Semelhança & Congruência...1 1. Introdução Este trabalho é um projeto para sala de aula....

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Semelhança & Congruência Grupo A Gláucia Maria Queiroz de Freitas Isaura Christian Cecci Joseph Ersen Baracat Filho Rossana Maria da Silva Valdemir Ferreira Lima Teia do Saber - Unesp 2004

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Semelhança & Congruência

Grupo A Gláucia Maria Queiroz de Freitas Isaura Christian Cecci Joseph Ersen Baracat Filho Rossana Maria da Silva Valdemir Ferreira Lima

Teia do Saber - Unesp

2004

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Aos nossos filhos e cônjuges

pelo apoio e compreensão.

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AGRADECIMENTOS

A DEUS pela vida;

A Secretária da Educação via Diretoria de Ensino de

Andradina, na pessoa do Professor Bento Teixeira pela a

oportunidade do curso; aos estagiários Alessandra,

Alessandro, Marcelo, Marcelo Biancão e Rodrigo. pelo carinho

e atenção dispensados a nós; aos professores Anírio, Dalva,

Ernandes e José Marcos pela paciência e dedicação com que

sempre nos atenderam.

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Índice

Introdução.............................................................................................................. 01

História da Geometria............................................................................................ 01

Como construir figuras congruentes? ................................................................... 08

Como construir figuras semelhantes? ...................................................................10

Casos de não congruência de triângulos............................................................... 15

Semelhança de Polígonos..................................................................................... 21

Por que o triângulo é tão estudado ....................................................................... 25

Semelhança de figuras ..........................................................................................27

Relação do tema com conhecimento de outras áreas ...........................................34

Uso da tecnologia em Congruência e Semelhança .............................................. 41

Conclusão ..............................................................................................................45

Referências bibliográficas..................................................................................... 45

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1. Introdução

Este trabalho é um projeto para sala de aula.

Apresenta o tema “SEMELHANÇA E CONGRUÊNCIA”.

Propicia um aprofundamento temático, através de consulta e leitura de

bibliografia especializada.

O trabalho trata de um enfoque histórico do tema, parte teórica e prática, qual

a sua importância e utilidade no nosso cotidiano e as áreas de trabalho que usam

este tema como instrumento.

Nosso objetivo é com este trabalho facilitar a vida dos professores da

educação básica, pois a vivência da didática em sala de aula diária nos s mostrou

que fornecendo uma possibilidade a mais de pesquisa e inovação em suas aulas,

visando uma maior motivação para os alunos com o uso de materiais diversificados.

2. História da Geometria

Foi atribuída aos egípcios e aos caldeus,

pelos historiadores, a criação da geometria. Os

caldeus eram povos de origem semita — termo

usado para designar, na Antigüidade, os povos de

línguas semíticas que eram os babilônios, assírios

e fenícios — que habitava a Mesopotâmia, região

da Ásia Ocidental, entre os rios Tigre e Eufrates,

onde hoje se localiza o Iraque.

A palavra geometria é derivada do grego,

com base no radical geõ de gé = terra e métron = medida. Ademais, há em grego

clássico o verbo geõmétrin = medir a terra, ser agrimensor ou geômetra.

Conforme revelações obtidas através das tábuas de argila, encontradas

durante as escavações arqueológicas, os caldeus empregavam fórmulas da

geometria devido a necessidade de se calcular áreas e volumes. Na mesma, época,

segundo estudos realizados nos Papiros de Rhind e de Golenishev os egípcios e os

mesopotâmicos precisavam construir os primeiros templos dentro de projeções

uniformes e precisas e, para que os seus sonhos fossem realizados, adotaram

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fórmulas geométricas, deixando bem evidente que já resolviam problemas

relacionadas com a geometria.

Ademais, a maioria das civilizações antigas, como os indianos e os chineses,

parece ter chegado independentemente a enunciados que cobrem, pelo menos,

certos casos particulares do teorema de Pitágoras como se sabe que os indianos já

conheciam uma demonstração desse teorema.

Os gregos herdaram dos babilônios e, habituados ao uso dos ângulos por sua

longa experiência astronômica, introduziram muito cedo, na matemática, a idéia de

ângulo, sabendo-se que na época clássica eram definidos apenas ângulos inferiores

a dois retos, ou seja, menores que 180º.

Na Antigüidade, não existia clareza quanto a distinção entre as noções de

deslocamentos e movimentos, como também a idéia geral de transformação,

aplicada a todo espaço, mantém-se estranha ao pensamento matemático até o fim

do século XVIII, sabendo-se, no entanto, que antes do século XVII não se encontra

nenhum traço da noção de composição de movimentos, ou da composição de

deslocamentos, não significando, porém, que os gregos não tenham sido

particularmente sensíveis às ' regularidades ' e ' simetrias ' das figuras, ligadas

atualmente à noção de grupo de deslocamentos. A sua teoria dos polígonos

regulares e, mais ainda, a teoria dos poliedros regulares, certamente um dos mais

notáveis capítulos de toda a matemática grega, provam o contrário.

Em face de toda a explanação apresentada até o momento, observamos que

os gregos utilizavam corretamente, para o estudo de ' figuras ' particulares, as

'ordenadas ' em relação a dois ou mesmo mais de dois eixos no plano sem que

jamais tenha tido a idéia do princípio fundamental da geometria analítica, devido a

falta de conhecimentos de álgebra.

Naquela época, para medir superfícies, os sacerdotes observaram

trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados, uma superfície retangular e

concluíram que o total de mosaicos necessários para cobrir a superfície seria contar

os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse,

nascendo daí a fórmula da área do retângulo, ou seja, a área do retângulo é igual a

base da superfície pela altura.

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Seguindo um raciocínio geométrico, para calcular a área do triângulo, eles

tomaram um quadrado ou um retângulo em dividiram em quadrados iguais. Com

respeito às superfícies irregulares da terra, o problema era resolvido, como é ainda

hoje, pelo método da triangulação, ou seja: marcavam um triângulo e a partir dele,

traçavam linhas a todos os demais triângulos visíveis de campo. Em face de muitos

terrenos apresentarem o contorno de um morro ou o curso de um rio, suas bordas

eram curvas ou não eram planos acarretando com isso pequenos erros que podiam

ser desprezíveis devido a grande quantidade de terras. Em conseqüência das

irregularidades apresentadas, surgiram duas perguntas: Como determinar o

comprimento da circunferência? e a área do círculo? Naquela época os geômetras

sabiam que os círculos podiam ser traçados através de uma corda com uma de suas

extremidades fixa em um ponto determinado e com a outra extremidade girava-se

em torno do referido ponto. Sabiam, também, que o comprimento dessa corda, raio,

relacionava-se com o comprimento da circunferência. Logo, puderam comprovar ,

após estender a corda sobre a circunferência, que o comprimento da circunferência

era um pouco mais de seis vezes e um quarto. Daí chegaram a conclusão final,

afirmando-se o seguinte:

a — O comprimento da circunferência é sempre de 6,28 vezes maior

que o de seu raio;

b — Para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta

conhecer o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.

No papiro Rhind, que é um dos documentos mais antigos da história da

matemática, encontramos um curioso processo de cálculo da circunferência, quando

conhecemos o seu diâmetro. Daí deduzimos que os geômetras egípcios atribuíam

ao número pi (π ) um valor equivalente ao quadrado da fração 16/9 que daria, em

número decimal, 3,1605 — valor no qual π apresenta um erro que não chega a dois

centésimos de unidade.

No século III a.C., Arquimedes provou que o número famoso deveria estar

compreendido entre as frações 3 1/7 e 3 10/71 e Bháskara, geômetra indiano,

admitia para o número π um valor expresso pelo número 3 17/120 que eqüivalia ao

número decimal 3,1416. Ao matemático holandês Adrian Anthonisz, apelidado

Metius, os historiadores atribuem o valor 355/113 para o número π , que foi de largo

emprego durante os séculos XVI e XVII.

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O alemão Johann Heinrich Lambert teve a paciência de obter para o valor de

�uma fração ordinária, cujo numerador tinha dezesseis algarismos e o denominador

quinze, conforme consta no livro " Scripta Mathematica ", 1944, vol. X, pág. 148.

As ciências receberam dos gregos as primeiras tentativas de sistematização.

Thales de Mileto provou que algumas propriedades das figuras geométricas podiam

ser deduzidas de outras. Pitágoras deu novo impulso à pesquisa de relações lógicas

entre as proposições matemáticas, e é considerado por alguns como o pai da

sistematização da matemática. Sucessores de Pitágoras, como Hipócrates de

Quios**, Platão, Aristóteles** e outros, deram grande contribuição para o

desenvolvimento da geometria e para sua organização como ciência. Ficou célebre

a inscrição que Platão mandou colocar na entrada de sua academia: " Quem não for

geômetra não entre. " Deve-se a Aristóteles**, freqüentador assíduo da Academia de

Platão, a divisão das proposições de qualquer ciência em dois tipos: primárias e

secundárias. As primárias são aquelas aceitas sem prova, ou evidentes ( axiomas )

ou tomadas como verdadeiras ( postulados ). As secundárias são as proposições

deduzidas das anteriores mediante raciocínio lógico ( teoremas ).

Chegamos ao Século de Ouro com o geômetra grego que nasceu em 330

a.C. e morreu em 275 a.C.. Estudou em Atenas com os sucessores de Platão

dedicando-se brilhantemente ao ensino da matemática e atraindo para as suas

lições públicas, como era de uso entre os atenienses, um grande número de

discípulos. Esse gênio da matemática cuja figura irradiava simpatia e bondade, de

caráter modesto e gentil, orientando, com tolerância a benevolência, sempre àqueles

que podiam contribuir para o desenvolvimento da matemática, não poderia deixar de

ser Euclides.

Foi o primeiro e grande didata da matemática e sua obra principal é

denominada " Os elementos " que alcançou mais 1.500 edições, constituindo-se,

sem dúvida, no começo do século XX, a obra mais difundida depois da Bíblia. A

primeira edição árabe surgiu no século VIII, devida a al-Hajjaj bem Yusuf ben Matar,

tendo aparecido a versão latina em 1.120, de autoria do filósofo inglês Adelard de

Bath ( Aethelard ).

O tratado do célebre geômetra grego compõe-se de treze livros ou capítulos e

a esses livros, na parte final, foram acrescentados mais dois, o de número XIV de

autoria de Hipsicles de Alexandria ( séc. II a.C. ) e o de número XV , de autor

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desconhecido; ambos tratam das novas propriedades dos polígonos e poliedros

regulares.

A obra principal composta de treze livros contém 465 proposições, 93

problemas e 372 teoremas. Toda esta obra foi desenvolvida e apoiada em um grupo

de definições, quase todas resultantes de observações experimentais, e em dez

proposições primárias, chamadas de noções comuns (ou axiomas) e postulados,

sendo o mais discutido o V Postulado:

P-5: “É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no

mesmo lado, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então as duas retas, se

continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor que

dois ângulos retos”.

O século de Ouro da geometria grega contou ainda com Arquimedes e, que

após a sua morte foi gravado em seu túmulo uma esfera inscrita em um cilindro

relembrando uma de suas descobertas, Apolônio de Perga , cognominado " o

grande geômetra" deixando um famoso tratado sobre as cônicas, em oito livros, dos

quais somente sete chegaram até nossos dias. Foi o primeiro geômetra a imaginar

as seções de um cone não de revolução, mas de base circular, dando as famosas

curvas cônicas, que desempenharam papel fundamental no desenvolvimento de

várias ciências, especialmente da astronomia.

Após o século ouro, a geometria passou por uma longa fase de estagnação,

tendo sido uma das causas, a ameaça de exércitos estrangeiros em Alexandria,

capital intelectual do mundo civilizado. O primeiro grande ataque aconteceu no ano

47 a.C., quando Júlio César tentou derrubar Cleópatra VII incendiando sua frota. O

Museu de Alexandria, localizado perto do porto foi incendiado juntamente com a

famosa biblioteca e centenas de milhares de livros foram destruídos. Cleópatra VII

por apreciar a importância do conhecimento, cientificou os matemáticos que iria

restaurar a glória da biblioteca, mas, Marco Antônio percebeu que o caminho para o

coração de uma intelectual passa por sua biblioteca e assim marchou para a cidade

de Pérgamo ( antiga cidade da Mísia, Ásia Menor e que hoje chama-se Bergama.

Pérgamo tornou-se capital de um estado helênico cujo apogeu se situou no século II

a.C. ). Esperando reunir a melhor coleção de livros do mundo, a cidade de Pérgamo

começou a montar sua própria biblioteca, quando Marco Antônio confiscou tudo e

levou para o Egito, restaurando a supremacia de Alexandria. A biblioteca continuou

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a acumular livros, pelo menos durante quatro séculos, quando dois golpes que

tinham como resultados, intrigas religiosas, fizeram com que o imperador cristão

Teodósio determinasse que o bispo de Alexandria, Teófilo, destruísse todos os

monumentos pagãos, incluindo a Templo de Serápis onde ficava alojada a biblioteca

reconstruída e restaurada por Cleópatra VII a qual foi totalmente destruída pelos

cristãos, apesar de os estudiosos pagãos tentarem salvar seis séculos de

conhecimento.

Em busca de conhecimento, os estudiosos continuaram visitando Alexandria

pelo fato de algumas cópias preciosas dos livros mais importantes sobreviverem ao

ataque dos cristãos apesar de no ano de 642 o ataque fulminante dos muçulmanos

terminasse a destruição que os cristãos tinham começado.

Ocidente, durante aproximadamente mil anos, ficou reduzido ao básico da

matemática, apesar de que os estudiosos da Índia e da Arábia mantiveram esta

ciência viva, copiando as fórmulas dos manuscritos gregos que tinham restado,

começando a reinventar a maioria dos teoremas perdidos. Os estudos começam a

se intensificar, principalmente, no renascimento com os estudos dos trabalhos

gregos na Europa, possibilitando, assim, novos desenvolvimentos para a ciência. Os

postulados de Euclides foram submetidos a um estudo crítico cada vez mais

profundo, especialmente o quinto postulado, das paralelas, que continha uma

afirmação pouco clara de evidência. Várias tentativas se fizeram através dos séculos

no sentido de sua demonstração a começar pelos gregos. Um século antes de Cristo

quando o filósofo Posidônio tomava por base a seguinte definição:

" Paralela a uma reta é o lugar dos pontos eqüidistantes

dessa reta. "

Cláudio Ptolomeu, astrônomo e matemático que teria vivido no século II d.C.,

tentou obter uma demonstração tomando por base o princípio de que " Uma

proposição será verdadeira para todos os pares de paralelas quando o for para um

só. "

Dois séculos após, o filósofo bizantino Proclo Licio, comenta a obra de

Euclides e põe em evidência o V postulado para o qual apresenta uma

demonstração baseada no seguinte princípio:

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" Quando duas retas são paralelas, a reta que encontrar

uma delas, encontrará também a outra. "

Retomando os trabalhos dos gregos, os árabes foram investigar com todo o

entusiasmo o quinto postulado e através de Nazir-Edin (1201-1274) geômetra

muçulmano, do século XIII, experimentou desenganadamente substituir o princípio

euclidiano por uma proposição, com o auxílio da qual seria fácil demonstrar que a

soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos.

Na Itália surgiram admiráveis matemáticos italianos, sábios da Renascença,

que deixaram na 2ª metade do século XVI e início do século XVII, grande quantidade

de estudos e pesquisas sobre o quinto postulado. Entre esses matemáticos

podemos citar: Cataldi, Commandido, Borelli e Vitalle. Cataldi foi o primeiro

matemático que escreveu um trabalho unicamente consagrado com respeito às

paralelas , como também, tentou demonstrar a existência de retas eqüidistantes,

quando a existência dessas retas, para os outros estudiosos, era aceita sem

demonstração. Borelli tentou resolver a questão tomando por base o seguinte

princípio:

" Os pontos eqüidistantes de uma reta, no plano, formam outra reta. "

John Wallis considerado um dos mais famosos matemáticos ingleses do

século XVII atirou-se com energia contra o problema e tentou em vão resolvê-lo. A

suposta demonstração de Wallis foi considerada inaceitável, pois o autor da

“Aritmética dos infinitos”, para demonstrar a proposição de Euclides, admitiu, em

substituição ao postulado euclidiano, um princípio equivalente assim enunciado:

“Dado um triângulo plano. É sempre possível obter outro triângulo

semelhante e de área tão grande quanto se queira”.

Na primeira metade do século XIX o assunto dos postulados de Euclides ficou

esclarecido, quando surgiu Gauss, matemático alemão, considerado por muitos

como o maior geômetra do século XVIII, provando que o postulado das paralelas de

Euclides não era uma conseqüência lógica dos anteriores, ou seja, não constituía

um teorema; apenas sua inclusão no grupo dos postulados é indispensável para a

teoria do paralelismo, segundo Euclides. Gauss, provou também que a substituição

desse enunciado por outras hipóteses diferentes da formulada por Euclides

constituiria, com os demais postulados, novo grupo de postulados compatíveis, que

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serviria de base para a organização de geometrias antieuclidianas que

posteriormente foi chamada de Astral e atualmente conhecida, como geometrias

não-euclidianas, por não aceitarem o postulado das paralelas.

Vale ressaltar que durante todo esse período em que era analisada a

geometria de Euclides, surgiram novos conceitos e métodos de estudos que deram

origem a novos ramos da geometria. No final do século XV os pintores verificaram

que os ensinamentos de Euclides não eram suficientes para as representações que

faziam nos quadros do que viam ou imaginavam da natureza. Foram criadas, então,

regras para a perspectiva, e tornou-se importante o Tratado de perspectiva de

Leonardo da Vinci. Gérard Desargues introduziu o conceito de ponto impróprio e de

reta imprópria, como sendo a interseção, a uma distância infinitamente grande, de

duas retas e de dois planos paralelos, respectivamente. Desse modo, foram

ampliados os conceitos de paralelismo da geometria euclidiana, que admite as

exceções acima, possibilitando a criação do espaço projetivo. Outro avanço obtido

sobre a geometria dos gregos foi quando, no século XVII, se estabeleceu a

correspondência entre os pontos de uma reta e os números reais. Marcando-se um

ponto para ser origem na reta, e fixando-se uma unidade de medida e um sentido, a

cada ponto corresponderá um número, que é o resultado da medida de sua distância

à origem escolhida, sendo verdadeiro a recíproca. Essa correspondência permitiu o

aparecimento da geometria analítica, em 1637. Um século após a geometria recebia

nova contribuição do gênio criador de Gaspard Monge com seu trabalho de associar

as figuras do espaço tridimensional às do plano, através de projeções, dando origem

à geometria descritiva. Com os trabalhos de Monge e de seus discípulos foi

generalizado novo método de estudo da geometria, através de transformações das

figuras, ou seja, do estabelecimento de uma correspondência biunívoca entre os

elementos das figuras geométricas.

3. COMO CONSTRUIR FIGURAS CONGRUENTES?

Quando falamos em figuras iguais, intuitivamente nos vem à mente figuras de

mesmo tamanho e forma. Isto significa que através de movimentos as figuras se

"encaixam" exatamente umas sobre as outras. Observemos que a palavra "iguais"

está sendo usada de forma um tanto imprópria, já que o conjunto de pontos que

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formam cada uma das figuras são diferentes. Tornamos mais precisa nossa

linguagem usando a expressão "figuras congruentes".

Assim, figuras congruentes são figuras tais que se podem fazer coincidir.

Por exemplo, como poderíamos construir réplicas das figuras abaixo? Ou

seja, como construir pares de figuras congruentes?

Vamos começar considerando figuras bem simples:

- TRIÂNGULOS!!

Na Geometria Plana é dito que dois triângulos são congruentes quando os

lados e ângulos do primeiro triângulo estão em correspondência com os lados e

ângulos do segundo triângulo de tal forma que os lados em correspondência têm a

mesma medida, assim como os ângulos. Assim, para determinar a congruência de

dois triângulos olhamos para seis elementos em cada triângulo (três lados e três

ângulos)e comparamos as medidas.

Mas de fato, é suficiente que se conheçam apenas TRÊS destes elementos,

numa certa ordem, para termos a congruência assegurada. É isso que nos dizem os

critérios, talvez já bem conhecidos, de congruências de triângulos: LAL, ALA, LLL.

VAMOS NOS CONVENCER DE QUE ESTES CRITÉRIOS FUNCIONAM QUANDO

QUEREMOS DETERMINAR SE DOIS TRIÂNGULOS SÃO CONGRUENTES!!

LAL - lado, ângulo, lado - Imagine duas varetas e um ângulo qualquer fixo entre elas.

Quantos triângulos podemos construir com este material?

LLL - lado, lado, lado -Imagine três varetas de comprimentos diferentes.Quantos

triângulos podemos construir com estas varetas? Dadas três varetas é sempre

possível construir um triângulo? Pense nisto!

ALA - ângulo, lado, ângulo -Quantos triângulos seríamos capazes de construir com

estes três elementos dados?

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É importante lembrarmos que a ordem em que aparecem os elementos é de

fundamental importância para que tenhamos, de fato, triângulos congruentes.

Podemos ter triângulos com 2 lados e 1 ângulo iguais e a congruência não se

verificar.

É possível termos também caso em que 5 elementos nos dois triângulos são

iguais (3 ângulos e 2 lados) e mesmo assim não termos a congruência entre esses

triângulos. Para saber mais sobre estes casos.

Os critérios nos garantem que conhecendo três de certos elementos do

triângulo, numa certa ordem, podemos calcular os demais.

E para isto basta usarmos o Teorema de Pitágoras, as Leis dos Senos e

Cossenos e o Teorema dos 180 graus.

Usando material concreto (varetas) nos convencemos de que os critérios

acima funcionam. Com isso fica fácil construirmos dois triângulos congruentes.

Queremos, porém, ir mais adiante: construir figuras congruentes mesmo que

não tenham lados ou ângulos. Você pode imaginar algumas maneiras de se fazer

isto? Vamos aqui construir tais figuras usando instrumentos especiais.

Os instrumentos abaixo foram construídos no programa Cabri-Geometry. Se você

tem o programa Cabri instalado no seu computador você pode brincar com os

instrumentos.

Faça essa exploração.

Feita esta exploração inicial você deve ter observado que cada instrumento

reproduz uma figura com determinado critério.

4. COMO COSTRUIR FIGURAS SEMELHANTES?

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Quando ouvimos a expressão "figuras semelhantes" logo pensamos em

figuras que se assemelham, figuras parecidas, de mesma aparência. Podemos

associar a idéia de figuras semelhantes a ampliações ou reduções de uma figura em

outras guardando semelhança na forma.

Mas o que vem a ser 'figuras semelhantes' em matemática?

Matematicamente podemos dizer que duas figuras F e F' são semelhantes

quando guardam entre elas uma proporção. Isto é, existe uma correspondência

biunívoca entre os pontos de F e os pontos de F', tal que X'Y' / XY = r, onde X e Y

são pontos de F e X'e Y'pontos de F'e r constante (razão de semelhança). Observe a

figura.

No nosso dia a dia podemos observar inúmeros exemplos de semelhança

entre objetos. Por exemplo, quando tiramos uma fotografia, a imagem que vemos na

foto é a representação reduzida e proporcional do objeto em tamanho real e ao

mesmo tempo é uma ampliação da figura que aparece no negativo.

A planta de uma casa, projetada pelo arquiteto, também é um exemplo de

semelhança entre a casa em tamanho real e o seu desenho no papel.

Você seria capaz de lembrar outras situações do cotidiano em que se observa

semelhança de figuras? -Pense nisto!

Como ampliar ou reduzir figuras de modo que elas mantenham suas

características? Por exemplo, como desenhar em um cartaz um personagem de

quadrinhos? Como poderíamos ampliar as figuras abaixo?

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Vamos começar considerando figuras bem simples: TRIÂNGULOS!!

Na geometria plana é dito que dois triângulos são semelhantes quando os

ângulos e os lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos

e lados do segundo triângulo, de tal forma que seus ângulos sejam iguais e os lados

do primeiro triângulo sejam proporcionais aos lados do segundo.

No entanto para nos assegurarmos de que dois triângulos são semelhantes

podemos usar alguns critérios para semelhança de triângulos: AA, LAL, LLL. Com

estes critérios não precisamos necessariamente conhecer os três ângulos e os três

lados de cada triângulo. Se conhecermos dois ângulos ou dois lados e o ângulo

entre eles ou três lados de cada triângulo podemos afirmar se estes triângulos são

ou não semelhantes.

Existem diversas maneiras de se ampliar ou reduzir figuras. Uma idéia bem

simples de se fazer isto é dividir em partes iguais (quadriculadas) o papel em que a

figura a ser ampliada ou reduzida se encontra, e dividir de igual maneira (porém o

quadriculado maior ou menor) o papel no qual se fará a cópia. Assim, copia-se a

figura correspondendo-se cada traço do original na cópia. Veja a figura.

Um outro método de se ampliar figuras pode ser por homotetia.

Estes métodos simples de ampliar ou reduzir figuras são eficazes em

determinadas atividades, porém não são muito práticos.

Podemos construir figuras semelhantes de maneira mais eficaz e ao mesmo

tempo simples. Você tem idéia de como poderíamos fazer isto?

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- Através de um instrumento especial, o PANTÓGRAFO (fig. 1, 2 e 3).

Figura 1 Figura 2

Figura 3

Teorema de Tales

A idéia de proporção e sua aplicação em Geometria são bastante antigas.

Um dos trabalhos mais importantes nesse sentido foi desenvolvido por Tales

(fig. 4), um rico comerciante da cidade grega de Mileto, cerca de 600 anos antes de

cristo.

Tales observou que, num mesmo instante, a razão entre a altura de um objeto

e o comprimento da sombra que esse objeto projetava no chão era sempre a mesma

para quaisquer objetos.

Por ser comerciante, Tales teve a oportunidade de entrar em contato com

outros povos. Conta-se que, numa de suas viagens ao Egito, Tales foi desafiado a

medir a altura de grande pirâmide de Queóps.

Usando um bastão, Tales aplicou seus conhecimentos sobre segmentos

proporcionais, pois a razão entre a altura da pirâmide e o comprimento da sombra

projetada por esse bastão (fig. 6).

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Figura 4 Figura 5

Figura 6

As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos. A pirâmide de Queóps,

construída por volta de 2500 a.C., é considerada uma das grandes maravilhas do

mundo antigo; sua base é um quadrado cujos lados medem cerca de 230 metros e

sua altura é de 150 metros, aproximadamente.

O filósofo grego Tales, nascido na cidade de Mileto por volta de 585 a.C.,

conseguiu medir a altura de uma das pirâmides. Partindo do princípio de que existe

uma razão entre a altura de um objeto e o comprimento da sombra que esse objeto

projeta no chão, e que essa razão é a mesma para diferentes objetos no mesmo

instante, Tales pôde calcular a altura da pirâmide. Usou apenas um bastão e as

medidas das sombras da pirâmide e do bastão, num mesmo instante.

Tales imaginou os triângulos VHB e ABC, que são semelhantes, por terem

dois ângulos respectivamente congruentes. Como Tales sabia que os lados desses

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triângulos eram proporcionais, pôde determinar a altura VH da pirâmide através da

proporção VH está para AB, assim como HB está para BC.

Este fato levou Tales a ser muito prestigiado pelo faraó Amásis, que governava o

Egito nessa época.

5. Casos de não congruência de triângulos

Já vimos que para termos a congruência entre triângulos é preciso que estes

triângulos tenham pelo menos três elementos em congruência. São os casos de

LAL, LLL e ALA.

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Não podemos deixar de salientar o quanto a ordem em que estes elementos

(ângulos e lados) aparecem é importante. Por exemplo no caso LAL, precisamos

que os triângulos apresentem dois lados e o ângulo entre estes congruentes. Esta

ordem é fundamental, senão nada podemos afirmar sobre a congruência dos

triângulos.

Temos aqui um exemplo de dois triângulos que possuem dois lados e um

ângulo congruentes, mas que são visivelmente não-congruentes.

Vamos ver como foi feita esta construção !

Observe na figura abaixo que o segundo triângulo (o menor) está contido

dentro de um triângulo maior (tracejado) que é exatamente igual ao primeiro

triângulo. Então, o triângulo menor está contido no triângulo maior!

Observe também qual é o raio da circunferência tracejada? -É o lado do

triângulo em congruência nas duas figuras!

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Veremos agora, um caso curioso de triângulos que apresentam 5 de seus 6

elementos em congruência, mas que apesar disto não são congruentes.

Em primeiro momento precisamos verificar quais são estes 5 elementos dos

triângulos que serão congruentes. Temos duas opções: 3 lados e 2 ângulos em

congruência ou 3 ângulos e 2 lados em congruência. A primeira opção deve ser

descartada já que sabemos que três lados em congruência é um dos casos que já

conhecemos de congruência de triângulos (LLL).

Concluímos então que os nossos triângulos devem ter 3 ângulos e 2 lados em

congruência. Então estes triângulos devem ser semelhantes (devem ter lados em

proporção) já que existe um caso de semelhança de triângulos que diz:

"Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles

são semelhantes"

Suponhamos então que estes dois triângulos (de ângulos congruentes)

tenham lados a, b e c (triângulo 1) e lados a, b e d (triângulo 2). Assim sendo temos

quatro possibilidades de pares de lados correspondentes que se mantêm em razão

constante nos dois triângulos.

Possibilidade 1:

Neste caso temos lados correspondentes iguais e isto não pode ocorrer pois então

teríamos dois triângulos congruentes. E não estamos interessados na congruência.

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Possibilidade 2:

Isto também não pode ocorrer por que teríamos novamente a congruência, já

que a e b são iguais neste caso.

Possibilidade 3: Isto é possível!!

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Possibilidade 4: Isto também é possível!!

Podemos observar na possibilidade 3 que os lados do triângulo 1 formam a PG (a,

ka, k2a) de razão k; e os lados do triângulo 2 formam outra PG (a/k, a, ka) também

de razão k.

Tomemos então o triângulo 1. Matematicamente teremos duas situações a

analisar:

Agora já conhecemos algumas características dos nossos triângulos, mas

ainda nada podemos afirmar sobre a existência destes. Será que estes lados em

PG, formam realmente um triângulo? Como poderemos saber isto?

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Devemos nos perguntar: - O que é preciso que ocorra para que estes lados

formem um triângulo?

E a resposta é: "o lado maior deve ser menor que a soma dos outros dois".

1. Se k > 1, k2a < a + ka

(se k > 1, a PG é crescente então o maior lado é k2a).

2. Se 0 < k < 1, a < ka + k2a

(se k está entre o e 1, a PG é decrescente daí o maior lado é a).

Na primeira situação temos:

Na segunda situação temos:

E juntando as duas teremos:

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Quanto à quarta possibilidade o raciocínio se dá da mesma maneira; os lados

do triângulo 1 formam a PG (a/k, a , ak) e os lados do triângulo 2 formam a PG

(a, a/k, a/k2).

6. Semelhança de Polígonos

Observe as figuras:

Figura 7 Figura 8 Figura 9

Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três

retângulos têm a mesma forma, mas de tamanhos diferentes.

Dizemos que esses mapas são figuras semelhantes.

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Nessas figuras podemos identificar:

AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo)

CD - distância entre C e D (largura do retângulo)

- ângulos agudos formados pelos segmentos

Medindo os segmentos de reta e e os ângulos ( ) das figuras, podemos

organizar a seguinte tabela:

m ( ) m ( ) ângulo

Fig. 7 3,9 cm 1,3 cm = 90º

Fig. 8 4,5 cm 1,5 cm = 90º

Fig. 9 6,0 cm 2,0 cm = 90º

Observe que:

• Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais;

• As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;

• Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes

em geometria quando:

• os ângulos correspondentes têm medidas iguais ;

• as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;

• os elementos das figuras são comuns.

Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:

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Observe que:

• os ângulos correspondentes são congruentes:

• os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:

ou

Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e

indicamos:

ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C'“)

Ou seja:

Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são

congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhantes

denomina-se razão de semelhança, ou seja:

A razão de semelhança dos polígonos considerados é

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Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados

correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para

indicar a semelhança entre polígonos.

Propriedades

Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à

razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos.

Demonstração:

Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:

Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA

Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'

Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:

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Exemplo:

• Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é

semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do

segundo triângulo.

Solução

Razão de semelhança =

Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.

7. Por que o triângulo é tão estudado?

Uma das figuras mais presentes no ambiente que nos cerca e com a qual a

humanidade tem lidado até hoje é o triângulo. Embora sua forma seja muito simples,

as inúmeras relações que existem entre seus próprios elementos, e entre esses e os

de outras figuras igualmente simples, são mais complexas do que poderíamos

imaginar.

Que magia os triângulos apresentam, já que desde os mais remotos tempos

lês têm exercido um fascínio especial sobre os homens? Por que o homem ergueu

templos em homenagem a seus reis e deuses, em que tal figura ressalta à vista do

observador?

Em muitos objetos e artefatos construídos pelo homem, lá estão os triângulos.

Que utilidades apresentam? Será que servem somente como elemento decorativo?

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Parece que, mais uma vez, o homem reúne a beleza e a competência para

oferecer a todos os seres uma obra original, em que o triângulo sintetiza o aspecto

decorativo e o utilitário. Por que utilitário?

O triângulo, entre todos os polígonos, apresenta uma rigidez geométrica que

os outros não têm. Uma vez construído, é impossível modificar a abertura dos seus

ângulos e construir outro triângulo. Essa propriedade dos triângulos é bastante

utilizada na carpintaria e na engenharia.

No desenho, você vê uma configuração que representa a estrutura suporte do

telhado de uma casa: ela é conhecida por tesoura ou treliça (fig. 10).

Figura 1

Figura 10

Imagine como ficaria bamba a

Torre Eiffel se não existissem

os triângulos para torná-la estável!

Figura 2

Figura 11

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Para você comprovar...

1. Com três palitos de sorvete, ou um material mais resistente (fig. 12), que

podem ser de tamanhos diferentes ou não, construa um triângulo, pregando

uma tachinha em cada vértice, para unir os lados. Tente mover sues lados,

uns em relação aos outros. Você vai ver que não é possível.

2. Ainda com palitos de sorvete, ou um material mais resistente (fig. 12),

construa um retângulo (que pode ser um quadrado). Prenda os lados com

tachinhas. Você vai ver que, mesmo conservando os comprimentos dos lados,

é possível modificar seus ângulos.

Figura 12

8. SEMELHANÇA DE FIGURAS

Na Matemática é a Geometria que trata da semelhança de figuras de mesmo

formato (forma). Uma ampliação, uma redução (fig. 13) e até uma congruência de

figuras são exemplos claros de semelhança.

Figura 13

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Para que duas ou mais figuras (ou objetos) sejam semelhantes, duas condições são

necessárias:

1. Os ângulos correspondentes devem ser iguais.

2. Os comprimentos correspondentes devem ser proporcionais.

Veja a figura:

• Note que os dois compassos têm exatamente a mesma forma e tamanhos

diferentes.

• Note que nos dois triângulos os ângulos correspondentes são iguais e que a

razão entre os lados (comprimentos) é 2. Temos:

EF=8 e BC=4 logo; EF/BC = 8/4 = 2.

DE=12 e AB=6 logo; DE/AB = 12/6 = 2.

DF=5 e AC=2,5 logo; DF/AC = 5/2,5 = 2.

Entre os FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS que são semelhantes, temos:

• todos os círculos;

• todos os quadrados.

Erro!

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Entre as FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS que nem sempre são semelhantes,

temos:

• os retângulos;

• os triângulos.

Entre os SÓLIDOS GEOMÉTRICOS que são semelhantes, temos:

• todas as esferas;

• todos os cubos.

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Entre os SÓLIDOS GEOMÉTRICOS que nem sempre são semelhantes, temos:

• os cones;

• os paralelepípedos;

• os cilindros.

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Atividade 1

Observe as figuras e identifique os grupos formados por objetos semelhantes.

Figura 14 Figura 15

Figura 16 Figura 17

Se você respondeu que em dois desses grupos os objetos são semelhantes,

acertou em cheio. Os dados (fig. 2) são semelhantes, pois todos os cubos têm a

mesma forma. Uma ampliação, uma redução (fig. 4) e até uma congruência de

figuras são exemplos claros de semelhança. As garrafas (fig. 1 e 3) não são

semelhantes; apesar de as duas terem alturas bem diferentes, observe que suas

tampinhas são do mesmo tamanho. Isso significa que os gargalos têm o mesmo

diâmetro.

Na verdade, as garrafas não têm a mesma proporção. Comparando-as,

podemos notar que o gargalo da garrafa maior é mais “magro” em relação ao corpo.

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Atividade 2

Observe agora as quatro garrafas. Há entre elas algum par que seja

semelhante?

Figura 18

OBS. Esta atividade é feita concretamente, onde o aluno deverá tirar medidas e

calcular a proporção em relação a pequenina garrafa.

Atividade 3

A pirâmide de Queóps foi construída no Egito há mais de 3000 anos. Sua

base é um quadrado com cerca de 230 m de lado e usa altura é de

aproximadamente 146 m. Se você for construir uma maquete de tal pirâmide, quer

dizer, uma piramidezinha semelhante à de Queóps, na escala 1:200, qual deverá

ser o comprimento da base? Qual será a altura da piramidezinha?

Figura 19

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Resposta: Se a miniatura deve ser construída na escala 1 para 200, cada unidade

de comprimento nessa maquete deve corresponder a 200 unidades no original. Por

exemplo, 1 m na maquete corresponde a 200 m no original.

Logo, se a pirâmide de Quéops tem 146 m de altura a piramidezinha terá 0,73 m de

altura.

cmmm 7373,020

146==

Quanto à base da piramidezinha, será um quadrado de 1,15 m de lado.

Todos os homens são semelhantes? Naturalmente, nem todos os homens são parecidos. Alguns são altos e

magros,outros são baixos e gordos, alguns tem as pernas longas,outros têm as

pernas curtas.

Nem todos, portanto, tem a mesma forma.

Apesar disso, algumas proporções entre as medidas do corpo se mantêm

aproximadamente iguais para todos os homens em idade adulta. Tomando-se, por

exemplo, a altura da cabeça como unidade de medida, na maioria das pessoas

adultas a altura total é aproximadamente igual a sete cabeças e meia.

Já no recém-nascido,o comprimento total não passa de três cabeças e um

terço.

O fato de algumas das razões entre comprimentos correspondentes se

manterem constantes não é, porém, suficiente para garantir a semelhança. A

semelhança é conseqüência da constância de todas as razões entre comprimentos

correspondentes.

Val, colocar aqui a sua foto e do “Josefer” – será a Figura 20

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9. Relação do tema com conhecimento de outras áreas

9.1. Astronomia – um simples exemplo

O Universo Verdadeiro

O Big Bang Um ponto contendo toda a energia do universo, chamado singularidade,

explodiu há 13,7 bilhões de anos, espalhando essa energia em todas as direções,

dando origem às partículas fundamentais e, posteriormente, aos átomos, aos

elementos mais simples, às galáxias e a todo o Universo.

A velocidade de expansão do Universo Durante o Big Bang a força da explosão fez com que "o caldo" dessa de

energia adquirisse velocidades uniformes proporcionais à sua distância do centro da

explosão. As partículas originadas desse caldo fizeram com que as galáxias

adquirissem as velocidades atuais.

A dinâmica entre duas galáxias

Figura 21

Duas galáxias, com velocidades de expansão Ve e V uniformes, e o centro do

universo, local do Big Bang, formam sempre triângulos semelhantes cujos lados

variam de acordo com a idade do universo. Isso faz com que todas as galáxias se

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afastem uma das outras, sempre com velocidades de afastamento Va uniformes

relativas a cada par de galáxias e os ângulos de visada (ângulo B) de uma galáxia

em relação à outra, sejam sempre os mesmos (Fig. 1).

Um observador em qualquer galáxia não tem conhecimento da sua velocidade de

expansão. É como se ele estivesse parado no espaço, vendo todas as outras

galáxias se afastando dele sempre na mesma direção, com velocidades Va de

afastamento constantes.

Planilhas dos Universos Verdadeiro e Visível

Figura 22

Prova

Figura 23

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9.2. Topografia – Determinando alturas...

Outra aplicação prática da geometria euclidiana, que conduz à trigonometria,

consiste na utilização de triângulos semelhantes para a determinação de alturas de

objetos distantes, como árvores ou torres. Como se sabe, a semelhança de

triângulos é definida em termos de congruências de ângulos homólogos ou

correspondentes, mas o resultado que mais interessa aqui é a proposição VI.4 de

Euclides de que, em triângulos semelhantes, lados homólogos são proporcionais. Na

semelhança ABC ~ DEF (em que os vértices A, B, C correspondem aos vértices

D, E, F, respectivamente) tem-se AB/DE = AC/DF = BC/EF. Se designarmos por r a

razão comum, resulta que os perímetros dos dois triângulos estão na mesma razão

(AB+AC+BC) / (DE+DF+EF) = r. Com um pouco mais de engenho, utilizando o fato

de a área de um triângulo ser igual a metade da área de um paralelogramo com a

mesma base e altura, resulta que a razão entre as áreas dos dois triângulos é área (

���C ) / área ( �DEF ) = r^2.

Regressando ao problema da medição de alturas, imaginemos uma pessoa

colocada em D com altura AD igual à altura do tronco da árvore BF, desejando medir

a altura da árvore CF, como na figura seguinte. Necessita da ajuda de um amigo ou

de uma estaca vertical de comprimento YZ com XZ = AD. Supondo conhecidos AD,

YX e AB = DF, tem-se � AXY ~ � ABC, logo YX / AX = CB / AB, donde CB = AB * (

YX / AX ), e finalmente CF = CB + BF = CB + AD.

A medição da altura da árvore pode-se até fazer sem conhecer a distância AB,

poupando o esforço físico do percurso, mas onerando um pouco o esforço mental.

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Mas desta vez há que fazer a medição de A, obtendo a relação AH / GH = AB

/CB, e repeti-la um pouco mais adiante em D, obtendo a relação

DJ / IJ = DB / CB = (AB – AD) / CB.

Temos então DJ/IJ = AB/CB-AD/CB = AH/GH-AD/CB, donde AD/CB = AH/GH-DJ/IJ

Esta última relação permite calcular o valor desconhecido CB, já que todos os

outros são conhecidos.

Figura 24

Altura de uma torre (fig. 24), pelo método dos triângulos semelhantes, de acordo

com Apianus, Quadrans astronomicus ( 1532 )

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Em sala de aula: Resolução de Problema A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No momento, a

seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2 m. Se, mais tarde, a sombra do

poste diminui 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:

a) 30cm b) 45cm c) 50cm d) 80cm e) 90cm

Vamos ilustrar a situação do enunciado antes das sombras diminuírem:

Como a altura do sol é a mesma para ambas as sombras, os dois triângulos

retângulos com hipotenusas verdes, da figura, são SEMELHANTES.

Vamos aplicar a semelhança com base e altura. Falando, seria assim: a base do

pequeno está para a base do grande assim como a altura do pequeno está para a

altura do grande. Matematicamente seria:

10,61 1=1 11,81 2 h Calculando, temos: 0,6 . h = 1,8 . 2 0,6 . h = 3,6 h = 6

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Através deste cálculo, descobrimos o valor da altura do poste, que não irá se

modificar no segundo momento (quando as sombras diminuem).

Portanto, no segundo momento, a ilustração é:

Com esta ilustração conseguimos solucionar o problema. Novamente com uma

semelhança de triângulos, iremos calcular o valor de "x" (que é o tamanho da

sombra da pessoa no segundo momento).

A base do triângulo pequeno está para a base do grande assim como a altura do

pequeno está para a altura do grande. Matematicamente:

x 1=1 11,81 1,51 6 6x = 1,8 . 1,5 6x = 2,7 x = 0,45 m x = 45 cm Alternativa correta, letra "B".

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... e encontrando distâncias

9.3. Considerações

Semelhança sempre exerceu uma atração especial sobre o homem, desde a

antiguidade.

Quando a noção de semelhança começou a ser estudada trouxe grande

ajuda na resolução de problemas, desde 640 aC., quando Tales propôs medir a

pirâmide de Queóps, sem escalá-la, baseado apenas nos estudos desenvolvidos

sobre a semelhança de figuras.

Atualmente, a semelhança continua a ser um desejo perseguido pela

humanidade e presente em nosso cotidiano, como:

• Na moda a semelhança é sempre sinal de bom gosto, de estar em dia

com o visual.

• Na estética o biótipo de “elegância – beleza – magrela” é muitas vezes até

neurose em nossos dias.

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• Na medicina a clonagem.

• Na cozinha “colher de sopa – colher de chá – colher de café. Xícara de chá

– xícara de café. Faca de mesa – faca de sobremesa”, etc, são exemplos

caseiros de semelhança.

Especificamente, a semelhança de figuras geométricas, é aplicada para

facilitar e melhorar a qualidade de trabalho em várias áreas, como:

Fotografia: - ampliação e redução de fotos

- slides.

Cartografia: - ampliação e redução de mapas.

Arquitetura e Engenharia: - na elaboração de maquetes, Plantas da construção

civil, peças da mecânica, envolvendo a utilização de escalas, etc.

Indústria:- Na construção de protótipos.

Ciência de laboratório: No uso de lupas e microscópios.

10. Uso da Tecnologia em Congruência e Semelhança Utilizando o softer Cabri-geometri podemos realizar as seguintes atividades:

Atividade 1: LLL

- Ir ao ultimo quadrinho, vai aparecer vários comandos, pressionar em “mostrar

eixo”.

- Ir ao terceiro quadrinho e pressionar em triângulos.

- Desenhar dois triângulos, um em cada eixo.

- Ir ao antepenúltimo quadrinho e pressionar em “distâncias e medidas”.

- Medir cada lado de cada triângulo verificando a igualdade.

- Ir ao ultimo quadrinho e pressionar em “esconder eixo”.

- Observar a congruência.

Atividade 2: AAA

- Pressionar em “mostrar eixo”.

- Construir dois triângulos.

- Ir até o antepenúltimo quadrinho e pressionar em “ângulos”.

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- Medir cada ângulo e verificar a igualdade.

- Pressionar em “esconder eixo”.

- Observar a congruência.

Atividade 3 : LAL

- Pressionar em “mostrar eixo”.

- Construir dois triângulos.

- Medir dois lados de cada triângulo e o ângulo formado por eles e verificar a

igualdade.

- Pressionar em “esconder eixo”.

- Observar a congruência.

Atividade 4 : AAL

- Pressionar em “mostrar eixo”.

- Construir dois triângulos.

- Medir dois ângulos e o lado comum entre eles de cada triângulo e verificar a

igualdade.

- Pressionar em “esconder eixo”.

- Observar a congruência.

Atividade 5 : SEMELHANÇA

- Pressionar em “mostrar eixo”.

- Construir dois triângulos de ângulos correspondentes de mesma medida.

- Medir os lados correspondentes, achar a razão.

- Pressionar em “esconder eixo”.

- Observar a semelhança.

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figura AAA

figura AAL

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figura LAL

figura LLL

Semelhança

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11. CONCLUSÃO

Este projeto enriqueceu o nosso conhecimento, à medida que pesquisamos

sobre o assunto e dividimos experiências práticas sobre o tema e aprendemos a

utilizar recursos tecnológicos para sua apresentação.

O trabalho coletivo serviu para dar-nos a certeza de que a união leva-nos a

crescer, descobrir, aprender.

O conhecimento sempre pode ser ampliado, renovado e aperfeiçoado.

Um prosseguimento natural do presente trabalho é o desenvolvimento de

atividades voltadas a outras áreas de conhecimento e outros tópicos da matemática.

12. Referências bibliográficas Machado, Nilson José – “Semelhança não é mera coincidência” – Editora Scipione, 1989

CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – “Experiências Matemáticas” – 1997

www.somatematica.com.br

http://profdrico.sites.uol.com.br/semelhan.html

http://www.nosachamos.com/educacao/matematica/materias/geom_esp7.htm#Esfera

http://alunos.cc.fc.ul.pt/~l21054/curiosidades.htm#alturas

www.alfonsomartone.itb.it/ydliap.html www.cabri.com.br

www.geracaobyte.com.br/Matematica.html cursinho.hpg.com.br / Matemática On-Line

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