Risco de resgate e taxa de juro

UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

MESTRADO EM: Ciências Actuariais

APLICAÇÃO DE CÓPULAS AO RAMO VIDA

Risco de resgate e Risco de taxa de juro

DORA MARINA BRANCO LEAL

Orientação: Professor Doutor Alfredo Duarte Egídio dos Reis

Professor Doutor Jorge Manuel Afonso Garcia

DOCUMENTO PROVISÓRIO

Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida

2

Lista de Abreviaturas

AIC – critério de informação de Akaike

AR – Processo Autorregressivo

ARCH – Processo de Heterocedasticidade Condicional Autorregressivo

ARMA – Processo Misto Autorregressivo e de Médias Móveis

CML – Canonical Maximum Likelihood

FAC – Função de Autocorrelação

FACP – Função de Autocorrelação Parcial

IFM – Inference Functions for Margins

MA – Processo de Médias Móveis

ML – Maximum Likelihood


3

APLICAÇÃO DE CÓPULAS AO RAMO VIDA: riscos de resgate e de taxa de juro

Dora Marina Branco Leal

Mestrado em: Ciências Actuariais

Orientadores: Professor Doutor Alfredo Duarte Egídio dos Reis


Resumo

O presente trabalho de projecto tem como principal objectivo determinar uma estrutura

de dependência entre as taxas de resgate dos seguros de capital diferido,

comercializados pelas empresas de seguros que operam no mercado segurador

português, e as taxas de juro, através da aplicação de cópulas. O conceito de cópula

surgiu em 1959 por Able Sklar, dando origem ao teorema de Sklar que diz que a cópula

corresponde a uma função que transforma conjuntamente as funções de distribuição

marginais na distribuição conjunta das variáveis aleatórias. Como tal, o presente

trabalho pretende modelar, através da análise dos dados históricos das taxas de resgate e

das taxas de juro, as distribuições marginais que permitam modelar as respectivas séries

de forma univariada através de processos ARMA-ARCH e, posteriormente determinar,

com base na aplicação de diferentes famílias de cópulas existentes, a cópula que melhor

representa uma estrutura de dependência entre as séries.

Palavras-Chave: Cópulas, cópulas condicionadas, dependência, risco de resgate, risco

de taxa de juro, ARMA-ARCH.


4

USE OF COPULAE IN LIFE INSURANCE: surrender and interest rate risks

Dora Marina Branco Leal

Master in: Actuarial Science

Advisors: Professor Alfredo Duarte Egídio dos Reis


Abstract

This project has the main purpose to find a structure of dependence between the

surrender rates of savings, marketed by insurance companies operating in Portugal, and

interest rates through the use of copulae. The copula was established in 1959 by Able

Sklar, giving rise to the Sklar's theorem which says that a copula corresponds to a

function that transforms the marginal distribution into the joint distribution functions of

random variables. As such, this work has a dual goal: modelling the marginal

distributions of the surrender rates and interest rates, through ARMA-ARCH processes

and then fit a set of pre-determined copula functions and determine the best copula that

represents a structure of dependency between the series.

Keywords: Copulas, conditional copulas, dependency, surrender risk, interest rate risk,

ARMA-ARCH.


5

Índice

Resumo ............................................................................................................................. 3

Lista de Tabelas ................................................................................................................ 7

Lista de Figuras ................................................................................................................ 9

1. Introdução................................................................................................................ 11

2. Cópulas: conceitos gerais ........................................................................................ 13

2.1. Definição de Cópula ....................................................................................... 13

2.2. Famílias de Cópulas ....................................................................................... 15

2.3. Medidas de Dependência ................................................................................ 18

2.3.1. Coeficiente de Correlação de Pearson ........................................................ 19

2.3.2. Medidas de Concordância: Tau de Kendall e Rho de Spearman ................ 20

2.3.3. Dependência de Cauda ............................................................................... 22

2.4. Métodos de Estimação dos Parâmetros de Cópulas ....................................... 23

2.4.1. Método ML ................................................................................................. 23

2.4.2. Método IFM ................................................................................................ 24

2.4.3. Método CML .............................................................................................. 25

2.4.4. Outros métodos de estimação ..................................................................... 25

2.5. Cópulas Condicionadas e Processos ARCH ................................................... 26

3. Cópulas: aplicação prática ....................................................................................... 32

3.1. Análise dos Dados .......................................................................................... 32

3.2. Modelação das séries empíricas ..................................................................... 36

3.2.1. Taxas de Resgate ........................................................................................ 36

3.2.2. Taxas de Juro .............................................................................................. 45


6

3.3. Funções de Distribuição Marginais ................................................................ 49

3.4. Estrutura de dependência: ajustamento de Cópula ......................................... 52

4. Notas Finais ............................................................................................................. 56


7

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 – Dependências de cauda .......................................................................................... 23

Tabela 2.2 – Identificação dos processos estacionários .............................................................. 29

Tabela 3.1 – Estatísticas descritivas das séries empíricas ........................................................... 35

Tabela 3.2– Correlograma das funções FAC e FACP da série corrigida das taxas de resgate ... 37

Tabela 3.3 – Resultados da estimação dos modelos ARMA ....................................................... 38

Tabela 3.4– Correlograma das funções FAC e FACP dos resíduos ............................................ 39

Tabela 3.5 – Resultados do teste Box & Pierce .......................................................................... 41

Tabela 3.6 - Correlograma da função FAC e FACP do quadrado dos resíduos .......................... 41

Tabela 3.7 – Resultados do teste ARCH-LM .............................................................................. 42

Tabela 3.8 – Resultados da estimação do modelo ARMA(0,2)(1,0)12-ARCH(2) ....................... 43

Tabela 3.9 - Resultados do teste ARCH-LM .............................................................................. 44

Tabela 3.10 – Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado.................... 45

Tabela 3.11– Correlograma das funções FAC e FACP da série corrigida das taxas de juro ...... 46

Tabela 3.12 – Resultados da estimação do modelo ARMA(1,0) ................................................ 46

Tabela 3.13– Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado .................... 47

Tabela 3.14 – Resultados da estimação do modelo ARMA(1,0)- ARCH(2) .............................. 48

Tabela 3.15– Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado .................... 48

Tabela 3.16 – Resultados do teste ARCH-LM ............................................................................ 48

Tabela 3.17 – Estatísticas descritivas das séries ajustadas .......................................................... 49

Tabela 3.18 – Estatísticas descritivas dos resíduos estandardizados ........................................... 51


8

Tabela 3.19 – Resultados da estimação das cópulas Gaussiana, t-Student, Gumbel, Clayton e

Frank ........................................................................................................................................... 53

Tabela 3.20 - Resultados da estimação das cópulas Gaussiana, t-Student, Gumbel, Clayton e

Frank, considerando o período de Janeiro de 2003 a Setembro de 2009 .................................... 55


9

Lista de Figuras

Figura 3.1 – Séries empíricas das taxas de resgate e das taxas de juro ....................................... 34

Figura 3.2 – Série empírica das taxas de resgate ......................................................................... 36

Figura 3.3 – Série empírica das taxas de resgate com uma diferenciação simples e série empírica

com uma diferenciação sazonal ................................................................................................... 37

Figura 3.4 - Série empírica das taxas de juro .............................................................................. 45

Figura 3.5 - Série empírica das taxas de juro com uma diferenciação simples ........................... 46

Figura 3.6 – Ajustamentos ARMA-ARCH das séries corrigidas ................................................ 49

Figura 3.7 – Funções de distribuição marginais dos resíduos estandardizados das séries

corrigidas das taxas de resgate e das taxas de juro ...................................................................... 50

Figura 3.8 – Série bivariada dos resíduos estandardizados das séries corrigidas ........................ 51

Figura 3.9 - Série bivariada da transformação dos resíduos estandardizados ............................. 52

Figura 3.10 – Funções de densidade de distribuição das cópulas elípticas, Gaussiana e t-Student,

e respectivos diagramas das curvas de nível ............................................................................... 54

Figura 3.11 - Funções de densidade de distribuição das cópulas Arquimedianas, Gumbel,

Clayton e Frank, e respectivos diagramas das curvas de nível.................................................... 54


10

Agradecimentos

Aos Professores Alfredo Duarte Egídio dos Reis e Jorge Manuel Afonso Garcia pela

orientação e aconselhamento prestados para a concretização do presente trabalho de

projecto.

Ao Conselho Directivo do Instituto de Seguros de Portugal, ao Dr. António Egídio dos

Reis e à Dra. Ana Cristina Santos por me terem proporcionado a frequência deste

Mestrado e disponibilizado os dados que foram testados na parte prática.

À Dra. Gabriela Antunes pelo apoio incondicional, conselhos e tempo disponibilizado

ao longo da realização deste trabalho.

À Dra. Vanda Antunes e à Dra. Ana Rita Pimenta pela enorme preocupação e

compreensão demonstradas, pelos esclarecimentos prestados e pela revisão efectuada,

cujas sugestões foram muito úteis.

À Dra. Ana Marisa Rodrigues, Dra. Carla Sá e ao Dr. Hugo Borginho pelo apoio e

referências bibliográficas fornecidas.

À Cláudia Duarte, pelas discussões existentes ao longo de todo o trabalho.

À minha família, em particular o Tiago, e aos restantes amigos por todo o apoio,

paciência e compreensão demonstrados.


11

1. Introdução

A revisão em curso do actual regime de solvência aplicável às empresas de seguros a

operar no Espaço Económico Europeu, fundado na adopção de princípios económicos

para a avaliação dos activos e dos passivos, e de requisitos de capital baseados nos

riscos efectivamente assumidos, tem levado a profundas alterações na forma de gerir os

riscos a que essas empresas se encontram expostas.

Com efeito, a gestão dos riscos tem vindo a assumir uma importância cada vez maior na

gestão sã e prudente do negócio, sendo essencial um conhecimento aprofundado e

adequado de todos os riscos em exposição.

Face ao elevado número de factores de risco existentes, é possível recorrer ao conceito

de cópula para modelar uma estrutura de dependência desses riscos, que mais não é do

que uma função que transforma conjuntamente as funções de distribuição marginais na

distribuição conjunta das variáveis aleatórias.

As cópulas têm sido bastante utilizadas na área financeira na modelação de dependência

entre as distribuições do preço de diferentes activos, nomeadamente no que se refere à

não normalidade do retorno dos activos e à dependência das caudas da distribuição

conjunta. No entanto, existem muitas outras áreas ainda não devidamente exploradas em

que é possível recorrer ao método das cópulas para estudar o comportamento futuro de

variáveis aleatórias.

Na actividade seguradora, alguns dos riscos importantes associados à exploração do

ramo vida são o risco de resgate e o risco de taxa de juro, sendo primordial para uma

gestão eficaz das carteiras das empresas de seguros a sua previsão. Assim, o presente

trabalho consiste em modelar uma estrutura de dependência, caso exista, entre as taxas


12

de resgate e as taxas de juro através da teoria das cópulas, de modo a efectuar uma

previsão do comportamento futuro das mesmas.

O Capítulo 2 sintetiza a teoria das cópulas, nomeadamente as definições e os conceitos

gerais, a descrição das famílias de cópulas mais utilizadas na prática, as medidas de

dependência, incluindo as principais características, e os modelos de estimação dos

parâmetros das cópulas. Na última secção deste capítulo é efectuado um breve resumo à

teoria de cópulas condicionadas e de séries temporais, dada a sua enorme importância

na aplicação prática.

No Capítulo 3 é apresentada uma aplicação prática das cópulas, que visa modelar uma

estrutura de dependência entre o risco de taxa de juro e o risco de resgate dos seguros de

capital diferido comercializados pelas seguradoras com actividade em Portugal. A

construção do modelo foi efectuada através dos seguintes passos:

1. Determinação, através da análise das séries empíricas das taxas de resgate e das

taxas de juro, das distribuições marginais que permitam modelar as respectivas

séries de forma univariada;

2. Escolha, com base na aplicação de diferentes famílias de cópulas existentes, da

cópula que melhor representa uma estrutura de dependência entre as séries;

Todo o trabalho de programação foi efectuado utilizando o programa Eviews, na

modelação das distribuições marginais das séries empíricas e o programa Matlab, na

modelação de cópulas e respectivas medidas de dependência. A programação poderá ser

facultada através do email [email protected] bem como os dados utilizados.

mailto:[email protected]


13

2. Cópulas: conceitos gerais

2.1. Definição de Cópula

O termo cópula foi introduzido por Abe Sklar (1959), correspondendo a uma função

que une funções de distribuição unidimensionais (distribuições marginais) de forma a

obter uma função de distribuição multivaridada. Por outras palavras, a cópula é uma

função que transforma conjuntamente as funções de distribuição marginais na

distribuição conjunta das variáveis aleatórias, permitindo, assim, modelar uma estrutura

de dependência de uma função de distribuição conjunta, separando o comportamento

marginal de cada variável.

Teorema de Sklar

Seja H uma função de distribuição conjunta com funções de distribuição marginais F

e G. Então, existe uma cópula C tal que, para todo o ,

. (2.1)

Se F e G são contínuas, então C é única. Pelo contrário, se C é uma cópula e F e G são

funções de distribuição, então a função H definida em (2.1) é uma função de

distribuição conjunta com funções marginais F e G.

A demonstração do teorema pode ser consultada em Nelsen (1999) ou em

Denuit et al. (2005), através da qual se retira que

, (2.2)

É importante salientar que:

as funções de distribuição F e G têm domínio , são não decrescentes e

e e e ;


14

a função de distribuição conjunta H, tem domínio , se for crescente em relação

a cada uma das variáveis e e .

Deste modo, H tem funções marginais F e G dadas por e

.

Para uma maior compreensão do teorema anterior, considere-se o exemplo seguinte, o

qual pode ser consultado em Nelsen (1999).

Exemplo: Seja uma função com domínio dada por:

e

Invertendo as funções e , fica e para

. Logo, substituindo as funções inversas na função de distribuição ,

obtém-se a expressão da cópula

.

Utilizar uma cópula como a base de construção de um modelo multivariado torna-se

muito útil, na medida em que não existem restrições no que respeita às funções de

distribuição marginais. Deste modo, as funções de distribuição marginais podem


15

resultar de diferentes famílias de distribuição, podendo a cópula ser parametrizada

através de um parâmetro de dependência entre as distribuições marginais.

Refira-se que para variáveis aleatórias independentes, a cópula corresponderá

simplesmente ao produto das distribuições marginais.

2.2. Famílias de Cópulas

Existe uma enorme diversidade de famílias de cópulas pré-determinadas, sendo que este

ponto visa apresentar as principais características das cópulas elípticas e das cópulas

Arquimedianas, por se tratar das cópulas utilizadas no presente trabalho.

2.2.1. Cópulas Elípticas

A classe de cópulas elípticas consiste em funções de distribuição multivariadas que

resultam das funções de distribuição elípticas e goza de muitas das propriedades da

função de distribuição Normal multivariada, com a vantagem de ser possível obter

estruturas de dependência não normais.

As funções de cópulas que se destacam nesta classe são a cópula Normal (ou Gaussiana)

e a cópula t-Student, as quais se descrevem de seguida.

Normal ou Gaussiana

A cópula Normal ou Gaussiana descreve uma estrutura de dependência induzida pela

função de distribuição Normal bivariada, no caso das distribuições marginais serem

normais, e é dada por

, (2.3)

onde corresponde à inversa da função de distribuição Normal padrão e à

função de distribuição Normal bivariada com coeficiente de correlação linear .


16

A função de distribuição Normal multivariada é muito utilizada na gestão de riscos para

simular a distribuição dos factores de risco presentes numa determinada carteira de

investimentos de modo a avaliar o risco de mercado e/ou o risco de crédito.

Refira-se, no entanto, que basta uma das funções de distribuição marginais não ser

Normal para que a função de distribuição conjunta seja diferente da distribuição Normal

bivariada.

Este tipo de cópula é simétrica e não apresenta dependência nas caudas da distribuição.

t-Student

A cópula de t-Student é obtida a partir da função distribuição de Student bivariada, do

mesmo modo que a cópula Gaussiana se obtém a partir da função de distribuição

Normal bivariada, e é definida por:

(2.4)

em que corresponde aos graus de liberdade e ao coeficiente de correlação linear da

distribuição de Student bivariada. Quando a cópula de t-Student converge para a

Normal ou Gaussiana.

A cópula t-Student é mais adequada para modelar eventos extremos, tais como

oscilações não previstas no mercado de acções uma vez que, ao contrário da cópula

Gaussiana, a t-Student permite algum grau de dependência na cauda da distribuição,

apesar de ser o mesmo em ambas as caudas (dada a simetria da função).

Mais se acrescenta que quanto maior o número de graus de liberdade da cópula, mais a

função se aproxima da cópula Gaussiana, pelo que a relação de dependência existente

nas caudas tende para zero à medida que os graus de liberdade tendem para infinito.


17

2.2.2 Cópulas Arquimedianas

Contrariamente às cópulas elípticas, a classe de cópulas Arquimedianas permite captar

uma estrutura de dependência nas caudas, nos casos onde existe alguma assimetria no

comportamento das variáveis em estudo, na medida em que possibilita a utilização de

diferentes coeficientes de dependência para a cauda da função de distribuição.

Além disso, as cópulas Arquimedianas não são obtidas directamente das funções de

distribuição multivariadas e do Teorema de Sklar já enunciado. Para definir as cópulas

Arquimedianas é necessário definir, de acordo com o apresentado por Nelsen (1999), a

função geradora da cópula, seja , bem como a sua função pseudo-inversa, .

Seja tal que:

(i) ;

(ii) Para todo o , ou seja, é decrescente;

(iii) Para todo o , ou seja, é convexa.

E seja, , tal que:

Se for convexa, então a função cópula é definida da seguinte forma:

(2.5)

Se , então .

De entre a panóplia de cópulas que constituem as cópulas Arquimedianas, destacam-se

as cópulas Gumbel, Clayton e Frank, cuja especificação das respectivas funções

depende apenas de um parâmetro, tornando-as, assim, bastante utilizadas na prática.


18

a) Gumbel

A cópula Gumbel é definida para como sendo

(2.6)

em que .

De referir que esta cópula apresenta apenas dependência na cauda superior.

b) Clayton

A cópula Clayton é definida para como sendo

(2.7)

com .

Ao contrário da cópula Gumbel, a cópula Clayton apresenta apenas dependência na

cauda inferior.

c) Frank

A cópula Frank é definida para como sendo

(2.8)

com .

Esta cópula apresenta a mesma dependência em ambas as caudas da função, tal como as

cópulas elípticas descritas anteriormente.

2.3. Medidas de Dependência

Para medir a relação existente entre os diversos factores de risco existem diversas

medidas de dependência, das quais se destaca o coeficiente de correlação linear. Esta


19

secção visa descrever, para além deste coeficiente de correlação, as principais medidas

de dependência que estão directamente relacionadas com as cópulas, designadamente o

tau de Kendall, o rho de Sperman e as dependências de cauda.

2.3.1. Coeficiente de Correlação de Pearson

O coeficiente de correlação de Pearson é uma medida de dependência entre duas

variáveis aleatórias que captura o seu grau de relação linear e é definido por:

. (2.9)

O coeficiente de correlação linear situa-se no intervalo , onde -1 representa uma

correlação linear perfeita negativa e 1 representa uma correlação linear perfeita positiva.

No caso de duas variáveis aleatórias independentes, o coeficiente de correlação é nulo, o

que significa que não dependem linearmente uma da outra. No entanto, o inverso não é

verdadeiro, como é o caso da correlação nula entre uma variável aleatória com função

de distribuição Normal padrão e uma variável aleatória correspondente ao quadrado da

anterior que segue uma função de distribuição de com 1 grau de liberdade, quando

claramente as variáveis aleatórias não são independentes. Em grande parte dos casos

existirá alguma dependência não linear, pelo que este caso deverá ser sempre analisado

com algum cuidado.

Esta definição pressupõe a existência de variâncias finitas para X e Y, o que torna esta

medida de dependência bastante limitada, sobretudo quando se trabalha com funções de

distribuição com caudas pesadas. Além disso, o coeficiente de correlação de Pearson

não é invariante a transformações estritamente crescentes.

Trata-se de uma medida de dependência muito útil, pela sua facilidade de cálculo,

tendo, no entanto, o inconveniente de apenas resultar no caso de funções de distribuição


20

multivariadas normais ou, mais genericamente, funções de distribuição multivariadas

elípticas, pelo que nos casos em que as variáveis não seguem este tipo de funções, a

utilização do coeficiente de correlação linear não será a mais adequada.

2.3.2. Medidas de Concordância: Tau de Kendall e Rho de Spearman

Em geral, a covariância não revela toda a informação da estrutura de dependência da

cópula, pelo que surgiram outros conceitos de dependência designados por correlações

de ordem, o tau de Kendall e o rho de Sperman, formando ambas uma medida de

dependência conhecida como concordância.

Um par de variáveis aleatórias diz-se concordante se valores elevados de uma dessas

variáveis estiverem tendencialmente associados a valores elevados da outra variável e,

da mesma forma, valores diminutos de uma associados a valores diminutos da outra.

Seja e um par de observações das variáveis aleatórias X e Y. O par de

observações diz-se concordante se e , ou se e e

discordantes se e , ou se e .

Em alternativa, e dizem-se concordantes se e

discordantes se .

Ao contrário do coeficiente de correlação linear, as medidas de concordância são

invariantes a transformações não lineares.

Tau de Kendall

O tau de Kendall ( ) corresponde à probabilidade de concordância entre duas variáveis

aleatórias subtraída da probabilidade de discordância dessas mesmas variáveis, tal como

pode ser consultado em Nelsen (1999).


21

Sejam, n o número total de observações de cada variável aleatória, m o número de pares

distintos e de observações existentes na amostra, c o número de pares

concordantes e d o número de pares discordantes.

Então, o tau de Kendall da amostra é dado por

.

O tau de Kendall da população para um vector de variáveis aleatórias contínuas ,

com função de distribuição conjunta H, é dado por:

. (2.10)

De forma similar se define o tau de Kendall para duas variáveis aleatórias contínuas

e cópula :

. (2.11)

Como caso particular, o tau de Kendall para as cópulas Arquimedianas é dado por

. (2.12)

O tau de Kendall goza da propriedade de invariância sob transformações estritamente

monótonas e também é definido entre -1 e 1, em que -1 indica uma dependência perfeita

negativa e 1 uma dependência perfeita positiva.

Rho de Spearman

Sejam , e três vectores aleatórios independentes, com função de

distribuição conjunta H e cópula , o rho de Sperman, , é dado por:

. (2.13)


22

De forma similar se define o rho de Spearman para duas variáveis aleatórias contínuas

e cópula :

. (2.14)

Refira-se a possibilidade de relacionar as diversas medidas de dependência entre si, na

cópula Gaussiana, através da seguinte expressão:

. (2.15)

No caso das cópulas Arquimedianas, as medidas de dependência podem ser obtidas

através dos parâmetros estimados: para a Gumbel, para a

Clayton e para a Frank.

2.3.3. Dependência de Cauda

Para além das medidas de dependência anteriormente explicadas, existem ainda as

dependências de cauda superior, , e inferior, , as quais se definem da seguinte

forma, respectivamente:

, (2.16)

. (2.17)

A dependência de cauda superior representa a associação da cauda existente no

quadrante superior direito e a dependência de cauda inferior representa a associação no

quadrante inferior esquerdo. Se ou , significa que não existe dependência

de cauda inferior e superior, respectivamente.

As dependências de cauda são determinadas a partir das diferentes famílias de cópulas,

através dos parâmetros estimados.


23

A Tabela 2.1 apresenta as diversas medidas de dependência de cauda existentes para as

diferentes cópulas estudadas no presente trabalho.

Tabela 2.1 – Dependências de cauda

Cópula Cauda

Gaussiana

t-Student

Gumbel ;

Clayton

Frank

2.4. Métodos de Estimação dos Parâmetros de Cópulas

Nas distribuições paramétricas as cópulas podem ser estimadas através do método

Maximum Likelihood (ML), do método Inference Functions for Margins (IFM) e do

método Canonical Maximum Likelihood (CML).

2.4.1. Método ML

O método de máxima verosimilhança consiste em estimar simultaneamente os

parâmetros das funções de distribuição marginais e da função cópula.

Seja a função densidade de probabilidade da função de distribuição conjunta , dada

por:

, (2.18)

onde e correspondem às funções densidade das funções de distribuição marginais

e e à função densidade da cópula dada pela seguinte expressão:

(2.19)


24

Suponha-se um conjunto de dados empíricos, , para as variáveis aleatórias e e seja

o espaço dos parâmetros a estimar, onde corresponde ao vector dos

parâmetros das funções de distribuição marginais e ao vector dos parâmetros da

cópula.

A função do logaritmo da verosimilhança, , é dada por:

. (2.20)

O estimador ML para , seja , é aquele que maximiza o argumento da função do

logaritmo da verosimilhança, isto é,

.

No entanto, o facto de estimar conjuntamente todos os parâmetros pode tornar o

estimador bastante complexo, principalmente no caso de funções de distribuição com

muitos parâmetros.

Refira-se ainda que o estimador ML é consistente e assintoticamente normal.

2.4.2. Método IFM

O método IFM consiste em estimar os parâmetros das funções de distribuição marginais

e da cópula em dois passos, os quais são os seguintes:

1. Estimação dos parâmetros das funções de distribuição marginais pelo método

ML, ou seja,

,

.


25

2. Estimação do parâmetro da cópula, considerando a estimação efectuada aos

parâmetros das funções de distribuição marginais, ou seja,

.

O estimador IFM é igualmente consistente e assintoticamente normal, apresentando, no

entanto, uma menor eficiência face ao estimador ML. Isto decorre do facto de poderem

ocorrer erros de estimação ao utilizar dois passos, o que poderá originar uma

propagação dos mesmos. Contudo, os resultados não são muito diferentes na maioria

dos casos.

2.4.3. Método CML

O método CML baseia-se nas distribuições empíricas das funções de distribuição

marginais, não assumindo assim qualquer hipótese para os seus parâmetros. A

estimação dos parâmetros também é efectuada em dois passos como no método IFM:

1. Transformação dos dados em dados de realizações/observações de variáveis

aleatórias uniformes e , usando as funções de distribuição empíricas;

2. Estimação dos parâmetros da cópula através do método ML, ou seja,

2.4.4. Outros métodos de estimação

Para além da aplicação dos métodos ML, IFM e CML, existem ainda as seguintes

possibilidades de estimação: a estimação não-paramétrica, que consiste em utilizar

cópulas empíricas construídas a partir dos dados da amostra e a estimação baseada nas

medidas de dependência, a qual apenas é possível no caso de cópulas bivariadas com


26

um parâmetro. Este último tipo de estimação consiste em recorrer às relações existentes

entre as medidas de dependência já descritas anteriormente e os parâmetros das cópulas.

Apesar da sua simplicidade, a aplicação deste método tem como grande desvantagem o

facto de negligenciar parte da informação disponível, apresentando resultados bastante

diferentes dependendo da medida de dependência utilizada.

2.5. Cópulas Condicionadas e Processos ARCH

No presente trabalho, cuja aplicação prática se descreve no capítulo seguinte, foram

aplicadas as chamadas cópulas condicionadas, que consistem numa combinação da

teoria de cópulas apresentada nos pontos anteriores e os processos de

heterocedasticidade condicional autorregressivos (ARCH) utilizados na modelação de

sucessões cronológicas ou séries temporais, de acordo com o descrito em

Murteira et al. (1993) e em Muller (1995).

Uma sucessão cronológica pode ser definida como uma trajectória particular, limitada

no tempo, de um processo estocástico, seja . As sucessões cronológicas são

normalmente constituídas por três componentes: tendência (inércia da sucessão),

sazonalizade (variações que se repetem, em torno da tendência, ao longo do período) e

ruído aleatório (movimentos irregulares de origem desconhecida).

O objectivo primordial na análise deste tipo de sucessões consiste na identificação e

estimação do modelo probabilístico que melhor se ajusta aos dados, de forma a permitir

prever o seu comportamento futuro.

Uma sucessão cronológica diz-se estacionária se apresentar uma tendência neutra, não

tiver movimentos estritamente periódicos (isto é, a variabilidade da série não pode ir

aumentando ou diminuindo ao longo do tempo) e se a variância se encontrar


27

estabilizada ao longo do período de observação. Para eliminar estas componentes

recorre-se a transformações das sucessões, ou seja, a diferenciações simples para

eliminar a tendência e a diferenciações sazonais para eliminar o efeito da sazonalidade.

Dos processos estacionários existentes destacam-se o ruído branco, , os processos de

médias móveis (MA), os processos autoregressivos (AR) e os processos mistos

autoregressivos e de médias móveis (ARMA). Podem ainda existir sucessões

cronológicas com componentes sazonal e não sazonal, para as quais podem ser

definidos os processos mistos multiplicativos.

Ruído Branco

O processo , diz-se um ruído branco se para todo

. Adicionalmente, se o processo é tal que,

então o processo diz-se estacionário.

Processo de Médias Móveis

Seja um ruído branco estacionário, o processo diz-se um processo

de médias móveis de ordem , , se

, (2.21)

com para .


28

Processo Autoregressivo


autoregressivo de ordem , , se

, (2.22)

com para .

Processo Misto


misto autoregressivo e de médias móveis de ordens e , , se

, (2.23)

com para .

Processo Misto Multiplicativo


misto autoregressivo e de médias móveis de ordens e para a componente não

sazonal e de ordens e para a componente sazonal , , se

, (2.24)

com para , e

para .

A estacionaridade da sucessão bem como a identificação do tipo de processo a aplicar

pode ser verificada através da análise da função de autocorrelação (FAC), seja , e da

função de autocorrelação parcial (FACP).


29

A FAC é dada por

. (2.25)

Considere-se o modelo de regressão linear múltipla de sobre dos seus valores

passados ,

. (2.26)

O coeficiente corresponde à FACP e dá uma medida da correlação entre e ,

conhecendo-se os respectivos valores intermédios, e trata-se de um ruído branco.

A Tabela 2.2 sintetiza a identificação dos diferentes processos estacionários através da

análise das funções FAC e FACP.

Tabela 2.2 – Identificação dos processos estacionários

AR MA ARMA

FAC Decaimento exponencial e/ou

sinusoidal para zero

Decaimento brusco para zero a

partir da ordem do processo

Decaimento exponencial

e/ou sinusoidal para zero

FACP Decaimento brusco para zero a

partir da ordem do processo

Decaimento exponencial e/ou

sinusoidal para zero

Decaimento exponencial

e/ou sinusoidal para zero

Segundo a teoria de Box-Jenkins, quando se obtém um ruído branco para os resíduos do

modelo significa que o ajustamento do modelo é bom. No entanto, a volatilidade desse

ruído branco poderá não ser constante ao longo do tempo. Esta é a situação típica da

análise de séries financeiras, as quais são normalmente modeladas pelos chamados

processos ARCH.

Processo de Heterocedasticidade Condicional Autorregressiva

Considere-se uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas (i.i.d.), seja , com média zero e variância unitária. Um processo , diz-se


30

um processo de heterocedasticidade condicional autorregressiva de ordem , ,

se:

(2.27)

com , .

O processo é estacionário se e só se .

Os parâmetros podem ser estimados pelo método de máxima verosimilhança,

assumindo que os resíduos estandardizados, variáveis , são i.i.d. e seguem uma

distribuição Normal padrão, ou seja,

No presente trabalho as diferentes famílias de cópulas foram aplicadas aos resíduos

estandardizados de forma a analisar uma estrutura de dependência dos mesmos, pelo

que os métodos de estimação apresentados no ponto anterior podem ser aplicados, com

as devidas adaptações.

Seja uma função de distribuição conjunta condicionada por , com funções de

distribuição marginais e .

(2.28)

A função do logaritmo da verosimilhança condicionada é dada pela versão condicionada

do Teorema de Sklar.

(2.29)


31

As conclusões retiradas quanto ao ajustamento do processo estacionário determinado no

capítulo que se segue, bem como quanto ao ajustamento das cópulas, basearam-se no

critério de informação de Akaike (1974), mais conhecido como critério AIC, o qual é

determinado da seguinte forma:

, (2.30)

onde representa o número de parâmetros da família de distribuição ajustada. Segundo

este critério, o modelo que melhor se ajusta aos dados será o que minimiza o

correspondente valor de AIC, uma vez que significa que é o modelo que terá uma menor

variância residual.

Por último, refira-se que, tendo em consideração o objectivo do presente trabalho, toda a

teoria apresentada anteriormente foi baseada no caso bivariado. No entanto, importa

realçar o facto de a mesma poder ser facilmente generalizada para o caso multi-

dimensional.


32

3. Cópulas: aplicação prática

Neste capítulo pretende-se descrever a modelação de uma estrutura de dependência

entre as taxas de resgate e as taxas de juro através da teoria das cópulas de modo a

determinar o mais aproximadamente possível o comportamento futuro das mesmas.

Como referido na introdução do trabalho, a construção do modelo será efectuada através

dos seguintes passos:

1. Determinação, através da análise das séries empíricas das taxas de resgate e das

taxas de juro, das distribuições marginais que permitam modelar as respectivas

séries de forma univariada;

2. Escolha, com base na aplicação de diferentes famílias de cópulas existentes, da

cópula que melhor representa uma estrutura de dependência entre as séries;

3.1. Análise dos Dados

Os dados utilizados na análise correspondem ao histórico das taxas de resgate dos

seguros de capital diferido, comercializados pelas empresas de seguros com actividade

em Portugal, e das taxas de juro a 12 meses, ambas relativas ao período de Janeiro de

1998 a Setembro de 2009 (141 observações).

Os seguros de capital diferido caracterizam-se por garantir o pagamento imediato do

valor do capital constituído na conta poupança da pessoa segura se esta for viva na data

de vencimento do contrato ou em caso de falecimento antes da data de vencimento do

contrato. A maioria deste tipo de seguros caracteriza-se por garantir uma determinada

taxa de juro fixa, conferindo ainda o direito a uma participação nos resultados em

função das melhores rendibilidades obtidas com os activos que estão afectos a estes


33

produtos. De referir ainda que em caso de resgate são, geralmente, cobradas

penalizações.

As taxas de resgate foram determinadas, para cada trimestre, pelo quociente entre os

montantes pagos relativos a resgates e a média das provisões matemáticas, cujos valores

foram trabalhados com base nos dados reportados pelas empresas de seguros ao

Instituto de Seguros de Portugal. Sobre esta matéria importa referir que uma vez que

apenas foi possível determinar taxas de resgate trimestrais, as taxas de resgate mensais

utilizadas foram obtidas por interpolação linear, através da seguinte forma:

,

em que representa o extremo inferior do intervalo de tempo considerado, representa

o extremo superior do intervalo de tempo considerado e representa um ponto

intermédio do intervalo .

A necessidade de obter dados mensais resulta do facto de um maior número de

observações melhorar o ajustamento.

O histórico das taxas de juro utilizadas foi retirado do sítio da internet do Banco Central

Europeu1 e corresponde às taxas de juro a 12 meses, por se tratar de taxas mais líquidas.

Refira-se que o programa utilizado na modelação das séries empíricas foi o Eviews,

pelo que todas as figuras utilizadas na análise das mesmas são as que resultam como

output do programa. Para a modelação das diferentes cópulas utilizadas foi utilizado o

programa Matlab, pelo que, do mesmo modo, as ilustrações e resultados apresentados

foram os que resultaram do próprio programa.

1 http://www.ecb.int/ecb/html/index.pt.html.


34

A Figura 3.1 apresenta as séries históricas das taxas de resgate e das taxas de juro

utilizadas.

Figura 3.1 – Séries empíricas das taxas de resgate e das taxas de juro

Os dados encontram-se autocorrelacionados ao longo do tempo, sendo possível

visualizar na figura anterior a existência das componentes tendência, sazonalizade e

ruído aleatório, principalmente na série empírica das taxas de resgate. Atendendo à

existência destas componentes, o objectivo será transformar adequadamente as séries de

modo a eliminar estes efeitos, e, de seguida, identificar e estimar um modelo estocástico

linear que permita descrever as mesmas.

Para tal, recorreu-se à modelação Box-Jenkins, uma vez que tem em conta que uma

sucessão cronológica representa uma realização particular limitada no tempo de um

processo estocástico, tal como descrito em Murteira et al. (1993) e em Muller (1995).

De referir ainda que a modelação Box-Jenkins exige a estacionaridade dos processos.

A Tabela 3.1 sintetiza as estatísticas descritivas de cada uma das séries em análise bem

como o respectivo coeficiente de correlação linear, o qual evidencia uma relação de

dependência linear entre as taxas de resgate e as taxas de juro de aproximadamente 0,11.


35

Tabela 3.1 – Estatísticas descritivas das séries empíricas

Taxas de Resgate Taxas de Juro

Média 0,023851 0,034381

Mediana 0,019141 0,034832

Máximo 0,071588 0,053932

Mínimo 0,009732 0,012610

Desvio-padrão 0,012987 0,010506

Correlação linear 0,107570

Considerando as estatísticas descritivas determinadas, verificou-se que ao longo do

período analisado a média das taxas de resgate foi de 2,39% e a média das taxas de juro

de 3,44%, tendo as taxas de resgate atingido o seu máximo nos 7,16%. Saliente-se que

este pico observou-se no período que decorreu em consequência da enorme crise dos

mercados financeiros (2008), altura em que as taxas de juro registaram igualmente os

seus maiores valores (5,39%).

A correlação de 0,11 não se revela muito significativa, facto que pode estar associado às

características do tipo de seguros em análise. Por exemplo, considere-se um seguro de

capital diferido com uma taxa técnica garantida de 3%, conferindo ainda o direito a uma

participação nos resultados se as taxas de rendibilidade dos activos afectos forem

superiores à taxa garantida. Se as taxas de juro de mercado estiverem nos 4% e a taxa de

rendibilidade dos activos for de 4,5%, então o beneficiário do seguro irá receber, além

da taxa garantida, uma percentagem da diferença (0,5%) como participação nos

resultados, pelo que apesar da taxa de juro ser superior à taxa garantida, não existiria

vantagem em efectuar o resgate do capital existente à data. Por outro lado, se a taxa de

rendibilidade for abaixo dos 4%, a penalização cobrada por resgate poderá continuar a

não ser compensatória.


36

Importa, contudo, referir que considerando o histórico das taxas de resgate e das taxas

de juro para um período mais recente, entre Janeiro de 2003 a Setembro de 2009, a

correlação linear entre as taxas é de aproximadamente 0,37. De facto, observando

novamente a Figura 3.1, é possível visualizar uma alteração do comportamento das

séries naquele período, não se evidenciando, ainda assim, uma correlação muito

significativa entre as séries.

O ponto que se segue consiste em determinar os modelos aplicáveis às séries temporais,

descritos no capítulo anterior, de forma a obter as funções de distribuição marginais a

utilizar nas cópulas para cada uma das séries empíricas.

3.2. Modelação das séries empíricas

3.2.1. Taxas de Resgate

A Figura 3.2 representa a série histórica das taxas de resgate.

Figura 3.2 – Série empírica das taxas de resgate

Analisando o gráfico da série empírica, observa-se uma tendência crescente bem como

movimentos periódicos em torno da mesma, pelo que foi necessário efectuar uma

diferenciação simples e uma diferenciação sazonal de modo a estacionarizar a série de

dados. Pela teoria de Box-Jenkins para que uma sucessão seja estacionária tem de

apresentar uma tendência neutra, não apresentar movimentos estritamente periódicos e a

variância tem de se encontrar estabilizada ao longo do período de observação, facto que


37

pode ser verificado através da análise das séries corrigidas apresentadas na Figura 3.3,

bem como da análise das suas funções de autocorrelação, seguidamente apresentadas na

Tabela 3.2.

Figura 3.3 – Série empírica das taxas de resgate com uma diferenciação simples e série empírica

com uma diferenciação sazonal

Tabela 3.2– Correlograma das funções FAC e FACP da série corrigida das taxas de resgate

Da análise efectuada a estas funções denota-se na FAC um corte brusco para zero a

partir do segundo desfasamento temporal bem como um ligeiro decaimento exponencial

para zero na FACP, ou seja, verifica-se a existência de correlação nos primeiros


38

desfasamentos. Este comportamento, de acordo com a Tabela 2.2, é típico dos processos

de médias móveis de ordem 2, . Adicionalmente, apesar da reduzida evidência do

tipo de comportamento associado às funções de autocorrelação, observa-se a

necessidade de modelar os desfasamentos relativos à sazonalidade. Note-se que a FAC

sai fora das barras de significância nos desfasamentos 12 e 36.

O modelo de estimação será, então, do tipo , tendo sido

identificados vários modelos possíveis para a parte sazonal do processo, nomeadamente

e , ou seja, considerando na componente sazonal

quer um processo de médias móveis de primeira ordem quer um processo

autorregressivo de primeira ordem.

De seguida, procedeu-se à estimação dos parâmetros dos modelos identificados pelo

método ML, cujos resultados se apresentam na Tabela 3.3.

Tabela 3.3 – Resultados da estimação dos modelos ARMA

Modelo Estimativas Parâmetros Desvio-Padrão Estatística t Valor-p AIC

ARMA(0,2)(0,1)12

0.261882 0.055632 4.707422 0.0000

-10.17317 0.781188 0.056545 13.81526 0.0000

-0.286343 0.093998 -3.046266 0.0028

ARMA(0,2)(1,0)12

-0.415751 0.109426 -3.799395 0.0002

-10.19624 0.330770 0.054914 6.023451 0.0000

0.829113 0.050682 16.35912 0.0000

Para avaliar a qualidade estatística do modelo estimado verificou-se a estacionaridade

do mesmo, observando se os parâmetros estimados se encontravam na vizinhança das

regiões de não estacionaridade, ou seja, os parâmetros têm de ser, em módulo, inferiores

a 1. Além disso, testou-se a significância estatística dos parâmetros estimados,

procedendo-se à realização do teste t, definido de seguida.


39

Seja o parâmetro estimado e a respectiva variância empírica, a estatística teste

é dada por e o parâmetro diz-se estatisticamente nulo, com um nível de

significância de 5%, se .

Uma vez que foram estimados vários modelos que satisfaziam as condições anteriores, a

escolha do melhor modelo foi efectuada pelo critério AIC já definido anteriormente.

Verificou-se, assim, quer através da significância estatística dos parâmetros estimados,

com um nível de significância de 5%, quer do critério AIC, que o modelo que melhor se

ajusta à série corrigida é o . Trata-se de um processo misto

multiplicativo com um para a parte não sazonal e um para a parte

sazonal, cuja expressão algébrica, de acordo com a fórmula (2.4), é a seguinte:

.

De seguida foi necessário analisar os resíduos de forma a testar a qualidade de

adequação do modelo à série empírica corrigida, o que pode ser efectuado através da

análise do comportamento das funções de autocorrelação dos mesmos, as quais se

apresentam na Tabela 3.4. Para que se esteja perante um bom ajustamento do modelo,

os resíduos deverão comportar-se como uma realização de um processo de ruído branco.

Tabela 3.4– Correlograma das funções FAC e FACP dos resíduos


40

De acordo com o teste individual de Kendal & Stuart definido em Murteira et al. (1993),

os autores demonstraram, para uma sucessão de variáveis aleatórias i.i.d., o seguinte

resultado assintótico,

.

Podendo estabelecer-se uma região de confiança ao nível de 5% dada por

.

Se todos os valores da FAC estiverem compreendidos nesta região serão considerados

estatisticamente nulos, aceitando-se a hipótese de que os resíduos têm um

comportamento semelhante ao de um ruído branco.

De facto, observando o comportamento das funções de autocorrelação dos resíduos do

modelo determinado, verifica-se a inexistência de desfasamentos temporais por

modelar, uma vez que os valores da FAC estão todos dentro das barras de significância,

pelo que se aceita a hipótese de ruído branco para os resíduos do modelo estimado.

Adicionalmente, realizou-se o teste de nulidade conjunta dos valores da FAC através do

teste Box e Pierce, igualmente definido em Murteira et al. (1993), cuja estatística teste é

dada por

,

em que representa a ordem das diferenciações simples efectuadas e o número de

desfasamentos temporais considerados.

Os autores demonstraram que a estatística converge para um com graus

de liberdade. Considerando um nível de significância de 5%, se rejeita-se

a hipótese de ruído branco para os resíduos.


41

Tabela 3.5 – Resultados do teste Box & Pierce

Teste Box & Pierce

Estatística Q 5,1163

18,3070

Valor-p 0,824

Como , considerando um nível de significância de 5%, então aceita-se a

hipótese de nulidade conjunta, isto é, os resíduos do modelo são um ruído branco.

Note-se que o valor-p é bastante superior a 5%.

No entanto, todos os modelos aplicados anteriormente assumem uma variância residual

constante ao longo do tempo (homocedasticidade), facto que poderá não ser verdade,

uma vez que muitas séries temporais evidenciam períodos de grande volatilidade

seguidos de períodos de pequena volatilidade. Assim sendo, foi ainda necessário

verificar se existia algum efeito de heterocedasticidade, recorrendo-se, assim, aos

processos de tipo ARCH definidos no capítulo anterior.

De acordo com o definido em Ehlers (2007) e em Muller (1995), a característica chave

dos modelos ARCH é que a variância condicional dos resíduos comporta-se como um

processo autorregressivo. Se os resíduos do modelo forem um processo ARCH então o

quadrado dos resíduos admite uma representação autoregressiva, facto que pode ser

analisado através do correlograma das funções de autocorrelação do quadrado dos

resíduos apresentado na Tabela 3.6.

Tabela 3.6 - Correlograma da função FAC e FACP do quadrado dos resíduos


42

Analisando o correlograma do quadrado dos resíduos, verifica-se a existência de efeitos

heterocedásticos, uma vez que existem alguns desfasamentos temporais por modelar.

Uma vez que o comportamento das funções de autocorrelação não se revela evidente, ou

seja, não se observa um corte brusco para zero na FACP, efectuaram-se várias tentativas

de modelação dos desfasamentos, tendo-se verificado um melhor ajustamento através de

um processo para os resíduos, quer em termos de significância estatística dos

parâmetros estimados quer ao nível do critério AIC.

A ordem do processo ARCH pode ser confirmada através do teste ARCH-LM definido

em Muller (1995), o qual considera a seguinte hipótese nula:

.

em que representa a ordem do processo.

A estatística teste é dada por que se demonstra ter assintoticamente a distribuição

de um com graus de liberdade, onde representa o coeficiente de determinação

da regressão e o número de observações.

Considerando , os resultados do teste ARCH-LM são os seguintes:

Tabela 3.7 – Resultados do teste ARCH-LM

Teste ARCH-LM

Estatística teste 9,501461

5,99

Valor-p 0,008645

Como , considerando um nível de significância de 5%, então

rejeita-se a hipótese nula, isto é, existe efeito ARCH por modelar.


43

Após a identificação da ordem do processo, procedeu-se à estimação dos parâmetros do

modelo ARMA que melhor se ajustou à série corrigida das taxas de resgate, assumindo

um processo de tipo ARCH para os resíduos do modelo. A estimação foi efectuada

através do método ML, assumindo que os resíduos estandardizados seguiam uma

distribuição normal. A Tabela 3.8 apresenta os resultados da estimação.

Tabela 3.8 – Resultados da estimação do modelo ARMA(0,2)(1,0)12-ARCH(2)


ARMA(0,2)(1,0)12

ARCH(2)

-0.148006 0.065370 -2.264117 0.0236

-10.25091

0.396355 0.171224 2.314840 0.0206

0.607060 0.148980 4.074777 0.0000

0.000001 0.000000 7.496368 0.0000

0.102349 0.084137 1.216447 0.2238

0.342765 0.166150 2.062988 0.0391

A expressão algébrica para o modelo da série corrigida das taxas de resgate, seja , é

então a seguinte:

A variável segue uma distribuição Normal padrão e os parâmetros , são

superiores a zero. Além disso, como a soma dos parâmetros do processo é inferior a 1

significa que o modelo é estacionário.

Considerando o teste t, verifica-se a significância estatística dos parâmetros estimados,

considerando um nível de significância de 5%, à excepção do parâmetro

correspondente à primeira ordem do processo ARCH.


44

Relativamente ao valor do AIC, observa-se uma melhoria do modelo ARMA-ARCH

face ao modelo ARMA, uma vez que o valor do AIC reduziu de -10,196 para -10,251.

Para aferir da adequabilidade do modelo efectuou-se novamente o teste ARCH-LM

considerando a seguinte hipótese nula:

.

Os resultados do teste foram os seguintes:

Tabela 3.9 - Resultados do teste ARCH-LM

Teste ARCH-LM


5,99

Valor-p 0,477810


aceita-se a hipótese nula, isto é, não existe efeito ARCH por modelar. Note-se que o

valor-p é superior a 5%.

Analisando novamente os correlogramas das funções FAC e FACP dos resíduos e do

quadrado dos resíduos, apresentado na Tabela 3.10, verifica-se a inexistência de

desfasamentos por modelar, apesar do correlograma dos resíduos ao quadrado

evidenciar efeitos heterocedásticos no desfasamento 12. No entanto, considerando um

processo para tentar corrigir este efeito a estimação do modelo piora

significativamente e os parâmetros deixam mesmo de ser significativos. Considerou-se,

assim, o como sendo o melhor modelo ajustável aos resíduos do modelo

.


45

Tabela 3.10 – Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado

3.2.2. Taxas de Juro

A modelação da série dos dados relativos às taxas de juro baseou-se na mesma análise

efectuada às taxas de resgate, quer ao nível da identificação do modelo, quer

relativamente à estimação e avaliação da qualidade de ajustamento do mesmo, pelo que

a análise efectuada será apresentada de uma forma mais sucinta.

A Figura 3.4 apresenta a série histórica das taxas de juro.

Figura 3.4 - Série empírica das taxas de juro

De forma a estabilizar a série empírica efectuou-se uma diferenciação simples (Figura

3.5) e analisou-se o respectivo correlograma das funções de autocorrelação FAC e

FACP (Tabela 3.11).


46

Figura 3.5 - Série empírica das taxas de juro com uma diferenciação simples

Tabela 3.11– Correlograma das funções FAC e FACP da série corrigida das taxas de juro

Da análise efectuada a estas funções denota-se um corte brusco para zero a partir do

primeiro desfasamento na FACP, bem como um ligeiro decaimento exponencial para

zero na FAC. De acordo com o definido na Tabela 2.2 do capítulo anterior, este é um

comportamento típico dos modelos autorregressivos de ordem 1.

Paralelamente, não é evidenciada a necessidade de modelar os desfasamentos relativos à

sazonalidade (note-se que as funções FAC e FACP encontram-se dentro das barras de

significância no desfasamento 12).

O modelo de ajustamento considerado foi, assim, um , cujos resultados da

estimação efectuada pelo método ML se apresentam na Tabela 3.12.

Tabela 3.12 – Resultados da estimação do modelo ARMA(1,0)


ARMA(1,0) 0.669937 0.063228 10.59559 0.0000 -10.15202


47

O parâmetro autorregressivo é estatisticamente significativo (valor-p nulo) e inferior

a 1, o que evidencia a estacionaridade do modelo. O valor do AIC foi de -10,152.

Tendo em consideração o facto de os resíduos do modelo serem já um ruído branco, foi

necessário proceder à verificação da existência de algum efeito de heterocedasticidade,

pelo que se procedeu à análise dos correlogramas das funções de autocorrelação dos

resíduos e do quadrado dos resíduos apresentados na Tabela 3.13.

Tabela 3.13– Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado

Analisando o correlograma do quadrado dos resíduos, verifica-se um ligeiro efeito de

heterocedasticidade no desfasamento 10, pelo que se tentou corrigir este efeito através

de um processo ARCH de ordem 10. No entanto, os parâmetros do processo não eram

estatisticamente significativos. Deste modo, foram realizadas diversas tentativas,

verificando-se uma melhoria do critério AIC quando considerado um .

Assim sendo, o melhor modelo de estimação encontrado para a série corrigida das taxas

de juro, seja , foi o modelo com resíduos do tipo e cuja

expressão algébrica é a seguinte:


48

Os resultados da estimação do modelo apresentam-se na Tabela 3.14.

Tabela 3.14 – Resultados da estimação do modelo ARMA(1,0)- ARCH(2)


ARMA(0,1)

ARCH(2)

0.659070 0.091444 7.207376 0.0000

-10.15963

0.000002 0.000000 6.797425 0.0000

0.243052 0.084137 2.694297 0.0071

0.056535 0.166150 0.675230 0.4995

Para aferir da adequabilidade do modelo analisou-se novamente o correlograma dos

resíduos e do quadrado dos resíduos, verificando-se a inexistência de desfasamentos por

modelar, o que foi igualmente corroborado pelo teste ARCH-LM.

Tabela 3.15– Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado

Tabela 3.16 – Resultados do teste ARCH-LM

Teste ARCH-LM


5,99

Valor-p 0,988813


aceita-se a hipótese nula, isto é, não existe efeito ARCH por modelar. Note-se que o

valor-p é superior a 5%.


49

3.3. Funções de Distribuição Marginais

Na secção anterior identificaram-se e estimaram-se, pelo método de máxima

verosimilhança, os modelos ARMA-ARCH que melhor se ajustaram às séries corrigidas

das taxas de resgate e das taxas de juro, assumindo que os resíduos estandardizados

seguiam uma distribuição Normal padrão2, ou seja,

.

A representação gráfica bem como algumas estatísticas descritivas dos modelos

encontrados apresentam-se na Figura 3.6 e na Tabela 3.17.

Figura 3.6 – Ajustamentos ARMA-ARCH das séries corrigidas

Tabela 3.17 – Estatísticas descritivas das séries ajustadas

Estatísticas Descritivas ARMA(0,2)(2,0)-ARCH(2) ARMA(1,0)-ARCH(2)

Média -0,000039 -0,000143

Mediana 0,000004 0,000098

Máximo 0.002963 0.003190

Mínimo -0.004512 -0.005921

Desvio-padrão 0.001103 0.001379


2 Refira-se, por último, que foi igualmente estimado o mesmo modelo, mas assumindo uma distribuição

t-Student para os resíduos estandardizados, tendo-se, no entanto, obtido um pior ajustamento (quer em

termos de significância estatística dos parâmetros, quer ao nível do critério AIC).


50

De referir que após o ajustamento das séries empíricas das taxas de resgate e das taxas

de juro, o coeficiente de correlação linear diminuiu ligeiramente de 0,108 para 0,097,

em consequência dos ajustamentos realizados, necessários à estacionarização das séries.

A partir da estimação dos modelos ARMA-ARCH, e tendo em consideração a metodologia

apresentada em Dias (2004), em Huang et al. (2009) e em Palaro et al. (2006), foram

extraídos os resíduos estandardizados de cada uma das séries em análise, de forma a

analisar a sua estrutura de dependência. Estas serão as distribuições marginais a utilizar

como input nas diferentes famílias de cópulas a estimar.

A Figura 3.7 representa as funções de distribuição dos resíduos estandardizados das

séries corrigidas das taxas de resgate e das taxas de juro, respectivamente, e a Tabela

3.18, as estatísticas descritivas das mesmas. Note-se que o coeficiente de correlação

linear entre os resíduos estandardizados é de 0,023, tendo diminuído substancialmente

face à correlação inicial existente (0,11).

Figura 3.7 – Funções de distribuição marginais dos resíduos estandardizados das séries corrigidas

das taxas de resgate e das taxas de juro


51

Tabela 3.18 – Estatísticas descritivas dos resíduos estandardizados

Estatísticas Descritivas

Resíduos Estandardizados

Taxas de Resgate Taxas de Juro

Média -0.032189 -0.032949

Mediana 0.007732 0.079980

Máximo 2.870860 3.316146

Mínimo -4.128999 -5.203030

Desvio-padrão 1.020081 1.016927


A Figura 3.8 apresenta a série bivariada dos resíduos estandardizados, evidenciando a

dependência positiva existente.

Figura 3.8 – Série bivariada dos resíduos estandardizados das séries corrigidas

Dadas as funções de distribuição marginais, procedeu-se à transformação das mesmas

em distribuições uniformes entre 0 e 1, de forma a determinar uma estrutura de

dependência dos resíduos estandardizados através da utilização de cópulas,

transformação essa que se apresenta na Figura 3.9.


52

Figura 3.9 - Série bivariada da transformação dos resíduos estandardizados

3.4. Estrutura de dependência: ajustamento de Cópula

Considerando os resíduos estandardizados das séries ajustadas das taxas de resgate e das

taxas de juro, determinaram-se as cópulas elípticas Gaussiana e t-Student e as

Arquimedianas Clayton, Frank e Gumbel.

A estimação dos parâmetros das cópulas foi efectuada através do método CML definido

no capítulo anterior, cujos resultados se apresentam na Tabela 3.19. Este método de

estimação é efectuado em dois passos, ou seja, transforma os resíduos estandardizados

em dados de realizações/observações de variáveis aleatórias uniformes e estima os

parâmetros da cópula através do método ML.3

Na mesma tabela são igualmente apresentadas as medidas de dependência estudadas, o

tau de Kendall, o rho de Spearman e as dependências de cauda, bem como o valor do

AIC para cada cópula estimada.

3 Foi ainda aplicado o método IFM, que consistiu em transformar os resíduos estandardizados através da

função de distribuição Normal, no entanto, obteve-se um pior ajustamento.


53

Tabela 3.19 – Resultados da estimação das cópulas Gaussiana, t-Student, Gumbel, Clayton e Frank

Resultados da Estimação AIC

Cópulas

Elípticas

Gaussiana - 0,0494 0,0314 0,0471 - - 1,7196

t-Student 17 0,0169 0,0394 0,0591 0,0009 0,0009 1,3945

Cópulas

Arquimedianas

Gumbel - 1,0426 0,0409 0,0614 0,0558 - 1,5729

Clayton - 0,0561 0,0273 0,0093 - 0,000004 1,7754

Frank - 0,5054 0,0560 0,0839 - - 1,3164

Conforme evidencia a tabela supra, a cópula que melhor se ajusta à estrutura de

dependência entre os dados é a cópula Frank, uma vez que é a que apresenta o menor

valor de AIC. De facto, considerando os resultados estimados, observa-se que a cópula

Frank é a que determina uma maior dependência não linear entre os resíduos

estandardizados das séries (0,056 para o tau de Kendall e 0,084 para o rho de

Spearman).

A dependência não linear revelou-se, assim, ligeiramente superior à correlação linear

obtida entre os resíduos estandardizados, para qualquer uma das cópulas consideradas.

No caso particular da cópula Frank, essa dependência aproximou-se mais da correlação

linear obtida entre as séries ajustadas (comparando com a Tabela 3.17), revelando-se,

ainda assim, ligeiramente inferior. A dependência das caudas é praticamente nula em

qualquer uma das cópulas, à excepção da cópula Gumbel.

As funções de densidade de distribuição das cópulas estimadas representam-se nas

ilustrações seguintes bem como os respectivos diagramas das curvas de nível.


54

Figura 3.10 – Funções de densidade de distribuição das cópulas elípticas, Gaussiana e t-Student, e

respectivos diagramas das curvas de nível

Figura 3.11 - Funções de densidade de distribuição das cópulas Arquimedianas, Gumbel, Clayton e

Frank, e respectivos diagramas das curvas de nível

Toda a metodologia apresentada foi igualmente aplicada para o período que decorreu

entre Janeiro de 2003 e Setembro de 2009, atendendo ao facto de o coeficiente de

correlação linear ter evidenciado, à partida, uma correlação bastante superior (0,37).


55

Após a aplicação das cópulas aos resíduos estandardizados, os resultados da estimação

obtidos para as dependências não lineares foram os que se apresentam na Tabela 3.20.

Tabela 3.20 - Resultados da estimação das cópulas Gaussiana, t-Student, Gumbel, Clayton e Frank,

considerando o período de Janeiro de 2003 a Setembro de 2009

Resultados da Estimação AIC

Cópulas

Elípticas

Gaussiana - 0,1474 0,0942 0,1409 - - 0,5067

t-Student 5 0,2075 0,1330 0,1985 0,0908 0,0908 -1,3104

Cópulas

Arquimedianas

Gumbel - 1,1409 0,1235 0,1834 0,1641 - -0,2374

Clayton - 0,1394 0,0652 0,0232 - 0,0069 1,4399

Frank - 1,5358 0,1668 0,2483 - - -1,3768

A cópula Frank foi novamente a que revelou um melhor ajustamento, observando-se

valores de dependência não lineares ligeiramente inferiores ao coeficiente de correlação

linear das séries empíricas.


56

4. Notas Finais

O presente trabalho de projecto teve como principal objectivo determinar uma estrutura

de dependência entre as taxas de resgate dos seguros de capital diferido,

comercializados pelas empresas de seguros que operam no mercado segurador

português, e as taxas de juro, através da aplicação de cópulas condicionadas.

Para tal foi aplicada uma metodologia já desenvolvida na literatura, que consiste numa

modelação em dois passos: determinar, através da análise dos dados históricos das taxas

de resgate e das taxas de juro, as distribuições marginais que permitem modelar as

respectivas séries de forma univariada através de processos ARMA-ARCH e,

posteriormente, com base nos resíduos estandardizados dessas distribuições, determinar,

por aplicação de diferentes famílias de cópulas existentes, a cópula que melhor

representa uma estrutura de dependência entre as séries. Esta metodologia pode ser

consultada em Dias (2004), em Huang et al. (2009) e em Palaro et al. (2006).

Os resultados obtidos com a aplicação referida sugerem uma dependência entre as taxas

de resgate e as taxas de juro mais baixa do que se esperaria. No entanto, essa mesma

dependência poderá não ser estranha atendendo às características dos seguros de capital

diferido comercializados no mercado segurador português.

A falta de conhecimento dos subscritores relativamente aos produtos comercializados,

por um lado, e a existência, na maioria dos produtos, de penalizações por resgate, por

outro, poderão ser factores explicativos deste fenómeno. Além disso, estes produtos

têm, muitas vezes, uma taxa técnica garantida, conferindo ainda o direito a uma

participação nos resultados em função das taxas de rendibilidade dos activos afectos aos

produtos.


57

Adicionalmente, observa-se igualmente no mercado segurador, por estratégia comercial

da empresa de seguros, o resgate do valor constituído da conta poupança de um

determinado seguro para investir noutro seguro do mesmo tipo, o que na essência acaba

por se tratar de uma simples transferência de contratos.

Não obstante as justificações anteriores apresentadas, a aplicação da metodologia

revelou dependências não lineares inferiores às correlações lineares iniciais, quer

considerando todo o histórico de dados existente, quer considerando o período de

Janeiro de 2003 a Setembro de 2009, período no qual se observou uma alteração do

comportamento das séries de dados. Este facto pode estar associado aos ajustamentos

efectuados para a estacionarização das séries bem como à utilização dos resíduos

estandardizados dos processos ARMA-ARCH de forma a aplicar as cópulas elípticas

Gaussiana e t-Student e as cópulas Arquimedianas, Gumbel, Clayton e Frank, uma vez

que como existem desfasamentos temporais entre a alteração das taxas de juro e o seu

impacto imediato na realização dos resgates, os ajustamentos podem retirar alguma

parte da dependência existente.

De facto, os casos práticos conhecidos com a aplicação da metodologia apresentada no

presente trabalho utilizam séries de dados com um número de observações muito

significativo, sendo, na sua maioria, dados referentes às variações dos preços de fecho

de determinados índices bolsistas, pelo que existe uma maior sincronização nos dados.

Em suma, apesar dos resultados obtidos no presente trabalho com a aplicação das

cópulas não evidenciarem uma estrutura de dependência não linear muito diferente da

correlação linear, a metodologia estudada deverá ser aplicada com algum cuidado, uma

vez que poderá não ser a mais adequada para séries com determinado tipo de

comportamento.


58

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