Inversão da Transformada de Laplace
18
Invers Invers ão da ão da Transformada de Laplace Transformada de Laplace 1 Sistemas e Sinais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica Inversão da Transformada de Laplace A determinação da transformada de Laplace inversa será realizada empregando a relação biunívoca entre um sinal no tempo e sua transformada unilateral. Considerando a função que se pretende obter a trans- formada inversa representada na forma , .
Transcript of Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
1
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Inversão da Transformada de Laplace
A determinação da transformada de Laplace inversaserá realizada empregando a relação biunívoca entreum sinal no tempo e sua transformada unilateral.Considerando a função que se pretende obter a trans-formada inversa representada na forma
, .
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
2
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
A função pode ser representada também na forma
.
Se todos os pólos forem distintos, pode-se escrevercomo soma de termos simples usando a expan-
são em frações parciais, da seguinte forma:
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
3
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
sendo
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
4
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Se o pólo for repetido r vezes, então haverão r termosna expansão em frações parciais associadas a este pólo, na forma
.A transformada de Laplace inversa de cada termo é obtidausando-se o par
.Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
5
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Para o caso em que apresenta pólos complexosconjugados na forma . , é conveniente re-presentar estes termos por pares transformados já co-nhecidos, por exemplo:
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
6
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Exemplo:
Inversão da Transformada de Laplace
5.02)4)(1(0
=⇒+=++=
AsssAs
3/12)4)((1
−=⇒+=+−=
BsssBs
6/12)1)((4
−=⇒+=+−=
CsssCs
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
7
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Resposta temporal:
Inversão da Transformada de Laplace
Inversão da Transformada de Laplace 8
f(t) para t≥0 F(s)
=→∞
≠→δ
0t
0t 0)t(
1
≥→
<→
0t1
0t 0)t(u
s
1
t2
1
s
atket −
( ) 1kas
!k++
( ) tsen ω22 ω+
ω
s
( ) tcos ω22 ω+s
s
( )t sene ta ω−
( ) 22as ω++
ω
( )t cose ta ω−
( ) 22as
as
ω++
+
Inversão da Transformada de Laplace 9
Gráfico Nome f(t) F(s)
Degrau )t(u s
1
Rampa )t(ut ⋅ 2s
1
Parábola )t(u2
t2
3s
1
Senoidal
)t(u)tωsen(
ω: freqüência [rad/s] 22s ω+
ω
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
10
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Exemplo 6.6: Determinar a transformada de Laplace inversa de
Confira o resultado encontrado utilizando os Teoremas do Valor Final e Inicial.
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
11
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Exercício 6.6: Determinar a transformada de Laplace inversa de
Confira o resultado encontrado utilizando os Teoremas do Valor Final e Inicial.
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
12
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Exemplo 6.7: Determinar a transformada de Laplace inversa de
.
Exercício 6.7: Obter a transformada de Laplace inversade
.
Inversão da Transformada de Laplace
Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
13
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Uma das aplicações da transformada unilateral de Laplaceem análise de sistemas é resolver equações diferenciaiscom condições iniciais diferentes de zero. Para isto é uti-lizado a propriedade da diferenciação.
Inversão da Transformada de Laplace
14
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Exemplo 6.8: Obter a resposta temporal do siste-ma descrito por
considerando como entrada , sendo acondição inicial .
Inversão da Transformada de Laplace
Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
15
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Dado um sistema LTI descrito na forma de equaçõesdiferenciais, a resposta temporal do sistema pode serobtida de forma sistemática utilizando as transformadasde Laplace da resposta forçada e da resposta natural do sistema.
Inversão da Transformada de Laplace
Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
16
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
É obtido considerando condições iniciais nulas;
É obtido considerando entrada nula.
Inversão da Transformada de Laplace
Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
17
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Exemplo 6.9: Obter a saída do sistema conside-rando
sendo , assumindo condições iniciais e
.
Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
18
Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
Exemplo 6.10: Considere o sistema massa, mola, amor-tecedor
Com , com entrada .
Inversão da Transformada de Laplace
Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
