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Thiago Pacfico - Estatstica

Curso Completo de Estatstica

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DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS

Para um melhor entendimento sobre o conceito de distribuio de frequncias, usaremos o seguinteexemplo:Um professor, ao aplicar um teste em uma turma, deseja fazer uma pesquisa completa sobre o

desempenho dos seus 50 alunos.A lista dos resultados obtidos foi a seguinte (dados brutos, pois no se encontram ordenados):

Agrupando os resultados por classes ou intervalos, obtemos a seguinte distribuio de frequncias:

O arranjo ou organizao dos dados brutos por classe, junto com as frequncias correspondentes, chamado de Distribuio de Frequncia.

ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIO DE FREQUNCIA

Classes:

So os intervalos de variao da varivel, que so representados por i = 1, 2, 3, ..., k, onde k onmero total de classes de distribuio.

Frequncia de uma classe:

Indica o nmero de elementos de uma classe, isto , o total de vezes que cada valor entra naconstituio de uma classe.

Exemplo:Dada a distribuio a seguir, resultante das notas de Matemtica dos alunos de uma sala de um colgio:


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veja que a distribuio foi dividida em 5 classes, isto , k = 5.Na primeira classe, temos as notas de 0 inclusive at 2 exclusive com uma frequncia 5. Isso indica

que 5 alunos obtiveram notas de 0 a 2. Na segunda classe, com frequncia 6, indica-se que 6 alunosobtiveram notas de 2 a 4.

Intervalo de classe:

o conjunto de nmeros que constitui o intervalo. a forma mais comum de agrupar os dados.

Os tipos de intervalos de classe so:

3 5: fechado esquerda e aberto direita. Inclui o limite inferior e exclui o limite superior.3 5: aberto esquerda e fechado direita. Exclui o limite inferior e inclui o limite superior. 3 5: fechado esquerda e fechado direita. Inclui os dois limites. 3 5: aberto esquerda e aberto direita. Exclui os dois limites.

Limites de classes:

So os extremos de uma classe.l = Limite inferior.

L = Limite superior de uma classe.

Ponto mdio de uma classe:

Chamamos de ponto mdio de uma classe o ponto que divide esse intervalo de classe em duas partesiguais.

Olhe!O ponto mdio denotado por Xi, onde i indica a i-nsima classe considerada.

O ponto mdio de uma classe determinado pela semissoma do limite superior e do limite inferior dessaclasse, isto , a mdia aritmtica dos limites da classe.

O ponto mdio de uma classe o seu legtimo representativo.Ao ser determinado, faremos a suposio de que todos os elementos pertencentes a essa classe seroiguais ao seu ponto mdio.

Os pontos mdios de uma distribuio esto em progresso aritmtica, isto , a diferena entre eles constante.

Observe que a diferena entre os pontos mdios constante e igual a 10, logo, eles esto em

progresso aritmtica.


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Amplitude de um intervalo de classe:

a medida do intervalo que define a classe. obtida pela diferena entre os limites superior e inferiordessa classe e indicada por:

Veja com ateno:A diferena entre os pontos mdios igual amplitude de classe.O limite superior de uma classe o ponto mdio do intervalo dessa classe somado com a metade da

amplitude de classe.

O limite inferior de uma classe o ponto mdio do intervalo dessa classe diminudo da metade daamplitude da classe.

Amplitude total da distribuio:

a diferena entre o limite superior da ltima classe (limite superior mximo) e o limite inferior daprimeira classe (limite inferior mnimo).

TIPOS DE FREQUNCIAS

Frequncia absoluta (fi)

Indica quantos elementos da amostra pertencem a cada classe.

Frequncia relativa (fr)

determinada quando dividimos a frequncia absoluta de cada classe pela frequncia total, isto , pelotamanho da amostra.

Indica, em porcentagem, o nmero de elementos de cada classe.

Veja:Para o seu clculo em porcentagem, basta multiplicar o seu valor por 100.


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A soma das frequncias relativas ser igual a 1(um) ou bastante prximo de 1.Para se calcular a frequncia relativa percentual, basta multiplicar a frequncia relativa por 100.

Frequncia absoluta acumulada crescente fac

a soma da frequncia absoluta de uma classe com as frequncias absolutas de todas as classesanteriores. conhecida, tambm, como frequncia abaixo de.

Indica o nmero inferior ao limite superior da classe.

Frequncia absoluta acumulada decrescente fad

a soma da frequncia absoluta de uma classe com as frequncias absolutas de todas as classesposteriores. conhecida, tambm, como frequncia acima de.

Indica o nmero superior ao limite inferior da classe.

Frequncia relativa acumulada crescente frac

a soma da frequncia relativa de uma classe com as frequncias relativas de todas as classes

anteriores.Indica a porcentagem inferior ao limite superior da classe.

Frequncia relativa acumulada decrescente frad

a soma da frequncia relativa de uma classe com as frequncias relativas de todas as classesposteriores.

Indica a porcentagem superior ao limite inferior da classe.

Veja com ateno:As frequncias absolutas crescentes e decrescentes so expressas por nmeros.As frequncias relativas crescentes e decrescentes so expressas por porcentagem.

REPRESENTAO GRFICA DE UMA DISTRIBUIO DEFREQUNCIA

Uma distribuio de frequncia pode ser representada graficamente pelo:

Histograma:

um grfico formado por um conjunto de retngulos justapostos, assentados no eixo horizontal de tal

modo que:as bases dos retngulos possuem as mesmas amplitudes das classes (no eixo horizontal);as alturas dos retngulos so numericamente iguais s frequncias relativas das classes, dadas em

porcentagem (no eixo vertical);os pontos mdios da parte inferior dos retngulos coincidem com os pontos mdios dos intervalos de

classe.

Polgono de frequncia:

o grfico que se obtm quando unimos os pontos mdios da parte superior de cada retngulo dohistograma.

Polgono de frequncia acumulada (ogiva de Galton):

o grfico obtido quando colocamos, no eixo horizontal, as classes e, no vertical, as frequnciasacumuladas.


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FORMAS DAS CURVAS DE FREQUNCIAS

As curvas de frequncias assumem as seguintes formas:

Curva em forma de sino:

Caracteriza-se por apresentar um valor mximo na regio central.

Curva assimtrica positiva:

A cauda mais alongada fica direita.

Curva assimtrica negativa:

A cauda mais alongada fica esquerda.


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MEDIDAS DE POSIO

As medidas de posio, tambm chamadas de medidas de tendncia central, so determinadasquando desejamos que um nico valor seja representativo de toda a srie de dados observada.Quando usamos um s valor, a srie fica drasticamente reduzida, mas, mesmo assim, esse valor ainda

pode ser considerado como legtimo representativo da srie.Estudaremos, principalmente, com mais detalhes, a mdia, a moda e a mediana sob trs aspectos

distintos.Medidas de posio para dados no agrupados.Medidas de posio para dados agrupados, sem intervalos de classe.Medidas de posio para dados agrupados, com intervalos de classe.

MEDIDAS DE POSIO PARA DADOS NO AGRUPADOS

Mdia aritmtica: o quociente da diviso da soma de todos os elementos do conjunto estudado pelonmero de elementos do conjunto.

Moda: o elemento do conjunto que mais ocorre.

Mediana: o elemento central de um conjunto ordenado ou a mdia aritmtica dos dois elementoscentrais.

Resumo


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PROPRIEDADES DA MDIA

A mdia aritmtica sempre existe e nica.A mdia aritmtica sensvel a todos os valores do conjunto. Se um valor se modifica, a mdia tambm

se modifica.Se a cada elemento de um conjunto numrico qualquer somarmos ou subtrairmos uma constante, a mdia

ficar acrescida ou subtrada dessa constante.Se cada elemento de um conjunto numrico qualquer for multiplicado ou dividido por uma constante, a

mdia ficar multiplicada ou dividida por essa constante.A mdia aritmtica influenciada por valores extremos.A soma de todos os desvios em torno da mdia aritmtica de um conjunto numrico qualquer sempre

zero.

PROPRIEDADES DA MODA

A moda pode no existir. A moda no influenciada por valores extremos. a menos til das medidas, se comparada com a mdia e amediana.

Com relao ao elemento modal, um conjunto pode ser: Amodal:quando no possuir moda.

Exemplo: 1, 2, 3, 5, 8, 9, 11, 15.

Unimodal:quando possuir uma nica moda.

Exemplo: 2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8.Cuja moda 4.

Bimodal:quando possuir duas modas.

Exemplo: 1, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9.As modas so 3 e 6.

Multimodal:quando possuir mais de duas modas.

Exemplo: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 8, 9.As modas so 2, 5 e 6.


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PROPRIEDADES DA MEDIANA

A mediana no influenciada por valores extremos.Os elementos do conjunto devem estar ordenados.A mediana de um conjunto numrico ordenado tem como caracterstica ser o elemento que possui, sua

esquerda e sua direita, o mesmo nmero de elementos.

Posio relativa da mdia, da mediana e da moda:

Simtrica:

Assimtrica positiva:

Assimtrica negativa:


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QUESTES DE CONCURSOS

01. (ESAF) Utilize a tabela que se segue.Frequncias Acumuladas de Salrios Anuais,

em Milhares de Reais, da Cia. Alfa

Classes de SalrioFrequnciasAcumuladas

(3; 6] 12

(6; 9] 30

(9; 12] 50

(12; 15] 60

(15; 18] 65

(18; 21] 68

Suponha que a tabela de frequncias acumuladas tenha sido construda a partir de uma amostra de10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolao linear da ogiva, afrequncia populacional de salrios anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale aopo que corresponde a este nmero.

a) 150b) 120c) 130d) 160e) 180

02. (ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foram examinados200 itens de natureza contbil do balano de uma empresa. Esse exerccio produziu a tabela de

frequncias abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna Prepresenta a frequncia relativa acumulada. No existem observaes coincidentes com os extremosdas classes.

Classes P (%)

70-90 5

90-110 15

110-130 40

130-150 70

150-170 85

170-190 95190-210 100

Assinale a opo que corresponde estimativa da frequncia relativa de observaes de X menores ouiguais a 145.

a) 62,5%b) 70,0%c) 50,0%d) 45,0%e) 53,4%

03. (ESAF) O atributo do tipo contnuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100

obtida de uma populao de 1000 indivduos, produziu a tabela de frequncias seguinte:


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Classes Frequncia

(f)29,5-39,5 439,5-49,5 8

49,5-59,5 1459,5-69,5 2069,5-79,5 2679,5-89,5 1889,5-99,5 10

Assinale a opo que corresponde estimativa do nmero de indivduos na populao com valores doatributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.a) 700b) 638c) 826d) 995

e) 900

04. (ESAF) Considere a tabela de frequncias seguinte correspondente a uma amostra da varivel X. Noexistem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes FrequnciasAcumuladas (%)

2.0004.000 5

4.0006.000 16

6.0008.000 42

8.00010.000 77

10.00012.000 8912.00014.000 100

Assinale a opo que corresponde estimativa do valor x da distribuio amostral de X que no superado por cerca de 80% das observaes.a) 10.000b) 12.000c) 12.500d) 11.000e) 10.500

05. (ESAF) Na distribuio de frequncias abaixo, no existem observaes coincidentes com os extremosdas classes.

Classe Frequncia Acumulada129,5-139,5 4139,5-149,5 12149,5-159,5 26159,5-169,5 46169,5-179,5 72179,5-189,5 90

189,5-199,5 100

Assinale a opo que corresponde estimativa, via interpolao da ogiva, do nmero de observaes

menores ou iguais ao Valor 164.


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a) 46b) 26c) 72d) 35e) 20

06. (ESAF) A tabela de frequncias abaixo apresenta as frequncias acumuladas (F) correspondentes auma amostra da distribuio dos salrios anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, dodepartamento de fiscalizao da Cia. X. No existem realizaes de Y coincidentes com asextremidades das classes salariais.

Classes F29,5 - 39,5 239,5 - 49,5 649,5 - 59,5 1359,5 - 69,5 2369,5 - 79,5 36

79,5 - 89,5 4589,5 - 99,5 50

Assinale a opo que corresponde ao valor q, obtido por interpolao da ogiva, que, estima-se, no superado por 80% das realizaes de Y.

a) 82,0b) 80,0c) 83,9d) 74,5e) 84,5

07. (ESAF) A tabela abaixo mostra a distribuio de frequncia obtida de uma amostra

aleatria dossalrios anuais em reais de uma firma. As frequncias so acumuladas.

Classes de Salrio Frequncias(5.000-6.500) 12(6.500-8.000) 28(8.000-9.500) 52(9.500-11.000) 74(11.000-12.500) 89(12.500-14.000) 97(14.000-15.500) 100

Deseja-se estimar, via interpolao da ogiva, o nvel salarial populacional que no ultrapassado por79% da populao. Assinale a opo que corresponde a essa estimativa.

a) R$ 10.000,00b) R$ 9.500,00c) R$ 12.500,00d) R$ 11.000,00e) R$ 11.500,00

08. (ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuio de frequncias do atributo salrio mensal medido emquantidade de salrios mnimos para uma amostra de 200 funcionrios da empresa X. Note que acoluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salrios mnimos e que a coluna P

refere-se ao percentual da frequncia acumulada relativo ao total da amostra. No existemobservaes coincidentes com os extremos das classes.


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Classes P

48 20

812 60

1216 801620 98

2024 100

Assinale a opo que corresponde aproximao de frequncia relativa de observaes de indivduoscom salrios menores ou iguais a 14 salrios mnimos.

a) 65%b) 50%c) 80%d) 60%e) 70%

09. (ESAF) O quadro seguinte apresenta a distribuio de frequncias da varivel valor do aluguel (X) parauma amostra de 200 apartamentos de uma regio metropolitana de certo municpio. No existemobservaes coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opo que corresponde estimativa do valor x tal que a frequncia relativa de observaes de X menores ou iguais a x seja 80%.

Classes R$ Frequncias

350380 3

380410 8

410440 10

440470 13

470500 33

500530 40

530560 35

560590 30

590620 16

620650 12

a) 530b) 560c) 590d) 578e) 575

10. (BACEN) Em certa empresa, o salrio mdio era de $90.000,00. Todos os salrios receberam umaumento de 10%. O salrio mdio passou a ser de:

a) $ 90.000,00b) $ 91.000,00c) $ 95.000,00d) $ 99.000,00e) $ 100.000,00


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11. (ESAF):

Xi fi

2 4 9

4 6 126 8 6

8 10 2

10 12 1

A mdia da distribuio igual a:

a) 5,27b) 5,24c) 5,21d) 5,19e) 5,30

Para efeito da prxima questo, considere os seguintes dados:

DISTRIBUIO DE FREQNCIAS DAS IDADES DOSFUNCIONRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1/1/90

Classes deIdades(anos)

Frequncia(fi)

PontosMdios

(Xi)di

5

Xi 73- fi.di fi.di2 fi.di3 fi.di4

19,5 24,524,5 29,5

29,5 34,534,5 39,539,5 44,544,5 49,549,5 54,5

29232918127

22273237424752

-3-2-1123

-6-18-23182421

183623184863

-54-72-231896189

1621442318192567

Total 16 206 154 1106

12. (ESAF) Marque a opo que representa a mdia das idades dos funcionrios em 1/1/90.

a) 37,4 anosb) 37,8 anosc) 38,2 anosd) 38,6 anose) 39,0 anos

Para efeito da questo seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em1/1/96.

13. (ESAF) Marque a opo que representa a mdia das idades dos funcionrios em 1/1/96.



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Para efeito da prxima questo faa uso da tabela de frequncias abaixo.

Frequncias Acumuladas de Salrios Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa

Classes de Salrio FrequnciasAcumuladas

(3; 6] 12(6; 9] 30(9; 12] 50(12;15] 60(15;18] 65(18;21] 68

14. (ESAF) Quer-se estimar o salrio mdio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opo querepresenta a aproximao desta estatstica calculada com base na distribuio de frequncias.

a) 9,93b) 15,00c) 13,50d) 10,00e) 12,50

15. (ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foram examinados200 itens de natureza contbil do balano de uma empresa. Esse exerccio produziu a tabela defrequncias abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna Prepresenta a frequncia relativa acumulada. No existem observaes coincidentes com os extremos

das classes.

Classes P (%)

70-90 5

90-110 15

110-130 40

130-150 70

150-170 85

170-190 95

190-210 100

Assinale a opo que d o valor mdio amostral de X.

a) 140,10b) 115,50c) 120,00d) 140,00e) 138,00

16. (ESAF) A tabela de frequncias abaixo apresenta as frequncias acumuladas (F) correspondentes auma amostra da distribuio dos salrios anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, dodepartamento de fiscalizao da Cia. X. No existem realizaes de Y coincidentes com as

extremidades das classes salariais.


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Classes F

29,539,5 2

39,549,5 6

49,559,5 1359,569,5 23

69,579,5 36

79,589,5 45

89,599,5 50

Assinale a opo que corresponde ao salrio anual mdio estimado para o departamento defiscalizao da Cia. X.

a) 70,0b) 69,5c) 68,0d) 74,4e) 60,0

17. (ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuio de frequncias do atributo salrio mensal medido emquantidade de salrios mnimos para uma amostra de 200 funcionrios da empresa X. Note que acoluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salrios mnimos e que a coluna Prefere-se ao percentual da frequncia acumulada relativo ao total da amostra. No existemobservaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes P

48 20

812 60

1216 80

1620 98

2024 100

Assinale a opo que corresponde ao salrio mdio amostral calculado a partir de dados agrupados.

a) 11,68b) 13,00c) 17,21d) 16,00e) 14,00

A prxima questo diz respeito distribuio de frequncias seguinte associada ao atributo de interesse X.No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

ClassesFrequncias

Simples0-10 120

10-20 90

20-30 70

30-40 40

40-50 20


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18. (ESAF) Assinale a opo que d, aproximadamente, a mdia amostral de X.

a) 25,00b) 17,48c) 18,00

d) 17,65e) 19,00

19. (ESAF) Assinale a opo que d o valor de a para o qual a equao 0axn

1 i i sempre

verdadeira.

a) A mdia dos valores x.b) A mediana dos valores x.c) A moda dos valores x.d) O desvio padro dos valores x.e) O coeficiente de assimetria dos valores x.

20. Em uma empresa, o salrio mdio dos empregados de R$500,00. Os salrios mdios pagos aosempregados dos sexos masculino e feminino so de R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Ento,nessa empresa:

a) o nmero de homens o dobro do nmero de mulheres.b) O nmero de homens o triplo do nmero de mulheres.c) O nmero de homens o qudruplo do nmero de mulheres.d) O nmero de mulheres o triplo do nmero de homens.e) O nmero de mulheres o qudruplo do nmero de homens.

21. (ESAF) Em uma amostra, realizada para se obter informao sobre a distribuio salarial de homens emulheres, encontrou-se que o salrio mdio vale R$ 1.200,00. O salrio mdio observado para oshomens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opo correta.

a) O nmero de homens na amostra igual ao de mulheres.b) O nmero de homens na amostra o dobro do de mulheres.c) O nmero de homens na amostra o triplo do de mulheres.d) O nmero de mulheres o dobro do nmero de homens.e) O nmero de mulheres o qudruplo do nmero de homens.

22. Em uma fila, oito pessoas esperaram, em minutos, os seguintes tempos para serem atendidas: 8, 11, 5,14, 16, 11, 8 e 11. O tempo mediano de espera, em minutos, :

a) 11b) 13c) 15d) 17

23. Dados os conjuntos de valores:

A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10}B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9, 10}

Em relao moda, afirmamos que:IA unimodal e a moda 8.IIB unimodal e a moda 9.IIIC bimodal e as modas so 4 e 9.

Ento, em relao s afirmativas, correto dizer que:


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a) Todas so verdadeirasb) Todas so falsasc) Somente I e II so verdadeirasd) Somente I e III so verdadeiras

e) Somente II e III so verdadeiras

24. Os valores (em 1000 URVs) de 15 imveis situados em uma determinada quadra so apresentados aseguir, em ordem crescente: 30, 32, 35, 38, 50, 58, 64, 78, 80, 80, 90, 112, 180, 240 e 333. Ento, amediana dos valores destes imveis :

a) 78b) 79c) 80d) 100

25. (ESAF) Assinale a opo correta.

a) A moda uma medida de posio que permite dividir a distribuio em duas partes de igualfrequncia.

b) A mdia harmnica a mdia geomtrica dos inversos das determinaes da varivel.c) A mdia aritmtica no influenciada pelos valores extremos da distribuio.d) A moda e a mediana so influenciadas pelos valores extremos da distribuio.e) A moda, a mediana e a mdia aritmtica so expressas na mesma unidade de medida da varivel a

que se referem.

Para a soluo da questo seguinte, utilize a srie estatstica abaixo:

2 5 7 133 6 9 133 6 11 134 6 11 134 7 12 15

26. (ESAF) Os valores da mediana e da moda da srie so, respectivamente:

a) 4 e 15b) 7 e 12c) 6 e 13d) 7 e 13

e) 9 e 13

27. (ESAF) Marque a alternativa correta:

a) O intervalo de classe que contm a moda o de maior frequncia relativa acumulada(crescentemente).

b) A frequncia acumulada denominada abaixo de resulta da soma das frequncias simples emordem decrescente.

c) Em uma distribuio de frequncias existe uma frequncia relativa acumulada unitria, ou noprimeiro, ou no ltimo intervalo de classe.

d) O intervalo de classe que contm a mediana o de maior frequncia absoluta simples.e) Os intervalos de classe de uma distribuio de frequncia tm o ponto mdio equidistante dos

limites inferior e superior de cada classe e sua amplitude ou constante ou guarda uma relao de

multiplicidade com a frequncia absoluta simples da mesma classe.


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28. (ESAF) Dado o grfico abaixo, onde fi a frequncia simples ou absoluta da i-sima classe, ento:

a) a moda se encontra na 4 classe e igual a 9;b) o nmero de observaes 42;c) como a distribuio assimtrica, moda = mdia = mediana;d) a frequncia acumulada crescente da 3 classe 20;

e) 48fi7

1i

29. (ESAF) Considere a distribuio de frequncias transcrita a seguir:

Xi fi

2 44 6

6 88 10

10 12

912

621

A mediana da distribuio igual a:

a) 5,30kgb) 5,00kgc) um valor inferior a 5kgd) 5,10kge) 5,20kg

30. O levantamento de dados sobre os salrios de 100 funcionrios de uma determinada empresa forneceuos seguintes resultados:

Quantidade de salriosmnimos

Quantidade defuncionrios

2 44 66 88 10

10 12

253520155

Total 100


19/26




correto afirmar que:a) 20% dos funcionrios recebem acima de 6 salrios mnimosb) a mediana 7 salrios mnimosc) 60% dos funcionrios recebem menos que 6 salrios mnimos

d) o salrio mdio de 7 salrios mnimose) 80% dos funcionrios recebem de 6 a 8 salrios mnimos

31. As distncias, em milhares de quilmetros, percorridas em um ano pelos 20 txis de uma empresa,esto representadas no quadro seguinte:

Distncias Nmero de Txis

45 5555 6565 7575 85

85 95

3745

1

Total

Nestas condies, correto afirmar que a mediana dessa distribuio, em milhares de quilmetros :

a) 57b) 61c) 65d) 69e) 73

32. (ESAF) Com relao distribuio de frequncias abaixo, podemos dizer que a mediana e a moda:

Classes fi

2 4

4 6

6 8

8 10

10 12

79

18106

Total

a) Tm valor superior ao da mdia aritmticab) Tm valor inferior ao da mdia aritmticac) Tm o mesmo valord) Diferem por um valor igual a 10% da mdia aritmticae) Diferem por um valor superior a 10% da mdia aritmtica.


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Para efeito das duas prximas questes, considere os seguintes dados:

DISTRIBUIO DE FREQNCIAS DAS IDADES DOS

FUNCIONRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1/1/90

Classes deIdades(anos)

Frequncia(fi)

PontosMdios

(Xi)di

5

Xi 73- fi.di fi.di2 fi.di3 fi.di4

19,5 24,524,5 29,529,5 34,534,5 39,539,5 44,544,5 49,5

49,5 54,5

2923291812

7

222732374247

52

-3-2-112

3

-6-18-231824

21

1836231848

63

-54-72-231896

189

1621442318192

567Total 16 206 154 1106

33. (ESAF) Marque a opo que representa a mediana das idades dos funcionrios em 1/1/90.


34. (ESAF) Marque a opo que representa a moda das idades dos funcionrios em 1/1/90.


Para efeito da questo seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em1/1/96.

35. (ESAF) Marque a opo que representa a mediana das idades dos funcionrios em 1/1/96.



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Para efeito da prxima questo faa uso da tabela de frequncias abaixo.

Frequncias Acumuladas de Salrios Anuais,em Milhares de Reais, da Cia. Alfa

Classes de SalrioFrequnciasAcumuladas

(3; 6] 12

(6; 9] 30

(9; 12] 50

(12;15] 60

(15;18] 65

(18;21] 68

36. (ESAF) Quer-se estimar o salrio mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opo que corresponde ao

valor aproximado desta estatstica, com base na distribuio de frequncias.a) 12,50b) 9,60c) 9,00d) 12,00e) 12,10

Para a soluo da prxima questo utilize o enunciado que segue.

Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens denatureza contbil do balano de uma empresa. Esse exerccio produziu a tabela de frequncias abaixo. Acoluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequncia relativa

acumulada. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%)

70-90 5

90-110 15

110-130 40

130-150 70

150-170 85

170-190 95

190-210 100

37. (ESAF) Assinale a opo que corresponde estimativa do quinto decil (= Mediana) da distribuio deX.

a) 138,00b) 140,00c) 136,67d) 139,01e) 140,66

Para a soluo das duas prximas questes utilize o enunciado que segue.

O atributo do tipo contnuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma

populao de 1000 indivduos, produziu a tabela de frequncias seguinte:


22/26




Classes Frequncia (f)

29,539,5 4

39,549,5 8

49,559,5 14

59,569,5 2069,579,5 26

79,589,5 18

89,599,5 10

38. (ESAF) Assinale a opo que corresponde estimativa da mediana amostral do atributo X.

a) 71,04b) 65,02c) 75,03d) 68,08e) 70,02

39. (ESAF) Assinale a opo que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber.

a) 69,50b) 73,78c) 71,20d) 74,53e) 80,10

40. (ESAF) A tabela de frequncias abaixo apresenta as frequncias acumuladas (F) correspondentes auma amostra da distribuio dos salrios anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, dodepartamento de fiscalizao da Cia. X. No existem realizaes de Y coincidentes com asextremidades das classes salariais.

Classes F

29,539,5 2

39,549,5 6

49,559,5 13

59,569,5 23

69,579,5 36

79,589,5 45

89,599,5 50

Assinale a opo que corresponde ao salrio modal anual estimado para o departamento defiscalizao da Cia. X, no conceito de Czuber.

a) 94,5b) 74,5c) 71,0d) 69,7e) 73,8

41. (ESAF) Num estudo sobre a distribuio do preo de venda de um produto obteve-se, a partir de umaamostra aleatria de 25 revendedores, a tabela de frequncias seguinte:


23/26




Classe dePreos

mi fi

[59) 7 3

[913) 11 5

[1317) 15 7[1721) 19 6

[2125) 23 3

[2529) 27 1

Deseja-se obter informao sobre o preo mediano praticado na amostra. Assinale a opo que melhoraproxima este valor.a) 16b) 19c) 17d) 11e) 14,2

42. Dada a distribuio de frequncia abaixo, indique o valor da Moda e Mediana, respectivamente:

Classes Fi

4 6 12

6 8 36

8 10 18

10 12 4

a) 7,14 e 7,28b) 6,54 e 5,78

c) 7,24 e 6,38d) 5,84 e 7,5e) 6,24 e 6,78

43. (ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuio de frequncia obtida de uma amostra aleatria dossalrios anuais em reais de uma firma. As frequncias so acumuladas.

Classes de Salrio Frequncias

(5.000-6.500) 12

(6.500-8.000) 28

(8.000-9.500) 52

(9.500-11.000) 74

(11.000-12.500) 89(12.500-14.000) 97

(14.000-15.500) 100

Assinale a opo que corresponde ao salrio mediano

a) R$ 10.250,b) R$ 8.000,c) R$ 8.700,d) R$ 9.375,e) R$ 9.500,

44. Considere a seguinte distribuio de frequncias:


24/26




Classes fi

0 55 10

10 15

15 2020 25

202040

1010

Total

A moda da distribuio :a) 12,5; dada a simetria da distribuio.b) Inferior mdia aritmtica e mediana.c) Superior mdia aritmtica e mediana.d) Igual menor frequncia simples absoluta.e) Igual mdia aritmtica.

Para a soluo das duas prximas questes utilize o enunciado que segue.

A tabela abaixo apresenta a distribuio de frequncias do atributo salrio mensal medido em quantidadede salrios mnimos para uma amostra de 200 funcionrios da empresa X. Note que a coluna Classesrefere-se a classes salariais em quantidades de salrios mnimos e que a coluna P refere-se ao percentualda frequncia acumulada relativo ao total da amostra. No existem observaes coincidentes com osextremos das classes.

Classes P

48 20

812 60

1216 80

1620 98

2024 100

45. (ESAF) Assinale a opo que corresponde ao salrio modal no conceito de Czuber.a) 6b) 8c) 10d) 12e) 16

46. (ESAF) Assinale a opo que corresponde ao salrio mediano calculado a partir de dados agrupadospor interpolao da ogiva.a) 12b) 9

c) 8d) 10e) 11

As duas prximas questes dizem respeito distribuio de frequncias seguinte associada ao atributo deinteresse X. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

ClassesFrequncias

Simples0-10 120

10-20 90

20-30 70

30-40 4040-50 20


25/26




47. (ESAF) Assinale a opo que d a moda no conceito de Czuber.a) 5b) 4c) 8

d) 10e) 15

48. (ESAF) Assinale a opo que d o valor aproximado da mediana amostral das observaes de X.a) 20,0b) 5,0c) 12,0d) 15,8e) 15,6

49. (ESAF) Na distribuio de frequncias abaixo, no existem observaes coincidentes com os extremosdas classes.

Classe Frequncia Acumulada129,5-139,5 4

139,5-149,5 12

149,5-159,5 26

159,5-169,5 46

169,5-179,5 72

179,5-189,5 90

189,5-199,5 100

Assinale a opo que corresponde ao oitavo decil.a) 179,5b) 189,5c) 183,9d) 184,5e) 174,5

50. (ESAF) Para uma amostra aleatria de determinado atributo encontrou-se a seguinte distribuio defrequncias. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes Frequncias

20004000 18

40006000 45

60008000 102

800010000 143

1000012000 32

1200014000 60

Assinale a opo que corresponde melhor aproximao do nonagsimo quinto percentil.a) 13.000b) 12.585c) 13.333d) 12.667e) 13.900


26/26



h // b ?

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

E A C E D C E E D D

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B D A E B A D A C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

A A D A E D C E B C

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C A D B E B C A B E41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

A A D C C E C E C C

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