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Universidade Salvador – UNIFACS

Cursos de Engenharia – Cálculo IV

Profa: Ilka Rebouças Freire

Integrais Múltiplas

Texto 03: A Integral Dupla em Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

Introduziremos agora um novo sistema de coordenadas planas que, para certas curvas e

problemas de lugar geométrico, apresenta algumas vantagens em relação às coordenadas

retangulares, além de facilitar, em alguns casos, o cálculo de integrais.

No sistema de coordenadas retangulares a localização de um ponto P do plano é dada

através da distância de P a duas retas perpendiculares fixas denominadas de eixos

coordenados.

No sistema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto consistem de uma

distância e da medida de um ângulo, em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa.

Fixados um ponto O, denominado pólo ou origem e uma semi-reta de origem nesse ponto,

denominada de semi-eixo polar podemos localizar qualquer ponto P do plano se

conhecermos a sua distância ao pólo e o ângulo que o segmento OP faz com o semi-eixo

polar.

As coordenadas de um ponto P são representadas pelo par P( r, ) no qual

r é denominado raio vetor ou raio polar e corresponde à distância de P ao pólo

é denominado ângulo vetorial ou ângulo polar e corresponde ao ângulo de

rotação do semi-eixo polar até o segmento OP

> 0 se a rotação for no sentido anti-horário

< 0 se a rotação for no sentido horário

pode ser medido em graus ou radianos

Denominamos

eixo polar - a reta orientada que contém o semi-eixo polar

eixo a 90 ou eixo ortogonal – a reta que passa pelo pólo e é ortogonal ao eixo

polar.

P

r

O

semi-eixo polar pólo

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Exemplo: Marcar no sistema polar os seguintes pontos: P(3, /4); Q(2, /3); R(4, 90) e

S(2, 0)

Podemos considerar o raio vetor como distância orientada de um ponto P ao pólo O da

seguinte maneira:

Se r < 0 giramos o semi-eixo polar de ângulo e na semi-reta oposta marcamos r

unidades, a partir do pólo

Exemplo: Marcar os pontos P( 2, 45); Q ( 1, 30 ); R( 2, 180)

Exemplo: Representar P1 (1, /6); P2(1, 7/6); P3( 1, 5/6); P4(1, 11/6)

Observamos pelo exemplo anterior que um mesmo ponto P pode ser obtido por vários pares

de coordenadas polares. De um modo geral, conhecidas as coordenadas de um ponto

P(r, ), r R e em radianos, P também pode ser representado por ( r, + 2n ) ou

( r, + 2n + ) que resulta na única expressão ( (1)n r, + n ), n Z. A menos que P

seja o pólo, esta expressão representa todas as possíveis coordenadas polares de P.

P

/4

/3

Q

R

S

/4

P

30

Q

O

R

P1

/6 7/6

P2

P3

5/6

P4 11/6

3

Observações:

1. No caso de coordenadas polares não existe uma correspondência biunívoca entre

pares e pontos, como no caso das cartesianas. É justamente este fato que leva a

resultados que, em alguns casos, diferem dos obtidos no sistema retangular.

2. Dados P1(r1, 1) e P2(r2, 2) então P1 = P2 r1 = r2 = 0 ou n Z tal que

r2 = ( 1)n

r1 e 2 = 1 + n .

3. Se P é o pólo, então (0, ) representa P qualquer que seja

4. Entre os infinitos pares de coordenadas polares de um ponto P diferente do pólo,

existe um único par com raio vetor r positivo e [0, 2[. A este par (ro, o) tal que

ro > 0 e 0 o < 2 denominamos par ou conjunto principal de coordenadas

polares do ponto P.

5. Convencionamos que o par principal do pólo é P(0,0)

Equação Polar x Equação Cartesiana

Dado um ponto P do plano tendo como coordenadas polares P(r, ) e coordenadas

cartesianas P(x,y) temos as seguintes relações entre x, y, r e .

222 ryx

senry

cosrx

e

22 yxr

x

ytg

Exemplos:

1) Encontre o conjunto principal de coordenadas polares para o ponto )1,3(P

Solução: 21)3(r 2 e 323

1

3

1tg

. O conjunto principal

de coordenadas é portanto )6

5,2(

r

P(x,y)

4

2) Encontre as coordenadas cartesianas do ponto )4

3,2(P

Solução: Temos que

1)2

2(2)4/3sen(2senry

1)2

2(2)4/3cos(2cosrx

O ponto P tem portanto coordenadas cartesianas P( 1, 1)

3) Encontre uma equação polar para as curvas cujas equações cartesianas são

a) x2 + y

2 = 1

Solução: x = r cos e y = r sen (r cos )2 + (r sen )

2 = 1 r

2 = 1

r = 1 e r = 1 são equações polares equivalentes da circunferência de centro na origem e

raio 1.

A equação da circunferência com centro no pólo e raio a é r = a ou r = a

b) Circunferência de centro no ponto ( 0, a) e raio a

Solução:

A equação cartesiana da circunferência é x2+ ( y – a)

2 = a

2

x = r cos e y = r sen (r cos)2 + (r sen – a )

2 = a

2 r

2 (cos

2 + sen

2 ) – 2arsen

+ a2

= a2 r

2 = 2arsen r

= 0 ( pólo ) ou r = 2asen. Uma vez que o pólo pode ser

obtido na 2a equação podemos concluir que a equação da circunferência é r = 2asen.

Analogamente, pode-se mostrar que a equação polar da circunferência de centro em (a,0) e

raio a é r = 2acos.

c) y = 3x

Solução: r sen = 3r cos tg = 3 = arctg3

A equação = k representa uma reta que passa pelo pólo

O

O

O

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A Integral Dupla em Coordenadas Polares.

As integrais duplas em coordenadas polares são as integrais nas quais o integrando e a

região de integração são expressos em coordenadas polares. Em muitas aplicações, se

mudamos as coordenadas retangulares para polares, o cálculo da integral é bastante

facilitado. Isto ocorre se a região R for limitada por curvas cuja equação é mais simples em

coordenadas polares, e, em especial, quando o integrando envolve a expressão x2 + y

2, que,

em polares , pode ser substituída por r2.

Consideremos a região R delimitada pelas retas = e = e as curvas polares r = r1()

e r = r2()

Se as funções r = r1() e r = r2() forem contínuas e seus gráficos não se

interceptarem, então a região é chamada de uma região polar simples

As idéias básicas na dedução da integral dupla em retangulares e a interpretação geométrica

como volume são análogas no caso polar.

No caso retangular a região R foi dividida em retângulos elementares. No caso polar

usaremos arcos e raios para subdividir a região R nos chamados retângulos polares.

Suponhamos que f(r, ) é não negativa para que possamos interpretar a integral dupla como

um volume, ou seja, o volume do sólido limitado por R e por f(r, ) é dado por

=

=

r1()

r2()

=

=

r1()

r2()

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V = R dA),r(f

Consideremos um retângulo polar arbitrário Ri de ângulo central i e espessura radial ri.

Escolhendo um ponto arbitrário ( ri, i ) dentro do retângulo, como sendo o centro desse

retângulo, o raio interno desse retângulo polar é ri ri / 2 e o raio externo é ri + ri / 2.

A área desse retângulo polar Ai é a diferença de área entre dois setores:

4

rrrr

4

rrrr

2r

2

1r

2

1r

2

1r

2

1A

2i

ii2i

2i

ii2i

ii

2

iii

2

iii

= ri ri i

Assim, como no caso de retangulares, fazendo o número de partições da região R tender

para infinito temos que

V = R dA),r(f =

n

1iiiiii

nrr),r(flim . O limite sugere que a integral pode ser

escrita como a integral iterada R dA),r(f =

)(2r

)(1r

rdrd),r(f . Os limites são escolhidos

para cobrir a região R, isto é, fixo entre e e r variando de r1 a r2.

Observação: apesar de termos admitido f(r, ) não negativa, pode-se mostrar que o

resultado vale no caso mais geral.

Exemplo: Calcule a integral iterada 2/

0

sen

0

drdcosr

Solução: 6

1]

6

sen[d

2

cossend]

2

cosr[ 2/

0

32/

0

22/

0

sen0

2

Observemos que a região R é limitada pelas curvas.

ri

(ri,i)

i

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r = 0 ( pólo); r = sen ( circunferência de centro no eixo a 90 e raio a = ½ ) e as retas = 0

e = /2.

Conversão de Integrais Duplas de Coordenadas Retangulares para Polares

O cálculo da integral dupla em coordenadas retangulares pode ser facilitado transferindo o

cálculo para polares, bastando fazer a substituição x = r cos e y = r sen e expressando a

região de integração em forma polar

sapropriado iteslimRR

rdrd)senr,cosr(fdA)senr,cosr(fdA)y,x(f

Exemplos:

1) Use coordenadas polares para calcular

R

)2y2x( dAe , sendo R a região contida

no círculo x2 + y

2 = 1

Solução: O círculo x2 + y

2 = 1 em polares tem equação r = 1 e varia de 0 a 2. Temos

assim que os limites de integração são r = 0 e r = 1 e = 0 a = 2. A integral fica

)e1(]2

)e1([d

2

1ed]

2

e[rdrde 12

0

12

0

12

0

2

0

10

2r1

0

2r

2) Calcule a integral iterada convertendo para polares 1

0

2x1

0

22 dydx)yx(

Solução: Vamos, inicialmente , identificar a região de integração em polares. A região é

corresponde a ¼ da circunferência de raio 1, ou seja r = 1 com variando de 0 a /2.

8

2/

0

1

0

3drdr =8

]4

[4

dd]

4

r[ 2/

0

2/

0

2/

0

10

4

3) Use a integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume de cilindro de

raio a e altura h

Solução: O volume do sólido pode ser interpretado como o volume limitado pela região

R que é uma circunferência de equação x2 + y

2 = a

2 e superiormente pelo plano z = h

. Usando a simetria teríamos V = 4 dxhdya

0

2x2a

0

. Usando as coordenadas polares temos

V = 4 ha]2

ha[4d

2

ha4d]

2

hr[4hrdrd 22/

0

22/

0

22/

0

a

0

/2

0

a0

2

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

Lembremos que no caso de uma função de uma variável podemos fazer uma mudança de

variável ou substituição para transformar uma integral dada em outra mais simples. Por

exemplo, dada a integral b

a

dx)x(f , podemos fazer a mudança de variável

x = g(t) dx = g´(t)dt; a = g(c) e b = g(d) e a integral fica igual a

d

c

b

a

dt)t´(g))t(g(fdx)x(f .

No caso da integral dupla podemos ter o mesmo procedimento efetuando mudanças de

variáveis, por exemplo

( I )

)v,u(hy

)v,u(gx

Isto corresponde a uma integral dupla numa região R do plano xy poder ser transformada

numa integral dupla sobre uma região R´do plano uv

A interpretação geométrica é que as mudanças de variáveis ( I ) definem uma

transformação que faz corresponder pontos (u, v) do plano uv em pontos (x,y) do plano xy,

levando a região R´do plano uv na região R do plano xy.

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Se a correspondência for bijetora podemos retornar de R para R´ pela inversa dada pelas

equações

)y,x(hy

)y,x(gu

1

1

Supondo que as funções sejam contínuas com derivadas parciais contínuas em R e R´ temos

que

( * )

O símbolo )v,u(

)y,x(

é chamado de determinante jacobiano de x e y em relação a u e v e é

dado por

v

y

u

yv

x

u

x

)v,u(

)y,x(

A expressão da integral acima ( * ) é válida se são satisfeitas as seguintes condições

f é contínua

as regiões são formadas por um número finito de sub-regiões dos tipos I e II

)v,u(

)y,x(

0 ou se anula num número finito de pontos em R´

Vejamos no caso de polares que já deduzimos:

u

v R´

x

y

R

dudv)v,u(

)y,x())v,u(h),v,u(g(fdxdy)y,x(f

R ´R

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Sejam R e R´ as regiões dos planos xy e r que se relacionam pelas equações

senry

cosrx

O determinante jacobiano nesse caso é dado por rcosrsen

senrcos

),r(

)y,x(

e assim temos

que rdrd)senr,cosr(fdxdy)y,x(f

R ´R

, como já havíamos deduzido.

Observações:

1.O jacobiano pode ser interpretado como uma medida de quanto a transformação modifica

a área da região R.

2. A expressão ( * ) é geral, se aplicando em outras transformações e não apenas no caso

de mudança de coordenadas de cartesianas para polares.

Referências Bibliográficas:

1. Cálculo um Novo Horizonte – Howard Anton vol 2

2. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski vol 2

3. Cálculo B – Diva Fleming

4. Cálculo – James Stewart vol 2