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CARLOS FRANCISCO FERREIRA ALVES licenciou-se em Economia pela Faculdade deEconomia da Universidade do Porto em 1990, e obteve recentemente o grau de Mestre emEconomia pela mesma faculdade.

Em 1990, foi distinguido pelo Banco Totta & Açores, por indicação da Faculdade de Economiado Porto, com o prémio ‘Melhor Aluno de Economia, Informática e Gestão”. No mesmo anofoi também distinguido com o prémio “Banco de Portugal”, instituído pelo banco com omesmo nome. Pelo elevado nível atingido como aluno de Economia, foi, ainda, galardoadocom o Prémio “Eng. António de Almeida”, instituído pela Fundação Eng. António de Almeida,

Na Faculdade de Economia do Porto, foi Monitor da cadeira de Microeconomia durante osanos lectivos de 1988/89 e 1989/90. E assistente na mesma instituição, desde o ano lectivode 1990/1991, onde tem leccionado as disciplinas Análise de Investimentos e Microeconomiado Curso de Economia.

É docente do curso de Administração e Gestão de Empresas, da Universidade CatólicaPortuguesa - Centro Regional do Porto, desde 1992/93, nas disciplinas Introdução à Economiae Instituições e Mercados Financeiros.

No Instituto de Estudos Superiores Financeiros e Fiscais (IESF), leccionou, no ano lectivode 1994/95, a disciplina Futuros, Opções, Swaps e Outros Instrumentos de Investimento, doCurso de Pós-Graduação em Análise Financeira, organizado conjuntamente pelo IESF e pelaAPAF - Associação Portuguesa dos Analistas Financeiros.

Integrou o Gabinete de Estudos da Bolsa de Valores do Porto entre Setembro de 1990 e Abrilde 1994. Desde esta data até Novembro de 1995 foi o Director do Instituto do Mercado deCapitais da Bolsa de Valores do Porto.

Desde Novembro de 1995, desempenha as funções de Adjunto do Secretário de Estado doTesouro e das Finanças. -

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Carlos Francisco Alves

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TAXAS DE JURO:

ESTRUTURA DE PRAZOS

E MODELOS DINÂMICOS

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Carlos Francisco Álves

TAXAS DE JURO:

ESTRUTURA DE PRAZOS

E MODELOS DINÂMICOS

• INSTITUTO MERCADO DE CAPITAIS~

Av. da IO~viSta, 3433 - 4100 Porto - Portoga1

Título: TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOSAutor. CARLOS FRANCISCO ALVESEditor ASSOCIAÇÃO DA BOLSA DE DERIVADOS DO PORTO / 1996Projecto gráfico: BDP - Bolsa de Derivados do PortoImpressão e acabamento: Gráfica MaladouroISBN: 972-8362-04-8Depósito legal o?: [22 976/98l. edição: 1996 / 2. edição: 1998

Prefácio

O presente trabalho é uma versão revista da tese de mestrado que Carlos Alves

apresentou na Faculdade de Economia do Porto em Dezembro de 1995, com o tftulo

“Estrutura de Prazos das Taxas de Juro: Teorias Explicativas, Métodos de Quantificação e

Modelos Estocásticos - uma revisão da literatura”.

Quando, em finais de 1993, Carlos Alves me pediu que o acompanhasse nesta sua

digressão pelas taxas de juro, estava longe de imaginar onde esta aventura n(o)s condu

ziria. Cedo me apercebi de que o eventual valor acrescentado que eu pudesse transmitir se

tinha esgotado. A partir desse momento, o meu papel foi mais o de um travão às suces

sivas pistas de investigação que Carlos Alves ia avançando, do que o de um acelerador

que transmite novos e acrescidos estímulos à realização do estudo.

O trabalho, feito de avanços e recuos (terá sido este um processo de destruição cria

tiva?), foi progredindo lenta mas seguramente; a excelente revisão da literatura que aqui

fica, acompanhada de exemplos elucidativos das diversas questões que vão sendo abor

dadas, tornam este texto uma referência obrigatória para os interessados por estes

assuntos, sejam académicos ou não.

A leitura atenta deste manual ajudará, assim, a compreender as ligações existentes j Introdutóriaentre taxas de juro de diferentes prazos num mercado financeiro em que os preços nao

são mais administrados. Resta esperar pelas aplicações empíricas que este texto sugere.

Vicior Mendes

Porio, Junho de 1996.

Desde a sua criação, em Abril de 1994, que o IMC - Instituto Mercado de Capitais,

da BDP - Bolsa de Derivados do Porto, tem vindo a concretizar um conjunto de relevantes

iniciativas editoriais, mediante as quais vem processando a disseminação de informação

técnica e científica de notória importância no domínio da Economia e das Finanças, com

destaque particular para os mercados financeiros, naquilo que se revela um contributo que

se pretende decisivo para o respectivo desenvolvimento equilibrado e sustentado.

Atento à proliferação de um conjunto de estudos, investigações e desenvolvimentos

recentes, particularmente na área científica, sobre assuntos relevantes nestes domínios, o

IMC lançou, em Março de 1996, uma nova série de publicações, a que deu o nome, parti

cularmente adequado aos seus propósitos, de Moderna Finança.

Esta nova série foi criada com um objectivo duplo e complementar. Por um lado,

pretende constituir-se num repositório de trabalhos académicos de elevada qualidade téc

nica e científica; dissertações de mestrado e de doutoramento poderão ter aí particular

cabimento. Por outro lado, pretende dar a conhecer estudos de investigação, igualmente

de reconhecido nível técnico e científico, desenvolvidos na BDP (de que é exemplo a

obra de abertura desta colecção, “Um Mercado de Repos em Portugal”) ou por elementos

da comunidade económica e financeira em geral. Com este novo ramo de actuação, a

BDP estreita igualmente os laços com e entre académicos, investigadores e a comunidade

em geral, numa aproximação certamente frutuosa para o desenvolvimento dos mercados.

A presente obra “Taxas de Juro: Estrutura de Prazos e Modelos Dinâmicos”, versão

revista da dissertação de Mestrado recentemente apresentada pelo autor na Faculdade de

Economia do Porto, insere-se no espírito do primeiro dos objectivos acima referidos,

dando igualmente corpo à desejada continuidade da Série Moderna Finança, com um

assunto particularmente caro à investigação e preocupações recentes na área das Finanças:

a explicação e mensuração da diferenciação das taxas de juro em função do prazo.

A problemática em causa é, tal como o autor refere, particularmente relevante para

países, como Portugal, onde os mercados obrigacionistas contêm ainda alguns aspectos

embrionários e onde os instrumentos financeiros derivados, cujo valor depende, muitas

vezes, da evolução futura das taxas de juro de curto prazo, registam os seus primeiros

passos. Neste contexto, a presente publicação surge como uma obra de referência mar

cante e de inegável oportunidade.

O facto de o autor ter desempenhado, até um passado mais recente, funções de

Direcção no IMC - Instituto Mercado de Capitais faz acrescer um especial gosto e

empenho na publicação da presente obra.

Manuel Alves Monteiro

Administrador-Delegado da Bolsa de Derivados do Porto

Julho de 1996

8

O texto original deste trabalho constituiu a dissertação de Mestrado que defendi na

Faculdade de Economia da Universidade do Porto, em Abril de 1996.

Esta versão preserva o essencial da versão original, tendo as adaptações introdu

zidas resultado - essencialmente - de objectivos pedagógicos e de razões editoriais. Na

realidade, muitos dos exemplos aqui apresentados não faziam parte do corpo principal da

dissertação, tendo aqui sido inseridos de modo a tomar o texto acessível a um maior

número de leitores. Motivos de índole editorial motivaram de igual modo algumas trans

formações, designadamente ao nível do título da obra, as quais de modo algum a desvir

tuam face ao texto original.

Este trabalho beneficiou do contributo de muitas pessoas e instituições, a quem é

devido tributo. A primeira palavra de agradecimento é dirigida ao Professor Victor

Mendes dos Santos pela supervisão do trabalho original, assim como pela assinatura do

prefácio do texto agora publicado. A sua permanente disponibilidade, o seu apoio na

obtenção de literatura e as suas orientações excederam tudo o que seria legítimo esperar

ou solicitar.

Apresentação e Agradecimentos

9

É, pois, ao Professor Victor Mendes dos Santos que dirijo o meu primeiro e muito A Bolsa do Porto, e em particular ao Instituto Mercado de Capitais, na pessoa dosincero agradecimento. Dr. Alves Monteiro, devo não só o apoio que sempre recebi no período em que lá cola-

Ao Álvaro Nascimento, ao Francisco Esteves, ao José Carlos Gama, ao Ricardo borei profissionalmente, mas também o interesse manifestado na publicação desta obra.

Cruz e ao Professor Vitorino devo a obtenção de alguma literatura que muito me foi útil. Por último, mas da maior importância, devo à minha família, e em particular àA eles se dirige também o meu agradecimento. minha mulher e aos meus pais, o tempo de convívio que lhe retirei e as determinantes

À Biblioteca da Faculdade de Economia, e em particular à sua Directora, a palavras de incentivo que recebi.

Professora Fátima Brandão, devo também um grande agradecimento pelo empenho e efi

ciência colocados na obtenção de bibliografia. Também, em particular, devo agradecer à

Sr~ D. Alzira, pela rapidez com que obteve artigos em outras bibliotecas, e ao Sr. Vitorino Aos 30 de Moio de 1996

Andrade, pela prontidão com que sempre procedeu às solicitações de reprodução de Carlos Francisco Alves

material de trabalho.

Aos amigos Paula Sarmento, Ricardo Cruz, Rui Alves, colegas na parte escolar do

Mestrado, devo palavras de incentivo que muito me animaram na realização deste trabalho.

Ao Professor Luís Delfim - que foi o coordenador do Grupo de Economia durante o

período de realização da minha dissertação -, ao Conselho Directivo e ao Conselho

Pedagógico devo o facto de me terem proporcionado condições para a sua realização.

A este nível devo também um agradecimento especial aos colegas da disciplina de

Microeconomia, que por todos dirijo à Professora Cristina Barbot, pela preocupação que

sempre manifestaram em articular o serviço docente da disciplina com as minhas neces

sidades de investigação. 1‘o

-1’

À minha mulher e aos meus pais.

Índice

Introdução 21

PARTE 1

CONCErTO E TEORIAS EXPLICAIWAS DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO 25

Capítulo)

Detrniç& de Estrutura de Prazos das Taxas de Juro e Conceitos Conexos .25

1.1 Rendimento Global Esperado

e Efectivo de Obrigações Com e Sem Cupão 26

1.2 Medidas da Taxa de Juro 29

1.2.1 Taxa de Cupão 29

1.2.2 Taxa Aparente 30

1.2.3 Taxa Actuaria] de Rencljbjljdade 30

1.2.4 Taxa à Vista 31

1.2.5 Taxas a Prazo 32

1.3 Taxas de Juro e Risco 34

1.3.1 Risco de Incumprimento 34

1.3.2 Risco de Taxa de Juro 35

1.4 Conclusões 37

BmuooRAn.4 38

15

Capítulo 2

Teorias Explicativas da Estrutura de Prazos das Taxas de Juro 39

2.1 A Teoria das Expectativas 40

2.1.1 AVersãodeLutz 40

2.1.2 A Versão de Malkiel 46

2.1.3 Testes Empfricos às Hipóteses da Teoria das Expectativas 50

2.2 A Teoria da Segmentação do Mercado 56

2.3 A Teoria do Prémio de Liquidez 59

2.3.1 O Modelo de Hicks 59

2.3.2 Os Testes Empfricos de Van Home 62

2.3.3 A Compatibilidade do Modelo de Meiselman

com a Teoria do Prémio de Liquidez 64

2.4 A Teoria do Habitat Preferido 66

2.5 As Novas Teorias Explicativas da Estrutura

de Prazos das Taxas de Juro. A Teoria de Cox, Ingersoli e Ross 68

2.6 Conclusões 69

BIBLIOGRAFIA 70

PARTE II

DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA DE Panos DAS TAXAS DE JURO 73

Capítulo 3

Estrutura de Prazos das Taxas de Juro

Versas Estrutura de Taxas Actuariais de Rendibilidade 74

3.1 (Re)definição de Estrutura de Prazos das Taxas de Juro 74

3.1.1 Obrigações de Cupão Fixo e a Estrutura

de Prazos das Taxas de Juro 74

3.1.2 A Função de Desconto e o Cálculo

da Estrutura de Prazos das Taxas de Juro 75

3.2 A Avaliação de Obrigações Pela Taxa Actuarial

de Rendibilidade e o Efeito-Cupão Sobre Essa Taxa Actuarial 81

3.2.1 A Avaliação de Obrigações Pela

Taxa Actuarial de Rendibilidade 84

3.2.2 O Efeito-Cupão Sobre a Taxa Actuarial de Rendibilidade 86

3.2.3 A Forma da Yield Curve, A Estrutura de Prazos

das Taxas de Juro e o Efeito-Cupão 88

3.3 A Avaliação de Obrigações de Taxa Indexada

e a Determinação da Estrutura de Prazos das Taxas de Juro 89

3.3.1 Introdução 89

3.3.2 Métodos de Avaliação de Obrigações

de Cupão Indexado e a Determinação da Estrutura

de Prazos das Taxas de Juro 91

3.4 Conclusões 94

BIBLIOGRAFIA 95

Capítulo 4

Cálculo da Estrutura de Prazos das Taxas de Juro 97

4.1 Com Instrumentos de Dois Fluxos 98

4.1.1 A Partir de Obrigações Sem Cupão 98

4.1.2 A partir de Stripped Treasury Securities 99

4.2 A Partir de Obrigações com Cupão pelo Método Bootstrapping 101

4.2.1 Apresentação do Método 102

4.2.2 Dificuldades de Aplicação 105

16‘7

4.3 Métodos Econométricos .107

4.3.1 Método da Regressão por Mínimos Quadrados 109

4.3.2 Método do Ajustamento Polinomial 111

4.3.3 Método do Ajustamento por Exponenciais 112

4.3.4 Método do Ajustamento por Exponenciais de Polinómio 113

4.3.5 Método do Ajustamento Exponencial a Partir da Yield Curve.... 115

4.4 Modelo de Optimização do Portfólio

e da Função de Desconto para cada População Fiscal,

com Utilização de Programação Linear 118

4.4.1 Introdução 118

4.4.20 Modelo 120

4.5 Conclusões 126

BIBUOGRÁFIA 127

PARTE III

MODELOS DA ESTRUTURA DE PRAzos DAS TAXAs DE JURO

(Yield Curve Models ou Term Structure Models) 131

Capítulo 5

Modelos de Arbitragem da Estrutura

de Prazos das Taxas de Juro (Arbitrage Yield Curve Modeis) 132

5.1 Cálculo Estocástico e a Avaliação de Activos Financeiros 133

5.1.1 Noção de Processo Estocástico 133

5.1.20 Processo de Markov 134

5.1.3 O Processo de Wiener 134

5.1.40 Processo Generalizado de Wiener 136

5.1.50 Processo de Itô 138

5.1.6 O Lema de Itô 138

5.2 Modelos de Arbitragem a Uma Só Variável de Estado 139

5.2.1 Notação e Hipóteses do Modelo 140

5.2.2 A Equação da Estrutura de Prazos

para Obrigações de Cupão Zero 142


para Obrigações Com Cupão Fixo 145

5.2.4 Prémio de Risco 146

5.2.5 O Processo das Taxas de Juro 147

5.2.6 Estimação dos Parâmetros do Modelo 158

5.3 Modelos de Arbitragem Contínua

a Duas Varjáveis de Estado 159


para Obrigações de Taxa Fixa 159


Para Obrigações Com Cupão Variável 162

5.4 Conclusões 165

BInLI0GRAiqA 165

Capítulo 6

Modelização da Estrutura de Prazosdas Taxas de Juro - Modelos de Não Arbitragem 168

6.1 O Modelo de Ho e Lee 169

6.1.1 Notação e Princípios Básicos 169

6.1.2 Funções de Perturbação 171

6.1.3 Ausência de Oportunidades de Arbitragem

e Probabilidade Binomia] Implícita 173

6.1.4 Determinação dos Preços de Equilíbrio 175

6.1.5 Determinação do Processo

das Taxas de Juro de Curto Prazo 177

1

1819

6.1.6 Determinação da Árvore Binomial

das Taxas de Juro de Curto Prazo Consistente coma Estrutura de Prazos das Taxas de Juro 179

6.1.7 Estimação dos Parâmetros do Modelo de Ho e Lee 183

6.1.8 Versão Tempo Contínuo do Modelo 185

6.2 O Modelo de Bliss e Ronn 186

6.2.1 Contestação Empfrica e Teórica

ao Modelo Binomial de Ho e Lee 186

6.2.2 Árvore Trinomial de Bliss e Ronn 188

6.3 O Modelo de Blaclc, Derman e Toy 190

6.3.1 Versão Binomjaj 190

6.3.2 Versão Tempo Contínuo 196

6.3.3 Comparação com o Modelo de Ho e Lee 191

6.4 Outros Modelos 198

6.4.1 Outros Modelos de Markov 198

6.4.2 Modelo Não Markoviano 199

6.5 Conclusões 200

BIBLIOGRAFIA 200

CONCLUSÕES FINAIS 203

BIBLIOGRAFIA 209

Anexo 1 221Anexo 2 223Anexo 3 225Anexo 4 227Anexos 229Anexo 6 232

Introdução

Tudo o resto constante, os obrigacionistas, regra geral, exigem diferentes taxas de

juro para obrigações com diferentes prazos de vencimento. Isto é, normalmente, a dife

rentes prazos correspondem diferentes taxas de juro.

Tal não acontece, naturalmente, por acaso. Existirão razões para que os agentes eco

nómicos procedam desse modo. A compreensão dessas razões, isto é, a elencagem e a

apresentação das diferentes teorias que explicam a estrutura de prazos das taxas de juro é

o primeiro objectivo deste trabalho. Saber como é que a teoria económica explica que ora

as taxas de juro de curto prazo excedem as taxas de juro de médio e longo prazo ora se

verifica a situação inversa será a nossa primeira preocupação.

Conhecer os métodos de quantificação das taxas de juro para diferentes prazos é

também um dos objectivos a que nos propomos. Conforme veremos, na prática, a inexis

tência de um largo espectro de obrigações de cupão zero sem risco de falência dificulta a

mensuração da estrutura de prazos das taxas de juro, razão pela qual a teoria económica

teve de lançar mão a métodos - por vezes algo complexos - de quantificação das taxas de

juro para diferentes prazos a partir de obrigações com cupão.

Por último, procuraremos conhecer os modelos que recentemente têm sido suge

ridos para explicar o comportamento dos preços das obrigações e das taxas de juro n

partir de equações estocásticas relativas ao comportamento das taxas de juro. Estes

modelos, para além de, em alguns casos, explicarem a estrutura de prazos vigente per

mitem ainda inferir o valor futuro das taxas de juro de curto prazo que é compatível com

a estrutura de prazos vigente.

Esta problemática da diferenciação das taxas de juro em função do prazo é particu

larmente importante para países, como Portugal, cujos mercados obrigacionistas são

2021

TAXAS DEJURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS INTRODUÇÃO

ainda em certos aspectos embrionários e que começam a dar os primeiros passos no

domínio dos instrumentos financeiros “derivados”, os quais, frequentemente, têm um

período de vida e um valor que depende da evolução futura das taxas de juro de curto

prazo.

Este trabalho reparte-se em três partes, apresentando cada uma dois capítulos. O

primeiro capítulo é introdutório. Em concreto, neste capítulo, introduzem-se, entre outros,

os seguintes conceitos: “rendimento global” e “rendimento efectivo”, “taxa de cupão”,

“taxa aparente”, “taxa actuarial de rendibilidade” (yield to inaturity), “taxa à vista” (spot

rale) e “taxa a prazo” (,forward rate). Neste capftulo são ainda tecidas considerações

sobre a relação entre a estrutura de prazos de taxas de juro e o risco, quer de incumpri

monto, quer de taxa de juro.

No segundo capítulo, abordar-se-ão as teorias explicativas da estrutura de prazos

das taxas de juro. Serão especialmente abordadas as usualmente denominadas “teorias

tradicionais” (“teoria das expectativas”, “teoria da segmentação”, “teoria do habitar pre

ferido” e “teoria do prémio de liquidez”), enquanto as novas teorias explicativas - que

têm por base o pressuposto de que as taxas de juro têm um comportamento estocástico -

serão abordadas de modo superficial, porquanto na terceira parte os modelos estocásticos

das taxas de juro serão objecto de análise aprofundada.

Na segunda parte ocupar-nos-emos da determinação da estrutura de prazos das

taxas de juro. No Capítulo 3 procederemos à redefinição da estrutura de prazos das taxas

de juro considerando a sua determinação a partir de obrigações com cupão, ao que se

seguirá a análise de questões relacionadas com a avaliação de obrigações pela taxa actua

rial de rendibilidade e com o efeito-cupão sobre essa taxa de rendibilidade. Neste capítulo

analisaremos também a avaliação de obrigações de taxa indexada e a sua relação com a

determinação da estrutura de prazos das taxas de juro.

No Capítulo 4 abordar-se-á o cálculo da estrutura de prazos das taxas de juro.

Inicialmente começaremos por ver como se determina a estrutura de taxas spot a partir de

obrigações sem cupão ou de instrumentos semelhantes. De igual modo se estudarão os

22

métodos de determinação da estrutura de prazos das taxas de juro a partir de obrigações

com cupão. Neste aspecto particular será dado destaque aos usualmente denominados

métodos econométricos. Analisaremos ainda um modelo de optimização de um porifólio

obrigacionista a partir do qual é possível determinar a estrutura de taxas à vista.

Finalmente, na Parte III serão objecto de análise os denominados yield curve

modeLs ou term siructure modeis. Trata-se de modelos que assumem que as taxas de juro

têm um comportamento estocástico. Em particular, no Capítulo 5 analisaremos os deno

minados arbirrage yield curve modeis, enquanto que no último capítulo se analisarão os

no arbirrage yield curve modeis, distinguindo-se estes daqueles pelo facto de estes assu

mirem como um dado a estrutura temporal de prazos vigente, enquanto que os primeiros

endogenizam a determinação da estrutura de prazos das taxas de jum.

1 23

2“~“‘ Pane 1

CONCEITO E TEORIAS EXPLICATIVASDA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

Conforme referido na Introdução, nesta primeira parte começaremos por abordar o conceito de“estrutura de prazos das taxas de juro” (Capítulo 1) e em seguida (Capítulo 2) analisaremos as teorias explicativas do comportamento das taxas de juro em função do prazo, com especial realce pan as denominadas“teorias tradicionais”.

Capítulo 1

Definição de Estrutura de Prazosdas Taxas de Juro e Conceitos Conexos

Como primeira definição de estrutura de prazos das taxas de juro, considere-se que

se trata da relação que se estabelece no mercado obrigacionista entre as taxas de juro

implícitas nos preços das obrigações1 contratados em mercado secundário2 e os respec

tivos prazos para o vencimento.

Por sua vez, em termos simplistas, a taxa de juro consiste, na perspectiva de quem

empresta, na remuneração pela cedência de uma unidade de capital por unidade de tempo,

Aceite-se, numa acepção simples, porém esclarecedora, que uma obrigação é um insentenento de dívida em que a cuidado emitente se compromete a pagar ao seu detentor una ou várias somas de dinheiro em uma ou em várias datasfuturas, contra um encaixe inicial.2 ~ “mercado secundário” (trate-se de obrigações, acções ou outros valores mobiliários) éo ponto de encontro - físico

ou lógico - da procura e da oferta de valores mobiliários previainente emitidos. Como assinalam Cruz, Nascimento eAlves (1994, p. 73), considera-se que estamos na presença de uma operação de “mercado primário” no momento emque a entidade emitente procede à venda (emissão) dos valores nsobiliárioa e à affecadação da coeTespondente contrapaelida financeira prestada pelos aforradores. Estaremos na presença de uma operação de mercado sccundário quandose tratar de transacções de valores enobilialrioa previamente emitidos. As operações de mercado secundário slo, destemodo, transacções em que não intervêm as entidades emitentes (enquanto tal), mas em que somente estáo envolvidosaforradores que pretendem aplicar as suas poupanças (altura em que adquirem valores nobiliários a outros aforradoees)ou trau,sfonuar em moeda as poupanças assterionnente aplicadas em valores itsobiliários (altura em que procedem àvenda dos valores mobiliários detidos),

25

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS DEFINIÇÃO DE ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO E CONCEITOS CONEXOS

ou, na perspectiva de quem toma emprestado, no custo de obtenção de uma unidade de

capital por unidade de tempo.

Quando a cedência (obtenção) de capital se materializa na aquisição (emissão) de

uma obrigação, muitas são as medidas relacionadas com a remuneração do obrigacio

nista, mas nem todas são adequadas à representação da estrutura de prazos das taxas de

juro, como veremos neste capítulo (numa primeira abordagem) e no Capítulo 3 (com

maior profundidade).

Em concreto, neste capítulo começaremos por ver quais as fontes de rendimento do

obrigacionista (colocando-nos, assim, na perspectiva da cedência de fundos) e qual a taxa

de juro que melhor mede o retomo proveniente das diferentes fontes de rendimento. Na

parte final do capítulo serão feitas algumas referências introdutórias à relação entre o

“risco” e a estrutura de prazos das taxas de juro.

1.1 RENDIMENTO GLOBAL ESPERADOE EFECTIVO DE OBRIGAÇÕES COM E SEM CUPÃO

O rendimento global auferido por um obrigacionista durante um dado período de

tempo provém não só dos juros periódicos recebidos (cupões de juros), mas também dos

juros produzidos pelo reinvestimento desses juros periódicos (juros de juros), assim como

do ganho de capital inerente à diferença entre o preço de aquisição da obrigação e o valor

de venda (caso a obrigação não seja mantida em carteira até à sua amortização final) ou

de reembolso (na hipótese de a obrigação ser mantida em carteira até à sua completa

amortização). Em suma, o rendimento proporcionado por uma obrigação é a soma de três

parcelas: cupões de juros, juros de juros e ganho de capital.

Em algumas obrigações, algumas daquelas parcelas são nulas. Com efeito, tratando-

-se de “obrigações sem cupão”3, conforme o próprio nome indica, não há lugar ao paga-

3 Também, usualmente, denominadas ‘obrigações de cupão zero” ou “obrigações a desconto”.

mento periódico de juros, pelo que o rendimento do obrigacionista resulta - exclusiva-

mente - da diferença entre o preço de aquisição da obrigação e valor de reembolso (se a

obrigação for mantida em carteira até à sua amortização) ou o preço de revenda (na hipó

tese contrária). Por outro lado, tratando-se de obrigações que vencem juros periódicos

(denominadas “obrigações com cupão”), desde que, por exemplo, sejam adquiridas ao par

e mantidas em carteira até à data de vencimento ou revendidas ao par, o rendimento do

obrigacionista resulta exclusivamente dos cupões de juros e dos juros de juros4.

Atente-se, ainda, que a parcela correspondente ao ganho de capital pode ser um

contributo negativo para o rendimento do obrigacionista, situação em que se fala de

“perda de capital”5.

Por último importa notar que “rendimento efectivo” e “rendimento esperado” são

conceitos diversos. Com efeito, o rendimento que o obrigacionista efectivamente aufere

(rendimento efectivo) apenas pode ser apurado quando a aplicação financeira for cance

lada ou quando a obrigação for reembolsada. No momento que o obrigacionista adquire a

obrigação, assim como em qualquer outro momento ulterior até ao cancelamento da

posição ou amortização da obrigação, poderá falar-se, apenas, de rendimento esperado,

como o exemplo que se segue mostra.

Admita-se, a título de exemplo, que uma obrigação paga um juro periódico líquido

de 100$00, sendo o respectivo valor de reembolso, também líquido de impostos, de

1000$00. Faltando ainda dois períodos para a amortização da obrigação, sendo o respec

tivo preço actual de 800$00, qual o rendimento proporcionado pela obrigação, na hipó

tese de a mesma ser mantida em carteira até à data de reembolso e de não existirem

custos de transacção?

4 Diz-se que uma obrigação foi emitida ou se encontra colada “ao par” se, respeclivamente, o aeu preço de emissão ou o

seu preço em bolsa de valores (ou, numa acepção lata, em qualquer mercado secundário) é igual ao respectivo valor dereembolso, caso o preço de emissão ou a colação - isto é, o preço registado em bolsa - da obrigaçso seja inferior aovalor de reembolso diz-se que, respcclivamente, a obrigação foi emitida ou se encontra colada “abaixo do par”. Porúltimo, caso o preço de emissão ou a colação da obrigação seja superior ao valor de reembolso diz-se que, respectiva-mente, a obrigação foi emitida ou se encontra cotada “acima do par”.5 Basta, para o efeito que, por exemplo, o obrigacionista adquira a obrigação acima do par e a mantenha em carteira até

à data da respectiva amortização finaL

26 27


~r-eJ)ependet Com’efeito, depende da taxa de juro a que, dentro de um período, o obri

~g~qiØnista poderá proceder à aplicação do juro periódico. Ou seja, a componente “juros

d~juros” é incerta6. Assim Se, por exemplo. Se esperar que aquela taxa de juro venha a

ser de 10% por período, o rendimento global esperado é de 51,25%. Na realidade:

Cupões= 100$00+ 100$00

Juros de Juros Esperados = 100$00 x 10% = 10$00Ganho de Capital = 1000$00- 800$00 = 200$00

Rendimento Global Esperado = 410$00,

pelo que, em termos percentuais, (410$00/800$00) x 100% = 5 1,25%.

Todavia, se a taxa de juro a que efectivamente vier a ser aplicado o cupão de juros que

se vence dentro de um ano for de 5%, o retomo global efectivo será de, somente, 50,625%~.

Significa isto que, o retomo efectivo depende da taxa a que se reinvestem os cash

flows gerados pela obrigação, ou seja, depende da evolução futura das taxas de juro. Por

outro lado, se a obrigação não for mantida em carteira até à amortização final o retomo

efectivo dependerá do preço de venda da obrigação, o qual depende também da evolução

futura das taxas de juro8.

As obrigações sem cupão que sejam mantidas em carteira até à sua completa amor

tização garantem a verificação do retomo esperado. Com efeito, neste tipo de aplicações

o retomo esperado é igual ao retomo efectivo, na medida em que, não havendo cupões,

não há incerteza quanto ao retomo proporcionado pelo seu reinvestimento e, sendo as

obrigações mantidas em carteira até ao esgotamento do prazo respectivo, não há incerteza

quanto ao ganho de capital.

6 Se admitimioa que a obrigação não é mantida em Carteira alé à dala de reembolso Iambén a componente “ganho (Ou

perda) de capital” é incerta.

Na realidade, os juros de juros efectivos seriam apenas de 5$00 (isto é, 5%xIOO$%), pelo que o rendimento globalefeclivo seria de 405$00, donde, cm teesnos perccntuais, leríamos: (405$001800$0O) x 100%.8 Conforme leremos oportunidade de constatar, por variadas vezes, ao longo do lexto, e como, aliás, eslá inplícilo nasequações [l.lJ e [1.21 que adiante te apresentam.

Deste modo, as obrigações de cupão zero não incorporando o risco de reinvesti

mento de cupões periódicos perfilam-se como instrumentos atractivos para auxiliarem a

medição da taxa de juro. Mas, que taxa de juro? A taxa de cupão? A taxa de juro apa

rente? A taxa actuaria! de rendibilidade? A taxa de juro à vista? Ou a taxa de juro a

prazo? Vejamos qual(ais) a(s) taxa(s) de juro(s) mais adequada(s) ao propósito da des

crição da estrutura de prazos das taxas de juro.

1.2 MEDIDAS DA TAXA DE JURO

São muitas as medidas das “taxas de “juro”. Analisemos as características das mais

frequentemente referidas na literatura da especialidade, no que conceme à capacidade de

quantificação da remuneração do obrigacionista.

1,2.1 TAXA DE CUPÃO

Por “taxa de juro do cupão” ou “taxa de cupão” (coupon rate, em linguagem anglo

-saxónica) designa-se a taxa de juro que quando adequadamente multiplicada pelo valor

nominal da obrigação nos dá o valor monetário do cupão de juros, ou seja, o juro perió

dico.

Como é facilmente compreensível esta taxa não é um bom indicador da remune

ração proporcionada ao obrigacionista, porquanto nada diz sobre as componentes juros

de juros e ganho (perda) de capital, mesmo que se admita que a obrigação é mantida em

carteira até à sua integral amortização. Com efeito, reportando-nos ao último exemplo

apresentado, o facto de se saber que a taxa de cupão é de 10% por período, por si só,

nada nos permite concluir sobre a remuneração global (esperada ou efectiva) do obriga

cionista.

Além disso, por definição, esta medida nada permite saber quanto à remuneração

proporcionada pela detenção de obrigações sem cupão.

2829

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOSDEFINIÇÃO DE ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO E CONCEITOS CONEXOS

‘5

pi = + VRn,jt=i(1+1~Y (1+’ï~’

1.2.2 TAXA APARENTE

Á “taxa de juro aparente”, curreni yield, ou, mais simplesmente, “taxa aparente”

obtém-se dividindo o valor do cupão periódico de juros pelo preço corrente da obrigação.

Assim, tomando em consideração o exemplo anteriormente apresentado, sendo o

cupão de juros de 100$00 e o preço da obrigação de 800$00, a taxa aparente é de 12,5%

por período9.

Também esta não é uma boa medida da remuneração proporcionada ao obrigacio

nista. Na realidade, tal como a medida anterior, a taxa aparente apenas toma em conside

ração o rendimento periódico ignorando qualquer outra das fontes de rendimento que a

posse da obrigação confere (juros de juros e ganho ou perda de Capital).

De igual modo esta medida não pode ser aplicada a obrigações sem cupão.

1.2.3 TAXA ACTUARIAL DE RENDIBILWADE

A “taxa actuarial de rendibilidade”, também designada “taxa de rendimento implí

Cita”, “taxa interna de rendibilidade”, ou - em termos anglo-saxóaicos - yield to maturity

é simplesmente uma taxa de desconto que iguala o preço da obrigação ao valor actual dos

cash flows Ouros e amortização) que a mesma proporciona. Se admitirmos que a obri

gação j vence juros periódicos num montante fixo C (cupão fixo) e que o respectivo

reembolso se dá de uma só vez dentro de j~ períodos, a taxa actuarial de rendibilidade

periódica é a taxa Y,~ que resolve a equação que se segue:

11.11

onde, para além da notação já referida, P~ simboliza o preço da obrigação j e VRnj

representa o respectivo valor de reembolso, o qual Se vence dentro de a períodos.

Ao contrário das duas medidas anteriores, a taxa actuarial de rendibilidade toma em

consideração tanto os cupões de juros como o rendimento proveniente do reinvestimento

dos cupões periódicos e os ganhos (perdas) de capital. Significa isto que a taxa actuarial

de rendibilidade se apresenta preferível às duas anteriores enquanto medida representativa

da taxa de juro proporcionada ao obrigacionista. Aliás, para muitos, a estrutura de prazos

das taxas de juro coincide com a yield curve (isto é, a representação gráfica do conjunto

das taxas actuariais de rendibilidade em função do respectivo prazo).

Contudo, a taxa actuarial de rendibilidade não é mais do que uma taxa esperada. Com

efeito, no cálculo da taxa actuarial de rendibilidade tal como apresentado na fórmula [1.1)

assume-se que (pressuposto 1) a obrigação será mantida em carteira até ao vencimento e

(pressuposto 2) que os cash flows intermédios serão reinvestidos a essa taxa. Assim, se o

obrigacionista não mantiver a obrigação em carteira até ao final ou se os juros periódicos

não forem reinvestidos à taxa esperada o rendimento realizado será diferente do esperado.

Do segundo destes pressupostos resulta, conforme teremos oportunidade de analisar

no Capítulo 3, um conjunto de efeitos indesejáveis do ponto de vista da mensuração da

remuneração proporcionada aos obrigacionistas por um dado período de tempo, dos quais

um dos mais significativos refere-se ao facto de, em equilíbrio, duas obrigações com o

mesmo prazo poderem apresentar a diferentes taxas actuariais de rendibilidade apenas

porque vencem cupões de juros de magnitude diferente. Assim, a estrutura de prazos das

taxas de juro pode - como concluiremos no referido Capitulo 3 - ser melhor representada

pelo conjunto das taxas à vista (spot reter).

1.2.4 TAXA À VISTA

A “taxa de juro à vista” ou, em terminologia anglo-saxónica, “spot rate” para um

dado prazo é, por definição, a taxa de juro implícita no preço contratado para uma obri

gação de cupão zero do mesmo prazo, ou seja, é o yield te maturity dessa obrigação10.

9 valor calculado como segue: (l0O$OO/800SO0) x 100%.

30

lO «fise apot inlerear rale of a given malurity is defined as lhe yield ou a pure discount bond of lhe malurity” Vasicek eFong (1982, p. 341).

3]

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS li MODELOS DINÂMICOS DEFINIÇÃO DE ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO E CONCEITOS CONEXOS

Assim, uma vez conhecido o preço de uma obrigação com prazo t a taxa spor para

esse prazo será facilmente calculada com auxilio da fórmula que se segue:

VRt’Rt= _j~-4 -1

onde, Rt simboliza a taxa spot para o prazo 1, mantendo a demais notação o signifi

cado anteriormente explicitado.

As taxas à vista são, portanto, as taxas de juro que os agentes económicos vão, de

facto, receber pelo empréstimo de fundos pelo período respectivo, desde que mantenham

a obrigação em carteira até à sua amortização. Trata-se, assim, de uma taxa de juro efec

tiva e não meramente potencial ao contrário do que acontece com a taxa actuaria] de ren

dibilidade.

Inversamente ao que se passa com as taxas actuariais de rendibilidade calculadas a

partir de obrigações com cupão, em equilíbrio, teoricamente, existe uma única taxa à vista

para cada prazo11. Assim, as taxas spot são não só as mais indicadas para descontar para

o presente um qualquer valor futuro, mas também são as mais adequadas para representar

as diferentes taxas de juro que são contratadas pelos agentes económicos para diferentes

prazos.

(l.21

das taxas de juro à vista para aplicações com vencimento em períodos consecutivos

(digamos Ei. e 1) é possível determinar o rendimento marginal correspondente a manter o

investimento entre a e t. É a este rendimento marginal que se atribui a designação de

taxa de juroforwardl2.

Em termos de linguagem matemática, poderemos exprimir as taxas a prazo nos

moldes que se seguem:

(1 ÷Rdt — i [l.3j

(1 +Rtdt.I

onde, para além da notação já conhecida, P1 representa a taxa de juro a prazo para

aplicações entre Ei. e!.

As taxas a prazo, tal como as taxas spot, são únicas para cada prazo. Assim, qual

quer delas é, em geral, preferível às taxas actuariais de rendibilidade para descrever a

estrutura de prazos. Na realidade, a generalidade dos autores parece concordar que o con

ceito de taxa de juro é melhor representado pelo uso de taxas spar (ou pelas inerentes

taxas forward) do que pelo uso de taxas actuariais de rendibilidade, excepto, claro está,

quando se tratar de obrigações sem cupão, caso em que taxa actuarial e taxa spot coin

cidem.

Assim, até ao Capítulo 3, altura em que nos ocuparemos da relação entre a estrutura

de prazos das taxas de juro e os preços das obrigações com cupão, associaremos o con

ceito de estrutura de prazos das taxas de juro às taxas de juro implícitas nos preços de

obrigações sem cupão.

Em suma, a estrutura de prazos das taxas de juro pode ser definida como o espectro

de yields ia maturiiy calculadas a partir de um conjunto de obrigações de cupão zero (ou

1.2.5 TAXAS A PRAZO

Existe uma outra forma de exprimir a estrutura de prazos das taxas de juro. Com

efeito, conhecida a estrutura de taxas à vista é possível calcular as denominadas “taxas de

juro a prazo” ou, em terminologia anglo-saxónica, “forward ratas”. Na realidade, a partiç

Na realidade, se duas obrigações de cupão zero e idêntico risco de crédito apresentarem o mesmo prazo mas diferentes taxas sprn. os aforratlores tentam adquirir a obrigação com maior taxa spot e tentam vender a obrigação queaufira menor remuneração. Da alteração na procura e na oferta destas obrigações resultarão alterações de preçoa e, inerentemente, alterações dat taxas de juro spor que só cessarão quando ambas as obrigações proporcionarem a mesmaremuneração. Donde, apenas esporadicameole - isto é, até que se reponlsa o equilibrio - ae podem encontrar diferentestaxas spot pan activos com o mesmo prazo, desde que, evidentemente, estes apresentem a mesma qualidade creditícia,o mesmo regime fiscal, etc.

32

l2 “ç.j lhe forward rale for a given period in tht fulure is lhe marginal rale of retum from conmitting ao iovestment in

a discount bond for one more period ( Vasieek e Fong (l982, p. 34l).

33


seja, taxas de juro .rpot)’3 diferindo entre si apenas pelo prazo de reembolso e transaccio

náveis em mercados perfeitos’4.

1.3 TAXAS DE JURO E RISCO

A cedência de fundos por um determinado período contra uma determinada remu

neração envolve riscos. Importa, assim, analisar de que modo o conceito de estrutura de

prazos das taxas de juro se relaciona com o risco, ou melhor, com determinados tipos de

risco15. Em particular, vejamos de que modo os usualmente denominados “risco de

incumprimento” e “risco de taxa de juro” interferem com a estrutura de prazos das taxas

de juro.

1.3.1 RISCO DE INCUMPRIMENTO

Por “risco de incumprimento”, “risco de crédito” ou “risco de falência” (default risk

em linguagem anglo-saxónica) designa-se o risco inerente à possibilidade de a entidade

emitente da obrigação não proceder ao atempado cumprimento do serviço da dívida

(juros e reembolso). Regra geral, quanto maior for o risco da entidade emitente maior é o

“prémio de risco” (isto é, o excesso de taxa de juro comparativamente a um emitente de

risco mínimo) exigido pelo obrigacionista.

Para que a estrutura de prazos das taxas de juro dê, de facto, uma ideia da relação

existente entre as taxas de juro para os diferentes prazos é necessário que a informação

13 Em próximos capltulos veremos como calcular a estrutura de prazos de taxas de juro a partir de obrigações comcupio.14 Aqui entendidDs como mercados competitivos onde as obrigações apresentam preçoa iguais ao valor actual dos res

pectivos rendimentos futuros, dadas as taxas de juro correntes para aplicações alternativas de idêntico risco e idênticoprazo. Ou seja, trata-se de mercados onde as situações de desequilíbrio são objecto de correcção imediata.~ Aliás, vimos já em que consiste o chamado “risco de reinvestimenlo”, ou seja, a incerteza quanto à taxa a que podem

ser reinvestidos os rendimentos petiõdicos e as amortizações parcelares.

34

usada para o cálculo dessas taxas de juro respeite a obrigações com o mesmo risco de

incumprimento.

Todavia, não é fácil reunir um conjunto de obrigações que - cobrindo todo o

espectro de prazos - se distingam somente pelos prazos de reembolso, apresentando,

designadamente, o mesmo risco de crédito. Na prática, a constituição de um tal cabaz de

obrigações apenas é possível quando limitado a títulos públicos, ou a títulos emitidos por

(grandes) empresas sem risco de crédito (caso existam).

Aliás, a utilização de títulos com risco mínimo de falência (usualmente denominados

activos sem risco de crédito) tem ainda a vantagem de facilitar a avaliação de obrigações

com efectivo risco de incumprimento, na medida em que as taxas de juro inerentes a

activos sem risco servem como padrão de comparação à avaliação das demais obrigações.

Assim, regra geral, as taxas de juro que descrevem a estrutura de prazos respeitam a

obrigações emitidas pelo Estado ou por outros emitentes de igual qualidade creditícia.

1,3.2 RISCO DE TAXA DE JURO

O risco de taxa de juro respeita ao efeito que a alteração do nível das taxas de juro

provoca no preço das obrigações. Na realidade, se, como veremos adiante, em equilíbrio,

o preço de uma obrigação é igual ao valor actual dos cash flows futuros por ela gerados

(juros e amortização), alterando-se as taxas de juro a que se desconta para cada um desses

cash flows, ceteris paribus, altera-se o preço da obrigação, gerando-se, consequente

mente, ganhos ou perdas de capital para o seu detentor.

O risco de taxa de juro pode ser medido através da duration. Trata-se de um instru

mento de análise, atribuído a Macaulay, E’6, que pretende medir a sensibilidade do preço

de uma obrigação a alterações da taxa de juro do mercado. Daí que, a duration tenha sido

16 Maeaulay, E (1938), obras que nso acedcmos directamente, limitando-nos ao relato de outros autores,

35

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÃMICO5DEFINIÇÃO DE ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO E CONCEITOS CONEXOS

eleita, fundamentalmente desde os anos setenta a esta parte (altura em que se intensificou

a volatilidade das taxas de juro), como um indicador privilegiado do risco de taxa de juro.

segue:

A partir da estrutura de prazos das taxas de juro a durado,, calcula-se como se

txCFt~~ Pi~(l÷R1)t [1.4)

onde CF~,j representa o fluxo gerado pela obrigação j na data É, e D~ representa a

durado,, da obrigação j.

Por sua vez, quando calculada a partir de taxas actuariais de rendibilidade, como é

muito frequente, a durado,, obtém-se do seguinte modo:

D_IV txCFt,jJ~~lrJitt1 (1÷y~

onde, tal como anteriomlente, Y~ representa a yield ro maiurity da obrigação j.

[IA’]

Pode interpretar-se a durado,, como a elasticidade do preço da obrigação face à

alteração da taxa de juro, ou seja, corno a variação percentual do preço da obrigação face

a uma variação percentual unitária, ceteris paribus, no factor um mais a taxa de juro.

Todavia, uma vez que a função que relaciona o preço da obrigação com a taxa de juro é

convexa e não linear, a sua validade restringe-se - como assinalam muitos autores - ao

caso de pequenas alterações das taxas de juro17.

Por outro lado, a durado,, não é mais do que a média, dos prazos dos diferentes

fluxos (juros e reembolso) da obrigação, ponderada pelo peso que o valor actual de cada

um desses fluxos representa no preço da obrigação. Donde, tratando-se de uma obrigação

sem cupão a durado,, coincide com o respectivo prazo.

Daí que, frequentemente, seja sugerida uma medida alternativa: a coa vexiry. Trata-se da segunda derivada do preçoem relação à taxa de juro a dividir pelo preço da obrigação. Sobre esta medida ver, entre outros, Fabozzi (1993, p. 75-87).

Assim, sendo a estrutura de prazos das taxas de juro calculada a partir de obriga

ções sem cupão, poderemos entender essa estrutura de prazos como uma relação entre

taxas de juro e durations, calculadas a partir de um conjunto de obrigações sem risco de

falência.

1.4 CONCLUSÕES

Se considerarmos duas obrigações de cupão zero, diferindo entre si apenas quanto

ao prazo de reembolso do capital mutuado, mantendo idêntico risco de incumprimento,

regime fiscal, método de reembolso e demais caracterfsticas, somente o diferente prazo de

vencimento justificará uma diferença de taxas de juro entre as duas obrigações.

A “estrutura de prazos das taxas de juro” é, por definição, o espectro das taxas juro

que igualam o valor actual de um conjunto de obrigações de cupão zero aos preços res

pectivos, contratados em mercados obrigacionistas, por hipótese, perfeitos, sendo que

essas obrigações de cupão zero diferem entre si, ceteris paribus, precisamente, pelos

prazos de reembolso.

Noutros termos, se dispusermos de um conjunto de obrigações de cupão zero, per

tencentes a um segmento homogéneo’8 de um mercado obrigacionista competitivo, obser

vando os respectivos preços, poderemos facilmente calcular as taxas de juro spot (,yields

lo marurity de obrigações de cupão zero). A estrutura das taxas spot assim calculadas é,

por definição, a estrutura de prazos das taxas de juro.

A estrutura de prazos das taxas de juro dá-nos, então, a relação entre taxas de juro

de prazos diferentes, num dado instante. Isto é, a estrutura de prazos das taxas de juro não

IS Querendo com isto dizer-se que as obrigações apresentam, designadamente. o mesmo risco de crédito e o mesmo

regime riscal, apenas diferindo entre si quanto ao prazo de vencimento.

3637

TAXAS DEJURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS

é uma representação dinâmica19 das taxas de juro, mas tão somente uma “efígie” dos Capítulo 2mercados de dívida no momento em que foram contratados os preços das obrigações que

estão subjacentes ao cálculo das taxas spot. Teorias Explicativas da Estruturade Prazos das Taxas de Juro

BJRLIOGRAFiA

Barreto, 1. (1991) Obrigaçôes: Análise e Gestão, 21 Edição, Texto Editora, 132-155. A quantificação e explicação da estrutura de prazos das taxas de juro tem ocupado

sucessivas gerações de economistas, os quais têm divergido tanto nos métodos de quantiCi-uz, R., Nascimento, A. e Alves, C. (1994) Instituições e Mercados Financeiros, Vol. 1, ficação quanto na explicação das causas que subjazem à diferença de taxas de juro em

Texto de apoio às aulas da disciplina de “Instituições e Mercados Financeiros”, função do prazo do empréstimo obrigacionista.

Universidade Católica Portuguesa - Centro Regional do Porto, 61-102.

A questão da determinação empírica da estrutura de prazos das taxas de juroDouglas, L. G. (1988) Yze!d Curve Analyszs: The Fundamentais of Rzsk and Return, New

York Institute of Finance, 54-76 e 23 1-308. ocupar-nos-á em próximos capítulos, pelo que, por ora, nos concentraremos nas teoriasexplicativas do comportamento das taxas de juro em função do prazo da obrigação.

Fabozzi, E J. (1993) Jiond Markets - Analysis and Strategies, Second Edition, Prentice

HaIl ffiternational Editions, 36-87. Em concreto, no presente capítulo, abordaremos as “teorias tradicionais da estrutura

de prazos das taxas de juro”, assim denominadas por contraposição às modernas abordagensMacaulay, F. (1938) Some Theoretical Problems Suggested by the Movemeni oflnterest - . ,,

estocasttcas da estrutura de prazos das taxas de Juro, em que radicam as mais recentesRates, Bonds, Yieids, and Stock Prices In the United States since 1856, Columbia . - . -

explicaçoes do comportamento das taxas de Juro, as quais sera dedicada a Parte III.lJmversity Press, New York.

Vasicek, O. A. e Fong, H. O. (1982) “Term Structure Modeling Using Exponential Entre as teorias tradicionais existem duas que apresentam abordagens diametral

Splines”, The Journal ofFinance May, 339-348. mente opostas. Uma delas, a “teoria pura das expectativas”, assenta a explicação do com

portamento das taxas de juro presentemente contratadas nas antecipações que os agentes

económicos formulam relativamente às taxas de juro futuras, enquanto a outra, a “teoria

da segmentação do mercado”, refuta o ef~ito das expectativas, assentando a sua expli

cação no fraccionamento institucional do mercado em função do perfil de preferências de

prazos dos investidores.

Outras teorias existem, a “teoria do prémio de risco” e a “teoria do habitat prefe19 Veremos adiante, que, em determinado contexto, é possível efectuar uma análise dinâmica da estrutura de prazos das rido”, que apresentam explicações híbridas relativamente às teorias anteriormente refetaxas de juro, inferindo a partir da estrutura de prazos presente a(s) estrutura(s) de prazos futun(s) desde que admitida aimutabilidade das expectativas dos agentes económicos. ndas, sendo que qualquer delas não ignora nem o papel das expectativas sobre as taxas

38 39

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOSTEORIAS EXPLICATIVAS DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

futuras Da determinação das taxas presentes, nem a existência de preferências dos investi-

dores relativamente a certos perfis de prazos.

2.1 A TEORIA DAS EXPECTATIVAS

Num cenário em que as obrigações diferem entre si, cereris paribus, pelo prazo de

Vencimento, a “teoria das expectativas” (ou “teoria pura das expectativas”) considera que

as taxas de juro de dois diferentes prazos divergem Somente por via das expectativas dos

agentes económicos relativamente ao comportamento futuro das taxas de juro, para apli

cações correspondentes ao período que medeia entre aqu~1es prazos.

2.1.1 A VERSÃO DE LUfl

A teoria das expectativas, cuja versão definitivamente formalizada e sistematizada é

usualmente atribuída a Lutz (1940)20, pode ser facilmente enunciada considerando os

dois investimentos alternativos seguintes, correspondentes à aplicação de uma dada soma

monetária, por a períodos, em segmentos obrigacionistas homogéneos:

- Investimento 1: aquisição de obrigações de cupão zero com vencimento na data n(ou seja, após g períodos).

- Investimento 2: aquisição de obrigações de cupão zero com prazo de um período,

seguida do sucessivo reinvestimento (igualmente por um período) do produto do

reembolso.

20 “Among econornisls, lhe expectations theory of lhe term a[niclure lias IOng served as the basis for diacusaion. The

proposition thal expectations of lhe leveI of fulure inlerest rales influence Lhe slnicture dales back ai leasl lo In’iiigFisher, Severa! writen dudng lhe Ihirlies developed Iheories along Ihis line. Use eheory was funher refined by J. R.Eicks, and perhsps ils mosl areiculale apolcesman was E A. Lute.’ Malkiel (1966, p. 17).

40

1

Por cada unidade monetária aplicada no investimento 1, o obrigacionista terá, na

data ii, um valor igual a (I+Rn)n, representando Rn a taxa de juro periódica corrente (no

momento do investimento, por definição o momento Q) para aplicações de prazo a.

Por sua vez, a segunda alternativa de investimento, apresentaria, em termos espe

rados, por cada unidade investida, na data a, um valor igual a:

(l+R1)(l+0RE21) ... (l÷1~R~1)

sendo que, 0R~1 (t=2, 3 n) representa a taxa de juro de prazo 1 que, no

momento fl, se espera que venha a vigorar para aplicações com vencimento na data 1’ ou

seja para investimentos entre os momentos hi. e 1; enquanto R1 simboliza a taxa de juro

corrente (isto é, vigente no momento p) para aplicações de 1. período, logo com venci

mento na data 1.Segundo Luta se, como ele próprio crê:

- os agentes económicos formularem expectativas homogéneas quanto à evolução

futura das taxas de juro de curto prazo e, complementarmente, tiverem a certeza

absoluta sobre as suas expectativas21;

- não existirem custos de transacção, tanto para os emitentes como para os obrigaci

onistas;

- existir perfeita mobilidade dos diversos agentes económicos entre os diferentes

segmentos de prazos do mercado de taxas de juro, na prossecução do objectivo de

maximização do rendimento auferido;

então será indiferente, em situação de equilíbrio do mercado, aplicar uma unidade

monetária de acordo com o postulado pelo investimento 1 ou de acordo com a alternativa

definida pelo investimento 2.

Com efeito, verificados estes pressupostos, por arbitragem, as taxas de rentabilidade

dos dois investimentos tenderão a ser iguais, excepto durante o período de ajustamento.

21 “Everybody concemed knows what Use fuiure ahon-lenss rales wiIl be, i.e. there is accurale forecasaing inche market

Lula (1940, p. 499),

41

TAXAS DE JURO~ ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS TEORIAS EXPLICATIVAS DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

Ilustremos:

a) Se, por hipótese, R1, Rn e ORe~l (t2, 3 n) forem tais que o valor futuro de

uma unidade monetária aplicada de acordo com a estratégia 1 exceda o valor futuro espe

rado de uma unidade monetária aplicada nos termos definidos pelo investimento 2, os

investidores tendem a alienar obrigações de curto prazo e a adquirir, com o produto dessa

alienação, obrigações de prazo a. Ao concretizar-se esta transformação de portfóiio.ç,

aumenta tanto a procura de obrigações de prazo a como a oferta de obrigações de curto

prazo. Em concomitância, a taxa de juro corrente para aplicações de prazo a tende a

descer (quer no mercado primário quer no mercado seçundário), enquanto a taxa de juro

de curto prazo desenha um movimento ascendente. Evidentemente, a alteração das taxas

de juro só cessa quando for estancado o facto que lhe deu origem, o mesmo é dizer, o

investimento de longo prazo deixe de ser mais atractivo que o investimento sucessivo em

obrigações de curto prazo22.

b) Sendo a situação inversa da hipótese considerada em a), os investidores tendem a

alienar obrigações de longo prazo, adquirindo posições de curto prazo, o que conduz ao

aumento das taxas de juro de longo prazo e à diminuição da taxa de juro de curto prazo,

até que as duas estratégias de investimento se tomem indiferentes.

2.1.1.1 Taxas de Juro à Vista e Taxas de Juro a Prazo

A taxa de juro à vista ou, em terminologia anglo-saxónica, taxa de juro spot para

um dado prazo é, como vimos no Capítulo 1, por definição, a taxa de juro implícita no

preço contratado para uma obrigação de cupão zero do mesmo prazo, ou seja, é o yietd ro

ma:urity dessa obrigação.

22 Note-se que o processo de ajustamento descrito, embora não contemple a mutação de expectativas quanto à evo

lução futura das taxas de juro, não exclui essa possibilidade, sendo perfeitauu,ente admissível que o reequillbrio ocoutupor uma dupla via: alteração das taxas correntes (de curto e longo prazo) e mutação das expectativas quanto à evoluçãofutura das taxas de juro. Aliás, co,sl’orn,e veremos adiante, autores existem, como Meiselmaus (1962) e Vau Home(1965), que provaram empiricamente que as expectativas dos investidores são revistas em função das taxas dejuro correntes, jato é, mais cot,crelaus,ente, em função dos erros de previsão cometidos na antevisão das taxas de juro comentesde curto prazo.

As taxas à vista são, portanto, as taxas de juro que os agentes económicos vão, de

facto, pagar (receber) pela (o) utilização (empréstimo) de fundos pelo período respectivo.

Conhecida a estrutura de taxas à vista é possível, como vimos no Capítulo 1, cal

cular as denominadas taxas de juro aprazo. Com efeito, a partir das taxas de juro à vista

para aplicações com vencimento em períodos consecutivos (digamos Li e D é possível

determinar o rendimento marginal correspondente a manter o investimento entre ki e ~.

Mas, este rendimento marginal é, nos termos do modelo de Lutz, a taxa de juro que os

agentes económicos esperam que venha a vigorar para aplicações de curto prazo (.1período) na data Li. Temos, assim, que desde que assumida a validade da teoria das

expectativas, as taxas a prazo implícitas na estrutura de taxas à vista não são mais do que

as taxas de curto prazo que os agentes económicos prevêem que venham a vigorar no

futuro. Ou seja, são as taxas de juro spo: esperadas.

2.1.1.2 Relação Entre as Taxas de Curto Prazo e Longo Prazo.

A Forma da Yield Curve

As taxas de juro à vista de longo prazo (convencionalmente, prazo Lai) podem,

nos termos de Luta, ser descritas como uma média geométrica23 das taxas de juro de

curto prazo, actuais e futuras, calculada nos termos seguintes:

= [(i+F1) (1-á-?2) ... (i+Ft)Jl/t -

representando F~ (t = 1, 2 t) a taxa de juro forward para aplicações com venci-

mento em t.

Consequentemente, a relação que se estabelece entre as taxas de juro à vista deprazos diferentes explica-se pela evolução esperada das taxas de curto prazo.

Concomitantemente, qualquer alteração na evolução esperada das taxas de curto tem

reflexo imediato (salvaguardados os períodos de ajustamento) nas taxas de longo prazo.

23 ‘We casa conceive ofelae long-tcni~ mie as a sort ofaverage ofthe futuro slaott-teruu rates’ Lutz (1940. p. 500).

4243


Se representarmos a estrutura de prazos das taxas de juro em termos gráficos, reser

vando o eixo das ordenadas para as taxas de juro spot e o eixo das abcissas para o prazo

dessas mesmas taxas de juro, obtemos a, comummente, denominada “yield curve” ou, em

português, “curva de rendimento”2”,

Assim, atendida a relação entre as taxas de juro à vista e as taxas de juro a prazo, a

forma ascendente da yield curve denuncia expectativas de crescimento das taxas de juro

de curto prazo, enquanto a forma descendente da mesma curva é compatível com expec

tativas de decréscimo das taxas de juro futuras de curto prazo. Complementarmente e

evidentemente, se a curva de rendimento apresentar a forma horizontal tal significa que o

mercado prevê a manutenção finura das taxas de juro de curto prazo,

Note-se, contudo, por exemplo, que para que a yield curve seja monotónica cres

cente, isto é, RL> Rtl (t = 1, 2, ... n) não é necessário, embora seja suficiente, que todas

as sucessivas taxas de juro de curto prazo esperadas cresçam monotonicamente, ou seja,

Ft > F~i (t = 1,2,... n), Admita-se, a título ilustrativo, que F1 = 10% <E2 = 15%> E3 =

14%. Então, teremos, R3 = 12,98% > = 12,47%> R1 = 10%.

Com efeito, prova-se25 que, para que a estrutura de prazos das taxas de juro seja

crescente, basta que F~> R~1 (t = 1, 2, ... n). Analogamente, uma estrutura descendente

das taxas de juro exige apenas E1 < Rt,l (t = 1, 2, ... n),

2.1.1.3 Previsão da Estrutura de Prazos Fatura

Conhecendo a estrutura de prazos das taxas spot, poderemos não só calculas astaxas de curto prazo previstas para o futuro (taxas a prazo), como obter as taxas previstas

para aplicações de qualquer outro prazo (previsão das taxas spot para qualquer prazo)26.

24 “rhe yield curve is lhe moal widley tssed graphic device for exatnínjng Lhe relalionship between yield and tenu Lo

mattiriiy ofcomparable debl securilies” Malkiel (1966, p. 1).25 Vide demonstração em MaIkiel (1966, p. 22).

26 Como assinalam Vasicek e Fong (1982, p. 341), “C..) since it is a forecast of lhe future sprn iates, we cais also infer

from it lhe conesponding forecast ofyields, discount ftmctions, and ali olher characlerizatjons of lhe future term slnselure”.

Com efeito, considerem-se dois investimentos alternativos, um dos quais consiste

em efectuar uma aplicação por 1 períodos seguida do reinvestimento, do montante reem

bolsado, pelos a períodos seguintes. O investimento alternativo consiste em efectuar uma

única aplicação pelos i±a períodos.

É possível demonstrar27 que nos termos do modelo de Luta o mercado só se encon

trará em equilíbrio quando se verificar a equação seguinte:

(1÷R1) tO+M) 5 = (I+R~) t+s

onde M1,5 representa a taxa de juro prevista para aplicações de prazo a numa data

futura 1, mantendo a demais notação o significado que anteriormente lhe foi atribuído.

Transformando a equação anterior, teremos:

(l+Mt,s) S= (1÷Rt+5) t+s(1+R~Jt

Logo, em notação alternativa, provavelmente mais explícita, virá:

(1+M )s_t,s — (l÷Ft+1)(l+Ft+2) ... (1+F~5).

Temos, assim, que, por via das taxas forward, pressupondo que se mantêm as

expectativas dos agentes económicos quanto ao comportamento futuro das taxas de curto

prazo, é possível prever as taxas futuras para prazos médios e longos, isto é, é possível

caracterizar a estrutura de prazos futura das taxas de juro.

44

27 Vide demonstração no Anexo 1.

45

TAXAS DEJURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOSTEORIAS EXPLICATIVAS DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

2.1.2 A VERSÃO DE MALKIEL

A teoria de Lutz motivou reacções diversas. Em alguns casos, os seus críticos assu

miram uma ruptura com o papel exclusivo das expectativas na explicação da estrutura de

prazos das taxas de juro; em outras circunstâncias, simplesmente contestaram o processo

Iutziano no que concerne à incidência sobre as taxas de juro de curto prazo em detrimento

da formulação de expectativas sobre taxas de juro de longo prazo, continuando, contudo,

a aceitar a explicação do comportamento estrutural das taxas de juro a partir das previsões

dos agentes económicos.

É nesta última linha que se insere o modelo de Mallciel28, Com efeito, este autor

não rejeita o papel das expectativas no equilíbrio do mercado obrigacionista, pelo con

trário, assume-o como correcto e de primordial importância para a compreensão da estru

tura de prazos das taxas de juro29. Malkiel não procurou uma explicação alternativa ou

complementar à de Luta, simplesmente libertou a teoria das expectativas do pressuposto

(tido por contrário à observação da prática quotidiana) de que o investidor decide qual o

prazo por que investe com base nas taxas de juro de curto prazo esperadas, bem como do

pressuposto (também tido por irrealista) de que o investidor acredita que é capaz de

estimar com exactidão as taxas de juro de curto prazo futuras.

Isto é, o modelo de Malkiel procurou salvaguardar o papel das expectativas na

explicação do comportamento das taxas de juro face às críticas de inconsistência com o

comportamento adoptado pelas pessoas no mercado de dívida30.

Em concreto, separam o modelo de Malkiel da formulação de Luta, os seguintes

pressupostos:

a) No modelo de Malkiel, ao contrário do modelo de Lutz, as decisões são

tomadas com base no preço das obrigações e não com base nas taxas de juro de curto

28 Vide Maikiel (1966, p. 271 e sgs.).

29 “rbis sludy calces Lhe positiona Ihat the Lraditional expectational approach ia, iri principIe, correct and of substanlial

imporlançe in underscanding Lhe actual behavior ol’ narket intereal rales ol securilies with differenc terras to malurity.’(Malkiel, 1966p.50).30 Crítica alribuída por Malkiel (1966, p. 24) a Culberlson.

46

prazo futuras, o que, no entender do autor, está mais próximo da prática dos investi-

dores;

b) Em segundo lugar, em vez de requerer expectativas definitivas e absolutamente

certas acerca do comportamento futuro das taxas de juro de curto prazo durante um

período longo de tempo, o modelo de Malkiel requere tão somente que seja previsto o

intervalo de variação para a taxa de juro de longo prazo num período de planeamento de

curto prazo, durante o qual alternativas estratégicas de investimento são comparadas.

Contudo, talvez, a melhor e mais expedita maneira de se compreender a versão de

Malkiel da teoria das expectativas (e o que a separa de Lutz), seja o recurso a um

exemplo numérico.

Assim, admita-se que um dado investidor pretende fazer um investimento por, por

exemplo, um ano, para o que dispõe de duas estratégias alternativas: aquisição de uma

obrigação de cupão zero com vencimento a um ano ou aquisição de uma obrigação de

cupão zero com prazo de 5 anos.

Suponha-se, ainda, que o valor de reembolso de cada uma das obrigações é 1000$ e

que a taxa de juro anual actualmente vigente para aplicações a um ano é de 8%.

Admita-se, também, que o investidor espera que, passado um ano sobre a data do

investimento, se verifique um de dois estados da natureza possíveis31: a taxa de juro para

aplicações de prazo igual a 4 anos ou é 7% ou é lO%32. Tal significa que, passado esse

31 Não é realista o pressuposto de que apenas dois estados da nalureza são prováveis. Na realidade, Malkiel assume

que existe um intervalo possível de flutuação das taxas de juro e nlo apenas duas taxas de juro allemalivas, Todavia,para aquele autor, ‘(...) by selecting lhe extremea of lhe posaible range of price movements we achieve the aame resultas would be obtained by use or lhe uiaiform distribution over lhe entire range (...)“ (Malkiel 1966, p. 63).32 No que conceme à determinação do intervalo de flutuação de taxas de juro previsível, Malkiel admite que “ (...) it is

plausible that invrstors’ expectations wilI be more heavily influenceil by lhe experience of lhe moro immediate past(..j”, sendo que adicionaimenle o autor sugere “ (...) that inveslots fonu lheir expectntiont of lhe li,nhls of lhe normalrange as if lhey took lhe avenge of rales over some period in lhe ininediate past and added a spccified number ol standard devialions co eilher side ofaverage ( . Qualquerdas citações refere.ae a MaNdeI (1966, pgs. 83 e 84).

47


período, a obrigação com um prazo de 5 anos valerá ou 683$00 ou 762$90. Estamos,

assim, na presença de um jogo contra a natureza, que admite apenas dois prémios possí

veis. Se, como pressupõe Mailciel, considera’~os que a utilidade dos investidores pode

ser representada por uma função utilidade à Van NeumannMorgenstem33 e ainda consi

derarmos que é de 50% a probabilidade34 de se Verificar uma taxa de juro de 7% e de

50% a probabilidade de se verificar uma taxa de juro de 10%, a utilidade do jogo, ou seja,

o valor esperado dos prémios, ou em outros Lermos, o valor esperado da obrigação de

longo prazo para o momento da sua alienação, isto é, passado um ano sobre a data de

aquisição, é de 723$35.

Assim, se todos os investidores formularem idênticas expectativas, e se não exis

tirem custos de transacção, por arbitragem, o preço de equilíbrio actual das obrigações

com um prazo de 5 anos será de 669$36 (dada a taxa de juro vigente para aplicações de

curto prazo), enquanto que o preço de equilíbrio para aplicações a um ano será de 926$37.

Deste modo, em equilíbrio, o mercado obrigacionista apresentará uma taxa de juro

à vista de 8,00% para aplicações a um ano e uma taxa de juro à vista de 8,37%38 para

aplicações com Vencimento a 5 anos.

Em suma, segundo Mallciel, os agentes econômicos antecipam não as taxas de juro

de curto prazo, para todos os prazos, mas sim a evolução, no curto prazo, das taxas de

juro de todos os horizontes de prazos ou, melhor dizendo, os investidores decidem entre

obrigações de curto e longo prazo com base nas suas expectativas sobre potenciais

ganhos (ou perdas) de capital registáveis num período de planeamento curto.

33 Sobreeste assunto vide, entre outros, Sable (1991),

No que concen,e à definição da probabilidade associada a cada um dos estados da natureza, Majiciel sugere que, umavez que os consumidores ignoram as probabilidades dos diferentes estados, se considere que Iodos os estados são igualmente prováveis.

Noutros termos, a taxa de juro que se espera que venha a vigorar, um ano decorrido sobre a data de aquisição, panaplicações de 4 anos, é de, cerca de 8,45% [a(I000fl23)I/4.I]36 calculado como se segue: 723$/(I+8%) = 669$.

37 Calculado como se segue: I000$/(I+8%) = 926$,38 Calculada como se segue: (I000$/669$fl/5 - 1 = 8,35%,

48

Em termos de formulação matemática, o equilíbrio malkieliano pode ser resumido

nos termos que se seguem.

Sejam:

e

onde:

n-l = 1/o÷1Re ~n-It+1,n-l)

Pt,

- t~t+I, n-l representa o preço, por cada unidade monetária de reembolso, que, em 1,se espera que venha a Vigorar em 1±1., para obrigações de cupão zero de prazo nJ;- 1Re~+ I,n-I representa a taxa de juro que, em t, se espera venha a vigorar em t+I,

para aplicações de prazo n-l;

- ~ representa o preço, por cada unidade monetária de reembolso, registado em ~,

para obrigações de cupão zero de prazo g;

- R1,~ representa a taxa de juro à vista vigente no momento 1, para aplicações de

prazo ii.

Donde, em equilíbrio, teremos:

J’~L+l, n_i/O+Rt,i) = Pi, ~

onde R~,1 representa a taxa à vista, vigente em L para aplicações de prazo 1.

Finalmente, conjugando a equação acabada de escrever com as duas equações ante

cedentes teremos:

(1+Rt~) ° = (l+R1 1) (l÷LReL+I ~_~) n-l

A equação assim obtida traduz o equilíbrio da estrutura de prazos das taxas de juro,

nos termos definidos por Malkiel.

49

TAXAS DEJURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS TEORIAS EXPLICATIVAS DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

2.1.3 TESTES EMPÍRICOS ÀS HIPÓTESES DA TEORIA DAS EXPECTATIVAS concreto, Meiselman admite que as taxas forward de curto prazo (o mesmo é dizer, as

taxas esperadas de curto prazo) são Sujeitas a revisões em função do erro de previsão2.1.3.1 O Modelo de Meiselman constatado para a taxa de juro spot corrente, ou seja:

Foram vários os investigadores que tentaram testar empiricamente o papel das Re Ret+n ã~ - ~iR t,ie)

t t+n l~t-Iexpectativas na explicação da estrutura de prazos das taxas de juro. Seria, contudo,

apenas com Meiselman (1962) que seria definido um teste empírico que admite erros namantendo a notação o significado anteriormente explicitado.formulação das expectativas39. Com efeito, antes de Meiselman, os testes empíricos de

validação da teoria de Luta partiam, explicita ou implicitamente, da (contestável) hipótese Por outro lado, se assumirmos uma relação linear entre o erro de previsão e a

de que, para a teoria ser verdadeira, as taxas spot verificadas ei posteriori teriam de ser revisão da previsão teremos:

idênticas às taxas forward previamente previstas, pelo que não era contemplada a possibi

lidade de o mercado cometer erros de previsão40. ARe~+~ 1 a ÷ b Et,

O modelo de Meiselman consiste em admitir que se a teoria das expectativas estiver sendo que,

correcta será consistente com os dados históricos, mesmo que as previsões não sejam sis- ARe1+n = (~Re1+11 1 - 51Re5+0, ~ e Et = (Re,l -

tematicamente correctas, na medida em que os investidores alteram as suas expectativas

sempre que se verificam circunstâncias diferentes das que tinham sido antecipadas. Em Estimando a equação -

ARe ,i=a+bEt+ut,t-t-n39 “Meiselman was lhe first lo provido as, operational test of lhe expectations hypotesis whicl, did not depend for itsvalidity on accurate forecasting.” Malkiel (1966, p. 30)40 Ainda antes de Lutz formular a sua versão da teoria das expectativas, Macaulay (noa relatos de Malkiel (1966) e na qual u1 representa o termo de perturbação aleatório da t~ma observação, a partirMeiselenan (1962)), estudando, para um período prévio à existência do Federal Reserve system, a influência das variadas séries de Durand4l para o período de 1901-1954, Meiselman constatou que as alterações das taxas de cal? money sobre as taxas dc juro das aplicações a 90 dias, constatou que estas taxas reagiam - talcomo poalula a teoria das expectativas - em amecipaçso de alterações na cal? nsoney, sendo que reagiam de modo insu- ções nas taxas forward anuais estão altamente correlacionadas com os erros de previsão,ficiente, pelo que, se descontado o factor sazonal, não existe evidência de sucesao nas previsões.Também Hickman (1943), em estudo não publicado, a que Meiaelman (obra cii. p. 12) e Malkiel (obra cii. ~,. 28) pelo que as alterações de expectativas estão correlacionadas com os erros cometidos nofazem referência, comparou as taxas forward e as yie?d curves respectivas relativas ao período 1935-1942 com as yieldcurve verificadas ex-post e concluiu que não existe correspondência entre as taxas de juro actuais e as taxas de juro que prognóstico da taxa de juro corrente de curto prazo.haviam sido previstas de acordo com a estrutura de prazos das taxas dejuro vigente no passado.Por último, e sem pretensões de exaustividade, mas pausa citar apenas os autores comummente referidos em sínlesesdiversas sobre o assunto, culbedaon (1957) examinou a alternativa entre uma taxa de retomo de um longo período face Note-se, por outro lado, que os resultados de Meiselman evidenciam que o coeficià remuneração proportionada pela detenção de títulos do Tesouro do curto prazo, tendo em vista testar a asserção dahipótese das expectativas segundo a qual as taxas de retomo de curto e longo prazo ardam iguais para o mesmo longo ente b é tanto mais elevado quanto menor é a maturidade do empréstimo, pelo que o erroperíodo de investimento. culbénson calculou as taxas de relomo efectivamente verificadas, para títulos do Tesouro de de previsão influencia principalmente a revisão das expectativas que se referem a perflongo praxo e para bilhetes do Tesouro de curto prazo, considerando horizontes de investimento dc 3 meses e umasemana, durante o ano de 1953. As taxas realizadas não foram iguais, o que levou o autor a concluir que a evidencia odos próximos do período corrente.empírica contrariava a hipótese das expectativas.A resposta de Meiaelman a estes estudos - consubstanciada no modelo que estamos a descrever - foi a de que a teoriada expectativas lida com taxas ex-ante, enquanto estes testes foram efectuados considerando os valores ex-pos, dastaxas de juro, as quais só coincidem com as primeiras num mundo de perfeita certeza. As previsões não têm de ser for- 41 As séries de Durasd são, no relato de diversos autores, conjuntos dc curvas de taxas de juro construídas a partir deçosasnente correctas. empréstimos obrigacionistas de empresas americanas cujo risco de falência é nulo ou quase nulo.

50 51

2.1.3.2 Os Testes de Malkicl

Malkiel não só apresentou uma formulação alternativa da teoria das expectativas

como sugeriu o modo como os investidores definem o intervalo previsível de flutuação

das taxas de juro, e ainda procedeu a testes empfricos de validação da sua teoria42.

Nos seus testes empíricos, Malkiel, partiu da hipótese de que quando o nível de

taxas de juro (representado pela taxa de juro de longo prazo) se encontra próximo do

valor mais elevado do intervalo de variação das taxas de juro previsto, o diferencial entre

as taxas de juro de longo prazo e as taxa de juro de curto prazo é diminuto, podendo

mesmo ser negativo. Pelo contrário, quando o nível actual das taxas de juro se encontra

próximo do limite inferior daquele intervalo de variação, o diferencial entre as taxas de

juro de longo e curto prazo é relativamente elevado43.

Em concreto, este autor parte do pressuposto de que o diferencial entre as taxas de

longo (L) e curto prazo (C) é uma função linear da diferença entre a taxa de bago prazo e

o valor central do intervalo esperado para as taxas de juro (LA). Especificamente, Malkiel

assume:

L - C = a + b(L - LA), sendo il eh constantes.

Após arranjo dos membros desta equação e inclusão do termo de perturbação alea

C = -a + (l-b)L + b LA + u.

tória (u),

42 Malkiel (1966, p. 82 a 101).43 Na realidade, segundo aquele autor, se as taxas de juro estão relativamente elevadas, então é mais provável que as

obrigações de longo prazo registem um ganho de capital do que uma perda. Assim, obrigações de longo prazo sâo maisatractivas do obrigações de curto prazo. Se os investidores (cotarem obter igual esperança de ganho ao longo de todo ohorizonte de prazos, as obrigações de longo prazo oecesaïtasn de apresentar una yield menor do que as taxas dejuro decurto prazo. Donde a estrutura de prazos lerá uma forma descendente, Se as taxas de juro estiverem relativamente reduzidas, a situaçao é precisamente a inversa.

52

2.1.3.3 O Modelo de Luckett

Dudley Luckett (1967) mostrou que os resultados estatísticos de Meiselman eram

tão compatíveis com a formulação teórica de Lutz quanto com a tese de Malkiel.

Para tanto, aquele autor começa por notar que se supusermos dois horizontes de

longo prazo alternativos adjacentes (~ e u±i), e calcularmos, nos termos do modelo de

Malkiel, as taxas dejuro para aplicações de longo prazo esperadas para o futuro próximo,

obtemos, por comparação dessas taxas, uma taxa forward implícita para aplicações de um

período. Em concreto:

1 + tlRet÷n1 = (1 + ~lRe~, n-i-i)”(1 +~ ~). t2.tl

Por outro lado, segundo o modelo de Luta, conforme vimos anteriormente, também

é possível obter uma previsão das futuras taxas de juro de curto prazo, recorreado à fór

mula seguinte:

1 + t1~t+n, 1 (1 ‘f R~, n÷iV~~1/(1 + R~ n)°, [2.2]

As estimativas obtidaa, não sendo de elevada qualidade, devem ser lidas tomando en cnnsideração que: (i) o coeficiente de determinação obtido é elevado; (ii) testes complementares efectuados pelo autor denunciam que o ajustamentocontabilizado nto é devido à elevada autncorrelaçâo das séries; (iii) pese embora a soma das estimativas dos coeficientes das variáveis independentes não ser um, de acordo com lestes complementares efectuados, não é rejeitada a hipótese de aqueles coeficientes efectivamente somarem 1.

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MoDnLos DINÂMICOS

Em suma, os resultados da estimação de Meiselman constituem um forte contributo

para n sustentação da teoria das expectativas.

TEORIAS EXPLICATIvAS DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

Nos termos da teoria de Malkiel, b deverá ser negativo e sigaificativamente dife

rente de zero.

Utilizando as séries de Durand - para o período de 1900 a 1942-, Malkiel obteve os

seguintes resultados:

ê = - 1,894 ÷ 2,606 L - 1,233 LA

(1,294) (0,125) (0,317)

(R2 = 0,97 2).

Donde se conclui, implicitamente, que b é -1,6o6~&

53

TA~5 DE JURO ESraUm~ DE PR~S E MODELOS DINÃMICDS TEORIAS ExrLicATivAs DA ES~UWRA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

III

onde t~t+n, i representa a ~a de juro de curto prazo (prazo fl, implícita na es~- Adicionalmente, se admiti~os que os erros de previsão estão line~ente correia

tura de prazos de taxas de juro vigente em ~, para aplicações entre t-i-n e t+n-l-l cionados, poderemos escrever

[27]Aplicando logantmos à equação [2.2] obtemos.

Assim, conjugando a equação [27] com a equação [26] viráln (1 + tPt+0, i) = (n+l) ln (1 + R~ n÷t) - n ln (1 + R1 ~) (23]

tFt+0. t - ~.1Re~+0,l = a~ + b0E0, (28]Por outro lado, se consideramos que, p~ v~ores reduzidos da taxa de juro, In (1+

taxa de juro) taxa de juro, poderemos escrever sendo

%=(n+1)ct, [28a]

tF~.0 i = (n’i-l) R~, ~ - n R1, ~ (24] b0 (n+1)f3n [2 Sb]

De outra parte, substituindo as taxas de juro da equação [2 4] pelas respectivas pre- Em particular, para n=I, obtemos

visões, tal como definido na equação [2 1] obtemos.

~, — ,~ = a1 + b1iR1 i — ~_IRe~ l, (29]t_tR~+n,i = (n+1) 11R~1, n÷l - n 1_~Re1, ~ (25)

a qual equivale ao modelo de Meiselman, na medida em que explica a revisão dasDonde, subtraindo, membro a membro, a equação [2 5] à equação [24], virá, taxas de juro forward em função do erro de estimação constatado para a taxa de juro cor

rente de curto prazo.

- = (n+l) (En÷]) - n (E0), (26] Em face disto, Lucken concluiu que, se existir uma correlação significativa entre os

- erros cometidos na previsão das taxas de juro correntes adjacentes de longas maturidades,em que E0÷i e E11 correspondem a erros de previsao calculados do modo que se numa palavra, se a equação [2 8] for estatisticamente significativa, então tam~m haverá

segue uma elevada correlação entre a correcção das taxasfonvard de curto prazo e o erro come

8n+i = R1, n+] - ni-], (2 6a1 tido na estimação da taxa de juro spot corrente de curto prazo

E0 = R~,11 - 1~~Re1, (2 6b] Isto é, se a equação [2 8] for empiricamente evidente, segundo Luckett, os resul

tados de Meiselman não poderiam ter sido diversos daqueles que se constataram

A equação [2.6] diz-nos que os investidores corrigem as suas expectativas quanto às Utilizando a equação [2.8] e as séries de Durand, Luckett concluiu que existe ele-

taxas de juro futuras de curto prazo em função dos erros cometidos na previsão das taxas vada correlação entre a revisão da previsão das taxas de curto prazo para uma data futura

de juro de longo prazo e o erro corrente de previsão das taxas de longo prazo, o que lhe pe~itiu concluir que a

54 55

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS TEORIAS EXPLICATIVAS DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DEJURO

evidência estatística de Meiselman sustentava de igual modo as formulações teóricas deLutz e Malkiel. Nas palavras do autor “Meiselman’s results can be adequately explained

by the (...) hypothesis contained in the Malkiel theosy”45.

2.2 A TEORIA DA SEGMENTAÇÃO DO MERCADO

A teoria da segmentação do mercado, nos termos enunciados por Culbertson(1957), nega o papel das expectativas na explicação da estrutura de prazos das taxas de

juro, privilegiando a aversão ao risco de taxa de juro como determinante fundamental da

diferenciação das taxas de juro em função do prazo.

Abandonando a hipótese de Luta de que os agentes económicos formulam expecta

tivas homogéneas quanto à evolução futura das taxas de juro de curto prazo e, comple

mentarmente, têm a certeza absoluta sobre as suas expectativas, Culbertson admite que os

agentes económicos não são capazes de prever, com exactidão, a evolução das taxas de

juro, pelo que, prudentemente, desejam proteger-se quanto ao risco de taxa de juro.

O risco de taxa de juro, por sua vez, consiste na possibilidade de o comportan-lento

efectivo da taxa de juro ser diverso da evolução antecipada, importando consequente

mente perdas indesejáveis ou lucros imprevistos. A título de exemplificação, admita-se

que um investidor desejando efectuar um investimento por um período lato de tempo

(digamos a períodos), decidiu adquirir títulos de curto prazo (por hipótese 1 período) e

proceder, periodicamente, ao seu reinvestimento. Se, porventura, se registar uma descida

não antecipada das taxas de juro de curto prazo aquele investidor não conseguirá rein

vestir o valor de reembolso dos títulos de curto prazo às taxas esperadas, pelo que o ren

dimento efectivamente percebido será inferior ao que lhe seria proporcionado por um

único investimento de prazo n. Por outra parte, se o investidor desejar efectuar um inves

timento por um período curto de tempo (1 período) e adquirir títulos de longo prazo (n

períodos), o seu risco de taxa de juro consiste na possibilidade de as taxas de juro que

45 Luckett (1967, p. 329).

venham a vigorar, decorrido um período sobre a data de investimento, para aplicações por

~j períodos, serem superiores às taxas antecipadas, pelo que será registada uma perda de

capital inerente à circunstância de o valor pelo qual a obrigação será alienada nessa data

ser inferior ao valor antecipado. Consequentemente, a concretizar-se esta hipótese, a

remuneração do investidor será inferior à remuneração esperada.

Também do ponto de vista do emitente do empréstimo obrigacionista se coloca a

questão do risco de taxa de juro. Com efeito, se uma determinada entidade carece de

recursos por um prazo de a períodos poderá obtê-los emitindo um empréstimo de prazo ii

ou, alternativamente, efectuar n emissões sucessivas de empréstimos de prazo 1. Todavia,

se a taxa de juro ascender a montantes superiores aos inicialmente previstos, a segunda

alternativa de financiamento importará um custo superior ao que, garantidamente, seria

suportado na hipótese de emissão de um empréstimo de longo prazo.

Adicionalmente, se um emitente desejar financiamento de curto prazo poderá emitir

um empréstimo de curto prazo ou um empréstimo de longo prazo, sendo que neste último

caso teria de, decorrido o período de financiamento, proceder à aquisição em mercado

secundário das obrigações por si emitidas ou, se a legislação vigente não permitir tal prá

tica, proceder à aquisição de obrigações (de outros emitentes) com características idên

ticas àquelas que foram por si emitidas. Em qualquer dos casos, o emitente correrá

sempre o risco de as taxas de juros de longo prazo se fixarem a um nível inferior ao inici

almente previsto, elevando o custo do financiamento a um montante superior ao esperado.

Assim, caso os investidores e emitentes sejam - como postula a teoria da segmen

tação do mercado - avessos ao risco de taxa de juro46, apenas estarão dispostos a operar

no espectro de prazos de vencimento que desejam, sendo, assim, insensíveis a diferen

ciais de taxas de juro de curto e longo prazo. Desta forma, aquela teoria não admite a

comunicabilidade entre os segmentos de taxas de juro de curto prazo e longo prazo, pelo

46 Hipótese que é contestada pclos defensores da teoria das expectativas com base num argumento, avançado por

Meiselman (1962, p. 10), segundo o qual: “fie expectations hyposheaia follows from lhe asaumpliona that lransactors,indiffcrent lo uncerlainty and having similar expeclalions, equale lhe forward rales in the markes lo lhe expecled rates.As a natler of descritive reality, individual transaclors may still speculase or lledte on lhe basis or risk aveesion, but lhespeculacors who are indifferent lo uocerlainty wiII bulk soflicienlly large to determine market rales on lhe batia or theirmathematical expecueions alone.”

5657

que, consequentemente, rejeita o mecanismo de arbitragem admitido pela teoria das

expectativas, antes considerando que as taxas de juro de um dado prazo são determinadas

exciusivamente pela procura e pela oferta de fundos específicas desse prazo.

No que conceme às preferências dos investidores pelos diversos espectros de prazos

das taxas de juro, admite-se que cada investidor deseja obrigações com um prazo idêntico

ao da disponibilidade dos seus recursos, de modo a expor, identicasnente, e compensado

ramente, passivos e activos ao risco de taxa de juro47.

Assim, na óptica da teoria da segmentação do mercado são razões de natureza insti

tucional (designadamente, o perfil de prazos da disponibilidade/necessidade de

recursos4S) que determinam a preferência dos investidores e emitentes por obrigações de

determinado prazo e, consequentemente, conduzem à segmentação (por prazos) do mer

cado obrigacionista. Por outras palavras, os mercados de dívida de curto e longo prazo

são, segundo esta óptica, efectivamente separados.

Naturalmente que, como normalmente admitem os autores identificados com esta

teoria49, os investidos-es institucionais terão, por via dos elevados montantes com que

habitualmente operam, um decisivo contributo para a segmentação do mercado. Em parti

cular, admitem registar-se uma grande preferência dos bancos (particularmente daqueles

que têm na captação de depósitos de curto prazo a sua grande fonte de financiamento) por

aplicações de curto prazo, enquanto as segurados-as e os fundos de pensões pressuposta

mente terão uma preferência vincada pelas obrigações de longo prazo, dado ser igual

mente de longo prazo o perfil das suas responsabilidades

47 No dizer de Conard (1959, p. 304), um autor que aceita a tese da segmentação do mercado ‘Parely because of uncer

tainty and lhe desire lo minimize risk, many ofd,e large investing tolhe life of lheir funds in invesliments whose nau,rities are similar lo lhe life their own liabililies, so that lhe Iikelihood of a forced premalurily saie on lhe one hand, orfrequenl reinvesisuens on lhe other, is small”.

Mas não só. Outras razões de índole institucional são aditadas por conard (1959, p. 303-304), como sejam o facto dea presença activa cm diversos segmentos de mercado implicar custos, nem sempre recuperáveis derivados da necessidade de dispor de um s’aff capaz de detectar oportunidades de ganho arbilragiata. Oisin coridicionserte inalitucionai,apontada por aquele autor, é a que resulta da impoasibilidade de nsMizar mutações de carteiras (substituindo títulos deum dado prazo por títulos de outro prazo) sem causar rapidasaente grandes descidas de preços.

Vide conard (1959, p. 304).

58

2.3 A TEORIA DO PRÉMIO DE LIQUIDEZ

2.3.1 O MODELO DE HICKS

A “teoria do prémio de liquidez”, de Hicks, não negando importância à formulação

de expectativas para o equilíbrio do mercado obrigacionista, admite, no entanto, que à

taxa de juro de longo prazo esperada - em função das taxas forward implícitas ao equilí

brio luiziano - terá de ser acrescido um diferencial - dito, prémio de risco ou liquidez -

oferecido ao obrigacionista para que este seja compensado do risco de flutuação do preço

da obrigação.

Em concreto, Hicks não ignora nem rejeita o papel das expectativas na determi

nação do equilíbrio dos mercados de crédito. Com efeito, ainda antes da publicação do

artigo de Luta já aquele autor se manifestava convicto de que “Ç..) ei sistema de tasas de

interés para préstasnos de diversas duraciones se puede reducir a un tipo patrón de tasa a

corto plazo (ia tasa de interés a una semana) combinada con una serie de tasas de futuros

a corto plazo: tasas para préstamos a una semana, que no se han de concluir en la semana

presente sino en alguna semana futura (..j”50.

Hicks admite que os emitentes de dívida são especialmente propensos à emissão de

empréstimos de longo prazo, em detrimento das emissões de curta duração. As razões

deste comportamento radicam, segundo aquele autor, na circunstância de algumas pes

soas e empresas terem necessidade de fundos por períodos latos de tempo, seja com o

propósito do financiamento de operações que não libertam fundos senão decorrido tempo

considerável sobre a sua implementação, seja com o intuito de produzir em termos contí

nuos, consumindo ininterruptamente grandes quantidades de factores produtivos. Nestas

circunstâncias, as pessoas e as empresas querem “C..) asegurarse su abastecimiento futuro

de capital de préstamos, dei mismo modo que querrán asegurarse su abastecimiento de

materias primas (..j”, pelo que, “Ç..) tenderán una propensión forte a tomar prestado por

períodos largos (...)“51.

50Hicks (1945. pi70).

Ambas as citações referem-se a Hicks (obra referenciada, p. t70-171).

4,

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAzos 13 MODELOs DINÂMIcOsTEORIAS ExpLlcA-nvAs DA E5TRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

59

e%ItI’AXAS DE JURO ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINAM1COS

5Sagnafica isto que a teoria do prémio de risco abandona a hipotese nuclear para a

~;eoria pura das expectativas - de que aos emitentes de empréstimos obrigacionistas é indiferente a concretização de uma única emissão por um prazo longo ou a emissão (sucessiva) de empréstimos de curto prazo.

Por outro lado, Hikcs recusa também a hipótese de que, na perspectiva dos investi-

dores dos mercado de dívida, salvo por diferenças de rentabilidade, é indiferente o prazo

por que concretizam as suas aplicações. Para o autor, em condições de igualdade, os

investidores preferem as aplicações de curto prazo porquanto estas importam um menor

risco de taxa de juro52.

Assim sendo, regista-se um défice de procura de obrigações de prazos longos, o que

obriga os emitentes a oferecer um prémio aos investidores de modo a persuadi-los a efec

tuar aplicações de maior maturidade em detrimento de aplicações de prazo curto.

Com efeito, na óptica da teoria do prémio de liquidez, os próprios especuladores53só estão dispostos a assumir o risco de a evolução efectiva das taxas de juro ser diversa da

evolução esperada, se a remuneração que lhes for proporcionada pela aplicação de longo

prazo contemplar uma remuneração superior à esperada para estratégias sucessivas de

investimento por períodos curtos de tempo.

Isto significa que, segundo Fliclcs, em equilíbrio, ao contrário do que postula ateoria pura das expectativas, o valor futuro de uma unidade monetária aplicada por longo

prazo é superior ao valor futuro esperado para uma unidade monetária sucessivamente

aplicada em títulos de curto prazo, pois só assim se induz os investidores a correrem o

risco de sofrer perdas inerentes a uma futura subida não antecipada das taxas de juro de

curto prazo.

52Nas palavras de Bicks (1945, p, 170-171), “C..) co igualdade de condiciones, una persona que se compromele en miconlrato a longo plazo se coloca co una posición roSa aniesgada que si se abstviers de harcelo (..j”, pelo que, continuando, “(.,,) ai no ae ofreciera ningún rendimiento extra (...) ia myoria de las personas (o las instituciones) prefeririaprestar a corto plazo (~3 Que, conforme vimos anteriormente, na perspectiva de Meiselman asseguran a “conlunicabilidade’ entre os

diversos segnentos de prazoa da taxa de juro.

60

TEORIAs EXPLt~ATI~A5 DA ESTRUTURA DE PRAzOS DAS TAXAs DE JURO

Deste modo, se se esperar que as taxas de curto prazo não sofram alterações no

futuro, a taxa spol de longo prazo será superior à taxa corrente de curto prazo, por via da

existência do prémio de liquidez. Por outras palavras, para Hicks, ao contrário do que

postula Lutz, a expectativa de estabilidade das taxas de juro de curto prazo não corres

ponde a uma yield curve horizontal, mas sim a uma estrutura de prazos das taxas de juro

ascendente54. Assim enunciada, esta teoria é, comummente, denominada “normal back

wardarion”, em respeito da designação atribuída por Keynes55 a idêntico fenómeno, no

âmbito do equilíbrio do mercado de mercadorias.

Em termos de notação matemática, o modelo de Flicks é tipicamente expresso sobre

a forma seguinte:

(I+Rn) = [(li-R1) (1+ F2 + L-2) ...(1+ F0 ‘1- L0)]l/n

em que L1 representa o prémio hicksiano de liquidez, para o período t (t 2,,.,,

sendo que O’czL2<L3 ...<Ln.

54 Naturalmente que, por outro lado, se se espera que as taxas de juro de curto prazo venham a subir, as taxas coerentes

de longo prazo excederão as taxas correntes de curto prazo, não só por via do efeito inerente à expectativa de crescimento das taxas de curto prazo, como ainda por via do efeito derivado do prémio de liquidez. Inversamente, se se antecipa uma descida das taxas de juro, as taxas de juro de longo prazo correntes serão “normalmente” inferiores às taxascorrentes de curto prazo, aendo que na versão de Hicks tal não tem forçosamente de ser assim, por via do efeito doprémio de liquidez.

com efeito, Keynes 0930, p. 142-144), a propósito da determinação do preço nos metcados de fuluros de mercadorias, utilizou a expressio ‘normal bacL’warda,io,t”, querendo com ela significar que, em equilibrio, os mercados demercadorias se encontram, por nonas, “backwardadon”, isto é, o preço da mercadoria no mercado de futuros é inferiorao preço esperado para a data de vencimento, segundo aquele autor, este fenómeno deve-se a que os especuladores sóestio dispostos a tomar posições (compradoras) no mercado de futuros e, consequentemente, a correr riscos, se lhes forproporcionada uma expectativa-de ganho, ou seja, se houver razões para espetar um aumento do preço no mercado defuturos. Ora, uma vez que, por força das regras de funcionamento do mercado, os preços dos futuros tendem para ospreços .rpof, sendo iguais na dais de liquidação, isto significa que o preço do futuro tem de sofrer uma espécie de “desconto” comparativamente ao preço corrente do mercado apor t”... the normal supply price on the spot includes remuneration for lhe eisk of price fluctuation during the period of prodution, whilst the fonvard price excludes this” (Keynes,obra referida, p. 143)].Daí que possa dizer-se que na teoria de ljicks se configura a Iransposiçso da “normal backwardarion” para o domíniodo mercado obrigacionista, na medida em que esta considera que para que os aforradores assumam posições de risco,adquirindo obrigações de longo prazo, exigem a expectativa de uma remuneração superior àquela que será proporcionada a quem no futuro vier a efectuar investimentos de curto prazo. Dai que as “taxas de curto prazo” implícitas na taxaapre coerente de longo prazo excedam as taxas spol esperadas para o futuro, ou seja, as tsxasforward na acepção dateoria das expectativas.

61

tItT*XA$ DEJURO ESTRtJTIJRÁ DE PRAZOS E MODELOS DINAMICOS

2a.z OS TESTES EMPÍRICOS DE VAN BORNE

James Vais Some (1965) analisou empiricamente a estrutura de prazos das taxas de

juro, aplicando a equação de Meiselman [áRe~+0 = a + b I3~ + uti a títulos do Tesouro

americano, para o período de 1954-63.

Aquele autor concluiu - tal como já o havia feito Meiselman, quando aplicou empiri

camente o seu modelo às séries de Durand, para o período de 1900-54 - que existe uma ele

vada correlação linear positiva entre as alterações nas taxas forward para um período futuro

(isto é, a taxa de juro finura esperada à luz da teoria das expectativas) e os erros cometidos

na previsão da taxa de juro corrente de curto prazo (um ano). Adicionalmente, Vais Some

constatou - novamente à semelhança do que aconteceu com Meiselman - que o coeficiente

b difere significativamente de zero, e varia inversamente com o prazo a que respeita a taxa

forward revista, confirmando assim que os erros de previsão têm um maior impacto na

revisão das expectativas para futuro imediato do que para o médio e longo prazo.

Todavia, ao contrário do que havia acontecido com Meiselman, os testes de Vim

Some apontam no sentido de que o coeficiente a seja significativament~ diferente de zero,

facto que o autor interpreta como evidência empírica de que, tal como postula Hicks, as

taxas farward implícitas na estrutura de prazos das taxas de juro comportam tanto o efeito

de antecipação das taxas de curto prazo futuras, como o prémio de risco ou de liquidez.

Isto é, P~ = r1 + L1, sendo F~ a taxa forward para aplicações com vencimento em ~, r1 a taxa

de curto prazo esperada para aplicações com vencimento em 1 e o prémio de liquidez.

Tendo em vista testar esta convicção, o autor desenvolveu um modelo que assentano raciocínio que se expõe nos parágrafos subsequentes.

Sendo verdade, como postula a teoria do prémio de liquidez, que os investidores

são avessos ao risco de taxa de juro56, quando as taxas de juro se encontram em nível ele-

56 Entendido como o risco de perda de capital, correspondente à descida do preço da obrigação inerentemente à flutu

ação das taxas de juro.

62

TEORIAS EXPLICATIVAS DA ESTRUTURA DE PRAZOs DAS TAXAS DE JURO

vario face ao nível normal57, os investidores, precavendo a sua provável diminuição

tomam posições em empréstimos de longo prazo, e alienam, concomitantemente, as suas

posições em títulos de curto prazo. Ao concretizarem estes movimentos, os investidores

provocam a descida das taxas de juro de longo prazo e o incremento das taxas de juro de

prazo curto. Noutros termos, se os investidores se deslocam voluntariamente (como

medida cautelar face à eventual descida das taxas de juro) para o segmento de prazos

médios e longos, o prémio de liquidez (ou de risco), que nos termos da teoria de Hicks se

justifica como mobilizador daquela mesma vontade, passará a ser menor.

Pelo contrário, se o nível actual das taxas de juro é reduzido, os investidores, espe

rando o seu incremento, abstêm-se de tomar posições de longo prazo de modo a precaver

perdas de capital. Nessa altura o prémio de liquidez exigido é maior do que aquele que

em circunstâncias normais é capaz de deslocar os investidores para os segmentos médio e

longo do mercado obrigacionista.

Em suma, na óptica de Vais Horne, verifica-se uma relação inversa entre o nível do

prémio de liquidez e o montante das taxas de juro.

Adicionalmente, se para uma dada observação t, se verifica um desvio positivo

entre a revisão das taxas forwa,-d e o valor estimado para essa revisão58, tal significa que

o modelo de Meiselman sub-estimou a actual alteração nas taxas forward. Pelo contrário,

se o desvio constatado é negativo tal significa que o modelo de Meiselman sobreestimou

a actual alteração das taxas ,forward59.

Sendo que, para Van Home (1965, p. 348), o conceito de nível normal das taxas de juro é relativo e sujeito amutação ao longo do lempa.58 Ou seja:

1 >~+bE

sendo ~ a estimativa do parãmeiro a e~ o valor estimado para o parâmetro h.59 Reuben Kessel (1965). em estudo ao qual não acedemos, pelo que nos limitamos ao relato de Malkiel (1966)- utilizando um raciocínio semelhante ao de van Home, concluiu também pela evidência empírica do prémio de risco, comefeito, Ressel, partindo da hipótese de que se o modelo de Meiselman cometer sistemalicamente erros de sub-estimação(isto é, o sinal dos erros dc estimação for, em regra, positivo) tal significa que o modelo de Meiselman está enviezado eque esse enviezamento se deve à existência de um prémio de liquidez. Analisando os erros de estimação do modelo deMeiselman, Eessel concluiu que a sua hipólese não era rejeitada.

63

~‘~1DÀXAs DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS

za~-~Assim nos termos de Van Horne se se notar uma forte correlação estatistica entre a

ocorrência de desvios positivos e a vigência de um nível de taxas de juro inferior ao

normal (“prémio de liquidez elevado”), e entre a Ocorrência de desvios negativos e a

vigência de taxas de juro de nível superior ao normal (“prémio de liquidez reduzido”),

poder-se-á concluir, não só que a inclusão de um prémio de liquidez é fundamental na

explicação da estrutura de prazos das taxas de juro, como ainda que os prémios de risco

dependem negativamente do nível das taxas de juro.

Para tanto, o autor incluiu na equação de Meiselman uma nova variável explicativa

da correcção das taxas forward, a variável “desvio do nível actual das taxas de juro face

ao seu nível normal”, obtendo uma equação alternativa60, o que lhe pennitiu efectuar

estudos empíricos, cujos resultados, “are consistent with the supposilion that interest-rate

rislc varies inversely with the levei of interest ratas” Van Home (1965 p. 350).

Ou seja, segundo este autor o modelo empírico de Meiselman serve também para

sustentara teoria do prémio de liquidez.

2.3.3 A COMPATIBILIDADE DO MODELO DE MEISELMAN

COM A TEORIA DO PRÉMIO DE LIQUIDEZ

John H. Wood (1963)61 demonstrou que, ao contrário do que Meiselman concluira,

o modelo deste autor não é incompatível com a hipótese hicksiana do prémio de liquidez.

Com efeito, Meiselman interpretou a circunstância do termo independente do

modelo por si estimado não ser significativamente diferente de zero como facto inconsis

tente com a teoria do prémio de liquidez.

tato é, ~RCt*n i = a + b1E1 + b2 (desvio do nível actual das taxas de juro face ao seu nível normal) + u1.61 Tal como - no relato do própdo Wood - Kessel (1965).

64

TRORIA5 EXPLIcAnvA5 DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DEJURO

Recorde-se que o modelo de Meiselman - usando, em termos de notação, taxas

forward em vez de taxas spot esperadas, as quais, como é sabido, coincidem nos termos

da teoria de Luta - se pode resumir à equação seguinte:

tFt+n, i - l-1’~L+n, ~ a + b (Rti - t_iFt. l)~ (2.9’]

Segundo Meiselman, se a teoria de normal backwardagion for válida as taxas for

ward deveriam ser revistas mesmo na hipótese deR11 ~1F1 1’ porquanto sendo válida a

asserção (keynesiana e hicksiana) de crescimento monotónico da yield curve num con

texto de manutenção das expectativas, então deveríamos ter J~t+n, i < t~iFt+n, 1. Noutros

termos, segundo aquele autor, a hipótese do prémio de liquidez é compatível com a <0, e— 62nao com a = O

Na sua argumentação, Wood começa por notar que a equação [2.9’] terá de sofrer

uma transformação de modo a contemplar a teoria do prémio de liquidez de Hicks, por

quanto nos termos desta teoria:

F _oet t+n,1t t+fl,1+t1~~t+n.t t2.lO]

onde, tRet+n i representa a taxa de juro de curto prazo que em se espera que venha

a vigorar em i±ã; e 1-1+n, 1 representa o prémio de liquidez (ou risco) do modelo de

Hicks.

Deste modo, a equação de Meiselman reformulada viria:

(tRet+n, 1 + tLt+n, i) - ç1Re1+~ 1 ~ t-11-’t+n, i) = a + b (Rtt - 11Re1, ~ - 11L1, 1),

ou, após arranjo de termos,

t2,tll

(1Re1~11 - tlRet+n 1) + (~ L1~0 - t-11-’t+n, i) a + b (R~1 - ~.1Re, i) - b (11L1 i) [2.121

62 Noa seus testes eropíricos. a quejá se fez referência, Meiselmas, havia concluído nto ser de rejeitar a hipótese de a=O.

65

TAXAS DEJURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOSTEORIAS EXPLICATIVAS DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

Assim, conforme assinala Wood, se o erro de previsão for nulo, e se a = O, teremos:

i - t-11-’t+n, = - b (11L5 i) [2.13]

Deste modo, se assumirmos, como o faz Meiselman, a hipótese de que os prémios

de liquidez sejam crescentes com o prazo da aplicação, teremos que tt-1+n, - 1 <

O, o que é compatível Com [2.13] desde que b e ~ i sejam (Como o são teórica e empi

ncamente) positivos.

Consequentemente, concluiu o autor, “a constant temi equal to zero (...) is also con

sistent whith lhe liquidity-premium theoiy”63.

2.4 A TEORIA DO HABITAT PREFERIDO

A teoria do habitat preferido deve-se, conjuntamente, a Franco Modigliaifi e a

Richard Sutch (1966, 1967).

Esta teoria consiste, basicamente, na aplicação da hipótese das expectativas a um

mundo que se caracteriza pelos três seguintes pressupostos:

- existe incerteza quanto à evolução futura das taxas de juro;

- tanto investidores quanto emitentes têm preferência por obrigações de determi

nada maturidade, isto é, têm um habitat de prazos preferido do qual (por aversão ao

risco) tendem a não sair;

- existem arbitragistas, ou intermediários, dispostos a emitir ou a emprestar em dife

rentes maturidades quando a diferença de rentabilidade esperada denota um rendi

mento suficientemente compensador do risco envolvido na operação.

Noutros termos, a teoria do habitat preferido considera que investidores e emitentes

combinando activos e passivos com idênticos prazos reduzem a sua exposição ao risco de

oscilação (imprevista) das taxas de juro. Consequentemente, só com uma perspectiva de

rendimentos extraordinários suficientemente atractivos se induzirá investidores e emitentes a abandonar o seu espectro “natural” e a assumir riscos inerentes a tomar (emitir)

dívida de mais longo ou mais curto prazo.

Em termos sintéticos, para Modigliani e Sutch, o equilíbrio do mercado obrigacio

nista pode resumir-se à equação seguinte:

em que:

= - Ganho de capital esperado ÷

R1,0 representa a taxa de juro corrente de prazo ri;

R~j simboliza a taxa de juro corrente de prazo j.;

G~0 traduz o efeito decorrente do excesso/defeito de procura “natural” de fundos deprazo ~na data 1•

Por sua vez o “ganho de capital esperado” traduz-se no ganho (ou perda) de capital

esperado inerente à alienação em t+l de um titulo de longo prazo adquirido em

Adicionalmente, Modigliani e Sutch pressupõem que o ganho esperado de capita]pode ser escrito como função linear da variação esperada da taxa de juro, em concreto:

pelo que virá,

ganho de capital esperado = - [3 ARetn,

+ [3AR~t0 + G1~

Finalmente, importa notar que G5~ tanto pode ser negativo como positivo. Será

negativo se houver um excesso de procura de títulos de prazo ti, será positivo se houver

insuficiência de procura de títulos de tal prazo, de modo que seja preciso deslocar investi-

dores que têm como habitat natural outras maturidades para o segmento de prazo a.

Evidentemente que se trata de um ganho se se espera, no curto prazo, uma descida das lixas de juro de longo prazo,e será uma perda em situação inversa.

63 Wood (1963, p. 166)

6667

2.5 AS NOVAS TEORIAS EXPLICATIVASDA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO.A TEORIA DE COX, INGERSOLL E ROSS

Existem vários modelos que providenciam explicações para a estrutura de prazos

das taxas de juro tomando como ponto de partida que o comportamento das taxas de juro

é governado por processos estocásticos. Em alguns desses modelos é a taxa de juro de

curto prazo que funciona como guia dos movimentos das demais taxas, em outros

modelos as taxas de juro de diferentes prazos são explicadas por duas ou mais forças exó

genas (regra geral, essas forças são a taxa de juro de curto prazo e a taxa de juro de longo

prazo). Significa isto que segundo estes modelos, as alterações nas taxas dos diferentes

prazos são o resultado da alteração de factores exógenos governados por processos esto

cásticos. Assim, caso os “choques” exógenos sejam provocados pelas taxas de juro de

curto e longo prazo, todos os movimentos verificados nas taxas dos demais prazos

resultam de uma combinação ponderada de alterações naquelas outras duas taxas.

Os modelos que assentam em processos estocásticos serão analisados nos Capítulo

5 e 6, pelo que seria desmesurado tecer de momento grandes considerações sobre os seus

pressupostos e evidências. Abrimos, contudo, uma excepção para sintetizar a teoria subja

cente ao muito referenciado modelo de Cox, Ingersoll e Ross (1985).

Trata-se de um modelo de equilíbrio geral da economia que assenta na maximi

zação da utilidade esperada do consumo de um bem por um consumidor individual. Neste

modelo, o agente económico tem de escolher o seu nível óptimo de consumo, a proporção

óptima da riqueza a investir em cada processo produtivo e o nível óptimo de riqueza a

aplicar em obrigações.

Deduzindo a situação de equilíbrio a partir de um modelo com estas características,

os autores obtiveram, entre outras, a conclusão de que os preços de equilíbrio das obriga

ções são uma função crescente e côncava da variáncia das taxas de juro. A teoria subja

cente a este resultado aponta para a ideia de que uma elevada variância das taxas de juro

reflecte mais incerteza sobre as oportunidades de produção real futura, e sobre o nível

futuro de consumo. Nestas circunstâncias a estrutura de prazos poderá incluir um prémio

positivo, provocando descoincidência entre taxas de juro forward e taxas spot esperadas

(tal como acontece na teoria do prémio de liquidez).

Todavia, esta é apenas uma das conclusões a que o modelo nos conduz. Com efeito,

estes autores consideraram o problema da determinação e explicação da estrutura de

prazos como um problema de equilíbrio geral65. Na realidade, o que estes mostram é que

a estrutura de prazos das taxas de juro resulta de muitos factores, entre os quais se

incluem as características das aplicações alternativas, a preferência dos agentes econó

micos quanto ao risco, as preferências dos investidores quanto à escolha entre consumo

actual e consumo futuro, restrições ao nível da riqueza e a antecipação de eventos futuros.

2.6 CONCLUSÕES

Do que atrás se referiu, parece existir algum consenso entre a comunidade científica

quanto à importância das expectativas de evolução futura das taxas de juro na determi

nação da estrutura de prazos das taxas de juro correntes.

Igualmente se nos afigura consensual a ideia de que, depois de uma fase inicial em

que se admitiu que as previsões quanto à evolução das taxas de juro operavam pelo prog

nóstico das taxas de curto prazo, num horizonte de previsão lato, se evoluiu para a acei

tação da ideia de que os agentes económicos operam previsões quanto à evolução das

taxas de juro num período curto de tempo, sendo no entanto tais previsões extensivas às

taxas de juro de longas maturidades.

Ainda merecedora de algum consenso se nos afigura a ideia de que a existência de

preferência dos agentes económicos por emissões de obrigações de um determinado

espectro de prazos de vencimento poderá implicar que a taxa de juro de equilíbrio para

65 ‘We consider che problem of deiermining lhe Lerm stnsclure as being a problen lo general equilibdum theory, andour approach conlaina elenenla ol’ ali of the previous Iheories’. Cox, lngersoll e Ross (1985, p386).

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOs E MODELOS DINÂMICOS TEORIAS EXPLICATIVAS DA ESTRIJTURA DE PRAZO5 DAS TAXAS DE JURO

6869

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS TEORIAS EXPLICATIVAS DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

um dado prazo não reflita estritamente a previsão de evolução das taxas de juro, mas aco- Keynes, J. M. (1930) A Treatise on Money, Vol. II, MacMillan, (reimpressão de 1950),

mode, igualmente, alguma discrepância entre a oferta e a procura de recursos para esse Londres, 142-144.

mesmo prazo.Luckett, D. O. (1967) “Multi-Period Expectations and the Term Structure of Interest

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70 71

Parte II

DETERMINAçÃO DA ESTRUTURADE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

Conforme referido na Parte 1, a estrutura de prazos das taxas de juro é, por definição, o espectro dastaxas jura que igualam o valor actual de um conjunto de obrigações de cupão zero aos preços respectivos,contratados em mercados obrigacionistas competitivos, sendo que essas obrigações de cupão zero diferementre si apenas pelos prazos de reembolso.

Apesar da simplicidade do conceito, o cálculo da estrutura de prazos das taxas de juro apresenta dificuldades. Desde logo, não é fácil reunir um conjunto de obrigações que - cobrindo todo o espectro deprazos - se distingam somente pelos prazos de reembolso, apresentando, designadamente, o mesmo risco decrédito. Na prática, a constituição de um tal cabaz de obrigações apenas é possível quando limitado a títulospúblicos, ou a títulos emitidos por (grandes) empresas sem risco de crédito (caso existam) Como é óbvio,este obstáculo é tanto maior quanto menor for a dimensão do mercado obrigacionista (e, em particular, dosegmento de títulos de divida pública) cuja estrutura de prazos de taxas de juro se pretende retratar.

Todavia, o - provavelmente - maior obstáculo ao cálculo da estrutura de prazos das taxas de juroprovém do facto de, regra geral, não existirem obrigações de cupão zero que abranjam todo o espectro deprazos do mercado obrigacionista. Com efeito, usualmente, a emissão de obrigações de cupão zero limita-sea períodos de vencimento curtos.

Assim, como calcular o espectro de taxas de juro que igualam o valor actual de um conjunto de obrigações de cupão zero aos preços respectivos, se essas obrigações não existirem senão para um universolimitado de prazos curtos? Esta questão tem sido objecto de discussão, o que tem conduzido a importantesdesenvolvimentos metodológicos que a presente Parte tem por objectivo sintetizar.

Noutros termos, procurar-se-á (no Capítulo 4) enunciar alguns dos diversos métodos de cálculo daestrutura de prazos das taxas de juro que, desde o final da década de sessenta, têm sido discutidos no seioda ciência económica. Previamente (no Capítulo 3) redefiniremos o conceito de estrutura de prazos dastaxas de juro de modo a tomá-lo compatível com as obrigações com cupão e distinguiremos estrutura deprazos das taxas de juro de estrutura de taxas actuariais de rendibilidade, assim como veremos quais aslimitações da avaliação de obrigações pela taxa actuarial de rendibilidade, analisando em particular oefeito-cupão sobre essa taxa actuarial.

73

Capítulo 3

Estrutura de Prazos das Taxas de Jurovez-sus Estrutura de Taxas Actuariais de Rendibilidade

3.1 (RE)DEFINIÇÃO DE ESTRUTURADE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

3.1.1 OBRIGAÇÕES DE CUPÃO FIXO E A ESTRUTURA

DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

As obrigações de cupão fixo66 podem ser entendidas como uma carteira teórica de

obrigações de cupão zero, sendo essa carteira composta por um número de obrigações

idêntico ao número de fluxos de rendimento proporcionados pela obrigação de cupão

fixo, desde a data da sua avaliação até ao momento da sua amortização completa.

Adicionalmente, as obrigações de cupão zero integrantes dessa carteira teórica terão de

ter vencimento nas datas de pagamento de juros e de reembolso da obrigação de cupão

fixo, com a característica cumulativa de o valor de reembolso da obrigação de cupão zero

ser igual ao cashflow da obrigação de cupão fixo.

Por outras palavras, seja uma obrigação de cupão, com um prazo de a períodos, que

proporciona um fluxo periódico CF1 (t = 1 n) cujo montante é a soma do juro perió

dico com o valor do reembolso oconido nesse período67. Esta obrigação pode ser vista

como um “pacote” de g~ obrigações de cupão zero de prazos 1, 2,..., n cujos valores de

reembolso são, respectivamente, CF1, CF2,..., CF~.

Entendida a obrigação de cupão fixo nestes termos, toma-se possível definir a estru

tura de prazos das taxas de juro como o espectro de taxas à vista que se inferem pela aná

lise da relação entre o preço e o prazo da obrigações com taxa de cupão fixa.

Obviamente que se exige que as obrigações de taxa fixa que constituam o cabaz de obri

gações a partir do qual se vai inferir a estrutura de prazos das taxas de juro apresente

homogeneidade, em todas as características, com excepção do prazo de vencimento;

sendo exigência adicional que aquelas obrigações integrem um mercado competitivo.

Adiante constatar-se-á que a determinação da estrutura de prazos das taxas de juro a

partir de um cabaz de obrigações de cupão indexado apresenta dificuldades acrescidas,

porquanto não são conhecidos os montantes dos juros periódicos com vencimento futuro.

Consequentemente, a ciência económica tem desenvolvido as metodologias de estimação

da estrutura de prazos fundamentalmente com base em obrigações de taxa fixa. Todavia,

como veremos na Parte III, em determinadas circunstâncias, poderão (racionalmente)

aplicar-se as técnicas de estimação desenvolvidas para o cálculo da estrutura de prazos

das taxas de juro (a partir de obrigações de taxa fixa) a obrigações de cupão indexado.

3.1.2 A FUNÇÃO DE DESCONTO E O CÁLCULO

DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

3.1.2.1 Em Termos Discretos

O cálculo da estrutura de prazos das taxas de juro, seja qual for o método usado,

assenta no pressuposto de que em mercados competitivos as obrigações apresentam

ESTRUTURA DE pRAzos DAS TAXAS DE JUROVERSUS ESTRUTURA DETAXA5 ACTUARIAIS DE RENOIBILIDADE

Entendemos aqui a expressão obrigações de cupão fixo” como identificadora de obrigações de cupão cujo montantedos rendimentos futuros periódicos Ouros e reembolso) a que acederão os respectivos obrigacioniatas 6 conhecido. Emcontraposição às obrigações de cupão fixo falarensoa de “obrigações de cupão indexado”, as quais se dividem em “obrigações de cupão pós-determinado” ou “variável” e “obrigações de cupão pré-determinado’ ou “revisível’, camcterizando-se as primeiras por o valor do cupão apenas ser determinado no noal do período de contagem de juros, enquantoque nas demais obrigações de cupão indexado o apuramento da taxa de cupão ocorre antes do início do período de contagem de juros. Esta designação é utilizada por vários autores, razão pela qual procedemos à sua adopção, pese emboraentre nós ser frequente o uso da expressão “obrigação de taxa variável” para denominar a totalidade das obrigações decupão indesado, Aliás, em Portugal, de entre as obrigações actuatmente cotadas em bolsa, apenas as obrigações dasséries A a E correspondentes ao empréstimo “Bicentenário do Ministério das Finanças” apresentam cupão pós-dceemiinado, sendo no entanto usual falar-se em mercado de obrigações de tsxa variável (e não em mercado de obrigações detaxa revisível) por contraposição ao mercado de obrigações de taxa fixa.

74

67 Acomoda-se, assim, a possibilidade de o reembolso da obrigação ocorrer ou não de uma ad vez,

75

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS

preços iguais ao valor actual dos respectivos rendimentos futuros, dadas as taxas de juro

correntes para aplicações alternativas de idêntico risco e prazo. Isto é, admite-se que num

mercado competitivo o preço de uma obrigação deverá igualar o valor actual dos seus

cash-flows futuros (juros e reembolso).

Então, o cálculo da estrutura de prazos das taxas de juro consiste em estimar uma

curva de taxas de juro spot (RI, P2 Rn) a partir da relação teórica que se estabelece

entre, por um lado, estas taxas (não observáveis) e, por outro lado, os preços, os mon

tantes dos juros e dos reembolsos das obrigações e as respectivas datas de pagamento

(observáveis), a qual se exprime nos termos que se seguem:

Pj=~ CF,1 13.1]

~=i (l+Rj’

onde a notação mantém o significado que anteriormente lhe foi atribuído (ou seja, P~

representa preço da obrigação j de prazo a; CF~~ simboliza o cash-flow - juros e reembolso

- da obrigação j em!; e R~ corresponde à taxa spot corrente pai-a aplicações de prazo ii.

Em notação alternativa poderemos escrever:

= 2 d1CF51 [3.2]

sendo d~ o factor de desconto do t~mo pagamento da obrigação.

Em concreto, dt representa o valor actual de uma unidade monetária que venha a ser

recebida em~, pelo que se calcula em função da taxa de juro spor de idêntico prazo, nos

termos que se seguem:

[3.3](1÷Rjt

d~

(i~)t

ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JUROVERSUS ESTRUTURA DE TAXAS AcTUARIAIS DE RENDIBILIDADE

Considerado um espectro de prazos de g períodos, os factores de desconto d1, d2,

dn, formam a usualmente denominada “função de desconto”68, a partir da qual a estrutura de prazos das taxas de juro, isto é, o conjunto das taxas de juro isentas de risco de

crédito para os diferentes prazos é facilmente determinável. Com efeito, sendo conhecida

a estimativa de d1 (t = 1 n) manipulando a equação [3.3] obtemos a correspondente

estimativa da taxa de juro spot de prazo t (Ri), a qual assume a forma que se segue:

[3.4]

sendo que R1 representa a estimativa de R~ (t=l n) e d1 representa a estimativa

ded~(t=l n).

Muitos trabalhos empíricos são realizados considerando uma fórmula alternativa a

[3.1], a qual passamos a descrever:

[3.5]

onde Yp evidentemente, representa a taxa actuarial de rendibilidade (yield ia

maturily) da obrigação j.

Acontece porém que, conforme veremos adiante, excepto se as taxas de juro spot

forem todas iguais independentemente do prazo, ou se se tratar de uma obrigação de

cupão zero, a aplicação da fórmula [3.5] em detrimento da fórmula [3.1], não conduz à

correcta avaliação da obrigação, pelo que a yield sirucrure obtida - isto é, o conjunto de

yields ia maturiiy, que quando representadas graficamente em função do prazo respectivo

se traduzem na popular yield curve - não é mais do que uma aproximação imperfeita da

estrutura de prazos das taxas de juro.

68 Nos lenuos de Vasicek e Fong (1982, p. 342) “the discowzrfuncrion specijies Use presem value a! a unfl payment 1,1rim fature’.

7677

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS ESWUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

VERSUS ESTRUTURA DE TAXAS ACI1JARIAIS DE RENDIDILIDADE

3.1.2.2 Em Termos Contínuos Alternativamente, poderemos escrever:

No ponto anterior admitimos que as obrigações vencem juros num conjunto dis- 4~(m)/S(m+h) - l] [381

creto de datas específicas. Uma abordagem alternativa utilizada, entre outros, por p(m) 1im~ h

McCulloch (1971 e 1975) e Vasicek e Fong (1982) consiste em considerar que a função

de desconto é contínua (e diferenciável) no tempo, sendo razoável esperar que a mesma Em termos equivalentes poderemos escrever:

seja monotónica decrescente em função do princípio, universa[mente aceite, de que o

dinheiro tem um valor decrescente no tempo69. [_1mp~ } [3.9]

õ(m)=eNesta hipótese, a relação entre o preço da obrigação e os pagamentos juros e

reembolso - que a mesma proporciona ao longo do respectivo período de vida pode ser A taxa forward instantânea calculada nos termos expressos em [3.7] ou [3.8] diz-

expressa nos termos que se seguem70: nos em quanto se reduz o valor actual de uma unidade monetária por Cada instante que

passa, ou seja, corresponde ao juro instantâneo implícito no preço da obrigação.

Pj = «t) dt + ~&n) 3.61 Todavia, conforme ~sinala McCulloch (1971, p. 24) “the instantaneous fo~ard

rate curve is a very importante theoretical construct. However, its value for a single matu

rity rn is of little pratical concern, because it is prohibitively expensive in terms of tranna qual, para além da notação já conhecida, surge 6(t) como símbolo do valor sactions costs to make a forward contract between two points in lhe distant future if these

actual de uma unidade monetária que irá ser recebida em ~, com O ≤ t ≤ n. points are only a small distance apart, as are rn and m+h”.

A partir da função de desconto 6(t) é possível obter a taxa forward instantânea Alternativamente com maior alcance prático - podemos calcular o valor médio de

(simbolizada, no que ao momento iii concerne (O ≤ m ≤ n), por p(m)) nos termos que se p(m). Para tanto, considerem-se dois valores de iii, digamos ml e rnZ, entre os quais, por

seguem: cada instante, se vence um juro médio implícito de:

[3.7] m2

~(m) p(ml,m2) 1 P0) dt 13.101

m2-ml j

onde ô’(m) representa a primeira derivada de ô(m) em ordem ao argumento.

ou, equivalentemente,

1 6(ml)69 Evidenlenenic que nos reportamos a um universo Cm que as taxas de juro reais são positivas e nto se verifica p(ml ,m2) = In [3.11]

deflsção de preços. m2-ml S(m2)70 seguimos squi, com pequenas adapiações, a ~selodoIogia es simbologia dc Mceulloch (1971).

78 79

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

VERSUS ESTRUTURA DE TAXAS ACTUARIAIS DE RENDIDILIDADE

Em termos de estimativas teremos: 3.2 A AVALIAÇAO DE OBRIGAÇOES PELA TAXA ACTUARIAL

DE RENDIBILIDADE E O EFEITO-CUPÃO

____ 3 SOBRE ESSA TAXA ACTUARIALIn (ml) [3.12]

(m2) A es~tura de taxas actu~ais de rendibilidade ~ieid structure) - isto é, o conjunto

-. .-. das yield w maturiry, Y~ (t = 1 n) - coincide com a estrutura de prazos das taxas dena qual, p(ml,m2) ô(ml) e 6(m2) simbolizam estimativas de, respectivamente, juro quando o seu cálculo se reporta em exclusivo a obrigações sem cupão ou quando esta

p(ml,m2), 6(ml) e S(m2). estrutura de prazos assume a forma horizontal, isto é, a taxa de juro é a mesma para qual

quer prazo. Noutros termos, a yield curve - que não é mais do que a representação gráficaNo que conceme à taxa de juro spot de prazo iii (notada por n(m)) esta não é mais das yie!ds em função do prazo respectivo - representa simultaneamente a estrutura de

do que a média das taxas forward correspondentes ao intervalo entre Q (isto é, o momento taxas actuariais de rendibilidade e a estrutura de prazos das taxas de juro em qualquer das

presente) e rn(isto é, o momento para o qual estamos a calcular o valor da taxa de juro). circunstâncias atrás referidas. Em todas as demais situações, a yield curve representa

somente a estrutura de taxas actuariais, porquanto nada garante a coincidência da taxaEm linguagem matemática Podemos escrever: actuarial de rendibilidade com a taxa de juro à vista de idêntico prazo.

fl(m) = p(O,m) L3.131 Na realidade, como, no relato de alguns autores, prova Schaefer (1973)71, a yieid lo

maturity é um valor médio das várias taxas de juro spot de prazo inferior ou igual ao seu.

ou seja Isto é, verifica-se a seguinte relação entre as taxas spot (Rt)e a yield to maturily (Yn):

[3.14] mínimo Rt ≤ Y~ ≤ máximo Rt (t = 1 n).u(m)=~ p(t)dt

Em particular, conforme se pode ver demonstrado em Soares da Fonseca (1991, p.

113 e sgs.), na hipótese de as avaliações pela taxa actuarial e pelas taxas de juro spol conEquivalentemente podemos apresentar a seguinte formulação: duzirem a um mesmo valor para a obrigação, a taxa actuaria] de rendibilidade de uma

obrigação é uma combinação linear das taxas de juro à vista, cujos coeficientes de ponde[.mfl(m)] t~b1 ração correspondem ao peso do valor actual dos respectivos pagamentos no preço da

obrigação.

Assim, manipulando a expressão, as taxas spot podem ser estimadas recorrendo a Significa isto que a taxa actuarial de rendibilidade, ainda que dependa da estrutura

equação que se segue: de prazos das taxas de juro, depende também das características particulares da obrigação

t3.161 7! Schaefer, 5. M. (1973). Trau.ae de un documento nio publicado a que, designadamence, Escalda (1992a) faz referência.

80 81


respectiva (como sejam, a distribuição - em número e montante - dos pagamentos inter

médios e o prazo da obrigação).

Daí que, como Buse (1970, p. 815) nota, não seja necessário impor qualquer res

trição à estrutura de prazos das taxas de juro para que duas obrigações de idêntico prazo

possam ter taxas actuariais de rendibilidade diferentes sem que haja desequilíbrio72. Ésuficiente para o efeito que as obrigações vençam cupões de magnitude diversa. Por outro

lado, pode também acontecer (veja-se o exemplo que se segue) que as obrigações gerem

o mesmo retomo durante um dado período de tempo, apresentando contudo yields dife

rentes, porquanto, como aquele autor mostra, as obrigações de menor cupão apresentam

uma variação de preço (ganho de capital) superior ao longo do tempo.

Exemplo - Efeito Cupão e Taxa de Rendibilidade

Admita-se que, num dado momento, o mercado obrigacionista, para aplicações

isentas de risco de falência, apresenta a seguinte estrutura de taxas de juro spot eforward:

1 1 2 3 4 5

Taxas Forward [0,000% 11,000% 12,000% 13,000% [4,000%

TaxasSpot 10,000% 10,499% 10,997% [1,494% 11,991%

Uma obrigação (Obrigação A) vencendo um cupão fixo anual de 30 unidades

monetárias, com um prazo de cinco anos, e com um valor nominal de reembolso de 1000

unidades monetárias, terá um preço de equilíbrio - ignorando custos de transacção e de

incidência fiscal - de 677,877 unidades monetárias. Uma outra obrigação (Obrigação B)

que difira da primeira apenas pela taxa de cupão, sendo desta feita de 12% - em vez dos

3% daquela outra-, terá um preço de equilíbrio de 1008,548. Significa isto que estas obri

gações teriam taxas actuariais de rendibilidade de equilíbrio diferentes - 11,9178% para a

72 Tambdm Carleton e Cooper (1976, p1069) rererem que “Ç.) lhe fact that several different bond yields cais be

observed for a given maturity does foI in ilseli indicate data noise or disequilibrium (.3”.

Obrigação A e 11,7643% para a Obrigação E - pese embora apresentem o mesmo prazo e

a mesma qualidade creditícia. Segundo o que Buse (1970, p. 815) demonstra, assim é

porque, dada a estrutura de prazos vigente, duas obrigações, de idêntico prazo, com dife

rentes taxas actuariais de rendibilidade podem conferir o mesmo retomo seja qual for o

período da aplicação financeira. Assim, acontece neste exemplo. Com efeito, se se

admitir, por hipótese, um horizonte de detenção da obrigação de 3 anos, o retomo que o

obrigacionista pode esperar é de 36,752%~~ independentemente do instrumento finan

ceiro (Obrigação A ou E) utilizado. Na realidade, passados 3 anos sobre a operação ini

cial de aquisição da obrigação verificar-se-fa, previsivelmente74, a situação seguinte:

TABEI.A 3.2 - Rm-oruqo To1~A1. PAp,& AS OBRIGAÇÕES A E E,

NUM HoRlzomt DE APLICAÇÃO DE 3 ANOS

Obrigação A Obrigação E(1) Preço Previsível cm t = 3 826,1140 975,6249

(ii) Preço em t=O 677,877 [008,548

(iii) Ganho de Capital Previsível, ie, (0-01) 148,237 -32,923

(iv) Valor Futuro dos Cupões em t = 3,

ie, cupões mais juros de juros 100,896 403,584

(v) Retomo Total, ie, (iii) + (iv) 249,133 370,661

(vi) Taxa de Rendibilidade, ie, (v)/Oi) 36,752% 36,752%

Este exemplo ilustra a ideia de que nas obrigações de menor cupão o ganho de

capital representa um contributo para o retomo total maior do que nas obrigações de

cupão mais elevado; verificando-se, evidentemente, o contrário no que conceme à impor

tância relativa dos cupões e dos juros de juros na formação do retomo total.

Em suma, salvo as excepções referidas, a estrutura de yields é, apenas, uma aproxi

mação imperfeita da estrutura de prazos das taxas de juro, a qual se materializa em poten

73 Calculada como se segue: ([+10%) x (1+11%) x (1+12%) - 1.74 Trata-se, cono é evidente, de uma previsão que só se concretizará caso as taxas de juro spot futuras coincidam com

as taxasforward calculadas no momento inicial.

ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JUROVERSUS ESTRUTURA OETAxA5 AcTUARIAIS DE RENDIBILIDADE

TABELA 3.1 - TAXAS SPOTEFORWARD

8283

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MDDELOS DINÂMICOS

ciais erros de avaliação sempre que o valor da obrigação é determinado pela actualização

de todos os seus cashflows a uma única taxa actuarial de rendibilidade. Na base desta cir

cunstância radica o facto de - como veremos adiante - a taxa actuarial de rendibilidade

assumir que os pagamentos intermédios podem ser reinvestidos àquela mesma taxa, o que

só é verdade na hipótese de serem constantes as taxas de juro para qualquer prazo.

3.2.1 A AVALIAÇÃO DE OBRIGAÇÕES PELA

TAXA ACTUARIAL DE RENDTBJLIDADE

Nos próximos parágrafos procuraremos enunciar as desvantagens da utilização das

yields no mercado obrigacionista que autores como Schaefer (1977) e Buse (1970), entre

outros, apontam.

A - JNcOMUNIcABILIDADE DAS Taks ACTUARIAIS DE RENDIBILIDADE

Conhecendo a estrutura de prazos das taxas de juro seremos capazes de avaliar uma

obrigação e, ulteriormente, calcular a respectiva taxa actuarial de rendibilidade. Todavia,

conhecendo a taxa actuarial de uma dada obrigação, com um particular perfil de paga

mentos, dela nada podemos inferir acerca da taxa actuarial de rendibilidade adequada

para a avaliação do preço “justo” de uma obrigação com um outro perfil de

pagameatos75.

B - Duscornt, A TAXAS DIFERENTES, DE PAGAMENTOS

QUE OCORREM NO MESMO MOMENTO

Se duas obrigações apresentam diferentes taxas actuariais de rendibilidade os seus

cash flows concretizados num mesmo momento são descontados a diferentes taxas.

Noutros termos, o valor actual de uma unidade monetária que seja recebida dentro de um

determinado prazo depende de obrigação para obrigação, consoante a respectiva taxa

75 Com efeito, confonne anteriomiente vimos, duas obrigações, de idêntico prazo, poderIo proporcionar o mesmo

retomo, tendo contudo taxas actuariais diferentes.

ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JUROVERSUS ESTRUTURA DETAXAS ACrUARIAIS DE RENDIBILIDADII

actuarial de rendibilidade. Pelo contrário, o uso das taxas de juro spo: faz com que os

pagamentos de diferentes obrigações concretizados no mesmo momento do tempo sejam

descontados a uma mesma taxa de juro.

C - DESCONTO, A UMA MESMA TAXA, DE PAGAMENTOS

QUE OCORREM EM MOMENTOS DIFERENTES

Os pagamentos efectuados por uma obrigação em diferentes momentos do tempo

são descontados com base em uma mesma taxa actuarial de rendibilidade, o que, evidente

mente, só é compatível com a estrutura de prazos das taxas de juro se esta for horizontal.

D - PRESSUPOSTO DO REINVESTIMEN’ID

No cômputo da taxa actuarial de rendibilidade assume-se implicitamente que o

cupão pode ser reinvestido a essa mesma taxa, conforme a equação seguinte evidencia:

Pj(1+~ 2 CF1~ (i+Yj)°1t= 1

onde a notação mantém o significado anteriormente referido.

(3.17J

Evidentemente que a equação [3.17] deriva da multiplicação por (1 + ypn de

ambos os membros da equação [3.5] com base na qual se procede ao cálculo da taxa actu

anal de rendibilidade,

Também o pressuposto de reinvestimento à taxa actuarial de rendibilidade só apre

senta racionalidade num cenário de taxas de juro constantes, independentemente do prazo.

Em suma, porque a taxa actuarial de rendibilidade é única para cada obrigação, a

comparação de pagamentos de obrigações diferentes com base em uma mesma taxa actu

anal é impossível, o que significa que o cômputo da estrutura de prazos dns taxas de juro

é indispensável para o cálculo do valor “justo” das obrigações e, consequentemente, para

uma intervenção consciente no mercado obrigacionista.

8485


Acontece, porém, que as taxas actuariais de rendibilidade divergem das taxas de

juro à vista de igual prazo por via da influência dos pagamentos intermédios que

decorrem até à amortização final da obrigação76. Isto é, é por via da existência de cupões

periódicos (aos quais acresce a - eventual - existência de reembolso escalonado ao longo

do tempo) que yields e taxas spot divergem, originando o comummente denominado

“efeito-cupão”, ao qual dedicaremos o ponto que se segue.

3.2.2 O EFEITO-CUPÃO SOBRE A TAXA ACrUARIAL DE RENDIBILIDADE

O efeito-cupão designa a influência que a magnitude do cupão periódico exerce

sobre a taxa actuarial de rendibilidade, a qual pode ser medida em termos absolutos ou

em termos relativos.

Quando aferido em termos absolutos, como o faz Soares da Fonseca (1991, p. 112),

o efeito-cupão traduz-se na diferença entre a taxa actuarial de rendibilidade e a taxa de

juro spot de prazo idêntico. Quando expresso em termos relativos, como o fazem entre

outros Buse (1970) e Schaefer (1977), o efeito-cupão exprime-se como a derivada da taxa

actuarial de rendibilidade de uma obrigação que vence cupões relativamente ao montante

desses mesmos cupões.

Diversos economistas têm tentado estabelecer uma ligação entre o efeito-cupão e a

estrutura de prazos das taxas de juro.

Soares da Fonseca (1991, p. 111 e sgs) evidencia um conjunto de importantes rela

ções, que passamos a descrever:

- o efeito-cupão varia directamente, em valor absoluto, com o nível do cupão;

- no caso da estrutura de prazos das taxas de juro ser crescente, o efeito-cupão é

negativo; verificando-se o inverso (isto é, o efeito-cupão é positivo) no caso de a

estrutura de prazos das taxas de juro ser decrescente;

- o efeito-cupão, em valor absoluto, é crescente com o prazo da obrigação.

Segundo Schaefer, C, A0, R0 e ~n estabelecem entre si a seguinte relação:

a) 6An/õn > O e ÕYn/BC < O se Rn>An;

b) 8An/8n = O e 6Y1,,/ÔC = O se R0=A0;

c) ~An/~n <O e 8Y0/SC > O se R~.czA~

ESTRUTURA DE PRAZOs DAS TAXAS DE JUROVERSUS ESTRUTURA DE TAXAS ACrUARIAIS DE RENDIDILIDADE

Por sua vez, Schaefer (1977. p. 61 e sgs), utilizando a definição de efeito-cupão em

termos relativos, chega também a algumas conclusões interessantes, as quais passaremos

a descrever.

Sejam Y~,, Rn e An, respectivamente, a taxa actuarial de rendibilidade, a taxa de

juro à vista e a taxa de rendibilidade periódica, para aplicações sem risco de prazo ii. Uma

vez que Y11 e R0 têm significados já explicitados, importa agora precisar o conceito de

taxa de rendibilidade periódica. Trata-se da taxa de rendibilidade que se infere do valor

actual de uma renda de termos constantes, nos moldes que se seguem:

j C ...~ C 13.1811=1 (1+Rjt t1 (1+A0~

Note-se que, dividindo ambos os membros da equação [3.18] pelo montante da

renda periódica (isto é, pelo cupão periódico) C obtemos uma expressão que não depende

da sua magnitude, pelo que a taxa actuarial An não padece do efeito-cupão, sendo o seu

valor unicamente função da estrutura de prazos das taxas de juro (Ri, t= 1,..., n).

76 Não nos devemos esquecer que, confonnc vimos, nas obrigações de cupão zero as taxas actuariais de rentabilidade eas taxas à vista coincidem.

Significa isto que o efeito-cupão - quando medido em termos relativos - é negativo e

a taxa de rendibilidade periódica é crescente enquanto a taxa spot for superior à taxa de

rendibilidade periódica. Pelo contrário, sendo a taxa de juro à vista inferior à taxa de rendi

bilidade periódica o efeito-cupão é positivo e a taxa de rendibilidade periódica é decres

cente. Verificando-se a identidade da taxa de juro spot de um dado prazo e a correspon

8687


dente taxa de rendibilidade periódica esta assume o seu valor máximo e o efeito-cupão é

nulo, o que significa que todas as obrigações sem risco e com tal prazo apresentam a

mesma taxa actuarial de rendibilidade independentemente do tamanho do respectivo cupão.

Ainda segundo Schaefer, este último resultado, isto é, a igualdade da taxa de juro

.vpot, da taxa rendibilidade periódica e da taxa actuarial de rendibilidade, verifica-se

quando a taxa de juro .vpot satisfaz a seguinte condição:

=afi

[3.19]

onde, dn simboliza o n~m0 termo da função de desconto, ou seja, corresponde ao

valor actual de uma unidade monetária que se vence passados g períodos; e an corres

ponde ao valor presente de uma renda unitária de ii períodos77.

3.2.3 A FORMA DA YIELD CURVE, A ESTRUTURA

DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO E O EFEITO-CUPÃO

De acordo com Soares da Fonseca (1991, p. 115 e sgs) “les courbes des taux actua

deis, par maturité, des obligations qui versent des coupons sont croissantes si la structure

par termes des taux “spot” est croissante, et décroissants si ia structure par termes des

taux “spot” est décroissante”.

Schaefer (1977, p. 64), por sua vez, apresenta um exemplo numérico, segundo o

qual a forma da yield curve depende da magnitude do cupão. Em concreto, de acordo com

este exemplo, as yields curve de obrigações com cupão elevado são monotónicas cres

centes, enquanto que as yields curves de obrigações de cupão reduzido apresentam a

forma de um U invertido.

77 Ou seja: a, =1d~.

ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JUROVERSUS ESTRUTURA DETAXAS ACrUARIAI5 DE RENDIBILIDADE

3.3 A AVALIAÇÃO DE OBRIGAÇÕES DE TAXA INDEXADAE A DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO

3.3.1 INTRODUÇÃO

Nas palavras de Solnik (1988, p. 782) “les obligations à taux variables ont été intro

duites pour réduire, voire éliminer, le risque de taux d’intérêt”. De facto, as obrigações de

cupão indexado surgiram na década de 70, num contexto de elevada e inconstante

inflação geradora de instabilidade nos mercados de dívida.

Com efeito, num ambiente em que a capacidade de formular expectativas credíveis

sobre a evolução da taxa de juro nominal se encontra prejudicada, as obrigações de cupão

fixo tomam-se pouco recomendáveis para emitentes e investidores. Na realidade, erros

por excesso na previsão da evolução das taxas de juro importam perdas para a entidade

emitente, ao passo que ocorrendo erros por defeito na mesma previsão serão os obrigacio

nistas a registar perdas reais, tanto no valor dos cupões, como no valor da amortização.

Daí que às obrigações de cupão indexado, por acompanharem de perto a evolução

das condições de mercado, seja reconhecida uma maior adequabilidade - inerente à maior

estabitidade do respectivo valor78 - para promover, no seio dos mercados de obrigações, a

transferência de recursos financeiros dos agentes económicos aforradores para as

empresas e para o Estado sempre que se registem períodos de forte instabilidade na evo

lução das taxas de juro.

Alternativamente à emissão de obrigações (de taxa indexada) de longo prazo pode

ser concretizada uma estratégia de emissões sucessivas (roll-over) de instrumentos (de

taxa fixa) de curto prazo, uma vez que também por esta via se atinge o objectivo de

redução do risco de taxa de juro. Todavia, segundo Rainaswany e Sundersan (1986, p.

252), os emitentes preferem - geralmente - a emissão de obrigações indexadas (a um refe

78 ~ These floMing-raie inslrumenl’s value is more siable (han abas o( fixed-rase inveslimenta’ Rasnaswamy e

Sundaresan (1986, p. 252).

8889


rencial de curto prazo), pois as mesmas permitem acompanhar de perto a evolução das

taxas de juro, sem originar sucessivos custos de transacção relacionados com os pro

cessos de emissão e amortização dos empréstimos. Para além do mais, segundo os

mesmos autores (obra citada, p. 252), “an investor considering an investiment in fixed

rate notes will demancl compensation for any additional rislc from the fluctuations in the

value of the fixed-rate note compared to an equal investiment in variable-rate notes”.

Entretanto, nas obrigações de cupão indexado, ao contrário do que acontece com as

obrigações de cupão fixo, não se conhece com exactidão os fluxos de rendimento futuros

que serão proporcionados pela obrigação, pelo que, com rigor, nem a entidade emitente

conhece os montantes que terá de desembolsar periodicamente, nem os investidores

conhecem exactamente os rendimentos a que podem aceder com a aquisição da obrigação.

Esta circunstância, aliada à dificuldade de construção de indexantes que, por um

lado, traduzam a evolução do mercado e, por outro lado, não apresentem volatilidade

excessiva, tem motivado algum desinteresse pelas emissões de taxa indexada em con

textos de moderada evolução (leia-se, reduzida instabilidade) das taxas de juro.

A estes argumentos acresce a circunstôncia de a desregulamentação e a inovação

que têm pautado a evolução dos mercados financeiros nos últimos anos terem promovido

o aparecimento de novos instrumentos de intervenção financeira (designndamente futuros

e opções sobre activos financeiros e swaps de taxas de juro) os quais permitem, quando

utilizados em concomitância com a emissão/aquisição de obrigações, transferir o risco de

taxa de juro do emitente/obrigacionista para agentes económicos mais vocacionados para

a sua assunção79.

No que mais importa ao presente documento, as obrigações de cupão indexado -

por comparação com as obrigações de taxa fixa - encerram dificuldades adicionais no que

79 Aliás, tanto as opções quanto os futuros financeiros surgiram na altura em que as obrigações de cupso indexado pas

safam a ter utilização generalizada, sendo que em qualquer doa casos se visava dotar os agentes económicos de mecanismos que os colocassem a coberto doa efeitos inerentes às oscilações das taxas de juro. Com efeito, seda em 1972 quesurgiriam os primeiros contratos de derivados sobre activos financeiros e o primeiro mercado organizado especializadoem derivados financeiros (futuros e opções) - o Inserasational Moneta,y Market de Chicago, penencente à ChicagoMercantile Exchsnge.

rEsTRUTURA DE PRAZOS DA5 TAXAS DE JURO

5’ERS~JS ESTRUTURA DE TAXAS ACTUARIAI5 DE RENDInILI0ADE

conceme à sua avaliação e, concomitantemente, no que respeita à estimação da estrutura

de prazos das taxas de juro implícita nos preços contratados.

3.3.2 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE OBRIGAÇÕES DE CUPÃO INDEXADO

E A DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

O grande problema da avaliação de obrigações de cupão indexado reside, conforme

já referido, na incerteza do montante dos cupões de juros daquelas obrigações. Daí que os

métodos de avaliação de obrigações de cupão indexado tenham como ponto essencial a

previsão de todos os cupões futuros, para o que existem dois métodos, sendo qualquer

deles não satisfatório, como em seguida constataremos80.

A) A CRISTAUZAÇÃO DO CUPÃO

A “cristalização do cupão” consiste em pressupor que a taxa de referência manterá

ao longo da vida da obrigação o seu último valor conhecido. Assim, o valor dos cupões

futuros é - pressupostamente - constante e igual ao valor que resultaria da aplicação do

valor instantâneo actual da taxa de referência (e, concomitante, margem) ao valor

nominal da obrigação.

Este método de previsão dos cupões futuros é apenas racionalmente compatível com

a hipótese de imutabilidade futura das taxas de juro de prazo idêntico ao prazo da taxa de

referência. Com efeito, somente fará sentido proceder à cristalização da taxa de referência

- a qual, por hipótese, é um referencial das taxas de juro de mercado - na hipótese de a taxa

forward de prazo idêntico à taxa de referência implícita na estrutura de prazos das taxas de

80 Na realidade existe uma terceira vis, à qual nos reportaremos ulseriormente. Trata-se dos modelos estocástieos de

taxas de juro, tais como o modelo de Ho e Lee e de Black, Denuan e Toy, os quais configurando a evolução da taxa dejuro curto prazo a partir da estrutura de prazos vigente, permitem a avaliação dos activos financeiros cujo valor e/ou operfodo de vida depende da evolução da evoluçso fusura das taxas de juro. Com esses modelos é possível prever diferenses valores . e respectivas probabilidades de ocorréncia - para os cupões futuros da obrigação de taxa indexada, bemcomo das taxas dejuro a que os mesmos devem ser descontados para o presente.

909!


juro ser constante ao longo de todo o período de vida da obrigação, o que se traduz na exi

gência de forma horizontal para a estrutura de prazos das taxas de juro.

Evidentemente que não fará qualquer sentido utilizar o valor dos cupões previstos

por este método para, conjuntamente Com a informação sobre os preços praticados para

essas obrigações no respectivo mercado secundário, inferir a estrutura de prazos das taxas

de juro, uma vez que há um pressuposto prévio quanto a essa estrutura de prazos.

B) AVALIAÇÃO DE OnRIGAÇÕES DE CUPÃO VARIÁVEL INDEXADAS

A UMA TAXA DE REFERÊNCIA DE MERcADO DE CURTO PRAZO

E 1) AVALIAÇÃO DE OBRIGAÇÕES DE MARGEM NULA

Tratando-se da avaliação de obrigações de cupão variável, de margem nula, inde

xadas a uma taxa de referência de mercado de curto prazo, conforme evidenciam, entre

outros, Ramaswamy e Sundaresan (1986), Solnik (1988) e Soares da Fonseca (1993), a

avaliação da obrigação resulta facilitada.

Na realidade:

(i) se o cupão for indexado a uma taxa de curto prazo de mercado, sem qualquer

spread, o valor da obrigação ex-cupão corrente na data de vencimento do cupão em

curso é igual ao valor nominal81;

(ii) sendo (i) verdade, então, como o valor corrente do cupão é conhecido, o valor

da obrigação na próxima data de vencimento de juros obtém-se por simples soma

do cupão presente ao valor nominal da obrigação;

(iii) logo, o valor actual não é mais do que o valor descontado para o presente do

valor da obrigação na próxima data de vencimento dos juros;

(iv) ora, a taxa de desconto do valor da obrigação para o presente é uma taxa de

juro .spot corrente, de curto prazo, consequentemente facilmente calculável.

rESTRUTURA DE PRAzos DAS TAXAS DE JURO

VERSIJS ESTRUTURA DE TAXAS ACTUARIAI5 DE RENDIBILIDADE

Sendo este um método que permite uma fácil avaliação da obrigação, apresenta

contudo reduzido alcance prático. Com efeito, dificilmente se encontrarão obrigações

indexadas a referenciais de curto prazo que possam ser entendidos como indexantes cre

díveis que, por um lado, traduzam a evolução do mercado e, por outro lado, não apre

sentem volatilidade excessiva. De igual modo, dificilmente se encontram obrigações emi

tidas com margem nula, sendo pelo contrário frequente que a taxa de cupão exceda a taxa

de referência por uma margem aditiva ou multiplicativa.

Em qualquer dos casos, não é possível determinar a estrutura de prazos das taxas de

juro a partir da informação produzida por este método de avaliação, a não ser no que con

ceme à inferência das taxas de juro de muito curto prazo - isto é, de prazo idêntico ao

prazo que medeia entre a data da avaliação da obrigação e a data de vencimento do pró

ximo cupão de juros, pois só por via desta taxa de juro o preço da obrigação divergirá do

valor nominal.

B2) AVALIAÇÃO DE OBRIGAÇÕES COM MARGEM PARA COBERTURA DE Risco

Entretanto, será normal, como já referimos, que à taxa de indexação da obrigação se

acrescente uma margem, a qual se destina a premiar o maior ou menor grau de liquidez

das obrigações de médio prazo e/ou o diferencial de risco de crédito do seu emitente,

comparativamente, respectivamente, à liquidez dos títulos de curto prazo que estão na

base da taxa de referência e ao risco de incumprimento do(s) seu(s) emitente(s).

Pressupondo uma margem positiva, aditiva e constante (M) ao longo de toda a vidada obrigação, constata-se que o preço do título, imediatamente após o vencimento de juros

periódicos, não é mais do que a soma do valor nominal da obrigação com o valor actual

de uma renda periódica cujo montante é igual a M multiplicado pelo valor nominal82.

Assim, neste caso, inferir a estrutura de prazos das taxas de juro a partir de obriga

ções de taxa variável ou a partir de obrigações de taxa fixa reconduz-se a exercícios

semelhantes. Note-se, contudo, que o mesmo não acontecerá na hipótese da margem ser

82 Vide demonstração em Soares da Fonseca (1993).Vide demonstração no Anexo 2.

9293

r


variável ao longo do tempo (o que é lógico pressupor à luz da teoria do prémio da

liquidez) ou na hipótese de a margem Ser multiplicativa, circunstâncias em que a determi

nação da estrutura de prazos das taxas de juro se afigura problemática.

Por tudo isto, a ciência económica, pela pena de vários autores, desenvolveu téc

nicas de estimação empírica das estrutura de prazos das taxas de juro que pressupõem a

existência de mercados obrigacionistas de taxa fixa desenvolvidos. A este propósito

poderá argumentar-se que em sistemas financeiros menos desenvolvidos e em economias

menos avançadas será difícil reunir um conjunto de obrigações de taxa fixa suficiente

mente lato de modo a permitir a inferência fidedigna da estrutura de prazos, tanto mais

que nessas economias (tendencialmente de elevada inflação) tenderão a predominar emis

sões a taxa variável. Acontece porém que, nesses países, o mercado obrigacionista é

essencialmente composto por emissões do Estado, sendo as mesmas - por norma - inde

xadas a taxas de referência administrativamente controladas. Nesta altura, os governos

tenderão a congelar o mais possível as taxas de referência (de modo a reduzir as taxas de

juro reais dos empréstimos) pelo que, em tais circunstâncias, a hipótese de cristalização

do cupão permite suprimir, de modo satisfatório, a ausência de um mercado secundário de

obrigações a taxa fixa suficientemente amplo e desenvolvido.

3.4 CONCLUSÕES

Neste Capitulo constatamos que um conjunto de taxas spot é mais adequado para

representar a estrutura de taxas de juros para diferentes prazos do que um conjunto de

taxas actuariais de rendibilidade. Em concreto, constatamos que a taxa actuarial obtida a

partir de uma qualquer obrigação não reflecte apenas as condições de taxa de juro

vigentes no mercado obrigacionista, reflecte igualmente as características próprias da

obrigação em causa, designadamente a magnitude do respectivo cupão.

Vimos, ainda, que na ausência de um conjunto suficientemente amplo de obrigações

de cupão zero que permita a construção de uma estrutura de prazos das taxas de juro que

94

ESTRUTURA DEPRAZO5 DAS TAXAS DEJUROVERSUS ESTRUTURA DETAXAS AC~UARIAI5 DE RENDInILIDADE

contemple um espectro de prazos suficientemente lato e sem “buracos”, é necessário

recorrer à informação existente sobre obrigações com cupão.

Finalmente, foram apontadas algumas dificuldades à avaliação de obrigações cujo

cupão não é fixo, razão pela qual alguns métodos - particularmente aqueles a que nos

vamos referir no capítulo seguinte - tendem a eleger a informação existente para as obri

gações de cupão fixo para o cálculo da estrutura de taxas spot.

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Schaefer, 5. M. (1973) “On Measuring the Term Structure of Interest Rates”, London cesso estocástico seguido pelas taxas de juro. Significa isto que os métodos que iremos

Business School - Drafi. abordar neste capítulo não exigem qualquer explicitação sobre o caminho aleatório

seguido pelas taxas de juro. Noutros termos, a volatilidade das taxas de juro (tanto deShea, G. 5. (1985) “Interest Rate Term Structure Estimation with Exponential Splines: A curto, como de longo prazo) é indiferente para estes métodos, os quais assentam, basica

Note”, Theiournal ofFinance, Vol. XL, n°1, March, 3 19-325.mente, no cálculo das taxas spot que - no momento da estimação - melhor se adequam

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Risco de Taxa de Juro, Artigo apresentado no 12 Encontro de Economistas de Línguadas taxas de juro a partir de obrigações sem cupão ou de stripped treasury securities (ins

Portuguesa.trumentos financeiros com características semelhantes a obrigações sem cupão).

Solnik. E. (1988) “Risque de Taux d’une Obligation à Taux Variable”, La Revue Banque,

Juillet-Aoflt, 782-792. Veremos também que alguns autores - como Carleton e Cooper (1976), McCulloch

(1971, 1975), Chambers, Carleton e Waldman (1984), Vasicek e Fong (1982), Soares daVasicek, O. A. e Fong, H. G. (1982) “Term Structure Modeling Using Exponential Fonseca (1991), Echols e Elliot (1976), entre outros - construíram modelos economé

Splines”, The Journal ofFinance May, 339-348.tricos que, basicamente, consistem em estimar a função de desconto com base na relação

ii (aleatória) entre o preço actual de cada obrigação com cupão e os cash-flows a gerar por1• esta no futuro.

96 1•

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELflS DINÂMICOS

Finalmente, veremos que outros autores - Hodges e Schaefer (1977) e Schaefer

(1981) - sugeriram um modelo, que, através da optimização de carteiras de títulos com

vários prazos, permite a estimação da estrutura de prazos das taxas de juro.

4.1 COM INSTRUMENTOS DE DOIS FLUXOS

kstrumentos de dois fluxos são aqueles em que, na perspectiva da aplicação finan

ceira, há lugar a um desembolso inicial (primeiro fluxo) em contrapartida de um reem

bolso final (segundo fluxo). Vejamos de que modo se pode calcular a estrutura de prazos

das taxas de juro a partir de dois tipos de instrumentos de dois fluxos: as obrigações sem

cupão e os siripped :reasury securities.

4.1.1 A PARTIR DE OBRIGAÇÕES SEM CUPÃO

A determinação da estrutura de prazos das taxas de juro a partir de obrigações de

cupão zero é muito simples. Basta para o efeito conhecer o preço das obrigações e o res

pectivo prazo para o vencimento para, recorrendo à fórmula [4.1] ou à fórmula [4.2], con

soante, respectivamente, se pressuponha um processo de capitalização num conjunto de

datas discretas ou um processo de capitalização contínuo.

Com efeito, recorrendo à fórmula que se segue obtemos a taxa spot vigente para

aplicações de prazo t, capitalizável periodicamente:

RITR1L [4.IJ

Recorrendo a esta outra fórmula, obtém-se a taxa spot para idêntico prazo, no pies-

suposto de que o respectivo processo de capitalização é contínuo:

[4.2)

r

CÁLCULO DA ESTRUTURA DE PRAzos DAS TAXAS DE JURO

Em qualquer destas fórmulas, as variáveis apresentadas têm o significado que lhes

foi atribuído em capítulos anteriores (isto é, P~ representa o preço da obrigação sem cupão

de prazo t; VR simboliza o respectivo valor residual; t corresponde ao prazo para o venci

mento da obrigação; e R~ representa a taxa spoi de prazo t).

Aplicando estas fórmulas a obrigações de diferentes prazos obtemos as respectivas

taxas spor, pelo que se o espectro de prazos for suficientemente largo obtemos uma com

pleta descrição da estrutura de prazos das taxas de juro. O problema é que, conforme refe

rido no Capítulo 3, usualmente não se encontram cotadas obrigações sem cupão senão

para um número reduzido de prazos, pelo que, excepto para este conjunto de prazos, não

é possível determinar a estrutura de prazos das taxas de juro.

4.1.2 A PARTIR DE STRIPPED TRE/ISURY SECURITIES

Nos Estados Unidos da América existem instrumentos financeiros com caracterís

ticas semelhantes às obrigações de cupão zero, que sendo baseados em obrigações do

Tesouro, apresentam risco de incumprimento igual ao da dívida pública. Vejamos quais as

características desses instrumentos e de que modo se podem calcular taxas spor a partir

dos respectivos preços.

4.1.2.1 Caracterização dos Stripped Treasury Securities

Os stripped rreasury securities são activos financeiros criados por intermediários

financeiros norte-americanos. As suas origens remontam a 1982, altura em que as firmas

“Merrill Lynch, Pierce, Pemer & Smith” e ‘Salomon Brothers” criaram, respectivamente,

os “Treasury Income Groth Receipts” (TIGRS) e os “Certificates of Accrual on Treasury

Securities” (CATS). Aos TIGRS e CATS seguiram-se outros activos de características

semelhantes.

O processo seguido na emissão destes activos é muito simples. A entidade emitente

compra um conjunto de títulos da dívida pública e procede ao seu depósito junto de um

banco depositário. Em seguida emite certificados sobre os cupões e sobre o valor de

98 99

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS CÁLCULO DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DEJURO

amortização dos títulos. Estes certificados são emitidos a desconto, o que faz Com que os

stripped treasury securities sejam uma espécie de obrigações sem cupão. Com efeito,

como assinalam Cruz, Nascimento e Alves (1994, p. 137), referindo-se aos TJGRS e aos

CATS, “o facto de representarem uma fracção de uma carteira de valores aproxima-os das

unidades de participação em fundos de investimento mobiliário”, mas, por outro lado, “a

técnica de emissão a desconto por perfodos fixos renováveis, aproxima-os das zero

coupon bonds”.

Estes activos têm ainda a vantagem de tomar acessível o investimento em dívida

pública a bolsas de reduzida capacidade aquisitiva, porquanto o valor nominal dos certifi

cados a emitir pelo intermediário financeiro é, por norma, reduzido. Com efeito, como

assinalam os autores atrás citados, estes activos têm em vista “transformar a oferta de

valores colocados em grandes lotes, ou blocos indivisíveis, permitindo o acesso do

público a valores mobiliários de elevado valor unitário pela via da emissão de certificados

de reduzido valor nominal” (Cruz, Nascimento e Alves (1994, p. 137)).

4.1.2.2 Cálculo da Estrutura de Prazos Implícita

Sendo os stripped treasury securities activos com características semelhantes às

obrigações de cupão zero, é possível e fácil calcular uma estrutura de prazos das taxas de

juro a partir da informação sobre os respectivos preços e prazos. Com efeito, bastará

aplicar as fórmulas ([4.1] ou [4.2]) que se usam para determinar a estrutura de prazos a

partir de obrigações sem cupão.

4.1.2.3 Problemas das Taxas Spot Calculadas a Partir de Stripped Treasury Securilies

As taxas calculadas a partir de stripped rreasury securities apresentam, normal

mente, problemas não negligenciáveis, os quais não se devem nem às características do

instrumento financeiro, nem ao método de cálculo, mas tão somente às características do

mercado onde aquele instrumento financeiro é transaccionado e a razões de natureza

fiscal.

Com efeito, no relato de alguns autores, a liquidez do mercado de stripped treasury

securjijes é reduzida, designadamente quando comparada com a liquidez do mercado dos

títulos de dívida pública. Significa isto que, provavelmente, as taxas inferidas a partir de

stripped rreasury securities poderão incluir um prémio de liquidez injustificável no mer

cado de obrigações do Tesouro. Donde, a utilização das taxas spor assim calculadas para

tomar decisões sobre obrigações do Tesouro pode ser um exercício sujeito a erro. Dito de

outro modo, as taxas spot assim obtidas poderão não representar adequadamente a estru

tura de prazos das taxas de juro, porquanto os preços dos activos que lhes dão origem

poderão não ser formados no contexto de um mercado líquido, competitivo e equilibrado.

A pobreza do mercado de stripped treasury securities, com vista à estimação da

estrutura de prazos de taxas de juro, manifesta-se, ainda, na heterogeneidade dos investi-

dores que nele actuam. Na verdade, se, como nos relata Fabozzi (1993, p. 193), os seg

mentos de mais longo prazo são objecto de aplicações financeiras avultadas por investi-

dores estrangeiros que procuram aproveitar vantagens fiscais, as taxas de juro para aplica

ções de mais longo prazo inferidas a partir deste mercado serão - provavelmente - inferi

ores àquelas que se registariam caso as preferência pelos diversos segmentos de prazos

fossem idênticas às do mercado “normal” (isto é, o mercado de obrigações do Tesouro).

Donde, também por esta razão, a estrutura de prazos das taxas de juro derivada dos

stripped treasury securities pode não ser adequada para consubstanciar a tomada de deci

sões no âmbito do mercado de obrigações do Tesouro.

4.2 A PARTIR DE OBRIGAÇÕES COM CUPÕESPELO MÉTODO BOOTSTK4PNIVG

Vamos ver uma forma relativamente simples de estimar a estrutura de prazos das

taxas de juro a partir de um conjunto de preços de obrigações com cupão ou das respec

tivas yields to maturity.

100 101

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS CÁLCULO DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

R5= C+VR 1/n~1 [4.3]

C(1 ÷R1~

onde C simboliza o cupão periódico e a demais notação mantém o significado habitual85.

Apresentamos, de seguida, um exemplo de aplicação deste método de cálculo.

Exemplo - Aplicação do Método de Eootstrapping

4.2.1 APRESENTAÇÃO DO MÉTODO

O método de determinação da estrutura de prazos que vamos apresentar em

seguida, usualmente denominado bootstrapping83, assume que os preços das obrigações

cotadas em mercado competitivo são preços de equilíbrio, ou seja, correspondem a um

correcto desconto dos respectivos cash flows dada a estrutura (implícita) de taxas spot

vigente. A partir do conhecimento destes preços, ou das correspondentes taxas actuariais

de rendibilidade, de uma forma relativamente simples, obtém-se a estrutura de prazos das

taxas de juro. As taxas de juro spot assim obtidas são denominadas “taxas spot teóricas”,

do mesmo modo que a correspondente estrutura de prazos é denominada “estrutura de

prazos teórica”, por contraposição às taxas spot, e concomitante estrutura de prazos,

obtidas directamente do desconto de obrigações de cupão zero, sem risco de falência, não

sujeitas a estrangulamentos fiscais ou decorrentes de custos de transacção, negociadas em

mercado competitivo84.

Em suma, este método consiste em calcular a estrutura de taxas spot directamente a

partir de obrigações com cupão avaliadas em mercado. O processo de cálculo é o

seguinte:

(i) A taxa .vpot é igual à yield to maturiry para o primeiro período, desde que este

seja suficientemente pequeno para que não falte vencer senão o último cupão de

juros;

(ii) Usando a primeira taxa spot desconta-se o primeiro cupão da obrigação com

prazo de dois períodos. A esta parcela soma-se uma outra correspondente ao des

conto a taxa desconhecida do segundo cupão acrescido do valor de reembolso. A

soma assim obtida é igual ao preço (conhecido) da obrigação, pelo que pela reso

lução da equação obtida determina-se a segunda taxa spot.

(iii) Continuando este procedimento determinam-se as demais taxas spot. Em con

creto, a nésima taxa calcula-se por recurso à fórmula que se segue:

Suponha-se que, num dado momento, se obteve a seguinte informação relativa a

obrigações isentas do risco de falência, transaccionadas em mercado competitivo, não

sujeitas a incidência fiscal, nem a custos de transacção, vencendo cupões semestrais a

taxa fixa, com um valor nominal e de reembolso de 1000 unidades monetárias:

TABELA 4.1 - PRAzos, CUPÕES, YIELDS E PREços PARA 10 OBRIOAÇÕES HIP0TÉrIcAS

Obrigação Prazo

(Anos)

0,5

1,5

2

2

3

4

5 2,5

6 3

7 3,5

Taxa de

Cupão

0,00%

1 0,00%

10,00%

10,50%

9,50%

9,75%

10,00%

10,50%

9,50%

12,00%

Preço

(u.m.)

950, 119

990,768

983, 842

985,336

952,449

944,680

929,779

934,095

888,459

966,165

83 VIde Pabozzi (1992, p. 192).84 Donde, também as laxas spor derivadas das stripped ireasury securides devem aer denominadas teóricas.

Yield to

Maturity

10,50%

11,00%

11,20%

11,34%

11,75%

12,00%

12,54%

12,65%

12,84%

12,94%

8 4

9 4,5

10 5

85 De notar que as laxas spot coneaponden ao período do cupão, o que significa que au, por exemplo, este período forsemestral, para se obter a laxa anualizada proporcional lerá de se proceder à sua multiplicação por 2.

102 103

TAXAS DEJURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOSCÁLCULO DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

A yield (o maturity correspondente à Obrigação 1 é simultaneamente a taxa spot

para operações a seis meses, porquanto para essa obrigação não há lugar ao vencimento

de cupões intermédios. Note-se que, mesmo que a taxa de cupão da obrigação em causa

não fosse 0% - isto é, se a Obrigação 1 fosse uma obrigação com cupões em vez de ser

uma obrigação de cupão zero - aquela afirmação era verdadeira desde que se tivessem

vencido já todos os cupões de juros excepto o último, vencendo-se este na data de amorti

zação da obrigação.

Temos, assim, que é ~ Conhecida a taxa spot: para operações a um semestre ~ =

10,50%, anual nominal e capitalizável semestralmente).

Usando esta taxa e a informação disponível para a Obrigação 2, podemos calcular a

taxa spot vigente para aplicações a prazo de um ano. Com efeito, assumindo-se que o

mercado se encontra em equilíbrio, por definição86:

990,768 = 50/(1 + 10,50% x 0,5) + 10501(1 + x 0,5)2.

TABELA 4.2 - TAXAS Spoi- TEÓRICAS

Obrigação Prazo (Anos) Taxas Spot Teóricas

1 0,5 10,50%

2 1 11,01%

3 1,5 11,22%

4 2 11,37%

5 2,5 11,81%

6 3 12,09%

— 7 3,5 12,71%

8 4 12,83%

9 4,5 13,03%

10 5 13,20%

4.2.2 DIFICULDADES DE APLICAÇÃO

Este método, sendo relativamente simples, a sua aplicação apresenta contudo

alguns problemas.

Um primeiro, decorre da eventual inexistência de obrigações cotadas para todos os

prazos. Se tal se verificar não é possível construir uma curva de taxas de juro spot sem

“buracos” (isto é, contínua ou quase contínua), sendo, consequentemente, impossível

obter a taxa spot para certos prazos.

Um segundo obstáculo, relaciona-se com a eventual não verificação do pressuposto

de que o mercado se encontra em equilíbrio. Com efeito, se, ao contrário do que o método

pressupõe, o mercado não se encontrar em equilíbrio seremos conduzidos a outra estru

tura de prazos das taxas de juro se procedermos ao seu cálculo a partir de um outro con

junto de obrigações (veja-se o exemplo que se segue). Neste caso, não é possível saber

qual dos resultados obtidos representa a estrutura de prazos vigente.

Donde, obtemos: R1 = 11,01%.

Em seguida, usando as taxas já conhecidas e a informação relativa à Obrigação 3,

podemos obter a taxa spot para aplicações de prazo igual a 1,5 anos (R15).

Com efeito:

983,842 = 501(1 + 10,50% x 0,5) + 501(1 + 11,01% x 0,5)2 + 1050/O + x 0,5)~.

Assim, R1,5= 11,22%.

Estendendo este raciocínio para as 10 obrigações obtemos o conjunto de spw iates

teóricas, o qual consta da última coluna da Tabela 4.2.

86 Trata-se, assim, dc ver a obrigação com cupões como um porçfolio dc obrigações de cupão zero correspondentcs aoscupões e à amortização final.

104

1•1

i.

1e 105

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS CÁLCULO DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DEJURO

Exemplo - Aplicação do Método em Contexto de Desequilíbrio TABELA 4.4 - TAXAS SPOT TEÓRICAS

Obrigação Prazo (Anos) Taxas Spor TeóricasAdmita-se que, no mesmo instante em que se recolheu a informação constante da ___________________________________________________

1’ 0,5 10,50%Tabela 4.1, era possível recolher a informação que se segue (Tabela 4.3) relativa a um 2’ 1 13,09%

outro conjunto de obrigações com características idênticas às do primeiro conjunto, 3 1,5 13,83%

excepto no que conceme à taxa de cupão. 2 11,75%

5’ 2,5 13,39%TABELA 4.3 - Paxzos, CUPÕES, Yisws E PREÇOS PARA 10 OBRIGAÇÕES HIPOTÉTIcAS 6’ 3 12,19%

7’ 3,5 19,27%Obrigação Prazo Taxa de Preço Yield to 8’ 4 14,28%

(Anos) Cupão (u.m.) Maturity ~‘ 4,5 17,51%

1’ 0,5 0,00% 950,119 10,50% 10’ 5 12,44%

2’ 1 12,00% 990,768 11,00%

3’ 1,5 12,50% 983,842 11,20% Afinal, qual das tabelas, a Tabela 4.2 ou Tabela 4.4, representa a estrutura de prazos

4’ 2 11,00% 985,336 11,34% vigente? Como identificar quais as obrigações que se encontram sub e sobre-avaliadas?

5’ 2,5 11,00% 952,449 11,75% Que operações de arbitragem poderemos implementar de modo a aproveitar lucrativa-

6’ 3 10,00% 944,680 12,00% mente o desequilíbrio do mercado?

7’ 3,5 15,00% 929,779 12,54% ____________________________________________________________________________

8’ 4 12,00% 934,095 12,65%Trata-se, em todo o caso de um método que permite obter, fácil e rapidamente, uma

9’ 4,5 13,00% 888,459 12,84%curva de taxas de juro spot que, excepto se o mercado se encontrar fortemente desequili

10’ 5 12,00% 966,165 12,94%brado, se ajustará razoavelmente bem à Situação do mercado.

Note-se que estas obrigações, apesar de terem taxas de cupões diferentes do con

junto inicial apresentam as mesmas yields (o niaturity, o que constitui, por si só, um sin- 4.3 MÉTODOS ECONOMÉTRICOStoma de potencial desequilíbrio. Este desequilíbrio confirma-se quando calculamos as

taxas spot teóricas implícitas nos preços contratados e constatamos (Tabela 4.4) que Os métodos econométricos baseiam-se na convicção de que para explicar o preço

diferem das taxas que haviam sido calculadas a partir do primeiro conjunto de obrigações das obrigações deve adicionar-se um termo de perturbação aleatória ao valor actual dos

(Tabela 4.2). cashflows respectivos.

106 / 1071


As razões subjacentes à inclusão deste termo de perturbação são várias, das quais

passamos a enunciar as que se afiguram mais significativas:

- uma primeira decorre do facto de nem sempre as obrigações se transaccionarem

aos respectivos preços de equilíbrio, podendo verificar-se desequilíbrios momentâ

neos que operações de arbitragem tenderão a eliminar87;

- uma segunda razão prende-se com o facto de - para obrigações com cupão de

prazo superior a um período, ao contrário do que acontece com as obrigações sem

cupão - um mesmo factor de desconto ser determinado com base em pagamentos de

mais do que uma obrigação ou, noutros termos, os pagamentos de uma obrigação

servirem para determinar mais do que um factor de desconto, de onde poderá

decorrer imprecisão na estimação dos factores de desconto88;

- por outro lado, para cada obrigação poderá não existir um único preço teórico mas

vários, tudo dependendo do regime fiscal (designadamente no que conceme à dico

tomia investidores nacionais/investidores estrangeiros) e dos custos de transacção

(os quais, em regra, se acrescem ao preço contratado para compradores e se

deduzem ao preço contratado para vendedores)89.

Em suma, os modelos econométricos consistem em estimar a estrutura de prazos

das taxas de juro, assumindo que os pagamentos das obrigações conjuntamente com fac

tores aleatórios explicam os preços respectivos. No que conceme aos procedimentos de

87 Por exemplo, regra gemi, a aquisição dc grandes lotes de títulos apenas é possível a um preço superior ao preço teó

rico da obrigação, de modo a demover os vendedores que tenderiam a manter as obrigações em carteira.88 Nas palavras de chambcrs, cafleton e Waldman (3984, p.234) ‘G..) Lhe (atÉ that coupon-bcaring defaulL-freeobligatiorss wilh maturities of greater Ilsan one period contam information conceming more Ilsan one prescnt-valuecoeffscient. Consequently. thcre may be some imprecision o lhe price fnnnation proccss”.89 Na realidade, na avaliação de obrigações sujeitas a tributação, os cosi’ flows devem ser considerados líquidos doefeito fiscal (vide, entre outros, Mcculloch (1975) e schaefcr (198»), pelo que se existirem diferentes regimes natais,essa obrigação apresenta vectores de pagamentos diferentes consoassle a qualidade fiscal do obrigacionista. Por outrolado, para delemsinar o preço efectivamente pago pelo comprador, iodos os encargos inerentes à aquisição da obrigaçãodevem ser acrescidos ao preço contratado (adicionado doa juros coesidos), enquanto que para determinar o preço recebido pelo vendedor, todos esses encargos devem ser deduzidos ao preço contratado (adicionado dos juros corridos). Emsuma, não só um mesmo preço contratado (aquele que é. nonasalmente, objecto de divulgação péblica nos mercadosobrigacionistas organizados) pode traduzir-se em preços efectivos diversos para compradores e vendedores, como ospagamentos líquidos de impostos a que os obrigaeionistas acedem divergem em função do respeclivo regime fiscal.consequentemente, na prMiea, os preços contratados (que servem de base à esLimação da estrutura de prazos das taxasde juro) não são mais do que uma média impeecisa desses vários preços.

estimação, diversos métodos alternativos têm sido sugeridos, dos quais apresentaremos

nos próximos parágrafos uma síntese,

4.3.1 MÉTODO DA REGRESSÃO POR MÍNIMOS QUADRADOS

Carleton e Cooper (1976) sugerem que Se proceda à estimação da função de des

conto mediante a regressão linear da equação que se segue, pelo método ordinário dos

mínimos quadrados (OLS):

Pj=dlCFjjl+d2CF~2+...+dnCFjn+~Ij

onde jij representa o termo de perturbação aleatória da ~ammut obrigação, e a restante

notação mantém o significado anteriormente explicitado.

Deve notar-se que a equação [4.4] não contempla a existência de termo indepen

dente, o que corresponde a admitir que se a obrigação j não pagar qualquer rendimento

(juros e/ou reembolso) tem um preço teórico nulo.

Para além desta, duas outras restrições se impõem. Na realidade, excluindo cenários

de deflação e/ou altruísmo compatíveis com taxas de juro nominais negativas, as variá

veis independentes da equação [4.4] terão de sujeitar-se às seguintes imposições: por um

lado, d~<l (t=1 n); e, por outro lado, d~i>d~ (t=l n). Ambas as restrições se des

tinam, como é óbvio, a garantir que o valor actual de uma unidade monetária varia inver

samente com o prazo que decorre até ao seu vencimento.

No que concerne à aplicação prática destas restrições, Carleton e Cooper (1976)

sugerem que, se, após uma estimação inicial da equação [4.4] pelo método OLS, os resul

tados obtidos contrariarem estas duas últimas restrições, se proceda a nova estimação

considerando adicionalmente essas restrições, transformando assim num problema de

estimação por mínimos quadrados sujeita a restrições sobre a forma de inequações90.

90 Sobre este assunto ver, entre outros, Liew (1976) e Judge eTakaysma (1966).

i08 109

r


Por outro lado, a estimação da equação [4.4] pelo método OLS pode Ser imprati

cável, bastando para tanto que a amostra de obrigações não apresente uma distribuição de

prazos suficientemente equilibrada. Com efeito, se, por exemplo, supusermos que a totali

dade das obrigações é exclusivamente reembolsada no final do seu período de vida e tem

prazos não superiores a t anos ou prazos superiores a i±~ anos, as colunas da matriz de

pagamentos (a matriz de observações das variáveis independentes) correspondentes aos

fluxos de pagamentos dos anos ~±j~ e ~ são iguais (ambos correspondem exclusiva-

mente aos juros das obrigações de prazo superior a 1). Consequentemente, a característica

da matriz de observações é inferior a ~ (número de variáveis independentes), razão pela

qual não poderá ser aplicado o método OLS.

Adicionalmente, a aplicação prática do método apresenta a dificuldade decorrente

de as obrigações não terem, regra geral, datas uniformes de pagamento dos juros. Este

problema pode, contudo, ser ultrapassado como o fizeram Carleton e Cooper (1976) pelo

uso exclusivo de um conjunto comum de datas de pagamentos9t; ou pela substituição de

cada obrigação por outra fictícia com idêntico preço mas com datas de pagamento do

cupão coincidentes com uma grelha de prazos previamente seleccionada, nos termos

sugeridos por Hodges e Schaefer (1977, p. 250)92; ou pelo ajustamento dos fluxos mone

tários proporcionados por cada obrigação, de modo a compatibilizar o respectivo preço

com o conjunto de datas de vencimento eleito, conforme propõe Augros (1983). No

Anexo 3 descrevemos o método de correcção sugerido por este último autor.

Finalmente, o método de Carleton e Cooper (1976), porque assenta na hipótese de

os pagamentos ocorrerem num conjunto discreto de datas, apresenta a desvantagem de não

produzir estimativas do factor de desconto entre dois pontos intermédios, sendo necessário

fazer uma aproximação - designadamente, por interpolação linear entre as duas datas de

pagamento mais próximas - sempre que se pretende avaliar uma obrigação cujas datas de

vencimento dos juros e/ou reembolso não coincide com as datas de pagamentos amostrais.

91 claro está que esta técnica só pode ser aplicada se o mercado obrigacionisu for suficientemente lato e/ou padroni

zado, de modo a que seja possível constanir una amostra equilibrada de obrigações sem risco de incumprimento. cujoscasA flows se vençam nesse conjunto comum de daus de pagamentos.92 Segundo este método a grelha real de prazos é substituida por uma outra previamente seleccionada, sendo que os

cosA flows que. pata cada obrigação, se vencem entre duas datas da grelha escolhida são capitalizados para a dataseguinte a uma taxa de juro seleccionada para o efeito.

CÁLcULO DA ESTRUTURA DE PRAZO5 DAS TAXAS DE JURO

4.3.2 MÉTODO DO AJUSTAMENTO POLINOMIAL

O método do ajustamento polinomial, preconizado por McCulloch (1971, 1975),

propõe que sejam impostas restrições à forma funcional da função de desconto como

meio de resolução do problema da amostra de obrigações a partir da qual se procede à

estimação da função de desconto, eventualmente, não apresentar uma distribuição de

prazos equilibrada.

Em concreto, McCutloch admite que a função de desconto (~(t)) seja definida como

uma combinação linear de k funções continuamente diferenciáveis (fiO). com i=l

calculada nos termos seguintes:

~(t) = 1 + a~f~(t), com t=i n93 [4.51

Os parâmetros a1 (i= 1 K) podem ser estimados pelo método OLS - conforme se

descreve no Anexo 4 - permitindo, consequentemente, obter uma estimativa da função de

desconto nos termos que se seguem:

õ(t) = 1+ ~ ~if~O) , com t=1 n.1=1

[4.61

Como é evidente, a qualidade da estimativa da estrutura de prazos depende da

selecção das funções f~(t) (i=1 k). Para McCulloch, esta escolha, sendo problemática,

pois é de natureza subjectiva94, não deve ignorar a distribuição do prazo das obrigações,

na medida em que é difícil distinguir a forma da função de desconto para o espectro de

prazos cujo número de observações é exíguo.

93 Por definição, o valor actual de uma unidade monetária detida no presente é um, ou seja, 5(0) =1. Para que tal acon

teça, é necessário que o termo independente desta equação seja 1 e que fi(0) = O (i =1 k).94 “lhe choice o! lhe functions (...) is central lo lhe quality o! our fit o! lhe tenu atructure. However, lhe aelectioo o! a

fom, will alwaya be a mat[erofjudgement” McCulloch (1971, p28).

110 III

TAXAS DE JURO: ESWUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS CÁLCULO DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

Em concreto, aquele autor argumenta que um simples ajustamento polinomial, isto

é, fiO) = t’ (i=1 k), não é desejável, porquanto ignora a distribuição das obrigações

pelos diferentes prazos t (t = 1 n). É preferível, segundo o mesmo autor, ajustar dife

rentes funções a diferentes segmentos de prazos, evitando, assim, que determinados Seg

mentos da estrutura de prazos das taxas de juro influenciem ou sejam significativaniente

influenciados por outros segmentos. Noutros termos, McCulloch sugere que a função de

desconto seja estimada a partir de um conjunto de funções polinomiais, contínuas, dife

renciáveis e aplicáveis a diferentes segmentos de prazos.

No Anexo 5, exemplificaremos o método de segmentação do espectro de prazos em

diferentes intervalos de ajustamento, usado por McCulloch (1971, 1975), bem como

reproduziremos o conjunto de funções f.1(t) (i=1 k) sugeridas pelo mesmo autor.

Uma variável crítica neste método é o número de funções fj(t), isto é, o tamanho de

k. Uma vez mais, segundo McCulloch, trata-se de matéria subjectiva, devendo ser escolhido um valor nem tão elevado que dê demasiado ênfase a observações outtiers, nem tão

baixo que não permita um bom ajustamento na zona em que a função de desconto tem

uma forma imprecisa. Como razoável, o autor sugere um valor igual ao próximo inteiro

da raíz quadrada do prazo máximo das obrigações constantes da amostra.

A necessidade de escolher arbitrariamente o número de segmentos de prazos e a sua

dimensão é a principal limitação apontada ao método de McCulloch. Adicionalmente,

alguns autores suspeitam que este método pode, frequentemente, conduzir a estimativas

não convergentes com valores razoáveis das taxas de juro.

4.3.3 MÉTODO DO AJUSTAMENTO POR EXPONENCIAIS

Segundo Vasicek e Fong (1982), o ajustamento por uma família de funções polino

miais (como o fez McCulloch (1971, 1975)) resulta em elevada instabilidade das taxas

forward (uma vez que as mesmas se obtêm por derivação da função de desconto), o

mesmo não se passando na hipótese de um ajustamento exponencial.

112

Assim, aqueles autores, convencidos de que as funções de desconto são melhor

retratadas por funções exponenciais do que por uma família de funções polinomiais - “the

discount function is principally ofan exponential shape” (Vasicelc e Fong, 1982, p. 345)-,

sugerem que a função de desconto seja estimada sob a restrição do seu ajustamento a uma

função exponencial de terceiro grau. Em concreto, os autores propõem:

~(t) = a0 + aieat + a2e2”’ + a3e-3a1 [4.71

onde o parâmetro cx constitui o valor limite das taxas de juro forward, isto é,

a = lim~,taxa forward~ . (4.8]

Vasicek e Fong impõem, assim, que o comportamento das taxas forward seja

assimptótico para grandes maturidades.

Em lermos de críticas relevantes ao método de Vasicek e Fong, Shea (1985) socor

rendo-se de testes empíricos, concluiu que o ajustamento exponencial não melhora a qua

lidade das estimativas, comparativamente ao ajustamento polinomial. Em concreto, diz

aquele autor que “C..) the exponential transformation of the data and the imposed

nsymptotics do not appear to add any more realism to me estimated temi structure” e que

“the Vasicek and Fong model is no more likely to yield stable forward interest rale struc

tures than are ordinary polynomial spline models”95.

4.3.4 MÉTODO DO AJUSTAMENTO POR EXPONENCIAIS DE POLINÓMIO

Para Chambers, Carleton e Waldman (1984) nem o ajustamento polinomial nem o

ajustamento exponencial constituem a melhor forma de estimar a estrutura de prazos das

taxas de juro. Estes autores preconizam um método que consiste no ajustamento das fun

ções de desconto por exponenciais de polinómio, o qual tem a vantagem de permitir a

95 Ambas as citações se referem a Shea (1985, p. 324 e 325).

113


obtenção de uma estrutura de prazos das taxas de juro contínua directamente da função de

desconto por logaritmização.

A equação que se segue resume este método, na hipótese de a obrigação j (i = 1,...,

m) vencer juros e ser reembolsada num conjunto discreto de datas:

n

= E CF1j J-t(a~at+azt’+...+att’)]+g~,1=1

onde k+l representa o grau do polinómio.

[4.9]

Na realidade, este método consiste em considerar que as taxas de juro são aproxi

madamente representadas por polinómios de grau j~, conforme passamos a mostrar.

Com efeito, se elevarmos a -1/t ambos os membros da equação [4.10), que repre

senta a expressão da função de desconto implícita em [4.9], obtemos a expressão da

equação [4.11], a qual após a aplicação do operador logarítmico assume a forma que a

equação [4.121 exprime. As equações referidas são as seguintes:

e

etRs = J_L(ao+aittazt’+...+att~)]

eR, = J(a0+a,t+ast2-.. ..i~aitk)]

R~ = ao+alt-t-a2t2+...+akt” 96

[4.10]

[4.111

14.12]

No que conceme ao método de estimação dos parâmetros da função polinomial, os

autores sugerem que se recorra aos estimadores de máxima verosimilhança de modo a

melhorar a qualidade das estimativas, uma vez que a variância do termo de perturbação

aleatória tende a depender do prazo da obrigação (heteroscedasticidade), pelo que a apli

cação do método OLS produz, consequentemente, resultados imprecisos. Note-se,

Se definirmos a função de desconto cm termos discretos cm vez de a considerarmos em termos contínuos seremos

conduzidos a um resultado que é uma mera aproximação: Rt = ao-i-al ttaat2+...taktk. I~3I

todavia, que a estimação directa da equação [4.12] depara-se com a dificuldade de as

taxas R5 não serem directamente observadas.

Este método padece dos mesmos problemas de subjectividade que se atribuem ao

método de McCul]och (1971, 1975). Com efeito, a assunção de que as taxas de juro são ade

quadamente retratadas por uma função exponencial é matéria de opinião, do mesmo modo que

a determinação do grau da função exponencial Qc) não obedece a critérios de objectividade97.

Soares da Fonseca (1991, p.135 e sgs) aplicou ao mercado português98 um modelo

de ajustamento das funções de desconto por exponenciais de polinómios, sendo essas fun

ções exponenciais de segundo grau99. Significa isto que este autor tomou as taxas de juro

Como uma função linear do prazo respectivo, isto é:

R1 = a0+a1t [4.14]

Os parâmetros a0 e a1 foram estimados por regressões não lineares com utilização

do método dos três pontos de Newton, tendo em vista a minimização da soma dos qua

drados dos desvios entre os preços observados e os preços restituídos pelas funções de

desconto exponenciaistOO.

4.3.5 MÉTODO DO AJUSTAMENTO EXPONENCIAL A PARTIR DA YIELD CURVE

Conforme se referiu anteriormente, a estrutura de prazos das taxas de juro coincide

com a estrutura de taxas actuariais de rendibilidade (,yield curve) sempre que ambas as

Nos seus trabalhos empíricos, Chambers, Carleton e Waldman (1984) utilizaram exponenciais de grau entre l a6.98 Em concrelo, a sus anostra consistiu nas colações realizadas pelos empréslinos do Tesouro ‘FIP”, na Bolsa deValores de Lisboa, entre 1 de Julho de 1983 e 30 de Junlso de 1988.

~ Segundo o autor, a opção por exponenciais de segundo grau ocorreu (...) sprés avoir vérifié que les coefficienls dedegré supérisur à deux présentent des valeura insignirtantes’ (Soares da Fonseca, p,ISs),

Os resultados obtidos apontam para um valor de aíj muito próximo da média das taxas aetusriais de rendibilidade

da amostra, enquanso que os valores estimados para ~l são muito baixos, sempre inferiores a O.~I.Ou seja, aponsam

para uma eslrutura de prazos das saxas de juro horizonsal em qualquer das 1004 sessões de bolsa a que respeita aamostra.

114 lis

1V


estruturas sejam estimadas a partir de um Conjunto de obrigações de cupão zero. Pelo

contrário, se este conjunto de obrigações incluir obrigações que vençam cupões de juros,

somente na hipótese de as taxas de juro serem constantes relativamente ao prazo as taxas

de juro à vista Coincidirão Com as taxas actuanais de rendibilidade e, concomitantemente,

só nessa circunstância a yield curve será um retrato fiel da estrutura de prazos das taxas

de juro.

Echols e Elliott (1976) definiram um método que, permitindo estimar o efeito da exis

tência de cupões de várias magnitudes sobre as taxas actuariais de rendibiidade, permite

construir a estrutura de prazos das taxas de juro. Trata-se de um método que, como pas

samos a descrever, pressupõe que as w,xasforward se ajustam a uma função exponencial.

Com efeito, aqueles autores começam por notar que, tratando-se de obrigações de

Cupão zero, se verifica a seguinte identidade:

(i+Y~) =~...(1+R,+~.,,,;jn(4.15]

onde, como habitualmente, ~n representa a yield corrente para obrigações com ven

cimento dentro de a períodos; R,1 representa a taxa de juro corrente para aplicações por

am período; e Ret+~i - representa a taxa de juro forward para aplicações a gj~ período,dentrodejperíodos(j 1 n-1).

116

Reescrevendo a equação anterior obtemos:

e(i÷Y~) =(l+R1,,*{(l÷R~+, 1) ...(1+R1+n.,t,j

Aplicando em seguida logaritmos passamos a ter a seguinte equação:

ln(1+Y,, n)=kln(1+Rc,i)÷kZ ln(1+R~.~1)

1416]

[4.17]

CÁLCULO DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

Assumindo que a estrutura de taxas forward é adequadamente retratada pela função

exponencial que se segue, após manipulações sucessivas, os autores obtêm a expressão

[4.19].

Isto é, assumindo que

(1+R~÷~,,) = K, eO+i) E2

onde K1 e K2 são constantes, é possível chegar à expressão’0’

1n(1+Y~)=a÷bi-+cn

onde: a = ln K1 -~ b = [In (1+ RL1) - ln K1]; e c = 0,5K2.

[4.18]

[4.19]

Note-se que o método até agora desenvolvido também é válido na hipótese de subs

tituirmos a taxa actuarial de rendibilidade (~‘n) pela taxa de juro à vista de idêntico prazo

(Rn), uma vez que até ao momento não foi contemplado qualquer efeito-cupão. Isto é,também é verdade que:

ln(l +R~)=a+bi-÷cn [4.20]

Admitindo, todavia, que o conjunto de obrigações a que se aplica o método inclui

obrigações de cupão fixo terá de adicionar-se uma nova parcela à equação [4.19] desti

nada a acomodar o efeito da magnitude do cupão sobre as yields. Se, complementar-

mente, adicionarmos um termo de perturbação aleatória, aquela equação passa a ter a

seguinte especificação:

ln(l+Y~~)=a+b~.+cn÷dX~+€j

101 Vide demonsiraçuo em Eehols e BIlioli (1976, p. 90 e sgs).

[4.21]

117

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÁMICDS CÁLCULO DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

na qual o índice j (j= 1,..., m) representa a j~m5 obrigação da amostra, X simboliza

o montante do cupão periódico e e representa o termo de perturbação aleatória.

Assim, estimando a equação [4.21] obtêm-se estimativas dos parâmetros g, h e ç

(respectivamente, a, L &), com base nas quais se pode estimar a estrutura de prazos das

taxas de juro (isto é, â, ,com n = 1,2 m), respeitando a relação que a equação [4.20]

estabelece, ou seja, através da equação seguinte:

+ ~i- + 2n)

Rn=e -1[4.20’j

4.4 MODELO DE OPTIMIZAÇÃO DO PORTFÓLIO E DA FUNÇÃODE DESCONTO PARA CADA POPULAÇÃO FISCAL,COM UTILIZAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

4.4.1 INTRODUÇÃO

Os métodos a que até agora nos temos referido têm como pressuposto comum que a

função de desconto se aplica a todos os títulos, ou seja,’que o valor actual de uma unidade

monetária paga por uma obrigação é igual ao valor actual de uma unidade monetária paga

por uma outra obrigação, desde que ambos os pagamentos ocorram no mesmo momento.

Esta hipótese sofre contestação sempre que diferentes categorias de títulos sejam

detidas por diferentes populações fiscais. Com efeito, se os investidores são tributados

segundo regimes diversos, o valor, após impostos, de uma unidade monetária paga por

uma dada obrigação depende da qualidade fiscal do obrigacionista, pelo que também o

valor dessa obrigação depende de obrigacionista para obrigacionista. Como salientam

Dumas e Jacquillat (1985, p. II) “tout se passe comme si les titres destinés aux diffé

rentes catégories de porteurs étaient cotés sur des marchés séparés”.

Com efeito, os investidores que se sujeitam a uma dada incidência fiscal tenderão a

ter preferência por certas obrigações, enquanto que os investidores que sejam tributados

em moldes diferentes terão preferência por outras obrigações. Assim, quando se pretende

estimar a estrutura de prazos de taxas de juro para um grupo particular de investidores

terá de se utilizar o conjunto de obrigações em que esse grupo racionalmente investe e

não um conjunto indiferenciado de títulos. Como salienta Schaefer (1981, p. 415) “if we

fit equation jl02, for a given tax bracket, to an indiscriminateiy selected sample of bond

prices, placing an equal weight on each bond, then the resulting estimates of the term

structure will be downward biased”, porquanto, “the estimates partly reflect the interest

rates on bonds wich are rationally held by individuais in that tax bracket”.

Consequentemente, acrescenta aquele autor, “tbe estimates are thus a weighted average of

the correct term structure for that tax bracket and the lower rates on bonds which indivi

duais in that tax bracket do not rationaliy hold”.

Significa isto que, se o mercado for segmentado (por razões fiscais ou outras’°3),

existe mais do que uma estrutura de prazos das taxas de juro. Na realidade, existirá um

conjunto de taxas spot por cada população de detentores, sendo que cada um desses con

juntos de taxas terá de ser inferido utilizando exciusivamente informação sobre as obriga

ções em que racionalmente essa população investe.

Este não seria um grande problema caso fosse, permanentemente, possível conhecer

os detentores efectivos das obrigações - ou seja, os investidores marginais, aqueles que

contrataram os preços mais recentes - de modo a estratificar o mercado obrigacionista em

diferentes segmentos de investidores, procedendo seguidamente à estimação da estrutura

de prazos para cada um desses segmentos. Acontece, porém, que essa informação não

existe.

502A equação que igualiza o preço da obrigação ao valor actual dos seus cashflows.103 Por exemplo, em Portugal, até 31 dc Outubro de 1992, vigorava unia resolção sobrc o invcstimenlo cm instru

mentos de taxa indexada e em instrumentos de taxa fixa de curso prazo, por investidores não residentes. Este ren5menosegmentava o mercado de capitait nacional, pois, como afirma Escalda (l992a, p. 75) “ sabe-se que o investidor marginal em títulos de uxa fixa de médio e longo prazo era diferente (não residente) do investidor marginal em títulos decurto prazo (residente)”.

118 119

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS cÁLcut.o DA ESmUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

Hodges e Schaefer (1977) e Schaefer (1981) Conceberam um modelo que permite

ultrapassar este problema, porquanto conduz à determinação, simultânea, de um portfólio

obrigacionista óptimot04 e da correspondente função de desconto (a partir da qual se

obtém a estrutura de prazos das taxas de juro) para Cada segmento do mercado (e em par

ticular para Cada população fiscal). Trata-se, assim, da aplicação de um modelo de gestão

de carteiras de obrigações à construção de estruturas de prazos de taxas de juro. Por sua

vez, o cálculo do portfólio óptimo é realizado com auxilio de um modelo de programação

linear.

É este modelo, na acepção de Hodges e Schaefer (1977), que passamos a descrever.

4.4.2 O MODELO

Em termos de pressupostos, aqueles autores assumiram que: as obrigações elegíveis

para a carteira óptima são isentas de risco de crédito; a respectiva taxa de imposição fiscal

é conhecida; os títulos são homogéneos em termos de liquidez e não apresentam cláusulas

de reembolso antecipado, pelo que o preço é o único critério de escolha entre porifólios

alternativos. Em concreto, face a este conjunto de requisitos, um investidor optimiza a sua

carteira quando, para um dado perfil de rendimentos requerido, minimiza o seu custo.

Assim, se admitirmos que esse perfil de prazos consiste na exigência de um dado

rendimento mínimo periódico positivo, e postularmos que um eventual excesso de fluxo

monetário gerado num período pode ser aplicado e capitalizado para o período seguinte, o

modelo assume a especificação que se segue:

Mm 2 Pjxj + z1 14.22]

104 Resolvendo, assim, a questão de saber em que obrigações (e com que importância relativa) um investidor com sim

dado perfil fiscal investe.

por escolha de x~, sob as seguintes restrições:

E F1~xj +{1+p1]z,-z,.1≥c1j=l

Xj ≥ O

4≥0

Zn+i ‘0j=l,..., m

ai.

[4.23]

Para além da notação conhecida (P~ e Ft,j) usou-se a seguinte simbologia:

- quantidade da obrigação j a adquirir (não sendo pennitidas posições a descoberto, isto é, x~ ≥0);

- rendimento mínimo periódico requerido pelo investidor para o período t (t= 1 n);

- montante inicialmente aplicado no instrumento alternativo;

Z1 - representa o fluxo monetário gerado pelo instrumento alternativo em [t- 1) e

transportado para t;

- simboliza a taxa a que foi aplicado 4.

Ao problema primal do programa linear (minimização do custo da carteira) corres

ponde um problema dual: maximização do valor actual líquido das receitas futuras. O

modelo na versão dos preços sombra (variáveis duais) assume a seguinte formulação:

Max E C~d5

por escolha de dt, sob as seguintes restrições:

{1+p1] d1≤l

[4.24]

[4.25]

12012]

TAXAS DEJURO: ESmuTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS

L1÷pd d~≤d~1 jos

d0≥0

ECALCULO DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

Exemplo - Restrições na Formulação do Problema Dual

l<t<n.

É a formulação dual que nos permitirá construir a estrutura de prazos das taxas de

juro, uma vez que são os preços sombra d1 (factores de desconto) que, como vimos no

Capítulo 3, nos permitem aceder ao espectro de taxas de juro à vista que constitui a estru

tura de taxas de juro106. Ou seja:

R~= (dt).l/t~ 1.

Este modelo assume que é possível construir uma carteira óptima de títulos sem

risco de crédito, o mesmo é dizer que admite que o custo de aquisição de uma carteira de

obrigações, que permita aceder a um dado perfil de prazos de rendimentos periódicos,

pode ser minimizado por uma adequada escolha dos títulos, e respectivas quantidades, a

inserir nessa carteira. Este pressuposto só faz sentido no caso de existirem obrigações

cujo preço seja diferente do valor actual dos respectivos cash-flows. Nos termos de

Hodges e Schaefer (1977, p. 256) “if alI bonds have prices equal to their present values,

portfolio improvement will be impossible”.

É este, aliás, o sentido da primeira das restrições enunciadas na formulação dual do

problema (a equação [4.25]), sobre a qual teceremos algumas considerações, mediante

apresentação do exemplo que se segue.

Esta restrição visa assegurar que 1k seja menor ou igual dD que a taxa forwrsrd para o período e, o que, se aten

demtoa a que a amostra a paRir da qual se inferem as taxas de juro a prazo é composta exclusivamente por obrigaçõessem risco de crédito, corTeaponde a admitir que o instrumento alternativo ou pertence a uns mercado não competitivo ouapresenta um grau de liquidez superior aos inatntmentoa obrigacionistas que compõem aquela amostra.

O porrf’óIio óptimo e a concomitanee estrutura de prazos das laxas de juro dependem dos valores que se considerempata Pt e C5 (1 = 1...~, o). Os autores sugerem que se utilizem dados de modo a que esta dependência seja suave, isto é,que a solução óptima não seja afectada por pequenas alterações naqueles valores. Na escolha daqueles parãsnetros,deverã ainda, segundo aqueles autores, ter-se em consideração que a função objectivo do problema dual seja igualmentesensível a todas as taxas dejuro à vista estimadas.

122

Consideremos, como exemplo’07, que num determinado mercado apenas existem

duas obrigações disponíveis, sendo ambas reembolsáveis dentro de um ano. Admitamos

ainda que o último cupão anual de juros é de 100$00, no caso de uma das obrigações

(01), e de 120$00, no caso da outra obrigação (02). Suponha-se ainda que existem inves

tidores cujos rendimentos obrigacionistas auferidos são isentos de tributação (investidores

do tipo A) e iavestidores cujos rendimentos obrigacionistas percebidos são objecto de tri

butação à taxa de 20% (investidores do tipo E), pelo que os rendimentos líquidos propor

cionados ao detentor das obrigações depende do tipo de detentor, conforme se evidencia

na tabela que se segue.

TABE~4.5

CASH Fwws LÍQUIDOS DE 01 E 02 EM FUNÇÃO Do REGIME Ftscxi. no DETENTOR

Ttpo de Investidor Cash Flow de 01 Cash Flow de 02

A 1100 1120

Admita-se, por fim, que num determinado momento os preços das obrigações A e B

são, respectivameate, 981$81 (81) e 996$36(36), pelo que as taxas de rendibilidade perce

bidas pelos investidores em cada uma das obrigações são as seguintes:

(1) Investidores do tipo A:

R’~1 (01) = llOO$00/981$8l(81) - 1 12,037%;RA1 (02) = 1120$00/996$36(36) - 1 12,409%.

(a) Investidores do tipo E:

RB1 (O1)= 1080$00/98l$81(gl) 1 = 10,000%;

R81 (02) = 1096$0O/996$36(36) - 1 = 10,000%.

107 Exemplo inspirado num outro apresentado por Schaefer (1981, p. 417),

E 1080 1096

a 123

r

Em face destes resultados os investidores do tipo A preferiam as obrigações 02,

enquanto que os investidores do tipo E investiriam racionalmente tanto em 01 como em

02. Significa isto que, a estrutura de prazos das taxas de juro dos investidores do tipo A

apresentaria uma taxa de 12,409% para aplicações a um ano e a estrutura de prazos das

taxas de juro dos investidores do tipo E apresentaria uma taxa de juro de 10,000%.

Assim, para os investidores do tipo A a situação é a seguinte:

- valor actual de 01 = 1100$00/(l÷12,409%) = 978$57 <preço = 981$81(81);

- valor actual de 02 = 1120$00/(l÷12,409%) = 996$36(36) = preço.

Por sua vez, para os investidores do tipo B a situação é esta outra:

- Valor actual de 01 = 1080$00/(l+l0,000%) = 981$81(8l) = preço;

- Valor actual de 02 = 1096$00f(1+l0,000%) = 996$36(36) = preço.

Constatamos, assim, que em qualquer dos casos a restrição inerente à equação

[4.25] é verificada. Com efeito, uma vez que a taxa usada no desconto dos fluxos finan

ceiros por cada investidor deve ser a mais elevada taxa implícita no preços contratados -

pois é essa taxa que, verdadeiramente, representa o custo de oportunidade do investidor -

nunca o valor actual dos cash flows de uma dada obrigação pode ser superior ao seu

preço.

Aquela equação admite, porém, que aquele valor actual dos cashflows seja inferior

ao preço da obrigação. Mas será esta uma situação sustentável, compatível com o equilí

brio do mercadn obrigacionista?

Aparentemente não. Aparentemente, situações como a que presentemente vive o

investidor do Tipo A com a obrigação 01 não são estáveis. Com efeito, aqueles investi-

dores poderão efectuar arbitragem, vendendo 01 (através de operações de short-selling) e

aplicando o produto dessa venda em 02108. Desde que os preços se mantenham, e igno

rados os custos de transacção, estes investidores estarão a financiar-se à taxa de 12, 037%

lOS Note-se que os investidores do tipo A teriam de recorrer a operações de siso,-, selhng porquanto, mciortalmente, dis

poriam em carteira apenas obrigações do tipo 02.

124

e a aplicar os montantes arrecadados à taxa de 12,409%. Da concretização das operações

de arbitragem resultará a diminuição do preço de 01 e o aumento do preço de O2já que

se incrementa a oferta do primeiro tipo de obrigações e a procura das obrigações do

segundo tipo. Esta correcção de preços manter-se-á até que desapareça a oportunidade de

arbitragem, ou seja, até que se igualem RA1 (01) e RA1 (02)109.

Admitamos, então, que as taxas de rendibilidade de ambas as obrigações ascendema 12,2%, ou seja, que os preços das obrigações são:

P(01) = 1100$00/(1+12,2%) = 980$392;

P(02) = 1120$00/(1÷12,2%) = 998$217.

Nessa altura, R81 (01) e RB1 (02) ascenderiam a:RB1 (00= 1080$130/980$392 1 = 10,160%;

R81 (02) = 1096$00/998$217 - 1 = 9,796%.

Significa isto que, desta feita são os investidores do tipo E quem tem oportunidade de

realizaf um ganho arbitragista vendendo 02 e comprando 01, originando, concomitante.

mente, novas oscilações de preços. O mercado nunca atingiria uma situação de equilíbrio.

Não são necessários mais exemplos, para que se compreendam as palavras de

Schaefer (1981, p. 417): “costless arbitrage is inconsistent with equilibrium”.

Acontece, todavia, que a inexistência de custos de transacção não se afigura realista

quando atendida a realidade prática, antes parecendo mais realista a assunção de inexis

tência de oportunidades de arbitragem. Ora, uma forma simples de se introduzir no

modelo a inexistência de oportunidades de arbitragem consiste em assumir que não são

pennitidas operações de .yhort-se!ling. Nessa altura, é possível que, em equilíbrio, para

uma dada população de investidores, o preço das obrigações seja superior ao valor actual

dos respectivos cash-flows (equação [4.25]), situação que não poderia perdurar mais do

‘°9Novaniente se ignoram os custos de transacção, os quais a existirem determinarão a inexistência de oportunidadesde arbitragem desde que a diferença entre as taxas de rendibilidade de ambas as obrigações se enquadre num intervalodefinido em função desaes custos de transacção.

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MoouLos DINÂMICOS CÁLCULO DA ESTRUTURA OE PRAZOS 0A5 TAXAS DE JURO

0

II~ 125

r


que um período curto de tempo na hipótese desses investidores poderem vender essas

obrigações, às quais acederiam por empréstimo (short-selling).

Temos assim que, a proibição de realização de operações de short-selling - ou a

inclusão de qualquer tipo de custos de transacção que limitem ou tomem não rentável a

realização de operações de arbitragem - faz Com que, em equilíbrio, para alguns investi-

dores, o preço de algumas obrigações - que, provavelmente, não integrarão os respectivos

portfôlios óptimos - seja superior ao respectivo valor actual.

Em termos de aplicação empírica do modelo, Hodges e Schaefer (1977), tomando a

perspectiva de um investidor tributado à taxa zero (tanto no recebimento dos cupões

como na amortização) e aplicando o modelo a um conjunto de obrigações emitidas pelo

Tesouro britânico ou por grandes empresas com risco de default idêntico ao das obriga

ções do Estado, conseguiram reduzir o custo de uma aplicação financeira de 10 000 libras

(carteira inicial) para 9854 libras (carteira óptima) tendo contudo com qualquer das car

teiras acesso a um idêntico rendimento periódico. Dos valores duais obtidos, aqueles

autores extrafram um conjunto de taxas spot (p255).

Também Escalda (1992a, 1992b, 1992c) aplicou o modelo de Hodges e Schaefer

(1977). Desta feita, os inputs utilizados respeitam a obrigações dos empréstimos “obriga

ções do Tesouro médio prazo” emitidas pelo Tesouro português e transaccionadas na

Bolsa de Valores de Lisboa, tendo o autor obtido estruturas de prazos, na óptica dos

investidores residentes, para os dias 12 e 20 de Agosto de 1992.

4.5 CONCLUSÕES

A determinação da estrutura de prazos das taxas de juro a partir de obrigações de

cupão zero é muito simples. O problema é que raramente existem obrigações sem cupão e

sem risco de incumprimento que preencham todo o espectro de prazos para o qual se pre

tende calcular o conjunto das taxas spot.

cÁLcULo DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

Os Stripped Treasury Securities são instrumentos financeiros com caracterfsticas

semelhantes às obrigações de cupão zero, que sendo baseados em obrigações do Tesouro,

apresentam risco de incumprimento igual ao da dívida pública. Daí que seja possível e

fácil calcular uma estrutura de prazos das taxas de juro a partir da informação sobre os

respectivos preços e prazos. Todavia, as taxas calculadas a partir de stripped treasury

securities apresentam, normalmente, problemas - derivados das características do mer

cado onde aquele instrumento financeiro é transaccionado e de razões de natureza fiscal -

que fazem com que nem sempre aquelas taxas sejam adequadas para consubstanciar a

tomada de decisões no âmbito do mercado de obrigações.

No que conceme à determinação da estrutura de prazos de taxas de juro a partir da

informação existente para obrigações com cupão o bootstrapping permite obter, fácil e

rapidamente, uma curva de taxas de juro spot que, excepto se o mercado se encontrar for

temente desequilibrado, se ajustará razoavelmente bem à situação do mercado.

Por sua vez, os métodos econométricos apresentados, diferindo entre si fundamen

talmente pela forma de ajustamento à função de desconto, envolvem - por vezes - matéria

de opinião, para além de que são métodos de razoável complexidade ao nível da apli

cação prática. Para além disso, não se encontra garantida a razoabilidade das estimativas

obtidas para a estrutura temporal das taxas de juro.

Por fim, analisamos um modelo que - com utilização da programação linear - per

mite simultaneamente construir uma carteira óptima de obrigações e determinar a estru

tura temporal das taxas de juro para cada segmento do mercado (e em particular para cada

população fiscal).

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Judge, O. O. e Takayama, T. (1966) “Inequality Restrictions in Regression Analysis”,

Journal ofthe American Siatiscal Association, March 1966, 166-18 1.

129128

4 Parte III

MODELOS DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO

(YIELD CURVE MODELS OU TERM STRUCTURED MODELS)

Na Parte II vimos alguns métodos de estimação da estrutura de prazos das taxas de juro a partirda informação sobre os preços e os fluxos monetários gerados pelas obrigações. Qualquer dessesmétodos procurava explicar e medir os valores da função de desconto sem atender ao papel que a tendência e a volatilidade das taxas de juro desempenham na determinação da estrutura de prazos dastaxas de juro.

Nenhuma previsão sobre a evolução futura do estado geral da economia, sobre a condução da política monetária, sobre a progressão do investimento, sobre a evolução das taxas de juro de curto prazo ou delongo prazo, ou sobre qualquer outra variável condiciona os resultados obtidos com os métodos referidos.São, assim, meios puramente empíricos de determinação da estrutura de prazos das taxas de juro que nãonecessitam de prognosticar a evolução futura do nível e da volatilidade das taxas de juro pan determinar ovalor actual das várias taxas de juro spor.

Na presente Parte, analisaremos outros métodos de estimação da estrutura de prazos das taxas dejuro, assim como métodos de modelização da evolução futura das taxas de juro, que têm como elementocomum a circunstância de exigirem a explicitação do processo estocástico seguido pelas taxas de juro deforma a permitir o cálculo estimativo das taxas de juro à vista (e inerente função de desconto) que melhorse adeque àquele processo.

Como teremos oportunidade de constatar, os preços teóricos das obrigações, nos termos destesoutros modelos, são calculados por resolução de uma equação diferencial obtida a partir da relação de equilíbrio entre a esperança de rendibilidade e o risco de taxa de juro dessa obrigação. Esta relação de equilíbrioassenta na possibilidade de constituir uma carteira obrigacionista cuja rendibilidade não depende de factores aleatórios (isto é, trata-se de uma carteira isenta de risco de taxa de juro).

A explicitação da tendência e da volatilidade das taxas de juro permite, também, estimar os fluxosmonetários das obrigações cujos cash flows e/ou o período de vida (e, consequentemente, o respectivopreço) dependem cnscialmente da evolução futura das taxas de juro e a que, em literatura anglo-saxónica,se atribui a designação de infrresr rate conhingenr e/afins.

Em concreto, no Capítulo 5 veremos alguns modelos de arbitragem da estrutura de prazos dastaxas de juro (arbirrage yield curve inodeis). Por sua vez, no Capítulo 6 analisaremos os usualmentedenominados modelos de não arbitragem (no arbirrage yield curve inodeis). Enquanto que os modelos

131

Capítulo 5

efeito, segundo alguns autores é aceitável que os preços das obrigações dependam apenas

de um único factor aleatório, enquanto que para outros parece mais realista submeter o

equilíbrio do mercado obrigacionista a vários factores de risco. Daí que tenham surgido

modelos que consideram o preço da obrigação como função de uma variável de estado,

enquanto outros consideram que o preço da obrigação é função de mais do que uma vari

ável de estado.

Modelos de Arbitragem da Estrutura de Prazos dasTaxas de Juro (Arbitrage Yield Curve Modeis)

Os modelos de comportamento da estrutura de prazos das taxas de juro (yield curve

modeis ou tenn structure modeis) descrevem o comportamento probabilístico da estrutura

de prazos das taxas de juro ao longo do tempo, tanto ao nível das taxas de juro indivi

duais, quanto ao nível da curvatura da estrutura de prazos.

Os modelos de arbitragem, a que se refere este ponto, são uma tentativa de modeli

zação da estrutura de prazos das taxas de juro partindo da definição de um processo esto

cástico plausível.

Como teremos oportunidade de constatar, nos termos destes modelos, os preços teó

ricos das obrigações são calculados por resolução de uma equação diferencial obtida a

partir da relação de equilíbrio entre a esperança de rendibilidade e o risco de taxa de juro

dessa obrigação. Esta relação de equilíbrio assenta na possibilidade de, num cenário de

ausência de oportunidade de concretização de ganhos de arbitragem, constituir uma car

teira de obrigações cuja rendibilidade não depende de factores aleatórios (isto é, trata-se

de uma carteira isenta de risco de taxa de juro).

No domínio dos modelos de arbitragem podemos distinguir os modelos de arbi

tragem a uma só variável dos modelos de arbitragem a duas ou mais variáveis. Com

5.1 CÁLCULO ESTOCÁSTICO E A AVALIAÇÃODE ACTIVOS flNANCEIROS

Na moderna teoria financeira a modelização do preço dos mais variados activos

(incluindo obrigações) assume que algum (ou alguns) dos factores de que depende o

preço do activo pode(m) ser de~crito(s) por um processo de difusão estocástico. Donde, o

cálculo estocástico tem uma grande importância nos modelos de avaliação de activos

fmanceiros e de determinação da estrutura de prazos das taxas de juro.

5.1.1 NOÇÃO DE PROCESSO ESTOCÁSTICO

Constitui um processo estocástico o conjunto de variáveis aleatórias - isto é, de

variáveis que evoluem de modo incerto - relacionadas no tempo ou no espaço com um

mesmo fenómeno aleatório, o qual se desenvolve conforme as leis de probabilidades e

não conforme as leis determinísticas.

Por exemplo, se X(t) representar o valor de uma certa variável aleatória, no instante

t, a famflia de variáveis aleatórias X(t), indexadas por um parâmetro representativo do

tempo ~, pertencente a um dado espaço 1, constitui um processo estocástico.

O processo estocástico pode ser de “tempo contínuo” ou de “tempo discreto”. É de

tempo contínuo quando o espaço do parâmetro também o é, sendo de tempo discreto

quando este espaço é composto apenas por determinados pontos fixos.

1

1de arbitragem calculam eles próprios a estrutura de prazos das taxas de juro de partida, os modelos denão arbitragem tomam a estrutura de prazos das taxas de juro como um dado, derivando somente osmovimentos subsequentes da estrutura de prazos que são consistentes com a estrutura de prazos inicial.

MOOEWS DE ARnITRAGnM DA ESTRUTURA DC PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARBITRAQE YIELI) CURVE MOD&S)

132 133

k

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(4RBFFRAGE YIEW CURVE MODELS)

Por outro lado, o processo estocástico pode ser de “variável contínua” ou de “vari- representando ~t o intervalo de tempo (pressupostamente pequeno) que medeia

ável discreta” consoante, respectivamente, a variável X(t) possa assumir qualquer valor entre duas medições consecutivas do valor de a; Az simboliza a alteração do valor de adentro de um certo intervalo ou possa assumir apenas certos valores discretos. durante As; e g é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal de média nula

e desvio-padrão unitário.

5.1.20 PROCESSO DE t4ARXOV Atente-se que, sob esta hipdtese, Az é uma variável aleatória de distribuição normal,média nula, desvio-padrão igual a e variáncia igual a As.

O processo de Markov, particularmente na versão de tempo contínuo e variável

contínua, altura em que é designado “processo de difusão de Markov”, é muito usado na Convém também notar que se At tender para zero, isto é, se admitimos o tempo

modelização financeira, contínuo, a equação [5.1] virá escrita sobre a forma diferencial:

A característica distintiva deste processo reside no facto de apenas o valor actual de [5.11

X(t), isto é, X(O), ser relevante para prever o valor futuro X(s), com s>t. Como assinala

HulI (1993, pg. 191) “the past history of the variable and the way in which the present has PROPRIEDADE 2

emerged from tbe past are irrelevant”. Assim, se uma dada variável aleatória seguir um

processo de Markov, o seu valor (ou melhor, a distribuição de probabilidades do seu Os valores de Az correspondentes a diferentes As são independentes entre si, Ou

valor) dentro de um mês, um ano ou em qualquer outra data futura depende apenas do seu seja, a segue um processo de Marlçov.

valor presente, sendo totalmente irrelevantes os valores registados no passado.

Considerando ambas as propriedades poderemos definir a distribuição de probabilidades para o valor de a em um qualquer momento futuro. Com efeito, seja z(T) o valor de

5.1.3 O PROCESSO DE WIENER a dentro de ii pequenos intervalos de tempo iguais At, e z(O) o seu valor presente. Emconformidade com a propriedade 1 podemos escrever:

O processo de Wiener (Wiener standard proCess), também frequentemente desig

nado Brownian motion process, é um tipo particular de processo estocástico de Markov, (5.21

frequentemente utilizado para descrever o comportamento do valor de activos financeiros.

Ou seja, z(T) - z(O) é uma soma de n variáveis aleatórias de média nula e desvio-O comportamento de um caminho aleatório z(t) que segue um processo de Wiener é padrão igual a Atente-se, ainda, que as variáveis aleatórias 81YX~, i =1 n, são

caracterizado pelas duas propriedades seguintes: independentes por força da propriedade 2 do processo de Wiener.

PROPRIEDADE 1 Por outro lado, atendendo à propriedade da distribuição normal segundo a qual se

uma variável é a soma de n variáveis independentes normalmente distribuídas então é ela15.1] —

própria uma variável aleatória normal de média igual à soma das médias e variância igual

134 135

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

(ARA/TRAcE YIELD CURVE MODaS)

.4à soma das varifincias de cada uma das suas parcelas, podemos escrever: [z(T) - z(0)] — N tempo da variável ~ eh é o coeficiente da perturbação aleatória dz.

(0, VT)’’°, ou seja, z(T) —N (z(0), fl’)ltl

O processo básico de Wiener é um caso particular do processo generalizado, o caso

Exemplo - Processo de Wiener de a = O e b = 1.

Admita-se que o fundo de maneio (z) de uma empresa segue um processo estocás- Reescrevendo a equação [5.3] admitindo o tempo discreto, obtemos:

tico de Wiener. Admita-se, ainda, que o seu nível actual é de 500 mil contos e que o

tempo é medido em meses. Admita-se, também, que o fundo de maneio é medido numa = aàt + bAz. [5.3’]

base mensal, isto é, At = 1.

Substituindo Az pela equação [5.1] passamos a ter:Perante estes pressupostos, o gestor financeiro da empresa poderá contar, entre

outras, com as seguintes variáveis aleatórias: Az aAt + beYX~. [53’]

(i) Az = N (0, 1), . Por outro lado, atendendo às hipóteses anterio~ente fo~uladas, e à equação

(ii) z(12) — N (500, fT7), [5.3”], podemos escrever: Ax — N (abt, biX~),o mesmo é dizer, Az N (aT, bVT).

(ii) z(24) — N (500, v24~,

representando & a variação mensal do fundo de maneio; z(,12) o nível do fundo deExemplo - Processo Generalizado de Wiener

maneio dentro de um ano; e z(24) o nível do fundo de maneio dentro de dois anos.

Admita-se que o fundo de maneio (x) de uma empresa, cuja variação segue um pro

cesso generalizado de Wiener (Ax = aAt ÷ bAz), se situa actualmente em 500 mil contos,

5.1.4 O PROCESSO GENERALIZADO DE WIENER e previsivelmente aumentará 20 mil contos por ano durante os 3 primeiros anos e 30 milcontos por ano nos 2 anos seguintes. Admita-se, ainda, que se estima que o coeficiente h

O “processo generalizado de Wiener” é definido, em termos contínuos, pela seja de 3 nos três primeiros anos e de 4 nos dois anos seguintes. Sob estas hipóteses, é

seguinte equação diferencial: possível escrever, entre outras, as seguintes distribuições de probabilidade:t5-~]dx = adt + bdz,

(i) x(1) = x(0) + Ax(l) ‘- N (500 + 20,

onde dx simboliza a variação de ~ durante dt, ~ e h são constantes e dz é um pro(ii) x(2) = x(0) + Ax(l) + Ax(2) — N (500 + 20 ÷ 20, ~32+32),

cesso de Wiener standard. Note-se que a representa a variação esperada por unidade de

__________________________ (iii) x(3) = x(0) + Ax(1) + Ax(2) + Ax(3) ‘- N (500 + 20 + 20+20, Y32+32+32),

110Comefeiio,sendoavariãnciade EiYXi iguala&,Vi,avariãnciadezÇO_zW)éiguatanDI.Ouscia~T. (iv) x(4) = X(0) + Ax(1) + Ax(2) + Ax(3) + Ax(4) — N (500 + 20 + 20 + 20 + 30,Não esquecer que z(O) é um valor conhecido, logo não aleatório. Y32+32+32+42

136 1 137

ir

TAXAS DEJURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODEWS DINÂMICOS MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARRITR4QE YJELD CURVE MODaS)

(v) x(5) = x(0) + Ax(1) + Ax(2) + áx(3) + Ax(4) + áx(5) — N (500 + 20 + 20 + 20 + dF ~dx + ~dt + ~~E1dx)2 [5.5]

30+30, ~jiZ32÷32~42~42), ôx ôt

representando x(0) o montante actual do fundo de maneio (500 mil contos); x(i) o Por outro lado, uma vez que a segue um processo de Jtô, retratado pela equação

valor do fundo de maneio dentro dei anos, comi = 1,2, ... 5; &(i), com = 1, 2, 3, a [5.4], elevando ao quadrado ambos os termos dessa equação, obtemos:

variação do fundo de maneio durante o ano i [áx(i) — N (20, 3)]; e Ax(j), comj = 4, 5, a

variação do fundo de maneio durante o ano j [Ax(j) — N (30,4)]. (dx? = (a(x, t)dt? + 2a(x, t)b(x, t)dtdz + (b(x, t) dz?. [5.6]

Atendendo a que dz2 = dt, dzdt = dtdz = O e dt2 = 0, considerando a equação [5.4] e

a equação [5.6], e efectuando as respectivas substituições na equação [5.5], após arranjo5.1.50 PROCESSO DE ITÔ de termos, obtemos:

O processo de Jtê é um processo estocástico mais geral e complexo que o processo

de Wiener geral, do qual difere pelo facto dos parâmetros g e li darem lugar a funções dE = í~a(x, t) + .iIEb2(x, t) + ~~-] dt + ~F.b(x, t) dz [5.7]Lôx 2&2 &i 6xdependentes da variável aleatória ~ e do tempo (t). Em concreto:

dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz, [SAI O lema de Itô consiste, precisamente, na afirmação de que a função F(t,x) segue oprocesso estocástico retratado pela equação [5.7]. Como veremos, este processo é utili

onde a(x,t) representa a variação instantânea esperada de a, e depende do nível zado em muitos modelos de descrição do Comportamento das taxas dejuro.

actual de x e de t; b(x,t) simboliza a variância instantânea de ~, a qual também não é cons

tante antes depende do nível actual de a e dei; e dz é um processo de Wiener standard.5.2 MODELOS DE ARBITRAGEM A UMA SÓ

Ou seja, a variação instantânea de a depende de duas componentes, uma componente VARIÁVEL DE ESTADOde tendência a(x, t)dt e uma componente de natureza aleatória b(x, t)dz, sendo caracterís

fica fundamental que qualquer das componentes depende do nível actual de a e de 1• Os modelos de uma só variável de estado consideram que sendo conhecido um processo estocástico adequado para as taxas de juro é possível modelizar a estrutura de

prazos das taxas de juro. Entre esses modelos incluem-se, designadamente, os modelos de5.1.6 O LEMA DE ITÔ Vasice]c (1977), Rendleman e ]3artter (1980) e Cox-Ingersoll-Ross (1985), e suas exten

sões.O lema de 1t8112 permite diferenciar uma função F(t,x), representando a uma vari

ável aleatória que segue um processo de Itô elo tempo, através da equação seguinte:Neste ponto caracterizaremos estes modelos, usando o modelo de Vasicek como fio

112 Para ver a prova geral do lema de ltõ ver, cure ouros, Huil (1993, p 243-244) e Choe (1983, p.64 e sgs.). condutor à exposição.

138 139

r


5.11 NOTAÇÃO E HIPÓTESES DO MODELO

Seja P(t, 5) o preço, em t, de uma obrigação de cupão zero, sem risco de incumpri

mento, com vencimento em 5 (S>t), ou seja, com prazo S-t, cujo valor de reembolso é de

uma unidade monetária (P(S, 5) = 1).

Se admitinnos o tempo contínuo, poderemos escrever:

donde,

P0, 5) eR (t, 5 - t) (S-t) = 1

R(t, T) = - [Ii? (t, t-i-T) , com T = 5-1 >0.

[5.8]

[5.91

MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARBITRAGE YÍEW CURVE MOØELS)

- uma componente de tendência g(r(t),t)dt, na qual $I(r(t),t) representa a tendência

de variação instantânea da taxa de juro r(t) e depende tanto do nível actual daquela

taxa de juro quanto do momento a que se reporta;

- uma componente de natureza aleatória a(r(t),QdzO), a qual também não é cons

tante antes depende do nível actual de r(t) e de t.

A eSta primeira hipótese Vasicek (1977) adiciona uma outra (hipótese 2) segundo a

qual o preço de uma obrigação é determinado pela antecipação que em t se formula

quanto ao processo das taxas de juro instantâneas durante toda a vida da obrigação (ou

seja, pela antevisão de (r(b); t.cb<S }).

Da conjugação das duas hipóteses, o preço da obrigação surge como função de uma

única variável de estado, a taxa de juro instantânea r(t), ou seja,

O espectro de taxas R0,T) constitui, por definição, a estrutura de prazos das taxas

de juro.

Por outro lado, notaremos por r(t) a taxa de juro spot instantânea definida como:

fim R(t, T) [5.101

Esta taxa de juro instantânea dá-nos, em cada momento t, o acréscimo de valor de

um capital uaitário. Pressupostamente (hipótese 1), esta taxa de juro é uma função con

tínua no tempo e segue um processo de difusão de Itô, o qual pode ser descrito por uma

equação diferencial estocástica com a seguinte especificação:

dr(t) = ~t(r(t), t)dt + a(r(t), t)dz(t), [5.11]

onde z(t) representa um processo Wiener standard.

Esta hipótese significa que a variação da taxa de juro instantânea tem duas compo

nentes:

P0, 5) = P~, 5, r(t)). [5.12]

Na realidade, sendo pressupostamente conhecido o processo estocástico da taxa de

juro instantânea, e dependendo o preço da obrigação dos valores antecipados para as

taxas de juro instantâneas futuras, aquele resultado toma-se evidente.

Como o próprio Vasicek (1977, pgs. 179-180) assinala, “expectations formed with

the knowledge of the whole past development of rates of ali maturities, including the pre

sent tenn structure, are equivalent to expectations conditionai only on the presem value of

the spot rate”.

O preço da obrigação surge, deste modo, como função de uma variável de estado, a

taxa de juro r(t)1 13,

13 Assume-se, assim, que a taxa de juro de curto prazo é a única fonte de risco que faz flutuar o preço da obrigação. Éclaro que, como assinalam Dumas e Jacquillat (1985, p. 12), “cc Iaux n’est ~55 une donnée exogêne du systémc économique cc qu’iI est lui-mame le resultat de facteurs véritabletnent exogànes comme, par example, Ia politique monétaire”.Assim, e segundo os mesmos autores, neste modelo, “le taux use fait donc que subatituer aux faeteurs aléatoirea extéricura”.

r (t) = R(t, 0) =

140 141


5.2.2 A EQUAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOSPARA OBRIGAÇÕES DE CUPÃO ZERO

O lema de Itô, Conforme vimos, permite diferenciar uma função F(t,x), represen

tando uma variável aleatória que segue um processo de Itô (dx = a(x,t)dt + b(x,t)dz, onde

a(x,t) representa a variação instantânea de x e b(x,t) simboliza a variância instantânea de x)

e 50 tempo, nos termos definidos pela equação [5.7] anteriormente explicitada.

Assim, Considerando que, segundo as hipóteses do modelo P0, 5) = P0, 5, r(t))

(equação [5.12]), sendo r(t) uma variável aleatória, aplicando o lema de Itô a esta equação

obtemos:

dP = [PrlI(r. t) ÷ ~Paa2(r, t) + dt + Pra(r, t) dz (5.13]

onde, r é igual a r(t), dz é igual a dz(t), ~ e P~ representam, respectivamente, asderivadas de primeira e segunda ordem do preço da obrigação em ordem a r(t) e ~ simboliza a primeira derivada do mesmo preço em ordem a t.

Dividindo ambos os membros desta equação por P, passamos a ter a seguinte

equação diferencial:

= a(t, S)dt + v(t, S)dz (5.14]

cx(t, 5) = a(t, 5, r(t)) = ~ [Pr ~x (r, t) +~-P~(a(r, Q)2 + ~1] - 15151

v(t, 8) = v(t, 5, r(t)) ~Pra(r, t) (5.16]

Considerando agora que os investidores têm expectativas homogéneas e que não

existe oportunidade de arbitragem (conforme a hipótese 3 formula), à semelhança do que

considera o modelo de Elack e Scholes (1973) de avaliação de opções’15, pode ser cons

truída uma carteira C, a qual é, por hipótese, constituída em t pelo investimento dos mon

tantes o~ e em obrigações com vencimento, respectivamente, em ~l e ~2, A taxa de

rentabilidade instantânea dessa carteira é a Seguinte:

4~I= {coia(t, SI) + oJ~a(t, 52))dt+ (coiv 1, Si) + o~v(t, S2))dz [5.17]

Se os montantes investidos em cada uma das obrigações forem escolhidos de tal

forma que o coeficiente de dz seja nulo, a taxa de rentabilidade da carteira deixa de ser

estocástica, Neste caso, uma vez que se supõe eficiência do mercado, para que não

existam oportunidades de arbitragem, a taxa de rentabilidade da carteira terá de ser igual

à taxa de juro spot corrente r(t)116

Assim, sendo válida a hipótese 3 do modelo de Vasicek (1977), podemos escrever:

o1v(t, Si) + o>2v0, 52) = O, (5.18]

coj[cz(t, St) - r(t)] i- o»[tx(t, S2)- r(t)] = O. (5.19)

114 Enquanto aO, 5) representa a esperança da rendibilidade da obrigação, v(t, 5) representa a componente aleatória da

mesma rendibilidade, Atente-se, por outro lado, que a componente P~IP não é mais do que a variação proporcional no

preço da obrigação face à variação unitária infinitesimal da taxa dejuro sem risco «t), ou seja, o simétrico da Duratíon(estocáatica) da obrigação.115 Uma opção é um contrato, normalmente estandardizado, pelo qual o comprador adquire o direito de comprar

(opção de compra) ou de vender (opção de venda) uma quantidade específica de una determinado bem ou instrumentofinanceiro a um preço fixado (preço de exercício), numa data (data de expiração) determinada (opções de estiloeuropeu) ou durante o período que até aí decorre (opções de estilo asssericano), pagando, por isso, um dado preço(prémio).116 Note-se que o nível de taxa de juro instantãneaem t, «1), é certo, O que não é certo é o seu valor ruturo.

Finalmente, é assumida a hipótese (hipótese 3) de eficiência do mercado, segundo a

qual não existem custos de transacção, a informação é disponibilizada a todos os deci

sores ao mesmo tempo e cada investidor actua racionaimente (prefere mais riqueza a

menos) usando toda a informação disponiveL Esta hipótese implica homogeneidade de

expectativas e equilíbrio do mercado, ou seja, ausência de oportunidade de concretização

de ganhos de arbitragem.

e

MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARBffR,4Q5 YÍELD cunvz MOD&s)

114

onde,

e

142143

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS - MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

(ARBITRACE YIELD CURVE MODELS)

O sistema formado pelas equações [5.18] e [5.19] possui solução só e só se o seu Por sua vez, a estrutura de prazos das taxas de juro, uma vez avaliada a obrigação,

determinante principal for nulo, o que implica a existência de uma função X(t, r) tal que: pode ser obtida por recurso à equação [5.9], que em seguida se reproduz, tomando agora

em consideração a totalidade dos argumentos de que depende P:

Ão r) — ao, Si) — r(t) = ao, 52) — r(t) [520) -~

— v(t, Si) v(t, 52)R(t, T) - In P (t, t-t-T, r(t)) [5.9]

À(t,r) mede o excesso de rendimento de uma obrigação face à taxa de juro sem risco

relativizado pela volatilidade, ou seja, é um prémio de risco por unidade de volatilidade, o 5.2.3 A EQUAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOS

qual é igual para todas as obrigações independentemente do seu prazo. PARA OBRIGAÇÕES COM CUPÃO FIXO

Donde, com generalidade, de [5.20] obtemos: Segundo Anus e Lubochinsky (1990, p. 35) a equação da estrutura de prazos “est

Ii? valable pour tous les actifs”, pelo que a sua demonstração não sofre perda de generaliaO, S) - r(t) - ÃO, r)v(t, 5) = 0 ,v s. [5.21) dade pelo facto de ter sido obtida a partir da consideração de obrigações de cupão zero,

ainda que tenha de sofrer pequenas adaptações.

Incorporando na equação [5.21] a informação das equações [5.15] e [5.16], e multi

plicando ambos os membros por P após o arranjo de termos, obtemos a equação funda- Desde logo, a taxa de rendibilidade instantânea de uma carteira construída nos

mental do modelo a que Vasicek chama “equação da estrutura de prazos” (term siruCture Lermos do modelo de Vasicek passaria a ser dada pela seguinte expressão:

equation). 4 = (~[a(t, S~) + Ci] + ~[a(t, 52» C2])dt+ {0)iv0, Si) + ~v(t, Sz))& [5.17’]

p.(r, t) -À(r, t)a(r, t)]Pr + P1 - r(t)P + ~Pffa2(r, t) = O [5.22]

onde C1 e (22 representam os cupões instantâneos dos activos.Trata-se da equação diferencial parcial que deve ser satisfeita pelo preço de uma

obrigação de cupão zero num mercado caracterizado pelas três hipóteses atrás referidas. Assim, se se tratar de activos que vencem cupões instantâneos constantes, a carteira

isenta de risco (caracterizada pelos parâmetros 0~q e o~) terá de sujeitar-se à restrição

Em concreto, desde que o processo da taxa spor instantânea rO) seja descrito e o seguinte:

ao, Si) + C~ - r(t) — ao, S2) ÷ C2 — r(t) [5.20’]prémio de risco de mercado Ã(r, t) especificado, o preço de uma qualquer obrigação de / ÃO, r) = _______________

cupão zero pode ser obtido pela resolução da equação [5.22] sujeita à condição de P0, 5, v(L, Si) v(t, S2)

r(S))= I,VSer(S).o mesmo é dizer

117 Atente-se que, isolando o operador da esperança natemática da taxa de rendibiiidade faeilnente se constata que wi[a(t, Si) ÷ C1] + oh[aO, Sz) + C2]

r(t) , [5.23]aquela esperança matemática depende da taxa de juro isenta de risco Cr0)), do nfvel de risco da obrigação (vO. 5)) e do O)i P0, 5 i, r(t)) + o~P(t, ~2, r(t))prémio de risco (l.(t, r)).

144 145

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARBrFK4QE YIEW CURVE MODELS)

onde C1 e C2 representam os cupões instantâneos dos activos, nulo e a equação [5.21] passnrá a ter a configuração que se segue:

Considerando esta restrição a equação fundamental do modelo passa a ter a a~, 5) - r(t) = O v s. [5.2l’J

seguinte especificação:

Esta hipótese corresponde a admitir que a esperança de rendibilidade instantânea é

[g(r t) 4Cr, t)a(r, t)]Pr + P~ - r(t)P + ~P~a2(r, t) + c = o [5.241 - idêntica para todas as obrigações independentemente da sua volatilidade.

Assim, substituonde C simboliza o montante do cupão da obrigação que pretendemos avaliar, man- indo a equação [5.15] na equação [5.21’], após a multiplicação de

ambos os membros da equação resultante por P, obtemos a seguinte formulação para atendo-se, naturalmente, a condição de P~, 5, r(S)) = 1, V 5 e r(S).

equação da estrutura de prazos:

~t (r, t)1~. + P1 - r(t)P + }P~ a2(r, t) tS.22’J5.2.4 PRÉMIO DE RISCO

com P(S, r(S)) = 1, ‘ç’ 5 e r(S).

A “teoria das expectativas” (de Lutz e outros), de que falamos no Capítulo 2,

assume que as taxas de rentabilidade proporcionadas por obrigações de prazos distintos A solução desta equação diferencial éI IS:

durante um mesmo período de tempo são iguais, o que era explicado por muitos autores

como uma consequência natural da neutralidade face ao risco. Cox, Ingersoll e Ross

(1981) vieram mos~ que “ffie Expectations Hypoffiesis is not a nat~al consequen~~f P0, 5, r(t)) = 4ex~-j r(b)db)] (5.25j

universal risk neutrality, except in the uninteresting case when interest ratas are

nonstochastic” (p. 779).Assim, o preço da obrigação, sob estas hipóteses, não é mais do que a esperança do

valor actualizado de uma unidade monetária.Segundo aqueles autores, é a “Hipótese das Expectativas Locais”, e não a Hip6tese

das Expectativas, que é compatível com o equilíbrio do mercado obrigacionista no con

texto de expansão estocástica das taxas de juro. Segundo esta hipótese, o preço das obri5.2.5 O PROCESSO DAS TAXAS DE JURO

gações P0, 5, r(t)) satisfaz, em cada instante t, a condição:

Para obter uma solução explícita da equação diferencial é necessário assumir umaEjdP] + c(t)dt = P0, 5, r(t)) r(t) dt, hipótese específica sobre o processo estocástico das taxas de juro (ou seja, a forma de

a(r(t), t) e de a(rO), t) da equação [5.11]). A este nível diversos modelos têm sido sugeonde E1 simboliza o operador de esperança matemática e co) simboliza o cupão ins ridos, conforme se descreverá nos próximos parágrafos.

tantâneo pago (se for caso disso) pela obrigação.

lIS A demonstração deste resultado é atribuído a Friedman. A. (1975). Choe (1983, p. 71) verificou o resultado de

Sob a hipótese das expectativas locais, o prémio de risco do mercado 2~(t,r) será Friedman uülizandoo lema de Itô.

146 147


Os resultados obtidos, segundo alguns autores’’9, são pouco credíveis.

Designadasnente, é objecto de crítica o facto de o preço da obrigação tender para infinito

à medida que aumenta o seu prazo, assim como a inexistência de impedimento a que a

taxa de juro instantânea permaneça negativa durante bastante tempo.

Na realidade, o modelo de Merton desrespeita o usualmente designado fenómeno

de mean reversion (“tendência para a média”). Este fenómeno consiste na tendência de

regresso da taxa de juro de curto prazo ao seu nível de equilibrio de longo prazo. A ten

dência para a média implica que a derivada jj (em ordem a 1) seja negativa quando a taxa

de juro de equilíbrio se encontra num nível elevado, e positiva quando a aquela taxa de

juro se encontra num nível reduzido.

Os argumentos favoráveis à mean reversion assentam na ideia de que quando as

taxas de juro se encontram num nível elevado o crescimento económico tende a desace

lerar, enquanto que quando as taxas de juro se encontram num nível baixo o crescimento

económico tende a aumentar. Na primeira hipótese a procura de fundos reduzir-se-á, pelo

que a taxa de juro tenderá a diminuir; enquanto que na segunda hipótese a procura de

fundos incrementar-se-á, donde a taxa de juro tenderá a aumentar.

A tendência para a média tem diversas consequências sobre as taxas de juro e sobre

os preços das obrigações, das quais as mais frequentemente referidas na literatura’20 são

as seguintes:

119 Designadainente, CIsne (1985, p. 72) e Anus e Lubochinsky (1990, p37).

120 Vide, entre outros, Huli, 3. (1994, p. 388) e Rodrlguez Castro, 3. (1993. p. 213).

MODELOS DE ARnrWAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARB)7RAGE YIELD CURVE MODELS)

5.2.5.1 O Modelo de Merton

Merton (1973) estudou a solução da equação diferencial parcial para o caso da taxa

de juro seguir um processo geral de Wiener, ou seja:

dr(t) = gdt + adz(t). [5.1 1’]

- a volatilidade das taxas de juro varia em função inversa do prazo para o venci

mento da obrigação, isto é, a taxa spot de prazo t1 apresenta uma maior volatilidade

do que a taxa spor de prazo t2 (t1<t2, ‘9’ t1 e t2);

- a volatilidade do preço de obrigações de cupão-zero cresce com o prazo da obri

gação (a derivada de primeira ordem da volatilidade do preço em ordem ao prazo é

positiva), mas o ritmo de crescimento é decrescente (a derivada de segunda ordem

da volatilidade do preço em ordem ao prazo é negativa) 121•

5.2.52 O Modelo de Rendleman e Bartter

Rendleman e Bartter (1980)122 sugeriram um modelo de difusão baseado no

seguinte processo estocástico (geomelric Brownian motion):

dr(t) l.tr(t)dt + ar(t)dz(t), [5.’”]

onde g e a são constantes representativas, respectivamente, da taxa de crescimento

esperada para a taxa de juro e da proporção da taxa de juro que constituiu volatilidade.

Se a evolução das taxas de juro seguir um modelo deste tipo pode’23, em termos de

tempo discreto, ser descrita por uma árvore binomial idêntica à que Cox, Ross e

Rubinstein (1979) propuseram para a avaliação de opções sobre acções. Ou seja, a partir

de uma dada taxa de juro (r(t)) passaremos a um de dois valores alternativos seguintes:

r(t) x u ou r(t) x donde, em geral, u> 1 e d < 1, com uma probabilidade de, respectiva

mente, p e I-p, sendo que:

u = e0l~; d = e-0t~; P ~t~; e a =

121 aste efeito é inconsistente com a hipótese de o preço da obrigação ser proporcional à durauon.

‘22Apm,enm,nos aqui una veesão de síntese próxima da sugerida por Huil (1994. p. 385 e sgs.).123 Vide a este propósito HulI (1993, p. 335 e sgs e 385 e sgs.).

148 149

r

TAXAS DE JURD: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARBITRAGE YIEW CCJRVEMODEIS)

Este modelo, ao contrário de outros a que adiante nos referiremos, não admite A taxa de crescimento da taxa de juro esperada é igual a (eJ1Y~ - 1), ou seja, ovalores negativos para a taxa de juro. À semelhança de diversos modelos que quiseram parametro a (1,0305) é O factor de capitalização, período a período, da taxa de juro deobviar à admissibilidade das taxas de juro negativas, neste modelo a volatilidade depen esperada.dente do nível das taxas de juro.

Em seguida apresentamos, a título de exemplo, uma árvore de expansão binomial

das taxas de juro calculada nos termos deste modelo. 5.2.5.3 O Modelo de Vasicek

Exemplo - O Modelo de Rendleman e Bariter Em reacção ao processo geral de Wiener, surgiu o processo d’Ornstein-Uhlenbeckque se caracteriza pela circunstância de a taxa de juro instantânea (r(t)) oscilar em tomo

Admita-se que At = 1 ano, ~.t = 3% e a = 20%. Donde, neste caso, u = 1,2214, d = do seu nível normal (b) a uma dada taxa de ajustamento (a). O fenómeno de tendência

0,8187, p = 0,5258 e a = 1,0305. A árvore de expansão binomial das taxas de juro, para 6 para a média é aqui respeitado, ao contrário do que acontece com o processo geral deWtener usado por Merton e do processo geométrico usado por Rendleman e Bartter. Em

períodos, seria a que se segue:concreto, este processo caracteriza-se pela seguinte equação diferencial:

27,18%22.26% 7 dr(t) = a(b-r(t))dt + adz(t), [5.1 1”]

I8,22%7 N 18,22%~ 14,92% 414,92%

6.7o%~ 5:49% 5A9% Esta equação foi usada por Vasicek (1977) e Langetieg (1980).

~ IO,~% ID~% com a, b >0.8,19% 8 19% 8 19%

12.21%-” 12,21% 12,21%

6,70%

3,68%

Resolvendo a equação [5.25] considerando a equação diferencial [5.11”] o modelo

de Vasicek conduz à seguinte expressão analítica para o preço de uma obrigação deTal como o modelo de Merton, este modelo está sujeito à crítica de que ignora a -cupao-zero e reembolso unitário:

tendência de reversão da taxa de juro ao nível médio de longo prazo. Com efeito, o

modelo de Rendleman e Bartter admite, na sua componente determinística, que a taxa de P~, 8, r(t)) A (t, 8) e B(É, S)r(t) , [5.26)

juro tende a crescer à taxa periódica p. (3%, no exemplo). Donde, o valor esperado da taxa

de juro vai aumentando, período a período. No exemplo, as taxas de juro esperadas onde:

seriam as seguintes:1)Sea≠0

t 1 2 3 4 s í(n(i.s)_stt) a2b_~ 1( 2\2 ]

A(t,S) = exp[ 2 J j2~(~~)’

E [r(t)] 10,30% 10,62% 10,94% 11,27% 11,62% a2 4a j150 151

B(t,S)=S-t,

Uma vez escolhidos os valores de g eh conjugando a equação [5.9’] com a equação

[5.26] obtemos a estrutura de prazos das taxas de juro.

5.2.5.4 O Modclo de HulI e White

O modelo de Vasicek tem sido objecto de várias extensões. Jamshidian (1989) mos

trou que o prémio de opções sobre obrigações de cupão-zero pode ser calculado usando

aquele modelo. HulI e White (1990 a)) demonstraram que, se as taxas de juro e os preços

das obrigações puderem ser descritas pelo modelo de Vasicek, é possível proceder à avali

ação de opções americanas e outros activos cujo valor e/ou período de vida dependem da

evolução futura das taxas de juro (contingent claims).

O modelo de Huil e White descreve (em termos discretos) o comportamento espe

rado das taxas de juro, com base numa expansão trinomial.

Seja r(0j a taxa de juro esperada para o período num cenário j. A taxa de juro de

curto prazo assumirá em t+1 um dos três valores seguintes: r(t)j + (k + 1)AR ou r(0j + kAR

ou r<0j + (k - DAR, consoante o estado da natureza que se venha a verificar seja, respecti

vamente, o estado da natureza mais favorável à subida (“ti”), à manutenção (“m”) ou à

descida das taxas de juro (“d”). AR é uma função tal que AR = a(3At)0’5, onde ~ é o coefi

ciente do termo aleatório do modelo de Vasicek e ât representa um período de tempo. Por

sua vez, k é um número inteiro variável, função de AR e da variação esperada das taxas de

juro nos termos do modelo de Vasicek. Em concreto, k assume um dos valores seguintes:

Se -Ar/2 < a(b.r(t)j) = E(Ar) ≤ Ar/2

Se Ar/2 < E(Ar) ≤ 3Ar/2

Se -3ArI2 < E(Ar) ≤ -Ar/2

Se 3Ar/2 < E(Ar) ≤ SArI2

Se -5Ar/2 < E(Ar) ≤ -3ArI2

onde a eh são os parâmetros da componente não aleatória da equação [5.11”] do

modelo de Vasicek.

Em cada ramo da árvore trinomial as probabilidades terão de ser computadas de

modo a respeitar a média e o desvio-padrão das taxas de juro inerentes ao modelo de

Vasicek. Considerando que o desvio-padrão da variação da taxa de juro é a(AO°’5 e

notando por Pu’ Pm e Pd as probabilidades relativas aos estados “u”, “m” e “d”, tais proba

bilidades serão calculadas mediante a resolução do sistema composto pelas três equações

seguintes:

+ Pm + Pd = 1

(k÷ l)Arpu ~‘~~Pm + (k - l)Arpd E(As)

[(k + 1)Ar]2 p~ + [kAr]2 Pm + [(lc - DAr]2 Pd [E(Ar)]2 + [a(AQ0’5]2,

Em seguida apresentamos um exemplo de aplicação deste modelo.

Exemplo’24- O Modelo de flui! e White

Consideremos períodos semestrais, ou seja, At = 0,5 anos. Consideremos tambémque o comportamento das taxas de juro de curto prazo é retratado pela seguinte equação

(de Vasicek): dr = 0,5(0,1 - r) dt + 0,01 dt.

124 Este exemplo 6 fortemente inspirado em mil (1994, p. 395).

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAzOs E MODELOS DINÂMICOS

B(t, 5) ~ - ~ - t)

2)Sea=0

A (t, 5) = ex4a2~tP]

e

MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAzos DAS TAXAS DE JURO(ARBITRAGE YIELD CURVE MODELE)

k=0

k= 1

k=-l

k=2

lc = -2

152 153

r

Donde, & = 0,01 (3 x 0,5)05 = 0,0122.

Se num momento inicial a taxa de juro corrente de curto prazo for 0,05, a variação

esperada para a taxa de juro para o próximo período é de 0,025 [= 0,5(0,1 - 0,05)].

Donde, 3AR/2 = 0,0184 < a(b~rWj) = 0,025 ≤ 0,0306 = 5AR/2, pelo que 1< é igual a 2.

Significa isto que, nos termos do modelo de HulI e White, se concebem três hipóteses

alternativas para a taxa de juro no período seguinte: 0,05 + 3x0,0122 (se se verificar o

estado da natureza “u”), 0,05 + 2x0,0122 (se se verificar o estado da natureza “m”) ou

0,05 + lxO,0122 (se se verificar o estado da natureza “d”). Ou seja, em termos de rede tri

nomial teríamos:

I B (0,0867)

C (0,0745)

D (0,0622)

A (0,05)

Partindo agora do nódulo B teríamos que a variação esperada na taxa de juro seria

de: 0,0067 [= 0,5 x (0,1 - 0,0867)]. Donde, neste caso, k teria o valor de 1, porquanto Lr/2

= 0,0061 <0,0067 ≤ 3&/2 = 0,0183. Significa isto que, neste caso, como se pode ver pelo

diagrama que se segue, o estado “u” corresponde à subida da taxa de juro no montante

2At, o estado “m” corresponde à subida da taxa de juro no montante At, e o estado “d”

corresponde a uma variação nula das taxas de juro. Em termos de árvore trinomial terí

amos:

E (0,0111)

1’ (0,0988)

Este exemplo permite-nos ver que partindo de um nível baixo (0,05) comparativa

mente ao valor médio de longo prazo da taxa de juro (0,10) há uma maior tendência ao

aumento das taxas de juro do que à sua diminuição - respeita-se, assim, o fenómeno de

tendência de reversão à média. É, aliás, por via deste fenómeno que o modelo de HulI e

White contempla várias tipos de ramos para a evolução das taxas de juro, como aliás, é

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARBITRAGE YIELD CURVE MODELE)

B (0,0867) O (0,0867)

C (0,0745)

D (0,0622)

A

Considerando agora a expansão da árvore a partir dos nódulos C e D passamos a ter:

c

//D

A (0,OS)P’

E (0,0867) O (0,0867)

II (0,0745)

‘54155

r

notório na árvore trinomial apresentada. Com efeito, pode observar-se que partindo dos

nódulos A e D temos um modelo de evolução, partindo dos nódulos E e C temos outro

modelo de evolução.

Em termos de probabilidades relativas aos estados u”, “m” e “d”, partindo do

módulo A, teríamos:

Pu + Pm + Pd = 13XO,I22XPu+2X0,l22XPm+ lxO,l22xpd=O,O25

(3 x 0,122)2 x Pu + (2 x 0,122)2 x Pm + (1 x 0,122)2 X Pó = (0,01 x (0,5)0.5)2 + 0,0252.

Resolvendo este sistema em ordem a Pu’ Pm e Pd obtínhamos: Pu = 45,41% Pia =

13,30% e Pó = 41,29%. Em termos de árvore trinomial podemos escrever:

B (0,0867)

45.41%

C (0,0745)13,20%

1) (0,0622)41,29%

A(0,05)

Por sua vez, a partir dos nódulos B, C e D as probabilidades seriam as seguintes:

Pu Pm PóNódulo E 8,52% 37,26% 54,22%

Nódulo C 18,80% 66,50% 14,70%

Nódulo D 22,58% 9,16% 68,26%

Conhecidas as taxas de juro esperadas e as probabilidades de cada um dos nódulos,

é possível calcular o valor de uma obrigação em cada um dos nódulos, assim como o

valor de opções e outros instrumentos derivados que sobre elas incidam.

5.2.5.5 O Modelo de Cox, Ingersoli e Ross

O processo estocástico usado, entre outros, por Vasicek (equação [5.11”]), foi

objecto de crítica por alguns autores por permitir valores negativos para as taxas de juro.

Tentando impedir que tais valores negativos possam surgir, Cox, Ingersoll e Ross (1978,

1985) usaram nos seus modelos o seguinte processo de difusão:

com a, b> 0.

dr(t) = a(b—r(tDdt + o~Ri5dz(t) [5.1

A multiplicação do termo estocástico pela raíz de r(t) significa que se a taxa de juro

aumenta o desvio-padrão também aumenta. Ao contrário de Rendleman e Bartter o coefi

ciente de perturbação aleatória é proporcional à raíz da taxa de juro e não à própria taxa

de juro, o que, presumivelmente, se deve ao facto de o termo proporcional à raíz quadrada

ser mais fácil de tratar analiticamente.

A expressão do preço da obrigação a que conduz este processo de difusão é o

seguinte:

[ 2ce(~>~~ ~A (t, S) (~S4L1Xc+a) + 2cJ

2(ec(S.t)~ 1)B(t, 8) (ec(S-t)~lXc+a) ± 2c

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARBITRAQE YIEU,2 CURVE UODELÇ)

P~, 8, r(t)) = A (t, 8) e- no, S)r(É)

onde:

e

c = Ya2 + 202

156 ‘57

5.2.6 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO

Segundo alguns autores, os parâmetros de um modelo de arbitragem de taxas de

juro devem ser estimados de modo a que os preços das obrigações calculados a partir do

modelo sejam o mais próximo possível dos preços observados no mercado. Nesse sen

tido, HulI (1993, p. 385) sugere que sejam adoptados os seguintes procedimentos de esti

mação:

1. Fazer uma estimação inicial~;

2. Calcular o valor de um conjunto de obrigações com base nesses parâmetros;

3. Comparar o valor calculado com o valor de mercado;

4. Ajustar o valor dos parâmetros’26;

5. Repetir os passos 2., 3. e 4. até que não seja possível obter um melhor ajusta

mento.

Claro está que para calcular o valor das obrigações nos termos do passo 2. é neces

sário recorrer à resolução numérica da equação diferencial do modelo no caso de não

existir solução analítica conhecida para a equação das derivadas parciais. Assim, excepto

nos modelos de uma variável de estado de Vasicek (1977) e de Cox, Jngersoll e Ross

(1985) onde essa solução existe, é necessário obter aproximações do valor do preço de

equilíbrio pela resolução numérica do modelo em termos semelhantes ao que fizeram,

entre outros, Brennan e Schwartz (1982). O modelo de Huil e White (1990) é ele próprio

uma forma de resolução numérica de uma extensão do modelo de Vasicek (1977).

125 Nto tendo sido sugerida qualquer técnica especiai pan essa estimação.

126 Não tendo sido sugerida qualquer técnica especial pan esse ajustamento.

158

5.3 MODELOS DE ARBITRAGEM CONTÍNUAA DUAS VARIÁVEIS DE ESTADO

Segundo alguns autores é pouco provável que os preços das obrigações dependam

apenas de um único factor aleatório, antes parecendo mais realista submeter o equilíbrio

do mercado obrigacionista a vários factores de risco. Daí que tenham surgido alguns

modelos que consideram o preço da obrigação como função de mais do que uma variável

de estado. Nessa linha inserem-se, designadamente, os modelos de Brennan e Schwartz

(1979, 1982), Cox, Ingersoil e Ross (1978), Richard (1978) e Langetieg (1980), que

tomam como factores de risco as variações das taxas de juro de curto e de longo prazo.

Como veremos nos próximos parágrafos, também estes modelos se baseiam na

definição de processos estocásticos de difusão para qualquer das variáveis de estado e na

construção de um porifólio isento de risco em termos análogos aos modelos de uma só

variável de estado.

5.3.1 A EQUAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOS

PARA OBRIGAÇÕES DE TAXA FIXA

Sejam r(t) e 1(t), respectivamente, as taxas de juro de curto prazo e de longo prazo

(para aplicações isentas de risco de falência) que evoluem de acordo com os seguintes

processos de difusão de Itô:

dr(t) ~t,(r, 1, t)dt + ar(r, 1, t)dz,, [5.271

dl(t) = p.i(r, 1, t)dt + a1(r, 1, t)dz1 [5.28)

onde r e 1 representam, respectivamente, r(t) e 1(t) e z~ e z1 simbolizam processos de

Wiener Standard.

159


5.2.5.6 Modelo de Cox e Ross

Por sua vez, Cox e Ross (1986) sugerem a adopção do processo de elasticidade

constante da variância correspondente à seguinte equação diferencial:

dr(t) = I.tr(t)dt + cyr(tY’12dz(t) [5.1

MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(AREFTRAGE YIELD CURVE MODELS)

1

t

*1

e

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS 4 MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARBITRA 08 YIELD CURVE MODELS)

Aplicando o lema de Itô ao preço de uma obrigação de cupão-zero, na hipótese de As duas primeiras equações destinam-se a garantir que a rendibilidade do portfólio

este depender do prazo da obrigação e do nível actual das taxas de juro de curto e longo não depende da componente aleatória da evolução das taxas de juro de curto e de longo

prazo (isto é, P(r, 1, t, 5)) obtemos: prazo, enquanto a terceira equação se destina a garantir que aquela rendibilidade se limita

à taxa de juro sem risco.

dP = [IirPr + ‘PITa? + l.tiPi + + Pri PcWI + Pt] dt + PrCrdzr + P1 a1dz1 [5.29]

Para que aquela relação se verifique para obrigações de qualquer prazo terá de

onde p simboliza o coeficiente de correlação entre dzr e dz1iZ7. - existir uma relação linear entre (aÇ) - r(t)), Vr(.) e v1Ç) nos termos que a equação seguinteencerra, na qual Âr representa o prémio de risco inerente à taxa de juro de curto prazo e À1

Após dividir por P ambos os membros da equação [5.29) podemos escrever: simboliza o prémio de risco inerente à taxa de juro de longo prazo:

= adt + vidzr + vidzi . [5.301 a(r, 1, t, 8)— r (t )Âj(r, 1, t)v1(r, 1, t, 5) - À1(r, 1, t)vi(r, 1, t, 5) ~, (5.361

Com:Substituindo aQ, v~Ç) e v1Ç) em [5.29] obtemos uma primeira versão da equação

a = + [tiPi + ~P~a? + ~PiicY? + ~ri PtTrGi ÷ p1 [5.3t] da estrutura de prazos das taxas de juro, que em seguida se apresenta, onde o preço de

equilíbrio da obrigação surge em função, entre outras, das variáveis representativas do

Vr = jfrr ar - [5.32] prémio de risco inerente à taxa de juro de curto prazo e do prémio de risco inerente à taxa

de juro de longo prazo:

v1 =~-Piai . [5.33]

(gr - ÀrajPr + (lxi - Àiaj)~i .*. ~-P~~a?+ 1r11a~ ÷ Pri P(TI-GI - rP ÷ ~ o, [5.37]

Construindo um porifólio sem risco de taxa de juro a partir de obrigações com

prazo T , T2 e T3, isto é, com vencimento em ~ ~ e 53, as proporções investidas em . - -1 - . - Se admitirmos que em vez de uma obngaçao sem cupao estamos na presença decada uma das obrigações, respectivamente, o~, w~ e o~, terao de respeitar as equaçoes ,~, -

uma obrigaçao com cupão fixo instantâneo de montante C a equação de equilíbrio [5 30]seguintes:

passaria a ter a seguinte configuração

m1v,(t Si)-i-w2v,(t S2)-i-w~v,(t 53)= 0 [5 34a]

[534b] ~(r 1 t S)÷C r(t) À,(r 1 t)v1(r 1 t 8) Ài(r 1 t)vj(r 1 t S)=0 t5361o1v1(t Si)+o~vi(t S2)-i-co3v1(t 83) = 0

[5.35] —o)j[u(t Si) - r(t)]+onJu(t S2) r(t)]+Co3[a(t, 53) r(t)] — O Donde a equaçao [5 30] passaria a escrever se como se segue

127 Sobre a exp~sao do iema de tio apii~veI a situaç~ em que a (unçao conhinuamenie denvávei (n~te c~o PQ) (lxr ÀrGjPr + (lxi Àiai)Pi + ~P~a?+ ~Pii~ ~ Pri parai rP + Pt + C O [5 37]

depende de mais do que uma variávei aieaióna ver entre outros Choe (i983 p 64e agi)

160 li 161

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

(ARBÍFRAGE VIELO CURVE MODELS)

Todavia, é possível suprimir o prémio de risco da taxa de juro de longo prazo da con- 2), Ramaswamy e Sundaresan (1986) construfram um modelo de avaliação, por arbi

dição de equilíbrio. Com efeito, se admitirmos que a obrigação é uma renda perpétua unitária, tragem, de obrigações que pagam um cupão contínuo à taxa variável c(t).

o seu preço de equilíbrio pode ser calculado nos termos que se seguem: P(r, 1, t, co) = 1/1.

Neste modelo, a taxa variável é (pressuposto 3) uma média exponencial dos valoresAssim, para uma tal obrigação facilmente calculamos as derivadas de que depende passados da taxa de juro sem risco (r(t)), pelo que a sua dinâmica de evolução é determi

a equação [5.37’]. Com efeito: ~r’ O; P1 = ~l/l2; “ir = O; ~rI = O; Pii = 2/la; e l’~ O. nada pela evolução da taxa de juro sem risco nos termos que se seguem:

Donde, atendendo a que a obrigação tem um cupão unitário, aplicando-lhe a dc0) = 13(rO) - c(t»dt

equação [5.37’] obtemos:

12 gi-~ia1) + - f + 1 = o. ~37”1 onde ~ nos dá o ritmo de ajustamento da ~a de cupão à taxa de juro cojente.

Assim, se obtém: Adicionando aos pressupostos anteriores a condição de que todas as obrigaçõesa (p4 + rl - 12) [5.38] sejam avaliadas de acordo com o que formula a hipótese das expectativas locais (pressuXj(r, 1, É) = - T + posto 4), os autores obtiveram a seguinte equação de derivadas parciis:

Por último, substituindo ÀiC) na equação [5.38] e na equação [5.38’], obtemos a 4b - r(t))P~ + ~P~a?r(t) + f3(b - c(t))Pc - r(t)P + Pt + c(t) = O,

equação da estrutura de prazos das taxas de juro, aplicável, respectivamente, a obrigações

sem cupão e a obrigações com cupão fixo, na qual não consta como argumento o prémio onde o preço da obrigação a taxa variável P0, 5, r(t), c(t)) é simbolizado por P e os

de risco inerente à taxa de juro de longo prazo. Em seguida reproduzimos a equação da subscritos denotam derivadas parciais.

estrutura de prazos aplicável a obrigações sem cupão:

A resolução desta equação de derivadas parciais sujeita à condição de na data de

- Â~jPr + + ~2 - rl)PT + LP~+ 1PII~ + P,1 pag1 - rP + P~ = o [5.391 reembolso a obrigação ter valor unit~o, ou seja, P(S, 5, R(S), C(S)) =1, permite obter opreço de equilíbrio da obrigação.

5.3.2.2 O Modelo de Soares da Fonseca5.3.2 A EQUAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOS

PARA OBifiGAÇÕES COM CUPÃO VAR~VEL Por sua vez, Soares da Fonseca (1991) sugeriu um modelo de equilíbrio entre a ren

~ dibilidade ex-ante e o risco de taxa de obrigações de cupão variável para a hipótese de a5.3.2.1 O Modelo de Ramaswamy e Sundaresan

~ taxa de referência ser estocástica e de não se verificar a hipótese das expectativas locais.

Admitindo que a taxa de juro instantânea sem risco segue o processo sugerido por Este autor admite que o cupão instantâneo vencido por uma obrigação não é estrita

Cox, Ingersoll e Ross (1985) (pressuposto 1) - ou seja, dr(t) = a(b-r(t))dt + aVi~Ydz(t) -, mente relacionado com a taxa de juro sem risco, antes segue um processo estocástico

num mercado contínuo e integrado no qual não existem custos de transacção (pressuposto autónomo.

162 163

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELOS DE ARBITRAGEM DA ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO(ARBITRAGE YÍELD CURVE MODELS)

Em concreto, Soares da Fonseca admitiu que a taxa de juro de curto prazo sem risco

(r(t)) e a taxa de referência das obrigações de taxa variável (f(t)) podem, respectivamente,

ser representadas pelos processos estocásticos seguintes

e

dr(t) = a(r(Q, t)dt + b(r(t), t)dz

df(t) = a(f(t), t)dt + !3(f(t), t)dz.

Segundo o autor, a separação dos processos estocásticos de difusão de r(t) e f(t) jus

tifica-se em situações em que a taxa de juro sem risco é objecto de negociação quotidiana

em contexto de mercado monetário ao passo que a taxa de referência é, por exemplo,

como acontecia em Portugal, uma média das taxas fixadas na adjudicação dos bilhetes do

Tesouro durante os últimos 12 meses.

Seguindo um raciocínio semelhante ao dos demais modelos de arbitragem, Soares

da Fonseca concluiu pela seguinte equação de derivadas parciais:

(a(r(t), t) — À,(r(t), t)b(r(t), t))P~ ÷ (cx(fo), O — A(f(t), t)í3(f(t), t))P~ + ~Pffb(r(Q, 02+

~-Ped3(f(t), 02 + P~ r(r(t), f(t)) b(r(t), t) ~(f(t), t) — r(t)P + P1 + cO) = 0,

onde Â~r(t), t) e A(f(t), t) representam, respectivamente, o prémio de risco de mer

cado associado à taxa de juro sem risco e o prémio risco de mercado associado à taxa de

referência.

A resolução desta equação diferencial, sujeita à condição de a obrigação ter preço

unitário na data de reembolso permite calcular o preço de equilíbrio da obrigação em cada

instante t.

£4 CONCLUSÕES

Neste capítulo sintetizamos alguns modelos que têm como ponto comum a ideia de

que as taxas de juro de diferentes prazos dependem da evoloção de uma ou várias variáveis

estocásticas. Procura-se desta forma incorporar factores exógenos aleatórios na flutuação

dos preços das obrigações e, consequentemente, na estrUtura de prazos das taxas de juro.

Neste domínio identificaram-se, fundamentalmente, dois tipos de modelos: aqueles

que admitem uma só variável de estado (em regra a taxa de juro de curto prazo) e aqueles

que admitem mais do que uma variável de estado (regra geral, a taxa de juro de curto

prazo e a taxa de juro de longo prazo).

Vimos ainda que para obter uma solução explícita da equação diferencial que carac

teriza a estrutura de prazos das taxas de juro é necessário assumir uma hipótese específica

sobre o processo estocástico das taxas de juro, sendo a este nível diferem os diversos

modelos. Em concreto, de um modo geral os modelos mais recentes procuraram ultra

passar as lacunas dos primeiros ensaios, designadamente, no que conceme ao assegurar a

verificação da mean reversion (“tendência para a média”) e ao assegurar que a taxa de

juro não assume valores negativos.

Muitos destes modelos não conduzem a soluções analíticas, pelo que a sua aplicação

prática se encontra dificultada pois exige a aplicação de um método de resolução numérica.

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166 167

r

Capítulo 6

Modelização da Estrutura de Prazosdas Taxas de Juro - Modelos de Não Arbitragem

Os “modelos de arbitragem” (arbitrage modeLO, a que nos referimos no capítulo

anterior, assumem que os preços de equilíbrio das obrigações dependem da evolução da

taxa de juro de curto prazo ou das taxas de juro de curto e de longo prazo. Nesses

modelos tanto a estrutura de prazos das taxas de juro quanto o preço de equilíbrio das

obrigações derivam do nível actual da taxa de juro e do respectivo processo de difusão.

Mais recentemente, surgiram abordagens diferentes. Estes novos modelos tomam os

dados de mercado, designadamente a estrutura de prazos das taxas de juro, como um

input, derivando subsequentemente os movimentos da estrutura de prazos que são consis

tentes com o equilíbrio vigente. Estes modelos são usualmente designados de “modelos

de não arbitragem” (no-arbitrage yieid curve modeis). Em particular, estes modelos des

crevem o comportamento dinâmico das yields e preços das obrigações de cupão zero, e

respectivas volatilidades, compatíveis com as taxas de juro correntemente praticadas no

mercado obrigacionista.

Ho e Lee (1986) foram os primeiros a sugerir um modelo com estas características.

Apresentado sobre a forma de uma árvore binomial de preços de obrigações de cupão

zero, este modelo adapta-se à curva de taxas de juro vigente. Bliss e Ronn (1989) propu

seram um modelo similar ao modelo de Ho e Lee, no qual se admite expansão trinomial

em vez da árvore binomial.

Em altemativa ao modelo de lo e Lee, Black, Derman e Toy (1990) apresentaram

uma árvore binomial na qual se descreve a evolução da taxa de juro de curto prazo ajus

tada à volatilidade e às taxas de juro à vista correntes para obrigações de cupão zero.

Também Huli e White (1990b) apresentaram um modelo que, sendo uma extensão

do modelo de Vasicek (1977), se reconduz ao modelo de Ho e Lee (1986) com “reversão

MODELIZAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZO5DAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

à média”. Ou seja, aqueles autores, demonstrando que os modelos de arbitragem (em par

ticular o modelo de Vasicek (1977), mas também o modelo de Cox, Ingersoli e Ross

(1985)) podem ser estimados considerando a estrutura de prazos de yields e respectivas

volatilidades correntes, foram conduzidos a um modelo de não-arbitragem de que o

modelo de Ho e L.ee é um caso particular.

Outros modelos têm, igualmente, sido sugeridos. Black e Karasinsky (1991) suge

riram um modelo que, tal como o modelo de Black, Derman e Toy (1990), assenta no

pressuposto de que as taxas de juro de curto prazo seguem uma distribuição normal Ioga

rítmica em vez de uma distribuição normal (como pressupõem os demais modelos).

Por sua vez, Heath, Janow e Morton (1990, 1992) modelizaram as taxas de juro

partindo do processo seguido pelas taxas forward (em vez de usar os preços das obriga

ções - como fizeram Ho e Lee - ou as taxas à vista de curto prazo - como aconteceu com

HuIl e White, Black, Derman e Toy e Black e Karasinsky).

Nesta capítulo procuraremos descrever aqueles modelos, privilegiando a forma

como originariamente foram apresentados pelos autores respectivos. Em particular,

iremos dar especial atenção aos modelos de Ho e Lee e de Black, Derman e Toy, por

quanto os demais modelos - com excepção do modelo de Heath, Jarrow e Morton de

difícil e limitada aplicação prática - são extensões ou variantes destes outros. De igual

modo procuraremos comparar os diferentes modelos entre si, privilegiando, desta feita, as

vergões contínuas apresentadas por Hull e White (l994a).

6.1 O MODELO DE 110 E LEE

6.1.1 NOTAÇÃO E PRINCÍPIoS BÁSICOS

O modelo de Ho e Lee (1986) assume (pressuposto 1) que em cada instante pode

ocorrer um número finito de estados da natureza, aos quais correspondem diferentes

preços para as obrigações e, o mesmo é dizer, diferentes taxas de juro.

168 169

Em concreto, sendo P~(’)(T) o preço de uma obrigação de cupão-zero na data ii, no

estado i, com um prazo remanescente de 1 períodos, se o preço aumentar passaremos ao

estado i+l, passando o preço da obrigação a ser notado por P1~1(’÷’)Çl’-1), ao passo que se o

preço da obrigação diminuir manter-nos-emos no estado!, passando o preço da obrigação

a ser representado por P~t’.’)ÇT- l)128.

Por outro lado, na data inicial (data zero), por definição, o estado da natureza é

nulo, o que significa que P~tn)(T) resulta do crescimento do preço da obrigação j vezes

desde a data inicial, num total de ii subidas possíveis. Isto é, do preço inicial P0t0)(T+n)

passamos ao preço P1(n)(T) após j subidas e ffij) descidas de preço. A este nível, é pressu

posto do modelo (pressuposto 2) que o resultado P~(’)(T) não depende da ordem por que se

verificam as subidas e as descidas de preço, apenas importando o seu número.

A figura que se segue ilustra o processo de evolução dos preços das obrigações em

função dos diferentes estados da natureza conforme admitido no modelo de Elo e Lee.

FIGURA 6.1 - EvoLuçÃo DOS PREÇOS DAS OBRIGAÇÕES

Atente-se, por outro lado, que do facto de P0t0)(T), V T, ser conhecido, resulta

conhecida a estrutura de prazos inicial. Com efeito, assumindo (pressuposto 3) que, em

cada momento, existem obrigações de cupão zero (com um valor de reembolso igual a

uma unidade monetária) para todos os prazos t (t = 1, 2 T), então todas as taxas de

juro spor resultam conhecidas por força da relação existente entre ambas as variáveis:

ln P0) [6.1]r(t) - ____

onde P0) representa o preço de uma obrigação de cupão-zero de prazo t e valor de

reembolso unitário e r(t) representa a taxa de juro para aplicações de prazo t.

Por fim, dada a natureza e as características particulares do instrumento financeiro sub

jacente ao modelo de Elo e Lee, P1n~T) terá de sujeitar-se às seguintes restrições, Vi, n e t:

(i) P1(’)(O) = 1;

(ii) 1im~,_ P~tn)(T) = O;

(iii) P1t~T) ≥ O.

6.1.2 FUNÇÕES DE PERTURBAÇÃO

Se existisse perfeita certeza quanto à flutuação das taxas de juro, o preço da obri

gação não dependeria do estado da natureza pois este era previamente conhecido. Donde,

forçosamente, teríamos:

P~t’÷u(T) = p1~itn+I)(T).

Por outro lado, se (pressuposto 4) o mercado não for segmentado, não existirem

impostos, nem custos de transacção, para que não existam possibilidades de arbitragem

terá, como se pode ver no Anexo 6, de verificar-se a Seguinte equação:

PP~1 (T) = p!~4~ (T) P~ (T+1) [6.2]P~(1)

TAXAS 0€ JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS

rMO0ELIzAçÃ0 DA ESTRUTURA DE PRAZOS

DAS TAXAS DE JURO. MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

P;’cr-I)

P”Çr-I)

P~J-2) =

P~°(O) =

=

128 Aaaim, o Modelo de Ho e Lse apenas admite dois esudos da natureza a partir de um dada aituaçlo inicial o que,

como veremos adiante, é objecto de crítica por autores, como Blita e Ronn (1989), que derendem a existéncia de umterceiro estado da natureza correspondente à manutençlo do preço (‘no change’).

170 17]


A título exemplificativo admita-se que em determinado momento os preços de mer

cado de cinco obrigações isentas de risco de falência correctamente avaliadas dada a

estrutura de prazos de taxas de juro vigente eram os seguintes, por ordem crescente de

prazo até ao vencimento (1,2,3,4 eS anos): P (1) = 0,932; P(2) = 0,86; P (3) = 0,77; P

(4) = 0.68; e P (5) = 0,60.

Num cenário de perfeita certezat29 a evolução do preço da obrigação com prazo de

5 anos seria o seguinte:

p(O)(5) = 0,60;

p(l)(4) = P0(5)fP0(1) = 0,60/0,932 = 0,664;

p(2)(3) = P0(5)/P0(2) = 0,60/0,86 = 0,6977;

P(3)(2) = P0(5)/P0(3) = 0,60/0,77 = 0,7792;

= P0(5)/P0(4) = 0,60/0,68 = 0,8825;

eP(S)(o) = 1.

Acontece, porém, que a perfeita certeza não existe. Nesse sentido, Ho e Lee cons

truíram duas funções denominadas “funções de perturbação”, h e h*. que acomodam a

incerteza quanto ao caminho a seguir pelas taxas de juro. Tais funções são definidas nos

termos que se seguem:

p(n+l) (T) = h(T)) x P!n;(7.1) [6,2a]

e P1~’~T = h(T) x P~(T+1) [6.2b]

com h(0) = h*(O) = 1 e h(T) e ht(T) ≥ 0, ‘2’ T.

129 Dada a relação existente entre os preços das obrigações e as taxas de juro forward (ver Anexo 6). esta hipótese cor

responde, tal como postula a teoria das expectativas racionais de que falamos no Capitulo 2, a admitir que os preçosactuais das obrigações são determinados considerando indiferente a realização de uma aplicação ftnanceirajoperação definanciamento por um período longo ou a realização de um conjunto encadeado de operações de curto prazo.

172

MODELIZAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NÃO ARUnRAGEM

O modelo assume, assim, que os preços das obrigações de cupão-zero (e, conse

quentemente, as taxas de juro) seguem uma expansão binomial, passandose de um preçoinicial a um outro preço mediante a multiplicação do preço inicial por h(.) ou por h*Ç)

consoante, respectivamente, se concretize o estado da natureza mais favorável ou menos -

favorável, sendo que, em cada instante, excepto no prazo de vencimento, no estado da

natureza mais favorável, o preço da obrigação é maior do que no estado da natureza

menos favorável.

6.1.3 AUSÊNCIA DE OPORTUNJDAj)~ DE ARBITRAGEM

E PROBABILU)ADE BINOMIAL IMPLÍCITA

Seguindo um raciocínio semelhante ao usado nos modelos de arbitragem contínua,também o modelo de Ho e Lee admite que é possível construir um porifólio sem risco.

Esse ponfólio consiste na combinação de uma obrigação com prazo T e w obrigações

com prazo t.

O seu valor inicial é V = P(T) + oP(t). No período seguinte, o valor do porifólioserá um de dois possíveis:

= P1ttlçf_1) + mP~tss(t—j) ou V0(t) P0W(T_1) +

ocorrendo o primeiro no bom estado (aumento de preços) e o segundo no mauestado (descida de preços)lhO.

Por outro lado, atendendo ás equações [6.2ajJ e [6.2b)] pode-se escrever:

~ _P(T)xh(T_fl+~xNoxho~o— ____________________

130 o modelo admite, assim, que todas as obrigações verificam o estado mais favorável ou todas verificam o estado,

menos favorável, O modelo não admite, portanto, o preço de uma obrigação aumentar e o preço de outra obrigação deprazo diferente dininuir, Ou seja, o modelo admite deslocações “paralelas” da eslnstura de prazos das taxas de jurosempre que a taxa de juro de curto prazo sofre alterações.

173

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MDDELOS DINÂMICOS MODELIZAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOS

DAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

e 6.1.4 DETERMINAÇÃO DOS PREÇOS DE EQifiLÍBRIO

v~ P(T)xh(T-J.)+coxP(t)xh~.j)

Confo~e antedo~ente referido, este modelo assume que o preço de uma obri

gação num dado estado depende apenas do número de subidas e descidas e não daDonde, para que o porifólio seja isento de risco, ~ deve ser tal que o valor do sequência com que ocorrem.

portfólio seja o mesmo qualquer que seja o estado (V1t0=V1t0), o mesmo é dizer:

Assim, se, partindo de a, o preço primeiro aumenta e em seguida diminui, o resul

P (T) 4 h(T-l) - h*(T~l)] tado que se obtém em fl±~ é igual ao resultado que se obtém se primeiro o preço diminui[6.3) e depois aumenta.P(t)x[h*(t~1)~h(t_l)]

Donde,Desde que ~ respeite esta relação, a rentabilidade do portfólio será igual à taxa de

juro (conhecida no momento inicial) para aplicações a um período r(1). p(n+2kT) = kT+2»~’+1 PrkT+2)h(T+1)h(T)

P~°k2hwDonde, V(U/V = (1+ r(1)) = 1IP(l), pelo que igualando V9(’)/V= l/P(1), após mani

pulações matemáticas, obtém-se: pelo que se conclui que:

P(T)h*(T_l) + (OP(t)ht(t-1) = PcT) + wP(t). [6A] h(T-t-I)h(T)h(i) = h(T+l)h*(T)h*(l)

Assim; substituindo [6.3] em [6.41, após manipulação da expressão, passa-se aOra, após algumas manipulações matemáticas constata-se que h*(T) = STh(T),ter: sendo 6 = [l-flh(1)]/[(l-fl)h(j)]

[1 - h*(T_l)]/[hT_fl - h*(T_1)] = [1 - ht(t-l)]f[h(t-l) - h*(t_1)] =1~, Ou seja,

h(T) = l/[fl + (1~n)ôTl e h*(T) 6T/[fl ÷ (l~rI)8T]. [6.6]ou seja,

Esta expressão coloca em evidência a circunstância de as funções de perturbação~(T) + (1~rl)h*(T) = 1, V T. [65] serem independentes do momento temporal ~ e do estado da natureza j (pressuposto 5).

II é uma probabilidade binomia] implícita (0≤fl≤l). Trata-se de uma constante, já Ou seja, os movimentos das taxas de juro são marcados por duas constantes: II e 6.

que não depende do prazo da obrigação, sendo que este prazo é a única variável de que ri é a probabilidade binomia] implícita de aumento do preço de obrigações de cupão-zero

dependem h e h*. (ou de decréscimo das taxas de juro) e 8(0<6< 1) é - como veremos adiante - essencial-

174 175


mente um parâmetro de volatilidade131. Por outro lado, este modelo - ao contrário de

outros de que adiante falaremos - admite que a volatilidade varia em função do prazo da

obrigação’32 Considerando Contudo que essa volatilidade é constante ao longo do tempo

para um mesmo prazo. Como assinalam HulI e White (1994a, p.lO) este procedimento

permite fixar a estrutura de volatilidade em termos exactos no momento inicial, assu

mindo contudo a desvantagem de a volatilidade da estrutura de prazos futura poder ser

diferente da volatilidade observada no momento Zero.

Escolhidos os parâmetros fl e 6, por um processo iterativo, de modo a que sejam

consistentes com a estrutura de prazos inicial, podemos determinar os preços das obriga

ções de cupão-zero em todas as datas e para todos os estados da natureza. Assim, para

determinar P~t~T) temos apenas de tomar em consideração que desde a data inicial se

verificou i vezes o estado mais favorável (aumento do preço) e em (n-i) vezes se verificou

o estado menos favorável (diminuição do preço). Donde, podemos escrever:

p~n~~) = P~kT+n) ~ h*(T+n~l) ... ht(T+i)h(T.i-i-l) ... h(T)

h*(n~4) ... h(i)h(i-1) ... h(l)

Considerando a relação conhecida h*(T) = SThÇr), passamos a ter:

P~°kT) — P~\T+n) ~ h(T+n-l) ... h(T) 3T(n-i)

— ~S°kn h(n-1) ... h(l)

Se atendermos a que h(.) é função de II e 6, P,t~)(T) virá em função destas cons

tantes e dos preços iniciais. Assim, em particular, para obrigações com prazo de 1 período

podemos escrever:

_______ 1

P~?kn) [n+u-n%’j

t3 1 Note-se que se õ=I não existe incerteza porquanto, nessa altura, h = h*.

132 Atendendo assim ao diferente impacto da varia~ãD das taxas de juro no preço da obrigação coa função do respec

tivo prazo, ou seja à diferente duration.

176

MODELIzAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NÃO ARRI1TtAOEM

Esta é a equação de síntese do modelo de Ho e Lee no que concerne à evolução do

preço das obrigações de prazo um. Esta equação diz-nos de que modo evolufrá o preço de

uma obrigação de curto prazo (e, consequentemente, a respectiva taxa de juro) caso essa

evolução seja consistente com a estrutura actual de taxas de juro.

6.1.5 DETERMINAÇÃO DO PROCESSO DAS TAXAS DE JURO DE CURTO PRAZO

Concentrando a atenção na taxa de juro de curto prazo (a um período), conside

rando a equação [6.11 e a equação [6.81, obtém-se:

r(nkl) = - lnT4°k1) = + ln(nr ÷ (i-ri)) + i In 6 (6.9]

P0 (n+1)

Se representarmos por Q a probabilidade binomial explícita, o valor esperado para 1é gq, donde rj(°)(l) pode ser definida como uma distribuição binomial com uma média

dada por

1 ~ (6.10)= lis] —P-—-__J + ln(flW° + (i-n)) + nq la 6

[P0° (n-t-l)j

ou seja, após ananjo de termos

= ln{_Y&i~!!L +~ + (~-n) 5nq) [6.101

~ kn+u

Por sua vez, a variância é dada por

2 ~1 ~ [6.111a =nq(1~q~ln~j

[6.7]

16.8]

177


Assim, no modelo de Ho e Lee, a taxa de juro esperada é a soma de duas parcelas

sendo a primeira a taxa forward 133 implícita nos preços de duas obrigações com venci

mentos em períodos consecutivos (n e n÷1) e a segunda um desvio a essa média, o qual

será nulo no caso de não existir incerteza (6=1). Ou seja, num mundo sem incerteZa -

como vimos anteriormente - a taxa de juro esperada Coincidiria com a taxa de juro for

ward, pelo que apenas o primeiro termo era relevante para determinar a evolução da taxa

de juro de curto prazo. Num mundo onde há incerteza, de igual modo a volatilidade das

taxas de juro tem de ser considerada para explicar as taxas de juro futuras esperadas, as

quais diferem das taxas forward implícitas nas taxas spot observadas.

Também a variáncia é nula quando 6=1. Fora deste caso particular, a diferença entre

as taxas de juro para dois estados da natureza contíguos, num mesmo momento do tempo,

depende apenas de 6. Com efeito, tomando a equação [6.9], constata-se que

r1(~)(1) — r~+1(°)(I) = — 1n6, V i, n. (6.12]

De igual modo, considerando a equação [6.11 e a equação [6.7] podemos escrever:

r~kT) - xL’1»T~= - ln[P~kT)] [ ln[P$~(T)]1 = - lnôT T i[6.13]

Constata-se, assim, que, conforme anteriormente referido, a volatilidade das taxas

de juro depende do parfimetro 6134.

MODELIZAÇÃ0 DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DEJURO - MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

Significa isto que o modelo de Elo e Lee providencia, implicitamente, uma expli

cação para o nível actual das taxas de juro diferente da preconizada pela teoria das expec

tativas racionais de que falamos no Capítulo 2, segundo a qual, em termos simplistas, o

nível actual das taxas de juro spo: depende da evolução das taxas de juro esperadas para o

futuro, as quais, nos termos daquela teoria, coincidem com as taxas de juro forward. Para

Ho e Lee essas taxas de juro esperadas para além das taxas forward dependem da volatili

dade da taxa de juro de curto prazo.

6.1.6 DETERMINAÇÃO DA ÁRVORE BINOMIAL DAS

TAXAS DE JURO DE CURTO PRAZO CONSISTENTE

COM A ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO

As equações [6.10’] e [6.11] sintetizam o modelo de expansão das taxas de juro de

curto prazo de Ho-Lee, tal como apresentado pelos seus autores. Julgamos, porém, que do

ponto de vista operacional, a formulação que em seguida sugerimos é mais atractiva.

Tomando em consideração a equação [6.12] teremos:

r1(nk,1) = r0(n)(i) + ln6;

r201)(1) = r1O~)(1) + InS = r0(~)(1) + 2 InS;

= rn + ]nô = r0(D)(i) ‘1- n ln6.

133 com efeito:

~ ~ [ 0mJ°kT j—In [ e0~ J°kT _in[eA~)] = iO~t)

pIO)0,5 [e0t~5 0A°kr.oj L0rn o’lSkTl e-’ zA’~(,)

134 Também por aqui ae constata que o diferencia] entre taxas de juro que conespondem a diferentes estados da natu

reza é constante, não depende de no que vem de encontrD à ideia já soda enunciada de que o modelo de tio e [se fixa àpanida a volatilidade das taxas de juro, não admitindo o seu ajustamento ao longo do lenpo.

Ou seja, em termos de árvore binomial podemos escrever:

178 ‘79

XAS DE JURO- ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELIZAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOSTA - DAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NAO ARBITRAGEM

Fiouax 6.2 - EVOLUÇÃO DAS TAXAS DE CURTO PRAZO Assim, tomando em consideração que r1(~)(1) ro(n)(i) + i Inõ, podemos escrever:

rf’o) r1(0)(l) gOi)(1) + (i-nq) 1n6. [614]

rf’(i)/+3 InS Deste modo, conhecendo as taxas de juro esperadas para cada período e a volatili

r,°~l) / rfO) dade das taxas de juro compatíveis com a informação existente sobre a estretura de/ +2in3 \ +31n5

r”(I) / r’»(1) prazos inicial dispomos de todos os valores integrantes da árvore binomial das taxas de

/ +In5 / t2ins r”(i) -, juro de curto prazo consistente com a es~tura de prazos das taxas de juro. Veja-se or’~(I) 4 )> rf’(I) <( •~2In3 exemplo que se segue:

O \ / +1n5 \/ \ r°’(i)

m / + in5 r4~l) Exemplo - Aplicação do Modelo de Ho e

rf’(i) ‘\\ +in5

~ r(i) Considerando, a título de exemplo, 6 0,98, fl 0,5, e assumindo que num

— momento inicial os preços das obrigações de cupão-zero de prazo 1 a 5 anos eram, respectivamente, 0,932, 0,860, 0,770, 0,680 e 0,600, podemos calcular os preços e yields

(entre parêntesis) dessas obrigações para os vários estados da natureza em cada um dosDonde a taxa de curto prazo esperada para ~ pode ser obtida alternativamente a cinco anos nos termos definidos pelo modelo de 1-lo e Lee

equação [6.101, nos termos que se seguem:

No pnncipio as obrigações têm preço e yzeld conhecido No seu vencimento o

= ~ p~D) x ~k’) = /D\1) + In 6 ~ p~) xl valor da obrigação e 1 O porquanto se admite ser esse o seu valor facial e não exisur1=0 i=0 prémio de reembolso. A evolução do preço das obrigações entre os momentos inicial e

a final é que e incerto O diagrama abre um leque de valores para cada penodo e um valorrepresentando ~(n)~ a probabilidade (binomial) de se venficar o estado na data a em particular é o resultado de uma série de subidas e descidas.

A forma do diagrama que em seguida se apresenta segue o modelo de Peter A.Por outro lado como o valor esperado de e gq e o somatono das probabilidades é Abken reproduzido em Van Home (1994 p 107) Na determinação dos preços foi usada

um passamos a ter a fórmula [6 7] e no calculo da yield inerente a cada preço foi tida em consideração a fór

~t mula [6.1].+ln 6xnq,

ou seja,r0UÜ(1) = a(n)(1) - nq In &

181180


FIGURA 6.3 - EVOLUÇÃO DOS PREÇOS (E YIELDS) DE OBRIGAÇÕES

DE CUPÃO-ZERO SEGUNDO O MODELO DE Ho E LEE

Tempo (n) I.~

1 O I 2 3 4 51

Pode notar-se que a diferença entre os yie!ds correspondentes a diferentes estados

da natureza num mesmo momento é sempre de 2%, ou seja, aproximadamente - In 0,98,

Como era de esperar por força da relação conhecida que a equação [6.13) descreve.

De igual modo poderemos construir o diagrama das taxas de juro de curto prazo

compatíveis com a estrutura de prazos vigente no momento inicial. É o que se concretiza

na figura que se segue, na qual se apresentam as taxas de juro de curto prazo detem1i-

nadas de acordo com o que a fórmula [6.9] estipula ou (o resultado é, evidentemente, o

mesmo) conforme a equação [6.14] determina. Também se apresentam as taxas esperadas

para cada um dos períodos e inerentes desvios-padrões calculados, respectivamente, con

forme as equações [6.10) e [6.11]. Neste exemplo admitimos um prémio de prazo nulo,

isto é, q igual a II (50%).

MDDELIZAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DEJURO - MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

FIGURA 6.4 - EVOLUÇÃO DAS TAXAS DE CUR1D P~&zo SEGUNDO O MODELO DE Ho E LEE

8,60%

0,932 t7.04%)0.860(7,54%)0,770(8,71%)0480(9.64%)0,608(10.22%)

8.0800,980(9,47%)

, 0,826t9,53%)0.983(9.07%) /l,~

0,932(7,05%) 0.822 (9.77%) /0.843(8,56%) / 0,740(80,04%) <~ ‘,~

0,670(80,03%) I.~ 0,794(11,53%)0,895(11,07%) // I,~ 0.790(11.77%) /0,697(82.04%)/ 0,984(905%)

0.758 (9.52%) ~ \ 0.892(11,47%)

0.810(1O,56%)\ 0,708(11,52%) ‘,~ \ 0,874(83,47%)

7 0,763 (83,53%)0.877(13.07%) —~ 0,618(12,03%) 0.759(13.77%) /0,656(84,04%) ‘Ç\ l.~

\ 0.857(85.47%)\ 0,733(15,53%)

8.0800,918(8,60%)

4) 0,899(80.60%)

0,882(82,60%)

<7 8.070

0,864(14.60%)

4\.ooo

0,847(86,60%)

7.04%

7,D5%

9,05%

9,07%

11,07%

83,07%

9.47%

80,60%

11,47%

12,60%

13,47%

14,60%

15.47%

16,60%

Tempo(n) O 1 2 3 4

Taxa Média 8,05% 10,07% 82,47% 12,60%

Desvio-Padrão 1.00% 1,41% 8,73% 2,00%

A figura apresentada permite ilustrar que a diferença entre as taxas de juro de curto

prazo correspondentes a diferentes estados da natureza num mesmo momento do tempo é

sempre de 2%, ou seja, aproximadamente - In 0,98, tal como impõe a equação [6.12).

6.1.7 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO DE HO E LEE

Ho e Lee sugerem que na estimação dos parâmetros 5 e 11 do modelo sejam adop

tados os três seguintes pnssos:

(i) Primeiro, determinar o espectro das taxas de juro spot vigentes;

(ii) Em seguida, avaliar teoricamente activos financeiros - como por exemplo,

182183

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELIZAÇÂO DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

opções de taxas de juro - cujo valor e/ou o período de vida dependa da evolução Os diferentes valores da árvore de preços foram obtidos descontando o valor esperado da obrigação à taxa de juro correspondente da Figura 6.5. A título de exemplo:futura das taxas de juro;

(iii) Por último, escolher como valores de 6 e ri aqueles que façam com que aqueles (i) 0,9 18 = 1 x e - 8,60%.

preços teóricos melhor se adequem aos preços observados. (ii) 0,899 = 1 x e - 10,60%;

(iii) 0,826 = (0,9 18 x 0,5 + 0,899 x 0,5) x e -

No exemplo que se segue poderemos verificar que os preços usados no exemplo ante

rior, a que se reportam as figuras 6.3 e 6.4. se ajustam exactamente aos preços observados. Estendendo este raciocínio até ao momento inicial constata-se que o preço teórico

d~ obrigação de 5 anos é 0,600, ou seja, é igual ao preço observado, pelo que os parâme

Exemplo -Ajustamento dos Parâmetros do Modelo de Ho e Lee tros considerados para a determinação dos preços teóricos são consistentes com os preçosde mercado.

No exemplo que apresentamos anteriormente, para II = 50% e 6 = 0,98 os preços _______________________________________________________________________

teóricos ajustam-se exactamente aos preços observados, como se pode ver - através da

árvore que se segue - para o caso da obrigação com um prazo de 5 anos.6.1.8 VERSÃO TEMPO CONTÍNUO DO MODELO

FIGURA 6.5 - EVOLUÇÃO DOS PREÇOS DE UMA OBRIGAÇÃO DE 5 ANOSHuIl e White (1990b e 1994a) apresentam uma versão tempo contínuo do modelo

de Ho e Lee (1986) com tratamento analítico. Em concreto, para aqueles autores, o1,000

modelo que temos vindo a apresentar pode resumir-se a um modelo de tempo contínuo,0,918

no qual a taxa de juro de curto prazo, r, segue o seguinte processo estocástico:/ 0,826

0,740/ 0,8~ dr = q(t)dt

1,000 Nesta versão do modelo, as taxas de curto prazo apresentam, em todos os

0,697/ 0,882 momentos, uma distribuição normal, sendo constante a respectiva v~ância, a2. Segundo

0,670 0,794

0,618 0763 I,~ HulI e White (1994a, p. 8), 0(t) tem de ser escolhido de modo a que seja consistente com

0.656 / a estmtura de prazos inicial. Ainda segundo estes autores, definindo F(t, T) como a taxa0,864 forward instantânea vigente em t para vigorar em T, o parâmetro e(t) é dado por:

0,733 1,000

0,847 ~ 0(t) = F~(0,t) + a2t,

i,ooo onde F8(0,t) representa a derivada parcial de F(0,t) em ordem a t.

184 185

1a

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MDDELOS DINAMICO5 MODELIZÁÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

Para estes autores, o preço (P(0,t)), na data t, de uma obrigação de cupão zero, com ções em que não se verifica nem o estado mais favorável (ao aumento de preço) nem o

amortização em T, nos termos do modelo de Ho e Lee, pode ser expresso em função do estado menos favorável (à diminuição de preço) nos termos do modelo de Ho e Lee.

valor corrente da taxa de juro de curto prazo, r, nos termos que se seguem:

Em concreto, estes autores, por analogia às funções de perturbação de No e Lee,Po, T) = AO, T) e<~~t) hÇ) e h*(j, construíram, com propósitos empíricos, a variável y(n,T) nos termos que se

onde seguem:

p(n- 1) (T+I)____ p(n)(T) y(n,T)x p(n-l)(~)P(0, T) + (T-t) x F(0, O - x x t x (T-t)2

lnA(t, T) = ln P(Q t)

ou Seja,Por outro lado, atendendo à definição de F(0, T) e à relação conhecida entre a taxa 3(T)x lJ~n~l)(l)

de juro e o preço de uma obrigação de cupão zero, Podemos escrever: y(n, T) = ~“ ~nl) (T÷l)

ar dlnP(0, t)F(0, O = - at ‘ onde P(°*(T+l), P(n-U(l) e ~°~(T) representam os preços observados para ~ obri

gações, continuando ii e T n ter o significado anteriormente explicitado.Donde, em altemativa, pode escrever-se:

Calculando yÇ) para T = 60 meses os autores constataram a existência de um signiP(0, T) alnp(o, t) - tx cr2 x t x (T-t)2. ficativo número de observações em que y(.) é aproximadamente igual a 1, o que lhes

lnA(t, T) = In P(0, t) - (T-t) x dt 2 sugeriu a ideia de que os movimentos da estrutura de prazos das taxas de juro poderão ser

melhor relatados por um modelo trinomial do que por um modelo binomial.

Adicionalmente, estes autores observaram uma forte correlação entre y(n, 30) e y(n,6.2 O MODELO DE BLISS E RONN 60)136, ou seja, detectaram fortes indícios de que as funções de perturbação para dife

;~ rentes maturidades evoluam de maneira similar. Por outro lado, constataram que o valor6.2.1 CONTESTAÇÃO EMPÍRJCA E TEÓRICA de y(n, 60) é muito mais estável no primeiro terço do período amostral do que no terço

AO MODELO BINOMIAL DE HO E LEE { terminal. Este resultado foi interpretado pelos autores como uma evidência empírica con

~ trária ao pressuposto do modelo de 1-lo e Lee segundo o qual as funções de perturbaçãoBliss e Ronn (1989) usando uma sériet3S de preços de pseudo-obrigações de cupão- dependem apenas do prazo da obrigação sendo insensíveis ao momento do tempo e ao

zero com prazo de cinco anos, correspondente ao período compreendido entre Fevereiro estado da natureza vigentes.

de 1962 e Dezembro de 1987, concluiram que existe um significativo número de observa-

136 En concreto, aqueles auto~ obtiveram o ~guinIe valor pn o eosncienic de cowelaçâo: cor&(n, 30), y(n. 30))135 série essa construída com base na metodologia proposta por Pana-Bliss (1987). 0,94.

186187

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOSMODELIZAÇÃO DA ESTRIJTUIL4 DE PRAZOS

DAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

A esta evidência empírica contrária ao pressuposto de invariância de hÇ) e h*(.)

Com O tempo e com o estado da natureza junta-se a contestação teórica segundo a qual,

nos termos do Modelo de Ho e Lee, as taxas de juro podem assumir valores não razoáveis

(valores negativos ou valores anormalmente altos)137.

6.2.2 ÁRVORE TRINOMIAL DE ELISS E RONN

O modelo trinomial de Bliss e Ronn (1989) admite que a estrutura de prazos das

taxas de juro pode assumir uma de três formas alternativas no próximo período (período

t). Essas formas dependem da estrutura de prazos corrente em (t-1) e de três possíveis

perturbações hO’)(t,T), h(n)(t,T) e hQO(t,T) correspondendo, respectivasnente, aos estados

“up”, “no change” e “down”138. Assim, o preço da obrigação no período seguinte será

determinado como se segue:

com s = u, n ou d.

p(e-ã)(T+1)p(a)~) =h(a)(t,T)x p(l-l)(j)

Tal como o modelo de Fio e Lee, este modelo assume que o estado da natureza é o

mesmo para todas as obrigações, independentemente do seu prazo.

Donde, de modo a que não existam oportunidades de arbitragem, Bliss e Ronn obti

veram um resultado análogo ao que se verifica com o modelo de fIo e Lee no que con

ceme à relação entre as funções de perturbação e a probabilidade binomial implícita. Em

concreto, segundo aqueles autores terão de satisfazer-se as seguintes condições:

137 Suas e Ronn (1989, p. 594) demonstram que a taxa dejuro de curto prazo pode tender para o infinito, do mesmomodo que pode assumir valores negativos, tudo depende de o número de ‘bons estados e de maua estados que severifique.1380 eslado “no change” corresponde ao caso de a variação (aumento ou diminuição) do preço ser reduzida. Para propãaitoa enpírieos, Bliss e Ronn sugerem a escolha arbitrária de uma desvio padrão “up” e um desvio padrão “down”face ao valor central. Se a variação de preço se enquadrar no inlervalo de preços definidos por esses desvios entende-seque se verificou o calado “no change”,

188

h(U)(X~1,T) x HO~)(Xt 1) + h(11)(X~ 1,T) x n(°)(x~1) + h(~)(Xt 1,T) x fl(d)(x1 f) = 1,

V t,T,

e

fl(u)(x~l) + ri(n)~x1_1~ + fl(d)ç~q u) 1, V t,

Todavia, neste caso, tanto as funções de perturbação quanto a probabilidade binomial não são constantes, antes dependem (ambas) do estado da natureza corrente e do

prazo da obrigação (no caso das funções de perturbação)l39

Com efeito, X~~1 é o vector de dimensão kxl representativo dos valores assumidos

pelas K variáveis de estado no período corrente (t-1). As variáveis de estado sugeridas

pelo autor são as seguintes:

(i) a taxa de juro de curto prazo (taxa de juro dos bilhetes do Tesouro a três meses);

(ii) o prémio de prazo (medido pela diferença entre o yield de obrigações do

governo a 30 anos e a taxa de juro dos bilhetes do Tesouro a três meses);

(iii) o prémio de risco (medido pela diferença entre o yield de um empréstimo emi

tido por uma empresa com rating BBB e o yield de um empréstimo emitido por

uma empresa com rating AAA);

(iv) o dividend yield corrente de um portfólio representativo do mercado;

(v) a “corcunda” da estrutura de prazos (medida pela diferença entre uma taxa de

prazo intermédio - um, dois, três, cinco, sete ou dez anos - e a maior das duas taxas

com base nas quais se mede o prémio de prazo),

Para propósitos empfricos, os autores utilizaram uma regressão linear das funções

de perturbação sobre as variáveis de estado. Em concreto, a especificação funcional utili

zada foi a que se segue:

h~~kX~1, T) = a~1. +~ aJ~4~x(j, t-l),

139 Atente-se que, à semelhança do que se passa como modelo de lo e l_ee, é possível definir as probabilidades bino

miais (I-ju fln e j-jd) em função das funções de perturbação, As respectivas expressões podem encontrar-se em fluas eRonn (1989, p. 607).

189

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MDDELIZAçÂ0 DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO. MODELDS DE NÃO ARBITRAGEM

tindo a reversão das taxas de juro de Curto prazo à média de longo prazo. Deste modo,representando X(j, t-1) o valor corrente da ~é5ima variável de estado es = u, n e d.este modelo, ao coatrário do modelo de Fio e Lee, só admite valores positivos para as

possíveis taxas de juro de curto prazo.Os resultados obtidos permitiram aos autores concluir que, em termos individuais,

apenas o prémio de prazo tem impacto estatístico significativo. É ainda Característica importante deste modelo o pressuposto de que as taxas de

juro de curto prazo têm distribuição normal logarítmica.Em suma, estes autores sugerem a substituição da expansão binomial de Ho e Lee

pela expansão trinomial, do mesmo modo que julgam mais realista que as funções de por- Passaremos em seguida a descrever de que modo o modelo permite obter uma

turbação variem em função do estado da natureza vigente, sendo esse estado da natureza árvore de possíveis taxas de juro de curto prazo a partir da estrutura de prazos observada.

representado por um conjunto de variáveis das quais a variável “prémio de prazo” parece

ser a mais significativa. (i) lnpuis - zero -coupon yields e yields volariljtjey

O primeiro passo consiste em determinar a estrutura de prazos (taxas e volatilidades)das taxas de juro, obtendo-se informação semelhante à que consta da tabela seguinte:

6.3 O MODELO DE BLACK, DERMAN E TOYTABELA 6.1 - ESTRUTURA DE PRAZOS DAS TAxAS DE JURO - EXEMPL&4D

6.3.1 VERSÃO BINOMIAL

Prazo Taxa Spot Volatilidade dasTal como Ho e Lee, também Black, Derman e Toy (1990) sugeriram um modelo (anos) (%) Taxas Spot (%)

para obter uma árvore binomial de taxas de juro consistente com a estrutura de prazos 1 10 19

observada no mercado. 2 II 18

Neste modelo, a estrutura corrente de taxas de juro spot e respectivas volatilidades 125 16são usadas para construir a árvore das possíveis taxas de juro de curto prazo. Por sua vez,

esta árvore pode ser usada para avaliar activos (por exemplo, obrigações) sensíveis à evo

lução das taxas de juro.(ii) Determinação de r0W(1) e r1W(i)141

O modelo de Black, Derman e Toy toma como input a estrutura de prazos das taxas

de juro, a qual, nos termos dos autores, tem duas componentes: o espectro das taxas de A taxa de juro corrente de curto prazo é de 10%, conforme consta da Tabela 6.1. O

juro spot obtidas a partir do preço de obrigações de cupão zero, e a volatility curve, isto é, modelo admite que, dentro de um período (um ano, no exemplo), essa taxa de juro será

o conjunto das volatilidades das yie!ds para as mesmas obrigações. r1Wu~ ou r0(’)(i), verificando_se a primeira se se tiver concretizado o estado da natureza

Assim, tanto as possíveis taxas de juro de curto prazo como a respectiva volatili- 140 Usamos aqui os inpurs do exemplo apresentado pelos autores no saiga referenciado.

dade variam com a alteração da estrutura de prazos (taxas de juro e volatilidades), permi- 141 ManIém.se aqui a notação usada no modero de Hoe Lee.

190 191

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS MODELIZAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO. MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

mais favorável ao aumento das taxas de juro e a segunda caso se tenha concretizado o (50% ~ l/fl +ri(’kl)l + 50% x l/[1 + roW(i)])/o + 10%) 0,8116.

estado da natureza mais favorável à descida das taxas de juro. A probabilidade de concre

tização de qualquer dos estados da natureza é igual a 50%. Em suma, a evolução das Uma segunda equação pode ser obtida considerando que a volatilidade das taxas de

taxas de juro no período de um ano é aquela que a figura que se segue descreve: juro spot para prazos de 1 ano é de 19%, conforme a informação constante da Tabela 6.1.

Assim,FIGURA 6.6 - ÁRVORE BINOMIAL A UM PERÍODO 0,5 x ln[r1W(l)/r0(t)(1)j 19%,142

rn(l) Resolvendo as duas equações de “calibragem” das taxas de curto prazo obtemos:

= 10% ri(1)(i) = 14,32%;

r0(O(1) = 9,79%.ri’(l)

(iii) Determinação de r0(2)(1), r1(2)(1) eTanto r1 (U( 1) como r0(1)( 1) terão de ser compatíveis, quer com a taxa spot a dois anos

(r(0)(2) = 11%), quer com a volatilidade da taxa de juro de curto prazo (19%). Assim, admi- Passaremos agora a determinar as taxas de juro de curto prazo (um ano) para

tindo a existência de obrigações de cupão zero com um valor de reembolso unitário ter!- vigorar dentro de 2 anos compatíveis com a estrutura de prazos vigente.

amos que o preço de equilíbrio de uma dessas obrigações com um prazo de dois anos seria:

FIGURA 6.7 - ÁRVORE BINOMIAL A DOIS Prn~Íoposp(~)(2) = 1/{1 + r(0)(2)]2= 1/[1 + 11%] 2 = 0,8116.

T~”(I)

concretizar um investimento por um ano e ulteriormente proceder ao seu reinvestimento é 14,32%

Para que seja indiferente concretizar desde já um investimento por dois anos ou ris0)

necessário que: r’oo~ = 10% 7”E[PÜ)(l)]/(1 + 10%) = 0,8116,

onde PÚ)(I) representa o preço de uma obrigação de prazo 1 no ano 1 (isto é, dentro9,79%

de um ano) e E[.j representa o operador esperança matemática.

Acontece que, dados os pressupostos definidos, E[P(fl(l)] = 50% x [11(1 -i-r10)(1)j __________________________

+ 50% x 1/[1 + r0W(1)j. 142o m~eIo de Balck, ~nnas e Toy admite, aaaim, como medida de volatilidade metade do logari~o do acio das

yktds. Esta equação resulta da conaideração de que a percentagem de variação de r1W(I) e r00)(I) em torno deDonde, podemos obter uma primeira equação, que se segue, decorrente da “cali- r(°)o) 10951, e respectivas probabilidades, ou seja:

bragem” do primeiro ramo da árvore das taxas de juro à estrutura de prazos vigente: o, 19 0.5 x ln triWm/lo%l + 0,5 x lo [r0W(I)flO%l,

192 193

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÁMICOS

Como é visível pela figura anterior, são três os valores desconhecidos, pelo que

necessitaremos de três equações. Vejamos como se obtêm essas equações.

Atendendo à estrutura de taxas de juro corrente (Tabela 6.1), verificamos que o

preço corrente de uma obrigação cupão zero com prazo de três anos é de 0,71178. Com

efeito,p(O)(3) = 1/[1 + 12%]~ = 0,71178.

Esta informação permite-nos calcular o valor das taxas de juro para operações a

dois períodos dentro de um ano compatível com a estrutura vigente, ou seja, r0W(2) e

r1W(2). Na realidade, atendendo ao preço corrente de uma obrigação de prazo 3, à taxa

de juro corrente de prazo 1 e à volatilidade para as taxas de juro de prazo 2 podemos

escrever:

e

0,71178 = (0,5 x lf[1 + r1W(2)]2+0,5 x 11(1 +r0(1.)(2)]2}/(i + 10%);

0,5 x ln [r10 (2)/r0(U(2)] = 18%.

MODELIZAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO. MODELOS DE NÃO ARDm~AOEM

A terceira equação resulta da consideração de que, dentro de um ano, pode veri

ficar-se uma de duas situações: ou a taxa de juro de curto prazo aumentou de 10% para

14,325%, ou diminuiu de 10% para 9,79%. A verificar-se a primeira hipótese volatilidade

das taxas de juro de curto prazo será dada por 0.5 x In [r2(2)(l)/r1(2)(l)]. Concretizando-se

a segunda hipótese a mesma volatilidade será dada por 0.5 x In [r1(2k,l)/r0(2)(l)), Donde,

porque a volatilidade das possíveis taxas de juro de curto prazo é, nos termos do modelo,

a mesma em qualquer dos estados da natureza, termos que a terceira equação procurada é

a seguinte:

Resolvendo as três equações atrás identificadas obtemos:

e

r2(2)(1) = 19,42%;

ri(2)(l) = 13,77%;

r0(2)(1) = 9,76%.

Resolvendo estas duas equações obtemos: r1(~)(2) = 15,418% e r0(1)(2) = 10,755%.

Significa isto que, dentro de um ano, a obrigação que no momento actual tem um

prazo de três anos terá um prazo de dois anos e apresentará um dos dois seguintes

valores, consoante as taxas de juro aumentem (estado 1) ou diminuam (estado 0):

= 11(1 ÷ 15,4l8%)2= (50% x 1/11 + r2(2k,l)j ÷ 50% x 141 -l-r1(2)(1)J }/(l + 14,32%)

ou

(iv) Árvore das Taxas de Juro Compatíveis com a Estrutura de Prazos

Estendendo o raciocínio e os procedimentos adoptados anteriormente aos períodos

seguintes podemos obter a árvore completa das taxas de juro de curto prazo compatíveis

com a estrutura de prazos das taxas de juro descrita pela Tabela 6.1.

= 11(1 + l0,755%)2 = (50% x 141 + r1(2)(i)] + 50% x 141 + r0(2)(1)] }/(1 + 9,79%).

Estas são duas das três equações necessárias à determinação dos valores de r0(2)(l),

r1(2)(l) e r2(2)(1).

194 14;1E.

195


6.3.2 VERSÃO TEMPO CONTÍNUO

Tal como fizeram com o modelo de l-1~ e Lee (1986), Huil e White (1990b e 1994a)

forneceram também uma versão tempo continuo do modelo de Blaclc, Derman e Toy

(1990), a qual, segundo estes, não tem solução analítica. Conforme afirmam, numa versão

tempo contínuo, o modelo que temos vindo a analisar reconduz-se a um modelo cujo pro

cesso de difusão da taxa de juro de curto prazo pode ser expresso nos termos seguintes:

d ln(r) = [00) + ~_~ln(r)]dt +

onde O representa o mesmo que no modelo de Ho e Lee e a’(t) representa a deri

vada de 0(t) em ordem a É.

196 j

6.3.3 COMPARAÇÃO COMO MODELO DE HO E LEE

As versões tempo contínuo permitem-nos, talvez em termos mais explícitos, com

parar as propriedades do modelo de Black, Derman e Toy (1990) com o modelo pioneiro

de Ho e Lee (1986), o qual - recorde-se - se caracteriza pelo seguinte processo estocástico:

dr 0(t)dt + adz.

Urna primeira diferença143 entre estes modelos diz respeito à distribuição de proba

bilidade seguida pela taxa de juro de curto prazo. Enquanto Ho e Lee admitem a distribu

ição normal, Black, Derman e Toy supõem uma distribuição normal logarítmica.

Por outro lado, enquanto o modelo de Ho e Lee não apresenta tendência de reversão à

média e admite taxas de juro negativas, o modelo de Black, Deranan e Toy não admite taxas

de juro negativas e apresenta uma taxa de reversão, a’(t)/a(t), que é função do nível de

volatilidade de curto prazo corrente, 0(t), e respectiva derivada em ordem ao tempo, ct0).

De outra parte, em termos de ajustamento à estrutura de prazos das taxas de juro

corrente, enquanto que o modelo de Ho e Lee se ajusta apenas às taxas spot correntes, o

modelo de Elaclc, Derman e Toy se conforma também com o nível corrente de volatili

dade das taxas de juro spor.

Em termos do nível de volatilidade da taxa de juro de curto prazo, enquanto Elo e

Lee o admitem constante, a, Blaclc, Derman e Toy pressupõem a sua variação ao longo

do tempo, 0(t). Na realidade, esta é uma diferença fundamental entre os dois modelos,

porquanto, se admitirmos a’(t) = 0, o modelo de Blaclc, Derman e Toy reconduz-se a uma

versão normal logarítmica do modelo de Ho e Lee, ou seja:

dln(r) O(t)dt + adz.

FIGURA 6.8 - ÁRvo~ BINoMIa COMPATÍVEL COM A TABELA 6.1

•1

MODELIzAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAzosDAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

rw~~ = 10% < ::~ 19,42%

13 .77%

9,76%

2 1,79%

16,06%

11,83%

8,72%

25,53%

19,48%

14,86%

11,34%

8,65%

11430 elenco de diferenças anoudas segue o arrolan,ento das diferenças entre os dois modelos apresentado por Flui! eWbiIe (1990a, 1993 e I994a).

197


6.4.1.1 O modelo de Huil e White

HuIl e White (1990b e 1993) apresentaram, como extensão do modelo de Vasicek

(1977), um modelo caracterizado pela seguinte equação de difusão:

no qual ~ e 25ã0 constantes.

dr = (e(t) - ar)dt + adz,

Segundo os mesmos autores - vidá Huil e Wbite (1994 a) -, o modelo de Ho e Lee

(1986) pode ser visto como um caso particular deste modelo, o caso em que a = O. Ou,

noutros termos, este modelo, se entendido dentro da lógica dos modelos de no arbitrage,

pode ser entendido como uma extensão do modelo de Ho e Lee concebida para, ao con

trário deste outro, incorporar o fenómeno de reversão à média (mean reversion), cuja

velocidade de ajustamento é dada pelo parâmetro a.

Tal como o modelo de Ho e Lee, este modelo admite que as probabilidades de todas

as taxas de juro de curto prazo em todos os momentos têm distribuição normal.

No que conceme à resolução analítica do modelo, segundo os seus autores o

modelo é adequadamente descrito pelas seguintes equações:

P0, T) = AO, T) e~ B~T-t),

e

lnA(t T) — ln~~0, T) alnp(o, t) - j x a2 x (eaT.e-at~ x (e2aT.l)— P(O, t) -B(T-t)x at 4a3

GA.1.2 O Modelo de Black e Karasinski

Black e Karasinsky (1991) sugeriram um modelo algo semelhante ao modelo pro

posto por Black, Derma» e Toy (1990). O modelo sugerido baseia-se na seguinte equação

de difusão:

d ln(r) = [oo~ + a(t)ln(r)]dt + a(t)dz

6.4.2 MODELO NÃO MARKOVJANO

Heath, Jarrow e Morton (1990, 1992) desenvolveram um modelo que, em vez de se

basear no processo seguido pelas taxas à vista de curto prazo, se baseia num processo

seguido pelas taxas forward. Para alguns autores, pese embora o potencial elevado rea

lismo atribuído ao modelo, o mesmo apresenta a desvantagem de não assentar numa

equação de difusão de Markov. Como nssinalam HuIl e White (1994 a, p. 8) “the distribu

tion of interest rates in the next period depends on the current rate and also on rates in

earlier periods”. Donde, a sua implementação prática torna-se difícil porquanto, como

assinalam os mesmos autores, “computations are very time-consuming”. Ainda como

desvantagem deste modelo é usualmente apontada a impossibilidade do seu uso para ava

liação de opções de estilo americano sobre taxas de juro.

6.4 OUTROS MODELOS

6.4.1 OUTROS MODELOS DEMARKOV

Como aperfeiçoamento ou extensões dos modelos de Ho e Lee (1986) e de Black,

Derman e Toy (1990) surgiram, respectivamente, os modelos de HulI e White (1990b e

1993) e de Black e Karasinsky (1991), dos quais procuraremos fazer uma breve apresea

tação nos próximos parágrafos.

onde

MODELIZAÇÂO DA ESTRUTURA DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NÃO ARBITRAOEM

BO,T) Lrrl(Tt)

198199

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS 1 MODELIZAÇÃ0 DA ES1Rurup,~ DE PRAZOSDAS TAXAS DE JURO - MODELOS DE NÃO ARBITRAGEM

6.5 CONCLUSÕES Heath, D.; Janow, R.; e Monon, A. (1990 “Eond Pricing and the Te~ S~icture ofInterest Rates: A ljiscret Time Approximation» Journal of Financia! and Quantitative

Neste Capítulo analisamos os denominados modelos de não arbitragem. Estes 1 Ana!ysis, 25, n°4, December, 419-440.

modelos permitem-nos perspectivar de que modo evoluirá o preço de uma obrigação deHo, T. 8. Y. e Lee, 8-E, (1986) “Term Structure Movements and Pricing Interest Rate

curto prazo (e, consequentemente, a respectiva taxa de juro) caso essa evolução seja conContingent Claims”, Journal ofFinance, XLI, n°5, December, 1011-1029.

sistente com a estrutura actual de taxas de juro. Trata-se, assim, de modelos que têm

como ponto de partida a estrutura vigente de taxas de juro, procurando em seguida deter- Huli, 3. (1993) Option, Figures, and Other Derivative Securities, segunda edição,

minar os movimentos da taxa de juro de curto prazo que são compatíveis com a actual Prentice HaIl Intemational Editions, 398-410.

estrutura de prazos de taxas de juro.HulI, 3., White, A. (1990 a) “New Ways Wti the Yield Curve”, RJSK, October, ‘,‘ol. 3, n°9, 13-17.

Por outro lado, o modelo de lo e Lee - que utilizamos como modelo de base neste HulI, 3., White, A. (1990 b) “Pricing Jnterest-RateDerivative Securities”, The Review of

capítulo - permitiu-nos constatar que à luz das novas abordagem da estrutura de prazos Fi,wncia! Studies , Vol. 3, n°4, 573-592.

das taxas de juro, a taxa de juro esperada é a soma de duas parcelas sendo a primeira a

taxa forward implícita nos preços de duas obrigações Com vencimentos em períodos con- HulI, 1., White, A. (1990 c) “Valuing Derivative Securities Using the Explicite Finite

secutivos (n e n÷1) e a segunda um desvio a essa média, o qual será nulo no caso de não Diference Method”, Journal o! Financia! and Quantitative Analysis, 25, March, n°1, 87-

existir incerteza. Ou seja, este modelo permitiu-nos Constatar que somente num mundo 100.

sem incerteza a taxa de juro esperada coincidiria com a taxa dejuroforward, ao contrário FluIl, J., White, A. (1993) “One-Factor Interest Rate Models and The Valuation of

do que defendia a tese de Luta de que falamos no Capítulo 2. Jnterest-Rate Derivative Securities”, Journa! ofFinancial and Quantitativa Ana!ysis, Vol.28, n°2,235-254.

HulI, J., White, A. (1994 a) “Numerical Procedures for Jmplementing Term StructureBIBUOGRAFIA Models 1: Sigle-Factor Models”, The Journal o!Derivativas, Vol. 2, n° 1, FalI, 7-16.

Black, F. Derman, E. e Toy, W. (1990) “A One-Factor Model of Interest Rates and Its HuIl, 3., White, A. (1994 b) “Numerical Procedures for Implementing Term Structure

Application to Treasury Bond Options”, FinancialAna!ysts Journa!, January-February, 33-39. Models II: Two-Factor Models”, The Journal o!Derivatives, Vol. 2, n°2, Winter, 37-48.

Blaclc, F. e Karasinsky, P. (1991) “Bond and Option Pricing When Short Rates are Jamshidian, F. (1991) “Eond and Option Evaluation in the Gaussian Interest RateModel”, Research in Finance, Vol. 9, 131-170.Lognormal”, Financial Analysts Journal, July-August, 52-59.

Van Horne (1994) Financial Mar/cai Rates and Flows, quarta edição, Prentice HalIBliss R. R. e Ronn, E. 1. (1989) “Arbitrage-Based Estimation of Nonstationary Shifts in the

Term Structure of Interest Rates”, The Journal ofFinance, July, Vol. XLIV, n°3.591-611. Intemational Editions, 105-106.

Healh, D., Janow, R. e Morton, A. (1992) “Bond Pficing and Tbe Teim Stnicnire of lnte,est Rates: A

New Meffiodology for Contingent Claims Valuafion”, Econometrica, ‘vbl 60, n°1, January, 77-105.

200 201

CONCLUSÕES FINAIS

A estrutura de prazos das taxas de juro é, por definição, o conjunto das taxas juro de

diferentes prazos que se praticam no mercado obrigacionista calculadas a partir da infor

mação existente sobre obrigações com risco de incumprimento mínimo que diferem entre

si, ceteris paribus, pelos prazos de reembolso.

Para representar adequadamente as taxas de juro para os diferentes prazos devem

ser usadns as taxas spot (ou as respectivas taxas forward implícitas), pese embora na prá

tica seja frequente o uso de yields to marurity. Concluiu-se que, excepto quando calcu

ladas a partir de obrigações sem cupão ou quando a estrutura de prazos das taxas de juro é

horizontal, o uso das yieids to maturiry conduz a erros de avaliação das obrigações. Na

realidade, como vimos, as taxas actuariais de rendibilidade reflectem não só a estrutura de

prazos das taxas de juro, mas também as características particulares das obrigações, tais

como o montante dos cupões e o programa de reembolso. Consequentemente, da yield to

marurity de uma obrigação nada se poderá concluir sobre a taxa adequada ao desconto

dos cashflows de uma outra obrigação.

Em mercados, como o nosso, onde seja frequente o uso de yields to maturity no

processo de tomada de decisões, poderá existir alguma ineficiência nos preços contra

tados. Esta é, aliás, uma das hipóteses que gostaríamos de testar em trabalhos empfricos

ulteriores. Isto é, julgamos que vale a pena testar empiricamente a hipótese de, à luz da

estrutura de prazos vigente, alguns empréstimos obrigacionistas apresentarem - com

alguma persistência - preços de desequilíbrio por força da circunstância de a generalidade

dos agentes económicos avaliar esses empréstimos com base em taxas actuariais e não

com base no conjunto das taxas spot vigentes.

A razão pela qual muitos agentes económicos decidem com base em yields to

maturiry em vez de usarem as taxas à vista adequadas prende-se com a dificuldade exis

tente no cálculo destas últimas. Com efeito, o cálculo da estrutura de prazos das taxas de

203

TAXAS DE JURO: ESTRUTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOSCONCLUSÕES FINAIS

juro quando efectuado a partir de obrigações sem cupão é muito simples. O problema é

que raramente existem obrigações sem cupão e com risco de incumprimento mínimo de

médio e longo prazo. Em regra este tipo de obrigações são emitidas apenas por prazos

curtos. Daí que tenha de recorrer-se à informação existente sobre obrigações com cupão

fixo para calcular - com maior dificuldade e potencial imprecisão - a estrutura de prazos

das taxas de juro.

Entre os métodos de cálculo da estrutura de prazos das taxas de juro analisados, um

é de aplicação relativamente simples, mas potencialmente conducente a valores impre

cisos para as taxas spot caso o mercado obrigacionista não se encontre em equilíbrio.

Trata-se do método Bootsrrapping.

Vimos também os usualmente denominados métodos econométricos. Neste con

texto, o método da regressão dos mínimos quadrados proposto por Carleton e Cooper

(1986) sendo o de mais fácil aplicação apresenta ainda assim algumas dificuldades ine

rentes ao facto de a equação de regressão não ter termo independente e à circunstância de

ser difícil obter uma amostra de obrigações com uma distribuição de prazos suficiente

mente equilibrada que permita uma boa estimação de cada um dos termos da função de

desconto.

Alguns autores sugerem que as estimações a efectuar partam de uma restrição

quanto à forma funcional da função de desconto. Surgem assim os métodos do ajusta

mento polinomial, do ajustamento por exponenciais e do ajustamento por exponenciais de

polinómio.

O prfmeiro destes métodos pressupõem que a função de desconto é adequadamente

representada por uma combinação linear de funções continuamente diferenciáveis. A

necessidade de efectuar a escolha subjectiva quanto à especificação e ao número destas

funções diferenciáveis, bem como a inexistência de garantia de que se obtenham estima

tivas razoáveis das taxas de juro são as principais dificuldades que lhe são usualmente

apontadas.

204

Já no que conceme ao método do ajustamento por exponenciais, os seus defensores

partem do pressuposto de que as funções de desconto são adequadamente retratadas por

funções exponenciais. Há, todavia, quem conteste a ideia de que o ajustamento exponen

cial melhore a qualidade das estimativas comparativamente ao ajustamento polinomial.

Por sua vez, o método do ajustamento por exponenciais de polinómio admite que as

funções de desconto são melhor retratadas por exponenciais de polinómios. Este método

tem a grande vantagem de permitir o cálculo das taxas de juro spot para diferentes prazos

directamente a partir da função de desconto após a aplicação de logaritmos. Em concreto,

como tivemos oportunidade de verificar, a taxa de juro spot surge como uma função poli

nomial do prazo respectivo.

Os grandes problemas de todos estes métodos são a sua difícil aplicação e a inexis

tência de garantia de obtenção de estimativas razoáveis para as taxas de juro.

Vimos também um método denominado método do ajustamento exponencial a

partir da yie!d curve, atribuído a Echols e Elliot (1976), o qual, pressupondo que as taxas

de juro forward se ajustam a uma função exponencial, procura isolar o efeito cupão das

yields to nusturity de modo a obter estimativas para as sucessivas taxas spot. Julgamos,

todavia, que a fórmula encontrada para isolar o efeito cupão, não contemplando qualquer

distinção em função do prazo da obrigação, é pouco refinada.

Entre os métodos de cálculo da estrutura de prazos das taxas de juro vimos ainda o

método proposto por Hodges e Schaefer (1977) e Schaefer (1981), o qual nos parece

muito adequado para aplicação a mercados obrigacionistas estratificados como o naci

onal. Com efeito, sendo o mercado português potencialmente segmentado por força do

diferente regime fiscal de que gozam os investidores nacionais e os investidores estran

geiros, assim como por força do regime especial de isenção de que beneficiam alguns

investidores residentes, cada grupo de investidores tenderá a ter uma carteira óptima dife

rente da carteira óptima dos demais, o que significa que terá a sua própria estrutura de

prazos das taxas de juro. Este regime, partindo da optimização da carteira para um parti

cular regime de investidores acomoda essa circunstância. Além do mais, este método con

205

1

TAXAS DE JURO: ES1RIJTURA DE PRAZOS E MODELOS DINÂMICOS CONCLUSÕES FINAIS

sidera o vencimento de juros num conjunto discreto de datas, o que é consentâneo com o

funcionamento do mercado nacional. Em trabalhos de natureza empírica que sucedam ao

presente, este será um método a privilegiar.

Todos os métodos de cálculo da estrutura de prazos das taxas de juro referidos

ignoram o papel que a tendência e a volatilidade futura das taxas de juro desempenham

na sua determinação. Com efeito, são métodos que não necessitam de prognosticar a evo

lução futura do nível e da volatilidade das taxas de juro para determinar a estrutura de

prazos corrente.

O contrário acontece com os arbirrage term strucrure modais que permitem o cál

culo da estrutura de taxas spor a partir da definição do processo estocástico seguido pela

taxa de juro. Estes modelos partem do princípio de que o preço de uma obrigação é deter

minado pela antecipação que se formula quanto ao caminho a seguir pelas taxas de juro

instantâneas durante toda a vida da obrigação, sendo que os valores futuros dessas taxas

de juro não dependem dos seus valores passados mas tão somente do seu valor presente.

Neste âmbito diferentes modelos foram sugeridos, diferindo entre si quer quanto ao

número de equações estocásticas a incorporar no modelo (uma, relativa à taxa de juro de

curto prazo, ou duas, relativas às taxas de juro de curto e de longo prazo) e quanto à espe

cificação funcional dessas funções. Em regra, será de preferir os modelos cuja(s)

equação(ões) de difusão conduzam à reversão à média e não permitam a verificação de

valores negativos para as taxas de juro, o que, designadamente, parece acontecer com o

modelo proposto por Cox, Ingersoll e Ross (1978, 1985). o qual tem ainda a vantagem de

ter resolução analítica.

No que conceme às teorias explicativas da estrutura de prazo das taxas de juro, e

começando pelas teorias tradicionais, indubitavelmente, todas elas incorporam elementos

importantes para compreender o que leva os mercados a fixar taxas diferentes para dife

rentes prazos.

A teoria das expectativas tem a grande vantagem de chamar a atenção sobre o papel

das taxas de juro esperadas na explicação das taxas de juro presentes. Julgamos que

nenhum agente económico toma decisões sem formular essas mesmas expectativas, pare

cendo-nos até que a convicção de Malkiel segundo a qual os agentes económicos

decidem com base num intervalo de variação das taxas de juro de longo prazo num hori

zonte curto de tempo é bastante realista.

Todavia, estamos em crer que os agentes económicos não são tão avessos ao risco

que lhes seja indiferente um investimento de longo prazo ou sucessivos reinvestimentos

de curto prazo na hipótese de o retomo esperado por estas duas alternativas ser idêntico.

Não significa isto, no entanto, que estejamos de acordo com a teoria da segmen

tação. Com efeito, julgamos ser excessivo pensar que a expectativa de um retomo ele

vado não mobilize os agentes económicos dos seus horizontes temporais predilectos para

outros segmentos de prazos. No entanto, não deixamos de reconhecer importância a

alguns dos argumentos invocados pelos defensores desta teoria, particularmente quando

pensamos nas particulares características do mercado de obrigações nacional. Com efeito,

as razões institucionais invocadas por Conard - segundo as quais (i) a presença activa em

diversos segmentos de mercado implica custos, nem sempre recuperados, decorrentes da

necessidade de dispor de um sraff capaz de detectar oportunidades de ganho arbitragista, e

(ii) a estreiteza de alguns mercados não permite realizar mutações de carteiras sem causar

rapidamente grandes descidas de preços - são bem capazes de justificar o imobilismo

colocado na gestão de activos e passivos por alguns agentes económicos que actuam no

mercado nacional.

É todavia, a teoria do prémio de liquidez que - no nosso entender - melhor descre

verá o comportamento dos agentes económicos em geral, e em particular melhor se ade

quará ao mercado de obrigações nacional. Em próxima oportunidade gostaríamos de

testar empiricamente esta nossa convicção.

Em particular, gostaríamos de verificar se no mercado obrigacionista nacional se

verifica - como estamos convictos - uma relação inversa entre o nível do prémio de

liquidez e o montante das taxas de juro. Isto é, gostaríamos de verificar até que ponto um

nível elevado das taxas de juro indiciando uma provável descida induz os agentes econó

206 207


micos que actuam no mercado nacional a tomar espontaneamente posições em activos de

longo prazo (diminuindo, assim, o prémio de liquidez exigido) e até que ponto se verifica

a situação inversa num cenário de taxas de juro reduzidas.

Por último, importa notar que, no domínio dos modelos estocásticos, os denomi

nados no arbitrage rnodelç, não providenciando um método de cálculo da estrutura de

prazos das taxas de juro, pois usam essa mesma estrutura como input, proporcionam

explicações para a existência de diferentes, taxas de juro para diferentes prazos, conforme

ficou evidenciado, por exemplo, na análise do modelo de Ho e Lee (1986). Com efeito, BIBLIOGRAJ~JAtivemos oportunidade de constatar que nos termos deste modelo, as taxas de juro de longo

prazo para além de incorporarem as expectativas quanto à evolução futura das taxas de

juro de curto prazo, incorporam também um prémio de risco (positivo) inerente à volatili

dade das taxas de juro de curto prazo.

Os no arbitrage modeLç, todavia, devem a sua grande importância ao facto de per

mitirem o cálculo de árvores de taxas de juro que exprimem a evolução futura das taxas

de juro de curto prazo compatíveis com a estrutura de prazos vigentes. Estas árvores, por

sua vez, são muito úteis para a avaliação dos instrumentos financeiros (como por

exemplo, as obrigações e as opções) cujo valor e ou o período de vida depende da evo

lução futura das taxas de juro de curto prazo. Entre os diferentes modelos analisados, o

modelo de Black, Derman e Toy (1990), pela sua simplicidade, pelo facto de se ajustar à

estrutura de volatilidades corrente, por verificar o fenómeno de reversão à média e por

não admitir taxas de juro negativas, parece-nos um modelo particularmente interessante.

Em suma, neste documento efectuamos um esforço de aprendizagem e de síntese da

literatura que julgamos mais significativa sobre a problemática da estrutura de prazos das

taxas de juro e dos modelos estocásticos de taxas de juro. Em trabalhos ulteriores procu

raremos aplicar ao caso português alguns desses modelos, visando designadamente com

preender se o nosso jovem mercado de obrigações distingue as taxas de juro em função

do prazo das aplicações, e que factores explicam o seu comportamento.

208

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- Drafi. ANEXOS

218

ANEXO 1

PREVISÃO DAS TAXAS ESTRUTURADE PRAZOS DAS TAXAS DE JURO E O MODELO DE LUTZ

Consideremos dois investimentos alternativos, sendo um de prazo t (seguido de

reinvestimento por um perfodo), e o outro de prazo t+1. Segundo o modelo de Lutz, o

mercado só estará em equilíbrio quando:

(AI .1](I÷R~) ~ (l-I-F~÷1) = (1+Rt÷1) t+l

onde a notação mantém o significado habitual (isto é, R~ representa a taxa à vista

para o prazo 1; ~t+l simboliza a taxa à vista para o prazo !d; e F~ corresponde à taxa

forward para para aplicações entre t e ~flJ.

Multiplicando ambos os membros da equação [AlI] por (l-i-Ft+2) obteremos:

(l÷R~) t (1+Ft+t) (l+F~+2) (1÷R~÷1) t+l (1+Ft÷2). [At.2]

Ou seja, como de acordo com o modelo de Luta o segundo membro da equação

anterior é igual a (l+R~+2) t+2, teremos:

(l+RL) (1+F~+t) (l-i-F~+2) (l+R~÷2) t+2 IAI.3l

Multiplicando agora ambos os membros desta equação por (l+F~÷3), facilmente

concluiremos:

(l-t-R~) (l÷Ft+1) (1+F~+z) (1-t-Ft÷3) (l÷R~÷3) t+3 [AI.4l

Repetindo este processo as vezes necessárias concluiremos que, do modelo de Luta,

decorre:

221

(l÷R~) t(l+F ~) (l+F~÷2) ... (~+F~.~) = (1+R1÷5) t~S [AIS] AnExo 2

Logo, para que o mercado obrigacionista se encontre em equilíbrio teremos: AVALIAÇÃO DE OBRIGAÇÕES DE CUPÃO INDEXADO

A UMA TAXA DE REFERÊNCIA DE MERCADO(1+M1,5)5 = (l+F1÷i) (1+F~+2) ... (l+F~+5). [Aló] DE CURTO PRAZO, COM MARGEM NULA

Ou seja:

Admita-se, sem perda de generalidade, a existência de uma obrigação de cupão(l+R~) t(l+M~ ) 5— (1+R1+5) t+S, [Ai.?] revisível que vence juros periódicos à taxa de juro de curto prazo coifente no mercado,

com um prazo de n períodos, e reembolso ao valor nominal. Na data de reembolso e deonde M representa a taxa de juro prevista para aplicações de prazo ~ numa data — - -t,S pagamento do ultimo cupao de juros o valor dessa obngaçao e igual ao valor nominal

futurat. .

acrescido do cupao de juros, ou seja:

VN + C,1,

onde ~n representa o preço da obrigação (cupão incluído) na data a, VN representa

o vator nominal (e de reembolso) e Ca representa o cupão que se vence na data j~.

Por sua vez, C~ = VN x Rn1,i ,onde R representa a taxa de juro à vista vigente em

g~ para aplicações de prazo ~•

Donde, podemos escrever:

VN + VN x

Donde, em n-l, o valor actual de ~n é o próprio valor nominal. Com efeito:

Pn/(l+Rn~i,i) = VN.

Assim, analogamente, poderemos escrever:

= VN + C111, sendo Cn[ = VN x

222 223

Ora, estendendo este raciocínio, podemos generalizar, afirmando que: Ar4Fxo 3

= VN + q, MÉTODO DE AUGROS DE CORRECÇÃO DOS DADOSDESTINADO A COMPENSAR O EFEITO DECORRENTE

representando t (t=1, 2, 3 n) uma qualquer data de vencimento do cupão de DA DIFERENÇA EXISTENTE ENTREjuros. AS VÁRIAS DATAS DE VENCIMENTO DOS CUPÕES

Donde, como pretendíamos demonstrar, imediatamente após o vencimento de um

cupão de juros, o valor da obrigação é igual ao valor nominal. O facto de as obrigações não terem, regra geral, datas uniformes de pagamento dos

cupões dificulta a aplicação prática dos modelos de estimação da estrutura de prazos das

taxas de juros que postulam que as obrigações vencem juros num conjunto discreto de

datas específicas.

Com efeito, é difícil reunir um conjunto de obrigações suficientemente alargado

que vençam cupões nas mesmas datas, porquanto estas geralmente diferem de emissão

para emissão.

Augros (1983) propõe um método de correcção dos dados de modo a ajustar os

fluxos de cada obrigação a uma grelha de prazos previamente seleccionada, o qual

assenta nas seguintes quatro etapas:

(i) Em primeiro lugar, é calculada a taxa actuarial de rendibilidade para cada obri

gação.

(ii) Em seguida, o preço de cada obrigação é ajustado pelo efeito decorrente da

existência de um período de décakzge entre a data de vencimento dos cupões dessa

obrigação e a data de vencimento de cupões seleccionada. Assim, por exemplo, se a

obrigação j vencer juros em 30 de Junho em vez de 1 de Janeiro (data de venci

mento dos cupões pressupostamente seleccionada pelo modelo de avaliação), o res

pectivo preço será corrigido como se segue:

p*. = P. (1 ~

224 1 225

onde ~ é o preço corrigido da obrigação j; P~ o correspondente preço observado; e

Y~ a respectiva taxa actuarial de rendibilidade.

(iii) Em seguida, utilizando os preços corrigidos e os verdadeiros fluxos monetários

(juros e reembolsos) de cada obrigação o autor aplica o modelo de Carleton e

Cooper (1976), pressupondo que aqueles fluxos se vencem na grelha de datas selec

cionada. Com este procedimento, obtém-se uma primeira aproximação das taxas de

juro spot, a qual será melhorada na etapa seguinte.

(iv) A estimação precedente permite corrigir os fluxos monetários’44, sendo cada

um deles individualmente corrigido pela taxa forward obtida a partir das taxas spot

estimadas em (iii). Assim se, por exemplo, a obrigação j que se referiu em (ii)

vencer um fluxo monetário F em 30 de Junho do ano t-l, e R,,,~ representar a taxa

forward para aplicações semestrais que (de acordo com o que se estimou em (ii)) se

espera que venha a vigorar no final do primeiro semestre do ano t- 1, então, o fluxo

F será corrigido nos termos que se seguem:

=

Uma vez corrigidos os fluxos monetários, o autor estima por OLS a estrutura de

prazos das taxas de juro, nos termos preconizados por Carleton e Cooper (1976), usando

para o efeito os verdadeiros preços das obrigações (isto é, os preços observados no mer

cado) e os fluxos monetários corrigidos.

ANEXO 4

ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROSDO MODELO DE MCCULLOCH

Neste ponto procuraremos mostrar como é que os parâmetros desconhecidos a1 (i = 1,

k) da função de desconto de McCulloch (1971, 1975) são estimáveis pelo método OLS.

A forma daquela função de desconto é, como vimos (equação [4.5]), a seguinte:

ô(t) = 1 + a1f1(t) ,com t=i n.

Por outro lado, na hipótese (admitida por McCulloch) de a função de desconto ser

continua e diferenciável a relação entre o preço da obrigação e os pagamentos (juros e

reembolso) que a mesma proporciona ao longo do respectivo período de vida pode ser

expressa nos termos da equação:

P(n) = cJ «t) dt + VR&n)

Combinando estas equações e agrupando alguns termos obtém-se a expressão quese segue:

Is lA4.ll

y= a1x1,1=1

na qual,y=P(,)-VR-cn [A42]

x1=VR f~(n) + cJ f1(t)dt’ comi 1 k e t = O n. [A4.3]‘~ segundo o autor, com um rigor superior aquele que era possível caso a correcçio fosse levada a efeito com base

nas taxas actuariais de rendibilidade.

226 227

Uma vez que os valores de y e x1 são facilmente determináveis, pois os seus ele- AlqExo 5mentos ou são observáveis (P, VR, c e n) ou são pressupostos do modelo (fj), a equação

[A4.1] pode ser estimada por OLS desde que lhe seja adicionado um termo de pertur- SEGMENTAÇÃO DA ESTRUTURA DE PRAZOSbação aleatória. DAS TAXAS DE JURO

Passamos a exemplificar o método de segmentação do espectro de prazos em dife

rentes intervalos de ajustamento da função de desconto. Para tanto, admita-se que se

dispõe de uma amostra de 21 obrigações sem risco de crédito (n=21), cuja distribuição

em termos de prazos de vencimento é a que a Tabela A5.1 resume.

TABELA AS. 1 - DISEUBUIÇÃO DE PRAZOS DE UMA AMOSTRA HIPOTÉTiCA DE OBRIGAÇÕES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 14 15 ló 17 IS 19 20 21

Prazo (anos) 1,0 1,0 1,3 1,4 1,5 1,8 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 5,3 6,0 7,0 7,3 8,0 8,5 9,0 9,3 9.8 10,0

Perante uma amostra com esta dimensão o número de funções ~ (i=1 k) reco

mendado por McCulloch (1971, 1975) é 5 (isto é, k—5)145. Consequentemente, segundo o

mesmo autor, devem ser construídos 4 (ou seja, k-1) intervalos de ajustamento, a saber:

(O, d2), (d2, d3), (d3, d4) e (d4, 10).

Por sua vez, os limites (d2, d3 e d4) daqueles intervalos calculam-se nos termos que

se seguem:

t1 + OO~+~ -

com j= 2, 3 e 4, representando t1 o prazo da ~ésima obrigação (pressupondo-se uma

prévia ordenação das obrigações, por ordem crescente de prazo), sendo

[maior inteiro ≤ [(j-1)n]/(k-l)J

45 O próximo inteiro da raiz quadrada do número de observações (21).

4. t~228 229

e í __tz

Assim, para j=2, teríamos: f2(t) = t - 11,575 - (t - 1,575~

O = [(j-1)n)/(k-l) - 1. j 2*1,575 .0 < t ≤ 1,575

2 2*(4,5 - 1,575)’ 1,575 <t ≤4,5

1 = [maior inteiro ≤ [(2-1)2111(5-1)] = 5, 14,5,4,5< ≤ 10

O = [(2-1)2111(5-1) - 5 = 0,25 e 2

= t5 + 0,25(t5 - t5) = 1,5 + 0,25 (1,8- 1,5) = 1,575.

O , 0< t ≤ 1,575

De modo an~ogo obteríamos: d3 = 4,5 e d4 = 7,825. [Então, segundo aquele autor, teríamos 5 ~nçóes ~(t) (i 1 5) distintas - sendo

2*(4,5 - 1,575)’ 1,575< t≤4,5cede à estimação da função de desconto, nos termos que se referiram anteriormente. Na

cada uma delas válida apenas para um dado intervalo de preços - a partir das quais se pro- f3(t) = 1 (t - 1,575)2

(t - 4,5)2realidade, neste caso em concreto, teríamos uma função f1(t) especialmente destinada ao ~(4,s1,575)+ 0-4,5) - 2(7,8254,5)’ ~j <~ ≤ 7,825

ajustamento da função de desconto às obrigações de prazo inferior ou igual a 1,575 anos; 2

uma segunda função (f2(t)) destinada ao ajustamento das observações de prazo superior a 4~oo -4,5), 7,825 <t ≤ 10

1,575 anos e inferior ou igual a 4,5 anos; etc.

No que conceme à especificação funcional das várias fjO) (1= 1 5), aquele autor

sugere um ajustamento exponencial de grau 2 (McCulloch (1971)) ou de grau 3 í o , O < t ≤ 4,5

(McCulloch (1975)). Apresenta-se em seguida a expressão analítica que estas funções

assumiriam quando aplicadas ao nosso exemplo, na hipótese de um ajustamento através Jf4(t) = O — 4,5)2

de funções quadráticas: i 2*(7,825 - 45) , 4,5 <t ≤ 7,825

2*1,575 200-7,825)’ 7,825 <t ≤ 10f1(t) { - 1 ~2, ~ ~ ≤ 1,575 ~, ~.(7,82s -4,5) + 0-7,825) - (t - 7,825)2

= 11,575, 1,575<t≤ 10 , e

fsO) =

2 f O, O≤t≤7,825

(t - 7,825)2 7,825 <t ≤ lo200- 7,825)

231230

ANEXO 6

RELAÇÃO ENTRE PREÇOS E TAXAS FOR WARD(demonstração da equação [6.2])

Num mundo de perfeita certeza, sem impostos e sem custos de transacção, será

indiferente fazer, em n, uma aplicação por T÷1 períodos ou fazer uma aplicação por um

período seguida de uma aplicação subsequente, em n+l, por T períodos, desde que as

taxas de juro respectivas respeitem a relação seguinte:

lx e(T)x rt”~T) x e’ d’O) = e~”1) xr(qT.I)

Substituindo cada um dos membros desta equação pela respectiva expressão inversa

obtemos:

e(T) X r4”’~T) x e-’ ~ ,~‘~i) = e(T+l) xi4’~T+I)

Donde, atendendo à relação inversa existente entre preço de obrigações de cupão

zero e a taxa de juro, podemos escrever:

~

ou,

p(n+t)(T) P~’~(T)= P~(T-t.l)

corno queríamos demonstrar.

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TAXAS DE JURO§as...dando igualmente corpo à desejada continuidade da Série Moderna Finança, com...

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