou cotgx=1

tg x

4 - sec x= 1cos x

5 - cossec x= 1senx

6 - tg2 x1=sec2 x

7 - cotg2 x1=cossec2 x

8 - cos2 x= cotg2 x

1+cotg2 x ou cos2 x= 1

1+ tg2 x

9 - sen2 x= tg2 x

1 tg2 x ou sen2 x= 1

1cotg2 x

10 - sen(a+b)=senacosb+senbcosa

11 - sen(ab)=senacosbsenbcosa

12 - cos(a+b)=cosacos bsenasenb

13 - cos(ab)=cosacos b+senasenb

14 - tgab= tgatgb1 tga tgb

15 - tgab= tgatgb1 tga tgb

16 - sen2a=2senacosa

17 - {cos2 x = cos2 xsen2 x

sen2 x=1cos2 x 2

cos2 x=1+cos 2x 2

1


18 - tg 2x= 2tgx1tg2 x

19 - sen x2= 1cosx2

20 - cos x2= 1cos x2

21 - tg x2= 1cos x1cos x

22 - senx=2tg x2

1tg2 x2

23 - cos x=1tg2 x2

1 tg2 x2

24 - tg x=2tg x2

1tg2 x2

25 - senasenb=2sen ab2 cosab

2

26 - senasenb=2sen ab2 cosab

2

27 - cosacosb=2cos ab2 cosab

2

28 - cosacosb=2sen ab2 senab

2

29 - tg atgb= sen ab cosacosb

30 - tg atgb= sen(ab)cosacosb

TPICO 3EQUAES

1 - sen=sen{=2k ou =2k2 - cos=cos{=2k ou =2k3 - tg= tg=k

TPICO 4INEQUAES

Para o estudo das inequaes, convm, quasesempre, considerar o ciclo trigonomtrico.

TPICO 1FUNES

TRIGONOMTRICAS01. Todos os valores de x, de modo que a expresso

sen= 2x13 exista, so

A) 1x1 B) 1x0C) 1x2 D) 1x1 /2E) 1x1 /3

02. O conjunto dos nmeros reais a para os quais aequao senx=a+a1 tem soluo real em x

A) B) C) 1,1,0 D) k | k inteiro

03. Se x , 32 e cos x=2k1 ,ento k varia no intervalo

A) 1,0 B) [1,0 C) 0,1/2 D) 0,1E) 1/2,1

2


04. O valor numrico da expressoy=cos4xsen2xtg2 xsec 8x para x=

2

A) 2 B) 1 C) 3 D) 0 E) 4

05. A soluo desen2 xsen4 xsen6 x=3

A) x=k 2, k um inteiro qualquer

B) x=k , k um inteiro qualquer

C) x=4k , k um inteiro qualquer

D) x=2k12 , k um inteiro qualquer

06. Assinalar a afirmao correta:

A) a funo tangente est definida para todo x real, sempre crescente e tem perodo . B) a funo cotangente est definida para todo x real,

diferente de 2k , com k inteiro, sempre

crescente e tem perodo .C) a funo cossecante est definida para todo x real, diferente de k , com k inteiro e tem valores no intervalo [1,+ [ .D) a funo seno est definida para todo x real e sempre crescente.E) a funo secante est definida para todo x real,

diferente de 2k , com k inteiro relativo e tem

seus valores no conjunto ],1 ][1,+ [ .

07. O perodo da funo dada pory=3sen2 x2

A) 12 B)2 C) 2

D) 1 E) 4

08. O domnio e o perodo da funof x=tgx4 so, respectivamente,

A) {x | x4k ,k} e B) {x | x2 +2k ,k} e 2 C) {x |4


06. Sabendo-se que xy=3 e xy=2 ,

ento, senxseny igual a

A) 22 B) 1 C) 32

D) 12 E) 2

07. A soma dos 12 primeiros termos da sriecos ,cos ,cos2 ,

A) 6cos B) cos C) 1D) 0 E) 1

08. Qual o valor da expressolog( tg1)+log(tg2)+ log(tg 3)++log(tg89) ?

A) 0 B) 1 C) 44,5 D) 89 E) -1

09. Dizemos que uma funo real par, se f(x) = f(-x),e que mpar, se f(x) = -f(-x). Das alternativas queseguem, indique qual a falsa.

A) o produto de duas funes mpares uma funo mpar.B) o produto de duas funes pares uma funo par.C) a soma de duas funes mpares uma funo mpar.D) a soma de duas funes pares uma funo par.E) alguma das afirmaes anteriores falsa.

TPICO 2.2TRANSFORMAES

01. A expressoN=sencoscos2cos4cos8cos16cos32

equivalente a

A) N=sen63 B) N=sen64

C) N=cos64 D) N=cos 64

26

E) N=sen64

26

02. Simplificando-se a expresso1

1sec x 1cos x1cos x , obtm-se:

A) senx B) cosx C) tgxD) cotgx E) cossecx

03. Seja 02 . Da figura abaixo, pode-seconcluir diretamente que:

A) tg 2=tg2

B) tg 2=sen

1cos

C) tg 2=1cos

sen

D) tg= sen1cos

E) tg 2= 1senx1senx04. Para que valores de t o sistema

{xy=senxseny=log10 t 2 admite soluo?A) 0t10 B) 0t10C) 0t102 D) 0,1t10

TPICO 3EQUAES

01. No intervalo 2x , a equao

1sen2 xcos x= 2

A) no admite soluo.

B) admite como soluo x=34 .

C) admite como soluo x=23 .

D) admite como soluo x=56 .

E) admite como soluo x= .

02. Os valores de x, que satisfazem a equaocos 3x5 =0 , so

A) x=730 k3 ;k=0 ,1,2,

B) x=715 k3 ;k=0 ,1,2,

C) x=72 k4 ;k=0,1,2 ,

D) x=75 k2 ;k=0,1,2 ,

E) x=74 k6 ;k=0 ,1,2,

4


03. O nmero de solues da equaosenxcosx=0, no intervalox3 ,

A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 0

04. Se tg 4xtg2 x4 =0 para 0x2 , ento xpode ser igual a

A) 16 B)324

C) 524 D)724

05. Se a a menor raiz positiva daequao tg x14sen2 x3=0, ento

sen4 acos2a igual a

A) 516 B) 0 C) 14

D) 32 E) 12

06. No intervalo [0,6], a equao trigonomtricacos2 x2sen2 x2=0

A) possui uma infinidade de razes.B) possui exatamente duas razes.C) no possui razes.D) possui uma nica raiz.E) possui exatamente trs razes.

07. Os valores de x entre 0 e 2 , que satisfazema equao 2sen2 xsenx1=0, so

A) aqueles para os quais senx=12 ou senx=1.

B) x=6 ; x=56 ; x=7

6 ;x=11

6 .

C) x= .

D) x=22k ;k .

E) x=6 ; x=56 ; x=

32 .

08. A soluo da equao625cos

2 x

25cos x=1, para 0x< 2 ,

A) x=0

B) x=6

C) x=0 ou x=6

D) x=3

E) x=2 ou x=3

09. Dada a equaocos2 x2sec2 x=1, com 0x , ento

A) x=4

B) x=34C) x=0

D) no existe x que satisfaz a equao

10. O conjunto de todas as solues da equaocos2 xtgx=senx

A) 2k2 B) 2k

C) k D) k 32

11. Em funo de um nmero inteiro relativo k, qual o conjunto soluo da equao

sen4cos42sen2cos2=1?

A) = k2 B) =k

C) = k4 D)=

2k

E) =2k

12. A expressosen6 x+cos6 x=13sen2 x cos2 x

A) uma equao trigonomtrica que s admite razes no primeiro quadrante.B) uma equao trigonomtrica que s admite um nmero finito de razes.C) uma identidade trigonomtrica.D) uma equao trigonomtrica que s admite razes positivas.E) uma equao trigonomtrica que no admite razes.

13. Os dois ngulos agudos de um tringulo retngulono issceles so razes da equao (em x)

3 tg xk 2 cotg x=4k . Ento:

A) k=1 B) k= 33C) k= 3 D) k= 13

14. O conjunto soluo da equao3 tg2 x5= 7cos x , no intervalo [2 ,2 ] ,

A) {3 ,6 ,0} B) {6 ,6 }C) {3 ,3 } D) {3 ,6 }

5


15. A equao sen2x=senx , x[4 , 54 ] , temA) nenhuma soluo. B) 2 solues.C) 3 solues. D) 4 solues.E) 5 solues.

16. Assinale uma soluo para a equaotrigonomtrica 3senx+cos x=3.

A) x=2k6 B) x=2k6

C) x=2k2 D) x=2k2

TPICO 4INEQUAES

01. A soluo da desigualdadesen2 x120, no intervalo [0,] ,

A) 0x4 ou 34 x

B) 4x34

C) 3x23

D) 0x6 ou 56 x

02. Considere a desigualdadesenxsen2 x0. Pode-se afirmar que:

A) s est satisfeita para x no primeiro quadrante.

B) s est satisfeita para x entre 0 e .

C) a desigualdade que se obtm substituindo-se x por -x equivalente desigualdade dada.D) os valores de x que a satisfazem so precisamente aqueles para os quais senx0.E) existe x no terceiro quadrante que satisfaz a desigualdade.

03. A soluo da inequaosen2 x2senx , x[0,2] ,

A) 0x2 B) x32C) 0x D) 0x2

04. Para 0x2 , o conjunto-soluo desenxcos x21

A) {x | 23 x2}B) {x | 0x2 ou x32 }C) {x | 2x ou 32 x2 }D) {x | 32 x2}E)

05. A inequao4sen2 x21 2senx 20 tem uma soluo

x, tal que:

A) 45 < x < 60 B) 0 < x < 30C) 35 < x < 45 D) 60 < x < 75

06. Se0 e, para todo x real, x2x tg34 , ento:

A) 04

B) 42

C) 234

D) =34E) no existe nessas condies

07. Os valores de x(0,) para os quais1sen x 1cos x 2x0 so tais que

A) 4x34 B)

x2

C) 2x D) 0x2

E) 0x

08. Os pontos da circunfernciatrigonomtrica, correspondentes s solues do

sistema {sen2x>0cotgx


09. A inequaocosxsenx , 0x2 , vlida se e somente

se

A) 0x2B) 0x2

C) 0x4 e 34 x2

D) 2x32

E) 0x8

10. Todos os arcos entre 0 e 2 radianos quesatisfazem a desigualdade cos x 3senx 2esto compreendidos entre

A) 12 e 712 radianos

B) 6 e 76 radianos

C) 4 e 2 radianos

D) nda

11. Para que y=log1sen2 x tenha valores reais,devemos ter, para k inteiro:

A) x2k

B) 2k1x2kC) 2kx2k1

D) x22k

E) kxk1

12. Seja y=alog tg x com 0a1, onde logk indica o logaritmo decimal de k. Ento,

logy0, se

A) 2x e 32 x2

B) 0x2 e x32

C) 0x4 e x54

D) 0x4 e x54

E) 0x32

GABARITO

FUNES TRIGONOMTRICAS

01. C 02. B 03. C 04. D 05. D06. E 07. D 08. A 09. C

IDENTIDADES FUNDAMENTAIS

01. A 02. A 03. C 04. D 05. B06. A 07. D 08. A 09. A

TRANSFORMAES

01. E 02. D 03. B 04. D

EQUAES

01. A 02. A 03. A 04. C 05. C06. C 07. B 08. D 09. D 10. C11. B 12. C 13. C 14. C 15. D16. B

INEQUAES

01. B 02. D 03. C 04. B 05. C06. B 07. C 08. E 09. C 10. A11. A 12. C

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