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UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática Cálculo Diferencial e Integral 4 (MA64A) SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AULA Rudimar Luiz Nós 2 o semestre/2011
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UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral 4 (MA64A)
SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AULA
Rudimar Luiz Nós
2o semestre/2011
2
3
Não é paradoxo dizer
que nos nossos momentos de inspiração mais teórica
podemos estar o mais próximo possível
de nossas aplicações mais práticas.
A. N. Whitehead (1861-1947)
[email protected] http://pessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos
4
5
SUMÁRIO 1. SÉRIES.................................................................................................................................................................................9
1.1 – SEQUÊNCIAS INFINITAS .................................................................................................................................................9 1.2 – SÉRIES INFINITAS ..........................................................................................................................................................9 1.3 – CONVERGÊNCIA DE SÉRIES..........................................................................................................................................10
1.3.1 – A série geométrica..............................................................................................................................................10 1.3.2 – Condição necessária à convergência.................................................................................................................11 1.3.3 – Teste da divergência...........................................................................................................................................11 1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral.....................................................................................................11 1.3.5 – Convergência absoluta e condicional ................................................................................................................12 1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções).........................................................................................................12 1.3.7 – Teste M de Weierstrass ......................................................................................................................................13
2. A SÉRIE DE FOURIER....................................................................................................................................................17
2.1 – FUNÇÕES PERIÓDICAS .................................................................................................................................................17 2.2 – SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS..........................................................................................................................................18 2.3 – SÉRIE DE FOURIER.......................................................................................................................................................22
2.3.1 – Definição............................................................................................................................................................22 2.3.2 – Coeficientes ........................................................................................................................................................22 2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes................................................................................................................25 2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet ...............................................................................................................25
2.4 – SÉRIE DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DADA ................................................................................................27 2.5 – FUNÇÕES PARES E FUNÇÕES ÍMPARES..........................................................................................................................35 2.6 – SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS.................................................................................................................................39 2.7 – SÉRIE DE FOURIER DE SENOS.......................................................................................................................................40 2.8 – O FENÔMENO DE GIBBS...............................................................................................................................................44 2.9 – A IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA SÉRIES DE FOURIER..............................................................................................45 2.10 – CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS ATRAVÉS DA SÉRIE DE FOURIER ..................................................................47 2.11 – DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER....................................................................................................48 2.12 – A FORMA EXPONENCIAL (OU COMPLEXA) DA SÉRIE DE FOURIER...............................................................................50 2.13 – APLICAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS .........................................55
2.13.1 – Equações diferenciais ......................................................................................................................................55 2.13.2 – Equação do calor .............................................................................................................................................56 2.13.3 – Equação da onda..............................................................................................................................................59 2.13.4 – Equação de Laplace .........................................................................................................................................61
2.14 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ..........................................................................................................................................65 2.15 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ................................................................................................................................77
3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER .........................................................................91
3.1 – A INTEGRAL DE FOURIER ............................................................................................................................................92 3.2 – CONVERGÊNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER ................................................................................................................92
3.2.1 – Convergência absoluta e condicional ................................................................................................................93 3.3 – A INTEGRAL COSSENO DE FOURIER .............................................................................................................................93 3.4 – A INTEGRAL SENO DE FOURIER ...................................................................................................................................94 3.5 – FORMAS EQUIVALENTES DA INTEGRAL DE FOURIER....................................................................................................95 3.6 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DA TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER ........................................97 3.7 – TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER E TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER INVERSA ......................................99 3.8 – TRANSFORMADA SENO DE FOURIER E TRANSFORMADA SENO DE FOURIER INVERSA.................................................100 3.9 – FUNÇÃO DE HEAVISIDE .............................................................................................................................................102 3.10 – ESPECTRO, AMPLITUDE E FASE DA TRANSFORMADA DE FOURIER............................................................................104 3.11 – PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................................106
3.11.1 – Comportamento de F(α) quando |α|→∞ ........................................................................................................107 3.11.2 – Linearidade ....................................................................................................................................................108 3.11.3 – Simetria (ou dualidade)..................................................................................................................................108 3.11.4 – Conjugado......................................................................................................................................................109 3.11.5 – Translação (no tempo) ...................................................................................................................................109 3.11.6 – Translação (na frequência) ............................................................................................................................110
6
3.11.7 – Similaridade (ou mudança de escala) e inversão de tempo ...........................................................................110 3.11.8 – Convolução ....................................................................................................................................................111 3.11.9 – Multiplicação (Convolução na frequência)....................................................................................................114 3.11.10 – Transformada de Fourier de derivadas .......................................................................................................115 3.11.11 – Derivadas de transformadas de Fourier ......................................................................................................116
3.12 – RESUMO: PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................119 3.13 – DELTA DE DIRAC.....................................................................................................................................................120
3.13.1 – Propriedades do delta de Dirac .....................................................................................................................121 3.13.2 – Transformada de Fourier do delta de Dirac ..................................................................................................122
3.14 – MÉTODOS PARA OBTER A TRANSFORMADA DE FOURIER .........................................................................................122 3.14.1 – Uso da definição.............................................................................................................................................122 3.14.2 – Uso de equações diferenciais .........................................................................................................................126 3.14.3 – Decomposição em frações parciais................................................................................................................128
3.15 – TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES ............................................................................................130 3.15.1 – A função constante unitária ...........................................................................................................................130 3.15.2 – A função sinal.................................................................................................................................................131 3.15.3 – A função degrau .............................................................................................................................................132 3.15.4 – Exponencial....................................................................................................................................................132 3.15.5 – Função cosseno..............................................................................................................................................133
3.16 – RESUMO: TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES ...........................................................................134 3.17 – IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA AS INTEGRAIS DE FOURIER ..................................................................................135 3.18 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ......................................................................................................................137 3.19 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................141
3.19.1 – Equações diferenciais ordinárias...................................................................................................................141 3.19.2 – Equações diferenciais parciais ......................................................................................................................142
Derivação sob o sinal de integração – Regra de Leibniz .................................................................................................................. 142 3.19.2.1 – Equação do calor (EDP parabólica).................................................................................................................................. 144 3.19.2.2 – Equação da onda (EDP hiperbólica) ................................................................................................................................. 146 3.19.2.3 – Equação de Laplace (EDP elíptica) .................................................................................................................................. 148
3.20 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS E DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS.........................................................151 3.21 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................154 3.22 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................157
4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE ............................................................................................................................165
4.1 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ...........................................................................................................165 4.1.1 – Motivação.........................................................................................................................................................165 4.1.2 – Função de Heaviside........................................................................................................................................166
4.1.2.1 - Generalização........................................................................................................................................................................ 167 4.1.3 – Transformada de Laplace ................................................................................................................................168
4.2 – FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL...........................................................................................................................171 4.3 – CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ..............................................................................174
4.3.1 – Convergência absoluta e condicional ..............................................................................................................174 4.3.2 – Condições suficientes para a convergência .....................................................................................................174
4.4 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DAS FUNÇÕES ELEMENTARES ...............................................................175 4.4.1 – f(t) = t
n..............................................................................................................................................................175
4.4.2 – f(t) = eat
............................................................................................................................................................177 4.4.3 – Transformada de algumas funções elementares ..............................................................................................177
4.5 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL................................................................................178 4.5.1 – Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s→∞ ....................................................................178 4.5.2 – Linearidade ......................................................................................................................................................178 4.5.3 – Primeira propriedade de translação ou deslocamento ....................................................................................181 4.5.4 – Segunda propriedade de translação ou deslocamento.....................................................................................181 4.5.5 – Similaridade (ou mudança de escala) ..............................................................................................................182 4.5.6 – Transformada de Laplace unilateral de derivadas ..........................................................................................183 4.5.7 – Transformada de Laplace unilateral de integrais............................................................................................185 4.5.8 – Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicação por t
n) ....................................................186
4.5.9 – Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (divisão por t) ..................................................................187 4.5.10 – Convolução ....................................................................................................................................................189 4.5.11 – Valor inicial ...................................................................................................................................................190 4.5.12 – Valor final ......................................................................................................................................................191
4.6 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE FUNÇÕES PERIÓDICAS......................................................................192
7
4.7 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS........................................................................................................................194 4.8 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ...........................................................196
4.8.1 – Uso da definição...............................................................................................................................................196 4.8.2 – Expansão em série de potências.......................................................................................................................196 4.8.3 – Uso de equações diferenciais ...........................................................................................................................200 4.8.4 – Outros métodos ................................................................................................................................................200 4.8.5 – Uso de tabelas de transformadas .....................................................................................................................200
4.9 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE ALGUMAS FUNÇÕES.........................................................................200 4.9.1 – Função nula .....................................................................................................................................................200 4.9.2 – Função degrau unitário ...................................................................................................................................200 4.9.3 – Função impulso unitário ..................................................................................................................................201 4.9.4 – Algumas funções periódicas.............................................................................................................................202
4.10 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL INVERSA...........................................204 4.10.1 – Completando quadrados ................................................................................................................................204 4.10.2 – Decomposição em frações parciais................................................................................................................204 4.10.3 – Expansão em série de potências.....................................................................................................................209 4.10.4 – Uso de tabelas de transformadas de Laplace.................................................................................................211 4.10.5 – A fórmula de Heaviside ..................................................................................................................................211 4.10.6 – A fórmula geral (ou complexa) de inversão ...................................................................................................212
4.11 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................213 4.11.1 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes......................................................................213 4.11.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis........................................................................219 4.11.3 – Equações diferenciais ordinárias simultâneas...............................................................................................221 4.11.4 – Equações diferenciais parciais ......................................................................................................................223
4.12 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS ....................................................................................................229 4.13 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................232 4.14 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................240
5. TRANSFORMADAS ZZZZ ...................................................................................................................................................251
5.1 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .......................................................................................................252 5.2 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL DE ALGUMAS SEQUÊNCIAS.....................................................................................253
5.2.1 – Versão discreta da função delta de Dirac........................................................................................................253 5.2.2 – Sequência unitária ou passo discreto unitário .................................................................................................253 5.2.3 – Exponencial......................................................................................................................................................254 5.2.4 – Potência............................................................................................................................................................255
5.3 – SÉRIES DE POTÊNCIAS: DEFINIÇÃO, RAIO DE CONVERGÊNCIA ....................................................................................256 5.4 – EXISTÊNCIA E DOMÍNIO DE DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .............................................................258 5.5 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .................................................................................................260
5.5.1 – Linearidade ......................................................................................................................................................260 5.5.2 – Translação (ou deslocamento) .........................................................................................................................264 5.5.3 – Similaridade .....................................................................................................................................................265 5.5.4 – Convolução ......................................................................................................................................................266 5.5.5 – Diferenciação da transformada de uma sequência ..........................................................................................267 5.5.6 – Integração da transformada de uma sequência ...............................................................................................269 5.5.7 – Valor inicial .....................................................................................................................................................270 5.5.8 – Valor final ........................................................................................................................................................271
5.6 – RESUMO: TRANSFORMADA Z UNILATERAL DAS FUNÇÕES DISCRETAS ELEMENTARES ...............................................272 5.7 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ................................................................................................................272 5.8 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ..............................................................273
5.8.1 – Uso da transformada Z unilateral e de suas propriedades..............................................................................273 5.8.2 – Decomposição em frações parciais..................................................................................................................274 5.8.3 – Expansão em série de potências.......................................................................................................................277 5.8.4 – Estratégia geral de inversão ............................................................................................................................279
5.9 – TRANSFORMADA Z BILATERAL .................................................................................................................................280 5.9.1 - Série de Laurent................................................................................................................................................280
5.8.1.1 - Singularidades ....................................................................................................................................................................... 280 5.9.2 – Definição..........................................................................................................................................................282
5.10 – EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS .....................................................................................................................................286 5.10.1 – Definição........................................................................................................................................................286 5.10.2 – Equações de diferenças lineares ....................................................................................................................287
8
5.10.3 – Solução de equações de diferenças lineares ..................................................................................................287 5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................294 5.12 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................301
6. FORMULÁRIO ...............................................................................................................................................................307
REFERÊNCIAS...................................................................................................................................................................317
9
1. SÉRIES
1.1 – Sequências infinitas
Uma sequência infinita é uma função discreta cujo domínio é { }0\N .
Notação: { } { } ( )nfa ,0\Nn ,a nn =∈ Exemplos
1o) { } ( ) { } ,14
25,
11
16,
8
9,
5
4,
2
1 a
1n3
n1a n
21n
n
−−=⇒−
−=+
L
2o) A sequência { }1n2
na n
+= é convergente ou divergente?
{ } ,3n2
1n,
1n2
n,,
11
5,
9
4,
7
3,
5
2,
3
1 a n
+
+
+= KL
Se n
nalim
∞→ existe, então { } a n é convergente. Caso contrário, { } a n é divergente.
Como2
1
n
12
1lim
1n2
nlim
nn=
+
=+ ∞→∞→
, { } a n é convergente.
1.2 – Séries infinitas
Uma série infinita é definida como sendo a soma dos termos de uma sequência infinita.
Notação: LL +++++=∑∞
=
n321
1n
n aaaaa
Somas parciais:
n321n
3213
212
11
aaaaS
aaaS
aaS
aS
++++=
++=
+=
=
L
M
Se SSlim n
n=
∞→ , então a série infinita é convergente. Se o limite S não existe, então a série
infinita é divergente. Exemplo
( ) ( )
LL ++
+++++=+
∑∞
= 1nn
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
1nn
1
1n
10
( )
11n
nlimSlim
1n
n
1n
11S
1n
1
n
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11aaaaS
1n
1
n
1
1nn
1a
nn
n
n
n321n
n
=+
=
+=
+−=
+−++
−+
−+
−=++++=
+−=
+=
∞→∞→
LL
Logo, a série infinita é convergente.
1.3 – Convergência de séries
Diferenciar:
• Condições necessárias à convergência; • Condições suficientes à convergência; • Condições necessárias e suficientes à convergência.
1.3.1 – A série geométrica Teorema: A série geométrica
K++++=∑∞
=
32
1n
1-n arararar a , com a≠0,
(i) converge, e tem por soma r1
a
−, se ( )1r1 1r <<−< ;
(ii) diverge, se ( )1rou -1r 1r ≥≤≥ .
Exemplos
1o) 2
2
11
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
2
11n432
1n1n
=
−
=+++++++=−
∞
=−∑ LL
2o) 9
5
109
105
101110
5
10000
5
1000
5
100
5
10
55555,05,0 ==
−=++++== KK
11
1.3.2 – Condição necessária à convergência
Teorema: Se a série infinita ∑∞
=1n
na é convergente, então 0alim nn
=∞→
.
A recíproca não é sempre verdadeira.
1.3.3 – Teste da divergência
Se
nn
alim∞→
não existir ou 0alim nn
≠∞→
, então a série infinita ∑∞
=1n
na é divergente.
1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral Teorema: Se f é uma função contínua, decrescente e de valores positivos para todo 1x ≥ , então a série infinita
( ) ( ) ( ) ( ) LL ++++=∑∞
=
nf2f1fnf
1n
(i) converge se a integral imprópria ( )∫∞
1
dx xf converge;
(ii) diverge se a integral imprópria ( )∫∞
1
dx xf diverge.
Exemplo
A série harmônica L+++++=∑∞
=5
1
4
1
3
1
2
11
n
1
1n
é divergente.
0n
1limn
=∞→
(condição necessária, porém não suficiente)
( )[ ] ( )[ ] ∞=−===∞→∞→∞→
∞
∫∫ 0blnlimxlnlimdxx
1 limdx
x
1
b
b1
b
b
1 b
1
Como a integral diverge, a série harmônica diverge.
12
1.3.5 – Convergência absoluta e condicional
A série∑∞
=1n
na é dita absolutamente convergente se K+++=∑∞
=
321
1n
n aaaa convergir.
Se ∑∞
=1n
na convergir mas ∑∞
=1n
na divergir, então ∑∞
=1n
na é dita condicionalmente convergente.
Teorema: Se ∑∞
=1n
na converge, então ∑∞
=1n
na também converge.
Exemplo
A série L+−−++−−+2222222 8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11 é absolutamente convergente, uma vez que
6n
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
2
1n
22222222
π==++++++++ ∑
∞
=
L (provaremos usando a série de Fourier).
1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções)
Série de números reais
K+++=∑∞
=
321
1n
n aaaa
Exemplo:
Série de funções
( ) ( ) ( ) ( ) K+++=∑∞
=
xuxuxuxu 321
1n
n
Exemplo:
K+++++=∑∞
=
!5
32
!4
16
!3
8
!2
42
!n
2
1n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )K++++=∑
∞
=
!4
x4sen
!3
x3sen
!2
x2senxsen
!n
nxsen
1n
13
A série de Fourier ∑∞
=
+
+
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
a ππé uma série de funções trigonomé-
ricas.
Sejam a série ( )∑∞
=1n
n xu , onde ( ){ }xu n , K,3,2,1n = é uma sequência de funções definidas em
[a,b], ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxuxuxuxS n321n ++++= L a soma parcial da série e ( ) ( )xSxSlim nn
=∞→
. A série
converge para ( )xS em [ ]b,a se para cada 0>ε e cada [ ]b,ax ∈ existe um 0N > tal que
( ) ( ) ε<− xSxSn para todo Nn > . O número N depende geralmente de ε e x . Se N depende
somente deε , então a série converge uniformemente ou é uniformemente convergente em [ ]b,a .
Teorema 1: Se cada termo da série ( )∑∞
=1n
n xu é uma função contínua em [a,b] e a série é
uniformemente convergente para S(x) em [a,b], então a série pode ser integrada termo a termo, isto é,
( ) ( )∑ ∫∫ ∑∞
=
∞
=
=
1n
b
a
n
b
a 1n
n dxxu dxxu .
Teorema 2: Se cada termo da série ( )∑∞
=1n
n xu é uma função contínua com derivada contínua
em [a,b] e se ( )∑∞
=1n
n xu converge para S(x) enquanto ( )∑∞
=1n
'n xu converge uniformemente em [a,b],
então a série pode ser diferenciada termo a termo em [a,b], isto é, ( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
=
1n
n
1n
n xudx
dxu
dx
d.
1.3.7 – Teste M de Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897): matemático alemão. Se existe uma sequência de constantes ,1,2,3,n ,M n K= tal que para todo x em um intervalo (a) ( ) nn Mxu ≤
e
(b) ∑∞
=1n
nM converge,
então ( )∑∞
=1n
n xu converge uniforme e absolutamente no intervalo.
14
Observações: 1a) O teste fornece condições suficientes, porém não necessárias. 2a) Séries uniformemente convergentes não são necessariamente absolutamente convergentes ou vice-versa. Exemplo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
++++=
1n
2222 4
x4cos
3
x3cos
2
x2cosxcos
n
nxcosL é uniforme e absolutamente
convergente em [0,2π] (ou em qualquer intervalo), uma vez que
( )
22 n
1
n
nxcos≤ e
6n
1 2
1n
2
π=∑
∞
=
.
Exercícios
01. Mostre que a série ∑∞
=
+1n
2
2
4n5
n diverge.
R.: Use o teste da divergência.
02. Mostre que a série ( )( )∑
∞
=+−
1n1n21n2
1 converge e determine sua soma.
R.: 2
1
03. Determine se as séries infinitas a seguir são convergentes ou divergentes.
a) ∑∞
=+
1n
2 1n
n R.: A série é divergente: ∞=
+∫∞
1 2
dx1x
x.
b) ( )∑
∞
=1n
3n
nln R.: A série é convergente:
( )4
1dx
x
xln
1 3
=∫∞
.
15
c) ∑∞
=
−
1n
nne
R.: A série é convergente:e
2dxxe
1
x =∫∞
− .
d) ( )∑
∞
=2nnlnn
1 R.: A série é divergente:
( )∞=∫
∞
2 xlnx
dx.
04. Verifique se as séries de funções seguintes são uniformemente convergentes para todo x .
a) ( )∑
∞
=1n
n2
nxcos R.: A série é uniformemente convergente para todo x .
b) ∑∞
=+
1n
22 xn
1 R.: A série é uniformemente convergente para todo x .
c) ( )∑
∞
=−
1n
n
2
12
nxsen R.: A série é uniformemente convergente para todo x .
05. Seja ( ) ( )∑∞
=
=
1n
3n
nxsenxf . Prove que ( )
( )∑∫∞
=−
=
1n
4
0 1n2
12dxxf
π
.
R.: Use ( )
33 n
1
n
nxsen≤ , o teste M de Weierstrass (prove que ∑
∞
=1n3n
1 converge usando o teste da
integral) e o fato de que uma série uniformemente convergente pode ser integrada termo a termo.
Observação: Mostraremos futuramente que ( ) 961n2
1 4
1n
4
π=
−∑∞
=
. Assim, ( )
48dx
n
nxsen 4
0 1n
3
π=∫ ∑
π ∞
=
.
06. Prove que ( ) ( ) ( )
0dx7.5
x6cos
5.3
x4cos
3.1
x2cos
0
=
+++∫
π
L .
16
17
2. A SÉRIE DE FOURIER Jean-Baptiste Joseph Fourier (1766-1830): físico, matemático e engenheiro francês. Principais contribuições: teoria da condução do calor, séries trigonométricas. Por que aproximar uma função por uma função dada por senos e cossenos?
Para facilitar o tratamento matemático do modelo, uma vez que as funções trigonométricas seno e cosseno são periódicas de período fundamental π2 , contínuas, limitadas e de classe ∞C , ou seja, são infinitamente diferenciáveis.
2.1 – Funções periódicas
Uma função RR:f → é periódica de período fundamental P se
( ) ( ) 0P x, xfPxf >∀=+ .
Exemplos (a) (b) (c) (d) Figura 1: (a) ( ) ( )xsenxf = , função de período fundamental π2P = ; (b) ( ) ( )xcosxf = , função de
período fundamental π2P = ; (c) ( ) 5xf = , função de período fundamental 0k ,kP >= ; (d) função onda triangular, de período fundamental 2P = .
18
Como as funções ( )xsen e ( )xcos são 2π-periódicas, temos que
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) L
L
=+=+=+=
=+=+=+=
πππ
πππ
6xcos4xcos2xcosxcos
6xsen4xsen2xsenxsen.
Funções periódicas surgem em uma grande variedade de problemas físicos, tais como as vibrações de uma corda, o movimento dos planetas em torno do sol, a rotação da terra em torno do seu eixo, o movimento de um pêndulo, a corrente alternada em circuitos elétricos, as marés e os movimentos ondulatórios em geral.
2.2 – Séries trigonométricas
Denomina-se série trigonométrica a uma série da forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa2
a332211
0
ou
( ) ( )[ ]∑∞
=
++
1n
nn0 nxsenbnxcosa
2
a (2.2.1)
ou
∑∞
=
+
+
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
a ππ. (2.2.2)
Obtém-se a forma (2.2.2) através de uma transformação linear que leva um intervalo de
amplitude L2 em um intervalo de amplitude π2 . Em (2.2.1) ou (2.2.2), para cada n temos um harmônico da série e 0a , na e nb são os
coeficientes da série. 0a : constante
( )nfa n = e ( )nfbn = : sequências infinitas Exemplo
( ) ( ) { }
−−−=⇒−
== K,5
2,
2
1,
3
2,
1,
2a
n
12ncos
n
2a n
n
nππππππ
ππ
A série trigonométrica (2) também pode ser escrita na forma
19
∑∞
=
φ+
π+
1n
nn0 n
senA2
a
L
x, (2.2.3)
onde 2n
2nn baA += , ( )nnn senAa φ= e ( )nnn cosAb φ= .
A forma (2.2.3) é obtida multiplicando-se e dividindo-se a forma (2.2.2) por 2n
2n ba + .
∑∞
=+
+
π+
π+
+
+
1n
2n
2n
2n
2n
nn2n
2n
2n
2n0
ba
bansenb
ncosa
ba
ba
2
a
L
x
L
x
∑∞
=
π
++
π
+++
1n
2n
2n
n
2n
2n
n2n
2n
0 nsen
ba
bncos
ba
aba
2
a
L
x
L
x
Considerando n2
n2
n Aba =+ , ( )nn
n senA
aφ= e ( )n
n
n cosA
bφ= , temos que:
( ) ( )∑∞
=
πφ+
πφ+
1n
nnn0 n
sencosn
cossenA2
a
L
x
L
x
∑∞
=
φ+
π+
1n
nn0 n
senA2
a
L
x
Em (2.2.3), o termo
φ+
πnn
nsenA
L
x é chamado harmônico de ordem n e pode ser
caracterizado somente pela amplitude nA e pelo ângulo de fase nφ . Questões 01. Dada uma função f(x) 2L-periódica, quais as condições que f(x) deve satisfazer para que exista uma série trigonométrica convergente para ela? 02. Sendo Nn,m ∈ , mostre que:
(a) 0n ,0dxL
xncos
L
L
≠=
∫−
π
20
dun
Ldx dx
L
ndu
L
xnu
π
ππ===
( ) ( )[ ] 0nsennsenn
L
L
xnsen
n
Ldx
L
xncos
L
L
L
L
=π−−ππ
=
π
π=
π
−−∫
[ ] ( ) L2LLxdx dxL
xncos0n L
L
L
L
L
L
=−−===
π⇒= −
−−∫∫
(b) 0dxL
xnsen
L
L
=
∫−
π ( ( )
π=
L
xnsenxf é ímpar no intervalo [ ]L,L− )
dun
Ldx dx
L
ndu
L
xnu
π
ππ===
( ) ( )[ ] 0ncosncosn
L
L
xncos
n
Ldx
L
xnsen
L
L
L
L
=π−−ππ
−=
π
π−=
π
−−∫
00dx dxL
xnsen0n
L
L
L
L
==
π⇒= ∫∫
−−
(c)
≠=
≠=
∫−
0nm se L,
nm se 0,dx
L
xncos
L
xmcos
L
L
ππ
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )nm se 0dx
L
xn-mcos
L
xnmcos
2
1dx
L
xncos
L
xmcos
vucosvucos2
1vcosucos : que Lembrando
L
L
L
L
≠=
+
+=
−++=
∫∫−−
ππππ
[ ] Lx2
1dx
2
1dx1
L
xn2cos
2
1dx
L
xncos0nm L
L
L
L
L
L
L
L
2 ===
+
π=
π⇒≠= −
−−−∫∫∫
[ ] L2xdx2 2
1dx
L
xncos
L
xmcos0nm L
L
L
L
L
L
===
π
π⇒== −
−−∫∫
(d)
≠=
≠=
∫−
0nm se L,
nm se 0,dx
L
xnsen
L
xmsen
L
L
ππ (o produto de duas funções ímpares é par)
21
( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos2
1vsenusen : que Lembrando +−−=
( ) ( )nm se 0dx
L
xnmcos
L
xn-mcos
2
1dx
L
xnsen
L
xmsen
L
L
L
L
≠=
π+−
π=
π
π
∫∫−−
[ ] Lx2
1dx
2
1dx
L
xn2cos1
2
1dx
L
xnsen0nm L
L
L
L
L
L
L
L
2 ===
π−=
π⇒≠= −
−−−∫∫∫
0dx0 2
1dx
L
xnsen
L
xmsen0nm
L
L
L
L
==
π
π⇒== ∫∫
−−
(e) 0dxL
xnsen
L
xmcos
L
L
=
∫−
ππ (o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) 0dx
L
xm-nsen
L
xmnsen
2
1dx
L
xncos
L
xmsen
vusenvusen2
1vcosusen : que Lembrando
L
L
L
L ∫∫−−
=
+
+=
−++=
ππππ
Observações: 1a) Os resultados encontrados anteriormente continuam válidos quando os limites de integração –L e L são substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc ∈ . 2a) Funções ortogonais Definição 1: O produto interno ou produto escalar de duas funções ( )xf e ( )xg em um intervalo [a,b] é o número
( ) ( ) ( )∫=
b
a
dx xgxf g|f .
Definição 2: Duas funções f e g são ortogonais em um intervalo [ ]b,a se
( ) ( ) ( ) 0dx xgxf g|f
b
a
== ∫ .
Assim, as funções ( )
=
L
xnsenxf
π e ( )
=
L
xncosxg
π são ortogonais no intervalo ( )L,L− .
22
2.3 – Série de Fourier
2.3.1 – Definição Seja a função f(x) definida no intervalo ( )L,L− e fora desse intervalo definida como
( ) ( )xfL2xf =+ , ou seja, ( )xf é 2L-periódica. A série de Fourier ou a expansão de Fourier correspondente a f(x) é dada por
∑∞
=
+
+
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
a ππ
sendo que os coeficientes de Fourier nn0 b e a ,a são dados pelas expressões a seguir.
( )∫−
=
L
L
0 dxxf L
1a
( )∫−
=
L
L
n dxL
xncosxf
L
1a
π
( )∫−
π=
L
L
n dxL
xnsen xf
L
1b
2.3.2 – Coeficientes Se a série
∑∞
=
+
+
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaA
ππ
converge uniformemente para ( )xf em ( )L,L− , mostre que, para K,3,2,1n = ,
1. ( )∫−
=
L
L
n dxL
xncosxf
L
1a
π;
2. ( )∫−
π=
L
L
n dxL
xnsen xf
L
1b ;
3. 2
aA 0= .
23
1. Multiplicando ( ) ∑∞
=
+
+=
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaAxf
ππ por
L
xmcos
π e integrando de –L
a L, obtemos:
( )
∑ ∫∫
∫∫∞
=
=
−−
−−
π
π+
π
π+
+
π=
π
1n
m,,1,2,3,n II
L
L
n
L
L
n
I
L
L
L
L
dxL
xnsen
L
xmcosbdx
L
xncos
L
xmcosa
dxL
xmcosAdx
L
xmcosxf
4444444444444 34444444444444 21
444 3444 21
KK
Considerando 0≠m em I e mn = em II:
( ) LadxL
xmcosxf m
L
L
=
π
∫−
( )∫−
π=
L
L
m dxL
xmcosxf
L
1a ou ( )∫
−
π=
L
L
n dxL
xncosxf
L
1a
Para 0n = , ( )∫−
=
L
L
0 dxxf L
1a . (2.3.2.1)
2. Multiplicando ( ) ∑∞
=
+
+=
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaAxf
ππ por
L
xmsen
π e integrando de –L
a L, obtemos:
( )
∑ ∫∫
∫∫∞
=
=
−−
−−
π
π+
π
π+
+
π=
π
1n
m,,1,2,3,n I
L
L
n
L
L
n
L
L
L
L
dxL
xnsen
L
xmsenbdx
L
xncos
L
xmsena
dxL
xmsenAdx
L
xmsen xf
4444444444444 34444444444444 21KK
Considerando mn = em I:
24
( ) LbdxL
xmsen xf m
L
L
=
π
∫−
( )∫−
π=
L
L
m dxL
xmsen xf
L
1b ou ( )∫
−
π=
L
L
n dxL
xnsen xf
L
1b
3. Integrando ( ) ∑∞
=
+
+=
1n
nn L
xnsenb
L
xncosaAxf
ππ de –L a L, obtemos:
( ) ∑ ∫∫∫∫∞
=−−−−
+
+=
1n
L
L
n
L
L
n
L
L
L
L
dxL
xnsenbdx
L
xncosadx Adxxf
ππ
Para ,,3,2,1n K= obtemos:
( ) AL2dxxf L
L
=∫−
( ) dxxf L2
1A
L
L ∫−
= (2.3.2.2)
Comparando (2.3.2.1) e (2.3.2.2), concluímos que 2
aAAL2La 0
0 =⇒= .
Observação: Os resultados encontrados continuam válidos quando os limites de integração –L e L são substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc ∈ .
Teorema 1: Se ( )∑∞
=1n
n xu e ( )∑∞
=1n
n xv são uniformemente convergentes em bxa ≤≤ e se
( )xh é contínua em bxa ≤≤ , então as séries ( ) ( )[ ]∑∞
=
+
1n
nn xvxu , ( ) ( )[ ]∑∞
=
−
1n
nn xvxu ,
( ) ( )[ ]∑∞
=1
n
n xuxh e ( ) ( )[ ]∑∞
=1n
n xv xh são uniformemente convergentes em bxa ≤≤ .
Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 393.
25
Teorema 2: Toda série trigonométrica uniformemente convergente é uma série de Fourier. Mais precisamente, se a série
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa2
a332211
0
converge uniformemente a ( )xf para todo x , então ( )xf é contínua para todo x , ( )xf tem período
π2 e a série trigonométrica é a série de Fourier de ( )xf .
2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes Uma função é seccionalmente contínua ou contínua por partes em um intervalo βα ≤≤ t se este intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos em cada um dos quais a função é contínua e tem limites, à direita e à esquerda, finitos. Exemplo
Figura 2: Função seccionalmente contínua – [13].
2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemático alemão.
Suponha que: (1) ( )xf é definida em ( )L,L− , exceto em um número finito de pontos; (2) ( )xf é 2L-periódica fora de ( )L,L− ; (3) ( )xf e ( )xf ' são seccionalmente contínuas em ( )L,L− . Então, a série
∑∞
=
+
+
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
a ππ,
26
com coeficientes de Fourier, converge para: (a) f(x), se x é um ponto de continuidade;
(b) ( ) ( )
2
xfxf −+ +, se x é um ponto de descontinuidade.
Observações: 1a) ( )+xf e ( )−xf representam os limites laterais de f(x), à direita e à esquerda, respectivamente. ( ) ( )hxflimxf
0h+=
+→+ e ( ) ( )hxflimxf
0h−=
+→−
2a) As condições (1), (2) e (3) impostas a f(x) são suficientes para a convergência, porém não necessárias. Demonstração: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. 2a ed. Porto Alegre: Bookman. Teorema fundamental: Seja ( )xf uma função definida e muito lisa por partes no intervalo
π≤≤π− x e seja ( )xf definida fora desse intervalo de tal modo que tenha período π2 . Então a série
de Fourier de ( )xf converge uniformemente a ( )xf em todo intervalo fechado que não contenha
descontinuidades de ( )xf . Em cada descontinuidade 0x , a série converge para
( ) ( )
+
−→+→xflimxflim
2
100 xxxx
.
Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 461. Observação: Uma função contínua por partes é lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada primeira contínua; é muito lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada segunda contínua. Teorema da unicidade: Sejam ( )xf1 e ( )xf2 funções seccionalmente contínuas no intervalo
π≤≤π− x , de modo que ambas tenham os mesmos coeficientes de Fourier. Então, ( ) ( )xfxf 21 = , exceto talvez nos pontos de descontinuidade. Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 456.
27
2.4 – Série de Fourier de uma função periódica dada
Exemplo 1
Seja ( )
<<
<<=
5x0 se 3,
0x5- se ,0xf , ( ) ( )10xfxf += .
a) Construa o gráfico de f(x).
Figura 3: Gráfico de ( )
<<
<<=
5x0 se 3,
0x5- se ,0xf , ( ) ( )10xfxf += .
b) f(x) satisfaz às condições de Dirichlet?
• ( )xf é definida em ( )5,5− , exceto em 0x = (há um número finito de descontinuidades no intervalo);
• ( )xf é periódica de período fundamental 10P = , isto é, ( ) ( )10xfxf += ;
• ( )xf e ( )xf ' são seccionalmente contínuas em ( )5,5− .
Assim, a série de Fourier converge para ( )xf nos pontos de continuidade e para 2
3 (média
dos limites laterais) nos pontos de descontinuidade.
c) Determine a série de Fourier correspondente a f(x). 5L10L2P =⇒==
( ) [ ] ( ) 3055
3x
5
3dx3 dx0
5
1dxxf
L
1a 5
0
5
0
0
5
L
L
0 =−==
+== ∫∫∫
−−
3a 0 =
28
( )
π+
π=
π= ∫∫∫
−−
5
0
0
5
L
L
n dx5
xncos3dx
5
xncos0
5
1dx
L
xncosxf
L
1a
( ) ( )[ ] 00sennsenn
3
5
xnsen
n
5
5
3a
5
0
n =−ππ
=
π
π=
0a n =
( )
π+
π=
π= ∫∫∫
−−
5
0
0
5
L
L
n dx5
xnsen3dx
5
xnsen0
5
1dx
L
xnsenxf
L
1b
( ) ( )[ ] ( )[ ]π−π
=−ππ
−=
π
π−= ncos1
n
30cosncos
n
3
5
xncos
n
5
5
3b
5
0
n
( )[ ] ( )[ ]11n
311
n
3b 1nn
n +−π
=−−π
=+
( )[ ]11n
3b 1n
n +−π
=+
Série de Fourier de ( )xf :
( ) ( )∑∞
=
+
π+−
π+=
1n
1n
5
x nsen
n
113
2
3xf
( )
+
π+
π+
π+
π
π+= K
5
x7sen
7
2
5
x5sen
5
2
5
x3sen
3
2
5
xsen
1
23
2
3xf
( )
+
π+
π+
π+
π
π+= K
5
x7sen
7
1
5
x5sen
5
1
5
x3sen
3
1
5
xsen
6
2
3xf
( ) ( )∑∞
=
π−
−π+=
1n5
x1n2sen
1n2
16
2
3xf
29
(a) (b) Figura 4: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com 19n = ; (b) expansão de f(x) em série de Fourier com 49n = . d) Redefina f(x) para que a série de Fourier venha a convergir para f(x) em 5x5 ≤≤− .
( )
=
<<
=
<<
=
=
5 x,23
5x0 3,
0 x,23
0x5- 0,
-5 x,23
xf
Exemplo 2 Seja ( ) π2x0 ,xxf 2 <<= , ( ) ( )π+= 2xfxf . a) Esboce o gráfico de f(x).
Figura 5: Gráfico de ( ) π2x0 ,xxf 2 <<= , ( ) ( )π+= 2xfxf .
30
b) Expanda f(x) em uma série de Fourier. π=⇒π== L2L2P Lembre-se de que a função está definida em ( )L2,0 , e não em ( )L,L− .
( ) ( )3
808
3
1
3
x1dx x
1dxxf
L
1a
23
2
0
32
0
2
L2c
c
0
π=−π
π=
π=
π==
ππ+
∫∫
3
8a
2
0
π=
( ) ( )∫∫π+
π=
π=
2
0
2
L2c
c
n dxnxcos x1
dxL
xncosxf
L
1a (2.4.1)
Usando integração por partes, temos que:
∫∫ −= vduuvudv
( ) ( )n
nxsen v,dxnxcosdv 2xdx,du ,xu 2 ====
( ) ( ) ( )∫ ∫−= dxnxsen xn
2
n
nxsenxdxnxcosx
22
( ) ( )n
nxcos v,dxnxsendv dx,du ,xu −====
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
+−−= dxnxcos
n
1
n
nxcosx
n
2
n
nxsenxdxnxcosx
22
( ) ( ) ( ) ( )∫ +−+= C
n
nxsen2
n
nxcosx2
n
nxsenxdxnxcosx
32
22
Voltando a (2.4.1), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )ππ
−+
π=
π= ∫
2
032
22
0
2n
n
nxsen2
n
nxcosx2
n
nxsenx1dxnxcos x
1a
31
22n n
40
n
41a =
−
π
π=
2n
n
4a =
( ) ( )∫∫π+
π=
π=
2
0
2
L2c
c
n dxnxsen x1
dxL
xnsenxf
L
1b (2.4.2)
Usando integração por partes, temos que:
( ) ( )n
nxcos v,dxnxsendv 2xdx,du ,xu 2 −====
( ) ( ) ( )∫ ∫+−= dxnxcos xn
2
n
nxcosxdxnxsenx
22
( ) ( )n
nxsen v,dxnxcosdv dx,du ,xu ====
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
−+−= dxnxsen
n
1
n
nxsen x
n
2
n
nxcosxdxnxsenx
22
( ) ( ) ( ) ( )∫ +++−= C
n
nxcos2
n
nxsen x2
n
nxcosxdxnxsenx
32
22
Voltando a (2.4.2), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )ππ
++−
π=
π= ∫
2
032
22
0
2n
n
nxcos2
n
nxsen x2
n
nxcosx1dxnxsen x
1b
n
4
n
2
n
2
n
41b
33
2
n
π−=
−+
π−
π=
n
4bn
π−=
32
Série de Fourier de ( )xf :
( ) ( ) ( )∑∞
=
π−+
π=
1n
2
2
n
nxsen
n
nxcos4
3
4xf (2.4.3)
Em 0x = , (2.4.3) converge para a média dos limites laterais, ou seja
22
22
04π=
+π.
Figura 6: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com 10n = ; (b) expansão de f(x) em série de Fourier com 20n = .
c) Usando a série de Fourier de f(x), prove que 64
1
3
1
2
11
n
1 2
222
1n
2
π=++++=∑
∞
=
L .
Considerando 0x = em (3), temos que:
∑∞
=
+π
=π
1n
2
22
n
14
3
42
3
2
3
42
n
14
222
1n
2
π=
π−π=∑
∞
=
33
( )
>
≤≤+−
<+
=
3x ,x
1
3x1 ,4x
1x ,2x
xf
2
6n
1 2
1n
2
π=∑
∞
=
Observações: 1a) Comando do winplot para uma função definida por várias sentenças:: joinx( ) Exemplo
joinx
+−+
x
1,3|4x,1|2x 2
2a) Comando do winplot para uma soma: sum(f(n,x),n,a,b): soma de ( )x,nf de an = até bn = Exemplo
( ) ( )∑∞
=
+π
=
1n
nx2senn
14xf
(4/pi)+sum((1/n)*sin(2*n*x),n,1,100)
34
Exercícios 01. Seja ( ) π+= xxf , ππ <<− x , uma função π2 -periódica. a) Verifique se ( )xf satisfaz às condições de Dirichlet. b) Expanda ( )xf em uma série de Fourier.
R.: ( ) ( ) ( )∑∞
=
+−
+=
1n
1n
nxsenn
12xf π
c) Mostre que ( )
412
1
1
1π
=−
−∑
∞
=
+
n
n
n.
d) Como ( )xf deveria ser definida em π−=x e π=x para que a série de Fourier convergisse para
( )xf em ππ ≤≤− x ? e) Plote simultaneamente o gráfico de ( )xf e da série de Fourier que converge para ela. 02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. (a) (b)
Figura 7: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com 5n = .
R.: ( ) ∑∞
=
−
+=
1n
22 2
xncos
n
2
ncos1
8
2
1xf
π
π
π
35
03. Seja o sinal representado no gráfico abaixo.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 8: Sinal.
a) Determine a série de Fourier correspondente ao sinal.
R.: ( ) ( ) ( )∑∞
=
+
π+−
π+=
1n
1n
xnsenn
1141xf
b) Para quanto converge a série de Fourier do sinal em 1x = ? E em 2x = ? R.: 1 c) Use a série de Fourier determinada em (a) para calcular para quanto converge a série numérica
∑∞
=1n
2n
1.
R.: 6
2π
d) Plote simultaneamente os gráficos de ( )xf e da série de Fourier de ( )xf .
2.5 – Funções pares e funções ímpares
Uma função f(x) é par se
( ) ( )xfxf =− . Assim, ( ) 2
1 xxf = , ( ) 5x4x2xf 262 +−= , ( ) ( )xcosxf3 = e ( ) xx
4 eexf −+= são funções pares.
36
Figura 9: Gráfico da função ( ) xx eexf −+= .
Uma função f(x) é ímpar se
( ) ( )xfxf −=− .
Assim, ( ) 3
1 xxf = , ( ) x2x3xxf 352 +−= , ( ) ( )xsenxf3 = e ( ) ( )x3tgxf 4 = são funções ímpares.
Figura 10: Gráfico da função ( ) x2x3xxf 35 +−= .
Teorema – Propriedades das funções pares e ímpares (a) O produto de duas funções pares é par. (b) O produto de duas funções ímpares é par. (c) O produto de uma função par e uma função ímpar é ímpar. (d) A soma (ou diferença) de duas funções pares é par.
37
(e) A soma (ou diferença) de duas funções ímpares é ímpar.
(f) Se f é par, então ( ) ( )∫∫ =−
a
0
a
a
dxxf 2dxxf .
(g) Se f é ímpar, então ( ) 0dxxf a
a
=∫−
.
Demonstração Seja ( ) ( ) ( )xg xfxF = . (a) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares. Assim:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) par é xF
xFxg xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
==−=−
==−
b) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares. Logo:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) par é xF
xFxg xf xg-xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
==−=−=−
−=−=−
(c) Suponhamos f(x) par e g(x) ímpar. Então:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ímpar é xF
xFxg xf xg-xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
−=−==−=−
−==−
Seja ( ) ( ) ( )xg xfxF ±= . (d) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares. Dessa forma:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) par é xF
xF xgxfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
=±=±−=−
==−
(e) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares. Assim:
38
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ímpar é xF
xFxgxf xgxfx-g xfxF
ímpar é xF
xFxgxf xgxfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
−=−−=+−=−−=−
∴
−=+−=−−=+−=−
−=−=−
(f) f(x) é par ( ) ( )xfxf =−⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
=+=+=
=−=−−=
−−
−
a
0
a
0
a
0
a
0
0
a
a
a
a
0
a
0
0
a
0
a
dxxf 2dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf
dxxf dxxf dxxf dxxf
(g) f(x) é ímpar ( ) ( )xfxf −=−⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf
dxxf dxxf dxxf dxxf
a
0
a
0
a
0
0
a
a
a
a
0
a
0
0
a
0
a
=+−=+=
−=−=−−=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
−−
−
Exemplo
( ) ( ) ( ) ] [∞∞∈= ,- x,x3senx2cosxxf 5
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( )
( )xf
x3senx2cosx
x3senx2cos-x
x3senx2cosxxf
5
5
5
=
=
−=
−−−=−
( )xf é função par Exercícios Verifique a paridade das seguintes funções: 01. ( ) ( ) ( )x4cosxsenxf = , ] [∞∞−∈ ,x 02. ( ) ( ) ( )x5cosx2cosxf = , ] [∞∞−∈ ,x 03. ( ) ( ) ( )xsenx3senxf = , ] [∞∞−∈ ,x 04. ( ) ( ) ( ) ( )x2senxcosx5senxf = , ] [∞∞−∈ ,x
39
05. ( ) ( )x2senxxf 4= , ] [∞∞−∈ ,x 06. ( ) ( )x3cosxxf 2= , ] [∞∞−∈ ,x 07. ( ) ( ) ( )x4senxcosxxf 7= , ] [∞∞−∈ ,x 08. ( ) ( ) ( )x2cos2xxf += , ] [∞∞−∈ ,x 09. ( ) ( )xsenexf x= , ] [∞∞−∈ ,x 10. ( ) ( ) ( ) ( )xsenx3coseexf xx −+= , ] [∞∞−∈ ,x 11. ( ) xexxf += , ] [∞∞−∈ ,x
12. ( )x
1xf = , ] [ ] [∞∪∞−∈ ,00,x
13. ( ) ( ) ( ) ( )x8cosx10seneex
1xf xx
2−+= , ] [ ] [∞∪∞−∈ ,00,x
14. ( ) ( ) ( ) ( )x3senxcoseexf xx −−= , ] [∞∞−∈ ,x
2.6 – Série de Fourier de cossenos
Se f(x) é uma função par em ( )L,L− , então temos que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0dxL
xnsenxf
L
1b
dxL
xncosxf
L
2 xd
L
xncosxf
L
1a
dxxf L
2dxxf
L
1a
L
L
ímpar função
n
L
0
L
L
par função
n
L
0
L
L
0
=
=
=
=
==
∫
∫∫∫∫
−
−
−
44 344 21
44 344 21
π
ππ
Série de Fourier de cossenos: ( ) ∑∞
=
+=
1n
n0
L
xncosa
2
axf
π
Exemplos
01. Expanda ( )
<<
<<−=
2x0 se x,
0x2- se ,xxf , ( ) ( )4xfxf += , em uma série de Fourier de cossenos.
40
R.: ( ) ( )∑∞
=
−−+=
1n
2
n
2 2
xncos
n
1141xf
π
π
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 11: Gráfico da função ( )
<<
<<−=
2x0 se x,
0x2- se ,xxf , 22 <<− x , ( ) ( )4xfxf += , expandida em
série de Fourier de cossenos com 5n = e 100n = .
02. Mostre que ( )∑
∞
=
=−
1n
2
2 81n2
1 π.
03. Determine para quanto converge a soma ( )∑
∞
=1n
2n2
1. R.:
24
2π
2.7 – Série de Fourier de senos
Se f(x) é uma função ímpar em ( )L,L− , então temos que:
( )
( ) 0 xdL
xncosxf
L
1a
0dxxf L
1a
L
L ímpar função
n
L
L
0
=
=
==
∫∫
−
−
44 344 21
π
41
( ) ( )∫∫
=
=
−
L
0
L
L par função
n dxL
xnsenxf
L
2dx
L
xnsenxf
L
1b
ππ
44 344 21
Série de Fourier de senos: ( ) ∑∞
=
=
1n
n L
xnsenbxf
π
Exemplo Expanda ( ) 2x2- ,xxf <<= , ( ) ( )4xfxf += , em uma série de Fourier de senos.
R.: ( ) ( )∑∞
=
+
−=
1n
1n
2
xnsen
n
14xf
π
π
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 12: Gráfico da função ( ) xxf = , 22 <<− x , ( ) ( )4xfxf += , expandida em série de Fourier de
senos com 10n = e 100n = .
Exercícios 01. Seja ( ) 3x3- ,x2xf <≤= , ( ) ( )6xfxf += . a) Desenvolva f(x) em uma série de Fourier.
R.: ( ) ( )∑∞
=
+
−=
1n
1n
3
xnsen
n
112xf
π
π
42
b) Determine para quanto converge a série ( )∑
∞
=
+
−
−
1n
1n
1n2
1.
R.: 4π 02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. (a) (b)
Figura 13: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com cinco harmônicos.
R.: ( ) ∑∞
=
−
+=
1n
22 2
xncos
n
12
ncos
8
2
3xf
π
π
π
03. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. (a) (b)
Figura 14: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com vinte harmônicos.
43
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
R.: ( )( )
∑∞
=
−−
=
1n
n
2
xnsen
n2
nsen
n
21
6xf
π
π
π
π
04. Seja ( )
<≤
≤≤
≤≤
≤<
=
4x2 4,
2x0 2,-3x
0x2- 2,-3x-
-2x4- ,4
xf , ( ) ( )8xfxf += . Determine a série de Fourier de ( )xf .
R.: ( ) ∑∞
=
−
+=
1n
22 4
xncos
n
12
ncos
24
2
5xf
π
π
π
05. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2sen xxf =π+π<<π= , representada graficamente abaixo.
Figura 15: Gráfico de ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2sen xxf =π+π<<π= .
a) Determine a série de Fourier de ( )xf .
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
+
−
−−−+−=
3n
2
1n
nxcos4n
14x2cos
4
1xcos
3
4
2
1xf
b) Empregando (a), calcule para quanto converge a série numérica
( )( )
K+−+−+−=+
−∑∞
=
+
10.6
1
9.5
1
8.4
1
7.3
1
6.2
1
5.1
1
4nn
1
1n
1n
.
R.: 48
7
44
06. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x3cosxxf/RR:f =π+π<<π=→ . a) Calcule a série de Fourier de ( )xf .
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )∑∞
=+−
−+−−=
4n
n
nxsen3n3n
1n2x3sen
6
1x2sen
5
4xsen
4
1xf
b) Determine para quanto converge a série numérica
( ) ( )( )
K+−+−+−=+
+−∑∞
=
+
9.6
15
8.5
13
7.4
11
6.3
9
5.2
7
4.1
5
3nn
3n21
1n
1n
.
R.: 6
5
2.8 – O fenômeno de Gibbs
Josiah Willard Gibbs (1839-1903): matemático e físico teórico norte americano. Principais contribuições: análise vetorial e mecânica estatística. O fenômeno de Gibbs descreve a maneira peculiar como a série de Fourier truncada de uma função ( )xf periódica e seccionalmente contínua se comporta nas vizinhanças de uma descontinuidade dessa função. A n-ésima soma parcial da série de Fourier apresenta oscilações de maior amplitude nas proximidades de uma descontinuidade. A amplitude dessas oscilações não diminui com o aumento do número de harmônicos, porém tende a um limite. Há uma estimativa para a amplitude das oscilações nas proximidades de uma descontinuidade 0x dada por
( ) ( )[ ]- 0 0 xfxf09,0 −+ .
A Figura 16 ilustra o fenômeno de Gibbs para a onda quadrada.
Onda quadrada: ( )
<<
<<=
1x0 1
0x1- 0
,
,xf , ( ) ( )xfxf =+ 2 .
Série de Fourier da onda quadrada: ( ) ( ) ( )∑∞
=
+
π+−
π+=
1n
1n
xnsenn
111
2
1xf
45
−1 1
1
x
y
Figura 16: Série de Fourier da onda quadrada ( )
<<
<<=
1x0 1
0x1- 0
,
,xf , ( ) ( )xfxf =+ 2 , com 5n = ,
10n = , 20n = e 100n = . Exercício Pesquise a respeito dos seguintes aspectos do fenômeno de Gibbs: a) amplitude das oscilações; b) como minimizar os efeitos do fenômeno de Gibbs; c) consequências do fenômeno de Gibbs associadas principalmente à compactação de imagens e de áudio; d) associe os fenômenos de Gibbs e de Runge (interpolação polinomial).
2.9 – A identidade de Parseval para séries de Fourier
Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836): matemático francês. Se na e nb são os coeficientes de Fourier correspondentes a ( )xf , e se ( )xf satisfaz as condições de Dirichlet, então
( )[ ] ( )∑∫∞
=−
++=
1n
2n
2n
20
L
L
2 ba2
adxxf
L
1.
46
Demonstração Assumimos que a série de Fourier correspondente a ( )xf converge uniformemente para ( )xf
em ( )L,L− e que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) LbdxL
xnsenxf dx
L
xnsenxf
L
1b
L a dxL
xncosxf dx
L
xncosxf
L
1a
Ladxxf dxxf L
1a
n
L
L
L
L
n
n
L
L
L
L
n
0
L
L
L
L
0
=
⇒
=
=
⇒
=
=⇒=
∫∫∫∫∫∫
−−
−−
−−
ππ
ππ
Dessa forma, multiplicando
( ) ∑∞
=
+
+=
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
axf
ππ
por ( )xf e integrando termo a termo de –L a L, temos que:
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )∑∫
∑∫
∑∫
∑ ∫∫∫∫
∞
=−
∞
=−
∞
=−
∞
=−−−−
++=
++=
++=
+
+=
1n
2n
2n
20
L
L
2
1n
2n
2n
20
L
L
2
1n
nnnn00
L
L
2
1n
L
L
n
L
L
n
L
L
0
L
L
2
ba2
adxxf
L
1
ba2
aLdxxf
LbbLaaLa2
adxxf
dxL
xnsenxfbdx
L
xncosxfadxxf
2
adxxf
ππ
Aplicações
• Convergência de séries. • Verificar se uma série trigonométrica é a série de Fourier de uma função f(x).
47
Exercício
Seja ( )
<<
<<−=
2x0 se x,
0x2- se ,xxf , ( ) ( )4xfxf += . Determine a identidade de Parseval correspondente à
série de Fourier de f(x).
R.: ( ) 967
1
5
1
3
11
1n2
1 4
444
1n
4
π=++++=
−∑∞
=
L (2.9.1)
2.10 – Convergência de séries numéricas através da série de Fourier
Exemplo Empregando a identidade de Parseval determinada anteriormente, mostrar que
90n
1 4
1n
4
π=∑
∞
=
e ( ) 1440n2
1 4
1n
4
π=∑
∞
=
.
( )
( )6159615
16
n
1
96n
1
16
15
96n
1
16
11
n
1
16
1
96n
1
4
1
3
1
2
11
2
1
1n2
1
n
1
6
1
4
1
2
1
7
1
5
1
3
11
n
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
n
1
44
1n
4
4
1n
4
4
1n
4
1n
4
4
1n
4
4444
1n
4
1n
4
444444
1n
4
444444
1n
4
ππ
π
π
π
==
=
=
−
+=
+++++
−=
++++
++++=
+++++++=
∑
∑
∑
∑∑
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
L
LL
L
48
90n
1 4
1n
4
π=∑
∞
=
(2.10.1)
Empregando (2.9.1) e (2.10.1), temos que:
( )
( )
( ) 1440n2
1
1440
1516
9690n2
1
8
1
6
1
4
1
2
1
n2
1
4
1n
4
4444
1n
4
4444
1n
4
π
ππππ
=
−=−=
++++=
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
L
2.11 – Derivação e integração da série de Fourier
Teorema 1: Se ( ){ } K1,2,3,n ,xu n = , forem contínuas em [ ]b,a e se ( )∑∞
=1n
n xu convergir
uniformemente para a soma ( )xS em [ ]b,a , então
( ) ( )∑ ∫∫∞
=
=
1n
b
a
n
b
a
dxxu dxxS ou ( ) ( )∑ ∫∫ ∑∞
=
∞
=
=
1n
b
a
n
b
a 1n
n dxxu dxxu .
Assim, uma série uniformemente convergente de funções contínuas pode ser integrada termo a termo. Teorema 2: Se ( ){ } K1,2,3,n ,xu n = , forem contínuas e tiverem derivadas contínuas em [ ]b,a
e se ( )∑∞
=1n
n xu convergir para ( )xS enquanto ( )∑∞
=1n
'n xu é uniformemente convergente em [ ]b,a ,
então em [ ]b,a
( ) ( )∑∞
=
=
1n
'n
' xuxS ou ( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
=
1n
n
1n
n xudx
dxu
dx
d.
Dessa forma, a série pode ser derivada termo a termo. Observação: Os teoremas 1 e 2 oferecem condições suficientes, porém não necessárias.
49
Teorema 3: A série de Fourier correspondente a f(x) pode ser integrada termo a termo de a a x,
e a série resultante convergirá uniformemente para ( )∫x
a
duuf desde que f(x) seja seccionalmente
contínua em LxL ≤≤− e ambos, a e x, pertençam a esse intervalo. Exemplo Seja ( ) 2x2- ,xxf <<= .
a) Obtenha uma série de Fourier para ( ) 2x0 ,xxf 2 <<= , integrando a série de Fourier
( ) ( )∑∞
=
+
−==
1n
1n
2
xnsen
n
14xxf
π
π.
b) Use a série obtida anteriormente para mostrar que ( )∑
∞
=
+
=−
1n
2
2
1n
12n
1 π.
a) ( ) ( )∑∞
=
+
−==
1n
1n
2
xnsen
n
14xxf
π
π
( )
( )
+
−
+
−
==
+
−
+
−
==
L
L
2
u 4sen
4
1
2
u 3sen
3
1
2
u 2sen
2
1
2
u sen
4uuf
2
x 4sen
4
1
2
x 3sen
3
1
2
x 2sen
2
1
2
x sen
4xxf
ππππ
π
ππππ
π
Integrando a igualdade anterior de 0 a x, temos que:
+
π−
π+
π−
π
π−=
+
π−
π+
π−
π
π−=
+
π
π+
π
π−
π
π+
π
π−
π+=
++
π
π++
π
π−+
π
π++
π
π−
π=
+
π−
π+
π−
π
π= ∫∫∫∫∫
L
L
L
444444444444444444 3444444444444444444 21
L
L
2
x 4cos
4
1
2
x 3cos
3
1
2
x 2cos
2
1
2
x cos
16Cx
2
x 4cos
4
1
2
x 3cos
3
1
2
x 2cos
2
1
2
x cos
8C
2
x
2
x 4cos
4
2
2
x 3cos
3
2
2
x 2cos
2
2
2
x cos
24C
2
x
C2
x 4cos
4
2C
2
x 3cos
3
2C
2
x 2cos
2
2C
2
x cos
24
2
x
du2
u 4sen
4
1du
2
u 3sen
3
1du
2
u 2sen
2
1du
2
u sen
4udu
22222
2222'
2
222'
2
)1(
4232221
2
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0
50
Em (1), se a soma ∞<++=∑∞
=
K21
1i
i CCC for conhecida, podemos usá-la para determinar 0a .
( )3
4
3
8
2
1
3
x
2
1dxx
2
1dxxf
L
1
2
aC
2
0
32
0
2
2
0
0 =⋅=
==== ∫∫
Logo:
2
x 4cos
4
1
2
x 3cos
3
1
2
x 2cos
2
1
2
x cos
16
3
4x
22222
+
−
+
−
−= L
ππππ
π
( ) ( )∑∞
=
+
−−==
1n
2
1n
22
2
xncos
n
116
3
4xxf
π
π (2.11.1)
b) Considerando 0x = em (2.11.1):
( )
( )
( )
( )
( )12n
1
n
1
163
4
n
116
3
4
n
116
3
40
n
116
3
4x
2
1n
2
1n
1n
2
1n2
1n
2
1n
2
1n
2
1n
2
1n
2
1n
22
π
π
π
π
π
=−
−=⋅
−−=−
−−=
−−=
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
+
∞
=
+
∞
=
+
∞
=
+
∞
=
+
2.12 – A forma exponencial (ou complexa) da série de Fourier
a) Mostrar que ( ) ∑∞
=
+
+=
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
axf
ππ pode ser escrita na forma
complexa ( ) ∑∞
−∞=
=
n
L
x ni
necxfπ
.
51
b) Mostrar que os coeficientes de Fourier nn0 b e a ,a podem ser escritos como uma única
integral ( ) K3,2,1,0,n ,dxexf L2
1c
L
L-
L
x ni
n ±±±== ∫−
π
.
a) Recordando as identidades de Euler (Leonhard Euler (1707-1783): matemático suíço) ( ) ( )θθθ sen icose i ±=± Seja ( ) ( ) ( )[ ] xiexsen ixcosxf −+= . (2.12.1)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) xi xi eixsen ixcosexsen xcosixfdx
d −− −++−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xf0exsen xcosixsen xcosixfdx
d xi ⇒=+−−= − é constante
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 1e0sen i0cos0f 0i =+= − ( ) 1xf = Voltando a (2.12.1), temos que: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) xi xi exsen ixcosexsen ixcos1 =+⇒+= − Assim:
−
=
−+
−=
+
=
−
L
xnsen i
L
xncos
L
xnsen i
L
xncose
L
xnsen i
L
xncose
L
xni
L
xni
ππππ
ππ
π
π
As igualdades anteriores conduzem a:
i2
ee
L
xnsen
2
ee
L
xncos
L
xni
L
xni
L
xni
L
xni
ππ
ππ
π
π
−
−
−=
+=
Substituindo as igualdades acima na série de Fourier de ( )xf , temos que:
52
( )
( )
( )
( )
( ) ∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−−
∞
=
++
−+=
−+
++=
−+
++=
−
++
+=
+
+=
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
L
xni
n
L
xni
L
xni
n0
1n
nn0
e2
ibae
2
iba
2
axf
ei2
biae
i2
bia
2
axf
ei2
b
2
ae
i2
b
2
a
2
axf
i2
eeb
2
eea
2
axf
L
xnsenb
L
xncosa
2
axf
ππ
ππ
ππ
ππππ
ππ
Considerando 2
ibac nn
n
−= e cca
2
ibac nnn
nnn- −+=⇒
+= e ( )nnn ccib −−= :
( ) ∑∞
−∞=
π
=
n
ni
necxf L
x
2
ac0n 0
0 =⇒=
Exercício
Mostre que ( )
=
≠=∫
−
nm se 2L,
nm se ,0dxe
L
L-
L
x mni
π
b) Multiplicando ( ) ∑∞
−∞=
=
n
L
xni
necxfπ
por L
xmi
eπ
−
e integrando de –L a L, obtemos:
( )
( )( )
∑ ∫∫
∑ ∫∫∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−−
=
=
n
L
L-
L
x mni
n
L
L-
L
x mi
n
L
L-
L
x mi
L
x ni
n
L
L-
L
x mi
dxe cdxexf
dxee cdxexf
ππ
πππ
53
Considerando mn = :
( )
( )∫∫
−
−
=
=
L
L-
L
x ni
n
n
L
L-
L
x ni
dxexf L2
1c
L2cdxexf
π
π
Outra forma de mostrar:
( ) ( ) ( )
( )∫
∫∫
−
−−
−
=
−
=−=
L
L
n
L
L
L
L
nnn
dxL
xnsen i
L
xncosxf
L2
1c
dxL
xnsenxf
L
1idx
L
xncosxf
L
1
2
1iba
2
1c
ππ
ππ
( )∫−
−
=
L
L
L
xni
n dxexf L2
1c
π
( ) ( )2
acac2dxxf
L
1c2dxxf
L2
1c 0
000
L
L
0
L
L
0 =⇒=⇒=⇒= ∫∫−−
Exemplo ( ) 2L4P 2,x2- =⇒=<<= ,xxf
( )∫
−
−
=
L
L
L
xni
n dxexf L2
1c
π
∫∫−−
π−
π−
π==
2
2
2
2
ni
n dxn
senin
cosx4
1dxxe
4
1c
2
x
2
x
2
x (2.12.2)
∫∫
π−=
π−=
−
2
0
2
2
n dxn
xsen2
idx
nsenx
4
ic
2
x
2
x
Integrando por partes, temos que:
( )
π
π−−=
π
π+
π
π−−= ncos
n
4
2
insen
n
4ncos
n
x2
2
ic
2
022n
2
x
2
x
54
0c0n 0 =⇒= (substitua n por 0 em (2.12.2))
( ) ∑∞
−∞=
π
=
n
ni
n ecxf L
x
( ) ( ) ( )∑∑∞
−∞=
π∞
−∞=
π−
π=−
π=
n
ni
n
n
ni
en
1i2e1
n
i2xf 2
x
2
xn
Verificando a equivalência entre as formas exponencial e usual:
( ) ( )∑∞
−∞=
π−
π−
π=
n
n
2
xnsen
2
xncos i
n
12xf
Para n opostos, ( )
π−
2
x
n ncosi
n
1 se anula e
( )
π−
2
xnsen
n
1 n
duplica. Assim:
( ) ( )∑∞
=
+
π−
π=
1n
1n
2
xnsen
n
14xf
0dxx4
1c
2
0 == ∫−
2
Exercícios 01. Determine a série de Fourier na forma exponencial de ( ) xexf −= , π<<π− x , ( ) ( )π+= 2xfxf .
R.: ( ) ( ) ( )∑∞
−∞=
+
−
π
π=
n
inxn
ein1
1senhxf
02. Seja ( )
<<−
<<=
5x0 ,10
0x5- ,01 xf , ( ) ( )10xfxf += . Expanda ( )xf em série de Fourier na forma
exponencial.
( ) 0n ,1n
i2c n
n ≠−π
=
55
R.: ( ) ( )∑∞
−∞=
π+
=⇒=+−
π=
n
05
xni
1n
0c0n ,en
11i10xf ou ( )
( )
∑∞
−∞=
π−
−π=
n
5
x 1n2i
1n2
ei20xf
03. Seja ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2xf =π+π<<π= . a) Expanda ( )xf em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em
π±=x ?
R.: ( ) ( )0c0n ,e
n
1i 2xf 0
n
inxn
=⇒=−
= ∑∞
−∞=
Em π±=x a série de Fourier converge para a média dos limites laterais, ou seja, zero.
b) Use a série determinada no item a para calcular ∑∞
=1n
2n
1. R.:
6
2π
2.13 – Aplicações da série de Fourier na solução de equações diferenciais parciais
A série de Fourier surge na solução de equações diferenciais parciais, tais como a equação do calor, a equação da onda e a equação de Laplace.
2.13.1 – Equações diferenciais Uma equação diferencial é uma igualdade que relaciona uma função e suas derivadas (ou apenas as derivadas dessa função). Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma igualdade envolvendo as derivadas de uma função de uma única variável independente. Exemplos
( ) ( ) 0 t,0ty3
dt
tdy>=+ (1)
( ) ( ) ( ) 0 x,x2cos3xu4xu '' >π=− (2) Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma igualdade envolvendo as derivadas de uma função de duas ou mais variáveis independentes. Exemplos ( ) ( ) 0 t2,x0 ,t,xu2t,xu xxt ><<= (3)
56
( ) ( )
1y0 1,x0 ,xy2y
y,xu
x
y,xu2
2
2
2
<<<<=∂
∂+
∂
∂ (4)
( ) ( ) ( ) ( ) 0 t5,x1 ,t,xu t,xut,xut,xu xxxt ><<Γ=+ (5)
A ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada (simples ou parcial) de maior ordem que ocorre na equação. Uma equação diferencial é dita linear quando depende linearmente da função (variável dependente) envolvida e seus coeficientes independem dessa função. Uma equação diferencial é dita homogênea quando o termo que independe da função e de suas derivadas é identicamente nulo. Assim, nos exemplos dados anteriormente, temos em:
(1) uma EDO linear de 1a ordem homogênea;
(2) uma EDO linear de 2a ordem não homogênea;
(3) uma EDP linear de 2a ordem homogênea;
(4) uma EDP linear de 2a ordem não homogênea (equação de Poisson);
(5) uma EDP não linear de 2a ordem não homogênea (equação de Burger).
Na solução de equações diferenciais parciais podemos ter dois tipos de informações suplementares necessárias à unicidade de solução: condições iniciais e condições de contorno (domínios limitados). Dessa forma, teremos problemas de valor inicial, problemas de contorno ou problemas mistos (ambos).
Uma equação diferencial parcial de segunda ordem da forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Gy,xFy
y,xE
x
y,xD
y
y,xC
yx
y,xB
x
y,xA
2
22
2
2
=φ+∂
φ∂+
∂
φ∂+
∂
φ∂+
∂∂
φ∂+
∂
φ∂
é dita elíptica se 0AC4B2 <− , parabólica se 0AC4B2 =− e hiperbólica se 0AC4B2 >− .
2.13.2 – Equação do calor ( ) ( )t,xu t,xu xxt κ= (equação diferencial parcial parabólica)
A formulação matemática da equação do calor pode ser encontrada em FIGUEIREDO, D.G. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais, página 1.
Obtenha uma solução ( )t,xu para o problema misto abaixo.
57
( ) ( )( )( )
<
<<=
>==
<<>∂
∂=
∂
∂
limitada) (solução Mtx,u
2x0 ,xx,0u
0 t,0t,2ut0,u
2x0 0, t ,x
u3
t
u2
2
Solução: ( ) ( ) ( )tTxXt,xu = (separação de variáveis) (2.13.2.1) Substituindo (1) na equação diferencial parcial, obtemos:
( ) ( )XTx
3XTt 2
2
∂
∂=
∂
∂
2
2
dx
XdT3
dt
dTX =
22
2
dx
Xd
X
1
dt
dT
T3
1λ−== (2.13.2.2)
Pode-se mostrar que uma constante 0c ≥ em (2.13.2.2) não satisfaz as condições de contorno. Assim:
=+
=+
0Xdx
Xd
0T3dt
dT
22
2
2
λ
λ
(2.13.2.3)
A solução do sistema de equações diferenciais ordinárias (2.13.2.3) é:
( ) ( )x senBx cosAX
CeT
11
t3 2
λλ
λ
+=
= −
(2.13.2.4)
Substituindo (2.13.2.4) em (2.13.2.1), encontramos
( ) ( ) ( )[ ] constantes B eA , xBsen xcosAet,xu t3 2
λλλ += − . (2.13.2.5) Precisamos agora determinar A e B de tal maneira que (2.13.2.5) satisfaça as condições de
contorno.
( ) ( ) ( ) xsenBet,xu0A0Ae0t,0u t3t3 22
λλλ −− =⇒=⇒=⇒= (2.13.2.6)
( ) ( ) 02senBe0t,2u t3 2
=⇒= − λλ (2.13.2.7)
Como 0B = satisfaz (2.13.2.7) (não nos interessa a solução trivial), evitamos essa escolha ( ( ) 0t,xu = ). Consideremos então
58
( ) Zn ,2
nn202sen ∈=⇒=⇒=
πλπλλ . (2.13.2.8)
Substituindo (2.13.2.8) em (2.13.2.6):
( )
=
−
2
xnseneBt,xu 4
tn3
n
22
ππ
. (2.13.2.9)
Em (2.13.2.9), substituímos B por nB , indicando que constantes diferentes podem ser usadas
para diferentes valores de n. Lembrando que somas de soluções da forma (2.13.2.9) são também soluções (princípio da
superposição), podemos escrever (2.13.2.9) como:
( ) ∑∞
=
−
=
1n
4
tn3
n 2
xnseneBt,xu
22
ππ
. (2.13.2.10)
A solução (2.13.2.10) deve satisfazer também a condição inicial ( ) 2x0 ,x0,xu <<= .
Portanto, substituindo 0t = em (2.13.2.10), obtemos:
2x0 ,2
xnsenBx
1n
n <<
=∑
∞
=
π. (2.13.2.11)
Observe que (2.13.2.11) equivale a expandir ( ) xxf = , 2x2 <<− , em uma série de Fourier de
senos. Logo:
( ) ( ) ( ) 1nnn 1
n
41
n
4ncos
n
4B +
−π
=−π
−=ππ
−= . (questão resolvida anteriormente) (2.13.2.12)
Substituindo (2.13.2.12) em (2.13.2.10), chegamos à solução
( ) ( )∑∞
=
π−
+
π−
π=
1n
4
tn3
1n
2
xnsene
n
14t,xu
22
.
(2.13.2.13) Exercício Mostre que a solução (2.13.2.13) satisfaz a equação diferencial parcial, as condições de contorno e a condição inicial.
59
2.13.3 – Equação da onda ( ) ( )t,xu ct,xu xx
2tt = (equação diferencial parcial hiperbólica)
A formulação matemática da equação da onda pode ser encontrada em FIGUEIREDO, D.G. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais, página 130. Determine uma solução ( )t,xu para o seguinte problema misto.
( ) ( )( ) ( )( )
( )
<
<<=
<<=
>==
><<∂
∂=
∂
∂
M
00,x
xf
0t,Lux
ua
t
u2
22
2
2
tx,u
Lx0 u
Lx0 x,0u
0t t0,u
0t L,x0
t
Solução: ( ) ( ) ( )tTxXt,xu = (separação de variáveis) (2.13.3.1)
Substituindo (2.13.3.1) na equação diferencial parcial, obtemos:
( ) ( )XTx
aXTt 2
22
2
2
∂
∂=
∂
∂
2
22
2
2
dx
XdTa
dt
TdX =
22
2
2
2
2 dx
Xd
X
1
dt
Td
Ta
1λ−== (2.13.3.2)
=λ+
=λ+
0Xdt
Xd
0Tadt
Td
22
2
222
2
(2.13.3.3)
A solução do sistema de equações diferenciais ordinárias (2.13.3.3) é:
( ) ( )( ) ( )xsenBxcosBX
tasenAtacosAT
21
21
λ+λ=
λ+λ=. (2.13.3.4)
Substituindo (2.13.3.4) em (2.13.3.1), encontramos
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xsenBxcosBtasenAtacosAt,xu 2121 λ+λλ+λ= . (2.13.3.5)
60
Devemos agora determinar as constantes para que (2.13.3.5) satisfaça as condições de contorno e as condições iniciais. ( ) ( ) ( )[ ] 0000 1211 =⇒=λ+λ⇒= BtasenAtacosABt,u (a solução trivial não interessa)
(2.13.3.6)
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]tacosBtaAsenxsenxsenBtasenAtacosAt,xu λ+λλ=λλ+λ= 221 (2.13.3.7)
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 00 =λ+λλ⇒= tacosBtaAsenLsent,Lu (2.13.3.8)
( ) Zn 0 ∈π
=λ⇒π=λ⇒=λ ,L
nnLLsen (2.13.3.9)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]taBsenatacosAaxsent,xu t λλ−λλλ=
( ) ( ) 000 =⇒=λλ= AxAsena,xu t (2.13.3.10)
Substituindo (2.13.3.9) e (2.13.3.10) em (2.13.3.7), temos que:
( ) ( ) ( )tacosxBsent,xu λλ= ;
( ) ∑∞
=
π
π=
1n
n
ncos
nsenBt,xu
L
at
L
x. (2.13.3.11)
Em (2.13.3.11), acrescentamos o índice n à constante B pensando na superposição de soluções.
( ) ( ) ( )∑∞
=
=
π⇒=
1n
n xfn
senBxf0,xuL
x. (2.13.3.12)
Temos em (2.13.3.12) a expansão de f(x) em uma série de Fourier de senos. Logo:
( )∫
π=
L
0
n dxn
senxfL
2B
L
x. (2.13.3.13)
Substituindo (2.13.3.13) em (2.13.3.11), obtemos a solução procurada.
( ) ( )∑ ∫∞
=
π
π
π=
1n
L
0
ncos
nsendx
nsenxf
L
2t,xu
L
at
L
x
L
x
(2.13.3.14)
Exercício Mostre que a solução (2.13.3.14) satisfaz a equação diferencial parcial, as condições de contorno e as condições iniciais.
61
2.13.4 – Equação de Laplace ( ) ( ) 0y,xu y,xu yyxx =+ (equação diferencial parcial elíptica)
Obtenha uma solução ( )y,xu para o problema de contorno a seguir.
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
<
==
===
<<<<=∂
∂+
∂
∂
M
yfu
0,xuy,1u
y
u
x
u
1
2
2
2
2
tx,u
x,1u
0y0,u
1y0 1,x0 0
y u1 1 0 0 x 0 0 1
Figura 17: Condições de contorno para a equação de Laplace.
Solução: ( ) ( ) ( )yYxXy,xu = (separação de variáveis) (2.13.4.1)
Substituindo (2.13.4.1) na equação diferencial parcial, obtemos:
( ) ( ) 0XYy
XYx 2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
0dy
YdX
dx
XdY
2
2
2
2
=+
22
2
2
2
dy
YdX
dx
XdY λ−=−=
22
2
2
2
dy
Yd
Y
1
dx
Xd
X
1λ−=−= (2.13.4.2)
62
=λ−
=λ+
0Ydy
Yd
0Xdx
Xd
22
2
22
2
(2.13.4.3)
A solução do sistema de equações diferenciais ordinárias (2.13.4.3) é:
( ) ( )
( ) ( )ysenhBycoshAY
xsenBxcosAX
λ+λ=
λ+λ=
22
11 . (2.13.4.4)
Substituindo (2.13.4.4) em (2.13.4.1), encontramos
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ysenhBycoshAxsenBxcosAt,xu λ+λλ+λ= 2211 . (2.13.4.5)
Devemos agora determinar as constantes para que (2.13.4.5) satisfaça as condições de contorno.
( ) ( ) ( )[ ] 0000 1221 =⇒=λ+λ⇒= AysenhBycoshAAy,u (a solução trivial não interessa)
(2.13.4.6)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]yBsenhycoshAxsent,xu λ+λλ= (2.13.4.7)
( ) ( ) 0000 =⇒=λ⇒= AxAsen,xu (2.13.4.8)
( ) ( ) ( )ysenhxBsent,xu λλ= (2.13.4.9)
( ) ( ) ( ) ( ) Zn ,n 0001 ∈π=λ⇒=λ⇒=λλ⇒= senysenhBseny,u (2.13.4.10) Substituindo (2.13.4.10) em (2.13.4.9) e usando o princípio da superposição, temos que:
( ) ( ) ( )∑∞
=
ππ=
1n
n ynsenhxnsenBt,xu ; (2.13.4.11)
( ) ( ) ( ) 1
1n
n1 uxnsennsenhBu1,xu =ππ⇒= ∑∞
=
. (2.13.4.12)
Temos em (2.13.4.12) a expansão de 1u em uma série de Fourier de senos. Assim:
( ) ( )( )
( )1
0
1n
1
0
1n xncosn
1
nsenh
u2Bdx xnsenu
1
2Bnsenh
π
π−
π=⇒π=π ∫ ;
63
( )( )[ ]
( )( )[ ]11
nsenhn
u21ncos
nsenhn
u2B 1n11
n +−ππ
=+π−ππ
=+
. (2.13.4.13)
Substituindo (2.13.4.13) em (2.13.4.11), obtemos a solução procurada.
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )∑∞
=
+
πππ
+−
π=
1n
1n1 ynsenhxnsen
nsenhn
11u2t,xu
(2.13.4.14)
Exercícios 01. Mostre que a solução (2.13.4.14) satisfaz a equação diferencial parcial e as condições de contorno. 02. Suponha uma barra de comprimento L (extremos em 0x = e Lx = ) com temperatura inicial dada por uma função f(x). Determine a distribuição de temperatura na barra. Para este caso, o problema de valor de contorno é dado por
( ) ( )( ) ( )( )
<
<<=
>==
<<>∂
∂=
∂
∂
limitada) (solução Mtx,u
Lx0 ,xfx,0u
0 t,0t,Lut0,u
Lx0 0, t ,x
u
t
u
xx
2
2
κ
R.: ( ) ( ) ( )∑ ∫∫∞
=
−
+=
1n
L
tn L
0
L
0 L
xncosedx
L
xncosxf
L
2dxxf
L
1t,xu
2
22
πππκ
03. Solucione o problema misto:
( ) ( )
( ) ( )( )( )
<
<<=
>==
><<∂
∂=
∂
∂
M
x25
0t,4u
t,xux
2t,xut 2
2
tx,u
4x0 x,0u
0t t0,u
0t 4,x0
R.:
( )
( ) ( )∑∞
=
π−
+
+
π−
π=
−π
=
1n
8
tn1n
1nn
4
xnsene
n
1200t,xu
1n
200B
22
64
04. Solucione os problemas de valor de contorno a seguir empregando o método de separação de variáveis.
a) ( ) ( )
( )
=
=+
−x
yx
e40,xu
0y,xu2y,xu3
R.: ( )( )
2x2y3
e4y,xu−
=
b) ( ) ( ) ( )
( )
+=
+∂
∂=
∂
∂
−− x3x5 e2e30,xu
y,xuy,xuy
2y,xux
R.: ( ) y2x3y3x5 e2e4y,xu −−−− +=
65
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2.14 – Exercícios resolvidos
01. Seja ( ) ( )x2senxxf/RR:f 2=→ , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ .
a) Plote o gráfico de ( )xf com pelo menos três períodos. (a) (b)
Figura 18: Gráfico de ( ) ( )x2senxxf/RR:f 2=→ : (a) ( )ππ−∈ ,x ; (b) ( ) ( )xf2xf =π+ . b) Determine a série de Fourier de ( )xf .
( ) ( ) ( ) ( )x2senxx2senxxf 22−=−−=−
( )xf é função ímpar (produto de uma par por uma ímpar) 1n0a ,0a n0 ≥∀==⇒
π=⇒π== L2L2P
( ) ( ) ( )∫∫π
π=
π=
0
2
L
0
n dxnxsenx2senx 2
dxL
x nsenxf
L
2b (2.14.1)
Empregando a identidade ( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos2
1vsenusen +−−= em (2.14.1), temos que:
( )[ ] ( )[ ]
+−−π
= ∫∫ππ
0
2
0
2n dxx2ncosx dxx2ncosx
1b (2.14.2)
Calculando a integral indefinida (integração por partes):
66
( ) ( )
a
axsen v,dxaxcosdv
2xdxdu ,xu 2
==
==
( ) ( )
a
axcos v,dxaxsendv
dxdu ,xu
−==
==
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )C
a
axsen2
a
axcosx2
a
axsenx
dxaxcosa
1
a
axcosx
a
2
a
axsenx
dxaxsen xa
2
a
axsenxdxaxcosx
32
2
2
22
+−+=
+−−=
−=
∫∫∫
(2.14.3)
Usando (2.14.3) em (2.14.2):
( )[ ] ( )[ ]( )
( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ]( )
( )[ ]( )
+
+−
+
++
+
+
π
+
−
−−
−
−+
−
−
π=
π
π
||
032
2
032
2
n
2n
x2nsen2
2n
x2ncosx2
2n
x2nsenx1-
2n
x2nsen2
2n
x2ncosx2
2n
x2nsenx1b
( )[ ] ( )[ ]( )
( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ]( )
( )[ ]( )
+
π+−
+
π+π+
+
π+π
π
+
−
π−−
−
π−π+
−
π−π
π=
32
2
32
2
n
2n
2nsen2
2n
2ncos2
2n
2nsen1-
2n
2nsen2
2n
2ncos2
2n
2nsen1b
Como ( )[ ] ( )n12ncos −=π± e ( )[ ] 02nsen =π± :
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
+−
−−=
+
−π−
−
−π
π=
22
n
2
n
2
n
n2n
1
2n
112
2n
12
2n
121b
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
−
+−−++−=
+−
−−+−=
22
22n
22
22n
n4n
4n4n4n4n12
2n2n
2n2n12b
( )( )
( )
( )2n ,
4n
1n16
4n
n812b
22
n
22
nn ≠
−
−=
−−=
9
16b1 −=
Para calcular 2b , voltamos a (2.14.2):
67
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
( )[ ] ( )[ ]
( )
( ) ( ) ( )
8
1
3
16
2
3
1
4
x4sen2
4
x4cosx2
4
x4senx
3
x1
dxx4cosx dxx 1
dxx22cosx dxx22cosx 1
b
2
3
032
2
0
3
0
2
0
2
0
2
0
22
|
−π
=
π−
π
π=
−+−
π=
−π
=
+−−π
=
ππ
ππ
ππ
∫∫
∫∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )∑
∞
=−
−+
−
π+−=
3n
22
n2
nxsen4n
1n16x2sen
8
1
3xsen
9
16xf (2.14.4)
c) Plote simultaneamente os gráficos de ( )xf e da série de Fourier de ( )xf truncada (empregue diferentes harmônicos) e faça comentários pertinentes. (a) (b)
Figura 19: Gráfico de ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )∑
∞
=−
−+
−
π+−=
3n
22
n2
nxsen4n
1n16x2sen
8
1
3xsen
9
16xf : (a) 3n = ; (b)
1000n = .
68
Comentários: Como ( )xf tem descontinuidades do tipo removível em K,5 ,3 , π±π±π± , não
se observa o fenômeno de Gibbs na série de Fourier de ( )xf . Nas descontinuidades de ( )xf , a série de Fourier converge para a média dos limites laterais (zero). d) Use a série de Fourier de ( )xf para determinar para quanto converge a série numérica
( ) ( )( ) ( )
K+−+−=+−
+−∑∞
=
+
22222222
1n
22
1n
11.7
9
9.5
7
7.3
5
5.1
3
3n21n2
1n21.
Considerando 2
xπ
= em (2.14.4) e lembrando que ( ) ( )( )2n2n4n 2222 +−=− :
( ) ( )
( ) ( )∑∞
=
+
+−
+−=
+−+−+−==
π
1n
22
1n
22222222
3n21n2
1n2116
9
16
11.7
9
9.5
7
7.3
5
5.1
316
9
160
2f K
( ) ( )
( ) ( ) 9
1
3n21n2
1n21
1n
22
1n
=+−
+−∑∞
=
+
02. Seja ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf/RR:f =→ , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ .
a) Determine a série de Fourier de ( )xf .
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )x-f
xcoshx-senh
xcoshxsenhxf
=
=
−−=−
( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = é uma função ímpar (produto de uma ímpar por uma par) 1n0a ,0a n0 ≥∀==⇒
π=⇒π== L2L2P
( ) ( ) ( ) ( )∫∫π
π=
π=
0
L
0
n dxnxsenxcoshxsenh 2
dxL
x nsenxf
L
2b
69
( )∫π −−
+
−
π=
0
xxxx
dxnxsen2
ee
2
ee2
( )∫π −
−−+
π=
0
x22x
dxnxsen 4
e11e2
( ) ( )
−π
= ∫∫ππ
0
2x-
0
2x dxnxsene dxnxsene 2
1 (2.14.5)
Calculando a integral indefinida (integração por partes) ( )∫ dxnxseneax :
( ) ( )
n
nxcos v,dxnxsendv
dxaedu ,eu axax
−==
==
( ) ( ) ( )∫∫ +−= dxnxcos en
a
n
nxcosedxnxsene ax
axax
( ) ( )
n
nxsen v,dxnxcosdv
dxaedu ,eu axax
==
==
( ) ( ) ( ) ( )
−+−= ∫∫ dxnxsen e
n
a
n
nxsene
n
a
n
nxcosedxnxsene ax
axaxax
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −+−= dxnxsen en
a
n
nxsenae
n
nxcosedxnxsene ax
2
2
2
axaxax
( ) ( ) ( )2
axaxax
2
2
n
nxsenae
n
nxcosedxnxsene
n
a1 +−=
+ ∫
( ) ( ) ( )C
n
nxsenae
n
nxcose
an
ndxnxsene
2
axax
22
2ax +
+−
+=∫ (2.14.6)
Substituindo (2.14.6) em (2.14.5), primeiramente com 2a = e depois com 2a −= , tem-se que:
70
( ) ( )
( ) ( )
−−
+π
+
+−
+π=
π−−
π
||
02
x2x2
2
2
02
x2x2
2
2
n
n
nxsene2
n
nxcose
4n
n
2
1-
n
nxsene2
n
nxcose
4n
n
2
1b
( ) ( )
−
π++
π−
+π=
π−π
n
1
n
ncose
n
1
n
ncose
4n
n
2
1b
22
2
2
n
( ) ( )π−π +−+
π
π= 22
2n ee4n
ncosn
2
1b
( ) ( )π−π +−
+
−
π= 22
2
n
ee4n
1n
2
1
( ) ( )π−π
+
−+
−
π= 22
2
1n
ee4n
1n
2
1
( )
2
ee
4n
1n1 22
2
1n π−π+−
+
−
π=
( ) ( )
4n
n12senh2
1n
+
−
π
π=
+
( ) ( )
1n ,4n
n12senhb
2
1n
n ≥+
−
π
π=
+
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
+
+
−
π
π=
1n
2
1n
nxsen4n
n12senhxf
b) Plote simultaneamente os gráficos de ( )xf e da série de Fourier de ( )xf truncada (empregue diferentes harmônicos) e faça comentários pertinentes.
71
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 20: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ .
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 21: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ (azul), e da série de
Fourier de ( )xf com 1n = (vermelho).
72
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 22: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ (azul), e da série de
Fourier de ( )xf com 10n = (vermelho).
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 23: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ (azul), e da série de
Fourier de ( )xf com 20n = (vermelho).
73
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 24: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ (azul), e da série de
Fourier de ( )xf com 50n = (vermelho).
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 25: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ (azul), e da série de
Fourier de ( )xf com 1000n = (vermelho).
74
Comentários: Como o prolongamento periódico de ( )xf tem descontinuidades do tipo salto
finito, observa-se o fenômeno de Gibbs na série de Fourier de ( )xf , isto é, oscilações de maior amplitude nas vizinhanças dos saltos. A estimativa para a maior amplitude é de cerca de %9 da amplitude do salto. Nas descontinuidades de ( )xf , a série de Fourier converge para a média dos limites laterais (zero).
x
Figura 26: Gráfico da série de Fourier de ( )xf com 1n = (vermelho), 10n = (verde escuro), 20n = (verde claro), 50n = (marron) e 1000n = (preto). 03. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x3coshxf =π+π<<π= .
a) Determine a série de Fourier de ( )xf .
( ) ( )( )
( )xf
x3cosh
x3coshxf
=
=
−=−
( ) ( )x3coshxf = é uma função par 1n 0bn ≥∀=⇒
π=⇒π== L2L2P
( ) ( ) ( )ππ
=
π=
π=
ππ
∫ 3senh3
2
3
x3senh2dxx3cosh
2a
0
0
0
75
( ) ( )∫π
π=
0
n dxx ncosx3cosh2
a (2.14.7)
Calculando a integral indefinida (integração por partes) ( ) ( )∫ dxnxcosx3cosh :
( ) ( )
( ) ( )n
nxsen v,dxnxcosdv
dxx3senh3du ,x3coshu
==
==
( ) ( )
( ) ( )n
nxcos v,dxnxsendv
dxx3cosh3du ,x3senhu
−==
==
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −= dxnxsenx3senhn
3
n
nxsenx3coshdxnxcosx3cosh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+−−= ∫∫ dxnxcosx3cosh
n
3
n
nxcosx3senh
n
3
n
nxsenx3coshdxnxcosx3cosh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 n
nxcosx3senh3
n
nxsenx3coshdxnxcosx3cosh
n
91 +=
+ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C
n
nxcosx3senh3
n
nxsenx3cosh
9n
ndxnxcosx3cosh
22
2
+
+
+=∫ (2.14.8)
Substituindo (2.14.8) em (2.14.7), tem-se que
( ) ( ) ( ) ( ) π
+
+π=
022
2
nn
nxcosx3senh3
n
nxsenx3cosh
9n
n2a
( ) ( )
ππ
+π=
22
2
n n
ncos3senh3
9n
n2a
( ) ( )9n
13senh6a
2
n
n+
−
π
π= .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=+
−
π
π+
π
π=
1n
2
n
nxcos9n
13senh6
3
3senhxf (2.14.9)
b) Calcule para quanto converge a série numérica
( )K+−+−+−=
+
−∑∞
=34
1
25
1
18
1
13
1
10
1
9n
1
1n
2
n
.
76
Considerando 0x = em (2.14.9), tem-se que ( ) 10cosh = ( ( )xf é contínua em 0x = ) e que
( ) ( ) ( )∑∞
=+
−
π
π+
π
π=
1n
2
n
9n
13senh6
3
3senh1
( ) ( ) ( )∑∞
=+
−
π
π=
π
π−
1n
2
n
9n
13senh6
3
3senh1
( ) ( ) ( )∑∞
=+
−
π
π=
π
π−π
1n
2
n
9n
13senh6
3
3senh3
( ) ( )( )
( )( )π
π−π=
π
π
π
π−π=
+
−∑∞
=3senh18
3senh3
3senh63
3senh3
9n
1
1n
2
n
.
77
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
2.15 – Exercícios complementares
01. Seja ( )xf , representada graficamente abaixo, uma função π -periódica.
f(x) 2 x
2
π−
2
π
-2
Figura 27: Gráfico de ( )
π<<+
π−
<<π
−π
−
=
2x0 2
4
02
- 24
,x
x,xxf , ( ) ( )xfxf =π+ .
Expanda ( )xf em série de Fourier.
R.: ( )∑∞
=
π1
214
n
nxsenn
Figura 28: Gráfico de ( )
π<<+
π−
<<π
−π
−
=
2x0 2
4
02
- 24
,x
x,xxf , ( ) ( )xfxf =π+ , e da série de Fourier de ( )xf
com 5n = e 20n = .
78
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
02. Seja ( )xf , representada graficamente abaixo, uma função π -periódica.
f(x)
2 x
2
π−
2
π
Figura 29: Gráfico de ( )
π≤≤+
π−
<≤π
+π
=
2x0 ,2x
4
0x2
- ,2x4
xf , ( ) ( )xfxf =π+ .
Expanda ( )xf em série de Fourier.
R.: ( ) ( )∑
∞
=
++−
π+
1
2
1
22
1141
n
n
nxcosn
Figura 30: Gráfico de ( )
π≤≤+
π−
<≤π
+π
=
2x0 ,2x
4
0x2
- ,2x4
xf , ( ) ( )xfxf =π+ , e da série de Fourier de ( )xf com
2n = e 4n = .
79
03. Seja ( )xf a função representada graficamente abaixo. Sabendo que ( ) ( )π+= 4xfxf , determine a
série de Fourier de ( )xf na forma usual. f(x) 2 x π− 2 π− π π2 -2
Figura 31: Gráfico de ( )
π≤≤π−π
π<≤π−
π−<≤π−π
−
=
2x ,6x4
x- ,2
x2- ,6x4
xf , ( ) ( )xf4xf =π+ .
R.: ( )( )
∑
π−−
π+−=
2
x ncos
n
2
ncos1
161xf
2
n
2
04. Seja ( )xf a função representada graficamente abaixo. Sabendo que ( ) ( )π+= 6xfxf , determine a
série de Fourier de ( )xf na forma usual. f(x) 3
x π− 3 π− π π3 -3
Figura 32: Gráfico de ( )
π≤≤π+π
π<≤π
π−<≤π+π
=
3x ,6x3
-
x- ,3
x3- ,6x3
xf , ( ) ( )xf6xf =π+ .
80
R.: ( )( )
∑
π+−
π+=
+
3
x ncos
n
3
ncos1
181xf
2
1n
2
05. Seja ( )
<<
<<−=
4x0 ,8
0x4- ,8xf , ( ) ( )8xfxf += . Expanda ( )xf em série de Fourier na forma
exponencial.
R.: ( ) ( )∑∞
−∞=
π
=⇒=−−
π=
n
04
xni
n
0c0n ,en
11i8xf
06. Seja ( ) ( ) ( )xf2xf , x0 ,x2
0x- ,x2xf =π+
π<<
≤<π−= .
a) Expanda ( )xf em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em
π±=x ?
R.: ( ) ( )π=⇒=
−−
π= ∑
∞
−∞=
0
n
inx2
n
c0n ,en
112xf
Em π±=x a série de Fourier converge para a média dos limites laterais, ou seja, π2 .
b) Use a série determinada no item a para calcular ( )∑
∞
=−
1n
21n2
1.
R.: 8
2π
07. a) Obtenha a série de Fourier que converge para a função π2 -periódica ( ) xexf = , ππ <<− x .
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
−+
−+= ∑
∞
=1n
2
n
nxsen nnxcos1n
1
2
1senh2xf
π
π
b) Determine a identidade de Parseval correspondente à série obtida no item anterior.
R.: ( ) ( )
( )π
πππ2
2
1n
2 senh 4
senh 22senh
1n
1 −=
+∑∞
=
81
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
08. Sendo ( )( )
≤≤
≤≤=
π
π
x0 se ,xsen
0x- se ,0xf uma função π2 -periódica:
a) expanda ( )xf em uma série de Fourier;
R.: ( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=−
+−++=
2n
2
n
nxcosn1
111xsen
2
11xf
ππ
b) mostre que 16
8
7.5
1
5.3
1
3.1
1 2
222222
−=+++
πL .
Sugestão: Calcule a identidade de Parseval. 09. Seja
( )( )
π<<
<<π=
x0 ,xcos
0x- ,0 xf , ( ) ( )π+= 2xfxf (1)
e sua série de Fourier
( ) ( ) ( )[ ] ( )∑∞
=
−
+−
π+=
2n
2
n
nxsen1n
11n1xcos
2
1xf . (2)
A Figura 22 ilustra o gráfico de ( )xf e de sua série de Fourier com 50n = . (a) (b)
Figura 33: (a) Gráfico de ( )( )
π<<
<<π=
x0 ,xcos
0x- ,0 xf , ( ) ( )π+= 2xfxf ; (b) gráfico de
( ) ( ) ( )[ ] ( )∑∞
=
−
+−
π+=
2n
2
n
nxsen1n
11n1xcos
2
1xf , com 50n = .
82
a) ( )xf é par ou ímpar? Justifique.
b) Identifique os coeficientes de Fourier de ( )xf .
R.: ( )[ ]( )
2n1n
11nb ,0b ,2n0a ,
2
1a ,0a
2
n
n1n10 ≥∀−π
+−==≥∀===
c) Para quanto converge a série (2) se π= 14x ? E se 6
953x
π= ? Justifique.
R.: Em π= 14x a série converge para 2
1; em
6
953x
π= a série converge para
2
3− .
d) Use a série de Fourier de ( )xf para determinar a convergência da série ( )
( ) ( )∑∞
=+−
1n
22
2
1n21n2
n2.
R.: 16
2π
10. Prove que, para π≤≤ x0 :
a) ( ) ( ) ( ) ( )
+++−=− L
222
2
3
6 cos
2
4 cos
1
2 cos
6
xxxxx
ππ
b) ( ) ( ) ( ) ( )
+++=− L
333 5
5
3
3
1
8 xsenxsenxsenxx
ππ
Usando (a) e (b), mostre que:
c) ( )∑
∞
=
−π
=−
1
2
2
1
12
1
n
n
n
d) ( )
( )∑∞
=
−π
=−
−
1
3
3
1
3212
1
n
n
n
e)
( )∑∞
=
π=
−1
6
6 96012
1
nn
e ∑
∞
=
π=
1
6
6 945
1
nn
11. a) Mostre que, em ππ <<− x ,
83
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−+−+−= Lx4sen
5.3
4x3sen
4.2
3x2sen
3.1
22xsen
2
1xcosx .
Figura 34: Gráfico de ( ) ( ) ππ <<= x- ,xcosxxf , e da série de Fourier de ( )xf com 5n = e 10n = .
b) Usando (a), mostre que em ππ ≤≤− x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−+−−−= L
5.3
x4cos
4.2
x3cos
3.1
x2cos2xcos
2
11xsen x .
Figura 35: Gráfico de ( ) ( ) ππ ≤≤= x- ,xsen xxf , e da série de Fourier de ( )xf com 5n = .
84
c) Empregando (a) e (b), mostre que:
( ) ( )
( ) 4
1
2n2n2
1n21
1n
1n
=+
+−∑∞
=
+
R.: Use 2
xπ
= em (a)
( ) 4
3
2nn
1
1n
=+∑
∞
=
R.: Use π=x em (b)
12. Seja ( )( )
<≤
≤<+=
+ 2x0 se ,e
0x2- se ,2x2
exf
2x-
2
uma função 4-periódica, representada graficamente abaixo.
Figura 36: Gráfico da função ( )( )
<≤
≤<+=
+ 2x0 se ,e
0x2- se ,2x2
exf
2x-
2
, de período fundamental 4P = .
a) Verifique se f(x) satisfaz as condições de Dirichlet. b) Determine a série de Fourier correspondente a f(x).
R.: 2
1ea 2
0 −= , ( )[ ] ( )[ ]n222
n
22
2
n 1e4n
211
n
ea −−
++−−=
ππ, ( )[ ]n2
22
2
n 1e4n
n
n
eb −−
++−=
π
π
π
c) Calcule a identidade de Parseval da série de Fourier obtida no item anterior.
85
R.: ( )8
3
2
e
12
eba
24
1n
2n
2n −+=+∑
∞
=
d) Usando um software gráfico, plote o gráfico da série de Fourier determinada em (b) com pelo menos quinze (15) harmônicos.
Figura 37: Série de Fourier com 15n = da função ( )( )
<≤
≤<+=
+ 2x0 se ,e
0x2- se ,2x2
exf
2x-
2
, de período
fundamental 4P = .
13. Seja ( )( )
<<−
≤≤=
3x0 se ,x3x
0x3- se ,0 xf
2, ( ) ( )xf6xf =+ .
a) Esboce o gráfico da função dada com pelo menos três períodos.
Figura 38: Gráfico da função ( )( )
<<−
≤≤=
3x0 se ,x3x
0x3- se ,0 xf
2, de período fundamental 6=P .
86
−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425
−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1
123456789
10111213141516171819202122
x
y
b) Determine a série de Fourier de f(x).
R.; 4
90 =a , ( )[ ] ( )nn
nnn
a 127
11162
2244−
π−−−
π= , ( )[ ]112
54 1
33−−
π=
+nn
nb
c) Esboce o gráfico da série de Fourier determinada em (b) com pelo menos cinco (5) harmônicos.
Figura 39: Série de Fourier com 5n = da função ( )( )
<<−
≤≤=
3x0 se ,x3x
0x3- se ,0 xf
2, de período
fundamental 6=P .
14. Seja ( ) ( )xsenxxf 2= , 2
3x
2
3 π<<
π− , ( ) ( )π+= 3xfxf .
a) Esboce o gráfico de ( )xf com pelo menos três períodos.
Figura 40: Gráfico de ( ) ( )xsenxxf 2= , ( ) ( )π+= 3xfxf .
87
−28−27−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829
−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
−28−27−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829
−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
b) Determine a série de Fourier de ( )xf .
R.: 0aa n0 == , ( )
( )( )
( )
−
++π−
−π
−=
22
22
2
n
nn49
n427n8n
n49
118b
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−
++π−
−
−
π=
1n
22
22
2
n
3
nx2sen
n49
n427n8n
n49
118xf
c) Esboce o gráfico da série de Fourier de ( )xf com 1n = , 10n = , 100n = , 1000n = , K (Explore as limitações do aplicativo gráfico empregado).
Figura 41: Gráfico de ( ) ( )xsenxxf 2= , ( ) ( )π+= 3xfxf , e de
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−
++π−
−
−
π=
1n
22
22
2
n
3
nx2sen
n49
n427n8n
n49
118xf , com 2n = .
Figura 42: Gráfico de ( ) ( )xsenxxf 2= , ( ) ( )π+= 3xfxf , e de
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−
++π−
−
−
π=
1n
22
22
2
n
3
nx2sen
n49
n427n8n
n49
118xf , com 5n = .
88
−28−27−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829
−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10
−9−8−7−6−5−4−3−2−1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
−28−27−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829
−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1
123456789
10111213141516171819202122232425
x
y
Figura 43: Gráfico de ( ) ( )xsenxxf 2= , ( ) ( )π+= 3xfxf , e de
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−
++π−
−
−
π=
1n
22
22
2
n
3
nx2sen
n49
n427n8n
n49
118xf , com 10n = .
Figura 44: Gráfico de ( ) ( )xsenxxf 2= , ( ) ( )π+= 3xfxf , e de
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−
++π−
−
−
π=
1n
22
22
2
n
3
nx2sen
n49
n427n8n
n49
118xf , com 5000n = .
d) Para quanto converge a série de Fourier de ( )xf se 12
17x
π−= ? E se
2
619x
π= ? Justifique.
89
R.: Em 12
17x
π−= a série de Fourier converge para ( )62
576
289 2
+π
.
Em 2
619x
π= a série de Fourier converge para
4
2π.
15. Seja
( )( )
π<<
<<π=
x0 ,xcos
0x- ,0 xf , ( ) ( )xf2xf =π+ .
a) Esboce o gráfico de ( )xf com pelo menos três períodos.
b) Determine a série de Fourier de ( )xf .
R.: ( ) ( ) ( )[ ] ( )∑∞
=
−
+−
π+=
2n
2
n
nxsen1n
11n1xcos
2
1xf
c) Plote simultaneamente os gráficos de ( )xf e da série de Fourier de ( )xf truncada. Empregue diferentes harmônicos.
d) Para quanto converge a série de Fourier de ( )xf se π= 15x ? E se 4
425x
π= ?
Justifique.
R.: 2
1− ;
2
2
4cos =
π
e) Use a série de Fourier de ( )xf para determinar para quanto converge a série
( )∑∞
=−
1n
22
2
1n4
n.
R.: 64
2π
90
91
3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER Usamos a série de Fourier para representar uma função f(x) definida em um intervalo ( )L,L− ou ( )L,0 . Quando ( )xf e ( )xf ' são seccionalmente contínuas nesse intervalo, uma série de
Fourier representa a função no intervalo e converge para um prolongamento periódico de ( )xf fora do intervalo. Estabeleceremos agora (de forma não rigorosa) uma maneira de representar certos tipos de funções não-periódicas definidas em um intervalo infinito ( )∞∞− , ou ( )∞,0 (expansão de f(x) em uma
integral de Fourier). Da série de Fourier à integral de Fourier Suponhamos uma função f(x) definida em ( )L,L− que satisfaça as condições de Dirichlet. Assim
( ) ∑∞
=
+
+=
1n
nn0
L
xnsenb
L
xncosa
2
axf
ππ;
( ) ( )
( )
( )∑
∫
∫∫
∞
=
−
−
−
+
+
+=
1n
L
L
L
L L
L
L
xnsendu
L
u nsenuf
L
xncosdu
L
u ncosuf
L
1duuf
L2
1xf
ππ
ππ
. (3.1)
Considerando ( )
LL
n
L
1n ,
L
nn1nn
πππααα
πα =−
+=−=∆= + , reescrevemos (3.1) como
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
α
αα
αα
πα
π∆
+
+
+∆
= ∑
∫
∫∫
∞
=
−
−
− 1nn
L
L
n
n
L
L
nL
L xsenduusenuf
xcosduucosuf 1
duuf 2
1xf . (3.2)
Como 0L →∆⇒∞→ α , temos que
( ) 0duuf 2
1lim
L
L 0
=
∆
∫−
→∆α
πα.
Logo, o restante de (3.2) toma a forma
92
( ) ( ) ( )∑∑∞
=
→∆
∞
=
→∆∆∆=∆=
1n
0
1n
n0
nFlimFlimxf αααααα
(3.3)
Em (3.3) temos uma soma de Riemann, o que nos leva à integral ( )∫∞
0
dF αα .
Dessa forma, podemos escrever o limite de (3.2), quando 0L →∆⇒∞→ α , como
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) α
α
α+α
απ
= ∫ ∫∫∞
α
∞
∞−
α
∞
∞−
dx senduu senuf x cosduu cosuf 1
xf
0
B
A
444 3444 21444 3444 21
.
3.1 – A integral de Fourier
A integral de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo ( )∞∞− , é dada por
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] αααααπ
d x senBx cosA 1
xf
0 ∫∞
+=
onde
( ) ( ) ( )dxx cosxf A
∫∞
∞−
= αα
e
( ) ( ) ( )dxx senxf B
∫∞
∞−
= αα .
3.2 – Convergência da integral de Fourier Se (1) f(x) e f’(x) são seccionalmente contínuas em qualquer intervalo finito e
(2) ( )dxxf
∫∞
∞−
converge, isto é, f(x) é absolutamente integrável em ( )∞∞− , ,
então a integral de Fourier converge para f(x) em um ponto de continuidade e converge para
( ) ( )2
xfxf −+ + (média dos limites laterais) em um ponto de descontinuidade.
93
Demonstração SPIEGEL, Murray R.; WREDE, Robert C. Cálculo avançado. Porto Alegre: Bookman. Observação: as condições de convergência da integral de Fourier são suficientes, porém não necessárias.
3.2.1 – Convergência absoluta e condicional
( )∫∞
a
dxxf é dita absolutamente convergente se ( )∫∞
a
dxxf convergir. Se ( )∫∞
a
dxxf
convergir mas ( )∫∞
a
dxxf divergir, então ( )∫∞
a
dxxf é dita condicionalmente convergente.
Teorema: Se ( )∫∞
a
dxxf convergir, então ( )∫∞
a
dxxf converge.
Exemplos
1o) ( )
∫∞
+
0
2dx
1x
xcos é absolutamente convergente e, portanto, convergente, isto porque
( )∫∫
∞∞
+≤
+
0
2
0
2dx
1x
1 dx
1x
xcos e ∫
∞
+
0
2dx
1x
1 converge.
2o) ( )
π=∫∞
∞−
dxx
xsen , mas
( )∫
∞
∞
-
dxx
xsen diverge. Assim,
( )∫
∞
∞
-
dxx
xsen é condicionalmente
convergente. Exercício
Mostre que ∫∞
+
0
2dx
1x
1 converge.
3.3 – A integral cosseno de Fourier
Se f(x) é uma função par no intervalo ( )∞∞− , , temos que:
94
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxx cosxf 2dxx cosxf A
0
∫∫∞∞
∞−
== ααα ;
( ) ( ) ( ) 0dxx senxf B
== ∫∞
∞−
αα ;
( ) ( ) ( ) αααπ
dx cosA 1
xf
0 ∫∞
= . Integral cosseno de Fourier
3.4 – A integral seno de Fourier
Se f(x) é uma função ímpar no intervalo ( )∞∞− , , temos que:
( ) ( ) ( ) 0dxx cosxf A
== ∫∞
∞−
αα ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxx senxf 2dxx senxf B
0
∫∫∞∞
∞−
== ααα ;
( ) ( ) ( ) αααπ
dx senB 1
xf
0 ∫∞
= . Integral seno de Fourier
Exercícios
Seja ( )
>
<<
<
=
2 xse 0,
2x0 se 1,
0 xse ,0
xf .
01. Determine a integral de Fourier de f(x).
R.: ( ) ( ) ( )[ ]α
α
αα
πd
1xcossen2xf
0 ∫∞
−=
( ) ( )[ ]
==π
<<π
><
=αα
α−α
∫∞
2ou x 0 x,4
2x0 ,2
2ou x 0 x,0
d1xcossen
0
02. Para quanto a integral de Fourier converge em 0x = e 2x = ?
95
03. Prove que ( )
2d
sen
0
πα
α
α=∫
∞
e ( )
π=αα
α
∫∞
∞−
dsen
.
3.5 – Formas equivalentes da integral de Fourier
(1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] αααααπ
d x senBx cosA 1
xf
0 ∫∞
+=
( ) ( ) ( )dxx cosxf A
∫∞
∞−
= αα
( ) ( ) ( )dxx senxf B
∫∞
∞−
= αα
(2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] α
α−π
=
α
αα+ααπ
=
α
α
α+α
α
π=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫
∞ ∞
∞−
∞ ∞
∞−
∞ ∞
∞−
∞
∞−
dduxucosuf 1
xf
ddux senu senx cosu cosuf 1
xf
dx senduu senuf x cosduu cosuf 1
xf
0
0
0
(3) Forma complexa
( ) ( ) ( )[ ] ααπ
dduxucosuf 1
xf
0
∫ ∫∞ ∞
∞−
−=
Como ( ) ( )[ ]αxucosuf − é uma função par em α, temos que
( ) ( ) ( )[ ] ααπ
dduxucosuf 2
1xf
-
∫ ∫∞
∞
∞
∞−
−= . (3.5.1)
Uma vez que ( ) ( )[ ]αxusenuf − é uma função ímpar em α, o que implica que
( ) ( )[ ] 0dduxusenuf
-
=
−∫ ∫∞
∞
∞
∞−
αα , podemos escrever (3.5.1) como
96
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }
( ) ( ) ( ) απ
αααπ
αααπ
α ddue uf 2
1xf
dduxusen ixucosuf 2
1xf
dduxusenuf ixucosuf 2
1xf
-
xui
-
-
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∞
∞
∞
∞−
−
∞
∞
∞
∞−
∞
∞
∞
∞−
=
−+−=
−+−=
( ) ( )
( ) ( )
( )
α
π=
α
π=
α−
∞
∞
α
∞
∞−
α
∞
∞
∞
∞−
α−α
∫ ∫
∫ ∫
de due uf 2
1xf
dduee uf 2
1xf
x i
-
F
u i
-
x iu i
44 344 21
( ) ( ) ( ) ( ) dxe xf F onde de F 2
1xf x i
-
x i
-
α
∞
∞
α−
∞
∞∫∫ =ααα
π= .
Observação: Se em (3.5.1) considerássemos ( )[ ]α− uxcos , teríamos
( ) ( ) de F 2
1xf x i
-
ααπ
= α
∞
∞∫ com ( ) ( ) dxe xf F x i
-
α−
∞
∞∫=α .
Exercícios 01. Determine a integral de Fourier que representa a função pulso
( )
>
<=
ax se 0,
ax se ,1xf . (3.5.2)
R.: ( ) ( ) ( )α
α
αα
πd
xcosasen2xf
0 ∫∞
=
97
( ) ( )
=π
>
<π
=αα
αα
∫∞
ax ,4
ax ,0
ax ,2
dx cosasen
0
Observação: Se 1a = , a função (3.5.2) é chamada pulso unitário. 02. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir.
a) ( )
<
>=
−
0 xse ,e
0x se ,exf
x
x
R.: ( ) ( )α
α
α
πd
1
xcos2xf
0 2∫
∞
+=
b) ( )
<
>=
−
0 xse ,e-
0x se ,exf
x
x
R.: ( ) ( )α
α
αα
πd
1
xsen 2xf
0 2∫
∞
+=
03. Usando a representação integral de Fourier, mostre que:
a) ( ) ( ) ( )
>
<=
−∫∞
π
ππ
αα
απα
x se ,0
x se ,xsen2d
1
xsensen
0 2
;
b) ( ) ( )
>
<
=−
∫∞
2x se ,0
2x se ,xcos
2d1
xcos2
cos
0 2 π
ππ
αα
απα
.
3.6 – Definição da transformada de Fourier e da transformada inversa de Fourier
Integral de Fourier:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
de due uf 2
1xf
dxe xf F onde de F 2
1xf
x i
F
u i
-
-
x i
-
x i
-
α
π=
=αααπ
=
α−
α
α
∞
∞
∞
∞
α
∞
∞
α−
∞
∞
∫∫
∫∫
44 344 21
98
Transformada de Fourier:
( ){ } ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]dx xsen i xcosxf
dxe xf Fxf
-
x i
-
αα
α α
+=
==ℑ
∫∫
∞
∞
∞
∞ (3.6.1)
Transformada inversa de Fourier:
( ){ } ( ) ( ) de F 2
1xfF x i
-
1 ααπ
α α−
∞
∞
− ∫==ℑ (3.6.2)
( )xf ( )αF ( )xf
ℑ 1−ℑ
Figura 45: Transformadas de Fourier.
Definimos a transformada de Fourier de f como sendo a função F(α) ou ^
f que associa a cada
função absolutamente integrável CR:f → a função ( )
→→ CR:f ou CR:F
^
α definida pela
expressão (3.6.1); a sua inversa, chamada transformada inversa de Fourier, é a função que associa a
cada função ( )
→→ CR:f ou CR:F
^
α pertencente ao conjunto imagem de ( ){ }xfℑ a função
absolutamente integrável CR:f → definida pela expressão (3.6.2).
( ) ( )α→← F x f
Se f(x) é função par ( ){ } ( ) ( ) ( )dxxcos xf Fxf
-
αα ∫∞
∞
==ℑ⇒ . (real puro)
Se f(x) é função ímpar ( ){ } ( ) ( ) ( )dxxsen xf iFxf
-
αα ∫∞
∞
==ℑ⇒ . (imaginário puro)
99
Observações: 1a) A literatura não é unânime quanto à forma para as transformadas (3.6.1) e (3.6.2). Você também encontrará os pares de transformadas abaixo.
1.
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ααπ
α
α
α
α
de F 2
1xfF
dxe xf Fxf
x i
-
1
x i
-
∫∫
∞
∞
−
−
∞
∞
==ℑ
==ℑ
2.
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ααπ
α
πα
α
α
de F 2
1xfF
dxe xf 2
1Fxf
x i
-
1
x i
-
−
∞
∞
−
∞
∞
∫∫
==ℑ
==ℑ
3.
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ααπ
α
πα
α
α
de F 2
1xfF
dxe xf 2
1Fxf
x i
-
1
x i
-
∫∫
∞
∞
−
−
∞
∞
==ℑ
==ℑ
2a) Os pares 2 e 3 constituem a forma simétrica. 3a) Quanto às constantes que multiplicam as integrais nos pares de transformadas, o produto das
mesmas deve sempre ser igual a π2
1.
4a) A transformada de Fourier é convergente somente para um conjunto muito limitado de funções
( )xf , isto porque as condições de existência (suficientes, não necessárias) da integral de Fourier são bastante restritivas.
3.7 – Transformada cosseno de Fourier e transformada cosseno de Fourier inversa
f(x) é uma função par no intervalo ( )∞∞− ,
Integral cosseno de Fourier:
100
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) αααπ
αααπ
αα
dx cosduu cosuf 2
xf
dx cosA 1
xf
dxx cosxf 2A
0
0
0
0
∫ ∫
∫∫
∞ ∞
∞
∞
=
=
=
Transformada cosseno de Fourier:
( ){ } ( ) ( ) ( ) dx xcos xf Fxf
0
CC αα ∫∞
==ℑ
Transformada cosseno de Fourier inversa:
( ){ } ( ) ( ) ( ) d xcos F
2xfF
0
CC1
C αααπ
α ∫∞
− ==ℑ
3.8 – Transformada seno de Fourier e transformada seno de Fourier inversa
f(x) é uma função ímpar no intervalo ( )∞∞− , Integral seno de Fourier:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) αααπ
αααπ
αα
dx sen duu senuf 2
xf
dx senB 1
xf
dxx senxf 2B
0
0
0
0
∫ ∫
∫∫
∞ ∞
∞
∞
=
=
=
Transformada seno de Fourier:
( ){ } ( ) ( ) ( ) dx xsen xf Fxf
0
SS αα ∫∞
==ℑ
Transformada seno de Fourier inversa:
101
( ){ } ( ) ( ) ( ) d xsen F 2
xfF
0
SS1
S αααπ
α ∫∞
− ==ℑ
Exercícios 01. Seja ( ) 1xf = . Calcule ( ){ }xfℑ . R.: ( ){ }xfℑ diverge
02. a) Determine a transformada de Fourier de ( )
>
<=
ax se 0,
ax se ,1xf .
R.: ( ) ( ) ( ) 0 ,asinc a2asen2
F ≠αα=α
α=α
( ) a20F0 =⇒=α b) Esboce o gráfico de f(x) e de sua transformada de Fourier para 3a = . (a) (b)
Figura 46: (a) Gráfico de f(x) para 3a = ; (b) gráfico de ( ){ }xfℑ para 3a = (função par).
c) Calcule ( ) ( )
αα
ααd
xcosasen
- ∫∞
∞
.
R.: ( ) ( )
>
=
<
=∫∞
∞
ax se ,0
ax se ,2
ax se ,
d xcosasen
-
π
π
αα
αα
102
03. Solucione a equação integral ( ) ( ) αα −
∞
=∫ edx xcosxf
0
.
R.: ( ) ( ) ( )∫ +
−
+=
−−− C
x
xcose
x
xsene
1x
xdxcose
22
2 αααα
ααα
( )( )1x
2xf
2 +=
π 04. A transformada de Fourier preserva paridade?
05. a) Determine a transformada cosseno de Fourier de ( )
>
<−=
1x se 0,
1x se ,x1xf
2
.
R.: ( ) ( ) ( )0 ,
cos sen2F
3C ≠−
= αα
αααα
b) Mostre que ( ) ( )
∫∞
=
−
0 3 16
3dx
2
xcos
x
xcos xxsen π.
Sugestão: Considere 2
1x = em ( ) ( ){ }αFxf 1−ℑ= .
3.9 – Função de Heaviside
Oliver Heaviside (1850-1925): engenheiro eletrônico inglês. A função de Heaviside (ou função unitária de Heaviside) é definida como { } R0R:H →−
<
>→
0 x0,
0 x,1x . (3.9.1)
103
Figura 47: Função de Heaviside.
A função de Heaviside (3.9.1), também chamada função salto unitário ou função degrau
unitário, não é definida em 0x = (desnecessário). Alguns autores definem
( )2
10H = .
Na literatura também é comum encontrar a notação u ( )x para ( )xH . A função degrau unitário transladada é definida como
u ( )
<
>=−
c x0,
c x,1cx . (3.9.2)
Figura 48: Função degrau unitário transladada u ( )
<
>=−
2 x0,
2 x,12x .
Quando multiplicada por outra função definida em ( )∞∞− , , a função degrau unitário (3.9.2) cancela uma porção do gráfico da função. Exemplo
Mostre que ℑ { axe−u ( )x } 0a ,
ia
1>
α−= , onde u ( )
<
>=
0 x0,
0 x1,x é a função unitária de
Heaviside.
104
ℑ { axe−u ( )x } ax
e −
∞
∞−∫= u ( ) ( )∫∫
∞
α+−
∞
α−α ==
0
x ia
0
xiax xi dxe dxee dxex
( ) ( ) ( )[ ]
b
0
ax
b
b
0
xiax
b
b
0
x ia
b ia
xsen i xcoselim
ia
eelim
ia
elim
α+−
α+α=
α+−=
α+−=
−
∞→
α−
∞→
α+−
∞→
( ) ( )[ ]
α−=
α+−−=
α+−−
α+−
α+α=
>→
−
∞→ ia
1
ia
1
ia
1
ia
b sen ib coselim
0a se 0
ab
b4444 34444 21
Observação: Se Ca ∈ , então ℑ { axe−u ( )x } ( ) 0aRe ,
ia
1>
α−= .
3.10 – Espectro, amplitude e fase da transformada de Fourier
Denomina-se conjunto dos números complexos (C) o conjunto de pares ordenados de números reais para os quais estão definidas as seguintes propriedades:
1. igualdade: ( ) ( ) db e cad,cb,a ==⇔= ;
2. adição: ( ) ( ) ( )dc,bad,cb,a ++=+ ;
3. multiplicação: ( )( ) ( )bcad,bdacd,c.b,a +−= .
( ) Ry x,,y,xzCz ∈=⇔∈ Exemplos: ( )3,23i2 =+ , ( ) 0,1i = (imaginário puro), ( )1,01 = (real puro)
Forma algébrica: 1-i ,y ixz =+=
( )( ) ( ) ( ) 10,100,101,0.1,0i.ii2 −=−=+−===
Conjugado: y ixy ixz −=+= Plano de Argand-Gauss:
Im(z) y z |z| θ x Re(z)
105
Módulo: ( ) ( )zImzReyxz 2222 +=+=
( )( ) ( ) 222222 zyxyxy ixy ixz.z =+=+=−+=
Forma polar ou trigonométrica:
θ=⇒=θ coszxz
xcos
θ=⇒=θ senzyz
ysen
[ ] θ=θ+θ=θ+θ=+= ie zsen icoszsenzicoszy ixz
Argumento: ( )( )
=
=θ⇒=θ
zRe
zImarctg
x
yarctg
x
ytg
Sabemos que ( ){ } ( )αFxf =ℑ , onde CR:f → e CR:F → . Assim, podemos considerar a
transformada de Fourier ( )αF como sendo ( ) ( ) ( )ααα IR F iFF += (3.10.1) ou ( ) ( ) θαα ie FF = , (3.10.2)
onde 1i −= , ( )αRF é a parte real de ( )αF , ( )αIF é a parte imaginária de ( )αF ,
( ) ( ) ( )ααα2
I2
R FFF += (3.10.3)
e
( )( )
=
α
αθ
R
I
F
Farctg . (3.10.4)
A forma (3.10.2) é a forma polar da transformada de Fourier, (3.10.3) é a amplitude da transformada de Fourier ou o espectro de amplitude do sinal ( )xf , (3.10.4) é o ângulo de fase da
transformada de Fourier ou o espectro de fase do sinal ( )xf e
( ) ( ) ( ) ( )αααα 2I
2R
2FFFP +== (3.10.5)
é o espectro de potência do sinal ( )xf .
106
Exercícios
Seja ( ) -axe =xf u ( )x , onde u ( )
<
>=
0 x,0
0 x,1x é a função unitária de Heaviside e 0a > . Determine:
01. a parte real de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( )22R
a
aF
αα
+=
02. a parte imaginária de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( )22I
aF
α
αα
+=
03. o ângulo de fase de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.:
=
aarctg
αθ
04. a amplitude de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( )22
22
a
aF
α
αα
+
+=
05. o espectro de potência de ( )xf . R.: ( )22a
1P
αα
+=
3.11 – Propriedades operacionais das transformadas de Fourier
Funções de decrescimento rápido Uma função CR:f → é de decrescimento rápido se ela for infinitamente diferenciável (f é
∞C ) e se ( ) 0xfDxlim nm
x=
∞→,
ou seja, f(x) e suas derivadas vão mais rapidamente para zero do que as potências mx vão para infinito quando ∞→x .
Exemplo
( )2xexf −=
107
(a) (b) (c)
Figura 49: (a) Gráfico de ( ) 3xxf = ; (b) gráfico de ( )2xexg −= ; (c) gráfico de ( )
2x33 ex8xgD −−= .
O conjunto das funções f de classe ( )RC∞ tais que, tanto f como todas as suas derivadas tendem
a zero quando ∞→x , constituem o espaço de Schwarz, denotado por ( )RS .
1. A função Gaussiana ( )2axexf −= , com 0a > , pertence a ( )RS .
2. O produto de uma função polinomial ( )xpp = pela função Gaussiana é uma função
( ) ( )2axe xpxh −= pertencente a ( )RS .
3. ( )RS é um espaço vetorial de funções.
4. Se uma função ( )xf pertence a ( )RS , então sua derivada também pertence a ( )RS .
5. Se uma função ( )xf pertence a ( )RS , então a transformada de Fourier de ( )xf também
pertence a ( )RS .
3.11.1 – Comportamento de F(α) quando |α|→∞ A transformada de Fourier ( )αF de uma função f(x) absolutamente integrável é uma função contínua e que se anula no infinito, isto é,
( ) 0Flim =±∞→
αα
.
Exemplo
A função pulso unitário ( )
>
≤=
1x se 0,
1x se ,1xu , cuja transformada de Fourier é
( ){ } ( ) ( ) ( ) 20U0 0, ,sen 2
Uxu =⇒=≠==ℑ ααα
αα .
108
Figura 50: Gráfico de ( ){ } ( ) ( ) ( ) 20U0 0, ,sen 2
Uxu =⇒=≠==ℑ ααα
αα .
Teorema
Se CR:f → é uma função absolutamente integrável, então sua transformada de Fourier
( ) CR:F →α (ou CR:f^
→ ) é uma função contínua e limitada. Se, além disso, ( )αF (ou ^
f ) for absolutamente integrável, então f é contínua.
3.11.2 – Linearidade Se CR:g,f → são funções absolutamente integráveis e Rb,a ∈ , então
( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )αα bGaFxgbxfaxbgxaf +=ℑ+ℑ=+ℑ .
Prova: Segue da definição de transformada de Fourier e da propriedade de linearidade da integral.
( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )αααα
α
bGaFdxexg bdxexf a
dxexbgxaf xbgxaf
xi
xi
xi
+=+=
+=+ℑ
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
3.11.3 – Simetria (ou dualidade) Se ( ){ } ( )α=ℑ Fxf , então ( ){ } ( )α−π=ℑ f 2xF . Prova:
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )xf 2de F de F 2
1xfF
xi-
xi-1 π=αα⇒ααπ
==αℑ ∫∫∞
∞−
α
∞
∞−
α− (3.11.3.1)
Efetuando as substituições x←α e α−←x em (3.11.3.1), tem-se que
109
( ) ( ) ( )α−π=∫∞
∞−
α f 2dxe xF
- xi- ;
( ) ( )α−π=∫∞
∞−
α f 2dxe xF
x i ;
( ){ } ( )α−π=ℑ f 2xF . Exemplo
{ }( )32
22x2
4
348xe
+α
α−=ℑ
−
( )α−α−
απ
=απ=
+
−ℑ
2222
32
2
e4
e28
1
4x
x34
3.11.4 – Conjugado Se CR:f → é uma função absolutamente integrável, então
( ){ } ( )α−=ℑ Fxf , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α e é o conjugado complexo. Prova:
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫∞
∞−
∞
∞−
α α+α==ℑ
x i dx xsen i xcos xf dxe xf xf
( ) ( )α−== ∫∞
∞−
α Fdxe xf
x i-
Observação: gfgf e g.fg.f +=+= .
3.11.5 – Translação (no tempo) Se CR:f → é uma função absolutamente integrável, então
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Feaxf ai ℑ==−ℑ ααα . Prova: uax =−
110
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Fedueuf edueeuf
dueuf dxea-xf axf
ai
uia i
uia i
aui
x i
ℑ====
==−ℑ
∫∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
+
∞
∞−
ααααααα
αα
Observação:
Se ( ){ } ( )∫∞
∞−
−=ℑ
x i dxexf xf α , então ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Feaxf ai ℑ==−ℑ − ααα .
3.11.6 – Translação (na frequência) Se CR:f → é uma função absolutamente integrável, então
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,aFxfe iax ℑ=+=ℑ αα . Prova: ua =+α
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )aFuFdxexf
dxexf dxexfe xfe
iux
xai
x ix iax ia
+===
==ℑ
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
+
∞
∞−
α
αα
Observação: Se ( ){ } ( )∫∞
∞−
−=ℑ
x i dxexf xf α , então ( ){ } ( )aFxfe ai −=ℑ αα .
3.11.7 – Similaridade (ou mudança de escala) e inversão de tempo Se CR:f → é uma função absolutamente integrável e 0a ≠ , então
( ){ } ( ) ( ){ }xfF onde ,a
Fa
1axf ℑ=
=ℑ α
α. (3.11.7.1)
Prova:
(1) uax ,0a => , a
ux = ,
a
dudx = , ∞→⇒∞→ ux , −∞→⇒−∞→ ux
111
( ){ } ( ) ( )
( )
==
==ℑ
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
aF
a
1dueuf
a
1
dueufa
1dxeaxf axf
a iu
a
u i
x i
αα
αα
(2) uax ,0a =< , a
ux = ,
a
dudx = , −∞→⇒∞→ ux , ∞→⇒−∞→ ux
( ){ } ( ) ( ) ( )
( )
==
−===ℑ
∫∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞
∞
∞−
aF
a
1dueuf
a
1
dueufa
1dueuf
a
1dxeaxf axf
a iu
a
u i
-
a
u i
x i
αα
ααα
Observação: Considerando em (3.11.7.1) 1a −= , obtemos ( ){ } ( )α−=−ℑ Fxf . Esta última igualdade é conhecida como propriedade da inversão de tempo. Exercícios
Sabendo que ( ){ } ( )6i5
iGxg
2 ++−==ℑ
αα
αα , calcule:
01. ( ){ }x2gℑ ; R.: ( ){ }24i10
i
2G
2
1x2g
2 ++−=
=ℑ
αα
αα
02. ( ){ }2xg −ℑ ; R.: ( ){ } ( )6i5
ieGe2xg
2i2i2
++−==−ℑ
αα
αα αα
03. ( ){ }xge ix100−ℑ . R.: ( ){ } ( ) ( )( ) ( ) 6100i5100
100i100Gxge
2ix100
+−+−−
−=−=ℑ −
αα
αα
3.11.8 – Convolução A convolução (ou produto de convolução) de duas funções absolutamente integráveis f e g é definida como sendo a função
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
−=−=∗
duuxguf duuguxf xgf .
A integral imprópria que define a convolução converge para todo x se as funções f e g, além de serem absolutamente integráveis, são também quadrado-integráveis, isto é, seus quadrados também são absolutamente integráveis:
112
( ) ( ) ∞<∞< ∫∫∞
∞−
∞
∞−
2
2duug ,duuf .
A afirmativa anterior pode ser comprovada com o emprego da desigualdade de Schwarz
2
b
2
aab
22
+≤ ,
válida para todo Rb,a ∈ .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞<+−≤−≤− ∫∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
2
2
duug 2
1duuxf
2
1duuguxf duuguxf
A convolução de funções absolutamente integráveis, quando está definida, é também uma função absolutamente integrável. Transformada de Fourier de uma convolução Se CR:g,f → são funções absolutamente integráveis, então ( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }xgG e xfF onde ,GFxgf ℑ=ℑ==∗ℑ αααα . Prova:
{ } ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−=∗=∗ℑ
xi
xi dxeduuxguf dxegf gf αα
Como ( )uxiu i xi eee −= ααα :
{ } ( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
−
∞
∞−
−=∗ℑ
uxiu i
dxeeduuxguf gf αα
Mudando a ordem de integração:
{ } ( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−
−=∗ℑ
u i
uxi duedxeuxg ufgf αα
Considerando dvdxvuxvux =⇒+=⇒=− :
113
{ } ( ) ( )
{ } ( ) { }
{ } { } ( )
{ } { } { }{ } ( ) ( )αα
α
α
αα
GFgf
fggf
dueuf ggf
dueguf gf
duedvevg ufgf
u i
u i
u i
vi
=∗ℑ
ℑℑ=∗ℑ
ℑ=∗ℑ
ℑ=∗ℑ
=∗ℑ
∫∫
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
Propriedades da convolução 1a) Comutativa fggf ∗=∗ 2a) Associativa ( ) ( ) hgfhgf ∗∗=∗∗ 3a) Distributiva ( ) ( ) ( )hfgfhgf ∗+∗=+∗
4a) Elemento nulo 00f =∗ 5a) Elemento identidade ff =∗δ δ : delta de Dirac (distribuição) Modelos matemáticos que envolvem a convolução estão presentes em diferentes ramos do conhecimento. A convolução modela distorções em ondas sonoras e luminosas, surge no processamento de sinais e na detecção de ondas eletromagnéticas e/ou mecânicas e é também base de alguns sistemas de redes neurais de auto-aprendizagem. Na Matemática, a convolução é empregada na solução de sistemas lineares de equações diferenciais e na solução de alguns tipos de equações integrais. Na Estatística, é usada para calcular funções de densidade de probabilidade.
Exemplo Solucione a equação integral
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−+=
duuxruy xgxy ,
onde g(x) e r(x) são conhecidas.
114
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( ){ }( ){ } ( ){ } { }
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )( )α
αα
ααα
αααα
αααα
R1
GY
GYR1
GRYY
RYGY
ryxgxy
ryxgxy
ryxgxy
duuxruy xgxy
−=
=−
=−
+=
∗ℑ+ℑ=ℑ
∗+ℑ=ℑ
∗+=
−+= ∫∞
∞−
( ){ } ( )( )
( ) ( )( )
αα
α
π
α
αα
α deR1
G
2
1xy
R1
GY
xi
11
−
∞
∞−
−−
−=
−ℑ=ℑ
∫
Exercícios 01. Mostre que:
a) π=∫∞
∞−
−
u due 2
;
b) ( ) π=−=∗ ∫∞
∞−
−− xdueux ex
ux 22
.
02. Mostre que ( )∗xf u ( ) ( )∫∞−
κκ=
x
df x , sendo u ( )
<
>=
0 xse ,0
0 xse ,1x .
3.11.9 – Multiplicação (Convolução na frequência) Se CR:g,f → são funções absolutamente integráveis, então
( ) ( ){ } ( ) ( )α∗απ
=ℑ GF2
1xg.xf , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α e ( ) ( ){ }xgG ℑ=α .
Prova:
( ) ( ){ } ( ) ( )∫∞
∞−
α=ℑ
x i dxexgxf xg.xf
115
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
α
∞
∞−
κ−
κκ
π=
x i
x i dxexgdeF 2
1
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
κ−α κ
κ
π=
xi ddxexg F2
1
( ) ( )∫∞
∞−
κκ−ακπ
=
dGF 2
1
( ) ( )α∗απ
= GF2
1
3.11.10 – Transformada de Fourier de derivadas Sejam CR:f → uma função diferenciável absolutamente integrável e 'f uma função absolutamente integrável. Como ( ) 0xf → quando ±∞→x , então ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F ixf ' ℑ=−=ℑ ααα . Sejam CR:f → uma função duas vezes diferenciável absolutamente integrável e 'f e ' 'f funções absolutamente integráveis. Como ( ) 0xf ' → quando ±∞→x , então
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F xf 2" ℑ=−=ℑ ααα . Generalizando, sejam CR:f → uma função n vezes diferenciável absolutamente integrável e as derivadas até ordem n de f funções absolutamente integráveis. Como ( ) ( ) ( )( ) 0xf,,xf,xf 1n"' →−K quando ±∞→x , então
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF 1,n Z,n onde ,F ixf nn ℑ=≥∈−=ℑ ααα . Prova:
( ){ } ( )∫∞
∞−
=ℑ
x i'' dxexf xf α
( ){ } ( ) ( )∫∫ ∞→−∞→+=ℑ
b
0
xi'
b
0
a
xi'
a
' dxexf lim dxexf lim xf αα (3.11.10.1)
Usando integração por partes:
( ) ( )xfvdxxfdv
dxe idueu'
xi xi
=⇒=
=⇒= αα α
116
( ) ( ) ( )∫∫ −= dxexfie xfdxexf xi xi xi' ααα α (3.11.10.2)
Empregando (3.11.10.2) em (3.11.10.1):
( ){ } ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−−+
−−=ℑ
−+
−=ℑ
∫∫
∫∫
∞→−∞→
∞→−∞→
b
0
xib i
b
0
a
xia i
a
'
b
0
xib0
xi
b
0
a
xi0a
xi
a
'
dxexf i0febflimdxexf ieaf0flim xf
dxexf i exflimdxexf i exflim xf
αααα
αααα
αα
αα
( ){ } ( )
( ){ } ( ){ } ( )ααα
α α
F ixfixf
dxexf ixf
'
-
xi'
−=ℑ−=ℑ
−=ℑ ∫∞
∞
Por recursividade: ( ){ } ( ){ } ( )( ) ( ){ } ( ){ } ( )αααααα F xf xfiixf ixf 22'" −=ℑ−=ℑ−−=ℑ−=ℑ Exercícios 01. Sejam CR:f → uma função diferenciável absolutamente integrável e 'f uma função absolutamente integrável. Como ( ) 0xf → quando ±∞→x , mostre que: a) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0fF 0fxf xf SS
'C −=−ℑ=ℑ ααα ;
b) ( ){ } ( ){ } ( )ααα CC
'S F xf xf −=ℑ−=ℑ .
Observação: As transformadas seno e cosseno de Fourier não são adequadas para transformar a derivada primeira (ou qualquer derivada de ordem ímpar), isto porque a transformada seno (ou cosseno) da derivada de f não é expressa em termos da transformada seno (ou cosseno) da função f. 02. Sejam CR:f → uma função duas vezes diferenciável absolutamente integrável e 'f e ' 'f funções absolutamente integráveis. Como ( ) 0xf ' → quando ±∞→x , mostre que: a) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0fF 0fxf xf '
C2'
C2"
C −−=−ℑ−=ℑ ααα ;
b) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0f F 0f xf xf S2
S2"
S ααααα +−=+ℑ−=ℑ .
3.11.11 – Derivadas de transformadas de Fourier Se CR:f → é uma função absolutamente integrável e ( )xf x também é uma função absolutamente integrável, então ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F ixxf ' ℑ=−=ℑ αα .
117
Se CR:f → é uma função absolutamente integrável e ( )xf x 2 também é uma função absolutamente integrável, então ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Fxfx "2 ℑ=−=ℑ αα . Se CR:f → é uma função absolutamente integrável e ( )xf x n também é uma função absolutamente integrável, então
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Fixfx nnn ℑ=−=ℑ αα .
Prova:
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( ){ }
( ){ } ( )
( ){ } ( )α
α
αα
ααα
α
α
ααα
'
'
xi
xi
xi
xi
F ixxf
Fi
1xxf
xxfidxexfx iFd
d
dxexfix dxexf dxexf d
dF
d
d
−=ℑ
=ℑ
ℑ==
=∂
∂==
∫∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( ){ }
( ){ } ( )α
αα
ααα
α
α
ααα
"2
2
xi22
2
xi22
xi2
2
xi2
2
2
2
Fxfx
xfxdxexf x Fd
d
dxexfxi dxexf dxexf d
dF
d
d
−=ℑ
−ℑ=−=
=∂
∂==
∫∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
Exemplos
( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ) ( ) ( )α+α+α−=
ℑ+ℑ−ℑ=+−ℑ'''"'
3232
F i 3FF i 2
xf x3xf xxf x2xf x3xx2
ℑ { axxe−u ( )x } ( ) ( )
( ) ( )22 ia
1
ia
ii
ia
1
d
di
α−=
α−
−−−=
α−α−=
( ) 0aRe > e u ( )
<
>=
0 x0,
0 x1,x
118
ℑ { ax2ex −u ( )x } ( )
( )( )( )( ) ( )3422
22
ia
2
ia
iia2i
ia
1
d
di
ia
1
d
di
α−=
α−
−α−−−=
α−α−=
α−α−=
( ) 0aRe > e u ( )
<
>=
0 x0,
0 x1,x
ℑ { ax3ex −u ( )x } ( )
( ) ( )422
2
3
33
ia
6
ia
1
d
d
ia
1
d
di
α−=
α−α−=
α−α−=
( ) 0aRe > e u ( )
<
>=
0 x0,
0 x1,x
ℑ { axn ex −u ( )x }
( ) 1nia
!n+
α−=
( ) 0aRe > e u ( )
<
>=
0 x0,
0 x1,x
Exercícios
01. Seja ( ) -axe xxf = u ( )x , onde u ( )
<
>=
0 x,0
0 x,1x é a função unitária de Heaviside e 0a > . Determine:
a) a parte real de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( )( )222
22
Ra
aF
α
αα
+
−=
b) a parte imaginária de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( )( )222Ia
a2F
α
αα
+=
c) o ângulo de fase de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.:
−=
22a
a2arctg
α
αθ
d) a amplitude de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( )22a
1F
αα
+=
e) o espectro de potência de ( )xf . R.: ( )( )222a
1P
αα
+=
02. Prove a propriedade da diferenciação na frequência ( ){ } ( )αα
=ℑ Fd
dxf x i .
119
3.12 – Resumo: Propriedades operacionais das transformadas de Fourier
1. Linearidade ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )αα bGaFxgbxfaxbgxaf +=ℑ+ℑ=+ℑ 2. Simetria Se ( ) ( ){ }xfF ℑ=α , então ( ){ } ( )α−π=ℑ f 2xF . 3. Conjugado
Se ( ) ( ){ }xfF ℑ=α , então ( ){ } ( )α−=ℑ Fxf . 4. Translação (no tempo) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Feaxf ai ℑ==−ℑ ααα
5. Translação (na freqüência) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,aFxfe iax ℑ=+=ℑ αα
6. Dilatação (ou similaridade)
( ){ } ( ) ( ){ }xfF onde ,a
Fa
1axf ℑ=
=ℑ α
α
7. Inversão de tempo ( ){ } ( )α−=−ℑ Fxf , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α 8. Convolução ( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }xgG e xfF onde ,GFxgf ℑ=ℑ==∗ℑ αααα 9. Multiplicação (convolução na frequência)
Se ( ) ( ){ }xfF ℑ=α e ( ) ( ){ }xgG ℑ=α , então ( ) ( ){ } ( ) ( )α∗απ
=ℑ GF2
1xg.xf .
10. Transformada da derivada primeira ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F ixf ' ℑ=−=ℑ ααα
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0fF 0fxf xf SS'
C −=−ℑ=ℑ ααα
( ){ } ( ){ } ( )ααα CC'
S F xf xf −=ℑ−=ℑ
11. Transformada da derivada segunda ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F xf 2" ℑ=−=ℑ ααα
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0fF 0fxf xf 'C
2'C
2"C −−=−ℑ−=ℑ ααα
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0f F 0f xf xf S2
S2"
S ααααα +−=+ℑ−=ℑ
12. Transformada de derivadas ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF 1,n Z,n onde ,F ixf nn ℑ=≥∈−=ℑ ααα 13. Derivadas de transformadas de Fourier ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F ixxf ' ℑ=−=ℑ αα
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Fxfx "2 ℑ=−=ℑ αα
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Fixfx nnn ℑ=−=ℑ αα 14. Diferenciação na frequência
( ){ } ( )αα
=ℑ Fd
dxf x i
Tabela 1: Propriedades das transformadas de Fourier.
120
3.13 – Delta de Dirac
Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984): físico, matemático e engenheiro britânico. Partilhou o Nobel de Física de 1933 com Erwin Schrödinger.
Função impulso unitário:
( )
+≥
>+<≤
−<
=−δ
ax x ,0
0a axxa-x ,a2
1
ax x ,0
xx
0
00
0
0a (3.13.1)
a2
1
( ) 1a2a2
1A ==
x ax 0 − 0x ax 0 +
Figura 51: Função impulso unitário.
A função (3.13.1) pode ser compactada usando-se a função degrau unitário. Assim,
( )a2
1xx 0a =−δ {u ( )[ ]−−− axx 0 u ( )[ ]axx 0 +− },
onde
u ( )[ ]
−<
−>=−−
ax x,0
ax x,1axx
0
00 e u ( )[ ]
+<
+>=+−
ax x,0
ax x,1axx
0
00 .
Considerando
( ) ( )0a0a
0 xxlimxx −δ=−δ→
,
temos a distribuição delta de Dirac
( )
≠
=∞=−δ
0
00 x xse 0,
x xse ,xx . (3.13.2)
121
A distribuição (3.13.2) pode ser escrita como ( ) ( )
≠
=∞=−δ=δ
c xse 0,
c xse ,cxxc .
Quando 0c = , temos que ( )
≠
=∞=δ
0 xse 0,
0 xse ,x .
Fisicamente, o delta de Dirac pode ser interpretado como um impulso de energia em um sistema, razão pela qual recebe o nome de função impulso de Dirac.
3.13.1 – Propriedades do delta de Dirac A distribuição delta de Dirac ( )xδ=δ apresenta as seguintes propriedades:
1. ( ) 0 xse ,0x ≠=δ ;
2. ( ) ( ) Rx ,xx ∈∀−δ=δ ;
3. ( ) ∞=δ 0 ;
4. ( ) ( ) ( ) ( )x0fxxf δ=δ se ( )xf for contínua em 0x = ;
5. ( ) ( ) ( ) ( )000 xxxfxxxf −δ=−δ se ( )xf for contínua em 0xx = ;
6. ( ) 1dxx
=δ∫∞
∞−
;
7. ( )( ) ( )xfxf =δ∗ , se ( )xf é contínua;
8. ( ) ( ) ( )0fdxxxf
=δ∫∞
∞−
, se ( )xf é contínua em 0x = ;
9. ( )( ) ( )cfxf c =δ∗ , se ( )xf é contínua em cx = ;
10. ( ) =δ x u ( )dx
dx' = u ( )x , onde u ( )x é a função degrau unitário;
11. ( ) ( )xa
1ax δ=δ .
Observação: Mais informações a respeito do delta de Dirac podem ser obtidas em HSU, H.P. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman.
122
3.13.2 – Transformada de Fourier do delta de Dirac
Aplicando a transformada de Fourier à propriedade 7, temos que: ( )( ) ( )xfxf =δ∗
( )( ){ } ( ){ }xfxf ℑ=δ∗ℑ
( ){ } ( ){ } ( ){ }xfxxf ℑ=δℑℑ
( ){ } 1x =δℑ
{ } ( )x11 δ=ℑ− Dessa maneira, podemos escrever o par de transformadas
( ) 1 x →←δ .
3.14 – Métodos para obter a transformada de Fourier
3.14.1 – Uso da definição
Mostre que { } ( ) 0aRe ,a
a2e
22
xa>
+α=ℑ
− .
<
>=
−−
0 x,e
0 x,ee
ax
axxa
{ } ( ) ( )∫∫∫∫∞
+−
∞−
+
∞
−
∞−
−+=+=ℑ
0
xia
0
xia
0
xiax
0
xiaxxa dxe dxe dxee dxee e αααα
( ) ( ) 2
21
1
k
0
xia
k
0
k
xia
k ia
elim
ia
elim
α+−+
α+=
α+−
∞→
α+
−∞→
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 2
21
1
k
0
ax
k
0
k
ax
k ia
xsen i xcoselim
ia
xsen i xcoselim
α+−
α+α+
α+
α+α=
−
∞→−∞→
123
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )[ ]
( )
α+−−
α+−
α+α+
+
α+
α+α−
α+=
>→
−
∞→
>→
−∞→
ia
1
ia
k sen ik coselim
ia
k sen ik cose
ia
1lim
0 aRe se 0
22ak
k
0 aRe se 0
11ak
k
2
2
1
1
44444 344444 21
44444 344444 21
( )
( ) 222222 a
a2
a
a2
ai
iaia
ia
1
ia
1
+=
−−
−=
−
+−+−=
+−−
+=
ααα
αα
αα
Exemplo 1
{ } ( )13
6
32
32edxe
222
x3
xi2x3 | =+
=ℑ==α
−
∞
∞−
+−∫
Exemplo 2
Seja ( ) xa6exxf/RR:f −=→ .
1. Determine ( ) ( ){ }xfF ℑ=α .
Lembrando que ( ){ } ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }xfF ,Fixfx nnn ℑ=αα−=ℑ e que { }22
xa
a
a2e
+α=ℑ
− , 0a > , temos
que:
{ } ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
+α
α−α
α=
+α
α−α
α=
+α
αα−−+αα−
α=
+α
α+αα−−+αα−
α=
+α
α−
α=
+α
α−+α
α=
+α
α+αα−+α
α=
+α
α
α=
+α
α−
α−=
+αα−=
+αα−=α=ℑ
−
422
23
3
3
422
23
3
3
422
2222
3
3
622
22222322
3
3
322
22
4
4
322
222
4
4
422
22222
4
4
2225
5
2225
5
226
6
226
66xa6
a
a
d
da48
a
a1212
d
da4
a
63aa6
d
da4
a
2a33aa6
d
da4
a
3a
d
da4
a
4a
d
da4
a
2a2a
d
da4
ad
da4
a
2
d
da2
a
1
d
da2
a
a2
d
diF ex
124
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
+α
αα−α−+α−α
α=
+α
α+αα−α−+α−α
α=
522
232222
2
2
822
3222342222
2
2
a
8aaa3
d
da48
a
2a4aaa3
d
da48
( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
+α
α−α+α−=
+α
+α−α+α−=
+α
αα+α−α−+α+α−α=
+α
α+αα+α−α−+α+α−α=
+α
α+α−α
α=
+α
α+α−α
α=
+α
α+α+α−α−α−α+α
α=
+α
α−α−α−+αα−α
α=
+α
α+α−α−α−+αα−α
α=
+α
−α−α
α=
+α
−α−α
α=
+α
α+α−−α−α+α
α=
722
642246
722
624426
722
4325224224
1222
52243256224224
622
4325
622
4325
622
4532325432
622
44222232
1022
422442252232
522
4422
2
2
522
4422
2
2
522
224422224
2
2
a
7a35a21a1440a
a
a3a63a10521a480
a
12a3a103aa3a3015a480
a
2a6a3a103aa3a3015a480
a
a3a103
d
da480
a
a30a10030
d
da48
a
a1050a100a2020a20a20
d
da48
a
10a5a10a20a20
d
da48
a
2a5a5a10a20a20
d
da48
a
a5a10
d
da48
a
a5a10
d
da48
a
a88aaa33
d
da48
{ }( )
0a ,a
7a35a21a1440aex
722
642246xa6 >
+α
α−α+α−=ℑ
−
(3.14.1.1)
125
−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
2. Plote os gráficos de ( )xf e de ( ) ( ){ }xfF ℑ=α para 2a = e comente-os.
( ) x26exxf −=
( )( )
+α
α−α+α−=α
72
642
4
7140336642880F
Figura 52: Gráfico de ( )( )
+α
α−α+α−=α
72
642
4
7140336642880F (azul) e de ( ) x26exxf −
= (vermelho).
Comentários: ( )xf e ( )αF são funções
1. que se anulam no infinito; 2. pares; 3. limitadas; 4. contínuas; 5. absolutamente integráveis; 6. pertencentes ao espaço de Schwarz.
3. Calcule ( )
+
−+−ℑ
72
642
1x
x7x35x211.
Considerando 1a = em (3.14.1.1), temos que
126
( ) x6exxf −= e ( )
( )
+α
α−α+α−=α
72
642
1
7352111440F .
Propriedade da simetria (dualidade): ( ){ } ( ) ( ){ } ( )α=ℑα−π=ℑ Fxf ,f2xF
( )( )
<ααπ
>ααπ
=
απ
=α−π
=
+
−+−ℑ
α
α−
α−α−−
0 se ,e720
0 se ,e720
e720
e1440
2
1x
x7x35x211
6
6
66
72
642
3.14.2 – Uso de equações diferenciais
Mostre que a22
ax 22
ea
2e
απ −−
=
ℑ e, conseqüentemente, 22
x 22
e 2eα
π−−
=
ℑ , sendo
( )2axexf −= a função gaussiana e 0a > .
Seja ( ) 2
ax2
exf−
= . Então, ( )xf satisfaz à equação diferencial ordinária de primeira ordem ( ) ( ) 0xaxfxf ' =+ . (3.14.2.1) Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados de (3.14.2.1), obtemos: ( ){ } ( ){ } { }0xf xaxf ' ℑ=ℑ+ℑ
( ) ( ) ( ) 0Fd
diaF i =−+− α
ααα
( ) ( )αααα
F iFd
di a −=
( )
( ) ( )[ ]a
Flnd
d
ad
dF
F
1 α−=α
α⇒
α−=
α
α
α
( )[ ] ∫∫ αα
−=ααα
da
dFlnd
d
( ) 1
2
C2a
1F ln +
α−=α
127
( ) a2
2
CeFα
α−
= (3.14.2.2) Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.2.2), chegamos a
( ) ( ){ } ( ) ∫∫∞
∞−
α−
α−
∞
∞−
α−− απ
=ααπ
=αℑ=
xia2
xi1 deCe 2
1deF
2
1Fxf
2
. (3.14.2.3)
Considerando 0x = em (3.14.2.3), temos que
( )C
de C
2de de
2
C10f
0
a2
a2
a2
222
π=α⇒
π=α⇒α
π== ∫∫∫
∞α
−
∞
∞−
α−
∞
∞−
α−
. (3.14.2.4)
Calculando a integral em (3.14.2.4):
dua2d ,ua2ua2
22
==⇒= ααα
0a ,u ,0u0 >∞→⇒∞→→⇒→ αα
C
due a2dua2e de
0
u
0
u
0
a222
2
π===α ∫∫∫
∞
−
∞
−
∞α
−
(3.14.2.5)
Calculando a integral em (3.14.2.5):
dww2
1ud ,wwuwu 2
1
2
12
−
===⇒=
∞→⇒∞→→⇒→ wu ,0w0u
22
1
2
1dwew
2
1dww
2
1e due
0
w2
1
0
2
1w
0
u2 π=
Γ=== ∫∫∫
∞
−−
∞
−−
∞
− (3.14.2.6)
Substituindo (3.14.2.6) em (3.14.2.5), obtemos
a
2
a2
2C
C2a2
π
π
πππ==⇒= . (3.14.2.7)
Substituindo (3.14.2.7) em (3.14.2.2), temos que
( ) a2
2
ea
2F
απ
α−
= . (3.14.2.8)
128
Considerando 1a = em (3.14.2.8), concluímos que 22
x 22
e 2eα
π−−
=
ℑ .
Exemplo
{ }4
92
3
3
x
xi3x
ee
2
2edxe
2
22 | π=
π=ℑ=
−
=α
−
∞
∞−
+−∫
3.14.3 – Decomposição em frações parciais
Seja ( ) ( )6i8
i410F
2 −+
−=
αα
αα . Determine ( ){ }αF1−ℑ .
( )i 104i10i42
40i806i 82 ±−=±−=
−±−=⇒=−+ ααα
( )( )[ ] ( )[ ]i 104 i 104
i 1040F
−−−α+−−α
α−=α (3.14.3.1)
Decompondo (3.14.3.1) em frações parciais, temos que:
( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )i 104
B
i 104
A
i 104 i 104
i 1040F
−−−α+
+−−α=
−−−α+−−α
α−=α (3.14.3.2)
( )[ ] ( )[ ]i 104Bi 104Ai 1040 +−−α+−−−α=α−
( ) ( )[ ] ( )αα BAB i 104A i 104i 1040 ++−++=−
( ) ( ) i -5B i, 5A
40 B i 104A i 104
i 10B A =−=⇒
=−++
−=+ (3.14.3.3)
Substituindo (3.14.3.3) em (3.14.3.2), obtemos:
( )( ) ( )i 104
i 5
i 104
i 5F
−−−−
+−−−=
ααα
( )( )
( )( ) ( )
( )( )ii
i 104
i 5
i
i
i 104
i 5F
−−−−
+−−−=
ααα
( )( ) ( ) αα
α i 104
5
i 104
5F
+−−+
++−=
129
( )( ) ( ) αα
α i 104
5
i 104
5F
−+−
−−−= (3.14.3.4)
Sabemos que ℑ { axe−u ( )x } ( ) 0,aRe ,
ia
1>
α−= u ( )
<
>=
0 x0,
0 x,1x . (3.14.3.5)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.3.4) e empregando (3.14.3.5), chegamos a
( ) ( ){ }( ) ( )
−+ℑ−
−−ℑ−=ℑ=
>
−
>
−−
ααα
i 104
15
i 104
15Fxf
0
1
0
11
4342143421
( ) x 104e5 −−−= u ( ) ( ) x 104e5x +−− u ( )x
5−= u ( ) ( ) ( )[ ]x 104x 104 eex +−−− +
5−= u ( ) [ ]x 10x 10x4 eeex −− +
( )x10coshe10 x4−−= u ( )x . Exercícios
01. Seja ( )( )
π>
π≤=
x ,0
x ,xsenxf . Determine ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ } ( )21
sen i2xf
α
πα
−=ℑ
02. Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular
{ }x2ex −ℑ .
R.: { } ( )( )32
2x2
1
134ex
+
−−=ℑ
−
α
α
03. Calcule ( ){ }x2 ex1 −−ℑ .
R.: ( ){ }( )
( )( )32
2
222
x2
1
134
1
i8
1
2ex1
+
−−
+−
+=−ℑ
−
α
α
α
α
α
130
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
04. Seja ( ) ( ) 0aRe ,ax
1xf/CR:f
22>
+=→ .
a) A função ( )xf é absolutamente integrável? Calcule, se possível, ∫∞
∞−+
22dx
ax
1.
R.: ( ) 0aRe ,a
>π
b) Mostre que ( ) 0aRe ,eaax
1 a
22>
π=
+ℑ
α− .
3.15 – Transformada de Fourier de algumas funções
Discutiremos também a transformada de Fourier de algumas funções que não são absolutamente integráveis.
3.15.1 – A função constante unitária A função constante unitária pode ser vista como o caso limite da função pulso.
Função pulso: ( )
>
<=
ax ,0
ax ,1xf
1 ( ) 1xflim
a=
∞→
-a a x
{ } ( ){ } ( ){ } ( )
( )
( )απδ=
α
α
ππ=
α
α=ℑ=ℑ=ℑ
∞→
∞→∞→∞→
2
asen1lim2
asen2limxflimxflim1
a
aaa
( ){ } 121 =απδℑ− ( )α
α4sen
( )απδ→
← 2 1
131
3.15.2 – A função sinal
Função sinal: ( )
<−
>=
0 x,1
0 x,1 xsgn 1
x -1
A função sinal pode ser expressa pelo limite
( )0a
limxsgn→
= [ axe−u ( )x - axe u ( )x− ],
onde u ( )
<
>=
0 x0,
0 x1,x e u ( )
>
<=−
0 x0,
0 x1,x .
Assim:
( ){ } ℑ=ℑ xsgn {0a
lim→
[ axe−u ( )x - axe u ( )x− ]}
0a
lim→
= ℑ{[ axe−u ( )x - axe u ( )x− ]}
α=
α+
α=
α+−
α−=
→
→
i2a
i2lim
ia
1
ia
1lim
220a
0a
( )xsgni21 =
αℑ−
( )α
→←
i2 xsgn
Observação: Se ( ){ } ( )∫∞
∞−
−=ℑ
x i dxexf xf α , então ( ){ }α
−=ℑi2
xsgn .
Exercício
Mostre que ℑ { axe u ( )x− } ( ) 0aRe ,ia
1>
α+= , onde u ( )
>
<=−
0 x0,
0 x1,x .
132
3.15.3 – A função degrau
Função degrau unitário: u ( )
<
>=
0 x0,
0 x1,x
1
x
A função degrau unitário pode ser reescrita como
u ( ) ( )[ ]xsgn12
1x += .
Logo:
ℑ {u ( )x } ( ) { } ( ){ }xsgn2
11
2
1xsgn
2
1
2
1ℑ+ℑ=
+ℑ=
( ) ( )α
+απδ=α
+απδ=ii2
2
12
2
1
( ) =
α+απδℑ− i1
u ( )x
u ( ) ( )α
+απδ→←
i x
Observação: Se ( ){ } ( )∫∞
∞−
−=ℑ
x i dxexf xf α , então ℑ {u(x)} ( ) ( )α
+απδ=α
−απδ=i
1i.
3.15.4 – Exponencial
Se ( ) ( ) ( )Tx
TxsenTTxsinc
Txf
π=
π= , então ( ) ( ) ( )x
Tx
TxsenTlimxflimTT
δ=π
=∞→∞→
.
( )
≠
=∞=δ
0 x,0
0 x,x
133
{ } ( )
( )[ ] ( )[ ]{ }
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]
( )[ ]( )
( )[ ] ( )a2TasincT
lim2Ta
TasenTlim2
a
Tasenlim2
a
Tasen
a
Tasenlim
a
xasenlimdxxacos lim
dxxaisenxacos lim
dxe dxee e
TT
TT
T
TT
T
T T
T
T T
xai
xi xia xia
|
+απδ=α+π
π=
α+
α+
ππ=
α+
α+=
α+
−α+−
α+
α+=
α+
α+=α+=
α++α+=
==ℑ
∞→∞→
∞→∞→
−∞→
−∞→
−∞→
∞
∞−
α+
∞
∞−
α
∫
∫∫∫
( ){ } xia1 ea2 =+απδℑ− ( )a2 e xia +απδ→
←
Observação: Se ( ){ } ( )∫∞
∞−
−=ℑ
x i dxexf xf α , então { } ( )a2 e xia −απδ=ℑ .
Exercício Mostre que { } ( )a2e xia −απδ=ℑ − .
3.15.5 – Função cosseno
( ){ } ( ) ( )
∫∫∫
−
α−
∞→
−
α
∞→
∞
∞−
α
+=
==ℑ
T
T
xi xia xia
T
T
T
xi
T
xi
dxe 2
eelim
dxe axcos limdxe axcos axcos
134
( ) ( )
( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( )[ ]aaaa
a2a22
1
dxe dxe lim2
1
T
T
xa-i
T
T
xai
T
−αδ++αδπ=−απδ++απδ=
−απδ++απδ=
+= ∫∫−
α+
−
α+
∞→
( ) ( )[ ]{ } ( )axcosaa1 =−αδ++αδπℑ− ( ) ( ) ( )[ ]aa axcos −αδ++αδπ→
← Exercícios Mostre que: 01. ( ){ } ( ) ( )[ ]aaiaxsen +αδ−−αδπ=ℑ ;
02. ℑ { ( )axcos u ( )x } ( ) ( )[ ]22 a
iaa
2 −α
α+−αδ++αδ
π= ;
03. ℑ { ( )axsen u ( )x } ( ) ( )[ ]22 a
aaa
2
i
−α−+αδ−−αδ
π= ;
04. ( ) ( ) ( ) ( )α
α+αδπ=
κκℑ ∫∞−
F i0Fdf
x
, onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α e u ( )
<
>=
0 xse ,0
0 xse ,1x .
Sugestão: Use ( )∗xf u ( ) ( )∫∞−
κκ=
x
df x e ( ) ( ) ( ) ( )x0fxxf δ=δ se ( )xf for contínua em 0x = .
3.16 – Resumo: Transformadas de Fourier de algumas funções
( )xf ( )αF
( )
>
<=
ax ,0
ax ,1xf
( )
( ) a20F
0 ,asen2
=
≠αα
α
( ) 0aRe ,e xa>
− 22 a
a2
+α
( ) 0aRe ,ax
122
>+
α−π aea
135
xe− ( )1
1F
2C+
=α
α
( )1
F2S
+=
α
αα
2
x2
e−
2
2
e 2α
π−
0a,e 2
ax2
>−
a2
2
ea
2 απ −
axe−u ( ) ( ) 0,aRe ,x > u ( )
<
>=−
c x0,
c x,1cx
αia
1
−
axn ex −u ( ) ( ) 0,aRe ,x > u ( )
<
>=−
c x0,
c x,1cx
( ) 1nia
!n+
α−
( )
≠
=∞=
0 x0,
0 x,xδ
1
( ) ( )
>
≤==
∞→ ax ,0
ax ,1xf ,xflim1
a
( )απδ2
( )
<−
>=
0 x,1
0 x,1 xsgn
α
i2
u ( )
<
>=
0 x0,
0 x1,x ( )
α+απδ
i
e xia ( )a2 +απδ ( ) axcos ( ) ( )[ ]aa −αδ++αδπ
( )axsen ( ) ( )[ ]aai +αδ−−αδπ
( )axcos u ( )x ( ) ( )[ ]22 a
iaa
2 −α
α+−αδ++αδ
π
( )axsen u ( )x ( ) ( )[ ]22 a
aaa
2
i
−α−+αδ−−αδ
π
( )∫∞−
κκ
x
df
( ) ( ) ( )α
α+αδπ
F i0F
Tabela 2: Transformadas de Fourier de algumas funções e distribuições.
3.17 – Identidade de Parseval para as integrais de Fourier
( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,dF 2
1dxxf
2
2ℑ== ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
αααπ
136
Prova: ( ) ( )yx,v v,yx,uu ,ivuf ==+=
ivuf −=
2
fff =
( ) ( )xfxf =
( ) ( ){ } ( ) ( )α∗απ
=ℑ GF2
1xgxf
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
α −απ
=
x i duuGuF 2
1dxe xgxf (3.17.1)
Considerando 0=α em (3.17.1), obtemos
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
−π
=
duuGuF 2
1xdxgxf . (3.17.2)
Assumindo em (3.17.2) ( ) ( )xfxg = e lembrando que ( ){ } ( )α−=ℑ Fxf , temos que
( ) ( )
( ){ } ( ){ }( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )uFuG
FG
:
FG
xfxg
xfxg
=−
α=α−
α−←α
α−=α
ℑ=ℑ
=
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
αααπ
=
dFF 2
1xdxfxf
( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
=
2
2dF
2
1dxxf αα
π . (3.17.3)
Se f e g são funções pares, podemos reescrever (3.17.1) como
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞∞
=
0
CC
0
dGF 2
dxxgxf αααπ
. (3.17.4)
137
−3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
x
y
Da mesma forma, quando f e g são funções ímpares reescrevemos (3.17.1) como
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞∞
=
0
SS
0
dGF 2
dxxgxf αααπ
. (3.17.5)
Quando ( ) ( )xgxf = , (3.17.4) e (3.17.5) tornam-se, respectivamente,
( )[ ] ( )[ ]∫∫∞∞
=
0
2C
0
2 dF 2
dxxf ααπ
e ( )[ ] ( )[ ]∫∫∞∞
=
0
2S
0
2 dF 2
dxxf ααπ
.
3.18 – Cálculo de integrais impróprias
Podemos empregar as transformadas de Fourier ou a Identidade de Parseval para calcular para quanto convergem determinadas integrais impróprias. Exemplo
Seja ( )
>
≤=→
1x ,0
1x ,xxf/RR:f
2
.
1. Plote o gráfico de ( )xf .
Figura 53: Gráfico de ( )
>
≤=→
1x ,0
1x ,xxf/RR:f
2
.
2. Determine ( ) ( ){ }xfF ℑ=α .
138
( ) ( ){ } ( )
( ) ( )[ ]
( )∫∫∫
∫
α=
α+α==
=ℑ=α
−−
α
∞
∞−
α
1
0
2
1
1
2
1
1
xi2
xi
dxxcos x2
dxxsen ixcos xdxe x
dxexf xfF
Calculando a integral indefinida (integração por partes):
( ) ( )
a
axsen v,dxaxcosdv
2xdxdu ,xu 2
==
==
( ) ( )
a
axcos v,dxaxsendv
dxdu ,xu
−==
==
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )C
a
axsen2
a
axcosx2
a
axsenx
dxaxcosa
1
a
axcosx
a
2
a
axsenx
dxaxsen xa
2
a
axsenxdxaxcosx
32
2
2
22
+−+=
+−−=
−=
∫∫∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0 ,
cos2sen22
sen2cos2sen2
sen2cos2sen2
xsen2xcosx2xsenx2F
3
2
3
2
32
1
032
2
≠αα
αα+α−α=
α
α−αα+αα=
α
α−
α
α+
α
α=
α
α−
α
α+
α
α=α
( ) ( )3
2
3
x2dx x2dxx.0cos x20F |
1
0
31
0
2
1
0
2 ==== ∫∫
( ) ( ) ( ) ( )0 ,
cos2sen22F
3
2
≠αα
αα+α−α=α
3. Calcule ( ) ( ) ( )[ ]
∫∞
∞−
+−
6
2 2
dxx
xcosx2xsen2x.
139
Identidade de Parseval: ( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
=
2
2dF
2
1dxxf αα
π
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]55
2
2d
cos2sen2
dcos2sen22
5
x2
dcos2sen2
22
1dx x
6
2 2
6
2 21
0
5
2
3
21
1-
4
|
π=
π=α
α
αα+α−α
αα
αα+α−α
π=
α
α
αα+α−α
π=
∫
∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
( ) ( ) ( )[ ]5
dxx
xcosx2xsen2x
6
2 2 π=
+−
∫∞
∞−
Exercícios
01. Seja ( )
≥
<≤=
1 x0,
1x0 ,1xf .
a) Determine a transformada cosseno de Fourier de f(x).
R.: ( ) ( )α
αα
senFC = , 0≠α
b) Determine a transformada seno de Fourier de f(x).
R.: ( ) ( )α
αα
cos1FS
−= , 0≠α
c) Mostre que ( )
2dx
x
xcos1
0
2π
=
−
∫∞
.
d) Mostre que ( )
2dx
x
xsen
0 2
2 π=∫
∞
.
02. Calcular ( )∫
∞
+
0 22 1x
dx.
140
( ) ( ) ( ) { }( )1x
2exfedx xcosxf
21
C
0 +
=ℑ=⇒= −−−
∞
∫ πα αα
R.: ( )∫
∞
=+
0 22 41x
dx π
Decorrência: { }1
1e
2x
C+
=ℑ −
α
03. Solucione a equação integral ( ) ( ) αα −
∞
=∫ edx xsenxf
0
.
R.: ( )( )1x
x2xf
2 +=
π
Decorrência: { }
1e
2x
S+
=ℑ −
α
α
04. Calcular ( )∫
∞
+
0 22
2
1x
dxx.
R.: ( ) 41x
dxx
0 22
2 π=
+∫∞
05. Sejam ( ) ( )xp xxf/RR:f =→ e ( )
>
<=→
1x ,0
1x ,1xp/RR:p .
a) Calcule ( ) ( ){ }xfF ℑ=α .
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) 00F ,cossen
i2F2
=α
αα−α=α
b) Determine para quanto convergem as integrais ( ) ( )
∫∞
∞
−
-
2 xi
2dxe
x
xcosxxsen e
( ) ( )[ ]
∫∞
∞
−
- 4
2
dxx
xcosxxsen.
R.: 2
i π e
3
π
141
3.19 – Solução de equações diferenciais
3.19.1 – Equações diferenciais ordinárias Solucionar a equação diferencial ordinária ( ) ( ) ( ) ( )xfxy2xy5xy3 '" =++ . (3.19.1.1)
Seja ( ){ } ( )αYxy =ℑ . Aplicando a transformada de Fourier a cada lado de (3.19.1.1), temos que:
( ) ( ) ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ){ } ( )
( ) ( )∫
∞
∞−
−
−−
+−−=
+−−ℑ=ℑ
+−−=
=+−−
=+−−
ℑ=ℑ+ℑ+ℑ
ℑ=++ℑ
xi2
211
2
2
2
'"
'"
de2i53
F
2
1xy
2i53
FY
2i53
FY
FY2i53
FY2Yi5Y3
xfxy2xy5xy3
xfxy2xy5xy3
ααα
α
π
αα
αα
αα
αα
αααα
αααααα
α
Questão E se em (3.19.1.1) ( )xf fosse um polinômio definido em ( )∞∞− , ? Exemplo Solucione a EDO de segunda ordem
( ) ( ) ( )xQxDxdx
dD 2
2
2
δϕκϕ =+− , (3.19.1.2)
onde 0, ,D 2 >κκ e Q são constantes. ( ){ } ( )αϕ Ψ=ℑ x Aplicando a transformada de Fourier a (3.19.1.2), obtemos:
( ) ( ){ } ( ){ }xQxDxdx
dD 2
2
2
δϕκϕ ℑ=ℑ+
ℑ−
( ) ( ) QDD 22 =Ψ+Ψ ακαα
142
( ) ( ) QDD 22 =Ψ+ ακα
( )( )22D
Q
καα
+=Ψ
( )( ) 2222
2
D2
Q
2
2
D
Q
κα
κ
κκ
κ
καα
+=
+=Ψ . (3.19.1.3)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.19.1.3), temos que
( ) ( ){ }
+ℑ=Ψℑ= −−
2211 2
D2
Qx
κα
κ
καϕ . (3.19.1.4)
Lembrando que { } 0,2
e22
x>
+=ℑ
− κκα
κκ , podemos escrever (3.19.1.4) como
( ) ( ){ } x1 eD2
Qx κ
καϕ −− =Ψℑ= .
3.19.2 – Equações diferenciais parciais
Derivação sob o sinal de integração – Regra de Leibniz Wilhelm Gottfried Leibniz (1646-1716): matemático e filósofo alemão, considerado, juntamente com o físico e matemático britânico Isaac Newton (1642-1727), fundador (pai) do cálculo diferencial e integral.
Seja ( ) ( )∫=2
1
u
u
dx,xf ααφ , ba ≤≤ α , 1u e 2u dependentes de α . Então
( ) ( ) ( ) ( ) 1122
u
u
ud
d,ufu
d
d,ufdx ,xf
d
d2
1α
αα
ααα
αφα
−+∂
∂= ∫ , (3.19.2.1)
se ( )α,xf e ( )αα
,xf∂
∂ são contínuas em x e α em alguma região do plano αx incluindo
21 uxu ≤≤ e ba ≤≤ α , e se 1u e 2u forem contínuas com derivadas contínuas para ba ≤≤ α . Quando 1u e 2u independem de α , podemos reescrever (3.19.2.1) como
( ) ( )∫ ∂
∂=
2
1
u
u
dx ,xfd
dα
ααφ
α.
143
( )t,xu : função das variáveis 0 t,Rt,x ≥∈ . Fixando a variável temporal t, ( )t,xu torna-se uma função apenas da variável espacial x,
definida na reta. Assim, podemos determinar a transformada de Fourier de ( )t,xu com relação à variável x.
( ){ } ( ) ( ) ( )t,ut,Udxet,xu t,xu^
xi ααα ===ℑ ∫∞
∞−
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ( )t,Udxet,xudx
d t,xu
dx
dt,xu
t,Uidxet,xudx
d t,xu
dx
dt,xu
2
xi2
2
2
2
xx
xix
αα
αα
α
α
−==
ℑ=ℑ
−==
ℑ=ℑ
∫∫
∞
∞−
∞
∞− (3.19.2.2)
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )t,Udt
ddxet,xu
dt
ddxet,xu
tt,xu
tt,xu
xi
xit ααα ==
∂
∂=
∂
∂ℑ=ℑ ∫∫
∞
∞−
∞
∞− (3.19.2.3) Em (3.19.2.2) aplicamos as propriedades da transformada de Fourier sobre derivadas; em (3.19.2.3), a derivada temporal é preservada pela transformada de Fourier (derivamos sob o sinal de integração utilizando a regra de Leibniz). Dessa forma, quando aplicamos a transformada de Fourier a uma equação diferencial parcial em duas variáveis (x e t), as derivadas parciais espaciais ( )xxx u,u
desaparecem e apenas as derivadas temporais ( )ttt u,u permanecem, ou seja, a transformada de Fourier
transforma a equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária em t. A resolução de uma equação diferencial parcial pelas transformadas de Fourier pode ser resumida às seguintes etapas: 1a) Obtenha a transformada de Fourier das condições iniciais e das condições de contorno (se estas existirem); 2a) Aplique a transformada de Fourier à equação diferencial parcial, transformando-a em uma equação diferencial ordinária; 3a) Solucione a equação diferencial ordinária, obtendo ( )t,U α ; 4a) Determine as constantes presentes em ( )t,U α usando as condições iniciais e as condições de contorno; 5a) Aplique a transformada de Fourier inversa a ( )t,U α para obter a solução ( )t,xu da equação diferencial parcial.
144
3.19.2.1 – Equação do calor (EDP parabólica) Solucione a equação do calor
( ) ( )
∞<<∞=
>∞<<∞∂
∂=
∂
∂
x- ,xf0,xu
0 t,x- ,x
u
t
u2
2
κ (3.19.2.1.1)
onde κ é a constante de difusibilidade térmica e ( )
>
≤=
1x se ,0
1x se ,1xf (função pulso unitário).
Solucionar (3.19.2.1.1) é resolver o problema de condução de calor em uma barra homogênea, isolada termicamente e infinita. O problema de valor inicial (3.19.2.1.1) é o problema de Cauchy. Em (3.19.2.1.1), assumimos que a função f(x) é limitada e absolutamente integrável e que ( ) Mt,xu < (a
solução é limitada para 0t ≥ ). Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): matemático francês, um dos maiores matemá-ticos do século XIX. Solução: ( )t,xu
( ){ } ( ) ( )t,Udxet,xu t,xu
xi αα ==ℑ ∫∞
∞−
( ){ } ( ){ } ( ) ( )0 ,
sen20,U0,xuxf ≠==ℑ=ℑ α
α
αα (3.19.2.1.2)
Aplicando a transformada de Fourier em (3.19.2.1.1), obtemos
( ) ( )
∂
∂ℑ=
∂
∂ℑ t,xu
xt,xu
t 2
2
κ
( ) ( )t,Udt
t,dU 2 ακαα
−= . (3.19.2.1.3)
Separando as variáveis em (3.19.2.1.3), chegamos a
145
( )( )
( )[ ]
( )[ ]
( ) 12
2
2
2
Ctt,Uln
dtdtt,Ulndt
d
t,Ulndt
d
dt
t,dU
t,U
1
+κα−=α
κα−=α
κα−=α
κα−=α
α
∫∫
( )t2
Cet,Uκα
α−
= . (3.19.2.1.4) Para determinar a constante C em (3.19.2.1.4), usamos a condição inicial (3.19.2.1.2) ( 0t = )
( ) ( )α
αα
sen2C0,U == . (3.19.2.1.5)
Substituindo (3.19.2.1.5) em (3.19.2.1.4), temos que
( ) ( ) t2
esen2
t,Uκα
α
αα
−
= . (3.19.2.1.6)
Aplicando a transformada inversa de Fourier em (3.19.2.1.6), obtemos a solução procurada.
( ){ } ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫
∞
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
−−
−
−
−
−
−
−
=
=
−=
=
=
ℑ=ℑ
0
xi
xi
11
dexcossen2
t,xu
dexcossen1
t,xu
dxsen ixcosesen1
t,xu
deesen1
t,xu
deesen2
2
1t,xu
esen2
t,U
t2
t2
t2
t2
t2
t2
αα
αα
π
αα
αα
π
αααα
α
π
αα
α
π
αα
α
π
α
αα
κα
κα
κα
κα
κα
κα
α
α
146
Exercícios 01. Resolva o problema de Cauchy
( ) ( )
∞<<∞=
>∞<<∞=
x- ,xf0,xu
0 t,x- ,uu xxt κ.
R.: ( ) ( )∫∞
∞−
−−
=
xi deeF 2
1t,xu
t2
ααπ
ακα
Observação: A solução anterior não é conveniente em certas aplicações práticas, pois a mesma depende de ( ) ( ){ }xfF ℑ=α . Podemos expressar essa solução em função de f(x) usando a propriedade da convolução em (6). SPIEGEL, Murray R. Theory and problems of Fourier analysis, p. 93, problem 5.22. 02. Solucione o problema
( )
∞<<∞=
>∞<<∞=
− x- ,e0,xu
0 t,x- ,uux
xxt κ.
R.: ( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∞∞
∞−
−−
+=
+=
0 2
2
de1
xcos2t,xuou de
1
xcos1t,xu
t2t2
αα
α
πα
α
α
π
κακα
3.19.2.2 – Equação da onda (EDP hiperbólica) Solucione a equação da onda
( ) ( )
( ) ( )
∞<<∞==∂
∂
∞<<∞=
>∞<<∞∂
∂=
∂
∂
=
x- ,xg0,xut
u
x- ,xf0,xu
0 t,x- ,x
uc
t
u
t
0t
2
22
2
2
| (3.19.2.2.1)
onde 2c é a constante relacionada à velocidade de propagação da onda. Solucionar (3.19.2.2.1) é resolver o problema das vibrações transversais de uma corda infinita, homogênea e de peso desprezível. Em (3.19.2.2.1), assumimos que as funções f(x) e g(x) são limitadas e absolutamente integráveis e que ( ) Mt,xu < (a solução é limitada para 0t ≥ ).
Solução: ( )t,xu
147
( ){ } ( ) ( )t,Udxet,xu t,xu
xi αα ==ℑ ∫∞
∞−
( ){ } ( ) ( ){ } ( )0,U0,xuFxf αα =ℑ==ℑ (3.19.2.2.2)
( ){ } ( ) ( ){ } ( )dt
0,dU0,xuGxg t
αα =ℑ==ℑ (3.19.2.2.3)
Aplicando a transformada de Fourier em (3.19.2.2.1), obtemos
( ) ( )
∂
∂ℑ=
∂
∂ℑ t,xu
xct,xu
t 2
22
2
2
( ) ( )t,Uc
dt
t,Ud 222
2
ααα
−=
( ) ( ) 0t,Uc
dt
t,Ud 222
2
=+ ααα
. (3.19.2.2.4)
Família de soluções a dois parâmetros para (3.19.2.2.4): ( ) ( ) ( ) tcsenC tccosCt,U 21 ααα += (3.19.2.2.5) -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. Exercício Verifique que (3.19.2.2.5) é solução de (3.19.2.2.4). -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
( ) ( ) ( ) tccoscC tcsen cCt,Udt
d21 ααααα +−= (3.19.2.2.6)
Para determinar as constantes 1C e 2C em (3.19.2.2.5), usamos as condições iniciais (3.19.2.2.2) e (3.19.2.2.3). Considerando 0t = em (3.19.2.2.5) e usando (3.19.2.2.2), obtemos ( ) ( )αα FC0,U 1 == . (3.19.2.2.7) Considerando 0t = em (3.19.2.2.6) e usando (3.19.2.2.3), obtemos
( ) ( ) ( )α
αααα
c
GCGcC0,U
dt
d22 =⇒== . (3.19.2.2.8)
Substituindo (3.19.2.2.7) e (3.19.2.2.8) em (3.19.2.2.5), temos que
148
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tcsenc
G tccosFt,U α
α
αααα += . (3.19.2.2.9)
Aplicando a transformada inversa de Fourier em (3.19.2.2.9), obtemos a solução procurada.
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )
+ℑ=ℑ −− tcsenc
G tccosFt,U 11 α
α
αααα
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−
+=
xi de tcsenc
G tccosF
2
1t,xu αα
α
ααα
πα (3.19.2.2.10)
Observação: Utilizando a integral de Fourier, podemos mostrar que (3.19.2.2.10) é equivalente a
( ) ( ) ( )[ ]ctxfctxf2
1t,xu −++= quando ( ) ( ){ } ( ) 0Gxg0xg ==ℑ⇒= α .
SPIEGEL, Murray R. Theory and problems of Fourier analysis, p. 93, problem 5.23. Exercício Resolva o problema
( )
( )
∞<<∞=
∞<<∞+
=
>∞<<∞=
x- ,00,xu
x- ,1x
10,xu
0 t,x- ,uu
t
2
xxtt
.
R.: ( )( ) ( )
+−+
++=
1tx
1
1tx
1
2
1t,xu
22
3.19.2.3 – Equação de Laplace (EDP elíptica) A temperatura de estado estacionário em uma chapa semi-infinita é determinada por
( ) ( )
( )
<<==∂
∂
>==
><<=∂
∂+
∂
∂
=
Neumann de cc x0 ,00,xuy
u
Dirichlet de cc 0y ,ey,u ,0y,0u
0y ,x0 ,0y
u
x
u
y
0y
y-
2
2
2
2
| π
π
π
. (3.19.2.3.1)
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemático alemão. John von Neumann (1903-1957): matemático húngaro.
149
O domínio da variável y e a condição estabelecida em 0y = indicam que a transformada cosseno de Fourier é adequada para o problema, uma vez que
( ){ } ( ) ( )0fFxf 'C
2"C −−=ℑ αα .
Figura 54: Condições de contorno para a equação de Laplace.
Solução: ( )y,xu Fixando a variável x, temos que:
( ){ } ( ) ( ) ( )αα ,xUdyy cosy,xu y,xu
0
C ==ℑ ∫∞
( ){ } { } ( ) 0,0U0y,0u CC ==ℑ=ℑ α (3.19.2.3.2)
( ){ } { } ( )1
1,Uey,u
2y
cC+
==ℑ=ℑ −
ααππ (3.19.2.3.3)
Aplicando a transformada cosseno de Fourier em (3.19.2.3.1), obtemos
( ) ( ) { }
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 00,xudy
d,xU
dx
,xUd
0y,xuy
y,xux
0y,xuy
y,xux
22
2
2
2
C2
2
C
C2
2
2
2
C
=−−
=
∂
∂ℑ+
∂
∂ℑ
ℑ=
∂
∂+
∂
∂ℑ
ααα
( ) ( ) 0,xU
dx
,xUd 22
2
=− ααα
. (3.19.2.3.4)
Família de soluções (a dois parâmetros) para (3.19.2.3.4): ( ) ( ) ( ) xsenhC xcoshC,xU 21 ααα += (3.19.2.3.5) ou ( ) x
2 x
1 eCeC,xU ααα −+=
150
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. Exercício Verifique que (3.19.2.3.5) é solução de (3.19.2.3.4).
Observação: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xcoshxsenhdx
d ,xsenhxcosh
dx
d2
eexcosh ,
2
eexsenh
xx xx
==
+=
−=
−− αααα
αα
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
Para determinar as constantes 1C e 2C em (3.19.2.3.5), usamos as condições de contorno (3.19.2.3.2) e (3.19.2.3.3). Considerando 0x = em (3.19.2.3.5) e usando (3.19.2.3.2), obtemos ( ) 0C,0U 1 ==α . (3.19.2.3.6) Considerando π=x em (3.19.2.3.5) e usando (3.19.2.3.3) e (3.19.2.3.6), obtemos
( ) ( )( ) ( )απαα
απαπsenh 1
1C
1
1senhC,U
2222+
=⇒+
== . (3.19.2.3.7)
Substituindo (3.19.2.3.6) e (3.19.2.3.7) em (3.19.2.3.5), temos que
( ) ( )( ) ( )απα
αα
senh 1
xsenh,xU
2 += . (3.19.2.3.8)
Aplicando a transformada cosseno de Fourier inversa em (3.19.2.3.8), obtemos a solução procurada.
( ){ } ( )( ) ( )
+ℑ=ℑ −−
απα
αα
senh 1
xsenh,xU
21
C1
C
( ) ( )( ) ( )
( )∫∞
+=
0 2
dy cossenh 1
xsenh2y,xu αα
απα
α
π
Exercícios 01. Solucione o problema de valor de contorno
( )
( ) ( )
>==
<<=
<<>=+
− 0 x,e,xu ,00,xu
y 0 ,0y,0u
y 0 0, x ,0uu
xy
x
yyxx
π
π
π
.
151
R.: ( ) ( )( ) ( )
( )∫∞
+=
0 2
dx coscosh1
ysenh2y,xu αα
απαα
α
π
02. Usando o método das transformadas de Fourier, mostre que a solução da equação de Laplace no semiplano superior (problema de Dirichlet)
( ) ( )
∞<<∞=
>∞<<∞=+
x- ,xf0,xu
0y ,x- ,0uu yyxx
é dada por
( ) ( )( )∫
∞
∞ +−=
- 22
dyx
Fyy,xu α
α
α
π. (fórmula integral de Poisson)
Siméon-Denis Poisson (1781-1840): matemático francês.
3.20 – Solução de equações integrais e de equações íntegro-diferenciais
Solucione a equação integral
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−−++−=
x3 duuxfug xe3xfxf , (3.20.1)
onde ( )
>
≤=
3,x ,0
3x ,1xg .
Notação: ( ){ } { }α=ℑ Fxf
( ){ } ( )α
α=ℑ
3sen2xg
Aplicando a transformada de Fourier a (3.20.1), temos que
( ){ } ( ){ } { } ( )( ){ }xfgxe3xfxf x3∗ℑ+ℑ+−ℑ=ℑ
−
( ) ( ) ( ) ( )αα+
+αα−α=α α FG
9
6
d
diFeF
2 i3
( ) ( )( )
( ) ( )αα
α+
+α
α+α=α α F
3sen2
9
i12FeF
22
i3
152
( ) ( )
( )22
i3
9
i12F
3sen2e1
+α
α=α
α
α−− α
( )( ) ( )α−α−α
α
+α
α=α
α 3sen2e9
i12F
i322
( )( ) ( )[ ]α−α−α+α
α=α
α 3sen2e9
i12F
i322
2
. (3.20.2)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.20.2), obtemos a solução procurada.
( ) ( ){ }( ) ( )[ ]∫
∞
∞−
α−
α
− αα−α−α+α
α
π=αℑ=
xi
i322
21 de
3sen2e9
i12
2
1Fxf
( ) ( ){ }( ) ( )[ ]∫
∞
∞−
α
α−− α
α−α−α+α
α
π=αℑ=
i322
xi21 d
3sen2e9
e i6Fxf
Exercícios 01. Considere um sistema estável invariante no tempo, caracterizado pela equação diferencial
( ) ( ) ( )xfxy2xy ' =+ , (1)
onde ( ) xe3xf −= u ( )x . Solucione a equação diferencial (1) empregando a transformada de Fourier e suas propriedades. R.: ( ) ( )x2x ee3xy −− −= u ( )x 02. Utilizando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione a equação diferencial
( ) ( )( ) ( )
∞<<∞=
>∞<<∞=
x- xg0,xu
0 t,x- t,xutt,xu xx2
t ,
onde ( )
>
<=
2x ,0
2x ,1xg .
R.: ( ) ( ) ( )∫
∞ α−
αα
αα
π=
0
3
t
dexcos2sen2
t,xu
32
03. Use as transformadas de Fourier para resolver a equação integral
153
( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−−−−+=
ux2x duufe a12
1exf , ( ) 0aRe > .
R.: xaea
1 −
04. Utilizando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione a equação integral
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−− −=+
u4x4 duuxfuhe xfxhxe3 , ( )
<
>=
0 x,0
0 x,1xh .
R.: ( ) ( ) ( )xhee3xf x3x4 −− −=
154
3.21 – Exercícios resolvidos
01. Seja ( ) x3exxf/RR:f −=→ .
a) Calcule ( ) ( ){ }xfF ℑ=α .
Lembrando que ( ){ } ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }xfF ,Fixfx nnn ℑ=αα−=ℑ e que { }22
xa
a
a2e
+α=ℑ
− , 0a > , tem-se
que:
{ } ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1i48
1
1212i4
1
18666i4
1
31616i4
1
2133116i4
1
31
d
di4
1
41
d
di4
1
2121
d
di4
1d
di4
1
2
d
di2
1
1
d
di2
1
2
d
di ex
42
3
42
3
42
33
42
22
62
22232
32
2
32
22
42
222
222
2
222
2
23
3
23
33x3
+α
α−α−=
+α
α−α−=
+α
α+α−α−α−−=
+α
α−α−+αα−−=
+α
α+αα−−+αα−−=
+α
α−
α−=
+α
α−+α
α−=
+α
α+αα−+α
α−=
+α
α
α−=
+α
α−
α=
+αα=
+αα−=ℑ
−
( ){ } ( )( )42
3
1i48Fxf
+α
α−α−=α=ℑ
b) Determine para quanto converge a integral ( )∫
∞
∞ +
−
-
x i 24 2
3
dxe1x
xx.
Propriedade da simetria (dualidade): ( ){ } ( ) ( ){ } ( )α=ℑα−π=ℑ Fxf ,f2xF
( )
( ) α−−
∞
∞
α α−π=+
−−∫ e2dxe
1x
xxi48 3
-
x i4 2
3
( )
α−
∞
∞
α πα−=+
−− ∫ e2dxe
1x
xxi48 3
-
x i4 2
3
155
( )
α−α−
∞
∞
α απ
−=απ
=+
−
∫ e24
ie
i24dxe
1x
xx 33
-
x i4 2
3
( ) ( ) 2
223
242
3
-
x i 24 2
3
e3
ie
3
ie2
24
i
1x
xxdxe
1x
xx | π−=
π−=
π−=
+
−ℑ=
+
− −−
=α
∞
∞∫
c) Calcule para quanto converge a integral ( )∫
∞
∞
π
+
−
-
x i4 2
3
dxe1x4
x2x8.
Propriedade da similaridade: ( ){ } ( ){ } ( )α=ℑ
α=ℑ Fxf ,
aF
a
1axf
( )
( ) ( )
( )[ ]∫∞
∞ π=α
π
+
−ℑ=
+
−
- 42
3x i
4 2
3
|1x2
x2x2dxe
1x4
x2x8
( )
2
3
-
x i4 2
3
e224
i
2
1dxe
1x4
x2x8π
−∞
∞
π
ππ−=
+
−
∫
( ) 2
42
4
-
x i4 2
3
e384
ie
384
idxe
1x4
x2x8π
π−
∞
∞
π π−=
π−=
+
−
∫
02. Utilizando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione a equação diferencial a seguir.
( ) ( ) x3' ' exy5xy −=−
Notação: ( ){ } ( )α=ℑ Yxy
( ) ( ){ } { }⇒ℑ=−ℑ− x3' ' exy5xy ( ){ } ( ){ } { }x3' ' exy5xy −
ℑ=ℑ−ℑ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9
6Y5
9
6Y5Y
9
6Y5Yi
22
22
2
2
+α=α+α−⇒
+α=α−αα−⇒
+α=α−αα−
( )( )( ) 5
DC
9
BA
59
6Y
2222 +α
+α+
+α
+α=
+α+α−=α
156
( )( ) ( )( )9DC5BA6 22 +α+α++α+α=−
D9DC9CB5BA5A6 2323 +α+α+α++α+α+α=−
( ) ( ) ( ) ( )D9B5C9A5DBCA6 23 ++α++α++α+=−
0CA0C9A5
0C A ==⇒
=+
=+
2
3D e
2
3B
6D9B5
0D B −==⇒
−=+
=+
( )5
1
2
3
9
1
2
3Y
22 +α−
+α=α
( )5
52
52
1
2
3
9
6
6
1
2
3Y
22 +α−
+α=α
Como { }22
xa
a
a2e
+α=ℑ
− , 0a > , tem-se que:
( ) ( ){ } x5x31 e20
53e
4
1Yxy −−− −=αℑ=
157
3.22 – Exercícios complementares
01. Determine as seguintes integrais impróprias:
a) ∫∞
∞
-
ixx3- dxee
R.: 5
3
b) ∫∞
∞
-
ix22
x-
dxee
2
R.: 2e
2π
02. Calcule:
a)
ℑ−
2
x2
xe R.: 2-
2
e i 2α
απ
b)
+ℑ−− x22
x
e2e3
2
R.: 4
8e 23
22
-2
++
απ
α
03. Sabendo que { } ( ) 0aRe ,a
a2e
22
xa>
+α=ℑ
− , calcule:
a) ∫∞
∞−
−
+
2
x i
dx9x
e ε
; R.: επ 3e3
−
b) ( ){ }2x4 xx2e −ℑ− . R.:
( ) ( )32
2
22 16
25648
16
i32
+
−+
+ α
α
α
α
04. Calcule as seguintes integrais:
a) ( )∫∞
0
3x- dxx6cose 2
R.: 3e6
3π
b) ( )
∫∞
+
0
2dx
9x
x2cos R.:
6e6
π
c) ( )∫∞
−
0
x 3i210 dxex R.: ( )11
11i23
13
!10+
158
05. Calcule:
a) { }2x3 xe−ℑ R.:
( )32
2
9
36108
+α
α−
b) ( )
+
−ℑ
32
2
9x
x3 R.: α−
απ 32e
18
06. Seja ( ) x32x3 exe2xf/RR:f −−+=→ u ( )x , sendo u ( )
<
>=
0 x0,
0 x,1x a função degrau unitário.
a) Calcule ( ) ( ){ }xfF ℑ=α .
R.: ( )32 i3
2
9
12
α−+
+α
b) Determine ( )αRF .
R.: ( )
( )32
24
9
1713326
+α
+α+α
c) Determine ( )αIF .
R.: ( )
( )32
2
9
272
+α
α−α
d) Calcule ( )
+
−−+ℑ 32
32
9x
ix2x18ix5454.
R.: απα 32e2 u ( )
<απα
>α=α−
α 0,e2
0,0 32
07. Determine as seguintes transformadas: a) ( ){ }4x −δℑ R.: αi4e
b) ( ){ }21xe −−ℑ R.: α
α−
π 4i
e
c) ℑ {5u ( ) −x u ( )5x − } R.: ( ) ( )
α+απδ− α i
e5 i5
d) { }x3x i22ex −ℑ R.:
( )
( )[ ]32
2
92
2336
++α
+α−
159
e) ( )
( )[ ]
++
+−ℑ
3 2
2
92x
2x3 R.: α−α−
απ 3i22e
18
08. Sabendo que { }2
xS
1e
α
α
+=ℑ − , determine
( )∫
∞
+
0 2
dx1x
axxsen .
R.: ae2
−π
09. Seja ( )( )
<
=contrário caso ,0
x se ,xcosxf
π. Determine ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ } ( )21
sen 2xf
α
παα
−=ℑ
10. Seja ( )( )
<
=
contrário caso ,03
x se ,xsenxf
π
. Determine ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ }
−
−=ℑ
3sen
3cos3
1
ixf
2
απαπα
α
11. Resolva a equação integral ( ) ( )
>
<<=∫
∞
1 0,
10 ,1dxx cosxf
0 α
αα .
R.: ( )x
xsen2
π
12. Solucione a equação integral ( ) ( )
≥
<≤
<≤
=∫∞
2 0,
21 2,
10 ,1
dxxsenxf
0 α
α
α
α .
R.: ( ) ( )[ ]x2cos2xcos1x
2−+
π
160
13. Seja ( )
>
≤=
ε
εε
x ,0
x ,2
1
xf .
a) Determine a transformada de Fourier de f(x).
R.: ( ) ( )αε
αεα
senF = , ( ) 10F =
b) Calcule o limite dessa transformada quando +→ 0ε . R.: 1
14. Duas funções muito usadas no estudo de sinais são as funções ( )
<
=
>
=
2
1x ,1
2
1x ,
2
12
1x ,0
xrect (função
retangular) e ( ) ( )x
xsenxsinc = . Mostre que ( ){ }
α=ℑ
2sincxrect .
15. Seja ( )
>
<=
1x ,0
1x ,xxf .
a) Esboce o gráfico de ( )xf .
b) Calcule ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ } ( ) ( )[ ]αα−αα
=ℑ cosseni2
xf2
c) Use (b) para calcular ( ) ( )[ ]
∫∞
∞−
−
4
2
dxx
xsenxcosx.
R.: 3
π
16. Seja ( )
π>
π≤=
4x 0,
4x ,4
x
xf .
a) Calcule ( )∫∞
∞−
dxxf .
R.: 24π
161
b) A função ( )xf pode ser representada na forma integral? Justifique.
c) Em caso afirmativo, para quanto converge a integral de Fourier de ( )xf ?
d) Calcule ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ } ( ) ( )[ ]παπα−παα
=ℑ 4cos44sen2
ixf
2
17. Seja ( )
>
≤−=
ax ,0
ax ,a
x1
xf , 0a > .
a) Esboce o gráfico de ( )xf .
b) A função ( )xf é absolutamente integrável? Justifique.
c) Calcule ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ } ( )[ ]α−α
=ℑ acos1a
2xf
2
d) Use (c) para calcular ( )[ ]
∫∞
∞−
−
4
2
dxx
x2cos1.
R.: 3
8π
18. Seja ( ) ( )xcosexf x−= , 0x > . Calcule ( ){ }xfCℑ .
R.: ( ){ }4
2xf
4
2
C+α
+α=ℑ
19. Calcule ( ) ( )∫
∞
+
+
0
4
2
dx4x
axcos2x, +∈ Ra , { }0w;RwR >∈=+ .
R.: ( ) 0a,acose2
a >π −
20. Considere um sistema estável invariante no tempo, caracterizado pela equação diferencial
( ) ( ) ( ) ( )xfxy45xy24xy3 '" =++ , (1)
162
onde ( ) x4e4xf −= u ( )x . Solucione a equação diferencial (1) empregando as transformadas de Fourier e suas propriedades.
R.: ( )x3x4x5 ee2e3
2 −−− +− u ( )x
21. Usando as transformadas de Fourier, solucione a equação diferencial parcial
( )
( )
=
=
>>=
−x
xxt
e0,xu
0t,0u
0 t0, x,u2u
,
com ( )t,xu limitada.
R.: ( ) ( )∫
∞
−
+=
0
t22
de1
x sen 2t,xu
2
αα
αα
πα
22. Utilizando as transformadas de Fourier, solucione a equação diferencial parcial
0 t,x- ,x
u9
t
u2
2
2
2
>∞<<∞∂
∂=
∂
∂, sujeita às condições iniciais ( ) 00,xu t = e ( )
>
<=
2x ,0
2x ,10,xu .
R.: ( ) ( ) ( )∫
∞
∞
−=
-
xi det 3cos2 sen 1
t,xu αα
αα
πα ( ) ( ) ( )
∫∞
=
0
d xcos t3cos2sen
2
αα
ααα
π
23. Empregando as transformadas de Fourier e suas propriedades, solucione o seguinte problema de valor inicial:
( )
∞<<∞=
>∞<<∞+=
− x- ,e0,xu
0 t,x- ,u2u4ux2
xxxt.
R.: ( )( )
∫∞
∞
−−
+=
-
xi2
t i2-4
de4
e 2t,xu
2
ααπ
ααα
24. Empregando as transformadas de Fourier, solucione o problema de vibração na viga infinita.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
∞<<∞=
∞<<∞=
>∞<<∞=
x- xg0,xu
x- xf0,xu
0 t,x- t,xuct,xu
t
xxxx2
tt
163
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tcsenhc
GtccoshFt,U 2
22 α
α
α+αα=α ( ) ( )∫
∞
∞−
α− ααπ
=
xi det,U 2
1t,xu
25. Empregando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione o problema de valor inicial abaixo.
( ) ( )
( )( )
∞<<∞=
∞<<∞=
>∞<<∞∂
∂=
∂
∂
−
x- 00,xu
x- e 0,xu
0 t,x- t,xux
2t,xut
t
x
6
6
2
2
2
R.: ( ) ( ) ( )∫
∞ α
αααπ
π=
0
34-
dxcost2coset,xu
2
164
165
4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749-1827): matemático, físico e astrônomo francês. Embora Laplace tenha usado a transformada integral que recebeu seu nome, é mais provável que essa
integral tenha sido descoberta por Euler (função gama: ( ) ∫∞
−−=Γ
0
x1n dxex n ).
4.1 – Definição da transformada de Laplace
4.1.1 – Motivação Solução de equações íntegro-diferenciais, como
( ) ( ) ( ) ( )tEdi C
1tRiti
dt
dL
t
0
=++ ∫ ττ , (4.1)
e de equações diferenciais ordinárias, tais como
( ) ( ) ( ) ( )tEtqC
1tq
dt
dRtq
dt
dL
2
2
=++ . (4.2)
Nas equações (4.1) e (4.2) temos que ( )ti é a corrente, ( )tq é a carga instantânea no capacitor e
( )tE é a força eletromotriz (f.e.m) em um circuito elétrico em série L-R-C, como o representado na Figura 55.
Figura 55: Circuito em série L-R-C – [13].
A força eletromotriz é muitas vezes seccionalmente contínua, como ilustra a Figura 56.
166
(a) (b)
Figura 56: (a) Dente de serra; (b) onda quadrada. – [17]
4.1.2 – Função de Heaviside
No estudo da transformada de Laplace, definimos u ( )at − para 0t ≥ como
u ( )
≥
<≤=−
a tse 1,
at0 se ,0at , (4.1.2.1)
onde a é uma constante positiva. Quando multiplicada por outra função definida para 0t ≥ , a função degrau unitário (4.1.2.1) cancela uma porção do gráfico da função. Exemplo
( ) ( )tsentf = u ( )( )
≥
<≤=−
π
ππ
2 tse ,tsen
2t0 se ,02t , uma vez que u ( )
≥
<≤=−
π
ππ
2 tse 1,
2t0 se ,02t .
(a) (b)
Figura 57: (a) Gráfico de ( ) ( )tsentf = ; (b) gráfico de ( ) ( )tsentf = u ( )π2t − .
167
A função degrau unitário (4.1.2.1) pode ser usada para escrever funções definidas por várias sentenças em uma forma compacta. Exemplo A voltagem em um circuito é dada por
( )
≥
<≤=
5 tse 0,
5t0 se ,t20tE . (4.1.2.2)
Lembrando que u ( )
≥
<≤=−
5 tse 1,
5t0 se ,05t , podemos expressar (4.1.2.2) como
( ) t20t20tE −= u ( )5-t .
Exercício
Seja ( )
≥−
<≤=
2 t,t21
2t0 ,t tf . Escreva ( )tf de forma compacta usando a função degrau unitário.
R.: ( ) ( )t31ttf −+= u ( )2t −
4.1.2.1 - Generalização
1. ( )( )( )
( ) ( ) ( )tgtgtf então ,a tse ,th
at0 se ,tgtf Se −=
≥
<≤= u ( ) ( )tha-t + u ( )a-t .
2. ( ) ( ) ( ) ( )tgtf então ,
b tse 0,
bta se ,tg
at0 se ,0
tf Se =
≥
<≤
<≤
= [u ( )−a-t u ( )b-t ].
Exercício Seja ( )tf a função representada graficamente abaixo.
168
f(t) 4 2 t 2 5 Expresse ( )tf de forma compacta usando a função degrau unitário.
R.: ( )
+=
3
2t
3
2tf [u ( )−− 2t u ( )5t − ]
4.1.3 – Transformada de Laplace
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iyxs onde ,dte tf tH dtee tf tH sFtf
st
iytxt +−==== ∫∫∞
∞−
−
∞
∞−
(4.1.3.1)
( )tf : função original
( )sF : função transformada ste− : núcleo da transformação
CR:f →
CC:F →
Como ( )tH é a função de Heaviside, podemos escrever (4.1.3.1) como
L ( ){ } ( ) ( )∫∞
−==
0
stdte tf sFtf . (4.1.3.2)
A expressão (4.1.3.2) é chamada transformada de Laplace unilateral1 de ( )tf . A transformada
existe se a integral imprópria em (4.1.3.2) converge para algum valor de s. Notação L ( ){ } ( )sFtf = L ( ){ } ( )sGtg = L ( ){ } ( )sYty =
1 A transformada de Laplace bilateral é definida como ( )∫∞
∞−
−
stdtetf .
169
Se L ( ){ } ( ) ( )∫∞
−==
0
stdte tf sFtf , então L ( ){ } ( ) ( )∫π==−
C
st1 dse sFi 2
1tfsF é a transformada de
Laplace unilateral inversa.
( )tf ( )sF ( )tf
L L 1−
Figura 58: Transformadas de Laplace. Podemos estabelecer uma relação entre as transformadas de Fourier e de Laplace. Se na
transformada de Laplace de ( )tf , ( ) ( )∫∞
∞−
iytxt dtee tf tH , considerarmos ( ) ( ) ( ) xte tf tHtg = , teremos
( )∫∞
∞−
iyt dte tg , que nada mais é do que a transformada de Fourier de ( )tg .
A transformada de Laplace unilateral de uma função CR:f → é uma função CC:F → que
associa a ( )tf uma função complexa ( ) ( )( )sD
sNsF = , onde ( )sN e ( )sD são polinômios com coeficientes
reais. Os valores de s tais que ( ) 0sN = são os zeros da transformada ( )sF ; os valores de s tais que
( ) 0sD = são os polos da transformada ( )sF . Exemplo Como veremos posteriormente, a transformada de Laplace da função ( ) t2e31tf += , 0t ≥ , é a
função complexa ( ) ( )( )2ss
1s22sF
−
−= , ( ) 2sRe > .
Zeros de ( )sF : 2
1s =
Polos de ( )sF : 0s = , 2s =
170
Im(s) 2 Re(s)
Figura 59: Polos e região de convergência de ( ) ( )( )2ss
1s22sF
−
−= .
Observações 1a) No exemplo, cada polo de ( )sF está associado à uma exponencial da função ( )tf (os polos são os coeficientes nos expoentes).
2a) Se ( ) ( )kassD −= , com k inteiro e positivo, as = é um polo de ordem k de ( )sF . No exemplo, 0s = e 2s = são polos de ordem um (ou polos simples).
Exemplo 1 Calcular L{ }1 .
L{ } ( ) 0sRe ,s
1
s
1
s
elim
s
elimdte limdte 1
sb
b
b
0
st
b
b
0
st
b
0
st >=
+−=
−===
−
∞→
−
∞→
−
∞→
∞
− ∫∫
Im(s) Re(s) 0
Figura 60: Polos e região de convergência de ( )s
1sF = .
171
Exemplo 2
As transformadas L
t
1 e L{ }2te não existem, ou seja, as integrais impróprias ∫
∞ −
0
st
dtt
e e
∫∞
−
0
stt dte 2
são divergentes.
Exemplo 3
L{ } ( ) ( )∫∫∫ −
∞→
∞
−
∞
− ===
b
0
tsc
b
0
tsc
0
stctct dte limMdte MdteMe Me
( ) ( )
( ) csRe ,cs
M
sc
1
sc
elim
sc
elim
bsc
b
b
0
tsc
b>
−=
−−
−=
−=
−
∞→
−
∞→
4.2 – Funções de ordem exponencial
Uma função ( )tf é de ordem exponencial c quando ∞→t se existem constantes reais c, 0M > e 0N > tais que
( ) Nt ,Mtfe ct >∀<−
ou
( ) Nt ,Metf ct >∀< .
Exemplos 1. A função ( ) ttf = é de ordem exponencial para 0t > .
0N 1,M 1,c
0 t,et t
===
><
172
Figura 61: Gráfico de ( ) tetf = e de ( ) ttf = .
2. A função ( ) tetf −= é de ordem exponencial para 0t > .
0N 1,M 1,c
0 t,ee tt
===
><−
Figura 62: Gráfico de ( ) tetf = e de ( ) tetf −= .
3. A função ( ) ( )tcos2tf = é de ordem exponencial para 0t > .
( )
0N 2,M 1,c
0 t,e2tcos2 t
===
><
173
Figura 63: Gráfico de ( ) te2tf = e de ( ) ( )tcos2tf = .
4. A função ( )2tetf = não é de ordem exponencial.
Figura 64: Gráfico de ( )
2tetf = e de ( ) t2etf = . 5. Todo polinômio é uma função de ordem exponencial.
174
4.3 – Convergência da transformada de Laplace unilateral
4.3.1 – Convergência absoluta e condicional
( )∫∞
a
dttf é dita absolutamente convergente se ( )∫∞
a
dttf convergir. Se ( )∫∞
a
dttf convergir
mas ( )∫∞
a
dttf divergir, então ( )∫∞
a
dttf é dita condicionalmente convergente.
Teorema: Se ( )∫∞
a
dttf convergir, então ( )∫∞
a
dttf converge.
4.3.2 - Condições suficientes para a convergência Seja ( )tf uma função seccionalmente contínua em todo intervalo finito Nt0 ≤≤ e de ordem
exponencial c para Nt > . Então, a transformada de Laplace unilateral ( )sF de ( )tf existe para todo ( ) csRe > .
Prova
L ( ){ } ( )∫∞
−=
0
stdtetf tf
( ) ( )44344214434421
II
N
st
I
N
0
st dtetf dtetf ∫∫∞
−− +=
I : integral própria (ou uma soma de integrais próprias) II: integral imprópria
( ) ( ) ( ) {{
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) csRe xse ,cx
eM
cx
e
cx
elimM
cx
elimMdte limMdte Mdtee M
dteMe dtetf dtetf dtetf
NcxNcxb cx
b
b
N
t cx
b
b
N
t cx
b
N
t cx
N
xtct
N )2(
xt
)1(
ct
N
st
N
st
N
st
>=−
=
−+
−−=
−−====
≤≤≤
−−−−−−
∞→
−−
∞→
−−
∞→
∞
−−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∫∫∫
∫∫∫∫
(1): f(t) é de ordem exponencial c (2): iyxs +=
175
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) xt2xtxt222xt2
2xt22xt22xt2xt
xtxtxtiytxtt iyxst
eeeytsenytcose
ytseneytcoseytseneytcose
ytsenieytcoseytisenytcoseeeee
−−−−
−−−−
−−−−−+−−
===+=
+=+=
−=−===
Como II converge, L ( ){ }tf converge (se ( ) csRe > ).
4.4 – Transformada de Laplace unilateral das funções elementares
4.4.1 – f(t) = tn
L{ } ∫∫ −
∞→
∞
− ==
b
0
stn
b
0
stnn dte tlimdtet t
Integrando ∫ − dtet stn por partes, temos que:
L{ }
+−= ∫ −−
−
∞→
b
0
st1nb0
stn
b
n dtet s
n
s
etlimt
{
+−= ∫ −−
−
∞→
b
0
st1n*
sbn
bdtet
s
n
s
eblim
s
ndtet
s
n
0
st1n == ∫∞
−−L{ } ( ) 0sRe ,t 1n >−
*: função de decrescimento rápido para ( ) 0sRe >
L{ }s
kt k = L{ }1kt −
⇒= 1k L{ }s
1t = L{ } ( ) 0sRe ,
s
1
s
1
s
11
2>==
⇒= 2k L{ }s
2t 2 = L{ } ( ) 0sRe ,
s
!2
s
1
s
2t
32>==
⇒= 3k L{ }s
3t 3 = L{ } ( ) 0sRe ,
s
!3
s
!2
s
3t
432 >==
176
⇒= 4k L{ }s
4t 4 = L{ } ( ) 0sRe ,
s
!4
s
!3
s
4t
543 >==
M
⇒= nk L{ }s
nt n = L{ } ( ) ( ) 0sRe ,
s
!n
s
!1n
s
nt
1nn1n >=
−=
+
−
L{ } ( ) ( ) 0sRe ,s
1n
s
!nt
1n1nn >
+Γ==
++
A função gama
( ) ∫∞
−−=Γ
0
t1n dtet n
( ) =Γ n L{ }1nt − s=1
( ) =Γ 2 L{ }t s=1 11
12
==
( ) =Γ 4 L{ }3t s=1 61
!34
==
( ) ( ) !nnn1n =Γ=+Γ
( ) ( )( )
1p0 ,psen
p1p <<π
π=−ΓΓ
π=
Γ
2
1
Referências: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2004. Exercícios Calcule as integrais:
01. ∫∞
−
0
t100 dtet R.: !100
177
02. ∫∞
−
0
t23 dtet R.: 8
3
4.4.2 – f(t) = eat
L{ } ( ) ( ) Ra a,sRe ,as
1dte dtee e
0
tsa
0
statat ∈>−
=== ∫∫∞
−
∞
−
4.4.3 – Transformada de algumas funções elementares
( )tf ( )sF
1 ( ) 0sRe ,s
1>
ate ( ) asRe ,as
1>
−
nt ( ) ( ) 0sRe ,s
1n
s
!n1n1n
>+Γ
=++
( )atcos ( ) 0sRe ,as
s22
>+
( )atsen ( ) 0sRe ,as
a22
>+
Tabela 3: Transformada de Laplace unilateral de algumas funções elementares.
Exercícios 01. Calcule as integrais:
a) ( )∫∞
−
0
t3 dte10tsen R.: 109
10
b) ( )∫∞
−
0
t2 dtetcos R.: 5
2
02. Seja ( )
>
≤≤=
5 tse 1,
5t0 se ,t2tf . Determine L ( ){ }tf .
R.: L ( ){ } ( ) s5s52
es
9e1
s
2tf −− −−=
178
03. Empregando a definição de transformada de Laplace unilateral, mostre que:
a) L ( ){ } ( ) 0sRe ,Ra ,as
satcos
22>∈
+= ;
b) L ( ){ } ( ) 0sRe ,Ra ,as
aatsen
22>∈
+= .
4.5 – Propriedades da transformada de Laplace unilateral
4.5.1 – Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s→∞ Se ( )tf é uma função seccionalmente contínua para [ ]N,0t ∈ e de ordem exponencial para
Nt > , então ( ) 0sFlim
s=
∞→
4.5.2 – Linearidade A transformada de Laplace é um operador linear. Assim, se a e b são constantes quaisquer, então L ( ) ( ){ }=+ tg btf a a L ( ){ }tf + bL ( ){ }tg ( ) ( )sbGsaF += . Prova Segue da definição de transformada de Laplace e da propriedade de linearidade da integral.
L ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]∫∞
−+=+
0
stdte tbgtaf tbgtaf
( ) ( ) ( ) ( )sbGsaFdte tg bdte tf a
0
st
0
st +=+= ∫∫∞
−
∞
−
Exemplos 1. L ( ){ }=+− − t2 e5tcos3t4 4L{ }−2t 3L ( ){ }+tcos 5L{ }te−
( ){
( ) ( ){
( ) 0sRe ,1s
5
1s
s3
s
8
1s
15
1s
s3
s
2!4
23
1sRe0sRe
2
0sRe
3
>+
++
−=
++
+−=
−>>>321
179
2. L ( ){ }=tsen 2L
( )=
−
2
t2cos1
2
1L{ }
2
11 − L ( ){ }t2cos
( ){
( )
( ) ( ) ( )( ) 0sRe ,
4ss
2
4ss2
s4s
4s2
s
2s
1
4s
s
2
1
s
1
2
1
22
22
2
0sRe
2
0sRe
>+
=+
−+=
+−=
+−=
>>321
3. L ( ){ }=atsenh L2
1
2
ee atat
=
− −
L{ }2
1eat − L{ }ate−
( ){
( ){
( )( ) ( )
( ) asRe ,as
a
as2
a2
as2
asas
as
1
2
1
a-s
1
2
1
222222
asReasRe
>−
=−
=−
−−+=
+−=
−>>
4. L ( ){ }=atcosh L2
1
2
ee atat
=
+ −
L{ }2
1eat + L{ }ate−
( ){
( ){
( )( ) ( )
( ) asRe ,as
s
as2
s2
as2
asas
as
1
2
1
a-s
1
2
1
222222
asReasRe
>−
=−
=−
−++=
++=
−>>
5. L{ }=iate L ( ) ( ){ }=+ atsen iatcos L ( ){ } iatcos + L ( ){ }atsen
( ) ( )
( )( )( ) 0sRe ,
ias
1
iasias
ias
as
ias
as
ai
as
s
22
0sRe
22
0sRe
22
>−
=−+
+=
+
+=
++
+=
>>
321321
Com os últimos exemplos, podemos ampliar a tabela de transformadas de Laplace.
180
( )tf ( )sF
1 ( ) 0sRe ,s
1>
ate ( ) asRe ,as
1>
−
nt ( ) ( ) 0sRe ,s
1n
s
!n1n1n
>+Γ
=++
( )atcos ( ) 0sRe ,as
s22
>+
( )atsen ( ) 0sRe ,as
a22
>+
( )atcosh ( ) asRe ,as
s22
>−
( )atsenh ( ) asRe ,as
a22
>−
iate ( ) 0sRe ,ias
1>
−
Tabela 4: Transformada de Laplace unilateral das funções elementares.
Exercícios Calcule as integrais:
01. ( )∫∞
−
0
t22 dtetsen R.: 8
1
02. ( )∫∞
−
0
t3 dte2tcosh R.: 5
3
03. ( )∫∞
−
0
t5 dte4tsenh R.: 9
4
04. ( )∫∞
−
0
t102 dtetcos R.: 520
51, L ( ){ }
( )( ) 0sRe,
4ss
2stcos
2
22 >
+
+=
181
4.5.3 – Primeira propriedade de translação ou deslocamento Teorema: Se L ( ){ } ( )sFtf = , então L ( ){ } ( )asFtfeat −= . Prova
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )asFdte tf dte tfe tfe
0
t as
0
statat −=== ∫∫∞
−−
∞
−
Exemplo L ( ){ }t2cose t−
( ) ( )t2costf =
L ( ){ } ( ) ( ) 0sRe ,4s
ssFtf
2>
+==
L ( ){ } ( )( ) 5s2s
1s
41s
1s1sFt2cose
22t
++
+=
++
+=+=−
4.5.4 – Segunda propriedade de translação ou deslocamento
Teorema: Se L ( ){ } ( )sFtf = e ( )( )
( )atfa t0,
a t,atftg −=
<
≥−= u ( )a-t , sendo u ( )a-t a função
degrau unitário dada por u ( )
≥
<≤=−
a t1,
at0 ,0at , então L ( ){ } ( )sFetg as−= .
Prova ∞→⇒∞→→⇒→=+=⇒=− u t0,ua tdu,dt ,autuat
L ( ){ } ( ) ( )∫∫∞
−
∞
− −==
a
t s
0
st dte atf dte tg tg
( ) ( ) ( ) ( ) ( )sFedue uf eduee uf due uf as
0
suas
0
sasu
0
au s −
∞
−−
∞
−−
∞
+− ==== ∫∫∫
Exemplo
( ) ( ) ( )33
2t2t0 0,
2 t,2ttg −=
<≤
≥−= u ( )2-t , u ( )
≥
<≤=−
2 t1,
2t0 ,02t
( ) 2a ,ttf 3 ==
182
L{ } ( ) 0sRe ,s
6
s
!3t
443 >==
L ( ){ }4
s2
4s2
s
e6
s
6etg
−− ==
Exercício
Mostre que L{u ( )at − } s
e as−
= , ( ) 0sRe > , onde u ( )
≥
<≤=−
a t1,
at0 ,0at .
4.5.5 – Similaridade (ou mudança de escala)
Teorema: Se L ( ){ } ( )sFtf = , então L ( ){ } 0a ,a
sF
a
1atf >
= .
Prova
∞→⇒∞→→⇒→==⇒= u t0,u0 t,a
dudt ,
a
utuat
L ( ){ } ( )∫∞
−=
0
stdte atf atf
( ) ( )
=== ∫∫
∞
−
∞
−
a
sF
a
1due uf
a
1
a
due uf
0
ua
s
0
a
u s
Exemplo L ( ){ }t3sen ( ) ( )tsentf =
L ( ){ } ( ) ( ) 0sRe ,1s
1sFtf
2>
+==
L ( ){ }9s
3
9s
9
3
1
13
s
1
3
1
3
sF
3
1t3sen
222 +=
+=
+
=
=
Exercícios Determine a transformada de Laplace das funções a seguir, especificando para quais valores de s a transformada existe.
183
01. L{ }t4e2 R.: ( ) ( ) 4sRe ,4s
2sF >
−=
02. L ( ){ }22 1t + R.: ( ) ( ) 0sRe ,s
24s4ssF
5
24
>++
=
03. L ( ) ( )[ ]{ }2tcostsen − R.: ( )( )
( ) 0sRe ,4ss
4s2ssF
2
2
>+
+−=
04. L ( ) ( )[ ]{ }t2cosh5t2senh3e t2 − R.: ( )( )
( ) 4sRe ,4ss
s516sF >
−
−=
4.5.6 – Transformada de Laplace unilateral de derivadas Teorema 1: Seja L ( ){ } ( )sFtf = . Então
L ( ){ } ( ) ( )0fssFtf ' −= , 0s >
se ( )tf é contínua para Nt0 ≤≤ e de ordem exponencial para Nt > , enquanto ( )tf ' é seccionalmente contínua para Nt0 ≤≤ .
Prova
L ( ){ } ( ) ( )∫∫ −
∞→
∞
− ==
b
0
st'
b
0
st'' dte tf limdte tf tf
(4.5.6.1)
Empregando integração por partes em (4.5.6.1), temos que:
L ( ){ } ( ) ( )
+= ∫ −−
∞→
b
0
st
b
0
st
b
' dtetf stfelimtf |
( )( )
( ) ( )
( ) ( )0fssF
dtetf s0fbfelim
b
0
st
0sRe se 0
sb
b
−=
+−= ∫ −
>→
−
∞→ 43421
Teorema 2: Se no Teorema 1 ( )tf deixa de ser contínua em 0t = mas ( ) ( )+
→=
+0ftflim
0t existe
(mas não é igual a ( )0f , que pode ou não existir), então
184
L ( ){ } ( ) ( )+−= 0fssFtf ' . Teorema 3: Se no Teorema 1 ( )tf é descontínua em at = , então
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )[ ]−+− −−−= afafe0fssFtf as' ,
onde ( ) ( )−+ − afaf é chamado salto na descontinuidade at = . Para mais de uma descontinuidade, podemos fazer modificações apropriadas. Teorema 4: Seja L ( ){ } ( )sFtf = . Então
L ( ){ } ( ) ( ) ( )0f0sfsFstf '2" −−=
se ( )tf e ( )tf ' são contínuas para Nt0 ≤≤ e de ordem exponencial para Nt > , enquanto ( )tf " é seccionalmente contínua para Nt0 ≤≤ .
Prova L ( ){ } stf " = L ( ){ } ( )0ftf '' −
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )0f0sfsFs
0f0fssFs '2
'
−−=
−−=
Exercício
Mostre, por recursividade, que
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )0f0sf0fssFstf '''23''' −−−= .
Teorema 5 (generalização): Seja L ( ){ } ( )sFtf = . Então
L( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0f0f s0fs0fs0fssFstf 1n2n"3n'2n1nnn −−−−− −−−−−−= L
se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tf, ,tf" ,tf ,tf 1-n' K são contínuas para Nt0 ≤≤ e de ordem exponencial para Nt > ,
enquanto ( ) ( )tf n é seccionalmente contínua para Nt0 ≤≤ . Exemplo
Mostrar que L ( ){ } ( ) 0sRe ,as
aatsen
22>
+= .
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )atsena tf
atcosa tf
atsen tf
2"
'
−=
=
=
185
L ( ){ }=tf "L ( ){ }atsena 2−
( ) ( ) ( ) =−− 0f0sfsFs '2L ( ){ }atsena 2− , ( ) 0sRe >
2s L ( ){ } ( ) =−− a0satsen L ( ){ }atsena 2−
2s L ( ){ } =− aatsen 2a− L ( ){ }atsen
( )22 as + L ( ){ } aatsen =
L ( ){ }22 as
aatsen
+=
Exercício
Empregando a transformada da derivada, mostre que L ( ){ } ( ) 0sRe ,as
satcos
22>
+= .
4.5.7 – Transformada de Laplace unilateral de integrais Teorema: Seja L ( ){ } ( )sFtf = . Então
L ( ) ( )s
sFduuf
t
0
=
∫ .
Prova
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 00g
tftgduuf tg '
t
0
=
=⇒= ∫
L ( ){ }=tg 'L ( ){ }tf
sL ( ){ } ( ) ( )sF0gtg =−
sL ( ){ } ( )sFtg =
L ( ){ } ( )⇒=
s
sFtg L ( ) ( )
s
sFduuf
t
0
=
∫
Exemplo
L ( ) =
∫t
0
duu2sen L ( ){ }u2sen s÷( )
=+
=+=4ss
2
s4s
2
2
2
L ( ){ }tsen 2
186
4.5.8 – Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicação por tn) Teorema: Se L ( ){ } ( )sFtf = , então
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sF1sFds
d1tft nn
n
nnn −=−= .
Prova
( ) ( )∫∞
−=
0
stdte tf sF
Derivando sob o sinal de integração (regra de Leibniz), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫∞
−
∞
−
∂
∂===
0
st
0
st' dte tfs
dte tf ds
dsFsF
ds
d
( ) ( )[ ] - dtetft dte tft -
0
st
0
st =−== ∫∫∞
−
∞
−L ( ){ }tft
L ( ){ } ( ) ( )sFsFds
dtft '−=−=
Demonstramos até aqui o teorema para 1n = . Para prová-lo integralmente, usaremos indução
matemática. Suponha que o teorema é verdadeiro para kn = , isto é,
( )[ ] ( ) ( ) ( )sF1dte tft kk
0
stk −=∫∞
− .
Logo:
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]sF1ds
ddte tft
ds
d kk
0
stk −=∫∞
−
( )[ ] ( ) ( )( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )sF1dte tfts
sF1dte tft ds
d
1kk
0
stk
1kk
0
stk
+
∞
−
+
∞
−
−=∂
∂
−=
∫
∫
187
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )sF1dte tft
sF1dte tft
1k1k
0
st1k
1kk
0
st1k
++
∞
−+
+
∞
−+
−=
−=−
∫
∫
Assim, mostramos que o teorema também é válido para 1kn += . Como o teorema é válido para 1n = , também o é para 2n = , 3n = e para qualquer valor inteiro positivo de n. Exemplo L{ }t22et
( ) t2etf =
L ( ){ } ( ) ( ) 2sRe ,2s
1sFtf >
−==
L{ }( )2
t2
2s
1
2s
1
ds
dte
−=
−−=
L{ }( ) ( )322
2t22
2s
2
2s
1
ds
d
2s
1
ds
det
−=
−−=
−=
4.5.9 – Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (divisão por t) Teorema: Se L ( ){ } ( )sFtf = , então
L( ) ( )∫
∞
=
s
duuF t
tf desde que
( )t
tflim
0t +→ exista.
Prova
Seja ( ) ( ) ( ) ( )tg ttft
tftg =⇒=
L ( ){ }=tf L ( ){ }tg t
L ( ){ } ( )sGds
dtf −=
( ) ( )
( ) ( )sFsGds
d
sGds
dsF
−=
−=
Integrando a igualdade anterior, obtemos:
188
( ) ( )∫∫∞∞
−=
s
s
duuF duuGdu
d
( ) ( )∫∞
∞→−=
s
b
sb
duuF uGlim |
( ) ( )[ ] ( )∫∞
∞→−=−
s b
duuF sGbGlim
Como ( ) 0bGlim
b=
∞→:
( ) ( )∫∞
−=−
s
duuF sG
( ) ( )∫∞
=
s
duuF sG
L ( ){ }=tg L( ) ( )∫
∞
=
s
duuF t
tf
Exemplo
L( )
t
tsen
Como L ( ){ } ( ) ( )∫
=
+=>
+=
+→:
a
zarctg
a
1
az
dz e 1
t
tsenlim 0,sRe ,
1s
1tsen
220t2
L( )
∫∫ +=
+=
∞→
∞ b
s
2b
s
2du
1u
1limdu
1u
1
t
tsen
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )
=−=
−==∞→∞→
s
1arctgsarctg
2
sarctgbarctglim uarctglimb
bs
b
π
Exemplo
Provar que ( )
=−
s
1arctgsarctg
2
π.
189
( )2s
1arctgsarctg
π=
+
Como ( ) ( ) stgsarctg =⇒= αα e ( )s
1tg
s
1arctg =⇒=
ββ , temos que:
2
πβα =+
( )
=+
2coscos
πβα
( ) ( ) ( ) ( ) 0sensencoscos =− βαβα ( ) ( ) ( ) ( )βαβα sensencoscos =
( )( )
( )( )β
β
α
α
cos
sen
sen
cos=
( )
( )βα
tgtg
1= ⇒
s
1
s
1=
4.5.10 – Convolução Teorema: Sejam ( )tf e ( )tg funções seccionalmente contínuas em ),0[ ∞ e de ordem exponencial. Então
L ( )( ){ }=∗ tgf L ( ){ }tf L ( ){ } ( ) ( )sGsFtg = .
Prova Aqui definimos a convolução como
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=−=∗
t
0
t
0
duugutf duutguf tgf .
Sejam ( ) =sF L ( ){ } ( )∫∞
τ− ττ=
0
s def tf e ( ) =sG L ( ){ } ( )∫∞
β− ββ=
0
s deg tg .
Assim:
190
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫
∫∫∞ ∞
+
∞
−
∞
−
=
=
0
0
s-
0
s
0
s
d dgfe
deg def sGsF
βτβτ
ββττ
βτ
βτ
Fixando τ e considerando βτββτ ddt e tt =−=⇒+= , temos que
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞
−=
0
0
st- ddt tge fsGsF τττ .
Como ( )tf e ( )tg são funções seccionalmente contínuas em ),0[ ∞ e de ordem exponencial, podemos inverter a ordem de integração. Dessa forma
( ) ( ) ( ) ( )
( )∫
∫ ∫∞
−
∞
−
∗=
ττ−τ=
0
st
0
t
0
st
dtgfe
dtd tgf esGsF
=L{ }gf ∗ . Exemplo
L ( ) =
−∫t
0
u duutsene L ( ){ }=∗ tsene tL{ }te L ( ){ }
( )( )1s1s
1
1s
1
1s
1tsen
22 +−=
+−=
4.5.11 – Valor inicial Teorema: Se os limites indicados existem, então
( ) ( )ssFlimtflims0t ∞→→
= .
Prova
L ( ){ } ( ) ( ) ( )0fssFdtetf tf
0
st'' −== ∫∞
− (4.5.11.1)
Sabemos que, se ( )tf ' é seccionalmente contínua e de ordem exponencial, então
191
∞→slimL ( ){ } 0tf ' = .
Tomando o limite quando ∞→s em (4.5.11.1) e supondo que ( )tf é contínua em 0t = , encontramos
∞→slimL ( ){ } ( ) ( )[ ]0fssFlimtf
s
' −=∞→
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ).tflimssFlim
0fssFlim
0fssFlim0
0ts
s
s
→∞→
∞→
∞→
=
=
−=
Exemplo
( ) ⇒= − t2e5tf L ( ){ }2s
5tf
+=
52s
s5lime5lims
t2
0t=
+=
∞→
−
→
4.5.12 – Valor final Teorema: Se os limites indicados existem, então
( ) ( )ssFlimtflim0st →∞→
= .
Prova
L ( ){ } ( ) ( ) ( )0fssFdtetf tf
0
st'' −== ∫∞
− (4.5.12.1)
O limite do lado esquerdo de (4.5.12.1) quando 0s → é:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )0ftflim
0ftflim
0fbflim tflimdttf limdttf dtetf lim
t
t
b
b0
b
b
0
'
b
0
'
0
st'
0s
−=
−=
−====
∞→
∞→
∞→∞→∞→
∞∞
−
→ ∫∫∫
O limite do lado direito de (4.5.12.1) quando 0s → é: ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )0fssFlim0fssFlim
0s0s−=−
→→
Logo:
192
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ]ssFlimtflim
0fssFlim0ftflim
0st
0st
→∞→
→∞→
=
−=−
Exemplo
( ) ⇒= − t2e5tf L ( ){ }2s
5tf
+=
0
2s
s5lime5lim
0s
t2
t=
+=
→
−
∞→
4.6 – Transformada de Laplace unilateral de funções periódicas
Teorema: Suponha que ( )tf tem um período 0T > de modo que ( ) ( )tfTtf =+ ( ( )tf é periódica de período fundamental T). Então,
L ( ){ } ( )
( )
sT
T
0
stT
0
stsT e1
dtetf
dtetf e1
1tf
−
−
−
− −=
−=
∫∫ .
Prova
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) K+++== ∫∫∫∫ −−−
∞
−
3T
2T
st
2T
T
st
T
0
st
0
st dte tf dte tf dte tf dte tf tf
Substituições: ut = 1a integral Tut += 2a integral Ttu −=⇒ T2ut += 3a integral T2tu −=⇒ M Em todas as substituições temos que dtdu = . Logo:
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+++++= ∫∫∫ +−+−−
T
0
T2us
T
0
Tus
T
0
su due T2uf due Tuf due uf tf
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) K+++= ∫∫∫ −−−−−
T
0
susT2
T
0
susT
T
0
su due uf edue uf edue uf tf
193
L ( ){ } ( ) ( )∫ −−−− ++++=
T
0
susT3sT2sT due uf eee1tf L
L ( ){ } ( ) ( )[ ] ( )∫ −−−− ++++=
T
0
su3sT2sTsT due uf eee1tf L
então ,1r se ,r1
1rrr1 Como 32 <
−=++++ L
L ( ){ } ( )∫ −
−−=
T
0
susT
due uf e1
1tf .
Exemplo
Seja ( )( )
π<≤π
π<≤=
2t 0,
t0 ,tsentf uma função 2π-periódica. Determine L ( ){ }tf .
Figura 65: Curva senoidal com meia onda retificada – [13].
L ( ){ } ( )∫π
−
π−−=
0
st2s
dte tsen e1
1tf (4.6.1)
Integrando (4.6.1) por partes duas vezes, obtemos:
L ( ){ } ( ) ( )[ ] |0
stst2s 2
tsensetcose1s
1
e1
1tf
π
−−
π−
−−+−
=
( )
+
+−= π−
π−1e
1s
1
e1
1 s
2s 2
194
( )( )
( )( )( )
( )( )1se1
1
1se1e1
e1
1se1
e1
2s-
2s-s-
s-
2s2
s-
+−=
+−+
+=
+−
+=
π
ππ
π
π−
π
4.7 – Cálculo de integrais impróprias
Exemplos
1o) ( )25
3
43
3dxe x4cos
22
0
x3 =+
=∫∞
−
2o) ( )∫∞
0
3t- dttsen te
L ( ){ }1s
1tsen
2 +=
( ) =∫∞
0
st- dtet tsen L ( ){ } ( ) ( )( )222
1s
s2
1s
1
ds
dsF
ds
d1ttsen
+=
+−=−=
( ) ( )
( ) 50
3
100
6
13
32dtet tsen
22
0
3t- ==+
=∫∞
3o) ∫∞ −−
0
t3-t
dtt
ee
L{ }
3s
1
1s
1ee t3t
+−
+=− −−
}
[ ] 2e3elimt
eelim t3t
0t
H'Lt3t
0t=+−=
− −−
→
−−
→ ++
∫ ++=+
Cazlnaz
dz
195
[ ]b
sb
b
sb
b
s b
s
0
stt3t
3u
1ulnlim3uln1ulnlim
du3u
1
1u
1 limdu
3u
1
1u
1 dte
t
ee
+
+=+−+=
+−
+=
+−
+=
−
∞→∞→
∞→
∞∞
−−−
∫∫∫
3s
1sln
3s
1sln
b
31
b
11
lnlim3s
1sln
3b
1blnlim
bb
+
+−=
+
+−
+
+=
+
+−
+
+=
∞→∞→
( ) ( ) ( )3ln3ln1ln3
1lndt
t
ee ,Assim
0s quando dtt
ee dte
t
ee
0
t3t
0
t3t
0
stt3t
=+−=
−=
−
→−
→−
∫∫∫
∞−−
+
∞−−
∞
−−−
Exercícios Nos exercícios a seguir, calcule a transformada de Laplace.
01. L ( ) ( )[ ]{ }t2cos2t2sen3t − R.: ( )22
2
4s
s2s128
+
−+
02. L ( ){ }tcost 3 R.: ( )42
24
1s
6s36s6
+
+−
03. L ( ){ }tf onde ( )tf é a função periódica representada graficamente abaixo.
Figura 66: Onda quadrada – [17].
196
R.: L ( ){ }( )ase1s
1tf
−+=
04. ( )
∫∞ −
0
t
dtt
tsene
R.: 4
π
4.8 – Métodos para determinar a transformada de Laplace unilateral
4.8.1 – Uso da definição
L ( ){ } ( ) ( )∫∞
−==
0
stdte tf sFtf
4.8.2 – Expansão em série de potências Se ( )tf tem expansão em série de potências dada por
( ) ∑∞
=
=++++=
0n
nn
33
2210 tatatataatf K ,
então
L ( ){ } ( ) ∑∞
=
+=++++==
0n
1nn
43
32
210
s
a!n
s
!3a
s
!2a
s
a
s
asFtf K . (4.8.2.1)
A série (4.8.2.1) deve ser convergente para ( ) 0sRe > . Exemplo 1
Mostre que ( ) 1x ,x8.6.4.2
7.5.3.1x
6.4.2
5.3.1x
4.2
3.1x
2
11x1 432
2
1
<−+−+−=+−
K .
( ) ( ) 2
1
x1xf −+=
( ) ( ) ( ) 2
31 x1
2
1xf −
+−=
197
( ) ( ) ( ) 2
52 x1
2.2
3.1xf −
+=
( )( ) ( ) 2
73 x1
2.2.2
5.3.1xf −
+−=
( ) ( ) ( ) 2
94 x1
2.2.2.2
7.5.3.1xf −
+=
M
Série de Taylor de ( )xf : ( ) ( )( ) ( ) ( )∑∑
∞
=
∞
=
−=−=
0n
nn
0n
nn cx
!n
cfcxaxf (4.8.2.2)
Observação: A série (4.8.2.2) é extensível para uma função de variável complexa.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )K+++++=+=
− 44
33
221
2
1
x!4
0fx
!3
0fx
!2
0fx
!1
0f
!0
0fx1xf
( ) ( ) K−+−+−=+=− 432
2
1
x2.2.2.2!.4
7.5.3.1x
2.2.2!.3
5.3.1x
2.2!.2
3.1x
2
11x1xf
( ) ( ) K−+−+−=+=− 432
2
1
x8.6.4.2
7.5.3.1x
6.4.2
5.3.1x
4.2
3.1x
2
11x1xf (4.8.2.3)
Região de convergência da série (4.8.2.3):
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
1ncf
cflim
cf
!1n
!n
cflim
a
alimR
1n
n
n1n
n
n1n
n
n+=
+==
+∞→+∞→+
∞→
1n
1n2
1n
2
1
2
5.
2
3.
2
1
n2
11n
2
1
2
5.
2
3.
2
1
limRn
+
−−−
−−−−−
−−
+−−−−−
=∞→
K
K
11_
n2
3n
11
limn
2
31n
lim1nn
2
31
limRnnn
=
−
+=
−−
+=+
−−
=∞→∞→∞→
1x11xRcx <<−⇒<⇒<−
198
Exemplo 2
Sabendo que a função erro (probabilidade) é definida por
( ) ∫ −
π=
t
0
u due 2
terf2
a) calcule L ( ){ }terf ;
L ( ){ }=terf L
π ∫ −
t
0
u due 2 2
L ( ){ }=terf L
−+−+−
π ∫t
0
8642
du!4
u
!3
u
!2
u
!1
u1
2K
L ( ){ }=terf L
−+−+−π
K!4.9
t
!3.7
t
!2.5
t
3
tt
2 2
9
2
7
2
5
2
3
2
1
Como L{ } ( ) 0sRe ,s
!nt
1nn >=
+:
L ( ){ } ( ) 0sRe se ,
s!.4.9
2
11
s!.3.7
2
9
s!.2.5
2
7
s.3
2
5
s
2
3
2terf
2
11
2
9
2
7
2
5
2
3>
−
Γ
+
Γ
−
Γ
+
Γ
−
Γ
π= K (4.8.2.4)
Lembrando que ( ) ( )nn1n Γ=+Γ e π=
Γ
2
1, podemos calcular (4.8.2.4).
22
1
2
1
2
11
2
3 π=
Γ=
+Γ=
Γ
22
3
2
3
2
3
2
31
2
5 π=
Γ=
+Γ=
Γ
32
5.3
2
5
2
5
2
51
2
7 π=
Γ=
+Γ=
Γ
42
7.5.3
2
7
2
7
2
71
2
9 π=
Γ=
+Γ=
Γ
199
52
9.7.5.3
2
9
2
9
2
91
2
11 π=
Γ=
+Γ=
Γ
L ( ){ }
−
π+
π−
π+
π−
π
π= K
2
1152
942
732
522
3
s!.4.2.9
9.7.5.3
s!.3.2.7
7.5.3
s!.2.2.5
5.3
s.2.3
.3
s.2
2terf
K−+−+−=2
1142
932
722
5
2
3
s!.4.2.9
9.7.5.3
s!.3.2.7
7.5.3
s!.2.2.5
5.3
s.2.3
3
s
1
K−+−+−=2
11
2
9
2
7
2
5
2
3
s.8.6.4.2
7.5.3.1
s.6.4.2
5.3.1
s.4.2
3.1
s.2
1
s
1
−+−+−= K
432
2
3 s
1
8.6.4.2
7.5.3.1
s
1
6.4.2
5.3.1
s
1
4.2
3.1
s
1
2
11
s
1 (4.8.2.5)
( ) ( ) 1s1s
1 ,
s
1
8.6.4.2
7.5.3.1
s
1
6.4.2
5.3.1
s
1
4.2
3.1
s
1
2
11s1sF
4322
11 >⇒<−+−+−=+=
−− K (4.8.2.6)
Utilizando (4.8.2.6) em (4.8.2.5), temos que
L ( ){ }1ss
1
1s
s
s
1
s
11
s
1terf
2
1
2
3
2
1
2
3+
=
+=
+=
−
L ( ){ } ( )( )1s0sRes se ,1ss
1terf >∩>∈
+= .
b) mostre que L( )
( )terfe1ss
1 t1 =
−
− .
Se L( )
( )terfe1ss
1 t1 =
−
− , então L ( ){ }( )1ss
1terfe t
−= .
Como L ( ){ } ( )asFtfeat −= e L ( ){ }1ss
1terf
+= , temos
L ( ){ }( ) ( )1ss
1
11s1s
1terfe t
−=
+−−= .
200
4.8.3 – Uso de equações diferenciais Uso de uma equação diferencial ordinária satisfeita por ( )tf e da transformada de Laplace de derivadas.
4.8.4 – Outros métodos Uso das propriedades da transformada de Laplace.
4.8.5 – Uso de tabelas de transformadas
4.9 – Transformada de Laplace unilateral de algumas funções
4.9.1 – Função nula
Se ( ) 0duuN t
0
=∫ para 0t > , então ( )tN é chamada função nula.
Exemplo
( )
=−
=
=
contrário caso 0,
1 t,12
1 t,1
tf é uma função nula.
Transformada de Laplace da função nula: L ( ){ } 0tN =
4.9.2 – Função degrau unitário
u ( )
≥
<≤=−
a t1,
at0 ,0at
Transformada de Laplace da função degrau unitário: L{u ( )at − }s
e as−
= , ( ) 0sRe > .
Prova
Sabemos que L{ ( )atf − u ( )at − } ( )sFe as−= (teorema de translação). (4.9.2.1)
201
Se em (4.9.2.1) considerarmos ( ) ( ) 1atf1tf =−⇒= , então temos que L{ }s
11 = e
L{u ( )at − }s
e as−
= .
4.9.3 – Função impulso unitário Usada para representar forças externas de grande amplitude que agem por um curto período de tempo.
( )
+≥
+<≤
−<≤
=−
a t t0,
atta- t,a2
1
att0 ,0
tt
0
00
0
0aδ , 0a,0t 0 >>
a2
1
( ) 1a2a2
1A ==
t at 0 − 0t at 0 +
Figura 67: Função impulso unitário.
( )a2
1tt 0a =−δ {u ( )[ ]−−− att 0 u ( )[ ]att 0 +− }
Considerando ( ) ( )0a
0a0 ttlimtt −=−
→δδ , temos o delta de Dirac:
( )
≠
=∞=−
0
00 t t,0
t t,ttδ
Propriedade do delta de Dirac: ( ) 1dttt
0
0 =−∫∞
δ
Transformada de Laplace do delta de Dirac:
L ( ){ } 0st0 ett −=−δ ou L ( ){ } aseat −=−δ .
202
Prova
( )a2
1tt 0a =−δ {u ( )[ ]−−− att 0 u ( )[ ]att 0 +− }
L ( ){ }a2
1tt 0a =−δ L{u ( )[ ]att 0 −− }
a2
1− L{u ( )[ ]att 0 +− }
L ( ){ }( ) ( )
( )assenhas
e
as2
eee
s
e
s
e
a2
1tt
0
0
00 stasasst
satsat
0a
−−−
+−−−
=
−=
−=−δ (4.9.3.1)
Tomando o limite de (1) quando 0a → , obtemos:
0a
lim→L ( ){ }=−δ 0a tt L ( ){ }
}000 st
asas
0a
stLHasas
0a
st0 e
s2
seselime
as2
eelimett −
−
→
−−
→
− =
+=
−=−δ (4.9.3.2)
Quando em (4.9.3.2) 0t 0 = , temos que L { }{ } 1t =δ . (4.9.3.3)
É importante ressaltar que (4.9.3.3) não satisfaz ( ) 0sFlim
s=
∞→.
4.9.4 – Algumas funções periódicas
( )tf ( )sF
( )as
as
e1s
e1−
−
+
−
( )ase1s
1−+
203
−−
1e
1
bs
1
s
asb
( )s2
s
e1s
e1−
−
+
−
( )( ) 1s
2
sghcot
e11s
e12s 2
s
+
=−+
+−
−
π
π
π
( )( )s -2 e11s
1π−+
Tabela 5: Transformada de Laplace de algumas funções periódicas – [17].
Exercício Prove as transformadas de Laplace das funções periódicas presentes na Tabela 5.
204
4.10 – Métodos para determinar a transformada de Laplace unilateral inversa
4.10.1 – Completando quadrados Exemplo
L
++
+−
13s6s
5s2
1 (4.10.1.1)
Polos de ordem um: i23s −−= , i23s +−=
Completando quadrados em (4.10.1.1), temos que:
L =
++
+−
13s6s
5s2
1 L( )
++
++−
43s
23s2
1
= L( )
+
++
+−
43s
3s2
1 L( )
++
−
43s
22
1
( ) ( )
( ) ( )[ ]t2sent2cose
t2senet2cose3t-
t3-3t
+=
+= −
No exemplo acima, empregamos a propriedade de linearidade e a propriedade de translação da transformada de Laplace unilateral inversa L ( ){ } ( )tfeasF at1 =−− .
4.10.2 – Decomposição em frações parciais
Qualquer função racional ( )( )sQ
sP, onde P(s) e Q(s) são polinômios, com o grau de P(s) menor do
que o grau de Q(s), pode ser escrita como uma soma de funções racionais (chamadas frações parciais), tendo a forma
( ) ( )
K1,2,3,r ,cbsas
BAs ,
bas
Ar2r
=++
+
+
As constantes A, B, C, ..., podem ser determinadas de várias maneiras, como veremos nas
questões a seguir. Decompondo o quociente ( )( )sQ
sP em uma soma de frações parciais, determinamos a
transformada inversa de Laplace de cada uma dessas frações obtendo L( )( )
−
sQ
sP1 .
1. ( ) ( ) ( ) 5s
E
4s2s
DCs
4s2s
BAs
5s4s2s
2s4s322222
2
−+
++
++
++
+=
−++
+−
205
2. ( )( ) ( ) ( ) 1s2
D
1s2
C
1s2
B
4s3
A
1s24s3
5s2233 +
++
++
+−
=+−
−
Exemplo 1
L
−−
+−
3s2s
7s32
1
Polos de ordem um: 1s −= , 3s = Primeiro método (completando quadrados)
L =
−−
+−
3s2s
7s32
1L
( )( )
−−
+−−
41s
101s32
1
= 3L( )
−−
−−
41s
1s2
1 +5L( )
−−
−
41s
22
1
( ) ( )t2senhe5t2coshe3 tt +=
−+
+=
−−
2
eee5
2
eee3
t2t2t
t2t2t
tt3tt3 e2
5e
2
5e
2
3e
2
3 −− −++=
tt3 ee4 −−= Segundo método (decompondo em frações parciais e solucionando o sistema)
( )( ) 1s
B
3s
A
1s3s
7s3
3s2s
7s32 +
+−
=+−
+=
−−
+
( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )4A-1B-44B
1- 7B3A
3B A
B3As BA7s3
3sB1sA7s3
1s3s
3sB1sA
1s3s
7s3
=⇒=⇒=
×=−
=+
−++=+
−++=+
+−
−++=
+−
+
206
( )( ) 1s
1
3s
4
1s3s
7s3
3s2s
7s32 +
−−
=+−
+=
−−
+
L =
−−
+−
3s2s
7s32
1L
( )( )=
+−
+−
1s3s
7s31L
+−
−
−
1s
1
3s
41
4= L −
−
−
3s
11L
+
−
1s
11
tt3 ee4 −−= Terceiro método (decompondo em frações parciais e calculando os limites; pode ser usado sempre que o denominador tem fatores lineares distintos)
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )
1BB04
4
1s1s
Blim1s
3s
Alim1s
1s3s
7s3lim
4A0A4
16
3s1s
Blim3s
3s
Alim3s
1s3s
7s3lim
1s
B
3s
A
1s3s
7s3
1s1s1s
3s3s3s
−=⇒+=−
++
++−
=++−
+
=⇒+=
−+
+−−
=−+−
+
++
−=
+−
+
−→−→−→
→→→
Exemplo 2
L
−+−
+−
1sss
1s323
1
Fatorando o denominador: 1 -1 1 -1 1 1 0 1 0 ( )( )1s1s1sss 223 +−=−+− Polos de ordem um: 1s = , is = , is −=
207
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )CAs CBs BA1s3
1sCssB1sA1s3
1sC1sBs1sA1s3
1s1s
1sC1sBs1sA
1s1s
1s3
1s
C
1s
Bs
1s
A
1s
CBs
1s
A
1s1s
1s3
1sss
1s3
2
22
2
2
2
2
222223
−++−++=+
−+−++=+
−+−++=+
+−
−+−++=
+−
+
++
++
−=
+
++
−=
+−
+=
−+−
+
=−
=+−
=+
1C A
3CB
0 BA
2A e 1C2B4B21CB
3CBBA0BA ==⇒−=⇒=−⇒
=−−
=+−⇒−=⇒=+
( )( ) 1s
1
1s
s2
1s
2
1s1s
1s3
1sss
1s322223 +
++
−−
=+−
+=
−+−
+
L =
−+−
+−
1sss
1s323
1L
( )( )=
+−
+−
1s1s
1s32
1L
++
+−
−
−
1s
1
1s
s2
1s
222
1
2 = L 21s
11- −
−L +
+
−
1s
s2
1L
+
−
1s
12
1
( ) ( )tsentcos22e t +−= Exemplo 3
L
−++−
−−−
8s4s6s5s
11s15s5234
21
Fatorando o denominador: 1 -5 6 4 -8 -1 1 -6 12 -8 0 2 1 -4 4 0 2 1 -2 0 2 1 0
( )( )3234 2s1s8s4s6s5s −+=−++− Polos de ordem um: 1s −=
208
Polos de ordem três: 2s =
( )( ) ( ) ( ) 2s
D
2s
C
2s
B
1s
A
2s1s
11s15s5
8s4s6s5s
11s15s5233
2
234
2
−+
−+
−+
+=
−+
−−=
−++−
−−
( )( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
3
1A000A
27
9
1s2s
Dlim
1s2s
Clim1s
2s
Blim1s
1s
Alim1s
2s1s
11s15s5lim
1s
21s31s1s3
2
1s
−=⇒+++=−
+−
+
++−
++−
+++
=+−+
−−
−→
−→−→−→−→
( )( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
73
21B00B0
3
113020
2s2s
Dlim
2s2s
Clim2s
2s
Blim2s
1s
Alim2s
2s1s
11s15s5lim
3
2s
3
22s
3
32s
3
2s
3
3
2
2s
−=−=⇒+++=−−
−−
+
+−−
+−−
+−+
=−−+
−−
→
→→→→
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )4s3sD2ssC1s78s12s6s3
111s15s5
4s4s1sD2ssC1s78s12s6s3
111s15s5
2s1s
2s1sD2s1sC1s72s31
2s1s
11s15s5
2s
D
2s
C
2s
7
1s3
1
2s1s
11s15s5
232232
22232
3
23
3
2
233
2
+−+−−++−−+−−=−−
+−++−−++−−+−−=−−
−+
−++−+++−−−=
−+
−−
−+
−+
−−
+
−=
−+
−−
( ) ( )
−++−+−−−++−+
−=−− 7
3
8D4C2s 74Cs 2D3Cs
3
1D11s15s5 232
( ) 11111173
8
3
1442117
3
8D4C2
4C1574C
4C523
13C52D3C
3
1D0
3
1D
−=−⇒−=−+
+−⇒−=−++−
=⇒−=−−−
=⇒=+
−⇒=+−
=⇒=−
L =
−++−
−−−
8s4s6s5s
11s15s5234
21
L( )( )
−+
−−−
3
21
2s1s
11s15s5
209
=L( ) ( )
−+
−+
−−
+−−
2s
1
3
1
2s
4
2s
7
1s
1
3
123
1
Como ( )22s
1
2s
1
ds
d
−−=
− e
( )32
2
2s
2
2s
1
ds
d
−=
− temos que
Lt2t2t22t
234
21 e
3
1te4et
2
7e
3
1
8s4s6s5s
11s15s5++−−=
−++−
−− −− .
4.10.3 – Expansão em série de potências Se ( )sF tem um desenvolvimento em série de potências negativas de s dado por
( ) ∑∞
=
+=++++=
0n
1nn
43
32
210
s
a
s
a
s
a
s
a
s
asF K ,
então podemos inverter termo a termo para obter
L ( ){ } ( ) ∑∞
=
− =++++==
0n
nn
33
22
101
!n
ta
!3
ta
!2
tataatfsF K .
Exemplo
A função de Bessel de ordem zero é definida pela série
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−=
0n
n22
n2n
02!n
at1atJ .
Mostre que L ( )t2Js
e0
s
1
1 =
−
− .
Se L ( )t2Js
e0
s
1
1 =
−
− , então L ( ){ }s
et2J
s
1
0
−
= .
210
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )K+
−
+
−
+
=
−=−= ∑∑
∞
=
∞
=
1010
28
8
26
6
24
4
22
2
0n
n2n2
2
n
0n
n22
n2n
0
t2
a
!5
1t
2
a
!4
1t
2
a
!3
1t
2
a
!2
1t
2
a-1
t2
a
!n
11
2!n
at1atJ
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )K+−+−+=
−=
−=−= ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
52
42
32
22
0n
n2
n
0n
n2n2
2
n
0n
n22
n2
n0
t!5
1t
!4
1t
!3
1t
!2
1t-1
t!n
11t
2
2
!n
11
2!n
t21t2J
Como L{ } ( ) 0sRe ,s
!nt
1nn >=
+, temos que:
L ( ){ }=t2J0 L( ) ( ) ( ) ( )
+−+−+ K52
42
32
22
t!5
1t
!4
1t
!3
1t
!2
1t-1
( ) ( ) ( ) ( )
K+−+−+−=625242322 s
!5
!5
1
s
!4
!4
1
s
!3
!3
1
s
!2
!2
1
s
1
s
1
K+−+−+−=65432 s
1
!5
1
s
1
!4
1
s
1
!3
1
s
1
!2
1
s
1
s
1
( )∑
∞
=
+
−=
0n
1n
n
s!n
1, ( ) 0sRe >
Expandindo 1ss
1
ee−−
−
= em série de potências:
( )
K+−+−+−=−
=∑∞
=
−− −
5432
0n
n1s
s
1
!5
1
s
1
!4
1
s
1
!3
1
s
1
!2
1
s
11
!n
se
1
(4.10.3.1)
Raio de convergência da série (4.10.3.1):
( )
( )∞=+=
+=
+
==∞→∞→∞→
+∞→
1nlim!n
!1nlim
!1n
1!n
1
lima
alimR
nnn1n
n
n
Assim:
211
+−+−+−=
−
K5432
s
1
s
1
!5
1
s
1
!4
1
s
1
!3
1
s
1
!2
1
s
11
s
1
s
e
K+−+−+−=65432 s
1
!5
1
s
1
!4
1
s
1
!3
1
s
1
!2
1
s
1
s
1 0s = : singularidade essencial
( )∑
∞
=
+
−=
0n
1n
n
s!n
1 (4.10.3.2)
Comparando (4.10.3.1) e (4.10.3.2), concluímos que L ( ){ }s
et2J
s
1
0
−
= .
4.10.4 – Uso de tabelas de transformadas de Laplace
4.10.5 – A fórmula de Heaviside Sejam P(s) e Q(s) polinômios onde P(s) tem grau menor do que o de Q(s). Suponha que Q(s) tem n zeros distintos n,1,2,k ,k K=α . Então
L( )( )
( )( )
( )
( )∑∑=
α
=
α−
α
α=
α
α=
n
1k
t
k
k
n
1k
t
k'
k1 kk eQ
ds
dP
eQ
P
sQ
sP.
Exemplo
L
−−
+−
3s2s
7s32
1
( )
( ) ( )( )
( ) 2s2sQds
d
1 e 31s3s3s2ssQ
7s3sP
212
−=
−=α=α⇒+−=−−=
+=
L( )( )∑
=
α−
−α
+α=
−−
+2
1k
t
k
k2
1 ke22
73
3s2s
7s3
( )( )
( )( )
t3t
tt3
e4e
e212
713e
232
733
−
−
−=
−−
+−+
−
+=
212
4.10.6 – A fórmula geral (ou complexa) de inversão Também conhecia como fórmula de Bromwich ou fórmula integral de Bromwich. Se L ( ){ } ( )sFtf = , então
L ( ){ } ( ) ( )∫∞+γ
∞−γ
−
π==
i
i
st1 dse sF i 2
1tfsF , 0t > e ( ) 0tf = para 0t < (4.10.6.1)
ou
( ) ( )∫π=
C
stdse sFi 2
1tf .
A integração em (4.10.6.1) deve ser efetuada ao longo de uma reta γ=s no plano complexo, onde iyxs += . O número real γ é escolhido de tal forma que γ=s esteja à direita de todas as
singularidades de ( )sF . Referência SPIEGEL, M.R. Transformadas de Laplace. São Paulo: McGraw-Hill. Capítulo 7. Exercícios
01. L
−−−+
−−
30s17s3ss
3s234
21
R.: ( ) ( ) ( )t2cose50
1t2sene
25
9e
25
1e
50
3tf ttt2t3 −−− −+−=
02. L
+−
+−−−
16s8s
36s40s3s324
231
R.: ( ) ( ) t2t2 te2et53tf −+= −
213
4.11 – Solução de equações diferenciais
4.11.1 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes Exemplo 1
( ) ( ) ( )( )
( )
=
−=
=+−
50y
30y
e4ty2ty3ty
'
t2'"
(4.11.1.1)
L ( ){ } ( )sYty = Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de segunda ordem: L ( ){ } 3ty" − L ( ){ } 2ty ' + L ( ){ } 4ty = L{ }t2e
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2s
495s3sY2s3s
2s
4sY20y3ssY30y0sysYs
2
'2
−=−−++−
−=++−−−
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )2s
24s20s3
2s
28s14s6s34sY2s1s
14s32s
4sY2s1s
14s32s
4sY2s3s
22
2
−
−+−=
−
−++−=−−
+−−
=−−
+−−
=+−
( )( )( )2
2
2s1s
24s20s3sY
−−
−+−= (4.11.1.2)
Polos de ordem um: 1s = Polos de ordem dois: 2s = Decompondo (4.11.1.2) em frações parciais:
( )( ) ( ) 2s
C
2s
B
1s
A
2s1s
24s20s322
2
−+
−+
−=
−−
−+− (4.11.1.3)
( ) ( ) ( )( )2s1sC1sB2sA24s20s3 22 −−+−+−=−+−
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )C2BA4s C3BA4s CA24s20s3
2s3sC1sB4s4sA24s20s322
222
+−+−+−++=−+−
+−+−++−=−+−
214
−=+−
=−+−
−=+
24C2BA4
20 C3BA4
3 C A
(4.11.1.4)
Calculando limites em (4.11.1.3):
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
4B0B04
2s2s
Clim2s
2s
Blim2s
1s
Alim2s
2s1s
24s20s3lim
7A00A7
1s2s
Clim1s
2s
Blim1s
1s
Alim1s
2s1s
24s20s3lim
2s
C
2s
B
1s
A
2s1s
24s20s3
2
2s
2
22s
2
2s
2
2
2
2s
1s21s1s2
2
1s
22
2
=⇒++=
−−
+−−
+−−
=−−−
−+−
−=⇒++=−
−−
+−−
+−−
=−−−
−+−
−+
−+
−=
−−
−+−
→→→→
→→→→
Substituindo os valores de A e B na primeira equação de (4.11.1.4): 4C3C73CA =⇒−=+−⇒−=+ Assim:
( )( )( ) ( ) 2s
4
2s
4
1s
7
2s1s
24s20s3sY
22
2
−+
−+
−−=
−−
−+−= (4.11.1.5)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.1.5):
L ( ){ } 7sY1 −=−L 4
1s
11 +
−
−L
( )4
2s
12
1 +
−
−L
−
−
2s
11
L ( ){ } 7sY1 −=−L 4
1s
11 +
−
−L 4
2s
11 −
−
−L
( )
−−−
21
2s
1
Como ( )22s
1
2s
1
ds
d
−−=
− ou L{ }
( )2t2
2s
1te
−= e L ( ) ( ){ } ( ) ( )tft1sF nnn1 −=− , temos como
solução da equação diferencial ordinária de segunda ordem ( ) t2t2t te4e4e7ty ++−= . (4.11.1.6) Exercício Verifique que (4.11.1.6) é solução de (4.11.1.1).
215
Exemplo 2
( ) ( ) ( )
( )
=
=+
00y
tfty2ty '
(4.11.1.7)
( )
≥
<≤=
1 t0,
1t0 ,ttf (4.11.1.8)
L ( ){ } ( )sYty = Escrevendo (4.11.1.8) de forma compacta:
( ) tttf −= u ( ),1t − u ( )
≥
<≤=−
1 t1,
1t0 ,01t
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de primeira ordem:
L ( ){ } 2ty ' + L ( ){ }=ty L{ tt − u ( )1t − }
L ( ){ } 2ty ' + L ( ){ }=ty L{ }−t L{ t u ( )1t − }
Lembrando que L ( ){ } ( ) ( )sFds
d1tft
n
nnn −= , onde ( ) =sF L ( ){ }tf , e que L{u ( )at − }
s
e as−
= ,
temos que:
( ) ( ) ( ) ( )
−−=+−
−
s
e
ds
d1
s
1sY20yssY
s
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
s
2
s
2
s
e1s
s
1sY2s
s
e
ds
d1
s
12Y20yssY
−
−
+−=+
−−=+−
( )( ) ( )
s22
e2ss
1s
2ss
1sY −
+
+−
+= (4.11.1.9)
Polos de ordem um: 2s −= Polos de ordem dois: 0s = Decompondo (4.11.1.9) em frações parciais:
216
( ) 4
1C ,
2
1B ,
4
1A
2s
C
s
BAs
2ss
122
==−=⇒+
++
=+
( ) 4
1C ,
2
1B ,
4
1A
2s
C
s
BAs
2ss
1s22
−===⇒+
++
=+
+
( ) s2222
e 2s
1
4
1
s
1
2
1
s
s
4
1
2s
1
4
1
s
1
2
1
s
s
4
1sY −
+−+−
+++−=
( ) ss2
s-2
e 2s
1
4
1e
s
1
2
1e
s
1
4
1
2s
1
4
1
s
1
2
1
s
1
4
1sY −−
++−−
+++−= (4.11.1.10)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.1.10):
L ( ){ }4
1sY1 −=−
L2
1
s
11 +
−
L4
1
s
12
1 +
−
L +
+
−
2s
11
4
1− L
2
1e
s
1 s-1 −
−
L4
1e
s
1 s2
1 +
−−
L
+
−− s1 e 2s
1 (4.11.1.11)
Lembrando que L ( ){ } ( )atfsFe as1 −=−−
u ( )at − , obtemos de (4.11.1.11) a solução da equação diferencial ordinária de primeira ordem.
( )4
1e
4
1t
2
1
4
1ty t2 −++−= −
u ( ) ( )1t2
11t −−− u ( ) ( )1t2e
4
11t −−+− u ( )1t − (4.11.1.12)
( )2
1e
4
1t
2
1
4
1ty t2 −++−= −
u ( )1t − ( )
−−+ −− 1t2e
2
11t
2
1
( )2
1e
4
1t
2
1
4
1ty t2 −++−= −
u ( )1t − ( )
−+− −− 1t2e
2
1t
2
1
( )
≥+
<≤++−
=+−−
−
1 t ,e4
1e
4
1
1t0 ,e4
1t
2
1
4
1
ty2t2t2
t2
Exercício Verifique que (4.11.1.12) é solução de (4.11.1.7).
217
Exemplo 3 A equação diferencial para a carga ( )tq em um capacitor em um circuito em série R-C é
( ) ( ) ( )tEtqC
1tq
dt
dR =+ ,
onde R é a resistência, C é a capacitância e ( )tE é a força eletromotriz (f.e.m). Use as transformadas de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C se ( ) farad 0,08C ohms, 2,5R ,00q === e ( )tE é dada pelo gráfico da Figura 68.
Figura 68: Força eletromotriz – [17].
L ( ){ } ( )sQtq =
Escrevendo ( )tE de uma maneira compacta:
( )
≥
<≤=
3 t5,
3t0 ,0tE
u ( )
≥
<≤=−
3 t,1
3t0 ,03t
( ) 5tE = u ( )3t − Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de primeira ordem:
0 ( ) ( ) 5tq2
25tq
dt
d5,2 =+ u ( )3t − (4.11.1.13)
L ( ) ( ) =
+ tq5,12tqdt
d5,2 L{5u ( )3t − }
218
5,2 L ( ) 5,12tqdt
d+
L ( ){ } 5tq = L{u ( )3t − }
( ) ( ) ( )s
e5sQ5,120q5,2ssQ5,2
s3−
=+−
( ) ( )s
e5sQ5,12s5,2
s3−
=+
( )( ) ( ) ( )5ss
e2
5ss5,2
e5
5,12s5,2s
e5sQ
s3s3s3
+=
+=
+=
−−−
(4.11.1.14)
Polos de ordem um: 5s −= , 0s = Decompondo (4.11.1.14) em frações parciais:
( ) 5
1-B ,
5
1A
5s
B
s
A
5ss
1==⇒
++=
+
( ) 3s-e 5s
1
5
1
s
1
5
12sQ
+−= (4.11.1.15)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.1.15):
L ( ){ }=− sQ1L
+−− 3s-1 e
5s
1
5
1
s
1
5
12
L ( ){ }5
2sQ1 =−
L5
2e
s
1 3s-1 −
−
L
+
− 3s-1 e5s
1 (4.11.1.16)
Usando em (4.11.1.16) a propriedade L ( ){ } ( )atfsFe as1 −=−−
u ( )at − , obtemos a solução da equação diferencial ordinária de primeira ordem.
( )5
2tq = u ( )
5
23t −− u ( ) ( )3t5e3t −−− (4.11.1.17)
( )5
2tq = u ( ) ( )[ ]3t5e13t −−−−
( ) ( )[ ]
≥−
<≤
=−− 3 t ,e1
5
2
3t0 ,0 tq
3t5
Exercício Verifique que (4.11.1.17) é solução de (4.11.1.13).
219
4.11.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis Exemplo
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
=
=
=−−+
20y
10y
0ty2tyt21tty
'
'"
(4.11.2.1)
L ( ){ } ( )sYty = Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de segunda ordem, obtemos:
L ( ){ }+tty"
L ( ){ } 2ty ' − L ( ){ } 2tty ' − L ( ){ }=ty L{ }0 (4.11.2.2) Devemos lembrar que:
L ( ){ } ( )sFds
dttf −=
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) 2ssYs0y0sysYsty 2'2" −−=−−=
L ( ){ } ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1sYds
dsssY21sY
ds
dsssY22ssYs
ds
dtty 222" +−−=
−+−=−−−=
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) 1ssY0yssYty ' −=−=
L ( ){ } ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sYds
dssYsY
ds
dssY1ssY
ds
dtty ' −−=
+−=−−=
Voltando a (4.11.2.2):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0ssYsYds
d2ss
0ssYsYds
ds2s
0sY2sYds
ds2sY21ssY1sY
ds
dsssY2
2
2
=−−−
=−+−
=−++−++−−
( ) ( ) ( ) 0ssYsYds
d2ss =+− EDO linear de primeira ordem homogênea (4.11.2.3)
Separando variáveis em (4.11.2.3), chegamos a:
220
( ) ( )
( ) ( )( )
2s
1
ds
sdY
sY
1
2ss
ssY
ds
sdY
−−=⇒
−−=
( )[ ]2s
1sYln
ds
d
−−= (4.11.2.4)
Integrando (4.11.2.4), temos que: ( ) ( ) 1C2slnsYln +−−=
( ) ( ) 1C2slnesY +−−=
( ) ( ) ( )2s
C2sCeesY 12slnC 1
1
−=−==
−− −
(4.11.2.5)
Polos de ordem um: 2s = Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.2.5):
L ( ){ }=− sY1L
−
−
2s
C1
( ) Cty = Lt21 Ce
2s
1=
−
− (4.11.2.6)
Para determinar a constante C em (4.11.2.6) usamos a condição inicial ( ) 10y = : ( ) ( ) 1C1Ce0y 02 =⇒== (4.11.2.7) Substituindo (4.11.2.7) em (4.11.2.6), obtemos a solução da equação diferencial ordinária. ( ) t2ety = (4.11.2.8) Exercício Verifique que (4.11.2.8) é solução de (4.11.2.1).
221
4.11.3 – Equações diferenciais ordinárias simultâneas Exemplo
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
=
−=
=
=−
=+−
00y
20x
30x
etytx
ttytx
'
t"
''
(4.11.3.1)
L ( ){ } ( )sXtx = , L ( ){ } ( )sYty = Aplicando a transformada de Laplace unilateral à primeira equação diferencial ordinária: L ( ){ }+tx '
L ( ){ }=ty 'L{ }t
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2
2
s
1ssY3ssX
s
10yssY0xssX
=+−
=−+−
( ) ( ) 3s
1ssYssX
2+=+ (4.11.3.2)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à segunda equação diferencial ordinária: L ( ){ }−tx "
L ( ){ }=ty L{ }te−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1s
1sY2s3sXs
1s
1sY0x0sxsXs
2
'2
+=−+−
+=−−−
( ) ( ) 2s31s
1sYsXs2 −+
+=− (4.11.3.3)
Solucionando o sistema composto pelas equações (4.11.3.2) e (4.11.3.3):
( ) ( )
( ) ( )
−++
=−
+=+
2s31s
1sYsXs
3s
1ssYssX
2
2
Multiplicando (4.11.3.2) por (-s) e somando o produto a (4.11.3.3):
222
( ) ( ) s3s
12s3
1s
1sY1s2 −−−+
+=+−
( )( ) ( )( ) 1s
2
1s1s
1
1ss
1sY
222 ++
++−
+= (4.11.3.4)
Polos de ordem um: 1s −= , 0s = , is = , is −= Decompondo (4.11.3.4) em frações parciais:
( )
0C -1,B ,1A1s
CBs
s
A
1ss
122
===⇒+
++=
+
( )( ) 2
1F ,
2
1E ,
2
1D
1s
FEs
1s
D
1s1s
122
−==−=⇒+
++
+=
++−
( )1s
2
1s
1
2
1
1s
s
2
1
1s
1
2
1
1s
s
s
1sY
2222 ++
+−
++
+−
+−=
( )1s
s
2
1
1s
1
2
3
1s
1
2
1
s
1sY
22 +−
++
+−= (4.11.3.5)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.3.5):
L ( ){ }=− sY1 L
+−
++
+−−
1s
s
2
1
1s
1
2
3
1s
1
2
1
s
122
1
L ( ){ }=− sY1L
2
1
s
11 −
−
L2
3
1s
11 +
+
−L
2
1
1s
12
1 −
+
−L
+
−
1s
s2
1
( ) ( ) ( )tcos2
1tsen
2
3e
2
11ty t −+−= −
Usando as equações (4.11.3.2) e (4.11.3.5) para determinar ( )sX :
( ) ( )
( ) ( )s
3
s
1sYsX
3s
1ssYssX
3
2
++−=
++−=
( )s
3
s
1
1s
s
2
1
1s
1
2
3
1s
1
2
1
s
1sX
322++
++
+−
++−=
( )1s
s
2
1
1s
1
2
3
1s
1
2
1
s
1
s
2sX
223 ++
+−
+++= (4.11.3.6)
Polos de ordem um: 1s −= , is = , is −=
223
Polos de ordem três: 0s = Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.3.6):
L ( ){ }=− sX1L
++
+−
+++−
1s
s
2
1
1s
1
2
3
1s
1
2
1
s
1
s
2223
1
L ( ){ } 2sX1 =−L +
−
s
11L
2
1
s
13
1 +
−
L2
3
1s
11 −
+
−L
2
1
1s
12
1 +
+
−L
+
−
1s
s2
1
( ) ( ) ( )tcos2
1tsen
2
3e
2
1t
2
12tx t2 +−++= −
Assim, a solução do sistema de equações diferenciais ordinárias é dada por:
( ) ( ) ( )tcos2
1tsen
2
3e
2
1t
2
12tx t2 +−++= − (4.11.3.7)
( ) ( ) ( )tcos2
1tsen
2
3e
2
11ty t −+−= − (4.11.3.8)
Exercício Verifique que (4.11.3.7) e (4.11.3.8) satisfazem (4.11.3.1).
4.11.4 – Equações diferenciais parciais Dada ( )t,xu , fixamos a variável x e deixamos a variável t livre. Dessa forma:
L ( ){ } ( ) ( )s,xUdte t,xu t,xu
0
st- == ∫∞
L ( ) =
∂
∂t,xu
tL ( ) ( ) ( )0,xus,xsUt,xu
dt
d−=
L ( ) =
∂
∂t,xu
t 2
2
L ( ) ( ) ( ) ( )0,xu0,xsus,xUst,xudt
dt
22
2
−−=
L ( ) ( )s,xUdx
dt,xu
x=
∂
∂ (4.11.4.1)
224
L ( ) ( )s,xUdx
dt,xu
x 2
2
2
2
=
∂
∂ (4.11.4.2)
Obtemos (4.11.4.1) e (4.11.4.2) derivando sob o sinal de integração (regra de Leibniz). Exemplo 1
( ) ( )( )( )
>=
>=
<<=
><<=
0t 0 t1,u
0t 0 t0,u
1x0 x 2sen3x,0u
0 t1,x0 uu xxt
π (4.11.4.3)
L ( ){ } ( )s,xUt,xu = L ( ){ } ( ) 0s,0Ut,0u == L ( ){ } ( ) 0s,1Ut,1u == Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial parcial (equação do calor): L ( ){ }=t,xu t L ( ){ }t,xu xx
( ) ( ) ( )2
2
dx
s,xUd0,xus,xsU =−
( ) ( ) ( )2
2
dx
s,xUd x2sen3s,xsU =π−
( ) ( ) ( ) x2sen3s,xsU
dx
s,xUd2
2
π−=− EDO linear de segunda
ordem não homogênea (4.11.4.4) Família de soluções a dois parâmetros para a edo (4.11.4.4):
( ) ( )4342144 344 21
particular
3
ogêneahom
xs2
xs1 x2senCeCeCs,xU π++= −
(4.11.4.5)
( ) ( ) x2cosC2esCesCs,xUdx
d3
xs2
xs1 ππ+−= −
( ) ( ) x2senC4seCseCs,xUdx
d3
2xs2
xs12
2
ππ−+= − (4.11.4.6)
225
Substituindo (4.11.4.5) e (4.11.4.6) em (4.11.4.4), obtemos:
( ) ( ) ( )
( )
23
32
332
4s
3C
3Cs4
x2sen3 x2sensC x2senC4
π+=
−=−π−
π−=π−ππ−
Logo:
( ) ( ) x2sen4s
3eCeCs,xU
2xs
2xs
1 ππ+
++= − (4.11.4.7)
Determinando as constantes 1C e 2C por intermédio das condições de contorno: ( ) 2121 CC0CCs0,U (5) em 0x −=⇒=+=⇒= (4.11.4.8)
( ) 0eCeCs1,U (5) em 1x s2
s1 =+=⇒= − (4.11.4.9)
Substituindo (4.11.4.8) em (4.11.4.9), obtemos:
( )
0C0C
0Ce
e10Cee
0eCeC
1
0s
2
2s
s2
2ss
s2
s2
=⇒=
=
−⇒=+−
=+−
≠
−
−
321
Assim:
( ) ( ) x2sen4s
3s,xU
2π
π+= (4.11.4.10)
Polos de ordem um: 24s π−= Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.4.10):
L ( ){ } ( ) x2sens,xU1 π=−L
π+
−
21
4s
3
L ( ){ } ( ) x2sen3s,xU1 π=−L
( )
π−−
−
21
4s
1
( ) ( ) t4 2
e x2sen3t,xu π−π= (4.11.4.11)
226
Exercício Verifique que (4.11.4.11) é solução de (4.11.4.3). Exemplo 2
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
<<=
<<π−π=
>==
><<=
2x0 00,xu
2x0 x6sen12x4sen8x,0u
0 t 0t,2ut0,u
0 t2,x0 t,xu4t,xu
t
xxtt
Condições de contorno:
L ( ){ } ( ) == s,0Ut,0u L{ } 00 = (4.11.4.12)
L ( ){ } ( ) == s,2Ut,2u L{ } 00 = (4.11.4.13) Equação diferencial parcial:
L ( ){ }=t,xu tt L ( ){ }t,xu4 xx
( ) ( ) ( ) ( )s,xUdx
d40,xu0,xsus,xUs
2t2 =−−
( ) ( ) ( ) ( )[ ]x6sen12x4sen8ss,xUss,xUdx
d4 2
2π−π−=−
( ) ( ) ( ) ( )x6sen s3x4sen s2s,xU4
ss,xU
dx
d 2
2π+π−=− (4.11.4.14)
Família de soluções da equação diferencial ordinária (4.11.4.14):
( ) ( ) ( )4444 34444 2144 344 21
particular solução
43
homogênea solução
x 2
s
2
x 2
s
1 x6senCx4senCeCeCs,xU π+π++=−
(4.11.4.15)
( ) ( ) ( )x6cosC6x4cosC4eC2
seC
2
ss,xU
dx
d43
x 2
s
2
x 2
s
1 ππ+ππ+−=−
( ) ( ) ( )x6senC36x4senC16eC4
seC
4
ss,xU
dx
d4
23
2x
2
s
2
2x 2
s
1
2
2
2
ππ−ππ−+=−
(4.11.4.16)
Substituindo (4.11.4.15) e (4.11.4.16) em (4.11.4.14), temos que:
227
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )x6sen s3x4sen s2x6sen4
sC
x4sen4
sCx6senC36x4senC16
2
4
2
342
32
π+π−=π−
+π−ππ−ππ−
( ) ( ) ( ) ( )x6sen s3x4sen s2x6senC4
s36x4senC
4
s16 4
22
3
22 π+π−=π
−π−+π
−π− (4.11.4.17)
Comparando os “lados” de (4.11.4.17), concluímos que:
2233
22
64s
s8C s2C
4
s16
π+=⇒−=
−π− (4.11.4.18)
2244
22
144s
s12C s3C
4
s36
π+−=⇒=
−π− (4.11.4.19)
Substituindo (4.11.4.18) e (4.11.4.19) em (4.11.4.15):
( ) ( ) ( )x6sen144s
s12x4sen
64s
s8eCeCs,xU
2222
x 2
s
2
x 2
s
1 ππ+
−ππ+
++=−
(4.11.4.20)
Calculando as constantes 1C e 2C :
1. Considerando 0x = em (4.11.4.20) e utilizando (4.11.4.12): ( ) 2121 CC0CCs,0U −=⇒=+= (4.11.4.21)
2. Considerando 2x = em (4.11.4.20) e utilizando (4.11.4.13):
( ) 0eCeCs,2U s2
s1 =+= − (4.11.4.22)
Substituindo (4.11.4.21) em (4.11.4.22):
( ) ( )0s 0C0e1C0ee
1C0eCeC 2
s22
ss2
s2
s2 ≠=⇒=−⇒=
−⇒=+− −
0C0C 12 =⇒= (4.11.4.23)
Substituindo (4.11.4.23) em (4.11.4.20), temos a solução da EDO.
( ) ( ) ( )x6sen144s
s12x4sen
64s
s8s,xU
2222π
π+−π
π+=
L ( ){ } ( )t,xus,xU1 =−
228
( ) ( )x4sen8t,xu π= L
π+
−
221
64s
s ( )x6sen12 π− L
π+
−
221
144s
s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cosx6sen12 t8cosx4sen8t,xu ππ−ππ= (4.11.4.24)
Verificando que a solução (4.11.4.24) satisfaz de fato o problema de valor inicial e de contorno: Equação diferencial parcial: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12senx6sen144 t8senx4sen64t,xu t πππ+πππ−= (4.11.4.25)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cosx6sen1728 t8cosx4sen512t,xu 22
tt πππ+πππ−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cosx6cos72 t8cosx4cos32t,xu x πππ−πππ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cosx6sen432 t8cosx4sen128t,xu 22
xx πππ+πππ−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cosx6sen1728 t8cosx4sen512t,xu4 22
xx πππ+πππ−= Logo, ( ) ( )t,xu4t,xu xxtt = .
Condições de contorno: Considerando 0x = e 2x = em (4.11.4.24): ( ) ( ) 0t,2ut,0u == Condições iniciais: Considerando 0t = em (4.11.4.24) e (4.11.4.25): ( ) ( ) ( )x6sen12x4sen80,xu π−π= ( ) 00,xu t =
Gráfico da superfície que define a solução (4.11.4.24):
229
Figura 69: Gráfico de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cos x6sen12t 8cosx4sen8xf ππ−ππ= , 2x0 << , 10t0 << .
4.12 – Solução de equações íntegro-diferenciais
Exemplo
( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
−=+ ∫∫10y
du utcosuy tydu uy 4
t
0
'
t
0 (4.12.1)
L ( ){ } ( )sYty =
( ) ( ) ( ) ( )tcostytydu uy 4 '
t
0
∗=+∫ (4.12.2)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação íntegro-diferencial (4.12.2):
L ( ) ( ) =
+∫ tydu uy 4 '
t
0
L ( ) ( ){ }tcosty ∗
4L ( )
∫t
0
du uy +L ( ){ }=ty 'L ( ) ( ){ }tcosty ∗
( ) ( ) ( ) ( )
1s
ssY0yssY
s
sY4
2 +=−+
230
( ) 1sY1s
ss
s
42
=
+−+
( )( ) 1sY
1ss
sss4s42
2242
=+
−+++
( )( )
( ) 1sY1ss
2s2
22
=+
+
( ) ( )( )22
2
2s
1sssY
+
+= (4.12.3)
Polos de ordem dois: i 2s −= , i 2s = Decompondo (4.12.3) em frações parciais:
( )
( ) ( ) 2s
DCs
2s
BAs
2s
1s
s
sY22222
2
+
++
+
+=
+
+= (4.12.4)
( ) ( )2sDs2sCBAs1s 232 +++++=+
( ) ( )D2BsC2ADsCs1s 232 +++++=+
-1B12DB 0A02CA 1D 0C =⇒=+=⇒=+== Voltando a (4.12.4):
( )
( ) 2s
1
2s
1
s
sY222 +
++
−=
( )( ) 2s
s
2s
ssY
222 ++
+−= (4.12.5)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.12.5):
L ( ){ }=− sY1L
( )+
+−−
22
1
2s
sL
+
−
2s
s2
1
Como ( )222
2s
s2
2s
1
ds
d
+−=
+, L ( ){ }
2s
st2cos
2 += , L ( ){ }
2s
2t2sen
2 += e
L( )( ){ } ( ) ( )tft1sF nnn1 −=− , temos como solução da equação íntegro-diferencial
231
( ) ( ) ( )t2cost2sen t22
1ty +−=
( ) ( ) ( )t2sen t4
2t2costy −= . (4.12.6)
Exercícios 01. Verifique que (4.12.6) é solução de (4.12.1). 02. Empregando as transformadas de Laplace, solucione o seguinte problema de valor inicial:
( ) ( ) ( )( )
( )
−=
=
+=+− −
10y
60y
e12t4ty2ty3ty
'
t'"
R.: ( ) tt2t e23t2e2e3ty −+++−= 03. Usando as transformadas de Laplace, solucione o sistema de equações diferenciais
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=++
=+−−
0xty2tx
tseny2x2tytx'"
''
sujeitas às condições iniciais ( ) ( ) ( ) 00y0x0x ' === .
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) t2tttt2t e9
1e
9
1te
3
1ty e tcos
5
1tsen
5
2te
3
1e
45
4e
9
1tx −+=−−++= −−−−
04. A carga instantânea ( )tq no capacitor em um circuito em série L-C-R (indutor-capacitor-resistor) é dada pela equação diferencial ordinária de segunda ordem
( ) ( ) ( ) ( )tEtq
C
1
dt
tdqR
dt
tqdL
2
2
=++ ,
onde ( )tE é força eletromotriz. Use as transformadas de Laplace para determinar a carga ( )tq e a corrente ( )ti em um circuito em
série no qual henry1L = , ohms20R = , farad01,0C = , ( ) ( )t10sen120tE = , ( ) 00q = e ( ) 00i = . Qual é a corrente estacionária?
R.: ( ) ( )t10cos5
3te6e
5
3tq t10t10 −+= −−
( ) ( )t10sen6te60ti t10 +−= −
corrente estacionária: ( )10t6sen
232
4.13 – Exercícios resolvidos
01. Um determinado sistema é regido pela equação diferencial
( ) ( ) ( ) ( )tgty4ty3ty ''' =+− ,
sujeita às condições iniciais ( ) 10y = e ( ) 50y ' = . Empregando a transformada de Laplace unilateral e
suas propriedades, determine a resposta ( )ty desse sistema quando ( ) ttg = , 0t > .
Notação: L ( ){ } ( )sYty =
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária, linear, de segunda ordem, não homogênea:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
'2
s
1sY40y3ssY30y0sysYs =++−−−
( ) ( )2
23
22
s
s2s135s
s
1sY4s3s
++=−++=+−
( )( ) 4s3s
DCs
s
B
s
A
4s3ss
1s2ssY
2222
23
+−
+++=
+−
++= (4.13.1)
( )( )4
1As1.13.4lim 2
0s=⇒
→
( )
( ) ( ) ( )
( )4s3ss
sDCs4s3sBs4s3s4
1
4s3s
DCs
s
B
s
1
4
1
4s3ss
1s2s22
222
2222
23
+−
+++−++−=
+−
+++=
+−
++
( ) ( ) ( )2323223 DsCss4s3sB4s3s4
11s2s +++−++−=++
( ) 1sB44
3sDB3
4
1sCB1s2s 2323 +
+−+
+−++=++
16
3B
4
3B40B4
4
3=⇒=⇒=+−
16
37D
16
9432D
16
9
4
12D2DB3
4
1=⇒
+−=⇒+−=⇒=+−
16
13C
16
31C1CB =⇒−=⇒=+
233
Retornando a (4.13.1):
( )4s3s
1
16
37
4s3s
s
16
13
s
1
16
3
s
1
4
1sY
222 +−+
+−++= (4.13.2)
Completando quadrados na equação (4.13.2) tem-se que:
( )
4
7
2
3s
1
16
37
4
7
2
3s
2
3
2
3s
16
13
s
1
16
3
s
1
4
1sY
222
+
−
+
+
−
+−++=
( )
4
7
2
3s
1
32
39
4
7
2
3s
1
16
37
4
7
2
3s
2
3s
16
13
s
1
16
3
s
1
4
1sY
2222
+
−
+
+
−
+
+
−
−++=
( )
4
7
2
3s
2
7
7
2
32
113
4
7
2
3s
2
3s
16
13
s
1
16
3
s
1
4
1sY
222
+
−
+
+
−
−++=
Como ( ) =ty L ( ){ }sY1− e L ( ){ } ( )sYetye asat −= , tem-se que:
( )
+
++= t
2
7sene
112
7113t
2
7cose
16
13t
4
1
16
3ty
t2
3t
2
3
02. Solucione a equação integral de Volterra abaixo empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades.
( ) ( ) ( ) ( )∫ θθ−+θ+−=
t
0
dty1 tsenh1ty
Notação: L ( ){ } ( )sYty =
( ) ( ) ( ) ( )ty1ttsenh1ty ∗++−=
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação integral:
( ) ( )sYs
1
s
1
1s
1
s
1sY
22
++
−−=
234
( )1s
1
s
1sY
s
1
s
11
22 −−=
−−
( )( )1ss
s1ssY
s
s1s2
2
2
2
−
−−=
−−
( )( ) 1s
s
s1s
s
1ss
s1ssY
22
2
2
2
−=
−−−
−−=
Como ( ) =ty L ( ){ }sY1− , tem-se que:
( ) ( )tcoshty =
03. Solucione a equação integral abaixo empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades.
( ) ( ) ( )( )∫ θθ−θ+++=
t
0
dty 1tt2costy
Notação: L ( ){ } ( )sYty =
( ) ( ) ( ) tty1tt2costy ∗+++=
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação integral:
( ) ( )222 s
1sY
s
1
s
1
4s
ssY +++
+=
( )s
1
s
1
4s
ssY
s
11
222++
+=
−
( )s
1
s
1
4s
ssY
s
1s222
2
+++
=−
( )( )( ) 1s
s
1s
1
4s1s
ssY
2222
3
−+
−+
+−= (4.13.3)
Decompondo em frações parciais:
( )( ) 4s
DCs
1s
BAs
4s1s
s2222
3
+
++
−
+=
+−
235
( )( ) ( )( )1sDCs4sBAss 223 −++++=
DDsCsCsB4BsAs4Ass 23233 −+−++++=
( ) ( ) ( ) ( )DB4sCA4sDBsCAs 233 −+−++++=
5
4C
5
1A
0CA4
1CA =⇒=⇒
=−
=+
0D0B0DB4
0DB =⇒=⇒
=−
=+
Retornando à equação (4.13.3):
( )1s
s
1s
1
4s
s
5
4
1s
s
5
1sY
2222 −+
−+
++
−=
( )1s
1
4s
s
5
4
1s
s
5
6sY
222 −+
++
−=
Como ( ) =ty L ( ){ }sY1− , tem-se que:
( ) ( ) ( ) ( )tsenht2cos5
4tcosh
5
6ty ++=
04. Uma partícula se move ao longo de uma linha de modo que seu afastamento x de um ponto fixo 0 em um tempo qualquer t seja dado por
( ) ( ) ( ) ( )t2sen30tx3tx3tx '" =++ .
a) Se em 0t = a partícula está em repouso em 0x = , determine seu afastamento ( )tx em um tempo qualquer 0t > empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
=
=
=++
00x
00x
t2sen30tx3tx3tx
'
'"
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária tem-se que:
L ( ) ( ) ( ){ }=++ tx3tx3tx '"
L ( ){ }2t30sen
236
Notação: L ( ){ } ( )sXtx =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4s
230sX30x3ssX30x0sxsXs
2'2
+=+−+−−
( ) ( )4s
60sX3s3s
22
+=++
( )( )( ) 3s3s
DCs
4s
BAs
3s3s4s
60sX
2222 ++
++
+
+=
+++= (4.13.4)
( )( ) ( )( )4sDCs3s3sBAs60 22 ++++++=
D4DsCs4CsB3Bs3BsAs3As3As60 23223 +++++++++=
( ) ( ) ( ) ( )D4B3sC4B3A3s DBA3sCA60 23 +++++++++=
=+
=++
=++
=+
60D4B3
0 C4B3A3
0 D B A3
0 C A
−
−
−
60|1900
0|31000
0|1310
0|0101
~
60|4030
0|0130
0|1310
0|0101
~
60|4030
0|0433
0|1013
0|0101
−
−
−
−
60|10
37000
0|10
3100
0|1310
0|0101
~
60|1900
0|10
3100
0|1310
0|0101
37
600D60D
10
37=⇒=
37
180C0
37
600
10
3C0D
10
3C =⇒=−⇒=−
37
60B0
37
600
37
1803B0DC3B −=⇒=+−⇒=+−
237
37
180A0
37
180A0CA −=⇒=+⇒=+
Voltando a (4.13.4):
( )3s3s
1
37
600
3s3s
s
37
180
4s
1
37
60
4s
s
37
180sX
2222 +++
+++
+−
+−=
Completando quadrados: 4
3
2
3s3s3s
22 +
+=++
( )
4
3
2
3s
1
37
600
4
3
2
3s
s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180sX
2222
+
+
+
+
+
++
−+
−=
( )
4
3
2
3s
1
37
600
4
3
2
3s
2
3
2
3s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180sX
2222
+
+
+
+
+
−++
+−
+−=
( )
4
3
2
3s
1
37
600
4
3
2
3s
1
37
270
4
3
2
3s
2
3s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180sX
2
2222
+
+
+
+
+
+
−
+
+
++
+−
+−=
( )
4
3
2
3s
1
37
330
4
3
2
3s
2
3s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180sX
2222
+
+
+
+
+
++
+−
+−=
( )
4
3
2
3s
2
3
3
2
37
330
4
3
2
3s
2
3s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180sX
2222
+
+
+
+
+
++
+−
+−=
238
( )
4
3
2
3s
2
3
37
3220
4
3
2
3s
2
3s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180sX
2222
+
+
+
+
+
++
+−
+−=
Lembrando que L ( ){ } ( )asXtxeat −= , tem-se que:
L ( ){ } ( ) ( )
+
+−−=
−−− t
2
3sene
37
3220t
2
3cose
37
180t2sen
37
30t2cos
37
180sX
t2
3 t
2
3
1
( ) ( ) ( )[ ]
+
++−=
−
t2
3sen311t
2
3cos9e
37
20t2sent2cos6
37
30tx
t2
3
b) Plote o gráfico da função ( )tx , identificando o termo transitório e o termo de regime permanente. Faça comentários pertinentes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
y
Figura 70: Gráfico de
( ) ( ) ( )[ ]
+
++−=
−
t2
3sen311t
2
3cos9e
37
20t2sent2cos6
37
30tx
t2
3
, [ ]20,0t ∈ .
Termo transiente:
+
−
t2
3sen311t
2
3cos9e
37
20 t2
3
Termo de regime permanente: ( ) ( )[ ]t2sent2cos637
30+−
239
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
y
Figura 71: Gráfico do termo transiente
+
−
t2
3sen311t
2
3cos9e
37
20 t2
3
, [ ]20,0t ∈ .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
y
Figura 72: Gráfico do termo de regime permanente ( ) ( )[ ]t2sent2cos637
30+− , [ ]20,0t ∈ .
Comentários: Percebe-se, pela Figura 71, que o termo transiente “contribui” para a solução até
3t ≈ . Após, a solução é dada pelo termo de regime permanente, como ilustram as Figuras 70 e 72.
240
4.14 – Exercícios complementares
01. Determine o valor das seguintes integrais impróprias:
a) ∫∞
−
0
x24 dxex b) ( )∫∞
−
0
x2
7
dx x3senhe c) ∫∞ −− −
0
t10t2
dtt
ee
R.: 4
3 R.:
13
12 R.: ( )5ln
02. Calcule as seguintes integrais impróprias:
a) ∫∞ −− −
0
t6t3
dtt
ee b)
( ) ( )∫
∞−
0
dtt
t4cost6cos
R.: ( )2ln R.:
3
2ln
03. Empregando a transformada de Laplace e suas propriedades, calcule a integral abaixo.
( )
∫∞
−
0
t 33
dtet5
tsen R.:
120
π
04. Empregando a transformada de Laplace e suas propriedades, mostre que
( ) ( )8
dtt
tsentsenhe
0
t 2 π=∫
∞−
.
05. Calcular:
a) L ( ){ }t2coshe t4− R.: ( )12s8s
4ssF
2 ++
+=
b) L
+
−−
9s
5s22
1 R.: ( ) ( ) ( )t3sen3
5t3cos2tf −=
c) L
++
−−
2s3s
se2
s21 R.: ( ) ( ) ( ){ } ( )2tuee2tf 2t2t2 −−= −−−−
241
06. Calcule a transformada de Laplace da função representada graficamente abaixo. f(t) 2 1 t 2 4
R.: L ( ){ }
−−+= −
−s4
s2
e4s
e
s
12
s2
1tf
07. Calcule a transformada de Laplace da função representada graficamente abaixo. f(t) 2 t 2 4
R.: L ( ){ } ( )s2ees
1tf s2s4
2+−= −−
08. Determine a transformada de Laplace da função representada graficamente na Figura 73.
Figura 73: Função periódica – [13].
R.: L ( ){ }( )
( )0as2
asas
tge1s
asee1tf θ
−
−−=
−
−−
242
09. Seja ( )tf a função representada graficamente abaixo. f(t) 5 2 t 3 7 a) Expresse ( )tf de forma compacta usando a função degrau unitário.
R.: ( )
+−=
4
29t
4
3tf [u ( )−− 3t u ( )7t − ]
b) Usando o item anterior, calcule L ( ){ }tf .
R.: L s7s3 e s4
32
s
1e
s4
35
s
1 −−
−−
−
10. Seja ( ) ( ) ( ) 0 t,tcostsenetf 2t2 >= − .
a) Determine ( ) =sF L ( ){ }tf e identifique as singularidades de ( )sF .
R.: ( )( ) ( ) 92S
2s
4
1
12s
2s
4
1sF
22++
+−
++
+=
Singularidades: i32 ,i2 ±−±−
b) Represente geometricamente a região de convergência de ( ) =sF L ( ) ( ){ }tcostsen 2 .
11. Sabendo que ( ) ( )( )∑
∞
=
−=
0n
n2n
!n2
t1tcos , ( ) ( ) !nnn1n =Γ=+Γ e π=
Γ
2
1, determine L
( )
t
tcose
sua respectiva região de convergência.
R.: ( ) 0sRe ,es
s4
1
>π −
243
12. Sabendo que ( ) ( )( )∑
∞
=
+
+
−=
0n
1n2n
!1n2
t1tsen , ( ) ( ) !nnn1n =Γ=+Γ e π=
Γ
2
1, determine L ( ){ }tsen e
sua respectiva região de convergência.
R.: ( ) 0sRe ,es2
s4
1
23
>π −
13. Calcule L
−+−
++−−
16s16s4s
4s56s47s1134
231 .
R.: ( ) ( ) t22t2 e65tt2etf −++−=
14. Determine L
−−++
+++−
39s12s10s4s
9s13ss234
231 .
R.: ( ) ( ) ( )t3senet3coshtf t2−−= 15. Use as transformadas de Laplace para solucionar as seguintes equações:
a)
( ) ( ) ( )( )
( )
−=
=
=+
10y
10y
tcos8tyty
'
"
R.: ( ) ( ) ( ) ( )ttsen4tsentcosty +−=
b) ( ) ( ) ( )
( )
=
−−= ∫00y
duuy tsen1tyt
o
'
R.: ( ) ( ) ( )ttsen2
1tsenty −=
c) ( )( )( ) ( )
<<π=
>=
>=
><<∂
∂=
∂
∂
5x0 x4sen10x,0u
0 t 0t5,u
0 t 0t,0u
0 t5,x0 x
u2
t
u2
2
R.: ( ) ( )
( ) ( ) t32
2
x 2
s
2
x 2
s
1
2
ex4sen10t,xu
x 4sen32s
10eCeCs,xU
ππ
ππ
−
−
=
+++=
244
16. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine a solução do seguinte problema de valor inicial:
( ) ( ) ( )( )
( )
=
=
=−−
20y
10y
e tty2tyty
'
t'"
R.: ( ) tttt2 e4
1te
2
1e
12
1e
3
4ty −−−= −
17. Empregando as transformadas de Laplace, determine a solução do seguinte problema de valor inicial:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
=
=
=−+ −
30y
00y
et4coshtyty6ty
'
t3'"
R.: ( ) ( ) ( ) ( )
+−= − t10senh
10
103t10cosh
6
1t4cosh
6
1ety t3
18. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI):
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
−=
=
+=++ −
10y
00y
t3cose3t2ty13ty4ty
'
t2'"
R.: ( ) ( ) ( ) ( )t3sente2
1t3sene
507
179t3cose
169
8t
13
2
169
8ty t2t2t2 −−− +−++−=
19. Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, solucione a equação íntegro-diferencial
( ) ( ) ( ) ( )tfdu uy 40ty4ty10
1t
0
' =++ ∫ ,
sendo ( )tf a função representada graficamente abaixo e ( ) 00y = .
245
f(t) 10 t 10 R.: ( ) ( ) ( )10t20t20 e10t100te100ty −−− −+= u ( )10t −
20. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine a solução do problema de valor inicial
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
=
=
=−+
20y
10y
tfty2tyty
'
'"
, sendo ( )tf a função representada graficamente abaixo.
f(t) 4 t 2
R.: ( ) 2e3
1e
3
82ty t2t +++−= −
u ( ) 2te3
42t −−− u ( ) ( )2t2e
3
22t −−−− u ( )2t −
21. Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine a solução geral da equação diferencial ordinária com coeficientes variáveis
( ) ( ) ( ) ( ) 1tty3ty 2tty t '" −=++− ,
sujeita à condição inicial ( ) 00y = .
R.: ( ) t2
1Ctty 3 +=
22. Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, solucione a equação íntegro-diferencial
246
( ) ( ) ( ) ( )tcoshedue uy ty t
t
0
ut2" =+∫ − ,
sujeita às condições iniciais ( ) 30y = e ( ) 30y ' −= .
R.: ( )
−
+−= t
2
5senhe52t
2
5coshe41ty 2
t
2
t
23. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, solucione e equação diferencial parcial:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
>==
<<−=
><<−=
0 t 0t,ut,0u
x0 x2sen4xsen60,xu
0 t,x0 t,xu4t,xut,xu xxt
π
π
π
.
R.: ( ) ( ) ( )x2sene4xsene6t,xu t8t5 −− −= 24. Empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades, solucione a equação diferencial parcial a seguir. ( ) ( ) 0 t1,x0 e1t,xut,xu t
tx ><<−=− −
( ) 1x0 x0,xu <<= R.: ( ) te1xt,xu −−+= 25. Um indutor de 3 henrys está em série com um resistor de 30 ohms e com uma f.e.m. dada por
( )t20sen150 . Supondo que em 0t = a corrente é nula, use as transformadas de Laplace para determinar a corrente num tempo 0t > qualquer. R.: ( ) ( ) ( ) t10e2t20cos2t20senti −+−= 26. Um determinado sistema é regido pela equação diferencial
( ) ( ) ( ) ( )tgty14ty8ty '" =++ ,
onde as condições iniciais são ( ) 10y = e ( ) 40y ' −= .
Empregando as transformadas de Laplace, determine a resposta ( )ty desse sistema quando o
mesmo é excitado por um degrau de amplitude sete, ou seja, ( ) 7tg = u ( )t .
R.: ( ) ( ) ( )[ ]t2senh22t2coshe2
1
2
1ty t4 −+= −
247
27. Uma partícula se move ao longo de uma linha de modo que seu afastamento x de um ponto fixo 0 em um tempo qualquer t seja dado por
( ) ( ) ( ) ( )t5sen80tx5tx4tx '" =++ .
a) Se em 0t = a partícula está em repouso em 0x = , determine seu afastamento em um tempo qualquer 0t > usando as transformadas de Laplace e suas propriedades. R.: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]t5sent5cos2tsen7tcose2tx t2 +−+= − b) Determine a amplitude, o período e a freqüência do movimento após um longo tempo.
R.: Período: 5
2P
π= Freqüência:
π2
5
P
1= Amplitude: 22 (quando
20t
π= )
c) No resultado obtido no item (a), qual é o termo de regime transitório e qual é o termo de regime permanente? R.: Regime transitório: ( ) ( )[ ]tsen7tcose2 t2 +−
Regime permanente: ( ) ( )[ ]t5sent5cos2 +− 28. Em engenharia, um problema importante é determinar a deflexão estática de uma viga elástica causada por seu peso ou por uma carga externa. Essa deformação (deflexão) ( )xy é descrita pela equação diferencial ordinária de quarta ordem
( ) ( )xWxydx
dEI
4
4
= , (1)
onde E é o módulo de elasticidade de Young relacionado com o material da viga, I é o momento de inércia de uma secção transversal da viga (em relação a um eixo conhecido como eixo neutro ou linha neutra), o produto EI é a rigidez defletora da viga e ( )xW é a carga por unidade de comprimento. Uma viga engastada (fixa) em uma extremidade e solta na outra é chamada de cantiléver ou viga em balanço ou viga cantoneira. Um trampolim, um braço estendido, a asa de um avião e um arranha-céu são exemplos de tais vigas. Para uma viga de comprimento l em balanço engastada à esquerda, além de satisfazer (1), a deflexão ( )xy deve satisfazer as seguintes condições nas extremidades da viga (condições de contorno):
• ( ) 00y = , pois não há deflexão no extremo esquerdo engastado;
• ( ) 00y ' = , pois a curva de deflexão é tangente ao eixo x na extremidade esquerda;
• ( ) 0y" =l , pois o momento defletor (fletor) é nulo no extremo livre;
• ( ) 0y"' =l , pois a força de espoliação (cisalhamento) é zero na extremidade livre. A força de
espoliação é dada pela função ( ) ( )xydx
dEIxF
3
3
= .
248
Assim, mostre que a deflexão em uma viga cantoneira, engastada em 0x = e livre em l=x e que suporta uma carga uniforme 0W por unidade de comprimento, é dada por
( ) ( )2220 6x4xxEI24
Wxy ll +−= .
29. Em um circuito elétrico simples em série L-C-R (indutor-capacitor-resistor), a corrente i satisfaz a equação íntegro-diferencial
( ) ( )tEdi C
1Ri
dt
diL
t
0
=++ ∫ ττ ,
onde L é a indutância, R é a resistência, C é a capacitância e ( )tE é a força eletromotriz (f.e.m). Para o
mesmo circuito, a carga instantânea ( )tq no capacitor satisfaz a equação diferencial ordinária de segunda ordem
( ) ( ) ( ) ( )tEtqC
1tq
dt
dRtq
dt
dL
2
2
=++ .
Dessa forma, use as transformadas de Laplace e suas propriedades para determinar a carga ( )tq
no capacitor e a corrente ( )ti em um circuito em série L-C-R no qual henry 1L1
= , ohms 20R = ,
farad 01,0C = , ( ) 00q = , ( ) 00i = e ( )tE é dada pela Figura 18.
Figura 74: Força eletromotriz – [17].
R.: ( ) ( )1t120t120tE −−= u ( ) 1201t −− u ( )1t −
( ) 120tq = [125
1te
100
1e
500
1t
100
1
500
1 t10t10 −+++− −−u ( ) ( )1t
100
11t −−− u ( )+−1t
( )1t10e125
1 −−+ u ( ) ( ) ( )1t10e1t100
91t −−−+− u ( )1t − ]
249
( ) ( ) 120tqdt
dti == [
100
1te
10
1e
100
1
100
1 t10t10 −−− −−u ( ) ( )1t10e
100
11t −−+− u ( )+−1t
( ) ( )1t10e1t10
9 −−−− u ( )1t − ]
30. Um resistor de R ohms e um capacitor de C farads são ligados em série com um gerador fornecendo E volts, como ilustra a Figura 19.
Figura 75: Circuito em série R-C – [13].
a) Seja 0Q a carga inicial no capacitor e ( )wtsenEE 0= . Mostre, usando as transformadas de
Laplace e suas propriedades, que a carga no capacitor em um tempo 0t > qualquer é dada por
( ) ( ) ( )
−−
+= wtsen
RC
1wtcos w
aR
Ee
aR
wEQtq 0RC
t -
00 ,
sendo 22
2
CR
1wa += .
b) Determine a corrente ( )ti .
R.: ( ) ( ) ( )
+−
+−= wtcos
RC
1wtsen w
aR
wEe
aR
wEQ
RC
1ti 0RC
t -
00
31. No circuito elétrico representado na figura abaixo
250
temos que ( )t10sen500E = , ohms 10R1 = , ohms 10R 2 = , henry 1L = e farad 01,0C = . Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine:
1. a carga no capacitor em um tempo 0t > qualquer;
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t10cos2t10senet10cos2t10sentq t10 ++−= −
2. as correntes 1I e 2I em um tempo 0t > qualquer.
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t10cost10sen2e10t10cos10t10sen30tI t101 −−−= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t10sent10cos2e10t10cos20t10sen10tI t102 ++−= −
Sabemos que a carga no capacitor e as correntes 1I e 2I são nulas em 0t = . Esboce o gráfico simultâneo da carga e das correntes para 0t > .
Observação: Equacionamento:
=−
=−−−
0IRC
q
0IRIdt
dL
C
qE
22
11
32. Prove que L ( ){ } ( ) ( )[ ]sln1s
1tln ' −Γ= , onde ( ) ∫
∞
−−=Γ
0
t1n dtet n é a função gama.
33. Prove que L ( ){ } ( )
=
−
π=
s
1arctg
s
1sarctg
2s
1tSi , onde ( ) ( )
∫=
t
0
duu
usen tSi é a integral seno.
34. Empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades, calcule a integral a seguir.
( )∫∞
0
2 dxxsen
R.: 4
2π
Sugestão: Considere ( ) ( )∫∞
=
0
2 dxx tsen tg e calcule a transformada de Laplace de ( )tg .
251
5. TRANSFORMADAS ZZZZ f(t) h(t) S
Figura 76: “Ação” da transformada.
f(t): sinal de entrada h(t): sinal de saída S: sistema que transforma o sinal de entrada no sinal de saída SINAIS a) Contínuos Funções de uma variável contínua.
� Transformada de Fourier ( ){ } ( ) ( )∫∞
∞−
α=α=ℑ
xi dxexf Fxf
� Transformada de Laplace unilateral L ( ){ } ( ) ( )∫∞
−==
0
stdtetf sFtf
b) Discretos Funções de uma variável discreta – sequências.
� Transformada discreta de Fourier � Transformada discreta de Laplace � Transformada Z
252
(a) (b) Figura 77: (a) Função contínua: ( ) [ ]10,0t ,etf t ∈= − ; (b) Função discreta: ( ) 10,,2,1,0n ,enf n K== − .
Um sinal discreto é descrito por uma sequência. { } { }KK ,f,f,f,f,f,f 21012n −−=
nf : n-ésimo termo da sequência
5.1 – Definição da transformada ZZZZ unilateral
Z{ } ( ) K+++++=== −−−−
∞
=
−∑ 44
33
22
110
0n
nnn zfzfzfzffzfzFf
K+++++=44
33
221
0 z
f
z
f
z
f
z
ff (5.1.1)
onde ibaz += (ou iyxz += ou β+α= jz ) é um número complexo e K,f,f,f,f 3210 são os
coeficientes da série, os quais representam os valores que o sinal assume nos diversos instantes discretos de tempo. Uma seqüência nf é Z transformável se a série (5.1.1) é convergente para pelos menos um complexo z. Outras notações empregadas na definição da transformada Z unilateral:
Z ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++++=== −−−
∞
=
−∑ 321
0k
k zT3xzT2xzTx0xzkTxzXkTx
253
Z ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+++++=== −−−−
∞
=
−∑ 4321
0n
n z4xz3xz2xz1x0xznxzXnx
Exemplo
Seja o sinal dado por ( )
=
=
=
=
=
=
=
contrário caso 0,
5n 3,-
4n 3,
3n 2,-
2n 1,
1n 1,-
0n ,2
nx .
Z ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+++++=== −−−−
∞
=
−∑ 4321
0n
n z4xz3xz2xz1x0xznxzXnx
5432
54321
z
3
z
3
z
2
z
1
z
1-2
z3z3z2zz-2
−+−+=
−+−+= −−−−−
5.2 – Transformada ZZZZ unilateral de algumas sequências
5.2.1 – Versão discreta da função delta de Dirac
≠
==
0n ,0
0n ,1f n ou ( )
≠
==δ
0n ,0
0n ,1n
Z{ } 1ff 0n == ou Z ( ){ } ( ) 10n =δ=δ
5.2.2 – Sequência unitária ou passo discreto unitário 0n 1f n ≥∀=
Z{ } =nf Z{ } K++++==∑∞
=
−
32
0n
n
z
1
z
1
z
11z1 (5.2.2.1)
A série (5.2.2.1) é uma série geométrica. Esta série converge se:
254
1yx1yxiyx1z1z
1 2222 >+⇒>+=+⇒>⇒<
y=Im(z) x=Re(z) 1
Figura 78: 1yx1z 22 >+⇒> .
Logo, Z{ } 1z ,1z
z
z
11
1z1
0n
n >−
=
−
==∑∞
=
− .
5.2.3 – Exponencial an
n ef = , a constante e 0n ≥
Z{ } K+++++=
== ∑∑
∞
=
∞
=
−
4
a4
3
a3
2
a2a
0n
na
0n
nanan
z
e
z
e
z
e
z
e1
z
ezee (5.2.3.1)
A série (5.2.3.1) é uma série geométrica. Esta série converge se:
2a22a22a
a
eyxeyxiyxez1z
e>+⇒>+=+⇒>⇒< .
255
y=Im(z) x=Re(z) |ea|
Figura 79: 2a22a eyxez >+⇒> .
Assim, Z{ } aaa
0n
naan ez ,
ez
z
z
e1
1
z
ee >
−=
−
=
=∑
∞
=
.
5.2.4 – Potência n
n af = , a constante e 0n ≥
Z{ } K+++++=
== ∑∑
∞
=
∞
=
−
4
4
3
3
2
2
0n
n
0n
nnn
z
a
z
a
z
a
z
a1
z
azaa (5.2.4.1)
A série (5.2.4.1) é uma série geométrica. Esta série converge se:
22222 ayxayxiyxaz1
z
a>+⇒>+=+⇒>⇒< .
256
y=Im(z) x=Re(z) |a|
Figura 80: 222 ayxaz >+⇒> .
Dessa forma, Z{ } az ,az
z
z
a1
1
z
aa
0n
nn >
−=
−
=
=∑
∞
=
.
Resumo
nf ( )zF
( )
≠
==δ
0n ,0
0n ,1n
1
1 1z ,
1z
z>
−
ane aa
ez ,ez
z>
−
na az ,az
z>
−
Tabela 6: Algumas transformadas Z unilaterais.
5.3 – Séries de potências: definição, raio de convergência
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+−+−+−+−+=−∑∞
=
44
33
2210
0n
nn czaczaczaczaacza
z: variável complexa K,a,a,a 210 : coeficientes da série
c: centro da série (número complexo)
257
R: raio de convergência da série ( )∞≤≤ R0
1n
n
n a
alimR
+∞→
= ou n
1
n
na
1limR
∞→=
Convergência da série de potências de (z-c) (Teorema de Cauchy-Hadamard) 1. R = 0
A série converge somente para cz = .
2. 0 < R < ∞
A série converge absolutamente para todo Rczz <−∈ e diverge para todo Rczz >−∈ .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 byaxbyiaxibaiyxcz
ibac
iyxz
−+−=−+−=+−+=−
++
+=
3. R = ∞
A série converge absolutamente para todo z.
Exemplo
K+++++=∑∞
= 5
z
4
z
3
z
2
zz
n
z 5432
1n
n
(5.3.1)
( )1
n
11lim
n
1nlim
1n1
n1
lima
alimR
nnn1n
n
n=
+=
+=
+
==∞→∞→∞→
+∞→
A série converge em 1z < e diverge em 1z > .
1z = : testar a convergência absoluta
K+++++=== ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
= 5
1
4
1
3
1
2
11
n
1
n
z
n
z
1n1n
n
1n
n
(5.3.2)
A série (5.3.2) é a série harmônica, uma série divergente.
Logo, podemos afirmar que a série (5.3.1) converge em 1yx1z 22 <+⇒< .
258
y=Im(z) x=Re(z) 1
Figura 81: 1yx1z 22 <+⇒< .
5.4 – Existência e domínio de definição da transformada ZZZZ unilateral
Z{ } ( ) ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
−
−=
===
0n
n
n
0n
n
n
0n
nnn 0
z
1f
z
1fzfzFf
R
1zR
z
1>⇒<
A série converge em R
1z > .
A série diverge em R
1z < .
Exemplo
nn af = , a constante e 0n ≥
a
1alimalim
a
alim
a
alimR
1
n
1
n1n
n
n1n
n
n=====
−
∞→
−
∞→+∞→+
∞→
Convergência: azR
1z >⇒>
259
Teorema 1
Seja a série ( ) ∑∞
=
−=0n
nn zfzF , convergente em todo ponto 0zo ≠ . Então, a série converge
absolutamente em ozz > e converge uniformemente em toda região zRz 'o ≤< .
Definição Uma sequência é do tipo exponencial se existem 0M > , 0s0 ≥ e 0n 0 ≥ tais que
ns
n0Mef <
para todo 0nn ≥ .
Teorema 2 Toda sequência do tipo exponencial é Z transformável. Teorema 3 Para que uma sequência { }nf seja Z transformável é necessário que ela seja do tipo exponencial. Teorema 4
Se a série ( ) ∑∞
=
−=0n
nn zfzF converge em
R
1z > , então ( )zF é uma função analítica (ou regular
ou holomorfa) nessa região e é a única transformada da sequência { }nf . Teorema 5
Seja ( )zF uma função analítica na região R
1z > . Então existe uma seqüência { }nf para a qual
Z{ } ( )zFf n = . Demonstrações: VICH, R. Z transform theory and applications. Dordrecht: SNTL – Publishers of Technical Literature. Funções analíticas Se a derivada ( )zf ' existe em todos os pontos z de uma região 'R do plano complexo, então
( )zf é dita analítica (ou regular ou holomorfa) em 'R . Uma função ( )zf é dita inteira quando for analítica em C .
260
Uma função ( )zf é analítica em um ponto oz se existir 0>δ tal que ( )zf ' exista para todo z
em δ<− 0zz .
Equações de Cauchy-Riemann Uma condição necessária para que ( ) ( ) ( )y,xv iy,xuzfw +== seja analítica em uma região
'R do plano complexo é que u e v satisfaçam em 'R as equações de Cauchy-Riemann:
x
v
y
u
y
v
x
u
∂
∂−=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
(5.4.1)
Se as derivadas parciais de ( )zf são contínuas em 'R , então as equações de Cauchy-Riemann
(5.4.1) são condições necessárias e suficientes para garantir a analiticidade de ( )zf em 'R . Demonstração: SPIEGEL, Murray R. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw-Hill. Problema 5, página 107.
5.5 – Propriedades da transformada ZZZZ unilateral
5.5.1 – Linearidade Teorema: Sejam lK,0,1,2,i ,c i = , números complexos dados. Se as transformadas
Z{ } ( )zFf in,i = existem, com raio de convergência 0R i > para lK,0,1,2,i = ( l finito), então também
existe a transformada
Z ( )∑∑==
=
ll
0i
ii
0i
n,ii zFcfc .
Exemplos 1o) Z ( ){ }nsen β , onde β é uma constante (real puro).
Lembrar que ( )i2
eezsen
iziz −−= e Z{ } a
aan ez,
ez
ze >
−= .
Z ( ){ }=βnsen Z
− β−β
i2
ee nini
−−
−=
β−β ii ez
z
ez
z
i2
1
261
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( ) 1cosz2z
zsen
1cosz2z
izsen2
i2
1
1cosz2z
eez
i2
1
1eezz
zezzez
i2
1
1zezez
ezzezz
i2
1
2
2
2
ii
ii2
i2i2
ii2
ii
+β−
β=
+β−
β=
+β−
−=
++−
+−−=
+−−
−−−=
β−β
β−β
ββ−
ββ−
ββ−
( )nsenf n β= é Z transformável para
( ) ( ) ( ) ( ) 1sencossenicosez 22i =β+β=β+β=> β .
( ) =zF Z ( ){ }nsen β é analítica em todo plano complexo, exceto em β= iez e β−= iez . 2o) Z ( ){ }ncos β , onde β é uma constante (real puro).
Lembrar que ( )2
eezcos
iziz −+= e Z{ } a
aan ez,
ez
ze >
−= .
Z ( ){ }=βncos Z
+ β−β
2
ee nini
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )[ ]
( )( )[ ]( ) 1cosz2z
coszz
1cosz2z
coszz2
2
1
1cosz2z
cosz2z2
2
1
1cosz2z
eezz2
2
1
1eezz
zezzez
2
1
1zezez
ezzezz
2
1
ez
z
ez
z
2
1
2
2
2
2
2
ii2
ii2
i2i2
ii2
ii
ii
+β−
β−=
+β−
β−=
+β−
β−=
+β−
+−=
++−
−+−=
+−−
−+−=
−+
−=
β−β
β−β
ββ−
ββ−
ββ−
β−β
262
( )ncosf n β= é Z transformável para
( ) ( ) ( ) ( ) 1sencossenicosez 22i =β+β=β+β=> β .
( ) =zF Z ( ){ }ncos β é analítica em todo plano complexo, exceto em β= iez e β−= iez . 3o) Z ( ){ }nsenh β , onde β é uma constante (real puro).
Lembrar que ( )2
eezsenh
zz −−= e Z{ } a
aan ez,
ez
ze >
−= .
Z ( ){ }=βnsenh Z
− β−β
2
ee nn
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )( ) 1coshz2z
zsenh
1cosz2z
zsenh2
2
1
1coshz2z
eez
2
1
1eezz
zezzez
2
1
1zezez
ezzezz
2
1
ez
z
ez
z
2
1
2
2
2
2
22
2
+β−
β=
+β−
β=
+β−
−=
++−
+−−=
+−−
−−−=
−−
−=
β−β
β−β
ββ−
ββ−
ββ−
β−β
( )nsenhf n β= Z é transformável para todo
( )β−β> e,emaxz .
( ) =zF Z ( ){ }nsenh β é analítica em todo plano complexo, exceto em β= ez e β−= ez . 4o) Z ( ){ }ncosh β , onde β é uma constante (real puro).
Lembrar que ( )2
eezcosh
zz −+= e Z{ } a
aan ez,
ez
ze >
−= .
Z ( ){ }=βncosh Z
+ β−β
2
ee nn
263
( ) ( )
( ) 1eezz
zezzez
2
1
1zezez
ezzezz
2
1
ez
z
ez
z
2
1
2
22
2
++−
−+−=
+−−
−+−=
−+
−=
β−β
ββ−
ββ−
ββ−
β−β
( )
( ) 1coshz2z
eezz2
2
12
2
+β−
+−=
β−β
( )( )( )[ ]
( )( )[ ]( ) 1coshz2z
coshzz
1coshz2z
coshzz2
2
1
1coshz2z
coshz2z2
2
1
2
2
2
2
+β−
β−=
+β−
β−=
+β−
β−=
( )ncoshf n β= Z é transformável para todo ( )β−β> e,emaxz .
( ) =zF Z ( ){ }ncosh β é analítica em todo plano complexo, exceto em β= ez e β−= ez . Resumo
nf ( )zF
( )
≠
==δ
0n ,0
0n ,1n
1
1 1z ,
1z
z>
−
ane aa
ez ,ez
z>
−
na az ,az
z>
−
( )nsen β
( )( )
1z ,1cosz2z
senz2
>+β−
β
( )ncos β
( )[ ]( )
1z ,1cosz2z
coszz2
>+β−
β−
( )nsenh β
( )( )
( )β−β>+β−
βe,emaxz ,
1coshz2z
zsenh2
( )ncosh β
( )[ ]( )
( )β−β>+β−
β−e,emaxz ,
1coshz2z
coshzz2
Tabela 7: Transformada Z unilateral de algumas funções discretas elementares.
264
5.5.2 – Translação (ou deslocamento)
Teorema: Seja k um inteiro positivo. Se a transformada Z{ } ( )zFf n = existe para R
1z > , então
também existem as transformadas Z{ }knf + e Z{ }knf − (esta para kn ≥ ). Para R
1z > temos que
Z{ } ( )
−= ∑
−
=
−+
1k
0n
nn
kkn zfzFzf e Z{ } ( ) ( )
kk
kn z
zFzFzf == −
− .
Prova
1. Considerando ( ) ∑∑∑−
=
−
∞
=
−
∞
=
− +==
1k
0n
nn
kn
nn
0n
nn zfzfzfzF e knn ' += :
( ) ∑∑−
=
−
∞
=+
−−
++=
1k
0n
nn
kkn
kn
knzfzfzF
'
'
'
( ) ∑∑−
=
−
∞
=
−
+
− +=
1k
0n
nn
0n
n
kn
k zfzfzzF'
'
'
( ) kzzF −= Z{ }knf + ∑−
=
−+
1k
0n
nnzf
Z{ }knf + ( )
−= ∑
−
=
−
1k
0n
nn
k zfzFz
2. Considerando ( ) ∑∑∑−
−=
−
∞
−=
−
∞
=
− −==
1
kn
nn
kn
nn
0n
nn zfzfzfzF e knn ' −= :
( ) ( ) ∑∑−
−=
−
∞
−=−
−−
−−=
1
kn
nn
kkn
kn
knzfzfzF
'
'
'
( ) ∑∑−
−=
−
∞
=
−
−−=
1
kn
nn
0n
n
kn
k zfzfzzF'
'
'
Como 0n 0f n <∀= :
265
( ) kzzF = Z{ }knf −
Z{ } ( )kkn
z
zFf =−
Exemplo
Z{ }α
α
−=
ez
ze n
Z ( ){ }
−−
−=
−
−=
α
=
−
α
+α ∑ z
ff
ez
zzzf
ez
zze 1
02
1
0n
nn
22n
( ) ( )( )
α
α
α
ααα
α
αααα
α
−=
−
+−+−=
−
−−−−=
−−
−=
ez
ze
ez
ezezezzz
ezz
ezeezzzz
z
e1
ez
zz
2
222
222
Z ( ){ }( )αα
−−α
−=
−=
ezz
1
ez
zze 22n
5.5.3 – Similaridade
Teorema: Se a transformada Z{ } ( )zFf n = existe para R
1z > e se 0≠λ é uma constante
complexa, então a transformada Z{ }nnfλ também existe e, para
Rz
λ> , temos que
Z{ }
λ=λ
zFf n
n .
Prova
Z{ }
λ=
λ=
λ=λ=λ ∑∑∑
∞
=
−∞
=
∞
=
− zF
zf
zfzff
0n
n
n
0n
n
n
0n
nn
nn
n
266
Exemplo
Z ( ){ }( )
( )
( )( ) αα
α
αα
αα
+β−
β=
+β
−
β
=β222
n
ecosze2z
senze
1cose
z2
e
z
sene
z
nsene
5.5.4 – Convolução
{ } { } { } ∑∑=
−
=
− ==∗=∗
n
0k
kkn
n
0k
knknnnn gfgfgfgf
Teorema: Se as transformadas Z{ } ( )zFf n = e Z{ } ( )zGg n = existem, respectivamente, para
1R
1z > e
2R
1z > , então a transformada Z{ }nn gf ∗ também existe e, para
>21 R
1,
R
1maxz temos
que Z{ } ( ) ( )zGzFgf nn =∗ . Prova
( ) ( ) ∑∑∞
=
−
∞
=
−=
0n
nn
0n
nn zgzfzGzF
Empregando a fórmula de Cauchy para o produto de séries absolutamente convergentes, temos que:
( ) ( ) ( )∑∑∑∞
=
−
∞
=
−
=
− ∗=
=
0n
nnn
0n
n
n
0k
kkn zgfzgfzGzF
Exemplo
( )( )( )
( ) ( )
=−
⋅−
=−−
=αααα
321321zFzF
2
2
2
1
121 ez
z
ez
z
ezez
zzF Z{ }n1eα
Z{ }n2eα
( ) ( ) =zFzF 21 Z( ) =
∑=
−αα
n
0k
knk 21 ee Z
∑=
α−αα
n
0k
kkn 212 eee
267
{ } ∑=
α−αα=
n
0k
kknn
212 eeef
5.5.5 – Diferenciação da transformada de uma sequência
Teorema: Se a transformada Z{ } ( )zFf n = existe para R
1z > , então a transformada Z{ }nf n
também existe e, para R
1z > , temos que
Z{ } ( )zFdz
dzf n n −= .
Prova
Como a série que define a transformada Z converge uniformemente na região zRR
1 ' ≤< , ela
pode ser diferenciada termo a termo. Assim:
( ) ( )
( ) ∑∑
∑∑∑∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−−
∞
=
−
∞
=
−
−=−=
−===
0n
nn
0n
nn
0n
1nn
0n
nn
0n
nn
zf nz
1
z
zf nzF
dz
d
zf nzfdz
dzf
dz
dzF
dz
d
( )z
1zF
dz
d−= Z{ }nf n
Z{ } ( )zFdz
dzf n n −=
Exemplos
1. Z{ }=n Z{ }( ) ( )22 1z
z
1z
z1zz
1z
z
dz
dz1.n
−=
−
−−−=
−−=
1zR
1z
11n
nlim
a
alimR
n1n
n
n
>⇒>
=+
==∞→
+∞→
268
2. Z{ }=2n Z{ }( )
( ) ( )( )4
2
2 1z
1z2.z1zz
1z
z
dz
dzn.n
−
−−−−=
−−=
( )( )( )
( )( )3
4
1z
1zz
1z
z21z1zz
−
+=
−
−−−−=
( )
1zR
1z
11n
nlim
a
alimR
2
2
n1n
n
n
>⇒>
=+
==∞→
+∞→
3. Z{ }=3n Z{ } ( )( ) ( )
−
+−=
−
+−= 3
2
32
1z
zz
dz
dz
1z
1zz
dz
dzn.n
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )[ ]( )6
2
6
223
1z
1zz31z1z21zz
1z
1z3zz1z1z2z
−
+−−+−−=
−
−+−−+−=
( )
( )( )
( )4
2
4
2
4
22
1z
1z4zz
1z
1z4z-z
1z
z3z31zz2z
−
++=
−
−−−=
−
−−−−−=
( )
1zR
1z
11n
nlim
a
alimR
3
3
n1n
n
n
>⇒>
=+
==∞→
+∞→
4. Generalizando:
Z { } ( )( )
1z,1,2,3,k ,1z
zNn
kk1k >=−
=− K
( )zN k é um polinômio de variável complexa.
269
Exercício
Calcule Z ( ){ }nsen n β .
R.: ( )( )
( )[ ]22
3
1cosz2z
zzsen
+β−
−β
5.5.6 – Integração da transformada de uma sequência
Teorema: Seja 0f 0 = . Se a transformada Z{ } ( )zFf n = existe para R
1z > , então a
transformada Z
n
f n também existe e, para R
1z > , temos que
Z( )
∫∞
=
z
n duu
uF
n
f.
Prova
( )R
1u ,ufuF
0n
nn >=∑
∞
=
− (5.5.6.1)
Multiplicando (5.5.6.1) por 1u − e integrando de z a 0z , obtemos:
( )
( )
( ) ∑∫
∑ ∫∫
∫ ∑∫
∞
=
−
∞
=
−−−
∞
=
−−−
−=
=
=
0n
z
z
n
n
z
z
0n
z
z
1nn
z
z
1
z
z 0n
1nn
z
z
1
00
00
00
n
ufdu
u
uF
duuf duuFu
duufduuFu
( ) ( )∑∫
∞
=
−−
−−=
0n
nn0
n
z
z
zzn
fdu
u
uF0
(5.5.6.2)
Considerando ∞→0z em (5.5.6.2), temos que:
( ) ∑∫
∞
=
−
∞
=
0n
nn
z
zn
fdu
u
uF
270
( )
=∫∞
z
duu
uF Z 0f ,
n
f0
n =
Exemplo
{ } ( ){ } 0f 1,n ,1f 01n
n =≥−=−
Z ( ){ } ( )1z
1
z
11
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1z11
432
0n
n1n1n
+=
−−
=+−+−=−=− ∑∞
=
−−−K
1z1z
1>⇒<−
Z( )
( ) ( )
0
0
0
0
z
zz
z
z z
z
1n
1u
ulnlim
1uu
dulim
1uu
du
n
1
+=
+=
+=
−
∞→∞→
∞−
∫∫
+=
+=
+−=
+−
+=
+−
+=
∞→
∞→
z
11ln
z
1zln
1z
zln
1z
zln
z11
1lnlim
1z
zln
1z
zlnlim
0
z
0
0
z
0
0
5.5.7 – Valor inicial
Teorema: Se a transformada Z{ } ( )zFf n = existe para R
1z > , então
( ) 0
zfzFlim =
∞→.
Prova
( ) K++++==∑∞
=
−
33
221
00n
nn z
f
z
f
z
ffzfzF
( ) 0
zfzFlim =
∞→
271
Exemplos
1. ( ) ( )1
21
z5,01
z1zF
−
−
−
−= ( ) 1f1zFlim 0
z=⇒=
∞→
2. ( ) ( )5,0z
1zzF
2
−
−= ( ) ⇒∞=
∞→zFlim
zF(z) não é a transformada Z de uma sequência { }nf
5.5.8 – Valor final
Teorema: Seja Z{ } ( )zFf n = para R
1z > . Se n
nflim
∞→ existe, então ( ) ( )zF1zlim
1z−
→ também existe
e temos que
( ) ( ) nn1z
flimzF1zlim∞→→
=− .
Prova
Z{ } ∑∞
=
−=
0n
nnn zff
Z{ } ( ) ( ) 0
0
0n
nn1n f zzzFzfzFzf −=
−= ∑
=
−+
Z{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00
0n
nn1nn1n f zzF1zzFf zzzFzffff −−=−−=−=− ∑
∞
=
−++ (5.5.8.1)
Considerando o limite de (5.5.8.1) quando 1z → :
( ) ( ) ( ) 01z1z
0n
nn1n
1zf zlimzF1zlimzfflim
→→
∞
=
−+
→−−=−∑
( ) ( ) ( ) 01z
0n
n1n f zF1zlimff −−=−→
∞
=
+∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
1z231201 f zF1zlimffffff −−=+−+−+−
→K
( ) ( )zF1zlimflim
1zn
n−=
→∞→
272
5.6 – Resumo: Transformada ZZZZ unilateral das funções discretas elementares
nf ( )zF
( )
≠
==δ
0n ,0
0n ,1n
1
1 1z ,
1z
z>
−
ane aa
ez ,ez
z>
−
na az ,az
z>
−
( )nsen β
( )( )
1z ,1cosz2z
senz2
>+β−
β
( )ncos β
( )[ ]( )
1z ,1cosz2z
coszz2
>+β−
β−
( )nsenh β
( )( )
( )β−β>+β−
βe,emaxz ,
1coshz2z
zsenh2
( )ncosh β
( )[ ]( )
( )β−β>+β−
β−e,emaxz ,
1coshz2z
coshzz2
n
( )1z ,
1z
z2
>−
2n ( )( )
1z ,1z
1zz3
>−
+
3n ( )( )
1z ,1z
1z4zz4
2
>−
++
Tabela 8: Transformada Z unilateral das funções discretas elementares.
5.7 – Transformada ZZZZ unilateral inversa
Z{ } ( )zFf n = ∑∞
=
−=
0n
nn zf
Z ( ){ } { }n1 fzF =− ( )∫ −
π=
C
1n dzzzFi 2
1
273
5.8 – Métodos para determinar a transformada ZZZZ unilateral inversa
5.8.1 – Uso da transformada ZZZZ unilateral e de suas propriedades
Exemplos
1o) ( )4
41
z
6
z
23z6z23zF ++=++= −−
Zeros: raízes de 06z2z3 34 =++ Singularidade: 0z = (polo de ordem 4)
Z ( ){ } 3zF1 =−Z { } 211 +−
Z 6z
11 +
−
Z
−
41
z
1 (5.8.1.1)
Pela propriedade de translação Z{ } ( )+− ∈= Zk,
z
zFf
kkn , Z{ } ( )z
zFf 1n =− e Z{ } ( )
44nz
zFf =− .
Lembrando que ( )
≠
==
0n 0,
0n ,1nδ , Z ( ){ } 1n =δ e Z { } ( )n11 δ=− , obtemos em (5.8.1.1):
{ }=nf Z ( ){ } ( ) ( ) ( ) 0n ,4n61n2n3zF1 ≥−δ+−δ+δ=−
Como ( )
≠
==−
1n 0,
1n ,11nδ e ( )
≠
==−
4n 0,
4n ,14nδ , temos que { } { }K,0,0,0,6,0,0,2,3f n = .
2o) ( )4z
z32zF
−−=
Zeros: 8z −= Singularidade: 4z = (polo de ordem 1)
Z ( ){ } 2zF1 =−Z { } 311 −−
Z
−
−
4z
z1 (5.8.1.2)
Lembrando que Z{ }az
za n
−= , obtemos em (5.8.1.2):
{ } ( ) { } { }K,768,192,48,12,1f 0n ,4.3n2f n
nn −−−−−=⇒≥−= δ
274
5.8.2 – Decomposição em frações parciais Exemplos
1o) ( )( )( )5,0z1z
1zzF
−+
−=
Zeros: 1z = Singularidades: 0,5z ,1z =−= (polos de ordem 1)
( )( )( ) ( )
( ) ( )
3
1-B e
3
4A
1BA5,0
1 BA
BA5,0z BA1z
1zB5,0zA1z
5,0z
B
1z
A
5,0z1z
1z
==⇒
−=+−
=+
+−++=−
++−=−
−+
+=
−+
−
( )( )( ) 5,0z
1
3
1
1z
1
3
4
5,0z1z
1zzF
−−
+=
−+
−=
{ }=nf Z ( ){ }3
4zF1 =−
Z3
1
1z
11 −
+
−Z
3
4
5,0z
11 =
−
−Z
3
1
1z
z
z
11 −
+
−Z
−
−
5,0z
z
z
11 (5.8.2.1)
Lembrando que Z{ } ( )kkn
z
zFf =− , podemos escrever (5.8.2.1) como:
{ } ( ) ( ) 1n ,5,03
11
3
4f 1n1n
n ≥−−=−−
Como ( )( )( )
05,0z1z
1zlimzFlimfzz
0 =−+
−==
∞→∞→, temos que
{ }( ) ( )
{ }
−−=⇒
≥−−
=
=−−
K,16
21,
8
11,
4
5,
2
3,1,0f
1n ,5,03
11
3
4
0n ,0 f n1n1nn
2o) ( ) ( )( )( )5,0z1z
1zzzF
−+
−=
Zeros: 1z ,0z == Singularidades: 0,5z ,1z =−= (polos de ordem 1)
275
( )
( )( ) 3
1-B e
3
4A
5,0z
B
1z
A
5,0z1z
1z
z
zF==⇒
−+
+=
−+
−=
( )
5,0z
1
3
1
1z
1
3
4
z
zF
−−
+=
( )5,0z
z
3
1
1z
z
3
4zF
−−
+=
Z ( ){ }3
4zF1 =−
Z3
1
1z
z1 −
+
−Z
−
−
5,0z
z1 (5.8.2.2)
Lembrando que Z{ }az
za n
−= , reescrevemos (5.8.2.2) como:
{ } ( ) ( ) { }
−−=⇒≥−−= K,16
21,
8
11,
4
5,
2
3,1f 0n ,5,0
3
11
3
4f n
nnn
Observe que 1f0n 0 =⇒= e que ( ) ( )( )( )
15,0z1z
1zzlimzFlimfzz
0 =−+
−==
∞→∞→.
3o) ( )( ) ( )2z1z
7z7z2
2z5z4z
7z7z2zF
2
2
23
2
−−
+−=
−+−
+−=
Zeros: i4
7
4
7z ±=
Singularidades: 1z = (polo de ordem 2), 2z = (polo de ordem 1)
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CB2A2z C2B3Az CB7z7z2
1z2zC2z3zB2zA7z7z2
1zC2z1zB2zA7z7z2
2z
C
1z
B
1z
A
2z1z
7z7z2
22
222
22
22
2
++−+−−++=+−
+−++−+−=+−
−+−−+−=+−
−+
−+
−=
−−
+−
=++−
−=−−
=+
7 C B2A2
7C2B3A
2 C B
(5.8.2.3)
276
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
2A00A1
772
1z2z
Clim1z
1z
Blim1z
1z
Alim1z
2z1z
7z7z2lim 2
1z
2
1z
2
21z
2
2
2
1z
−=⇒++=−
+−
−−
+−−
+−−
=−−−
+−→→→→
(5.8.2.4)
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
1CC001
7148
2z2z
Clim2z
1z
Blim2z
1z
Alim2z
2z1z
7z7z2lim
2z2z22z2
2
2z
=⇒++=+−
−−
+−−
+−−
=−−−
+−→→→→
(5.8.2.5)
Usando os valores obtidos em (5.8.2.4) e (5.8.2.5) em uma das equações de (5.8.2.3), temos que: ( ) 1B3B3712B327C2B3A =⇒−=−⇒−=−−−⇒−=−− Assim:
( )( ) ( ) ( ) ( ) 2z
1
1z
1
1z
2
2z
C
1z
B
1z
A
2z1z
7z7z2zF
222
2
−+
−+
−−=
−+
−+
−=
−−
+−=
{ }=nf Z ( ){ } 2zF1 −=−Z
( )+
−
−
21
1z
1Z +
−
−
1z
11Z
−
−
2z
11
2 −= Z( )
+
−
−
21
1z
z
z
1Z +
−
−
1z
z
z
11Z
−
−
2z
z
z
11 (5.8.2.6)
Lembrando que Z{ }( )21z
zn
−= , Z{ } ( )
kknz
zFf =− e Z{ }
az
za n
−= , podemos reescrever (5.8.2.6)
como:
{ } ( ) ( ) ( )
( )
( ) 1n ,22n-3
212-2n
211n2f
1n
1n
1n1nn
≥+=
+++=
++−−=
−
−
−−
Como ( )( )
02z
1
1z
1
1z
2limzFlimf
2zz0 =
−+
−+
−−==
∞→∞→, temos que:
{ }( )
{ } { }K,23,9,3,1,1,2,0f 1n ,2n23
0n ,0 f n1nn =⇒
≥+−
==
−
277
5.8.3 – Expansão em série de potências Exemplos
1o) ( )( )( ) 21
1
2 z2z31
z10
2z3z
z10
2z1z
z10zF
−−
−
+−=
+−=
−−=
Zeros: 0z = Singularidades: 2z ,1z == (polos de ordem 1) 10z-1 1-3z-1+2z-2 -10z-1+30z-2-20z-3 10z-1+30z-2+70z-3+150z-4+310z-5+... 30z-2-20z-3 -30z-2+90z-3 - 60z-4 70z-3 - 60z-4 -70z-3+210z-4-140z-5 150z-4-140z-5 -150z-4+450z-5-300z-6 310z-5-300z-6 -310z-5+930z-6-620z-7 630z-6-620z-7 ( ) K+++++= −−−−− 54321 z310z150z70z30z10zF
Como ( ) K++++++== −−−−−
∞
=
−∑ 55
44
33
22
110
0n
nn zfzfzfzfzffzfzF , temos que:
Z ( ){ } { } { }K,310,150,70,30,10,0fzF n
1 ==− { } ( ) 0n ,1210102.10f nn
n ≥−=−= *********************************************************************************** Observações: 1a) O método pode não conduzir a uma expressão fechada para nf ; 2a) O método pode ser vantajoso quando ( )zF não é uma razão de polinômios de z.
2o) ( )22 zz
1
eezF−
==
278
∑∞
=
=
0n
nz
!n
ze
( )∑
∞
=
−−−−−
−
++++++==−
0n
108642
n2z
!5
z
!4
z
!3
z
!2
zz1
!n
ze
2
K
Como ( ) K++++++== −−−−−
∞
=
−∑ 55
44
33
22
110
0n
nn zfzfzfzfzffzfzF e
{ }=nf Z { }2z1 e−− ,
temos que
{ }( )
{ }
=⇒
>
= K,0,120
1,0,
24
1,0,
6
1,0,
2
1,0,1,0,1f
contrário caso ,!2n
1
ímpar én e 0n ,0
f nn
ou
{ } ( )( ) 0.n ,
!2n2
11f
n
n ≥+−
=
Algumas séries de potências
∑∞
=
=
0n
nz
!n
ze
( )
( ) ( ) ∞=+=+
=
+
==∞→∞→∞→
+∞→
1nlim!n
!1nlim
!1n
1
!n
1
lima
alimR
nnn1n
n
n
( ) ( )( )
∞=+
−=∑
∞
=
+
R ,!1n2
z1zsen
0n
1n2n
( ) ( )( )
∞=−
=∑∞
=
R ,!n2
z1zcos
0n
n2n
( )( )
∞=+
=∑∞
=
+
R ,!1n2
zzsenh
0n
1n2
279
( )( )
∞==∑∞
=
R ,!n2
zzcosh
0n
n2
Exercício
Usando séries, mostre que ( ) ( ). sen icose i θ±θ=θ±
5.8.4 – Estratégia geral de inversão Aplica-se o teorema integral de Cauchy para determinar os coeficientes da expansão em série
de Laurent.
=nf Z ( ){ } ( ) K0,1,2,3,n ,dzz zFi 2
1zF
C
1n1 =π
= ∫ −− (5.8.4.1)
0n ,0f n <=
πϕρρ ϕ 20 ,R
1 ,e z :C i ≤≤>=
Se ( )zF é uma função racional, o teorema dos resíduos pode ser aplicado com vantagens no cálculo da integral (5.8.4.1). Exercícios
01. Seja { } { } 0f ,af 01n
n == − . Mostre que Z{ } az ,az
1a 1n >
−=− .
02. Determine a transformada Z dos seguintes sinais discretos:
a) ( )
=
2
nsen
2
1nx
nπ
R.: ( )2
1
z4
11
z2
1
zX−
−
+
=
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0n 1nu onde ,nu n4nnx ≥∀=−−= δ R.: ( )( )2
4
1z
zzzX
−−= −
03. Calcule a transformada Z unilateral inversa de ( )
+
+
=−− 11 z
2
11z
4
11
6zX .
280
R.: ( ) 0n ,2
112
4
16nx
nn
≥
−+
−−=
5.9 – Transformada ZZZZ bilateral
5.9.1 - Série de Laurent
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) K
K
+−+−+−++
+−
+−
+−
+=− −−−
∞
−∞=
∑3
32
210
12
23
3
n
nn
czcczcczcc
cz
c
cz
c
cz
cczc
(5.9.1.1)
( ) ( ) cz
c
cz
c
cz
c 12
23
3
−+
−+
−+ −−−K : parte principal
( ) ( ) ( ) K+−+−+−+
33
2210 czcczcczcc : parte analítica
Se a parte principal de (5.9.1.1) é nula, a série de Laurent se reduz à série de Taylor.
5.8.1.1 - Singularidades Um ponto 0z é uma singularidade de uma função ( )zf se ( )zf não é analítica em 0z , enquanto
toda vizinhança de 0z contém pelo menos um ponto no qual ( )zf é analítica.
Vizinhança Denomina-se δ vizinhança de um ponto 0z ao conjunto de todos os pontos z do plano
complexo tais que δ<− 0zz , com δ>0. Notação: ( )δ,zN 0 é o disco de raio δ centrado em 0z .
Existem dois tipos de singularidades: singularidades não isoladas e singularidades isoladas. Um ponto 0z é uma singularidade não isolada de uma função ( )zf se e somente se 0z é uma
singularidade de ( )zf e toda vizinhança de 0z contém pelo menos uma singularidade de ( )zf que não
seja 0z .
Um ponto 0z é uma singularidade isolada de uma função ( )zf se e somente se ( )zf é analítica
em uma δ-vizinhança perfurada ( )( )δδ ,zNou zz0 00∗<−< de 0z .
Se 0z é uma singularidade isolada de uma função ( )zf , então ( )zf é analítica no anel
δ<−< 0zz0 e, portanto, pode ser expandida em série de Laurent.
281
As singularidades isoladas podem ser de três tipos: 1. Singularidades removíveis Um ponto 0z é uma singularidade removível de ( )zf se a parte principal de
( ) ( )∑∞
−∞=
−=
n
n0n zzczf é nula, ou seja, a expansão em série de Laurent de ( )zf tem apenas parte
analítica. Exemplo
( ) ( )K+−+−==
!7
z
!5
z
!3
z1
z
zsenzf
642
0z = é uma singularidade removível de ( )zf
( ) ( ) 10f1
z
zsenlim
0z=⇒=
→ 2. Polos
Um ponto 0z é um polo de ( )zf se a parte principal de ( ) ( )∑∞
−∞=
−=
n
n0n zzczf tem um número
finito de potências negativas de ( )0zz − , com coeficientes não nulos. Assim
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) KK +−+−+−+++−
+−
=−−
+−−
∞
−=
∑ 303
2020101N
0
1NN
0
N
Nn
n0n zzczzczzcc
zz
c
zz
czzc
onde N é um número inteiro positivo e 0z é um polo de ordem N.
Exemplo
( ) ( ) ( )
++++++++−−=
+−−=−−=+−
=
−−−
−−−−
K!6
z
!5
z
!4
z
!3
z
!2
zz1zzz
ezzz1zezz
1zezf
65432323
z323z33
z
( )∑∞
=
−
+=
+++++=
++++++++−−=
0n
1n
32
32
2323
!2n
z
!6
z
!5
z
!4
z
!3
1
z!2
1
!6
z
!5
z
!4
z
!3
1
z!2
1
z
1
z
1
z
1
z
1
K
K
282
tem um polo de ordem 1 em 0z = . 3. Singularidades essenciais
Um ponto 0z é uma singularidade essencial de ( )zf se a parte principal de
( ) ( )∑∞
−∞=
−=
n
n0n zzczf tem um número infinito de potências negativas de ( )0zz − , com coeficientes
não nulos.
Exemplo
( ) ( ) ( )
( )K+−+−=
+
−=
= ∑
∞
=
+−
753
0n
1n2n
z!7
1
z!5
1
z!3
1
z
1
!1n2
z1
z
1senzf tem uma singula-ridade
essencial em 0z = .
5.9.2 – Definição
Transformada Z unilateral: Z{ } ( ) ∑∞
=
−==
0n
nnn zfzFf
Região de convergência da transformada Z unilateral: R
1z >
y=Im(z) x=Re(z) 1/R
Figura 82: 2
22
R
1yx
R
1z >+⇒> .
283
Transformada Z bilateral: Z { } ( ) ∑∞
−∞=
−==
n
nnIInII zfzFf
KK ++++++= −− 221
012
2z
f
z
ffzfzf (5.9.2.1)
A série (5.8.2.1) é uma série de Laurent onde zfzfzf 1
22
33 −−− +++K é a parte analítica (ou parte regular) e
K++++33
221
0 z
f
z
f
z
ff é a parte principal (transformada Z unilateral).
( )
zfzfzfzF
0n
nn
1
n
nn
n
nnII ∑∑∑
∞
=
−
−
−∞=
−
∞
−∞=
− +==
( ) ( )
∑∑
∑∑∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
−∞
−=
−
+=
+=
+−
0n
nn
1n
nn
zF
0n
nn
zF
1n
nn
zfzf
zfzf
4342143421
( ) ( ) ( )zFzFzFII +− += Z { }=nII f Z { }+− nf Z { }nf+ Região de convergência de ( )zF− : −< Rz
Região de convergência de ( )zF+ : +
>R
1z
Região de convergência de ( )zFII : −
+
<< RzR
1
284
y=Im(z) R- 1/R+ x=Re(z)
Figura 83: Anel de convergência de ( ) ( ) ( )zFzFzFII +− += : −
+
<< RzR
1
Exemplo
{ }
>α<
≥=
α 0,0n,e
0n,1 f
nn
( ) ∑∑∞
=
−
−∞
−=
− +=
0n
n
1n
nnII zzezF α
( ) 1z ,1z
zzzF
0n
n >−
==∑∞
=
−+
( )
α
ααα
α
α
αααα
α
ez1e
z ,
ez
z
ze
z
ez1e
z
e
z
e
z
e
z
e
zzezF
4
4
3
3
2
2
1n
nn
<⇒<−
−=−
=−
=
++++==∑−∞
−=
−− K
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )( )α
α
α
α
α
α
α ez1z
e1z
ez1z
zezzz
ez1z
ezz1zz
1z
z
ez
zzF
22
II−−
−=
−−
−++−=
−−
−+−−=
−+
−−=
Polos de ordem 1: α== ez ,1z
Região de convergência de ( )zFII : αez1 <<
285
y=Im(z) 1 eα x=Re(z)
Figura 84: Anel de convergência de ( ) ( ) ( )zFzFzFII +− += : αez1 << .
Exercícios
01. Seja { }ny uma seqüência definida por { }
≥
<
−
=
0n ,4
12
0n ,2
1
yn
n
n .
Determine: a) Z{ }ny ;
R.: Z{ }
4
1z
z2
2
1z
z
1z4
z8
1z2
z2y n
−
+
+
−=−
++
−=
b) os polos de ( ) =zF Z{ }ny e a ordem dos mesmos;
R.: Polos de ordem 1: 2
1z −= ,
4
1z =
c) a região de convergência de ( ) =zF Z{ }ny .
R.: 2
1z
4
1<<
02. Seja { }ny uma seqüência definida por { }( )
<
≥−=
0n ,4-3
0n ,3.2ny
n
n
n .
Determine: a) Z{ }ny ;
R.: Z{ }( ) 3z
z2
1z
z
4z
z3y
2n−
−−
++
−=
b) a região de convergência de ( ) =zF Z{ }ny ;
286
R.: 4z3 <<
c) os polos de ( ) =zF Z{ }ny e a ordem dos mesmos.
R.: Polos de ordem 1: 4z −= , 3z = Polos de ordem 2: 1z =
5.10 – Equações de diferenças
5.10.1 – Definição Uma equação de diferenças ou a diferenças (ou uma fórmula de recorrência) é uma relação entre os termos de uma sucessão { } { }K,y,y,y,yy 3210n = .
Exemplo
( )
=
+=−+ +
0y
2ny3y2n
0
2n1n (5.10.1.1)
Em (5.10.1.1) temos uma equação de diferenças linear, não homogênea, com um coeficiente variável e outro constante, sujeita à condição inicial 0y0 = .
M
6y27y3y75n
5y18y3y64n
4y11y3y53n
3y6 y3y42n
2y3 y3y31n
1y2 y3y20n
656
545
434
323
212
101
=⇒=−⇒=
=⇒=−⇒=
=⇒=−⇒=
=⇒=−⇒=
=⇒=−⇒=
=⇒=−⇒=
{ } ny n = (5.10.1.2) Em (5.10.1.2) temos uma solução particular de (5.10.1.1). A solução geral de (5.10.1.1) é dada por
{ }( )!1n
3yny
n
0n+
+= . (5.10.1.3)
Observação 1: Podemos reescrever (5.10.1.1) como ( ) ( ) 21ny3y1n 21nn +−=−+ − .
Questão Como determinar a solução (5.10.1.2) ou a solução (5.10.1.3)?
287
Observação 2: A estratégia usada para determinar (5.10.1.2) não nos dá garantias acerca do comportamento dos termos da sequência.
5.10.2 – Equações de diferenças lineares 1a ordem: nnn1nn fybya =++ 2a ordem: nnn1nn2nn fycybya =++ ++ 3a ordem: nnn1nn2nn3nn fydycybya =+++ +++
M Se 0n 0f n ≥∀= , a equação de diferenças linear é homogênea. Caso contrário, é não homogênea.
5.10.3 – Solução de equações de diferenças lineares Empregaremos a transformada Z unilateral e suas propriedades de translação para solucionar equações de diferenças lineares.
Propriedade da translação: Z{ } ( )
−= ∑
−
=
−+
1k
0n
nn
kkn zfzFzf e Z{ } ( )
kkn z
zFf =− .
Exemplos
1o)
=
=
=++ ++
0y
1y
3y2y3y
1
0
nn1n2n
(5.10.3.1)
Notação: Z{ } ( )zYyn = Aplicando a transformada Z unilateral à equação de diferenças lineares de segunda ordem em (5.10.3.1) e usando as condições iniciais, temos que: Z{ } 3y 2n ++ Z{ } 2y 1n ++ Z{ }=ny Z{ }n3
( ) ( )[ ] ( )3z
zzY2yzYz3
z
yyzYz 0
10
2
−=+−+
−−
288
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )2z1z
3zz
3z2z1z
zzY
2z1z
z3z
3z2z1z
zzY
z3z3z
zzY2z1z
z3z3z
zzY2z3z
3z
zzY2z3zzY3zzYz
2
2
22
22
++
++
−++=
++
++
−++=
++−
=++
++−
=++
−=+−+−
( )
( )( )( ) ( )( )2z1z
3z
3z2z1z
1
z
zY
++
++
−++= (5.10.3.2)
Decompondo (5.10.3.2) em frações parciais:
( )( )( ) 3z
C
2z
B
1z
A
3z2z1z
1
−+
++
+=
−++
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
1A00A
4
1
1z3z
Clim1z
2z
Blim1z
1z
Alim1z
3z2z1z
1lim
1z1z1z1z
−=⇒++=−
+−
+++
+++
=+−++ −→−→−→−→
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
5
1B0B0
5
1
2z3z
Clim2z
2z
Blim2z
1z
Alim2z
3z2z1z
1lim
2z2z2z2z
=⇒++=
+−
+++
+++
=+−++ −→−→−→−→
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
20
1CC00
20
1
3z3z
Clim3z
2z
Blim3z
1z
Alim3z
3z2z1z
1lim
3z3z3z3z
=⇒++=
−−
+−+
+−+
=−−++ →→→→
( )( )( ) 3z
1
20
1
2z
1
5
1
1z
1
4
1
3z2z1z
1
−+
++
+−=
−++
( )( ) 2z
E
1z
D
2z1z
3z
++
+=
++
+
289
( )( )
( ) ( ) ( )
2D0D1
2
1z2z
Elim1z
1z
Dlim1z
2z1z
3zlim
1z1z1z
=⇒+=
++
+++
=+++
+−→−→−→
( )( )
( ) ( ) ( )
1EE01
1
2z2z
Elim2z
1z
Dlim2z
2z1z
3zlim
2z2z2z
−=⇒+=−
++
+++
=+++
+−→−→−→
( )( ) 2z
1
1z
2
2z1z
3z
+−
+=
++
+
( )( )( )( ) ( )( )
2z
1
1z
2
3z
1
20
1
2z
1
5
1
1z
1
4
1
2z1z
3z
3z2z1z
1
z
zY
+−
++
−+
++
+−=
++
++
−++=
( )2z
z
1z
z2
3z
z
20
1
2z
z
5
1
1z
z
4
1zY
+−
++
−+
++
+−=
( )3z
z
20
1
2z
z
5
4
1z
z
4
7zY
−+
+−
+= (5.10.3.3)
1z −= , 2z −= e 3z = são polos de ordem 1 de ( )zY . Aplicando a transformada Z unilateral inversa a (5.10.3.3), obtemos:
Z ( ){ }4
7zY1 =−
Z5
4
1z
z1 −
+
−Z
20
1
2z
z1 +
+
−Z
−
−
3z
z1 (5.10.3.4)
Lembrando que Z{ }az
za n
−= , podemos reescrever (5.10.3.4) como:
{ }=ny Z ( ){ } ( ) ( ) 0n ,320
12
5
41
4
7zY nnn1 ≥+−−−=−
{ } { }K,6,1,0,1y n −=
290
2o) ( )ny8
1y
4
3y 2n1nn δ=+− −− (5.10.3.5)
Observação: Não temos em (5.10.3.5) um problema de valor inicial. Notação: Z{ } ( )zYyn = Aplicando a transformada Z unilateral à equação de diferenças lineares de segunda ordem em (5.10.3.5), temos que:
Z{ }4
3yn − Z{ }
8
1y 1n +− Z{ }=−2ny Z ( ){ }nδ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
−
−
=
=
−
−
=+−
=+−
4
1z
2
1z
zzY
z8zY4
1z
2
1z8
z8zYzzY6zYz8
1z
zY
8
1
z
zY
4
3zY
2
2
22
2
( )
−
−
=
4
1z
2
1z
z
z
zY (5.10.3.6)
Decompondo (5.10.3.6) em frações parciais:
4
1z
B
2
1z
A
4
1z
2
1z
z
−
+
−
=
−
−
2A0A
4
1
2
12
1
2
1z
4
1z
Blim
2
1z
2
1z
Alim
2
1z
4
1z
2
1z
zlim
2
1z
2
1z
2
1z
=⇒+=
−
−
−
+
−
−
=
−
−
−
→→→
291
1BB0
2
1
4
14
1
4
1z
4
1z
Blim
4
1z
2
1z
Alim
4
1z
4
1z
2
1z
zlim
4
1z
4
1z
4
1z
−=⇒+=
−
−
−
+
−
−
=
−
−
−
→→→
4
1z
1
2
1z
2
4
1z
2
1z
z
−
−
−
=
−
−
( )
4
1z
1
2
1z
2
4
1z
2
1z
z
z
zY
−
−
−
=
−
−
=
( )
4
1z
z
2
1z
z2zY
−
−
−
= (5.10.3.7)
2
1z = e
4
1z = são polos de ordem 1 de ( )zY .
Aplicando a transformada Z unilateral inversa a (5.10.3.7), obtemos:
Z ( ){ } 2zY1 =−Z −
−
−
2
1z
z1Z
−
−
4
1z
z1 (5.10.3.8)
Lembrando que Z{ }az
za n
−= , podemos reescrever (5.10.3.8) como:
{ }=ny Z ( ){ } 2n,4
1
2
12zY
nn1 ≥
−
=−
( ) 112
4
1z
z
2
1z
z2limzYlimy
zz0 =−=
−
−
−
==∞→∞→
16
7
16
1
2
1y2 =−=
292
Usando 2n = , 1y0 = e 16
7y2 = em (5.10.3.5), obtemos
4
3y1 = .
Observação: Basta lembrar que 0yn = para 0n < .
{ }
= K,256
31,
64
15,
16
7,
4
3,1yn
3o)
=
=
=
=+−− +++
2u
1u
0u
0uuuu
2
1
0
n1n2n3n
(5.10.3.9)
Notação: Z{ } ( )zUu n = Aplicando a transformada Z unilateral à equação de diferenças lineares de terceira ordem em (5.10.3.9) e usando as condições iniciais, temos que: Z{ }−+3nu Z{ }−+2nu Z{ }++1nu Z{ }=nu Z{ }0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )( )1z1z1z
1zzzU
1zzzU1z1z
zzzU1zzz
0zUzzUzzUzz2zzUz
0zUuzUzz
uuzUz
z
u
z
uuzUz
0zUzuzUzzuzUzzuzUz
2
223
223
01
02
221
03
0
0n
nn
1
0n
nn
2
2
0n
nn
3
+−−
+=
+=−−
+=+−−
=+−+−−−
=+−−
−−−
−−−
=+
−−
−−
− ∑∑∑
=
−
=
−
=
−
( )( )21z
zzU
−= (5.10.3.10)
1z = é um polo de ordem 2 de ( )zU . Aplicando a transformada Z unilateral inversa a (5.10.3.10), obtemos:
Z ( ){ }=− zU1Z
( )
−
−
21
1z
z
293
{ }=nu Z ( ){ } 0n ,nzU1 ≥=− { } { }K,5,4,3,2,1,0u n = Exercícios 01. Usando transformadas Z, solucione a equação de diferenças
3y5y6y n1n2n =+− ++
sujeita às condições iniciais 0y0 = e 1y1 = . Escreva os cinco primeiros termos da sequência.
R.: { }=ny Z ( ){ } 0n ,16
7n
4
35
16
7zY n1 ≥−−=−
02. Utilizando as transformadas Z, solucione a equação de diferenças
n2n1nn 2y3y4y =+− −− .
R.: { }=ny Z ( ){ } ( ) 0n ,2
1243
2
1zY n2n1 ≥+−= +−
03. Utilizando as transformadas Z, solucione a equação de diferenças
( )
=
=
−=−− ++
2y
0y
1ny12yy
1
0
n1n2n δ
.
R.: { }=ny Z ( ){ } ( ) ( ) 1n ,321
194
28
331n
12
1zY 1n1n1 ≥−++−δ−=
−−−
04. Utilizando as transformadas Z, solucione a equação de diferenças
n2nn 3y27y3 =+ − .
R.: ( ) ( )nnn i312
i1i3
12
i13
6
1−
++
−+
294
5.11 – Exercícios resolvidos
01. Seja { }
≥
<
−
=
−
0n ,n
0n ,5
4y
4
n
n .
a) Determine ( ) =zF Z{ }ny .
Z{ }
4342144 344 214342143421II
0n
n4
I
1n
nn
II
0n
nn
I
1n
nnn znz
5
4zyzyy ∑∑∑∑
∞
=
−
∞
=
∞
=
−
∞
=
− +
−=+= (5.11.1)
I: série geométrica
5z4
z4
z5
41
z5
4
z5
4z
5
4
1n
n
1n
nn
+−=
−−
−=
−=
− ∑∑
∞
=
∞
=
se 4
5z1z
5
4<⇒<− (RDC)
RDC: região de convergência
II: transformada Z unilateral
=∑∞
=
−
0n
n4zn Z { ( )
−
++−=
4
23
f
3
1z
zz4z
dz
dzn.n
n
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )5
23
5
23223
5
232
8
32342
1z
1z11z11zz
1z
z4z16z41zz8z8z3z3z
1z
z4z16z41z1z8z3-z
1z
11z4zz4z1z1z8z3z
−
+++=
−
−−−−+−+−−=
−
++−−++=
−
−++−−++−=
RDC: 1z > uma vez que ( )
11n
nlim
4
4
n=
+∞→
Retornando a (5.11.1):
Z{ } ( ) ( )( )5
23
n1z
1z11z11zz
5z4
z4zFy
−
++++
+−== se
4
5z1 <<
295
b) Represente algebricamente e geometricamente a região de convergência de ( )zF . Im(z)
4
5z1 <<
4
5R,1R 21 == R1 R2 Re(z)
c) Identifique e classifique as singularidades de ( )zF .
4
5z −= polo simples (polo de ordem 1) 1z = polo de ordem 5
02. Seja { }
≥
<
−
=
−
0n ,4
3-n
0n ,65
yn
2
n
n .
a) Determine ( ) =zF Z{ }ny .
Z{ }
444 3444 2144 344 214342143421II
0n
nn
2
I
1n
nn
II
0n
nn
I
1n
nnn z
4
3nz
6
5zyzyy ∑∑∑∑
∞
=
−
∞
=
∞
=
−
∞
=
−
−+
−=+= (5.11.2)
I: série geométrica
6z5
z5
z6
51
z6
5
z6
5z
6
5
1n
n
1n
nn
+−=
−−
−=
−=
− ∑∑
∞
=
∞
=
se 5
6z1z
6
5<⇒<− (RDC)
RDC: região de convergência
II: transformada Z unilateral
=
−∑
∞
=
−
0n
nn
2 z4
3n Z
+
−+−−=
+
−−=
−
2
f
n
4
3z
z4
3z
zdz
dz
4
3z
z
dz
dz
dz
dz
4
3n.n
n
43421
296
3
2
3
4
2
2
4
3z
z16
9z
4
3
4
3z
z4
6
16
9z
4
3
-z
4
3z
4
3z2z
4
3
4
3z
4
3
z
4
3z
z4
3
dz
d-z
+
+−=
+
+−−=
+
+
−−
+−
−=
+
−=
RDC: 4
3z > uma vez que
( )3
4
4
31n
4
3n
lim1n
2
n2
n=
−+
−
+∞→
Retornando a (5.11.2):
Z{ } ( )3
2
n
4
3z
z3z4
16
3
6z5
z5zFy
+
−−
+−== se
5
6z
4
3<<
b) Represente algebricamente e geometricamente a região de convergência de ( )zF . Im(z)
5
6z
4
3<<
5
6R,
4
3R 21 == R1 R2 Re(z)
c) Identifique e classifique as singularidades de ( )zF .
5
6z −= polo simples (polo de ordem 1)
4
3z −= polo triplo (polo de ordem 3)
03. Um sistema é descrito pela equação recursiva
nn1n2n3n gy12y4y3y =+++ +++ ,
sujeita às condições iniciais 0yy 10 == e 2y2 = .
297
a) Utilizando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine a resposta { }ny do
sistema quando ( )nn 2g −= .
Notação: Z{ } ( )zYy n =
Aplicando a transformada Z unilateral à equação de diferenças:
( ) ( ) ( ) ( )2z
zzY12zzY4zYz3zyzYz 2
23
+=+++−
( )( )
( ) ( )2z
5z2z
2z
z5z2
2z
z4z2zz2
2z
zzY12z4z3z
22
zP
23
+
+=
+
+=
+
++=+
+=+++
444 3444 21
Como ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )i2zi2z2z4z3zzP03P 2 −++=++=⇒=− . Assim:
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )i2zi2z3z2z
5z2zzY
2z
5z2zzYi2zi2z3z
−+++
+=⇒
+
+=−++
( )
( )( )( )( ) i2z
D
i2z
C
3z
B
2z
A
i2zi2z3z2z
5z2
z
zY
−+
++
++
+=
−+++
+= (5.11.3)
( )( )( )( )( ) 8
1
44
1
i22i221
1A2z3.11.5lim
2z=
+=
−−+−=⇒+
−→
( )( )( )( )( ) 13
1
39
1
i23i231
1B3z3.11.5lim
3z=
+=
−−+−−
−=⇒+
−→
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( ) 208
i2521
1258
i5254i20
i5
i5
i58
5i4
i323i28
5i4
i321i8
5i4
i43i22i2
5i4Ci2z3.11.5lim
i2z
+−=
+
+−+=
+−
+−
−−
+−=
−−−
+−=
+−
+−=
−+−+−
+−=⇒+
−→
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( ) 208
i2521
1258
i5254i20
i5
i5
i58
5i4
i323i28
5i4
i321i8
5i4
i43i22i2
5i4Di2z3.11.5lim
i2z
−−=
+
−−+−=
−−
−−
+−
+=
+−−−
+=
+−+
+=
++
+=⇒−
→
Retornando à equação (5.11.3):
( )i2z
1
208
i2521
i2z
1
208
i2521
3z
1
13
1
2z
1
8
1
z
zY
−
−−+
+
+−+
++
+=
298
( )i2z
z
208
i2521
i2z
z
208
i2521
3z
z
13
1
2z
z
8
1zY
−
−−+
+
+−+
++
+=
Como { }=ny Z ( ){ }zY1− , tem-se que:
{ } ( ) ( ) ( ) ( ) 0n ,i2208
i2521i2
208
i25213
13
12
8
1y nnnn
n ≥−−
+−+−
+−+−=
b) Calcule o elemento 5y da sucessão{ }ny .
( ) 5y123y1y12y4y3y0n 330123 −=⇒=+⇒=+++⇒=
( ) ( ) 5y22453y2y12y4y3y1n 441234 =⇒−=+−+⇒−=+++⇒=
( ) ( ) ( ) 15y42125453y4y12y4y3y2n 552345 −=⇒=+−++⇒=+++⇒=
15y5 −=
04. Um sistema é descrito pela equação recursiva
nn1n2n3n gy18y9y2y =+++ +++ ,
sujeita às condições iniciais 0yy 10 == e 2y2 = .
a) Utilizando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine a resposta { }ny do
sistema quando ( )nn 1g −= .
Notação: Z{ } ( )zYy n =
Aplicando a transformada Z unilateral à equação de diferenças:
( ) ( ) ( ) ( )1z
zzY18zzY9zYz2zyzYz 2
23
+=+++−
( )( )
( ) ( )1z
3z2z
1z
z3z2
1z
z2z2zz2
1z
zzY18z9z2z
22
zP
23
+
+=
+
+=
+
++=+
+=+++
444 3444 21
Como ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )i3zi3z2z9z2zzP02P 2 −++=++=⇒=− . Assim:
299
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )i3zi3z1z2z
3z2zzY
1z
3z2zzYi3zi3z2z
−+++
+=⇒
+
+=−++
( )
( )( )( )( ) i3z
D
i3z
C
1z
B
2z
A
i3zi3z1z2z
3z2
z
zY
−+
++
++
+=
−+++
+= (5.11.4)
( )( )( )( )( ) 13
1
94
1
i32i321
1A2z4.11.5lim
2z=
+=
−−+−−
−=⇒+
−→
( )( )( )( )( ) 10
1
91
1
i31i311
1B1z4.11.5lim
1z=
+=
−−+−=⇒+
−→
( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( ) 260
i1123
49812
i7914i18
i79
i79
i792
1i2
i263i92
1i2
i32i36
1i23
i61i32i3
3i6Ci3z4.11.5lim
i3z
+−=
+
−−−=
+
+
−
−=
+++−
−=
++−−
−−=
−+−+−
+−=⇒+
−→
( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( ) 260
i1123
49812
i7914i18
i79
i79
i792
1i2
i263i92
1i2
i32i36
1i23
i61i32i3
3i6Di3z4.11.5lim
i3z
−−=
+
+−−−=
+−
+−
−−
+=
+−−−
+=
+−+
+=
++
+=⇒−
→
Retornando à equação (5.11.4):
( )
i3z
1
260
i1123
i3z
1
260
i1123
1z
1
10
1
2z
1
13
1
z
zY
−
−−+
+
+−+
++
+=
( )i3z
z
260
i1123
i3z
z
260
i1123
1z
z
10
1
2z
z
13
1zY
−
−−+
+
+−+
++
+=
Como { }=ny Z ( ){ }zY1− , tem-se que:
{ } ( ) ( ) ( ) ( ) 0n ,i3260
i1123i3
260
i11231
10
12
13
1y nnnn
n ≥−−
+−+−
+−+−=
b) Calcule o elemento 5y da sucessão{ }ny .
( ) 3y122y1y18y9y2y0n 330123 −=⇒=+⇒=+++⇒=
300
( ) ( ) 13y12932y1y18y9y2y1n 441234 −=⇒−=+−+⇒−=+++⇒=
( ) ( ) ( ) 18y121839132y1y18y9y2y2n 552345 =⇒=+−+−+⇒=+++⇒=
18y5 =
301
5.12 – Exercícios complementares
01. Calcular:
a) Z{ }n5.0n e3e2 −− + R.: ( )
e1z
z3
e1z
z2zF
−+
−=
b) Z ( ) ( ){ }nn 1,148,05 − R.: ( )1,1z
z4
8,0z
z5zF
−−
−=
c) Z { }5321 z2zz35 −−−− +−+ R.: ( ) ( ) ( ) ( ) 0n ,5n23n2n3n5f n ≥−+−−−+= δδδδ
d) Z
−−
+−
3z2z
4z82
1 R.: ( ) ( )
>+
==
−− 0n ,371-
0n ,0 f
1n1nn
02. Seja { }ny uma seqüência definida por { }
≥++−
<
−
=− 0n ,12nn
0n ,3
4y
n2
n
n .
Determine: a) Z{ }ny ;
R.: Z{ } ( )( ) ( )
2
1z
z
1z
z
1z
z
1z
1zz
4z3
z3y
23n
−
+−
+−
−−
++
+−=
b) os polos de ( ) =zF Z{ }ny e a ordem dos mesmos;
R.: Polos de ordem 1: 3
4z −= ,
2
1z =
Polos de ordem 3: 1z = c) a região de convergência de ( ) =zF Z{ }ny .
R.: 3
4z1 <<
03. Seja { }
( )[ ]
≥
−
<
−
=−
+
−
0n ,3
2 11-
0n ,5
3
yn
1n
n2
n .
302
Determine ( ) =zF Z{ }ny , identifique as singularidades de ( )zF e represente algebricamente e
geometricamente a região de convergência de ( )zF .
R.: Z{ } ( )
−
+
−
+
−==
2
3z
2
3z
z2
3
5z
z
25
9zFy
2
n
Polos simples (de ordem 1): 2
3z,
2
3z,
3
5z =−=−=
Anel de convergência: 3
5z
2
3<<
04. Seja o sinal discreto [ ] ( ) nn2 7e nnx −− −∗= .
Determine: a) Z [ ]{ }nx ;
R.:
+
−
7
1z
e
1z
z
e
12
2
2
2
b) os polos de ( ) =zF Z [ ]{ }nx e a ordem dos mesmos;
R.: Polo de ordem 1: 7
1z −=
Polo de ordem 2: 2e
1z =
c) a região de convergência de ( ) =zF Z [ ]{ }nx .
R.: 7
1z >
05. Seja { }
≥
π
<
=
−
0n ,2
nsen
3
5
0n ,2
3
yn-
n1
n .
a) Determine ( ) =zF Z{ }ny ;
303
R.: Z{ } ( )( ) ( )
+
−
+−
−=+
+−
−==
i5
3zi
5
3z5
z3
2z32
z9
9z25
z15
2z32
z9zFy
2n
b) Identifique as singularidades de ( )zF e represente geometricamente a região de convergência de
( )zF .
R.: Polos de ordem 1: 3
2z = , i
5
3z −= , i
5
3z =
Região de convergência: 3
2z
5
3<<
06. Solucionar a equação de diferenças utilizando a transformada Z unilateral.
=
=
=−− ++
2y
0y
1y4y3y
1
o
n1n2n
R.: { } ( ) ( ) 0n ,110
34
15
7
6
1y nn
n ≥−−+−=
07. Utilizando as transformadas Z, solucione a equação de diferenças
( )
=
=
−=−− ++
2y
0y
1ny6yy
1
0
n1n2n δ
.
R.: { } ( ) ( ) 1n ,210
93
15
191n
6
1y 1n1n
n ≥−++−−=−−δ
08. Utilizando as transformadas Z e suas propriedades, solucione a equação de diferenças
2n2n1nn 3y24y2y −
−− =−+ .
Calcule os três primeiros termos da sequência { }ny .
R.: { } ( ) { } { }K,1,0,0y0n ,690
14
10
13
9
1y n
nnnn =⇒≥−++−=
09. Utilizando as transformadas Z e suas propriedades, solucione a equação de diferenças
304
2n
2n1nn 2yy2y −−− =+− .
Calcule os cinco primeiros termos da seqüência { }ny . R.: { } { } { }K,11,4,1,0,0y0n ,1n2y n
nn =⇒≥−−=
10. Utilizando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine a resposta { }ny do sistema descrito pela equação recursiva
n2n1nn gy3
2y
3
5y =−+ −− ,
quando o mesmo é excitado por n
n 2g −= . Calcule o primeiro termo da sucessão{ }ny .
R.: { } ( )nnn
n 235
24
3
1
7
2
2
1
5
3y −+
−
=
( ) 1zYlimy
z0 ==
∞→
11. Utilizando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine a resposta { }ny do sistema descrito pela equação recursiva
n2nn gy27y3 =+ − ,
quando o mesmo é excitado por n
n 3
1g
−
= .
Calcule os três primeiros termos da sucessão{ }ny .
R.: { } ( ) ( ) ( )nnnn i3
12
1ii3
12
i13
6
1y −
++
−+= , { }
= K,0,1,3
1y n
12. Seja { }( )
( )
<π
−
≥
= −
0n , ncos4
1
0n ,2-n
y n
n2
n .
a) Determine ( ) =zF Z{ }ny .
305
R.: Z{ } ( ) ( )( )
4z2 ,2z
z2z2
4z
zzFy
3n <<+
−+
−−==
b) Identifique, classifique e represente no plano de Argand-Gauss as singularidades de ( )zF . R.: 4z = polo simples 2z −= polo triplo c) Represente algebricamente e geometricamente a região de convergência de ( )zF . R.: 4z2 << (algebricamente)
13. Um sistema é descrito pela equação recursiva
nn1n2n3n gy9y9yy =+++ +++ ,
sujeita às condições iniciais 0y0 = , 1y1 = e 1y2 −= .
a) Utilizando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine a resposta { }ny do sistema
quando 0gn = .
R.: { } ( ) ( ) ( )nnnn 1
10
1i3
20
i31i3
20
i31y −−−
++
−=
b) Calcule o elemento 6y da sucessão{ }ny .
R.: 73y6 −=
14. A sequência de Fibonacci tem as seguintes características:
1y
1y
yyy
1
0
n1n2n
=
=
+= ++
.
Empregando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine o n-ésimo termo dessa sucessão e calcule alguns termos da mesma.
R.: { } 0n ,2
51
10
55
2
51
10
55y
nn
n ≥
−−+
++=
{ } { }K,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1yn =
306
307
6. FORMULÁRIO
1. Série de Fourier/Coeficientes de Fourier
( ) ∑∞
=
+
+=
1n
nn0
L
x nsenb
L
x ncosa
2
axf
ππ
( ) ( ) ( )∫∫∫−−−
=
==
L
L
n
L
L
n
L
L
0 dxL
x nsenxf
L
1b dx
L
x ncosxf
L
1a dxxf
L
1a
ππ
2. A forma exponencial (ou complexa) da série de Fourier
( ) ∑∞
−∞=
=
n
L
xni
n ecxfπ
( )∫−
−
=
L
L
L
xni
n dxexf L2
1c
π
3. Identidade de Parseval para séries de Fourier
( )[ ] ( )∑∫∞
=−
++=
1n
2n
2n
20
L
L
2 ba 2
adxxf
L
1
4. Integral de Fourier
( ) ( ) απ
αα de dxe xf 2
1xf xixi
−
∞
∞−
∞
∞−∫∫=
5. Transformadas de Fourier
( ){ } ( ) ( )∫∞
∞−
==ℑ
xi dxe xf Fxf αα ( ){ } ( ) ( )∫∞
∞−
− ==ℑ
xi-1 de F 2
1xfF αα
πα α
( ){ } ( ) ( ) ( )∫∞
==ℑ
0
CC dxxcos xf Fxf αα ( ){ } ( ) ( ) ( )∫∞
−==ℑ
0
CC1
C dxcos F 2
xfF αααπ
α
( ){ } ( ) ( ) ( )∫∞
==ℑ
0
SS dxxsen xf Fxf αα ( ){ } ( ) ( ) ( )∫∞
−==ℑ
0
SS1
S dxsen F 2
xfF αααπ
α
Tabela 1: Transformadas de Fourier.
308
6. Algumas propriedades das transformadas de Fourier 6.1 - Comportamento de ( )αF quando ±∞→α ( ) 0Flim =
±∞→α
α
6.2 - Linearidade ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )αα bGF axg bxf axg bxf a +=ℑ+ℑ=+ℑ 6.3 - Simetria (dualidade) ( ){ } ( )α−π=ℑ f 2xF , se ( ) ( ){ }xfF ℑ=α 6.4 - Conjugado
( ){ } ( )α−=ℑ Fxf , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α
6.5 - Translação (no tempo) ( ){ } ( )αα Feaxf ia=−ℑ , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α 6.6 - Translação (na freqüência) ( ){ } ( )aFxfe iax +=ℑ α , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α 6.7 - Similaridade (ou dilatação ou mudança de escala)
( ){ }
=ℑ
aF
a
1axf
α, onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α
6.8 - Inversão de tempo
( ){ } ( )α−=−ℑ Fxf , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α 6.9 - Convolução
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
−=−=∗
duuxguf duuguxf xgf
{ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )αα G Fxg xfgf =ℑℑ=∗ℑ 6.10 - Multiplicação (convolução na frequência)
( ) ( ){ } ( ) ( )α∗απ
=ℑ GF2
1xg.xf , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α e ( ) ( ){ }xgG ℑ=α
309
6.11 - Transformadas de Fourier de derivadas
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0f F0f xfxf
0fF0fxfxf
Fixfixf
S2
S2"
S
'C
2'C
2"C
nnn
α+αα−=α+ℑα−=ℑ
−αα−=−ℑα−=ℑ
αα−=ℑα−=ℑ
6.12 - Derivadas de transformadas de Fourier
( ){ } ( ) ( ) ( )α−=ℑ nnn Fixf x , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α 6.13 - Diferenciação na frequência
( ){ } ( )αα
=ℑ Fd
dxf x i , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α
7. Identidade de Parseval para integrais de Fourier
( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
=
2
2dF
2
1dxxf αα
π
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]∫∫∫∫∞∞∞∞
==
0
2S
0
2
0
2C
0
2 dF 2
dxxf dF 2
dxxf ααπ
ααπ
8. Algumas identidades trigonométricas
( ) ( ) ( ) ( )[ ]vusenvusen2
1vcosusen −++=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos2
1vcosucos −++=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos2
1vsenusen +−−=
310
9. Transformadas de Fourier de algumas funções e distribuições
( )xf ( )αF
( )
>
<=
ax ,0
ax ,1xf
( )
( ) a20F
0 ,asen2
=
≠αα
α
( ) 0aRe ,e xa>
− 22 a
a2
+α
( ) 0aRe ,ax
122
>+
α−π aea
xe− ( )1
1F
2C+
=α
α
( )1
F2S
+=
α
αα
2
x2
e−
2
2
e 2α
π−
0a,e 2
ax2
>−
a2
2
ea
2 απ −
axe−u ( ) ( ) 0,aRe ,x > u ( )
<
>=−
c x0,
c x,1cx
αia
1
−
axn ex −u ( ) ( ) 0,aRe ,x > u ( )
<
>=−
c x0,
c x,1cx
( ) 1nia
!n+
α−
( )
≠
=∞=
0 x0,
0 x,xδ
1
( ) ( )
>
≤==
∞→ ax ,0
ax ,1xf ,xflim1
a
( )απδ2
( )
<−
>=
0 x,1
0 x,1 xsgn
α
i2
u ( )
<
>=
0 x0,
0 x1,x ( )
α+απδ
i
e xia ( )a2 +απδ ( ) axcos ( ) ( )[ ]aa −αδ++αδπ
( )axsen ( ) ( )[ ]aai +αδ−−αδπ
( )axcos u ( )x ( ) ( )[ ]22 a
iaa
2 −α
α+−αδ++αδ
π
( )axsen u ( )x ( ) ( )[ ]22 a
aaa
2
i
−α−+αδ−−αδ
π
( )∫∞−
κκ
x
df
( ) ( ) ( )α
α+αδπ
F i0F
Tabela 2: Transformadas de Fourier de algumas funções e distribuições.
311
10. Transformada de Laplace unilateral
L ( ){ } ( ) ( )∫∞
−==
0
stdtetf sFtf
L ( ){ } ( ) ( ) ( )∫∫ π=
π==
∞+γ
∞−γ
−
C
st
i
i
st1 dse sFi 2
1dse sF
i 2
1tfsF
11. Algumas propriedades da transformada de Laplace unilateral 11.1 - Comportamento de ( )sF quando ∞→s ( ) 0sFlim
s=
∞→
11.2 - Linearidade
L ( ) ( ){ }=+ tg btf a aL ( ){ }tf + bL ( ){ }tg ( ) ( )sbGsaF += 11.3 - Primeira propriedade de translação
L ( ){ } ( )asFtfeat −= , onde ( ) =sF L ( ){ }tf
11.4 - Segunda propriedade de translação
L ( ) ( ){ } ( ) ( )
≥
<≤==−− −
a t1,
at0 ,0a-tu com ,sFeatuatf as e ( ) =sF L ( ){ }tf
11.5 - Similaridade (ou mudança de escala)
L ( ){ }
=
a
sF
a
1atf , onde ( ) =sF L ( ){ }tf
11.6 - Transformada de Laplace de derivadas
L ( ){ } ( ) ( )0fssF tf ' −=
L ( ){ } ( ) ( ) ( )0f0sfsFs tf '2" −−=
L ( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0f0f s0fs0fs0fssFs tf 1n2-n"3n'2n1nnn −−−− −−−−−−= K 11.7 - Transformada de Laplace de integrais
312
L ( ) ( )s
sFdu uf
t
o
=
∫ , onde ( ) =sF L ( ){ }tf
11.8 - Derivadas de transformadas de Laplace (multiplicação por nt )
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sF1sFds
d1tft nn
n
nnn −=−= , onde ( ) =sF L ( ){ }tf
11.9 - Integrais de transformadas de Laplace (divisão por t )
L( ) ( ) ( )
exista t
tflim que desde ,du uF
t
tf0t
s
+→
∞
∫=
11.10 - Convolução
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ =−=∗
t
o
t
o
du ugu-tf du utguf tgf
L{ } ( ) ( )sGsFgf =∗ , onde ( ) =sF L ( ){ }tf e ( ) =sG L ( ){ }tg 11.11 - Valor inicial ( ) ( )ssFlimtflim
s0t ∞→→=
11.12 - Valor final ( ) ( )ssFlimtflim
0st →∞→=
11.13 - Transformada de Laplace de funções periódicas
L ( ){ } ( )∫ −
−−=
T
0
stsT
dt tfe e1
1tf , com f(t) periódica de período fundamental T
11.14 - Fórmula de desenvolvimento de Heaviside
L( )( )
( )
( )∑=
− =
n
1k
t
k
k1 keQ
ds
dP
sQ
sP α
α
α
313
12. Transformada de Laplace unilateral de algumas funções e distribuições
( )tf ( )sF
1 ( ) 0sRe ,s
1>
ate ( ) asRe ,as
1>
−
nt ( ) 0sRe ,s
!n1n
>+
( )atcos ( ) 0sRe ,as
s22
>+
( )atsen ( ) 0sRe ,as
a22
>+
( )atcosh ( ) asRe ,as
s22
>−
( )atsenh ( ) asRe ,as
a22
>−
iate ia-s
1
( )tln ( ) ( )[ ] ( ) ∫
∞
−=Γ−Γ
0
t1-n' dte tn ,sln1s
1
( ) ( )∫=
t
0
duu
usentSi ( )
=
−
s
1arctg
s
1sarctg
2s
1 π
( )tN 0
u ( )
≥
<≤=−
a t1,
at0 ,0at
s
e as−
( )
≠
=∞=−
a t0,
a t,atδ
ase−
Tabela 3: Transformada de Laplace unilateral de algumas funções e distribuições.
13. Transformadas Z Z Z Z unilateral e bilateral
Z{ } ( ) ∑∞
=
−==
0n
nnn zfzFf Z { } ( ) ∑
∞
−∞=
−==
n
nnIInII zfzFf
Raio de convergência R de uma série de potências ( )∑∞
=
−
0n
nn cza :
314
1n
n
n a
alimR
+∞→
= ou n
1
nn a
1limR
∞→=
Região de convergência da transformada Z unilateral: R
1z >
Z ( ){ } { } ( )∫ −−
π==
C
1nn
1 dzz zFi 2
1fzF
14. Algumas propriedades da transformada ZZZZ unilateral 14.1 - Linearidade
Z ( )∑∑==
=
ll
0i
ii
0i
n,ii zFcfc
14.2 - Translação (ou deslocamento)
Z { } ( )
−= ∑
−
=
−+
1k
0n
nn
kkn zfzFzf
Z { } ( ) ( )k
kkn z
zFzFzf == −
− , onde ( ) =zF Z { }nf
14.3 - Similaridade
Z { }
=
λλ
zFf n
n , onde ( ) =zF Z { }nf
14.4 - Convolução
{ } { } { } ∑=
−=∗=∗
n
0k
knknnnn gfgfgf
Z { } ( ) ( )zGzFgf nn =∗ , onde ( ) =zF Z { }nf e ( ) =zG Z { }ng 14.5 - Diferenciação da transformada de uma sequência
Z { } ( )zFdz
dzf n n −= , onde ( ) =zF Z { }nf
315
14.6 - Integração da transformada de uma sequência
Z ( )
∫∞
=
z
n du u
uF
n
f, 0f 0 =
14.7 - Valor inicial ( ) 0
zfzFlim =
∞→
14.8 - Valor final ( ) ( ) n
n1zflimzF1zlim
∞→→=−
15. Transformada ZZZZ unilateral de algumas sequências
nf ( )zF
( )
≠
==
0n 0,
0n ,1nδ
1
1 1z ,
1z
z>
−
ane aa
ez ,ez
z>
−
na az ,az
z>
−
( )nsen β ( )( )
1z ,1cosz2z
sen z2
>+− β
β
( )ncos β ( )[ ]( )
1z ,1cosz2z
coszz2
>+−
−
β
β
( )nsenh β ( )( )
( )β−β>+β−
βe,emaxz ,
1coshz2z
senh z2
( )ncosh β ( )[ ]( )
( )β−β>+β−
β−e,emaxz ,
1coshz2z
coshzz2
n
( )1z ,
1z
z2
>−
2n ( )( )
1z ,1z
1zz3
>−
+
3n ( )( )
1z ,1z
1z4zz4
2
>−
++
Tabela 4: Transformada Z unilateral de algumas sequências.
316
317
REFERÊNCIAS [1] ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3a ed. Rio de Janeiro: LTC. [2] BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de
contorno. Rio de Janeiro: LTC. [3] FIGUEIREDO, D.G. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. Rio de Janeiro: IMPA. [4] HAYKIN, S.; VEEN, B. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman. [5] HSU, H.P. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman. [6] IÓRIO, V. EDP Um curso de graduação. Rio de Janeiro: IMPA.
[7] KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol. 2. São Paulo: Edgard Blücher. [8] KREYSZIG, E. Matemática superior. Vol. 3. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos. [9] OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A.S.; NAWAB, S.H. Signals & systems. Upper Saddle River: Prentice Hall. [10] PALIOURAS, J.D. Complex variables for scientists and engineers. New York: Macmillan Publishing Co.
[11] SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. Porto Alegre: Bookman.
[12] SPIEGEL, M.R. Schaum’s outline of theory and problems of Fourier analysis with applications
to boundary value problems.
[13] SPIEGEL, M.R. Schaum’s outline of theory and problems of Laplace transforms. [14] SPIEGEL, M.R. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil. [15] STEWART, J. Cálculo. Vol. 1 e 2. São Paulo: Cengage Learning. [16] TROFINO, A. Sistemas lineares. http://www.das.ufsc.br/~trofino [17] ZILL, D.G.; CULLEN, M.R. Equações diferenciais. Vol. 1 e 2. São Paulo: Makron Books. Observação: Os gráficos presentes nestas notas foram construídos empregando-se os aplicativos winplot, mathgv e maple.
