TA 534 – FENÔMENOS DE TRANSPORTE

Prof. Dr. Antonio José de Almeida Meirelles

Balanço de Quantidade de Movimento no Escoamento de

Fluidos Newtonianos em Situações Simples

Balanço de Q. M. em Regime Permanente

Taxa de Q. M. queentra no volume de controle

Hipóteses normalmente admitidas na solução de problemas deste tipo:

• Na interface sólido-fluido a camada de fluido adjacente àsuperfície do sólido adere à sua superfície e se move com a mesma velocidade dele (hipótese do não-deslizamento);

• Em interfaces líquido-gás o fluxo de quantidade de movimento (e, portanto, o gradiente de velocidade) na fase líquida é muito próximo de zero e será assumido como nulo nos cálculos.

Taxa de Q. M. quesai do volume de controle

Soma de forçasatuando no vol. de controle

_ + = 0

1° Caso: Filme líquido descendente em um plano inclinado

Hipóteses Adicionais:• Escoamento em baixa velocidade Vx(y) e com baixa espessura do

filme (escoamento laminar);• Propriedades físicas (µ, ρ) constantes.

O volume de controle ∆VOL = L.W.∆y é um paralelepípedo com 6 faces pelas quais pode ocorrer transferência de quantidade de movimento.

Balanço da Quantidade de Movimento

Taxa de Q. M. que entra pela área (W.∆y) em x = 0

Taxa de Q. M. que sai pela área (W.∆y) em x = L

Taxa de Q. M. que entra pela área (L.W) em y = y

Taxa de Q. M. que sai pela área (L.W) em y = y + ∆y

( )( )0

�...=

∆xxx VVyW

( )( )Lxxx VVyW

=∆ �...

( )( )yyxWL �..

( )( )yyyxWL�

�..+

Taxa de Q. M. que sai pela área (L.∆y) em z = W

Soma das forças atuando sobre o corpo = componente da força da gravidade na direção x

Taxa de Q. M. que entra pela área (L.∆y) em z = 0 = 0

= 0

Não há escoamento na direção z e nesta direção toda a camada de fluido de espessura ∆y se movimenta com a mesma velocidade (portanto não há atrito).

( ) ( )( )�cos.�.... gyWL ∆

( )( ) ( ) 0cos

0

=⋅⋅⋅⋅⋅+−

−+⋅⋅−⋅⋅

+

==

βρ∆

∆∆

gyWL.�L.W

.�L.W�VVyW.�VVyW.

�yyyx

yyxLxxxxxx

Lxxxx VV==

=0

Escoamento em regime permanente de fluido incompressível

Dividir por L.W.∆y = ∆Vol

( )�cos..��

� gy

yyxyyyx=

−+

ττ

( )�cos..��

��lim �

0�g

yyyxyyyx

y=

��

�

�

��

�

� −+

→

Esta é a definição da 1ª derivada de τyx com relação a y

( )�cos..��

gdy

d yx =Equação diferencial para o fluxo de quantidade de movimento τyx por atrito viscoso.

( )�� = dygd yx �cos..��

( ) 1.�cos..�� Cygyx +=

Condição de contorno: na interface gás-líquido não hátransferência de quantidade de movimento (não há atrito entre o gás e o líquido) → y = 0 � τyx = 0Logo: C1 = 0

( ) ygyx .�cos..�� = Perfil do fluxo de quantidade de movimento ou da tensão de cisalhamento.

O fluido é Newtoniano →

dydVx

yx �� −=

Combinando as duas equações:

( )y

dydVx

�

.g.cos βρ−=

( )�� −= ydydVx

�

.g.cos βρ

( )2

2

2.�.g.cos

CyVx +−= βρ

Condição de contorno: na interface sólido-líquido o líquido adere à superfície do sólido → y = δ � Vx = 0Logo:

( ) 22 2.�

.g.cos δβρ=C E tem-se:

( )���

�

���

�

��

�−=22

12.�

.cos.g.δ

βδρ yVx

Perfil de velocidade parabólico

Alguns resultados que podem ser obtidos a partir da equação anterior:

1) Velocidade máxima ocorre para y = 0

( )2.�

.cos.g. 2

,

βδρ=máxxV

2) Velocidade média Vx ao longo de toda a seção transversal do filme (área W.∆y):

� �

� �= W

W

x

x

dzdy

dzdyVV

0 0

0 0

δ

δ Soma de todo o volume de líquido que atravessa a área (W.δ) por unidade de tempo.

Área de seção transversal por onde o líquido escoa = W.δ

( )3.�

.cos.g. 2 βδρ=xV Velocidade média

3) Vazão volumétrica:

( )µ

βδρδ

.3cos....

V3

0 0

WgdzdyV

W

x == � �•

Note que:

( ) média e velocidad. seção de Área.. ==•

xVWV δ

4) Espessura do filme:

( )βρµδcos..

..3g

Vx=

Escoamentos em filmes de interesse industrial:

•Evaporadores de película (ou filme) descendente → o fluido a ser concentrado por evaporação escoa descendentemente em um filme de espessura fina formado sobre a superfície interna de tubos verticais. Se δ <<< R, pode-se desprezar o efeito de curvatura da geometria cilíndrica.

Neste caso as equações anteriores são válidas com cos(β) = 1, pois os tubos são verticais.

Para paredes verticais (p. ex. evaporadores de filme descendente):Escoamento laminar sem ondulações → Re < 4 a 25;Escoamento laminar com ondulações → 4 a 25 < Re < 1000 a 2000;Escoamento turbulento → Re > 1000 a 2000.Onde Re = número de Reynolds do escoamento.

WVW

V

V

xx

x

ρδρδ

µµρδ

.....

4...4Re

==Γ

Γ==

Vazão mássica por unidade de largura da parede (perímetro da parede cilíndrica).

No caso de um filme descendente em um tubo (δ <<< R), tem-se W = 2.π.R

[ ]

[ ] aladimension

.

.Re

.

==

=

smkg

smkg

smkgΓ

2° Caso: Escoamento no interior de tubos horizontais

Hipóteses:• Escoamento em baixa velocidade em um tubo de pequeno diâmetro

(escoamento laminar);• Regime permanente (características do escoamento são

independentes do tempo);• Fluido Newtoniano (fluido que segue a lei de Newton da

viscosidade);• Fluido é um meio contínuo;• Propriedades físicas constantes (µ e ρ são constantes, fluido é

incompressível);• Não há deslizamento na interface fluido-sólido (superfície da parede

sólida) → hipótese do não-deslizamento;• Efeitos de entrada e saída da tubulação horizontal, os quais

perturbam o escoamento laminar, devem ser desprezados.

Selecionamos um volume de controle tipo capa cilíndrica (há simetria cilíndrica, logo usa-se coordenadas cilíndricas), com espessura ∆r e comprimento L, e realizamos o balanço de quantidade de movimento na direção axial x (direção do escoamento).

Taxa de Q.M. que entra junto com o escoamento na superfície anular em x=0

( )( )0

.....2=xxx VVrr ρ∆π

Taxa de Q.M. que sai junto com o escoamento na superfície anular em x=L

( )( )Lxxx VVrr

=.....2 ρ∆π

Taxa de Q.M. que entra via atrito viscoso através da superfície cilíndrica em r

( )rrrxLr

=τπ ....2

Taxa de Q.M. que sai via atrito viscoso através da superfície cilíndrica em r+∆r

( )rrrrxLr ∆τπ

+=....2

Força devido à pressão na superfície anular em x=0

Força devido à pressão na superfície anular em x=L

( )( )0

...2=x

Prr ∆π

( )( )Lx

Prr=

− ∆π ...2

Força exercida pelo fluido situado em x < 0 sobre o fluido situado em x ≥ 0

Força exercida pelo fluido situado em x = Lsobre o fluido situado em x < L, por isso o

sinal negativo

0sistema no atuandoforças das Soma

sai queM. Q. de Taxa

entra que M. Q. de Taxa

=

���

�+

���

�−

���

�

0PPox

== LLx

PP ==

( ) ( )( ) 0....2

....2....2

.....2.....2

0

2

0

2

=−+

+−+

+−

+==

==

L

rrrrxrrrx

Lxxxx

PPrr

LrLr

VrrVrr

∆πτπτπ

ρ∆πρ∆π

∆

Escoamento em regime permanente de um fluido incompressível

( ) ( )22

0rrr

Lxxrrrxx rVrV

∆∆ +==

+== =

Estamos comparando a velocidade do fluido em diferentes posições na direção do eixo (x = 0 e x = L), mas na mesma posição em direção ao raio (r = r + ∆r/2). Dividindo a equação por 2.π.L.∆r:

( ) ( )r

LPP

r

rrLrrxrrrx .

..0

��

� −=��

���

� −+

∆ττ ∆

( ) ( )r

LPP

r

rrLrrxrrrx

r.

..lim 0

0

��

� −=��

���

� −+

→ ∆ττ ∆

∆

( ) rL

PPr

drd L

rx .. 0

��

� −=τ

( ) ��

��

� −= rL

PPr

drd L

rx .. 0τ

1

20

2.. Cr

LPP

r Lrx +

��

� −=τ

rC

rLPP L

rx10 .

.2+

��

� −=τ

Condição de contorno: em r = 0 (centro do tubo), tem um valor finito. Neste caso, C1 = 0, pois para qualquer valor de C1 � 0,

0

1

=rrC assumiria um valor infinito.

rxτ

rLPP L

rx ..2

0

��

� −=τ Perfil da tensão de cisalhamento

Se o fluido é Newtoniano:dr

dVxyx �� −=

rLPP

drdV Lx .

.20

��

� −=− µ

��

���

� −−= drrLPP

dV Lx ..

..20

µ

220 .

..4Cr

LPP

V Lx +

���

� −−=µ

Condição de contorno: r = R → Vx = 0 (hipótese do não-deslizamento).

Logo: 202 .

..4R

LPP

C L

���

� −=µ

( )���

�

���

�

��

�−−=22

0 1..4

.Rr

LRPP

V Lx µ

Perfil de velocidade para escoamento laminar em tubo → ÉPARABÓLICO.

Vx,mín ocorre para r = R → Vx,mín = 0

Vx,máx ocorre para r = 0 →( )

LRPP L

..4.

V2

0máxx, µ

−=

Velocidade média:

� �

� �= π

π

θ

θ

2

0 0

2

0 0

..

...

R

R

x

x

ddrr

ddrrVV

( )L

RPPV L

x ..8. 2

0

µ−= máxxx VV ,2

1=

Vazão volumétrica:

� �=• π

θ2

0 0

...R

x ddrrVV

( )L

RPPV L

..8.. 4

0

µπ −=

•Lei de Hagen-Poiseuille

Observe que:

escoamento do média Velocidade . escoamento do seção da Área=•

V

( ) ( )L

RPPL

RPPRV LL

..8..

..8... 4

02

02

µπ

µπ −=−=

• Mesmoresultado

• Comentários sobre as hipóteses adotadas:Escoamento laminar: no interior de tubos o número de Reynolds édefinido como

µρ DVx ..

Re =

ρ = densidade do fluido

Vx = velocidade média do escoamento

D = diâmetro interno do tubo

µ = viscosidade do fluido

[ ] 3mkg=ρ

[ ] smVx =

[ ] mD =

[ ] ( )smkg

.=µ

[ ]( )

alAdimension

.

..Re

3==

smkg

msm

mkg

[ ]Viscosas Forças

Inércia de ForçasRe =

Escoamento com velocidade constante

Atrito entre camadas com diferentes velocidades

Re < 2.100 → Escoamento laminar2.100 < Re < 10.000 → TransiçãoRe > 10.000 → Escoamento turbulento

• Propriedades físicas constantes: � é função da temperatura e da composição; logo, no caso de fluido a temperatura constante e concentração uniforme � éconstante. � é função da temperatura, pressão e composição; no caso de líquidos homogêneos e com pouca variação de temperatura � constante é sempre uma boa hipótese (fluidos incompressíveis); no caso de gases ou vapores é necessário que a pressão seja baixa e varie pouco (fluidos compressíveis).

• Desprezar os efeitos de entrada e saída: os resultados se aplicam após um comprimento de entrada Le = 0,035.D.Re, o qual garante o perfil parabólico perfeitamente desenvolvido.

• Fluido é um meio contínuo: isto só não é válido para gases ou vapores muito diluídos (pressões muito baixas = vácuo muito elevado) e/ou em capilares muito estreitos → neste caso o caminho livre médio molecular pode ser da ordem de grandeza do diâmetro do tubo.

• Não há deslizamento na parede: excelente hipótese sempre que as condições do item anterior (fluido é um meio contínuo) forem satisfeitas.

Exercício sobre Quantidade de Movimento →Cálculo da Viscosidade de glicerina que escoa num tubo.

Glicerina → composto orgânico normalmente obtido como sub-produto dos processos de fabricação de óleos e sabões .

Devido a sua formula molecular C3H8O3, possui alta densidade.

Problema: glicerina a 26,5 ºC escoa no interior de um tubo horizontal de 1 pé de comprimento e 0,1 polegada de diâmetro interno. Se a queda de pressão neste trecho é 40 psi e a vazão é 0,00398 pé3/min, determine a viscosidade da glicerina em cP. Dado: ρ26,5 ºC = 1,261 g/cm3.Solução:

LV

RPLRP

V..8

....8.. 44

•

•=�= ∆πµ

µ∆π

( )

( ) pé

pol

spé

polpé

pollbf

cmdyn

pollbf

1.1.00398,0.8

1.05,0.10.8947,6.40.

60min

min

412

4

3

2

2

2

�

��

�

=

πµ

cP

Pscm

gs

cmdyn

492

92,4.

92,4.92,4 2

=

===

µ

µ

Este tubo funciona como um viscosímetro capilar.É necessário checar se o escoamento é mesmo LAMINAR:

( )( ) ( )( )( )( )scm

gpol

cm

cmg

spépol

polcmpé

pol

DVDV

.

min3min

92,4.54,2.1,0

261,1.601.12.54,2.00398,0

.4

Re

..

..4..Re

3

3

π

µπρ

µρ

=

==•

Re = 2,41 � Re < 2.100 � Escoamento Laminar.

Checar se os efeitos de entrada e saída perturbam o escoamento:

Efeito de entrada → Le = 0,035.D.Re (Bird)

Le = 0,05.D.Re (Sissom)

Le ≈ (7-10).10-4 pés = (0,02-0,03) cm → efeitos de entrada desprezíveis.

L do tubo = 1 pé = 30,48 cm

Le = comprimento necessário para o desenvolvimento completo do perfil de velocidade