Sebenta teórica de física aplicada à engenharia civil

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE

FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL

Rui Lança, Eq. Professor Adjunto

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA


APLICADA À ENGENHARIA CIVIL

Rui Lança, Eq. Professor Adjunto

SETEMBRO DE 2008


APLICADA À ENGENHARIA CIVIL

i

Índice de matérias

1 Introdução ........................................................................................................................................ 1

1.1 Sistema de unidades ................................................................................................................. 3

1.2 Semelhança ............................................................................................................................... 4

1.3 Cálculo vectorial....................................................................................................................... 6

1.4 Cálculo de determinantes ....................................................................................................... 11

1.5 Questões teóricas .................................................................................................................... 12

2 Cinemática ..................................................................................................................................... 13

2.1 Introdução ............................................................................................................................... 13

2.2 Movimento de uma partícula material .................................................................................... 13

2.3 Vector deslocamento .............................................................................................................. 14

2.4 Espaço Percorrido................................................................................................................... 14

2.5 Equação da trajectória ............................................................................................................ 14

2.6 Vector velocidade média e vector velocidade instantânea ..................................................... 15

2.7 Vector aceleração média e vector aceleração instantânea ...................................................... 16

2.8 Componente normal e tangencial do vector aceleração ......................................................... 16


3 Cinemática – movimentos ............................................................................................................. 24

3.1 Movimento rectilíneo ............................................................................................................. 24

3.2 Movimento circular ................................................................................................................ 28

3.3 Projecteis ................................................................................................................................ 33


4 Estática das partículas no plano ..................................................................................................... 35

4.1 Forças actuantes numa partícula ............................................................................................. 35

4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes ....................................................................... 35

4.3 Resultante de várias forças ..................................................................................................... 36

4.4 Decomposição de uma força em componentes ...................................................................... 37

4.5 Equilíbrio de uma partícula .................................................................................................... 38

4.6 Diagrama de corpo livre ......................................................................................................... 39


5 Dinâmica de uma partícula ............................................................................................................ 44

5.1 As três leis do movimento de Newton .................................................................................... 44

5.2 Relação entre rF e

ra e sua aplicação aos vários tipos de movimento ................................... 46

5.3 Forças de ligação .................................................................................................................... 47

5.4 Movimento harmónico simples .............................................................................................. 53

ii

6 Quantidade de movimento de um sistema de partículas................................................................ 55

6.1 Impulso de uma força ............................................................................................................. 55

6.2 Momento linear de uma partícula e de um sistema discreto de partículas ............................. 56

6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partículas ........................................................... 56

6.4 Momento linear do centro de massa ....................................................................................... 57

6.5 Lei do movimento do centro de massa ................................................................................... 58

6.6 Conservação do momento linear ............................................................................................ 59

6.7 Colisões perfeitamente elásticas ............................................................................................. 59

6.8 Colisões perfeitamente inelásticas .......................................................................................... 60

7 Trabalho e energia ......................................................................................................................... 61

7.1 Noção de trabalho ................................................................................................................... 61

7.2 Trabalho de uma força constante ............................................................................................ 61

7.3 Trabalho realizado por uma força variável ............................................................................. 61

7.4 Forças que não realizam trabalho ........................................................................................... 64

7.5 Trabalho de um sistema de forças .......................................................................................... 64

7.6 Energia cinética ...................................................................................................................... 64

7.7 Energia potencial .................................................................................................................... 65

7.8 Conservação da energia mecânica .......................................................................................... 66

7.9 Lei da conservação da energia ................................................................................................ 67

8 Mecânica dos fluidos ..................................................................................................................... 68

8.1 Propriedades dos fluidos ........................................................................................................ 68

8.2 Pressão .................................................................................................................................... 68

8.3 Distribuição hidrostática de pressões ..................................................................................... 69

8.4 Vasos comunicantes ............................................................................................................... 71

8.5 Prensa hidráulica .................................................................................................................... 72

8.6 Pressão atmosférica ................................................................................................................ 72

8.7 Lei de Arquimedes ................................................................................................................. 74

9 Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de forças distribuídas .................................. 75

9.1 Momento de uma força em relação a um ponto ..................................................................... 75

9.2 Centro de gravidade de um corpo bidimensional ................................................................... 76

9.3 Centro de massa de uma placa homogénea ............................................................................ 77

9.4 Momentos de primeira ordem ou momento estático .............................................................. 77

9.5 Baricentro de uma placa composta ......................................................................................... 79

9.6 Teorema de Pappus-Guldin .................................................................................................... 81

9.7 Cargas distribuídas sobre vigas .............................................................................................. 81

10 Eixos principais de inércia, inércias máximas e mínimas ........................................................... 84

10.1 Exemplos de aplicação ......................................................................................................... 84

iii

10.2 Momentos de inércia ............................................................................................................ 86

10.3 Momento polar de inércia ..................................................................................................... 88

10.4 Raio de giração de uma superfície........................................................................................ 89

10.5 Teorema dos eixos paralelos ................................................................................................ 90

10.6 Momento de inércia de superfícies planas compostas .......................................................... 91

10.7 Momentos de inércia de figuras geométricas comuns .......................................................... 94

11 Produto de inércia e círculo de Mohr .......................................................................................... 97

11.1 Produto de inércia ................................................................................................................. 97

11.2 Extensão do teorema dos eixos paralelos ............................................................................. 97

11.3 Eixos e momentos principais de inércia ............................................................................... 98

11.4 Círculo de Mohr para momentos e produtos de inércia...................................................... 101

Referencias Bibliográficas ............................................................................................................. 107

UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 1

1 Introdução

A física é a mais básica das ciências, aborta o comportamento e estrutura da matéria. Esta área tão

abrangente divide-se em áreas do conhecimento que estudam o movimento, os sólidos, os fluidos,

os gases, o calor, o som, a luz, a electricidade, o magnetismo, a relatividade, a estrutura atómica, a

radioactividade, a física de partículas e a astrofísica entre outros.

Na aplicação à engenharia civil abordamos apenas alguns tópicos relacionados com o movimento,

sólidos e fluidos, dos quais se destacam:

- Grandeza física e sistemas de unidades. Estas noções são fundamentais para quantificar as

variáveis envolvidas nos diversos problemas e resolver. Para o Engenheiro Civil é fundamental ter

uma noção das grandezas com que lida, saber o que significam e o que valem as unidade utilizadas

para as quantificar e com a experiência adquirir sensibilidade para os valores das unidade e associar

esses valores com a sua materialização na realidade.

- Cinemática. Neste capítulo aborta-se o estudo do movimento em 1D e 2D, esta análise permite

estabelecer cálculos sobre trajectórias, velocidade, tempos de viagem, tempos de queda de um

corpo em queda livre.

- Estáticas das partículas no plano. A estática é um caso particular do movimento (dinâmica),

situação em que as forças aplicadas se equilibram. Neste capítulo utiliza-se o cálculo vectorial para

o cálculo de situações de equilíbrio aplicado a casos reais com que o engenheiro civil se pode

debater.

- Centros de gravidade. O cálculo do centro de gravidade de uma superfície ou de um corpo é

muito utilizado na Engenharia Civil, basta pensar que se for necessário segurar um corpo por um

único ponto, esse ponto será o centro de gravidade.

- Conceito de momento. O momento de uma força em relação a um ponto traduz o efeito de

rotação que essa força causa num corpo que possa girar em torno do ponto. Em situações estáticas

o conceito de momento também é importante pois permite determinar as condições de equilíbrio à

rotação.

- Momentos estáticos de uma superfície. O momento estático ou o momento de primeira ordem

de uma superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pela distância ao eixo

considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se

distribuem numa secção de um elemento estrutural.

- Estudo de forças distribuídas. Na natureza todas as forças são distribuídas, mas na concepção

de um problema se a força actua numa área muito reduzida pode ser considerada como uma força

concentrada. Existem outras situações em que para efeito da resolução de um problema podemos

representar uma força distribuída como uma força concentrada desde esta abstracção não altere os

resultados obtidos na resolução do problema.


- Momento de inércia de superfícies. O inércia ou o momento de segunda ordem de uma

superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pelo quadrado distância ao eixo

considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se

distribuem numa secção de um elemento estrutural. Não confundir momento de inércia de uma

superfície com inércia (propriedade de um corpo tem para oferecer resistência a alterações de

velocidade).

- Dinâmica de uma partícula. Neste capítulo introduzem-se as leis fundamentais da dinâmica

clássica, ou seja, as três leis de Newton. Estas leis são aplicadas em situações práticas do dia a dia

com ênfase para casos da engenharia civil. Também se aborda o movimento harmónico e a sua

utilização na analise dinâmica de estruturas.

- Trabalho e energia. O conceito de trabalho e energia permite resolver alguns problemas da

cinemática e da dinâmica de uma forma muito mais simples.

- Mecânica dos fluidos. Neste capítulo faz-se uma ligeira abordagem aos estados da matéria, às

propriedades dos fluidos e a alguns casos em que a acção hidrostática dos fluidos condiciona o

resultado de uma observação, como a força exercida por um fluido nas paredes do recipiente que o

contem, o funcionamento do barómetro de mercúrio, a prensa hidráulica e a aplicação do teorema

de Arquimedes a corpos totalmente ou parcialmente imersos.

A Física Aplicada à Engenharia Civil não deve ser vista como uma disciplina estanque, mas sim

como uma disciplina cujos conhecimentos são aprofundados e aplicados em outras disciplinas da

engenharia civil como estática, estruturas, betão, hidráulica e solos.

Este manual da disciplina de Física Aplicada à Engenharia Civil não pretende ser o único

elemento de consulta para apoio às aulas teóricas. Pretende ser uma referência para o

primeiro contacto do aluno com as matérias leccionadas, as quais serão alvo estudo mais

detalhado nas referências bibliográficas indicadas.

É recomendado que o estudante leve estes apontamentos para as aulas teóricas para

não ser forçado a passar toda a informação do quadro e desta forma poder seguir a

aula com tempo para raciocinar sobre os temas discutidos.


1.1 Sistema de unidades

Uma medição de uma grandeza física é exprimida com base num valor padrão dessa grandeza. A

esse valor padrão chama-se a unidade de medida da grandeza.

Um sistema de unidades é um conjunto coerente de unidades, umas fixadas arbitrariamente por

comparação com valores padrão (unidades fundamentais) e outras obtidas com base nas primeiras

por meio de equações de definição (unidades derivadas).

Na física mecânica as grandezas físicas fundamentais são três:

M massa

L comprimento

T tempo

Formando o sistema MLT, o qual é a base do sistema internacional (SI).

As unidades de medida das grandezas físicas fundamentais no sistema internacional de pesos e

medidas (S.I.) são

Quilograma (kg) massa

Metro (m) comprimento

Segundo (s) tempo

Unidades padrão

A unidade padrão para a massa é o (kg). O (kg) padrão é um cilindro de platina guardado no

International Bureau of Weights and Measures próximo de Paris.

A unidade padrão para o tempo é o (s) e é definido como 9 192 631 770 períodos da radiação de

átomos de celcium.

A unidade padrão para o comprimento é o (m). O metro padrão é o comprimento percorrido pela

luz no vacum durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 (s).

Todas as unidades utilizadas para quantificar as grandezas físicas fundamentais foram definidas por

convenção e as medições são feitas por comparação do tamanho da grandeza física com a unidade

padrão dessa mesma grandeza física.

Grandeza física derivada

Uma grandeza física derivada é exprimida por uma equação de definição. Como exemplo de

equação de definição, pode-se considerar a equação da variação da posição num movimento

rectilíneo uniforme.

dtvrd ⋅= rr

dt

rdv

rr =


Para determinar as grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada

velocidade, substitui-se na equação os símbolos das grandezas físicas fundamentais, obtendo-se.

[ ]rv L T= ⋅ −1

Para a aceleração, que se define como a variação da velocidade em ordem ao tempo, obtém-se.

dt

vda

rr =

Substituindo na equação os símbolos das unidades fundamentais, vem.

[ ] [ ]rr

av

TL T= = ⋅ −2

A força é definida pela segunda lei de Newton. r rF m a= ⋅

E as respectivas grandezas físicas fundamentais são.

[ ]rF M L T= ⋅ ⋅ −2

De um modo geral as grandezas físicas fundamentais de uma grandeza derivada X são.

[ ]X M L T= ⋅ ⋅α β γ

Em que α , β e γ são as dimensões da grandeza. Quando α β γ= = = 0 a grandeza diz-se

adimensional, como por exemplo a densidade relativa e um ângulo.

O quadro seguinte apresenta as dimensões das grandezas mais correntes da Física Mecânica, no

sistema MLT.

Grandeza física [X] Dimensões Sistema α β γ SI

Comprimento 0 1 0 (m) Área 0 2 0 (m2) Volume 0 3 0 (m3) Tempo 0 0 1 (s) Velocidade 0 1 -1 (m/s) Aceleração 0 1 -2 (m/s2) Massa 1 0 0 (kg) Força 1 1 -2 (N)≡ (kg.m/s2) Pressão 1 -1 -2 (Pa)≡ (N/m2) Peso volúmico 1 -2 -2 (N/m3) Massa volúmica 1 -3 0 (kg/m3) Quantidade de movimento 1 1 -1 (kg.m/s) Trabalho 1 2 -2 (J)≡ (kg.m2/s2) Potência 1 2 -3 (W) ≡ (kg.m2/s3)

1.2 Semelhança

Na física e na engenharia civil utiliza-se modelos matemáticos que se baseiam em fórmulas e

processos matemáticos para obter os resultados. Algumas vezes lida-se com problemas cuja


caracterização através de modelos matemáticos pode ser difícil pelo que se torna rentável utilizar

modelos físicos.

Os modelos físicos assentam na construção de uma maquete à escala com comportamento

semelhante à realidade. No modelo são colocados instrumentos que permitem obter leituras sobre

velocidades, posições, forças, deformações, etc.

A correlação entre as leituras obtidas no modelo e a realidade muitas vezes não são lineares.

Quando se constrói um modelo podem-se ter escalas diferentes para as grandezas físicas

comprimentos [L] segundo x, y e z (Lx), [Ly] e [Lz], para a massa [M] e para o tempo [T]. Ora veja-

se o seguinte exemplo:

Exemplo 1:

Num modelo físico à escala [L] = 1/10, [T] = 1/1 e [M] = 1/20 desloca-se uma partícula com massa

mModelo à velocidade Modelovr

.

Questão: Qual será a velocidade real?

Resposta: A grandeza física derivada velocidade define-se como:

dt

rdv

rr =

As grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada velocidade são:

[ ] 1−⋅= TLvr

( ) ( ) 1Re 110 −⋅⋅⋅= ModeloModeloal trv

rr

Ou seja

Modeloal vvrr ⋅= 10Re

A velocidade será 10 vezes superior na realidade do que no modelo.

Nem sempre a relação de proporcionalidade é linear como se pode constatar neste exemplo para a

velocidade.

Questão: Qual será a energia cinética real?

Resposta: A equação de definição da energia cinética é dada por:

2

2

1vmEC

r⋅⋅=

Logo

( ) ( )2

Re 10202

1ModeloModeloal vmEr⋅⋅⋅⋅=

( ) 22Re 2

11020 ModeloModeloal vmE

r⋅⋅⋅=

Modeloal CC EE ⋅= 1000Re


Exemplo 2:

Para testar o comportamento de um reservatório, desenvolveu-se um modelo físico à escala [L] =

1/20; [T] = 1/1; [M] = 1/1.7. Sabendo que a acção da água sobre uma parede vertical plana com

dimensões (H . L) é de ModeloFr

, qual é a força que actua sobre a parede na realidade. alFRe

r. A

equação de definição é:

LHgF ⋅⋅⋅⋅= 2

2

1 rrρ

Sendo:

ρ massa volúmica da água (kg/m3)

gr

aceleração da gravidade (m/s2)

H altura da parede (m)

L extensão da parede em planta (m)

( ) ( ) ( )ModeloModeloModeloal LHgF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 20207.12

1 2Re

rrρ

LHgF Modeloal ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 22Re 20207.1

2

1 rrρ

ModeloModeloModeloal LHgF ⋅⋅⋅⋅= 2Re 6800

rrρ

Nos exemplos anteriores mostrou-se como a partir de dados medidos em modelos reduzidos de

podem obter os valores reais. Nestes exemplos utilizaram-se casos em que por equações

matemáticas é fácil obter os resultados para a realidade pelo que não faz sentido construir modelos

físicos, nestes casos utilizam-se modelos matemáticos. Contudo existem situações, que saem fora

do programa desta cadeira, em que não existem modelos matemáticos correctos como por exemplo:

cálculo de forças aerodinâmicas exercidas pelo vento numa estrutura não convencional; calcular as

alterações no transporte de sedimentos que provocam a alteração da configuração do fundo de um

estuário devido à ampliação dos molhes de protecção de um porto; na construção de um novo

empreendimento turístico numa zona ventosa determinar as zonas abrigadas para colocar

esplanadas; etc.

1.3 Cálculo vectorial

Na física trabalha-se com grandezas escalares e grandezas vectoriais. Uma grandeza escalar é

definida por um número. Por exemplo a massa de um corpo é de x (kg). Significa que a massa deste

corpo é de x vezes a unidade padrão. Desta forma está definida qual é a massa do corpo. Contudo

ao dizer que a velocidade de um corpo é de y (m/s), esta grandeza não está definida. Sabe-se que o

corpo se desloca a y (m/s) mas em que direcção? E em que sentido? Para não deixar estas perguntas

em aberto, a velocidade define-se como uma grandeza vectorial. Ao escrever que a velocidade do


corpo é de ry (m/s), está definido também a direcção e sentido da grandeza para além da sua

intensidade.

Um vector é um segmento de recta orientado. As componentes escalares de um vector são dadas

pelas diferenças entre as coordenadas do ponto apontado pelo vector (B) e o ponto onde o vector é

aplicado (A).

( ) ( )zzyyxxzyx ABABABuuuu −−−== , ,,,r

Vectores equivalentes têm o mesmo módulo, direcção e sentido. Porém podem ser aplicados em

pontos distintos.

1.3.1 Soma de vectores r r ra u v= +

( )zzyyxx vuvuvua +++= , ,r

1.3.2 Diferença de vectores

( )r r ra u v= + −

( )ra u v u v u vx x y y z z= − − −, ,

1.3.3 Módulo de um vector

O módulo de um vector é uma grandeza escalar e significa o comprimento do vector, ou seja a

distância em linha recta entre os pontos situados nas extremidades desse vector.

222zyx aaaa ++=r

B

θ

ur

ra

ru

rv

ra r

u

rv

− rv

ra

ra


1.3.4 Ângulo formado entre um vector e o eixo xx

O ângulo formado entre um vector e o eixo dos xx é dado pelas seguintes funções trigonométricas.

( )u

uxr=αcos

( )u

uyr=αsin

( )x

y

u

u=αtan

( )y

x

u

ug =αcot

1.3.5 Produto de um vector por um escalar

O resultado do produto de um vector por um escalar é um vector com a mesma direcção e sentido,

mas com o seu módulo multiplicado pelo escalar. Se a variável escalar tiver um valor negativo, o

sentido do vector ra será contrário ao do vector

rv .

r ra k v= ⋅

( )ra k v k v k vx y z= ⋅ ⋅ ⋅, ,

1.3.6 Versores

Versores são vectores com módulo unitário que descrevem uma direcção e sentido no espaço.

Normalmente utilizam-se versores para definir o sistema de eixos de um referencial. Neste curso só

se trabalha com referenciais cartesianos ortonormados. Num sentido lato um referencial

ortonormado é um referencial em que os dois ou três eixos fazem entre si ângulos rectos.

( )αcos⋅= uux

r

( )αsin⋅= uuy

r

( )αtan⋅ur

( )αgu cot⋅r

α


kjir ˆ3ˆ2ˆ3 ⋅+⋅+⋅=r

A notação recorrendo a versores é mais correcta do ponto de vista matemático e facilita os cálculos

que envolvam grandezas vectoriais.

O vector

( )rr r r rx y z= , ,

Passa a ser escrito na forma rr r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $

Na realidade, um vector é definido como a soma dos produtos de escalares por versores que

indicam a direcção e sentido de cada um dos eixos.

1.3.7 Produto interno de 2 vectores

O produto interno de 2 vectores é uma grandeza escalar e é definido como o produto dos módulos

de dois vectores projectados sobre a direcção de um deles. O produto interno é comutativo.

( )[ ]r r r ra b a b⋅ = ⋅ ⋅cosα

( )[ ]r r r ra b a b⋅ = ⋅ ⋅cosα

O produto interno de dois vectores pode ser calculado recorrendo só às componentes escalares. Por

vezes é útil calcular o produto interno desta forma pois não se sabe qual é o ângulo formado entre

os dois vectores. Esta questão é mais pertinente se o problema for tridimensional.

Se estivermos num referencial ortonormado é válido afirmar.

i

j

k

y

x

z

rr

ra

rb


( ) ( ) ( ) 10cos11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ kkjjii

( ) ( ) ( ) 0º90cos11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ jkkiji

Pelo que.

( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyxˆˆˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅

rr

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅ kbiajbiaibiaba zxyxxxˆˆˆˆˆˆ

rr

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ kbjajbjaibja zyyyxyˆˆˆˆˆˆ

kbkajbkaibka zzyzxzˆˆˆˆˆˆ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

Simplificando, vem. r ra b a b a b a bx x y y z z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

Conjugando as duas equações para o cálculo do produto interno resulta.

( )r r r ra b a b a b a b a bx x y y z z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ cosα

Explicitando o termo desconhecido ( )cosα , obtém-se.

( )cosα =⋅ + ⋅ + ⋅

⋅

a b a b a b

a b

x x y y z z

r r

1.3.8 Produto externo de 2 vectores:

O produto externo de dois vectores é um vector que tem uma direcção perpendicular ao plano que

contém os dois vectores e cujo sentido é definido pela regra da mão direita ou do saca-rolhas. O

módulo é dado pelo produto do módulo do primeiro vector pelo segundo projectado numa direcção

normal à direcção do primeiro. Este conceito é importante para o cálculo do momento de uma força

em relação a um ponto por exemplo.

O produto externo não é comutativo.

( ) ( )r rr F r i r j r k F i F j F kx y z x y z× = ⋅ + ⋅ + ⋅ × ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ $ $ $ A

equação anterior traduz-se pela resolução do seguinte

determinante

r rr F

i j k

r r r

F F Fx y z

x y z

× =

$ $ $

ra

rb

( )rb ⋅ sin α


Resolvendo o determinante, vem:

xzyzxyyxxzzy rjFiFrFrkFrkFrjFriFr ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=× ˆˆˆˆˆrrr

( ) ( ) ( ) kFrFrjrFFriFrFrFr xyyxxzxzyzzyˆˆˆ ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅=×

rr

1.4 Cálculo de determinantes

Cálculo de um determinante de 2ª ordem

Considere-se a matriz A quadrada de 2 x 2 e onde se pretende calcular o determinante:

=

2221

1211

aa

aaA 21122211det aaaaA ⋅−⋅=

Cálculo de um determinante de 3ª ordem

Considere-se a matriz A quadrada de 3 x 3 e onde se pretende calcular o determinante:

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Passos a seguir:

1. Multiplicar o elemento a11 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se

obtém eliminando a 1ª linha e a 1ª coluna:

333231

232221

1312

aaa

aaa

aa

M

M

KK11a

; ( )32233322113332

232211 aaaaa

aa

aaa ⋅−⋅=



333231

232221

1311

aaa

aaa

aa

M

M

KK 12a

; ( )31233321123331

232112 aaaaa

aa

aaa ⋅−⋅=




333231

232221

1211

aaa

aaa

aa

M

M

KK 13a

; ( )31223221133231

222113 aaaaa

aa

aaa ⋅−⋅=

4. Em seguida fazer os três produtos obtidos anteriormente serem precedidos alternadamente sinais

+ e -, iniciando pelo +:

( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211

333231

232221

131211a

Adet aaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aa

⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅==

ou simplificadamente:

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211a

Adetaa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aa

+−==

1.5 Questões teóricas

Q1) Quais as grandezas físicas fundamentais envolvidas nas seguintes variáveis e respectivas

unidades no sistema (S.I.): força; velocidade; posição; aceleração.

Q2) Qual é diferença entre uma grandeza física fundamental e uma grandeza física derivada?

Q3) Qual é a diferença entre um produto interno e um produto externo de vectores?

Q4) Explique o que é e para que serve a teoria da semelhança?


2 Cinemática

2.1 Introdução

A cinemática é o capítulo da física que estuda o movimento.

O repouso e o movimento são conceitos relativos pois dependem do referencial utilizado para

descrever o movimento. Por exemplo, uma árvore está em repouso em relação à terra mas em

movimento em relação ao Sol.

Assim para descrever o movimento, o observador deve definir o referencial que utiliza.

2.2 Movimento de uma partícula material

A posição de uma partícula pode ser definida relativamente a um referencial através de um vector

de posição rr .

Seja rr1 o vector de posição da partícula no instante t1 e

rr2 o vector de posição da partícula no

instante t2.

rr r i r j r kx y z1 1 1 1= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $

rr r i r j r kx y z2 2 2 2= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $

Como a posição da partícula altera-se com o tempo, o vector rr é função de t.

rr r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $

Sendo.

( )r f tx x=

( )r f ty y=

( )r f tz z=

As equações ( )trx , ( )try e ( )trz são as equações paramétricas do movimento. Neste caso conclui-

se que o vector posição será uma função de t.

( )rr f t=

y

z

x

rr2

rr1

$i

$j

$k


Em função do tempo, um ponto material, definido apenas pelas suas coordenadas, em movimento

vai ocupando sucessivas posições num determinado referencial, formando uma linha que se

designa trajectória.

2.3 Vector deslocamento

Considere-se uma partícula que descreve uma trajectória tal que a sua posição no instante t1 é rr1 e

no instante t2 é rr2 .

A diferença entre as posições final e inicial indica a mudança de posição do ponto material, chama-

se deslocamento e designa-se por ∆rr .

∆r r rr r r= −2 1

2.4 Espaço Percorrido

O espaço corresponde à distância total percorrida e é igual à soma dos módulos dos vários

deslocamentos elementares. O espaço é sempre um valor positivo.

s r r rn= + + +∆ ∆ ∆r r r1 2 ...

A um deslocamento nulo pode não corresponder um espaço nulo e a um mesmo deslocamento

podem corresponder espaços diferentes. O espaço percorrido só é idêntico ao módulo do vector

deslocamento se a trajectória for rectilínea e se não ocorrerem inversões de sentido.

2.5 Equação da trajectória

Considere-se um referencial tridimensional ortonormado xyz e vector posição rr dado por.

rr r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $

Se a partícula estiver em movimento, rx, ry e rz são funções de t.

y

z

x

rr2

rr1

$i

$j

$k

∆rr


As equações que traduzem a variação das coordenadas de posição com o tempo designam-se por

equações paramétricas do movimento.

( )x f tx= ; ( )y f ty= ; ( )z f tz=

Eliminando a variável t neste sistema obtém-se a equação da trajectória.

EXEMPLO:

Sendo o vector posição de uma partícula dado. rr t i t j= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2 3 2$ $

As equações paramétricas do movimento são.

⋅=

⋅=23

2

tr

tr

y

x

A equação da trajectória será.

−−−

=2xrt

⇔

⋅=

−−−2

4

3xry

2.6 Vector velocidade média e vector velocidade ins tantânea

O vector velocidade média é a razão entre o vector deslocamento e o intervalo de tempo em que

esse deslocamento ocorre, ou seja:

rr

vr

tm =∆∆

O vector velocidade instantânea é dado pelo vector ∆rr sobre o intervalo ∆t quando este tende para

zero.

rr

vr

tt=

→lim∆

∆∆0

dt

rdv

vr =

A direcção de rv é tangente à trajectória no ponto onde se encontra a partícula no instante

considerado.

y

x

rv


2.7 Vector aceleração média e vector aceleração ins tantânea

O vector aceleração média é dado por:

rr

av

tm =∆∆

A aceleração média tem a direcção e o sentido do vector ∆rv .

O vector aceleração instantânea é o limite para que tende o vector aceleração média quando o

intervalo de tempo tende para zero.

r rr

a av

ttm

t= =

→ →lim lim∆ ∆

∆∆0 0

2

2

dt

rd

dt

vda

rrr ==

2.8 Componente normal e tangencial do vector aceler ação

Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a concavidade da

trajectória.

2.8.1 Movimento acelerado

Num certo intervalo de tempo o movimento é acelerado se o módulo da velocidade aumentar.

y

x

rvi

rvf

rvf

∆rv

A

B

y

x

rvi

rvf

rvf

∆rv

A

B


2.8.2 Movimento retardado

Num certo intervalo de tempo o movimento é retardado se o módulo da velocidade diminuir.

r r ra a an t= +

y

x

vat

ra ∆r

v

A

B

van

y

x

vat

ra

∆rv

A

B

van

y

x

rvi

rvf

rvf

∆rv A

B


2.8.3 Movimento uniforme

Se num certo intervalo de tempo o módulo da velocidade for constante, o movimento diz-se

uniforme.

2.8.4 Componente normal e tangencial do vector aceleração

Considere-se uma partícula a descrever uma trajectória curvilínea no plano xy.

y

x

v ra ot ≡

∆rv

A

B

v ra an ≡

y

x

rvi

rvf

rvf

∆rv

A

B

P

rat r

an

ra

rv

$i

$j

x

y


No instante t a partícula encontra-se no ponto P com velocidade com velocidade rv e aceleração

ra

.

Pode-se exprimir ra em função de duas componentes:

- uma segundo a direcção tangente à trajectória, aceleração tangencial rat ;

- uma segundo a direcção normal à trajectória, aceleração normal ran .

r r ra a an t= +

Considerando um versor tangente à trajectória $ut e outro normal à trajectória $un . O vector

aceleração pode escrever-se da seguinte forma. ra a u a un n t t= ⋅ + ⋅$ $

Em que as variáveis têm o seguinte significado: ran está relacionado com a variação da direcção de

rv ;

rat está relacionado com a variação do modulo de

rv .

Como rv é tangente à trajectória, pode-se escrever que:

rv v ut= ⋅ $

Sabendo que:

dt

vda

rr =

Pode-se escrever:

( )dt

udvu

dt

dv

dt

uvda t

tt ˆ

ˆˆ

⋅+⋅=⋅

=r

Numa trajectória curvilínea, a direcção do versor $ut varia e assim ∂∂$u

tt ≠ 0 . Considerando a

seguinte figura.

P α

αd

$i

$j

x

y

R

α

P'

$ut

$un


Em que α é um ângulo que a tangente à curva faz no ponto P com o eixo dos xx.

Pode-se decompor $ut e $un segundo as direcções dos eixos x e y.

( ) ( )$ cos $ sin $u i jt = ⋅ + ⋅α α

jiunˆ

2sinˆ

2cosˆ ⋅

++⋅

+= παπα

( ) ( ) jiunˆcosˆsinˆ ⋅+⋅−= αα

A derivada de $ut em ordem ao tempo é dada pela seguinte equação.

( ) ( ) jdt

di

dt

d

dt

ud t ˆcosˆsinˆ

⋅⋅+⋅⋅−= αααα

Colocando dt

dαem evidência obtém-se.

( ) ( )[ ]dt

dji

dt

ud t ααα ⋅⋅+⋅−= ˆcosˆsinˆ

O que é igual a.

dt

du

dt

udn

t α⋅= ˆˆ

Com αd em radianos pode-se escrever:

RddS ⋅= α

O que pode ser escrito como.

RdS

d 1=α

Ou.

t

Sd

Sd

d

dt

d

∂αα ⋅=

R

vv

Rdt

d =⋅= 1α

Ou seja.

nt u

R

v

dt

udˆ

ˆ⋅=

Substituindo dt

ud tˆ na expressão de ra ,

( )

dt

udvu

dt

dv

dt

uvda t

tt ˆ

ˆˆ

⋅+⋅=⋅

=r

Vem.

R

R

αd

dS


nt uR

vvu

dt

dva ˆˆ ⋅⋅+⋅=r

nt uR

vu

dt

dva ˆˆ

2

⋅+⋅=r

em que. r r ra a at n= +

ra

v

tut t= ⋅

∂∂

$

ra

v

Run n= ⋅

2

$

Se rv = constante →

r rat = 0

Se a trajectória for rectilínea (R = ∞ ) → r ran = 0

Se o ângulo formado entre os vectores rv e

ra for:

< →90º rat e

rv têm o mesmo sentido → movimento acelerado;

> →90º rat e

rv têm o sentido contrário → movimento retardado;

= →90º r rat = 0 , o movimento é uniforme.

EXEMPLO

Considere um canal rectangular, no qual o escoamento segue com velocidade v. Sabendo que o

canal descreve uma curva horizontal com raio R. Qual será a inclinação da superfície livre do

escoamento quando representada numa secção transversal do mesmo?


Na massa de liquido actua a aceleração da gravidade e a aceleração centrifuga devido à curva

horizontal que o canal descreve. A inclinação da superfície livre do escoamento irá fazer um

ângulo com a horizontal por forma a equilibrar estas duas acelerações. Essa inclinação será dada

por:

=

g

anarctanθ

⋅=

gR

v2

arctanθ

( )θtan2

⋅

=∆ Lh

⋅⋅

=∆gR

vLh

2

2

Como a área da secção transversal do escoamento continua a ser a mesma, o aumento de

profundidade no exterior da curva é compensado pelo aumento de profundidade no exterior da

mesma.

Desta forma conclui-se que no dimensionamento de um canal é necessário considerar um aumento

da altura das paredes laterais quando existem curvas.

Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas: aceleração

normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração angular,

período, frequência.

gr

nar

θ

h

h∆

h∆

θ

L



Q1) Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas:

aceleração normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea,

aceleração angular, período, frequência.

Q2) Estabeleça a equação da posição angular para um movimento circular uniforme.


3 Cinemática – movimentos

Na aula anterior foram analisadas as relações entre as variáveis cinemáticas (posição, velocidade e

aceleração) na situação mais geral. Agora vão ser analisados casos particulares para movimentos

rectilíneos uniformes, movimentos rectilíneos uniformemente acelerados, movimentos circulares

uniformes, movimentos circulares uniformemente acelerados, movimentos harmónicos simples e

movimento de projécteis sem considerar os efeitos da resistência aerodinâmica.

3.1 Movimento rectilíneo

Movimentos rectilíneos são todos os movimentos cuja trajectória é rectilínea.

Considere-se uma partícula a mover-se numa direcção associada à de um versor $i . Como o vector

é tangente à trajectória. rv v i= ⋅ $

Logo a aceleração será dada por.

rr

av

t

v

ti v

i

t= = ⋅ + ⋅

∂∂

∂∂

∂∂

$$

em que

i = Constante

O termo

0ˆ r

=⋅dt

idv

Logo podemos escrever.

idt

dva ˆ⋅=

Como foi visto.

tadt

dv =

Logo. ra a it= ⋅ $

Ou seja. r ra at=

$i

rv

x


Isto quer dizer que nos movimentos rectilíneos só existe aceleração tangencial. Por isso de uma

forma geral fala-se simplesmente em aceleração sendo a aceleração e aceleração tangencial a

mesma coisa.

Quando se descreve uma variável vectorial num sistema com um único eixo, esta pode ser escrita

como uma variável escalar sem perda de informação. Se o vector estiver dirigido no mesmo sentido

do eixo a variável é positiva, caso contrário é negativa. O módulo do vector é dado pelo valor da

variável e a direcção é a única possível, a do eixo utilizado.

3.1.1 Movimento rectilíneo uniforme

Os movimentos rectilíneos uniformes (m.r.u.) são movimentos em que o módulo do vector

velocidade permanece constante. rv = Constante

Como nos movimentos rectilíneos a direcção do vector rv é constante.

rv = Constante

Foi visto que.

dt

vda

rr = e

rv = constante

Logo. r ra = 0

O vector velocidade instantânea é constante, pelo que coincide com o vector velocidade média. r rv vm=

rv r r

vr

t

r r

tm

f i= =−∆

∆ ∆

Neste tipo de movimento. r rv vm=

Pelo que se pode escrever.

rr r

vr r

tf i=

−∆

r r rr r v tf i= + ⋅ ∆

Como o movimento é rectilíneo, é possível escrever a equação do seguinte modo.

r i r i v i tf i⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅$ $ $ ∆

Dividindo a equação pelo versor, obtém-se a equação do movimento rectilíneo uniforme na forma

escalar.

r r v tf i= + ⋅ ∆


Nos movimentos rectilíneos que são descritos com base num único eixo as variáveis vectoriais

posição, velocidade e aceleração são completamente definidas por um escalar uma vez que está

inerente à equação que têm a direcção do único eixo definido no problema e o sentido será dado

pelo respectivo sinal.

É possível chegar ao mesmo resultado com base no cálculo infinitesimal. Neste exemplo utilizamos

as equações na forma escalar, com conhecimento de que a posição, velocidade e aceleração se

desenvolvem segundo um único eixo.

dt

drv =

dtvdr ⋅=

∫ ⋅= dtvr

Como v é constante resulta

tvrr i ⋅+=

Se derivarmos v em ordem ao tempo, obtemos r. Se integrarmos r em ordem ao tempo obtemos v.

Podemos ver o significado destas operações em termos gráficos.

Neste gráfico foi considerado que ti=0 e r i=0 para a visualização ser mais fácil. Nesta situação a

posição r no instante ti é dada por v.t que representa a área sob a linha das velocidades até ao

instante tf .

O declive da linha que define a posição r é igual ao valor da velocidade v.

r

v

a

t

v

tf ti

r


3.1.2 Movimento rectilíneo uniformemente variado

Os movimentos rectilíneos uniformemente variados são movimentos em que o escalar da

aceleração tangencial permanece constante rat , que se pode escrever de uma forma simplificada e

sem perda de rigor como at .

at = Constante

Como se trata de um movimento rectilíneo.

an = 0

Como a aceleração é constante o seu valor médio é igual ao valor instantâneo. r ra am=

rr r

av v

tm

f i=−

∆

Pode escrever-se.

rr r

av v

tf i=

−∆

Ou seja. r r rv v a tf i= + ⋅ ∆

tiaiviv if ∆⋅⋅+⋅=⋅ ˆˆˆ

Dividindo por i resulta.

v v a tf i= + ⋅

Pela definição de velocidade.

dt

rdv

rr =

Pode-se estabelecer a seguinte equação diferencial ordinária de 1ª ordem.

dtvrd ⋅= rr

( ) dttavrd i ⋅⋅+= rrr

Integrando a equação interior.

( ) dttavr i ⋅⋅+= ∫rrr

Da sua resolução resulta.

r r r rr r v t a tf i i= + ⋅ + ⋅ ⋅

1

22

Representação típica do comportamento da posição, velocidade e aceleração em função do tempo

num movimento rectilíneo uniformemente variado m.r.u.v.


Para qualquer m.r.u. temos sempre a aceleração definida por uma recta horizontal a velocidade

definida por uma recta qualquer e a posição definida por uma parábola.

dt

drv =

dt

dva = = constante

3.2 Movimento circular

Designam-se por movimentos circulares aqueles em que a trajectória é circular ou seja o raio R é

constante.

Considerando uma partícula a descrever uma trajectória circular no plano xy em que R é o raio da

trajectória.

r, v, a

t

a

v

r


Em que as variáveis representadas na figura anterior assumem os seguintes significados:

S comprimento do arco descrito pela partícula;

dt intervalo de tempo;

θ ângulo ao centro;

rRr= raio da trajectória.

Nestes movimentos podemos utilizar coordenadas polares para definir a posição. Como o raio é

constante, a posição fica definida pelo ângulo ao centro. Quando a partícula descreve um ângulo ao

centro θ a distância S percorrida pela partícula é dada por.

RS ⋅= θ

3.2.1 Velocidade angular

Como a posição é definida pela posição angular θ podemos definir a velocidade angular com o

ângulo ao centro varrido por unidade de tempo.

tmedio ∆∆= θωr

No limite quando 0→∆t temos:

tot ∆∆=

→∆

θω limr

dt

dθω =r

A velocidade angular é uma grandeza vectorial com direcção normal ao plano do movimento e

sentido dado pela regra da mão direita.

Podemos então escrever:

x

y

z

rv

rr θ

rω

S


r rω ω= ⋅ $k

Em que $k é o versor que define a direcção e sentido do eixo z.

Como o espaço percorrido é definido por.

RS ⋅= θ

Derivando em ordem ao tempo obtém-se a relação entre velocidade ou velocidade linear e

velocidade angular.

dt

dRR

dt

d

dt

dS ⋅+⋅= θθ

Como o raio R é constante, resulta.

Rkuv t ⋅⋅=⋅ ˆˆ ω

3.2.2 Aceleração angular

Derivando o vector velocidade angular em ordem ao tempo, obtém-se a aceleração angular:

rv

α∂ω∂

=t

3.2.3 Movimento circular uniforme

Neste tipo de movimentos o módulo do vector velocidade é constante, mas a sua direcção altera-se

constantemente.

v= Constante rv ≠ Constante

Assim temos as seguintes relações.

00 =→= tadt

dv

00rr

r

≠→≠ adt

vd

O que nos leva a concluir que só existe aceleração normal à trajectória: r ra an=

Como.

v = Constante

v vm=

vS

t=

∆∆

O espaço S é dado pela seguinte expressão:

tvS ∆⋅=∆

tvSS ∆⋅=− 12


tvSS ∆⋅+= 12

Neste movimento v e R são constantes.

v R= ⋅ω

ω =v

R e ω = constante

A aceleração angular:

0==dt

dωα

Como ω = constante, a partícula descreve ângulos ao centro iguais em iguais intervalos de tempo.

tmedio ∆∆== θωω

ωθ θ

=− 0

∆t

θ θ ω= + ⋅0 ∆t

No movimento circular uniforme, o vector aceleração é radial, centrípeto, portanto normal ao

vector velocidade em cada ponto e de módulo constante.

r r ra a aA B C= =

r r rv v vA B C= =

3.2.3.1 Período

O período (T) é o intervalo de tempo ao fim do qual as características posição, vector velocidade e

vector aceleração se repetem.

raA

raB

raC

A

B

C

rvA

rvB

rvC


3.2.3.2 Frequência

A frequência de um movimento circular uniforme (m.c.u) é o número de voltas por unidade de

tempo que a partícula descreve.

Sendo R o raio da trajectória e T o período do movimento, vem.

vR

T=

⋅ ⋅2 π

Como.

v R= ⋅ω

ω =v

R

Podemos escrever que.

ωπ

π=⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅

22

R

T Rf

3.2.4 Movimento circular uniformemente variado

Neste tipo de movimento, a aceleração angular é constante.

α =constante

Como.

dt

dωα =

dtd ⋅= αω

ω α ∂= ⋅∫ t

ω ω α= + ⋅0 t

E porque.

dt

dθω =

dtd ⋅= ωθ

Substituindo.

( ) dttd ⋅⋅+= αωθ 0

Integrando.

( ) dtt ⋅⋅+= ∫ αωθ 0

Obtém-se.

θ θ ω α= + ⋅ + ⋅ ⋅0 021

2t t


3.3 Projecteis

O movimento efectuado por um projéctil descreve uma trajectória plana em forma de parábola.

Trata-se da soma de dois movimentos, um segundo a horizontal e outro segundo a vertical.

Um projéctil, se desprezarmos a resistência do ar, após ter sido lançado só está sujeito à acção da

gravidade rg . Este vector tem a direcção vertical e é dirigido de cima para baixo.

A componente horizontal do movimento é um movimento rectilíneo uniforme. A componente

vertical é um movimento rectilíneo uniformemente variado.

( )rr r v t i r v t g t jx x y y= + ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅

⋅0 0 0 0

21

2$ $

( )rv v i v g t jx oy= ⋅ + − ⋅ ⋅0

$ $

jga ˆ⋅−=r


Q1) Prove que a trajectória de um projéctil é parabólica.

Q2) Indique o conceito de período e de frequência

rv y0

rv x0

rv0

rr0

$i

$j

x

y

rr x0

rr y0


Q3) Explique porque razão dois objectos em queda livre no vácuo, com massas e volumes

diferentes, partindo do repouso, percorrem a mesma distância no mesmo intervalo de tempo?

Apresente a equação que traduz o fenómeno.

Q4) Estabeleça a partir da equação da aceleração normal e aceleração tangencial a relação entre o

tempo e o ângulo formado entre o vector velocidade e o vector aceleração num movimento circular

uniformemente acelerado. Assuma que a partícula partiu do repouso.

Q5) Represente os gráficos posição/tempo, velocidade/tempo e aceleração/tempo para o

movimento rectilíneo uniformemente variado, nas variantes de ser acelerado e de ser acelerado.


4 Estática das partículas no plano

Este capítulo estuda o efeito das forças que actuam em partículas.

Por partícula entende-se um corpo com dimensões desprezáveis, pelo que a sua forma e dimensão

não alteram significativamente os resultados do problema.

4.1 Forças actuantes numa partícula

Uma força representa a acção de um corpo sobre outro e é representada pela sua intensidade, ponto

de aplicação, direcção e sentido.

Forças actuantes numa partícula têm o mesmo ponto de aplicação.

Uma força representa-se por um segmento de recta orientado, o que se pode denominar por vector.

O módulo do vector representa a intensidade da força. No sistema internacional a unidade de força

é o Newton (N). Na engenharia civil é comum utilizar o quilo newton (kN), pois lida-se com forças

grandes e com a utilização de um múltiplo, evita o uso de números com muitos dígitos nos

cálculos.

4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes

Se actuam numa partícula várias forças, estas podem ser substituídas por uma única força chamada

resultante, a qual produz o mesmo efeito sobre a partícula. A resultante é calculada pela soma das

forças que actuam sobre a partícula.

21 FFRrrr

+=


Regra do paralelogramo

4.3 Resultante de várias forças

Se uma partícula é actuada por várias forças, a resultante é dada pela sua soma vectorial

321 FFFRrrrr

++=

O que graficamente corresponde a.

Regra do polígono, a qual corresponde à repetição da regra do paralelogramo

1Fr

1Fr

2Fr

2Fr

3Fr

3Fr

Rr

Rr

1Fr

2Fr

Rr


4.4 Decomposição de uma força em componentes

Tal como um conjunto de forças concorrentes, pode ser substituído por uma força resultante. Logo

esta resultante pode ser por várias forças concorrentes. O número de combinações de forças

concorrentes é infinito.

Por razões práticas é frequente decompor uma força nas suas componentes.

yx FFFrrr

+=

jFiFF yxˆˆ ⋅+⋅=

r

Em que as componentes escalares Fx e Fy são dadas por:

( )αcos⋅= FFx

( )αsin⋅= FFy

Porem o problema pode colocar-se de outra forma. É conhecida a força Rr

e uma das componentes.

21 FFRrrr

+=

12 FRFrrr

−=

Fr

yFr

xFr


Neste caso, com base na regra do paralelogramo, constrói-se o seguinte esquema:

Regra do paralelogramo

Pela regra do polígono

)( 12 FRFrrr

−+=

Regra do polígono

4.5 Equilíbrio de uma partícula

Uma partícula diz-se em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que lhe são aplicadas é

nula.

Uma partícula sujeita à acção de duas forças, está em equilíbrio se essas forças tiverem a mesma

linha de acção, a mesma intensidade e sentidos opostos.

( ) 011

rrr=−+ FF

Rr

1Fr

Rr

1Fr

2Fr

1Fr

- 1Fr

Rr

2Fr

1Fr

− 1Fr


0321

rrrr=++ FFF

Quando o conjunto de forças que actuam numa partícula forma um polígono fechado, essa partícula

encontra-se em equilíbrio. Nesta situação podemos escrever.

01

rrr==∑

=

n

iiFR

No final do século VXII, Sir Isaac Newton, formulou três leis fundamentais nas quais se baseia a

física mecânica também designada por física clássica ou física Newtoriana. A primeira dessas leis é

enunciada como:

1ª Lei de Newton “Se a força resultante actuando sobre uma partícula é nula, a partícula

permanecerá em repouso (se inicialmente estiver em repouso) ou mover-se-á com velocidade

constante e em linha recta (se estiver inicialmente em movimento) ”

Os princípios da estática de um ponto material assentam nesta lei e na definição de equilíbrio de

uma partícula.

4.6 Diagrama de corpo livre

Na prática, os problemas em Engenharia Civil derivam de situações físicas reais. Um esquema que

represente as condições físicas do problema chama-se diagrama espacial.

Existem muitos problemas reais que podem ser reduzidos a problemas referentes ao equilíbrio de

uma partícula.

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr


Exemplo 01 – Como calcular as forças de tracção aplicadas pelos cabos 1 e 2 no bloco?

Diagrama espacial

Diagrama espacial

Diagrama de corpo livre

O polígono formado pelas três forças aplicadas no corpo é fechado, logo a resultante é nula. Nesta

situação, o corpo está em equilíbrio.

As forças 1Fr

e 2Fr

podem ser calculadas através da condição de equilíbrio de uma partícula.

∑ = 0rr

F

Na prática é mais simples lidar com as componentes cartesianas das forças

2

1

2Fr

1Fr

gFr

2Fr

1Fr

gFr


0=∑ xF

0=∑ yF

0=∑ xF ⇔ ( ) ( ) 0coscos 21 =⋅−⋅ βα FF

0=∑ yF ⇔ ( ) ( ) 0sinsin 21 =−⋅+⋅ gFFF βα

Estas equações são resolvidas simultaneamente para as incógnitas 1F e 2F .

Exemplo 02 – Cálculo da força aplicada por um cabo a segurar um bloco assente num plano

inclinado sem atrito.

gFr

nRr

α

Tr

α

β

x

y

2Fr

1Fr

gFr

α β


gFr

peso do bloco

nRr

reacção normal do plano sobre o bloco

Tr

força exercida pelo cabo no bloco

Aplicando as equações de equilíbrio.

0=∑ xF

0=∑ yF

Resulta.

0=∑ yF

0)cos()sin( =⋅−⋅+ αβ gn FTR

Nesta equação temos duas variáveis cujo valor é desconhecido, logo não é possível calcular o valor

de T .

Analisando o equilíbrio de forças segundo x :

0=∑ xF

( ) ( ) 0cossin =⋅−⋅ βα TFg

( )( )β

αcos

sin⋅= gF

T

Este exemplo demonstra a necessidade de saber visualizar no diagrama de corpo livre qual ou quais

são as direcções mais convenientes para aplicar as condições de equilíbrio.


Q1) Estabeleça o diagrama de corpo livre para a seguinte situação. Represente as forças actuantes

no cabo e na barra.


A figura representa uma barra inclinada com peso Fg segura por um cabo de massa desprezável.

Q2) Considerando a mesma situação, estabeleça a equação para o cálculo da força de tracção a que

o cabo AC está sujeito.

θ

β α

A

B C


5 Dinâmica de uma partícula

A dinâmica estuda as relações entre as forças que actuam na partícula e os movimentos por ela

adquiridos.

A estática estuda as condições de equilíbrio de uma partícula.

5.1 As três leis do movimento de Newton

Newton estudou e desenvolveu as ideias de Galileu sobre o movimento e estabeleceu três leis que

têm hoje o seu nome.

1ª Lei de Newton

"Todos os corpos permanecem no seu estado de repouso ou de movimento rectilíneo uniforme a

não ser que sejam obrigados a modificar esse estado por acção de forças aplicadas."

Da 1ª lei de Newton podemos concluir que:

- Quando um corpo está em repouso, não actua nenhuma força, ou actua um sistema de forças cuja

resultante é nula;

- Quando um corpo tiver movimento rectilíneo uniforme não actua nele nenhuma força ou actua

um sistema de forças cuja resultante é nula.

Quando um corpo está numa situação de equilíbrio (r rFi∑ = 0 ), esse equilíbrio pode ser estático (

r rv = 0 ) ou dinâmico (

r ra = 0 e

rv = constante).

2ª Lei de Newton

"A aceleração de um corpo é directamente proporcional à intensidade da força resultante, tem a

mesma direcção e o mesmo sentido que esta e é inversamente proporcional à massa do corpo."

O enunciado desta lei é traduzido pela expressão:

rr

r ra

F

mF m a= ⇔ = ⋅

A unidade de força chama-se Newton (N) e corresponde a uma força constante com intensidade

igual a uma unidade que aplicada a uma massa de 1 kg, comunica-lhe uma aceleração de 1 m/s2.

Relação entre as direcções e sentidos de rv ,

ra e

rF :

1) Aplicando a um corpo em repouso uma força rF constante em direcção, sentido e intensidade,

ele adquire movimento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) com direcção e sentido da

força.

Nesta situação rv ,

ra e

rF têm a mesma direcção e sentido.

ra e

rF são constantes.

rF

r rv0 0=

rv1

rv2

rF

rF


2) Aplicando a um corpo com velocidade rv0 uma força

rF constante na mesma direcção mas

sentido contrário do de rv0 , o corpo terá movimento rectilíneo uniformemente retardado (a

velocidade e a aceleração têm sentidos contrários).

3) Se rF tiver direcção diferente da de

rv , o corpo passa a ter uma trajectória curva, pelo que se

altera a direcção de rv .

Em todas as situações rF e

ra têm a mesma direcção e sentido.

3ª Lei de Newton

"A qualquer acção opõe-se sempre uma reacção igual, ou seja, as acções mutuas de dois corpos

um sobre o outro são sempre iguais e de sentidos opostos."

Esta lei exprime uma propriedade importante das forças: as forças nunca aparecem isoladas, mas

sempre aos pares como resultado da interacção entre dois corpos.

O par acção reacção tem as seguintes características:

- a mesma linha de acção;

- sentidos opostos;

- mesma intensidade,

- estão aplicados em corpos diferentes.

rF

rv0

rv1

rv2

rF

rF

ra

rF

ra r

v


Em que: rFA B, Força aplicada no corpo A pelo corpo B

rFB A, Força aplicada no corpo B pelo corpo A

Estes dois vectores são simétricos: r rF FA B B A, ,= −

É totalmente errado somar estes dois vectores e dizer que o resultado é nulo pois estas forças são

aplicadas em corpos diferentes.

5.2 Relação entre rF e

ra e sua aplicação aos vários tipos de movimento

Como foi visto, a 2ª lei de Newton ou lei fundamental da dinâmica é: r rF m a= ⋅

Como: r r ra a an t= +

( )r r rF m a an t= ⋅ + r r rF m a m an t= ⋅ + ⋅

Logo: r r rF F Fn t= +

Em que:

rF m

v

Run n= ⋅ ⋅

2

$

rF m

v

tut t= ⋅ ⋅

∂∂

$

A componente da força normal à trajectória rFt é responsável pela variação da direcção da

velocidade e a componente tangente à trajectória causa a alteração do módulo da velocidade.

rFA B,

A B rFB A,


Se relacionarmos os vectores rFn e

rFt com

ran e

rat nos vários tipos de movimentos, podemos

concluir que:

5.3 Forças de ligação

Forças de ligação são forças que condicionam o movimento de um determinado corpo, como por

exemplo:

- Tracções em cabos;

- Reacção normal de planos;

- Forças de atrito.

Considere-se o seguinte corpo suspenso. O dispositivo é constituído por um apoio A, um cabo C e

uma esfera E.

E

C

A

Movimentos

Rectilíneos r rFn = 0 r ran = 0

Curvilíneos r rFn ≠ 0 r ran ≠ 0

Uniformes r rFt = 0 r rat = 0

Variados r rFt ≠ 0 r rat ≠ 0

Uniformes r rFt = 0 r rat = 0

Variados r rFt ≠ 0 r rat ≠ 0

r rF Ft=

r rF = 0

r rF Fn=

r r rF F Fn t= +


Na esfera actua a força gravítica rFg e a força de tracção aplicada pelo cabo

rFE C, . No cabo actua o

peso da esfera que tracciona o cabo e na outra extremidade actua a força aplicada pelo apoio no

cabo. No apoio actua a força aplicada pelo cabo rFA C, e um conjunto de forças não representadas

exercidas pela estrutura que suporta o apoio.

Como todos os elementos estão em equilíbrio estático, a resultante das forças aplicadas em cada um

destes elementos é nula r rFi∑ = 0 .

No esquema acima existem dois pares acção reacção, um na ligação entre a esfera e o cabo e outro

na ligação entre o cabo e o apoio.

5.3.1.Pendulos

Um pêndulo gravítico simples é um sistema constituído por um corpo, normalmente uma esfera,

com uma massa m e um fio inextensível e de massa desprezível.

A trajectória é circular com raio igual ao comprimento do fio l e centro no ponto de suspensão O.

rFE C,

E

C

A

rFC E,

rFC A,

rFA C,

rFg


A figura acima representada é o diagrama de corpo livre da massa. Nela estão representadas todas

as forças aplicadas na esfera.

Consideram-se um sistema de eixos tn em que o eixo t é tangente e o eixo n é normal à trajectória.

Uma vez que o referencial é ortonormado, é possível fazer o somatório das forças segundo cada um

dos eixos de forma independente.

Uma vez que o sistema de eixos acompanha o movimento da massa do pêndulo, segundo n não há

variação da posição, a distancia à origem é constante, a velocidade é nula e a aceleração é nula e

consequentemente a resultante das forças que actuam segundo esta direcção também é nula.

Fn =∑ 0

( ) ng amFT ⋅=⋅− θcos

( )T m g mv

l= ⋅ ⋅ + ⋅cosθ

2

O somatório das forças segundo a tangente à trajectória é diferente de zero. Segundo esta direcção

existe variação da velocidade e aceleração não constante.

Fn ≠∑ 0

( )F Ft g= ⋅∑ sin θ

( )F m gt = ⋅ ⋅∑ sin θ

Como:

F m a= ⋅

Conclui-se que:

A

B

O

C

vFg

vT

vFgn

vFgt

n

t

θ

θ vFc


( )a gt = ⋅ sin θ

A aceleração a que a massa está sujeita no pêndulo gravítico não é constante, mas sim uma função

sinusoidal do ângulo que o cabo faz com a vertical.

Desta expressão e das relações estudadas na cinemática pode-se concluir que a aceleração é sempre

tangente à trajectória, dirigida na direcção do ponto mais baixo. É máxima nas posições extremas e

nula quando o pêndulo passa pela vertical.

A velocidade é nula nas extremidades e máxima quando o pêndulo passa pela vertical.

5.3.2 Reacção de superfícies

Sempre que um corpo está apoiado numa superfície, exerce sobre ela uma força compressora à qual

se opõe uma reacção que a superfície aplica no corpo. Esta força rR subdivide-se em duas

componentes, uma normal à superfície rRn e outra tangencial à superfície

rRt . Esta última costuma

designar-se por força de atrito.

r r rR R Rn t= +

A força exercida pelo corpo na superfície Ar

e a reacção normal da superfície rRn formam um par

acção reacção. r rN Rn= −

Como o corpo está imóvel, o somatório das forças que lhe são aplicadas é nula, tal que: r r rF Rg n+ = 0

Se a um corpo em repouso assente sobre uma superfície horizontal aplicarmos uma força rF , a

superfície apresenta uma resistência ao movimento que se traduz por uma força tangente à

superfície com sentido contrário ao movimento. Essa força designa-se por força de atrito.

Ar

rRn

rFg

CM


Existem forças de atrito estático e forças de atrito cinético. Se não existe movimento relativo entre

as duas superfícies o atrito é estático, se existe movimento relativo entre as duas superfícies, o

atrito é cinético.

A experiência demonstra que as forças de atrito estáticas são superiores às forças de atrito

dinâmicas para a maioria dos materiais.

Na situação acima referida podem acontecer duas situações:

1) a força rF é superior à força de atrito estático

rFae , o corpo entra em movimento e o atrito passa

a ser cinético rFak ;

2) a força rF é inferior à força de atrito estático

rFae e o corpo permanece em repouso.

A força de atrito é calculada por: r rF Ra n= ⋅µ

Para o cálculo do atrito estático, emprega-se o coeficiente de atrito estáticoµe e para o cálculo do

atrito cinético utiliza-se o coeficiente de atrito cinético µ k .

Considere-se um corpo colocado sobre um plano inclinado que faz um determinado ângulo θ com

a horizontal.

rN

rRn

rFg

CM rF

rFa


Nesta situação, segundo o eixo n não se há movimento, este apenas ocorre segundo a tangente à

superfície definida pelo eixo t. Desta forma pode-se escrever que:

Fn =∑ 0

( )R Fn g− ⋅ =cosθ 0

( )R Fn g= ⋅ cosθ

Quanto à resultante segundo o eixo t:

( )F F Ft g a= ⋅ −∑ sin θ

( )F m g Rt n= ⋅ ⋅ − ⋅∑ sin θ µ

( ) ( )F m g m gt = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∑ sin cosθ µ θ

( ) ( )( )F m gt = ⋅ ⋅ − ⋅∑ sin cosθ µ θ

Os valores dos coeficientes de atrito dependem dos materiais das duas superfícies que tendem a

deslizar entre si. São referidos no quadro seguinte, a título de exemplo, os valores dos coeficientes

de atrito para alguns materiais.

θ

rFg

t

n

( )r rF Fgn g= ⋅cosθ

( )r rF Fgt g= ⋅ sin θ

r rF Ra n= ⋅µ


MATERIAIS µe µ k

cobre / ferro 1.1 0.3

aço / aço 0.7 0.5

aço / madeira 0.4 0.2

aço / teflon 0.04 0.04

5.4 Movimento harmónico simples

Quando a força aplicada num corpo é proporcional ao afastamento do ponto de equilíbrio e no

sentido desse mesmo ponto, o movimento que se desenvolve é harmónico simples.

A força F será dada por:

F k x= − ⋅

F m a= ⋅

− ⋅ = ⋅k x m a

logo, explicitando a aceleração:

rF

rF

0rr

=F

x


ak

mx= − ⋅

como a aceleração é a segunda derivada do deslocamento:

d x

dt

k

mx

2

2 = − ⋅

se substituir:

k

m= ω 2

d x

dtx

2

22= − ⋅ω

a solução da equação diferencial acima, é:

( )x A t= ⋅ ⋅ +sin ω φ

isto pode ser provado da seguinte forma:

a primeira derivada de x em ordem ao tempo é:

( )dx

dtA

d

dtt= ⋅ ⋅ +sin ω φ

( )dx

dtA t= ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φcos

a segunda derivada será:

( )d x

dtA

d

dtt

2

2 = ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φcos

( )d x

dtA t

2

22= − ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φsin

logo prova-se que:

( )d x

dtx t

2

22= − ⋅ω

O movimento harmónico simples aplica-se a todos os corpos que oscilam em torno de uma posição

de equilíbrio (PE) e que estão sujeitos a uma força directamente proporcional ao afastamento da

(PE) dirigida no sentido da (PE). Aplica-se a pêndulos gravíticos com pequena amplitude de

movimentos e a osciladores de um ou mais graus de liberdade. Os osciladores têm aplicação na

Engenharia Civil por serem utilizados como modelos simplificados do comportamento dinâmico de

estruturas de edifícios.


6 Quantidade de movimento de um sistema de partícul as

6.1 Impulso de uma força

Forças diferentes poderão originar acréscimos iguais de velocidade na mesma partícula, desde que

actuem de modo a ser constante o produto da força pelo seu tempo de actuação. r rJ F t= ⋅ ∆

r rJ F t

ni

i

n

= ⋅→∞ =∑lim ∆

1

r rJ F t

t

t

= ⋅∫1

2

∂

1t 2t

mF

J

t1 t2 t(s)

F(N)


Na primeira figura a força Fr

é constante, na segunda é variável, contudo os impulsos são idênticos

se as áreas sob as curvas forem idênticas.

6.2 Momento linear de uma partícula e de um sistema discreto de partículas

A grandeza vectorial que se obtém multiplicando a velocidade rv pela sua massa m chama-se

momento linear ou quantidade de movimento da partícula. r rp m v= ⋅

Para um sistema constituído por n partículas r r r rp p p pn= + + +1 2 ...

r rp m vi i

i

n

= ⋅=∑

1

A forma geral da 2ª lei de Newton é dada por:

( )rr r

rr

Fp

t

m v

t

m

tv m

v

t= =

⋅= ⋅ + ⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Na situação de m = constante, vem a equação na sua forma particular: r rF m a= ⋅

tamtF ∆⋅⋅=∆⋅ rr

vmtFrr

∆⋅=∆⋅

( )12 vvmJrrr

−⋅=

12 ppJrrr

−=

pJrr

∆=

Se a força rF for constante no intervalo de tempo entre t1 e t2, pode-se escrever.

∆ ∆r r r r r r rp J F t p p m v m v= = ⋅ = − = ⋅ − ⋅2 1 2 1

Logo o impulso de uma força aplicada numa partícula é igual à variação da quantidade de

movimento dessa partícula.

6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partí culas

Por definição o centro de massa de um sistema discreto de partículas, com base na dinâmica, é o

ponto que se desloca como se deslocaria uma partícula com a massa do corpo ou do sistema se na

qual se aplicassem as forças exteriores a que está submetido o corpo ou o sistema.

As coordenadas do centro de massa de um sistema constituído por n partículas são:


xm x m x m x

m m m

m x

mCM

n n

n

i ii

n

ii

n=⋅ + ⋅ + + ⋅

+ +=

⋅=

=

∑

∑

1 1 2 2

1 2

1

1

...

...

ym y m y m y

m m m

m y

mCM

n n

n

i ii

n

ii

n=⋅ + ⋅ + + ⋅

+ +=

⋅=

=

∑

∑

1 1 2 2

1 2

1

1

...

...

zm z m z m z

m m m

m z

mCM

n n

n

i ii

n

ii

n=⋅ + ⋅ + + ⋅

+ +=

⋅=

=

∑

∑

1 1 2 2

1 2

1

1

...

...

O vector posição do centro de massa é dado por:

r

r

r

m r

mCM

i ii

n

ii

n=⋅

=

=

∑

∑

1

1

6.4 Momento linear do centro de massa

Como foi visto, o vector posição do centro de massa é dado por:

r

r

r

m r

mCM

i ii

n

ii

n=⋅

=

=

∑

∑

1

1

esta equação pode ser escrita na seguinte forma:

( ) ( )m r m ri CMi

n

i ii

n

⋅ = ⋅= =∑ ∑r r

1 1

derivando em ordem ao tempo e assumindo que a massa é sempre constante, vem:

( )mr

tm

r

tiCM

i

n

ii

i

n

⋅ = ⋅

= =∑ ∑

∂∂

∂∂

r r

1 1

( ) ( )m v m vi CMi

n

i ii

n

⋅ = ⋅= =∑ ∑

r r

1 1

( ) ( )m v pi CMi

n

ii

n

⋅ == =∑ ∑

r r

1 1

Assim fica demonstrado que a quantidade de movimento ou momento linear de um sistema de

partículas é dado por:


( )P m v pi CMi

n

ii

n

= ⋅ == =∑ ∑r r

1 1

6.5 Lei do movimento do centro de massa

( )r rP m vi

i

n

CM= ⋅=∑

1

( )∂∂ ∂

r rP

tm

v

tiCM

i

n

= ⋅=∑

1

( )∂∂

rrP

tm ai CM

i

n

= ⋅=∑

1

r r rF F m aext CM∑ ∑+ = ⋅int

As forças exteriores são aplicadas devido à interacção de um ou mais corpos pertencentes ao

sistema com um corpo que não pertence ao sistema. As forças internas, ocorrem devido à

interacção entre dois ou mais corpos pertencentes ao sistema. Segundo a 3ª lei de Newton (par

acção reacção), se somarmos todas as forças internas do sistema, o resultado é um vector nulo. r rFint∑ = 0

r rF m aext CM∑ = ⋅

Esta última equação traduz a 2ª lei de Newton, na forma particular m = constante, aplicada aos

sistemas de partículas.

Para exemplificar tomemos o exemplo de um projéctil que é lançado e percorre uma determinada

trajectória. Em determinado instante, sem a aplicação de nenhuma força exterior ao projéctil, este

explode e separa-se em dois fragmentos. Nesta situação o centro de gravidade do sistema segue a

mesma trajectória como se nada se tivesse passado.

CM

y

x


6.6 Conservação do momento linear

( )r rF m aext i

i

n

CM= ⋅=∑∑

1

( )∂∂

rrP

tm ai

i

n

CM= ⋅=∑

1

∂∂

rrP

tFext=∑

Quando a resultante das forças exteriores que actuam num sistema é nula, o momento linear do

sistema mantém-se constante, pelo que a sua derivada é nula.

rP=constante, logo

∂∂

rrP

t= 0

6.7 Colisões perfeitamente elásticas

Neste tipo de colisões existe conservação da quantidade de movimento e da energia cinética do

sistema.

∂∂

rrP

t= 0 , logo

rP = constante

Isto quer dizer que antes e após a colisão a quantidade de movimento do sistema é a mesma, logo. r rP P1 2=

Na situação de dois corpos A e B colidirem, pode-se escrever a seguinte equação.

m v m v m v m vA A B B A A B B⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅r r r r1 1 2 2


6.8 Colisões perfeitamente inelásticas

Neste tipo de colisões existe conservação da quantidade de movimento, mas ocorrem perdas de

energia cinética. Esta situação verifica-se quando após a colisão os corpos permanecem juntos

seguindo uma trajectória comum. r rP P1 2=

( )m v m v m m vA A B B A B⋅ + ⋅ = + ⋅r r r1 1 2

Antes

Depois

BBA vvvrrr == 22

1Avr

01

rr =Bv


7 Trabalho e energia

7.1 Noção de trabalho

7.2 Trabalho de uma força constante

7.2.1 Trabalho realizado por uma força constante ao longo de uma trajectória

rectilínea

O trabalho de uma força constante ao longo de uma trajectória rectilínea, define-se como o produto

interno do vector força pelo vector deslocamento:

W F r= ⋅r r∆

Esta equação também pode ser escrita como:

( )W F r= ⋅ ⋅r

∆ cosα

em que α é o ângulo formado entre os dois vectores.

O trabalho de uma força pode ser motor ou potente, resistente ou nulo. O trabalho é motor quando a

força contribui para o deslocamento, é resistente quando a força se opõe ao deslocamento.

7.3 Trabalho realizado por uma força variável

7.3.1 Trabalho realizado por uma força de valor variável ao longo de uma

trajectória rectilínea

O trabalho de uma força variável ao longo de uma trajectória rectilínea é dado pela integração da

força em ordem à distância percorrida.

Para entender melhor esta definição, considere o seguinte caso:

∆rr

rF

∆rr

rF

∆rr

rF

Trabalho resistente Trabalho nulo Trabalho motor ou potente


A força F actua sobre uma partícula que se desloca segundo uma trajectória rectilínea, desde a

posição x1, até à posição xn Durante este deslocamento, a intensidade da força F possui, diferentes

valores, como mostra o gráfico. Assim, o trabalho realizado pela forca, pode ser calculado por:

W F xi ix

xn

= ⋅∑1

Quando a força varia continuamente, as distancias xi em que a força se pode considerar constante,

tende para zero e o número de intervalos n, tende para infinito. Logo, a equação para o cálculo do

trabalho será:

W F dxx

xn

= ⋅∫1

7.3.2 Trabalho de uma força variável ao longo de uma trajectória plana qualquer

O cálculo do trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma trajectória plana qualquer,

assenta nos mesmos princípios apresentados acima.

x1 xn

F

x x2

rF1

rFn

x

y

1

n

∆rr1

∆rrn

rF2


É possível aproximar a trajectória rectilínea por pequenos deslocamentos, desta forma, o trabalho é

calculado por:

W F ri ii

n

= ⋅=∑

r r∆1

Quando o número de deslocamentos utilizados para aproximar a trajectória curvilínea tende para

infinito, o trabalho é calculado por:

W F rn

i ii

n

= ⋅→∞ =∑lim

r r∆1

W F dr= ⋅∫r r

Logo:

dW F dr= ⋅r r

( )dW F dr= ⋅ ⋅r r

cosθ

em que θ é o ângulo formado entre os dois vectores.

Como:

dr v dtr r= ⋅ e dsrd =r

É válido afirmar que:

( )dW F ds= ⋅ ⋅r

cosθ

Como:

( )r rF Ft⋅ =cosθ

dw F dst= ⋅r

Ou seja:

W F dr= ⋅∫r r

Ou:

W F dst= ⋅∫

Logo ao calcular o trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma trajectória curvilínea,

a abordagem é semelhante à situação de uma força variável ao longo de uma trajectória rectilínea,

rFn

Ft rF


só que em vez de considerar a força, considera-se a componente tangencial da força, e em vez de

considerar o deslocamento, considera-se o espaço percorrido.

7.4 Forças que não realizam trabalho

7.4.1 Trabalho realizado ao longo de uma trajectória fechada

( )W F r F drn

i ii

n

A

B

= ⋅ = ⋅→∞ =∑ ∫lim

r r r r∆1

W F dr= ⋅∫r r

caso a força seja constante

W F dr= ⋅ ∫r r

W = 0

7.5 Trabalho de um sistema de forças

Quando um sistema de forças actua numa partícula, o trabalho realizado por esse sistema de forças,

é igual ao trabalho realizado pela força resultante do sistema.

W F r F r F r= ⋅ + ⋅ + ⋅r r r r r r1 2 3∆ ∆ ∆

( )W F F F r= + + ⋅r r r r1 2 3 ∆

W F rr= ⋅r r∆

7.6 Energia cinética

W F r= ⋅r r∆

( )W F x x= ⋅ −r

0

como: r rF m a= ⋅

( )W m a x x= ⋅ ⋅ −r0

x x v t a t− = ⋅ + ⋅ ⋅0 021

2

como:

v v a t= + ⋅0

A B≡


e:

a t v v⋅ = − 0

logo, substituindo, obtém-se:

W m a v t a t= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

0

21

2

⋅⋅+⋅⋅⋅= tavtamW2

10

( ) ( )W m v v v v v= ⋅ − ⋅ + ⋅ −

0 0 0

1

2

( ) ( )W m v v v v v= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + −1

220 0 0

( ) ( )W m v v v v= ⋅ ⋅ − ⋅ +1

2 0 0

( )W m v v= ⋅ ⋅ −1

22

02

W m v m v= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅1

2

1

22

02

W E Ec c= − 0

W Ec= ∆

7.7 Energia potencial

A energia potencial de um sistema representa uma forma de energia mecânica armazenada no

sistema, podendo converter-se integralmente em energia cinética.

7.7.1 Energia potencial gravítica

∆ ∆Ep Ec= −

Ep Ep WB A Fg− = −

se

EpA = 0

Ep WB Fg= −

Ep F rB g= ⋅r r∆

Ep F rB g= ⋅ ⋅∆ cosθ

Ep F hB g= ⋅ ∆

Ep m g hg = ⋅ ⋅

∆rr

rFg

rFg

A

B


7.7.2 Energia potencial elástica

A energia potencial elástica armazenada na mola é igual ao simétrico do trabalho realizado pela

força elástica no movimento de deformação da mola.

Epe Epe WB A Fe− = −

EpeA = 0

Epe K x dxBA

B

= − − ⋅ ⋅∫

Epe K xB = ⋅ ⋅1

22

7.8 Conservação da energia mecânica

Se considerar um sistema isolado, em que as forças interiores são conservativas, pode-se escrever

que:

W EC p= −∆

e

W EC C= ∆

portanto:

cp EE ∆=∆−

∆ ∆E Ec p+ = 0

vFe

∆x A B

x

rFe


E E Em c p= + = constante

7.9 Lei da conservação da energia

Se algumas forças interiores forem não conservativas (força de atrito por exemplo), o trabalho

realizado por estas forças é transformado em outras formas de energia como calor e ruído devido à

fricção por exemplo.

FncWEpEcEm +∆+∆=∆

Como o termo.

∆ ∆E Ec p+ = 0

Logo.

∆Em WFa

= r

∆ ∆Em U+ = 0

Em que U∆ representa a energia foi dissipada no sistema.

NOTA:

O exemplo do pêndulo gravítico apresentado no capítulo da dinâmica pode agora ser resolvido de

uma forma mais simples.


8 Mecânica dos fluidos

Fluidos são substâncias que podem fluir, escoar-se com maior ou menor facilidade porque as suas

moléculas: movem-se umas em redor das outras com pequeno atrito, como nos líquidos e estão

muito afastadas como nos gases.

Os líquidos não têm forma própria, mas têm volume definido e são quase incompressíveis.

Os gases não têm forma própria nem volume definido e são altamente compressíveis.

8.1 Propriedades dos fluidos

8.1.1 Massa volúmica

A massa volúmica define a massa por unidade de volume, é praticamente constante nos líquidos e

variável com a pressão e temperatura nos gases.

ρ =m

V (kg/m3)

ρagua = 1000 kg/m3 a 4ºC

ρar = 1,293 kg/m3

8.1.2 Densidade relativa

dp

=ρρ

(adimensional)

Em queρp é uma massa volúmica padrão, salvo indicação em contrário, utiliza-se a massa

volúmica da água para os líquidos. Para os gases, utiliza-se a massa volúmica do ar, nas mesmas

condições de temperatura e pressão em que se encontra o gás.

8.1.3 Peso volúmico

O peso volúmico pode ser apresentado como o produto da passa volúmica pela aceleração da

gravidade.

grr

⋅= ργ (N/m3)

8.2 Pressão

A pressão é uma força por unidade de área. A pressão média numa dada superfície, é definida por:

rr

pF

Am = (N/m2) = (Pa)

Numa superfície infinitésima: r rp p

Am=

→lim

0


rr

pF

A=

∂∂

Desde que o fluido esteja em equilíbrio hidrostático, as forças de pressão são sempre normais às

superfícies do recipiente que contem o fluido.

8.3 Distribuição hidrostática de pressões

Considere o seguinte volume de controlo. Por volume de controlo, entende-se uma porção de

fluido, delimitado por uma fronteira imaginária, na qual se analisam as forças aplicadas.

Como o fluido está em repouso e permanece neste estado, o somatório das forças aplicadas é nulo,

logo:

Somatório das forças horizontais igual a zero. r rF =∑ 0

Fx∑ = 0

F F3 4=

Somatório das forças verticais igual a zero.

Fy∑ = 0

F F Fg2 1− =

p A p A Fg2 1⋅ − ⋅ = ρ =m

V

p A p A m g2 1⋅ − ⋅ = ⋅ m V= ⋅ρ

h1 rF1

rF4

rF3

rF2

h2 rFg


( )p p A g h A2 1− ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ρ ∆ ( )m A h= ⋅ ⋅ρ ∆

∆ ∆p g h= ⋅ ⋅ρ m h A= ⋅ ⋅ρ ∆

Como em cima da superfície do liquido contido no recipiente existe a pressão atmosférica, para ter

o valor da pressão absoluta é necessário somar o valor da pressão atmosférica 0p .

p p g h= + ⋅ ⋅0 ρ ∆

8.3.1 Distribuição de pressões na parede vertical de um reservatório

No esquema acima representam-se em simultâneo os diagramas de pressões relativas e o diagrama

de pressões absolutas. Para o cálculo da força exercida na parede vertical utiliza-se o diagrama de

pressões relativas pois o acréscimo de pressão devido a acção da atmosférica também se faz sentir

no exterior da parede.

O valor da força resultante por metro de extensão horizontal da parede será dado pela “área” do

diagrama de pressões relativas (com forma triangular).

2

2

1HgF ⋅⋅⋅= ρ

O ponto de aplicação desta força resultante passa pelo centro de gravidade, ou seja a um terço da

altura H a contar da base.

H

rp0

p p g H= + ⋅ ⋅r v0 ρ


8.4 Vasos comunicantes

O cálculo do problema de vasos comunicantes aplica directamente o principio da distribuição

hidrostática de pressões. Para a mesma altura de referencia h o valor da pressão terá que ser o

mesmo nas duas coluna de liquido ligadas entre si..

p p1 2=

ρ ρ1 1 2 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅g H g H

ρρ

1

2

2

1

=H

H

H1

H2

2 1

ρ1

ρ 2

h


8.5 Prensa hidráulica

Considere um sistema constituído por dois êmbolos ligados entre si em que a área interior de cada

um é diferente. No sistema representado na figura são aplicadas forças em ambos os êmbolos por

forma a que o sistema esteja em equilíbrio hidrostático.

Como a pressão do óleo no interior dos êmbolos é idêntica, pode-se escrever.

ppp == 21

F p A1 1= ⋅ F p A2 2= ⋅

pF

A= 1

1

pF

A= 2

2

F

A

F

A1

1

2

2

=

8.6 Pressão atmosférica

O ar que respiramos está sujeito à pressão de uma atmosfera. Esta pressão é criada pelo peso da

coluna de ar que se encontra acima de nós. Quando nos deslocamos para regiões mais altas, a altura

da coluna de ar diminui pelo que a pressão também diminui.

8.6.1 Barómetro de mercúrio

Os barómetros são instrumentos para medir a pressão atmosférica. O primeiro barómetro ficou

conhecido como o barómetro de mercúrio e assenta no seguinte funcionamento.

Trata-se de um tubo em vidro com 1 m de comprimento fechado numa extremidade. Inicialmente

este tubo é completamente preenchido com mercúrio. A extremidade aberta desse tubo é colocada

dentro de um recipiente também cheio de mercúrio com o cuidado de não entrar ar para o interior

do tubo.

rF2

rF1


Ao realizar esta experiência verifica-se que o mercúrio desce dentro do tubo até uma altura de 76

(cm) acima do nível de mercúrio na tina. Como na parte superior do tubo temos uma situação de

vácuo e na superfície da tina temos a pressão atmosférica, então a diferença de pressão é igual à

própria pressão atmosférica e também é igual à pressão exercida pela coluna de mercúrio que se

encontra dento do tubo.

Como o valor da massa volúmica do mercúrio é conhecida.

ρHg = 13 60, g/cm3

ρHg

kg

m=

⋅⋅−

13 60 1000

10 6 3

, /

ρHg = ⋅13 60 103, kg/m3

E uma atmosfera é igual a.

1 atm = 76 cm Hg

Logo podemos escrever.

1 atm = ρHg g h⋅ ⋅

1 atm = 13 60 10 9 8 0 763, , ,⋅ ⋅ ⋅

1 atm = 101 293 Pa

1 torr = 1 mm Hg

1 torr = ρHg g h⋅ ⋅

1 torr = 13 6 10 9 8 0 0013, , ,⋅ ⋅ ⋅ = 133,2 Pa

76 cm

rp2 0=

r rp patm1 =


8.7 Lei de Arquimedes

A diminuição de peso de um corpo mergulhado num líquido é igual ao peso de liquido de volume

igual ao volume da parte imersa do corpo. Essa diminuição é na realidade uma força dirigida de

baixo para cima que o fluido aplica no corpo e chama-se impulsãoIr

.

I F F= −2 1

I p A p A= ⋅ − ⋅2 1 2 2

( )I p p A= − ⋅2 1

I p A= ⋅∆ ∆p g A= ⋅ ⋅ρ

I g h A= ⋅ ⋅ ⋅ρ ∆

I g V= ⋅ ⋅ρ

Sendo:

ρ massa volúmica do fluido

g aceleração da gravidade

V volume da parte imersa do corpo

rF1

rF4

rF3

rF2

h2 rFg


9 Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de

forças distribuídas

9.1 Momento de uma força em relação a um ponto

Considere uma força Fr

aplicada num ponto (uma força é representada por um vector que define a

sua intensidade, direcção e sentido). Contudo, o efeito da força depende também do seu ponto de

aplicação.

A posição do ponto de aplicação é definida pelo vector posição rv

, com origem no ponto fixo de

referência O.

O momento de uma força define-se como o produto externo de rr

por Fr

e traduz o efeito de

rotação em torno do ponto O que a força Fr

provoca.

FrM O

rrr×=

De acordo com a definição de produto externo, o vector momento OMr

é normal ao plano que

contém os vectores rr

e Fr

e o seu sentido é dado pela regra da mão direita.

A intensidade do vector OMr

é dada por

( )θsin⋅⋅= FrM O

FdM O ⋅=

tO FrM ⋅=

sendo:

θ ângulo formado entre os vectores rr

e Fr

d braço do momento

tFr

força tangencial

θ

O rr

Fr

d

OMr


No sistema internacional (SI), onde a força é expressa em Newtons (N) e a distância em metros

(m), o momento de uma força é expresso em Newton.metro (N.m).

9.2 Centro de gravidade de um corpo bidimensional

Considere um corpo bidimensional no plano xy . A acção da gravidade actua sobre o corpo como

uma força distribuída, cuja resultante será o peso do corpo, aqui designado por rFr

.

∑= ir FFrr

As equações dos momentos serão:

∑∑ ⋅=⋅= iiry FxFxM

∑∑ ⋅=⋅= iirx FyFyM

Quando o número de elementos tende para infinito, pode-se escrever:

∫= dFFr

∫∑ ⋅= dFxM y

∫∑ ⋅= dFyM x

RFr

x

y z

x

y


9.3 Centro de massa de uma placa homogénea

Como a força gravítica é proporcional à massa.

gmFg ⋅=

Para uma placa de espessura constante a massa distribui-se uniformemente pela área da mesma.

VOLm ⋅= ρ

eAm ⋅⋅= ρ

geAFg ⋅⋅⋅= ρ

Substituindo na equação dos momentos.

( )∑ ∑ ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅→ geAxgeAxM iiy ρρ

( )∑ ∑ ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅→ geAygeAyM iix ρρ

Como ρ , e, g são constantes, podemos escrever.

( )∑ ∑ ⋅=⋅→ iiy AxAxM

( )∑ ∑ ⋅=⋅→ iix AyAyM

Quando o número de elementos tende para infinito.

∑ ∫ ⋅=⋅→ dAxAxM iy

∑ ∫ ⋅=⋅→ dAyAyM ix

9.4 Momentos de primeira ordem ou momento estático

Os momentos de primeira ordem ou momentos estáticos em relação aos eixos x e y são dados por.

∑ ∫ ⋅=⋅= dAxAxM iy

∑ ∫ ⋅=⋅= dAyAyM ix


Sempre que uma figura é simétrica em relação a um eixo, o momento estático em relação a esse

eixo é nulo e o centro de massa da figura pertence a esse eixo.

y

dA

-x x

dA 0=yM

BB

dA

-x

x

dA

0=BBM


9.5 Baricentro de uma placa composta

Quando uma placa tem uma geometria irregular, esta quase sempre pode ser dividida em figuras

elementares simples

x

y

0=xM

y

dA

-x

x

dA

x

y

y 0=yM

CG


As coordenadas do centro de gravidade podem ser obtidas através das seguintes equações,

∑ ⋅=⋅= iiy AxAxM

∑ ⋅=⋅= iix AyAyM

Caso exista uma abertura ou furo na placa, a área desse vazio é considerada como negativa.

x

y

CG1

CG2

CG3

x2 x1 x3

y1 y2

y3

x

y

CG

x

y


9.6 Teorema de Pappus-Guldin

Este teorema refere-se a superfícies e corpos de revolução. Superfície de revolução é uma

superfície que pode ser gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo fixo.

Da revolução de um semicírculo resulta uma esfera, de um segmento de recta resulta um cone e de

uma circunferência resulta um toro.

TEOREMA I

A área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva geratriz multiplicada pela

distancia percorrida pelo centroide da curva durante a geração da superfície.

TEOREMA II

O volume de um corpo de revolução é igual à área geratriz multiplicada pela distancia percorrida

pelo centroide da área durante a geração do corpo.

9.7 Cargas distribuídas sobre vigas

Considere uma carga distribuída sobre uma viga.

dAdW =

x

y

Esfera Cone Toro

(Donut)


A resultante será dada pelo integral da carga distribuída em ordem ao comprimento da viga, ao que

corresponde a “área” do diagrama de distribuição de carga.

∫ ⋅=L

dxww0

∫ ==L

AdAw0

Para uma carga distribuída uniforme (diagrama rectangular) o integral pode ser substituído pela

área de um rectângulo.

No caso de uma carga trapezoidal, esta pode ser considerada como uma carga rectangular com uma

carga triangular por cima.

x

y

mkNp /10=

kNFr 50510 =⋅=

mL 00.5=

x

y

mkNp /51 =

mkNp /102 =

kNFr 251 = kNFr 252 =

kNFr 50=

x

mL 00.5=


O valor da força resultante é determinado da seguinte forma.

kNFr 252

5101 =⋅=

kNFr 25552 =⋅=

kNFrFrFr 5021 =+=

O ponto de aplicação é determinado com base na equação dos momentos estáticos.

rry FxFrxFxM ⋅=⋅+⋅= 2211

502533.32550.2 ⋅=⋅+⋅= xM y

mx 915.2=


10 Eixos principais de inércia, inércias máximas e

mínimas

10.1 Exemplos de aplicação

Considere uma viga num estado de flexão pura. As forças internas na secção são forças

distribuídas, cujos módulos variam linearmente com a distancia ao centroide da secção.

O módulo das forças internas será dado por.

AykF ∆⋅⋅=∆

∑ ∆⋅= iix FyM

∑ ∆⋅⋅= iix AykM 2

∑ ∆⋅⋅= iix AykM 2

Quando o numero de elementos em que a secção foi dividida tende para infinito

dAykM x ⋅⋅= ∫2

xx IkM ⋅=

A variável Ix é o momento de segunda ordem ou momento de inércia

Considere um segundo exemplo, uma parede vertical de um reservatório onde existe uma comporta

circular.

Como se demonstra no capitulo Mecânica dos fluidos, a distribuição hidrostática de pressões é

calculada por

yygp ⋅=⋅⋅= γρ

em que:

ρ massa volúmica da água (kg/m3)

Compressão

Tracção

yk ⋅− Secção AA’

A’

A

yk ⋅

y

x


g aceleração da gravidade (m2/s)

y profundidade (m)

γ peso volúmico (N/m3)

ApF ∆⋅=∆

AyF ∆⋅⋅=∆ γ

A força resultante é calculada por.

∑∆= ir FF

iir AyF ∑ ∆⋅⋅= γ

ir AyF ∑ ∆⋅⋅= γ

∫ ⋅⋅= dAyFr γ

∑ ⋅∆=⋅= iirx yFFyM

iiix yAyM ⋅∆⋅⋅=∑γ

iix AyM ∆⋅⋅= ∑ 2γ

Quando o número de elementos i tende para infinito

∫ ⋅⋅= dAyM x2γ

xx IM ⋅= γ

A variável Ix é o momento de segunda ordem ou momento de inércia

ygp ⋅⋅= ρ


Os momentos de inércia de uma secção são dados por

∫ ⋅= dAyI x2

∫ ⋅= dAxI y2

10.2 Momentos de inércia

10.2.1 Momento de inércia de uma superfície rectangular

( ) 2ydybdI x ⋅⋅=

∫ ⋅⋅=h

x dyybI0

2

3

3

1hbI x ⋅⋅=

dybdA ⋅=

b

h

x

y


10.2.2 Momento de inércia de uma superfície triangular

Considere um triângulo de base b e altura h. Escolhe-se uma faixa diferencial paralela ao eixo x .

dAydI y ⋅= 2

dyldA ⋅=

Das relações entre triângulos semelhantes obtém-se.

h

yh

b

l −=

h

yhbl

−⋅=

dyh

yhbdA ⋅−⋅=

Integrando xdI

∫ ⋅= dAyI x2

∫ ⋅−⋅⋅=h

x dyh

yhbyI

0

2

( )∫ ⋅−⋅⋅=h

x dyyyhh

bI

0

32

dyldA ⋅=

b

h

x

y

l y

h-y

dy


h

x

yyh

h

bI

0

43

43

−⋅⋅=

12

3hbI x

⋅=

10.3 Momento polar de inércia

O momento polar de inércia de uma superfície é definido por,

∫ ⋅= dArJ 20

222 yxr +=

( ) dAyxdArJ ⋅+=⋅= ∫∫222

0

∫∫ ⋅+⋅= dAxdAyJ 220

pelo que se conclui que,

yx IIJ +=0

dA

x

y

x

y

rr


10.4 Raio de giração de uma superfície

Considera-se que uma superfície de área A tem um momento de inércia Ix em relação ao eixo x. Se

concentramos esta área numa faixa estreita paralela ao eixo x e se a área A assim concentrada tem o

mesmo momento de inércia Ix, a faixa deve estar colocada a uma distância Kx do eixo x.

AkI xx ⋅= 2

A

Ik x

x =

kx é denominado o raio de giração ou o raio de inércia. De forma análoga podemos escrever,

AkI yy ⋅= 2 A

Ik y

y =

AkJ ⋅= 200

A

Jk 0

0 =

como,

yx IIJ +=0

logo, 222

0 yx kkk +=

Para um rectângulo podemos escrever,

33

12

3

2 h

hb

hb

A

Ik x

x =⋅

⋅⋅==

3

hkx =


10.5 Teorema dos eixos paralelos

( ) dAdydAyI x ⋅+=⋅= ∫∫22 '

∫∫∫ ⋅+⋅⋅+⋅= dAddAyddAyI x22 '2'

Nesta última equação o 1º integral representa o momento de inércia em relação ao eixo BB’, o 2º

integral representa o momento de 1ª ordem em relação a BB’ e o 3º integral representa a área da

superfície. Como o eixo BB’ passa pelo centro geométrico da superfície, o momento de 1º ordem é

nulo, logo podemos escrever,

2dAII ⋅+=

em que I representa o momento de inércia em relação ao eixo BB’.

222 dAAkAk ⋅+⋅=⋅

222 dkk +=

podemos desenvolver o mesmo raciocínio em relação ao momento polar de inércia,

20 dAJJ CG ⋅+=

2220 dkk c +=

Considere o seguinte exemplo

dA

B

x

y

rr

d

y’

B’ CG

y


2dAII ⋅+=

22'' rrII BBAA ⋅⋅+= π

444' 4

5

4

1rrrI AA ⋅⋅=⋅+⋅⋅= πππ

OBSERVAÇÃO

O teorema dos eixos paralelos só pode ser aplicado se um dos eixos passar pelo baricentro da

superfície.

10.6 Momento de inércia de superfícies planas compo stas

O momento de inércia de uma superfície plana composta pode ser obtido pela soma dos momentos

de inércia das diferentes áreas que compõem a superfície, calculadas em relação ao mesmo eixo.

A A’

B B’ CG


EXEMPLO

A1 = 107 cm2 240101 =xI cm4

A2 = 15*2 = 30 cm2 1021512

1 32 =⋅⋅=xI cm4

AT = 137 cm2

CÁLCULO DO CENTRO DE GRAVIDADE DA SUPERFÍCIE COMPOSTA

2211 xAxAxAT ⋅+⋅=⋅

5.7305.7107137 ⋅+⋅=⋅ x

5.7=x cm

2211 yAyAyAT ⋅+⋅=⋅

393019107137 ⋅+⋅=⋅ y

38.23=y cm

(2) chapa 150*20 mm

(1) perfil duplo T 380*149 mm


TRANSFERIR OS MOMENTOS DE INÉRCIA PARA O CG DA FIGURA COMPOSTA

2dAII ⋅+=

( )21 1938.2310724010 −⋅+=xI

260631 =xI cm4

( )22 38.23393010 −⋅+=xI

53.73292 =xI cm4

Como os momentos de inércia foram calculados em relação ao mesmo eixo, podem ser somados.

53.3339221 =+= xxTx III cm4

O raio de giração é calculado por,

61.15137

53.33392 ===A

Ik x

x cm

(2) chapa 150*20 mm

(1) perfil duplo T 380*149 mm

7.5

39

19

CG


10.7 Momentos de inércia de figuras geométricas com uns

b

h

x

y 3

' 12

1hbI x ⋅⋅=

hbI y ⋅⋅= 3' 12

1

3

3

1hbI x ⋅⋅=

( )22

12

1hbhbJCG +⋅⋅⋅=

hbI y ⋅⋅= 3

3

1 x’

CG

y’

b

h

x

y

3' 36

1hbI x ⋅⋅=

3

12

1hbI x ⋅⋅=

x’ CG


r

4'' 16

1rII yx ⋅⋅== π

40 8

1rJ ⋅⋅= π

x’

CG

y’

0

r

4'' 8

1rII yx ⋅⋅== π

4

4

1rJCG ⋅⋅= π

x’

CG

y’

0

r

4'' 4

1rII yx ⋅⋅== π

4

2

1rJCG ⋅⋅= π

x’

CG

y’


a

3' 4

1baI x ⋅⋅⋅= π

baI y ⋅⋅⋅= 3' 4

1 π

( )22

4

1babaJCG +⋅⋅⋅⋅= π

x’

CG

y’

b


11 Produto de inércia e círculo de Mohr

11.1 Produto de inércia

O produto de inércia de uma superfície plana é definido por,

∫ ⋅⋅= dAyxPxy

11.2 Extensão do teorema dos eixos paralelos

∫ ⋅⋅= dAyxPxy

( ) ( ) dAyyxxPxy ⋅+⋅+= ∫ ''

( ) ∫∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= dAyxdAyxdAxydAyxPxy ''''

O 2º e o 3º integral representam os momentos estáticos em relação ao baricentro da secção e

reduzem-se a zero, pelo que podemos escrever,

AyxPPxy ⋅⋅+= (2)

dA

x

y

x

y

y’

x’ CG

x’

y’


11.3 Eixos e momentos principais de inércia

Recapitulando, podemos dizer que o momento de inércia em ordem ao eixo x, ao eixo y e o produto

de inércia são dados por,

dAyI x ⋅= ∫2

dAxI y ⋅= ∫2

∫ ⋅⋅= dAyxPxy

O objectivo da dedução que se segue é determinar os momentos e produto de inércia Iu, Iv e Puv em

relação a novos eixos u,v obtidos por rotação dos eixos originais em torno da origem de um ângulo

θ .

( ) ( )θθ sincos ⋅+⋅= yxu

( ) ( )θθ sincos ⋅−⋅= xyv

( ) ( )( )∫∫ ⋅⋅−⋅=⋅= dAxydAvI u22 sincos θθ

( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅= dAxdAyxdAyI u2222 sincossin2cos θθθθ

( ) ( ) ( ) ( )θθθθ 22 sincossin2cos ⋅+⋅⋅⋅−⋅= yxyxu IPII

De forma semelhante obtemos as expressões para vI e uvP

dA

x

y

y

x’

x’

y’

u

v

x

θ


( ) ( ) ( ) ( )θθθθ 22 coscossin2sin ⋅+⋅⋅⋅−⋅= yxyxv IPII

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )θθθθθθ cossinsincoscossin 22 ⋅⋅−⋅−⋅+⋅⋅= yxyxuv IPIP

Recorrendo às seguintes relações trigonométricas

( ) ( ) ( )θθθ cossin22sin ⋅⋅=

( ) ( ) ( )θθθ 22 sincos2cos −=

( ) ( )2

2cos1cos2 θθ +=

( ) ( )2

2cos1sin2 θθ −=

É possível escrever

( ) ( )θθ 2sin2cos22

⋅−⋅−

++

= xyyxyx

u PIIII

I (4)

( ) ( )θθ 2sin2cos22

⋅+⋅−

−+

= xyyxyx

v PIIII

I (1)

( ) ( )θθ 2cos2sin2

⋅+⋅−

= xyyx

uv PII

P (5)

Somando (1) com (2), obtém-se

yxvu IIII +=+ (3)

Os dois membros desta equação são iguais ao momento polar de inércia oJ . As equações (1) e (3)

são as equações paramétricas de uma circunferência.

Isto significa que se escolhermos um par de eixos cartesianos e tomarmos um ponto M com

coordenadas uI , uxP para qualquer valor de θ , o lugar geométrico de todos os pontos será uma

circunferência.

Se eliminarmos θ das equações (4) e (5), obtém-se

2

2

2

2

22 xyyx

uvyx

u PII

PII

I +

−=+

+−

Se considerarmos

2yx

med

III

+=

2

2

2 xyyx P

IIR +

−=

escrevemos


( ) 222 RPII uvmedu =+−

Esta equação traduz uma circunferência de raio R e centro no ponto C com as coordenadas (Imed, 0).

Os pontos A e B onde a circunferência intersecta o eixo horizontal correspondem aos valores

máximo maxI e mínimo minI do momento de inércia. Os dois pontos correspondem a um valor

nulo do produto de inércia uvP .

Os valores mθ do parâmetro θ correspondem aos pontos A e B e podem ser obtidos pela atribuição

de 0=uvP na equação (3). Desta forma obtém-se.

( )yx

xym II

P

−⋅

−=2

2tan θ

RII med −=min

RII med +=max

substituindo

2

2

minmax, 22 xyyxyx P

IIIII +

−±

+=

As propriedades estabelecidas são válidas para qualquer ponto, dentro ou fora da secção. Se o

centro dos eixos de inércia coincidir com o baricentro da secção e a orientação dos eixos for a de

maxI e minI , temos os eixos centrais de inércia da secção.

minI maxI

C

M ''yxP

'xI medI

''yxP

'xI


11.4 Círculo de Mohr para momentos e produtos de in ércia

O círculo de Mohr pode ser utilizado para determinar graficamente os eixos principais de inércia,

os momentos principais de inércia ou os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície

em relação a qualquer outro par de eixos ortogonais u e v.

Para exemplificar, considere a seguinte secção e os respectivos sistemas de eixos representados.

E o respectivo circulo de Mohr.

y

x

'x

'y

a

b

θ

mθ


EXEMPLO - problema resolvido 9.7 (Beer, 1991)

Para a secção representada, foram calculados os momentos de inércia em relação aos eixos x e y.

38.10=xI cm4

97.6=yI cm4

X

Y

Y’

X’

θ2

mθ2

'xI xI

yI 'yI

minI maxI

xyP

''yxP

xyP−

''yxP−

P

I


1) Determine os eixos principais da secção em relação ao ponto O.

2) Calcule os valores dos momentos principais de inércia da secção em relação a O.

CÁLCULO DO PRODUTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AOS EIXOS x,y

3 cm

3 cm

4 cm

0.5 cm

0.5 cm

O x

y

0.5 cm

3 cm

3 cm

4 cm

0.5 cm

0.5 cm

O2 x

y

0.5 cm

O1

O3

1.25 cm

1.25 cm

1.75 cm

1.75 cm


Se utilizarmos o teorema dos eixos paralelos

AyxPP yxxy ⋅⋅+= ''''

Rectângulo Área

(cm2) 'x

(cm)

'y

(cm)

Ayx ⋅⋅ ''

(cm4)

(1) 1.50 -1.25 1.75 -3.38

(2) 1.50 0.00 0.00 0.00

(3) 1.50 1.25 -1.75 -3.38

Soma -6.56

∑ ⋅⋅= AyxPxy '' = -6.56 cm4

CÁLCULO DOS EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA

Como 'xI , 'yI e ''yxP são conhecidos

( )''

''22tan

ix

yxm II

P

−⋅

−=θ = ( )

85.397.638.10

56.62 =−

−⋅−

( ) mθ⋅== 2º43.7585.3arctan

º72.37=mθ e º71.127º90º72.37 =+=mθ


MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA

2

2

minmax, 22 xyyxyx P

IIIII +

−±

+=

( )22

minmax, 56.62

97.638.10

2

97.638.10 −+

−±+=I

54.15max =I cm4 90.1min =I cm4

RESOLUÇÃO DO MESMO PROBLEMA COM BASE NO CÍRCULO DE MOHR

3 cm

3 cm

4 cm

0.5 cm

0.5 cm

O x

y

0.5 cm

a(max)

b(min)

º7.127=mθ

º7.37=mθ


( ) ( )56.6,38.10, −≡xyx PIX

( ) ( )56.6,97.6, +≡xyx PIY

( )0,68.80,2

97.638.100,

2≡

+≡

+ yx IIC

( ) ( ) ( ) ( ) 78.656.668.838.10 2222 =−+−=+= DXCDR cm4

( ) 86.370.1

56.62tan ===

CD

DXmθ

º47.752 =mθ

º7.37=mθ e º7.127º90º7.37 =+=mθ

46.1578.668.8max =+=I cm4

90.178.668.8min =−=I cm4

Y

X

minI maxI E

C D yI

xI

xyP

- xyP


Referencias Bibliográficas

Almeida, G. "SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI). GRANDEZAS E UNIDADES

(SI)". Plátano Editora.

Beer, F.; Johnston, E. "MECÂNICA VECTORIAL PARA ENGENHEIROS - ESTÁTICA".

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Deus, J.; Pimenta, M.; Noronha, A.; Penã, T. (2000). "INTRODUÇÃO À FÍSICA". McGraw Hill.

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Sebenta teórica de física aplicada à engenharia civil

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