Um pouco de história…

Conta-se que Gauss, quando tinha aproximadamente 9 anos de idade, surpreendeu o seu professor, pois o professor quis “castigar” os seus alunos pelo barulho e deu-lhes uma tarefa para realizarem: que somassem todos os números inteiros de 1 a 100, isto é, 1+2+3+ ... +98+99+100. Contudo em poucos minutos Gauss deu a resposta correta!!!

Como? É o que vamos ver a seguir, através da soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética.

Tarefa: Somar 1+2+3+4+5

1. Desenhem nos vossos cadernos um quadrado como o da figura. (5cm×5cm, com quadrículas de 1cm×1cm).

2. Em cima de cada um dos vértices coloquem um pequeno círculo.

3. Qual o número total de pequenos círculos que acabaram de fazer?

4. Como podem determinar o número total de pequenos círculos desenhados, sem os contar? 

5. Pedir aos alunos que destaquem os pequenos círculos desenhados abaixo de uma das diagonais e também sobre ela a vermelho ou outra cor para diferenciar dos outros círculos.

6. Identifiquem a soma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 com a soma dos pequenos círculos destacados e contidos,

respetivamente, na quinta, quarta, terceira, segunda e primeira linhas, contadas de baixo para cima.

7. Destaquem, agora, os pequenos círculos desenhados acima da diagonal utilizada anteriormente e também sobre ela.

8. Identifiquem a soma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 com a soma dos pequenos círculos destacados e contidos, respetivamente, na quinta, quarta, terceira, segunda e primeira linhas, contadas de cima para baixo.

9. Qual é a relação entre o número total de pontos desenhados nos vértices da malha quadrangular e a soma dos resultados obtidos nas etapas 6 e 8.1

Agora:

Utilizando a mesma estratégia:

1 Adaptado de: http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/index.aspx?ID_OBJETO=103651&tipo=ob&cp=B53C97&cb=&n1=&n2=Roteiros%20de%20Atividades&n3=Ensino%20M%C3%A9dio&n4=Matem%C3%A1tica&b=s

a) Calculem 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;

b) Calculem 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+7+8+9+10;

c) Obtenham uma expressão para 1 + 2 + 3 + ... + n.

Se precisares de uma calculadora online clica aqui ou com o telemóvel acede a este QR Code:

Desta forma,a Soma dos n primeiros termos de

uma progressão aritmética é:

Aplicação:

1. Determina a soma dos 20 primeiros termos de uma p.a. sabendo que a5=12é um dos termos dessa sucessão e r=2 é o valor da razão da sucessão.

2. Determina a soma dos 15 primeiros termos de uma p.a. sabendo que a5=12ea9=17 são termos dessa sucessão.

3. A Micaela Antónia foi à baixa do Funchal e deixou o carro num estacionamento que cobra 0,40€ na primeira hora. A partir da segunda hora, os preços aumentam em progressão aritmética. Assim, o valor da segunda hora é 0,60€ e o da sétima hora é 1.6€. Quanto gastará a Micaela, se deixar o carro 5 horas nesse local?

4. A mãe da Gertrudes Antonieta esqueceu-se de pagar um certo imposto às finanças. Verificou no sítio das finanças que para além desse imposto, já tinha juros de mora em pagamento, o qual acumulava da seguinte forma: no primeiro dia após vencer o pagamento do imposto, a multa seria de 7,5€, a cada dia, a partir do segundo dia de atraso, seriam acrescidos 2,5€ à multa do dia anterior. A Gertrudes só liquidou a sua dívida ao fim de 20 dias após ter vencido o pagamento do imposto. Quanto é que ela pagou de juros?