TÓPICO 2: EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA

I. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MÁSSICA DE UM SOLUTO A;

II. EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE DE UM SOLUTO A EM TERMOS DA

LEI ORDINÁRIA DA DIFUSÃO;

III. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MOLAR DE UM SOLUTO A;

IV. POSSÍVEIS SIMPLIFICAÇÕES DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE;

V. CONDIÇÕES DE CONTORNO;

VI. APLICAÇÕES.

BIBLIOGRAFIA:

CREMASCO, M.A. Fundamentos de Transferência de Massa. Ed. Unicamp.

I. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MÁSSICA EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA:

ANÁLISE PONTUAL DO FENÔMENO DE T.M. POR INTERMÉDIO DOCONHECIMENTO DA DISTRIBUIÇÃO DE CONCENTRAÇÃO DE UMDETERMINADO SOLUTO NO TEMPO E NO ESPAÇO;

A PARTIR DO BALANÇO DE MASSA, ONDE A MATÉRIA FLUI ATRAVÉS DASFRONTEIRAS DE UM VOLUME DE CONTROLE, ELEITO NO MEIO CONTÍNUO:

massade

acúmulo

detaxa

massade

produção

detaxa

massade

saída

detaxa

massade

entrada

detaxa

x

y

z

y

z

xA xn

xxA xn

REAÇÃO QUÍMICA

x

y

z xA xn

xxA xn

zyxnentrada

detaxaxA

zyxnsaída

detaxaxxA

zyxrprodução

detaxaA

,,,

zyxtacúmulo

detaxaA

xxnx

xnxn xAxAxxA

DERIVADA PARCIAL

zyxxnX

zyxxnX

xnzyxnentrada

detaxa

entrada

detaxa

xA

xAXAxA

Em x:

x

y

z

y

zxynentrada

detaxayA

zxynsaída

detaxayyA

zyxrprodução

detaxaA

,,,

zyxtacúmulo

detaxaA

zxynyentrada

detaxa

entrada

detaxayA

Em Y:

yA yn yyA yn

x

y

z yxzn

entrada

detaxazA

yxznsaída

detaxazzA

zyxrprodução

detaxaA

,,,

zyxtacúmulo

detaxaA

yxznzentrada

detaxa

entrada

detaxazA

Em z:

zA zn

zzA zn

z

massade

acúmulo

detaxa

massade

produção

detaxa

massade

saída

detaxa

massade

entrada

detaxa

yxzznz

zxyyny

zyxxnx

zyxrzyxt

zAyA

xAAA

,,,

zyx

,,,,,,

A

zAyAxAA rz

n

y

n

x

n

t

,,,,,,

AAA

AAA rn

trn

t

,,,,,,

AAA

AAA RN

t

CRN

t

C

EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE EM COORDENADAS RETANGULARES:

x

y

z

dy

dz

,,,,,,

A

zAyAxAA rz

n

y

n

x

n

t

,,,,,,

A

zAyAxAA Rz

N

y

N

x

N

t

C

EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE EM COORDENADAS CILÍNDRICAS:

rd

,,,,,, 11

A

zAArAA rz

nn

rsenr

rn

rt

,,,,,, 11

A

zAArAA Rz

NN

rsenr

rN

rt

C

EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE EM COORDENADAS ESFÉRICAS:

,,,,,,

2

2

111A

AArAA rn

rsen

nsen

rsenr

nr

rt

,,,,,,

2

2

111A

AArAA RN

rsen

Nsen

rsenr

Nr

rt

C

II. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DE UM SOLUTO A EM TERMOS DA LEI ORDINÁRIA DA DIFUSÃO:

MAS: vjn AAA

,,,

AAA

A rvjt

(2)

(2) EM (1):

,,,

AAA rnt

(1)

ABAA Dj ,FLUXO DIFUSIVO:

,,,

AAAA rjvt

,,,

AAABAA rDvt

ACÚMULOCONTRIBUIÇÃOCONVECTIVA

CONTRIBUIÇÃODIFUSIVA

GERAÇÃO

TEMOS UMA EXPRESSÃO SEMELHANTE PARA O COMPONENTE B:

,,,

BBABBB rDvt

Bn

,,,

BBB rnt

PARA UMA MISTURA BINÁRIA:

,,,,,,

BABABA rrnntt

,,,,,,

BABABA rrnntt

PELA LEI DACONSERVAÇÃODA MASSA

0

BABA nn

t

nnn BA

BA

0

n

t

MAS: vn

0

v

t

DA ANÁLISE VETORIAL:

vvv

0

vv

t

0 vDt

D

cteSE

v

III. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MOLAR EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA:

,,,

AAA RN

t

C

,,,

BBB RNt

C

PARA UMA MISTURA BINÁRIA:

,,,,,,

BABABA RRNNCCt

,,,,,,

BA RRvCt

C

ABRINDO O DIVERGENTE:

,,,,,,

BA RRvCCvt

C

,,,,,,

BA RRvCDt

DC

EM TERMOS DA LEI ORDINÁRIA DA DIFUSÃO:

,,,

AAABAA RCDvC

t

C

ACÚMULOCONTRIBUIÇÃOCONVECTIVA

CONTRIBUIÇÃODIFUSIVA

GERAÇÃO

,,,

AAABAA RCDvC

t

C

QUANTIDADE DO COMPONENTE A MUITO BAIXA, DIFUNDINDO-SE NA ESPÉCIE B, ESTAGNADA:

0

EM REGIME ESTACIONÁRIO:

,,,

AAABAA RCDvC

t

C

0

EM UM PROCESSO ONDE NÃO OCORRA REAÇÃO QUÍMICA:

,,,

AAABAA RCDvC

t

C

0

IV. POSSÍVEIS SIMPLIFICAÇÕES:

EXEMPLO 1: A EFICÁCIA DE PRODUTOS FARMACÊUTICOS É REDUZIDA PELAEXPOSIÇÃO PROLONGADA A ALTAS TEMPERATURAS, À LUZ E À UMIDADE. PARAPRODUTOS CONSUMIDOS QUE SÃO SENSÍVEIS AO VAPOR D`ÁGUA E ENCONTRAM-SENA FORMA DE COMPRIMIDOS OU CÁPSULAS E SÃO GUARDADOS EM AMBIENTESÚMIDOS, EMBALAGENS BILSTER SÃO USADAS PARA LIMITAR A EXPOSIÇÃO DIRETADO MEDICAMENTO À CONDIÇÕES DE UMIDADE ATÉ O MOMENTO IMEDIATAMENTEANTERIOR A SEU USO.

CONSIDERE COMPRIMIDOS QUE ESTÃO CONTIDOS EM UMA EMBALAGEMBLISTER COMPOSTA POR UMA FOLHA DE COBERTURA PLANA E UMA SEGUNDA FOLHAMOLDADA, QUE POSSUI LOCAIS QUE ABRIGAM CADA COMPRIMIDO. A FOLHAMOLDADA TEM A ESPESSURA L=50m E É FABRICADA COM UM MATERIAPOLIMÉRICO. CADA LOCAL DE COMPRIMIDO POSSUI DIÂMETRO D=5 mm EPROFUNDIDADE h=3mm. A FOLHA DE COBERTURA É FEITA DE ALUMÍNIO. OCOEFICIENTE DE DIFUSÃO BINÁRIA É DAB=6.10-14 m2/s, ENQUANTO PODE-SE SUPORQUE O ALUMÍNIO SEJA IMPERMEÁVEL EM RELAÇÃO AO VAPOR D`ÁGUA. PARACONCENTRAÇÕES MOLARES DO VAPOR D`ÁGUA NAS SUPERFÍCIES EXTERNA EINTERNA DE CA,S1=0,0045Kmol/m3 E CA,S2=0,0005Kmol/m3, RESPECTIVAMENTE,DETERMINE A TAXA NA QUAL O VAPOR D`ÁGUA É TRANSFERIDO ATRAVÉS DAPAREDE DO COMPARTIMENTO PARFA O COMPRIMIDO.

CONSIDERAÇÕES:

- EM REGIME PERMANENTE;

- T.M. EM MEIO ESTACIONÁRIO.

- A FOLHA DO POLÍMERO É MUITO FINA, EM RELAÇÃO ÀSDIMENSÕES DO COMPARTIMENTO DO COMPRIMIDO(UNIDIRECIONAL);

DADOS:

3

1, 0045,0 mKmolC ZV

3

2, 0005,0 mKmolC ZV

mL 6105

mD 005,0

mh 003,0

t

CR

z

CD

z

CD

rr

CrD

rr

V

V

V

VA

V

VA

V

VA

,,,

2

11

- EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE EM COORDENADAS CILÍNDRICAS:REGIME

ESTACIONÁRIO

T.M. UNIDIMENSIONAL (Z)

z

0 vVAPOR- AR ESTAGNADO:

SEMREAÇÃO QUÍMICA

ctesmD ARVAPOR

214106

- T.M. UNIDIMENSIONAL (Z);

V. CONDIÇÕES DE CONTORNO:

V.1 CONDIÇÃO INICIAL:

00 AAt

00 AA CCt

00 AA XXt

00 AA WWt

V.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO: EM POSIÇÕES ESPECÍFICAS NO

VOLUME DE CONTROLE OU NAS FRONTEIRAS DESSE VOLUME.BASICAMENTE AS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA SÃO:

V.2.1 CONCENTRAÇÃO OU FRAÇÃO DO SOLUTO ESPECIFICADA NUMADETERMINADA FASE;

V.2.2 CONDIÇÕES DE FLUXO;

V.2.3 REAÇÃO QUÍMICA CONHECIDA.

ASA

ASA CC

ASA WW

ASA XX

ASA YY

V.2.1 CONCENTRAÇÃO OU FRAÇÃO DO SOLUTO ESPECIFICADANUMA DETERMINADA FASE:

FLUXO FLUXO

VOLUME DE CONTROLE

FRONTEIRA SINICIAL

FRONTEIRA SFINAL

- NA FASE GASOSA IDEAL:

ASA XX

ASA YY LEI DE DALTON: PyP SASA ,,

LEI DE RAOULT:VAP

SASA PxP ,,

- NA FASE LÍQUIDA, PARA UMA SOLUÇÃO IDEAL:

EQ. DE ANTOINE:

GT

FEPVAP

ln

ESPÉCIES E F G

ÁGUA 18,3036 3618,44 -46,13

BENZENO 15,9008 2788,51 -64,38

TOLUENO 16,0137 3096,52 -53,67

METANOL 18,5875 3626,55 -34,29

ETANOL 19,9119 3803,98 -41,68

KT

mmHgPVAP

- NA HIPÓTESE DO EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO NA FRONTEIRA “S” OUINTERFACE ENTRE AS FASES LÍQUIDA E GASOSA, CONSIDERANDO-ASIDEAIS:

PyPx SA

VAP

SA ,,EQUAÇÃO DE RAOULT-DALTON

- SE A FASE LÍQUIDA FOR CONSTITUÍDA SOMENTE DA ESPÉCIE “A”:

P

Py

VAP

SA ,

- SE A SOLUÇÃO FOR DILUÍDA:

HxP SASA ,, CONSTSANTE

DEHENRY

TABELA DOS VALORES DE H PARA GASES EM ÁGUA: (Hx10-4), (PRESSÃO EMatm):

T(C) H2 N2 O2 CO CO2

0 5,79 5,29 2,55 3,52 0,0728

10 6,36 6,68 3,27 4,42 0,1040

20 6,83 8,04 4,01 5,36 0,1420

30 7,29 9,24 4,75 6,20 0,1860

- NA CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO LÍQUIDO-VAPOR NAFRONTEIRA OU NA INTERFACE “S” E ADMITINDO FASES IDEAIS:

- NA CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO LÍQUIDO-VAPOR NAFRONTEIRA OU NA INTERFACE “S” E ADMITINDO FASES IDEAIS:

SASA mxy ,, OU

ONDE:P

Hm

C

Hm *

SASA CmP ,

*

,

TAIS RELAÇÕES DE EQUILÍBRIO SÃO UTILIZADAS EM FENÔMENOS DEDESSORÇÃO E ABSORÇÃO; NESTES FENÔMENOS O SOLUTO A ESTÁCONTIDO NAS FASES GASOSA E LÍQUIDA. NA VENTURA DE ESTARDISTRIBUÍDO E DILUÍDO NAS FASES SÓLIDO-LÍQUIDO,A RELAÇÃO DEEQUILÍBRIO É ESCRITA ANALOGAMENTE À LEI DE HENRY SEGUNDO:

SAPSA CKC 2,1,

COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO

SAPSA CKC 2,1,

ESSA RELAÇÃO É ÚTIL NAS OPERAÇÕES QUE ENVOLVEM ASFASES SÓLIDO / FLUIDO QUANDO SE DESEJA ESPECIFICARUMA RELAÇÃO DE EQUILÍBRIO ENTRE A CONCENTRAÇÃO DOSOLUTO PRESENTE NO INTERIOR DO SÓLIDO E AQUELA NOSEIO DA FASE FLUIDA, OU SEJA:

2,

*

1, APA CKC

EXEMPLO 2: CALCULAR OS DADOS DE EQUILÍBRIO SOB A FORMA yVERSUS x PARA O SISTEMA m-XILENO/o-XILENO À PRESSÃO TOTAL DE 0,4atm (XA e YA SÃO AS FRAÇÕES MOLARES DE m-XILENO NAS FASES LÍQUIDAE VAPOR, RESPECTIVAMENTE). SÃO DADAS AS PRESSÕES DE VAPOR DOSCOMPONENTES EM atm NA TABELA A SEGUIR:

EXEMPLO 3: ESCREVA A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MOLAR DE A NAFORMA JÁ SIMPLIFICADA E AS CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA ASEGUINTE SITUAÇÃO:

UM CERTO GÁS DIFUNDE POR UMA PELÍCULA ESTAGNADA DE AR DE0,5 cm DE PROFUNDIDADE EM UM CAPILAR QUE CONTÉM CERTO ÁCIDO. AOATINGI-LO, O GÁS É ABSORVIDO INSTANTANEAMENTE. A CONCENTRAÇÃODO GÁS NA BOCA DO RECIPIENTE É 0,25% EM MOLS.

l

SOH 42

z=0

z=0,5 cm

0025,01Ay

02Ay

z

ZAN ,

ZBN ,

V.2.2 CONDIÇÕES DE FLUXO:

EM SITUAÇÕES ONDE O SOLUTO FLUI DE UMA FASE A OUTRA,PRESSUPONDO QUE A INTERFACE NÃO OFEREÇA RESISTÊNCIA AOTRANSPROTE DO SOLUTO CONTINUIDADE DE FLUXO

NA FASE 1: O FLUXO DO SOLUTO SERÁ DEVIDO À DIFUSÃO;

NA FASE 2: O FLUXO DO SOLUTO SERÁ DEVIDO À CONVECÇÃO MÁSSICA.

NA FASE 1: O FLUXO DO SOLUTO SERÁ DEVIDO À DIFUSÃO;

NA FASE 2: O FLUXO DO SOLUTO SERÁ DEVIDO À CONVECÇÃO MÁSSICA.

dz

dCDN

A

efSZZA1

1,

dz

dDn

A

efSZZA1

1,

222, AAmZA CCkN

S

222, AAmZA

S

kn

ADMITINDO QUE A INTERFACE NÃO OFEREÇA RESISTÊNCIA À MOBILIDADEDO SOLUTO CONTINUIDADE DO FLUXO DE MATÉRIA NA FRONTEIRACONSIDERADA IGUALDADE DOS FLUXOS:

222

1

1 AAm

SZ

A

ef CCkdz

dCD

S

A CONCENTRAÇÃO DE A NA FASE 2 E CONTIDA NA INTERFACE ESTÁ EMEQUILÍBRIO TERMODINÂMICO COM A CONCENTRAÇÃO DE A NA FASE 1 ECONTIDA NA INTERFACE “S”, POR INTERMÉDIO DA SEGUINTE RELAÇÃO:

SAPSA CKC 2,1,

21

21

12

1

2

1

1 APA

P

m

SZ

A

efA

P

A

m

SZ

A

ef CKCK

k

dz

dCDC

K

Ck

dz

dCD

S

S

MAS:*

1,2, AAP CCK

S

AA

Pef

m

SZ

ACC

KD

k

dz

dC

11

1

21 *

S*

S

AA

Pef

m

SZ

ACC

KD

sk

dz

sdC

11

1

21 *

BiM

EXEMPLO 4: UM PELLET CILINDRICO GELATINOSO DE 2 mm DE DIÂMETROE 20 mm DE COMPRIMENTO, CONTENDO INICIALMENTE 50 (g DESACAROSE)/(l DE GEL) É POSTO SUBITAMENTE EM UM TANQUE NO QUAL HÁUMA SOLUÇÃO AQUOSA QUE APRESENTA 8 (g DE ACAROSE)/(L DESOLUÇÃO). NO TANQUE HÁ ALIMENTAÇÃO E RETIRADA LENTA E CONTÍNUADA SOLUÇÃO. ADMITINDO QUE NÃO HOUVE TEMPO SUFICIENTE PARA OESTABELECIMENTO DA DIFUSÃO DA SACAROSE NO GEL EM REGIMEPERMANENTE, ASSIM COMO SUPONDO A INFLUÊCIA DA CONVECÇÃOMÁSSICA EXTERNA NA DIFUSÃO DA SACAROSE NO INTERIOR DO GEL,PEDE-SE A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MÁSSICA DA SACAROSE JÁSIMPLIFICADA QUE DESCREVE A DISTRIBUIÇÃO DE CONCENTRAÇÃO NOGEL.

V.2.3 REAÇÃO QUÍMICA CONHECIDA:

REAÇÕES QUÍMICAS:

HOMOGÊNEA;

HETEROGÊNEA.

REAÇÃO HOMOGÊNEA: OCORRE EM TODOS OS PONTOS DO VOLUME DECONTOLE; NESTE CASO, A DESCRIÇÃO DA REAÇÃO QUÍMICA APARECEDIRETAMENTE COMO TERMO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (MOLAR OUMÁSSICA);

,,,

AAA RN

t

C

,,,

AAA rnt

REAÇÃO HETEROGÊNEA: OCORRE NA SUPERFÍCIE DE UMA PARTÍCULA, AQUAL É CONSIDERADA COMO UMA FORNTEIRA À REGIÃO ONDE HÁ OTRANSPORTE DO SOLUTO; NESTE CASO, O TERMO REACIONAL APARECERÁCOMO CONDIÇÃO DE CONTORNO E NÃO NA EQUAÇÃO DIFERENCIAL QUEREGE O PROCESSO DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA.

PARA z=:

CykCkNR ASASZZAA ,

,,

Ck

Ny

S

ZZA

A

,

A TAXA DE PRODUÇÃO (OU DESAPARECIMENTO) DE UMA DETERMINADAESPÉCIE QUÍMICA, PRESENTE NA SOLUÇÃO, ESTÁ ASSOCIADA COM AREAÇÃO QUE PODE OCORRER DURANTE O TRANSPORTE DO SOLUTO. POREXEMPLO, SE A ESPÉCIE “A” FOR GERADA POR UMA REAÇÃO DE PRIMEIRAORDEM E ESTIVER ORIENTADA NO SENTIDO DO FLUXO DA MATÉRIA, SEUFLUXO DE PRODUÇÃO SERÁ:

SASSZZAA CKNR2,

,,

CONSIDERANDO QUE A REAÇÃO QUÍMICA OCORRA NA SUPERFÍCIE OU EMÁREAS RESTRITAS DE UM SÓLIDO POROSO E QUE, DEVIDO ÀCONTINUIDADE DO FLUXO DE MATÉRIA, O SOLUTO DIFUNDA PELA MATRIZ,NA FRONTEIRA S, TEREMOS A IGUALDADE ENTRE OS FLUXOS, DA SEGUNTEMANEIRA:

SAS

Sz

A

ef Ckdz

dCD

2

1

SA

Pef

S

Sz

AC

KD

k

dz

dC

1

1

EXEMPLO 5: A QUEIMA DO GRAFITE (CARBONO PURO) NO AR PODE SERDESCRITA POR MEIO DAS SEGUINTES ETAPAS:1. O OXIGÊNIO DIFUNDE ATRAVÉS DE UMA PELÍCULA DE AR QUE ENVOLVE

A PARTÍCULA DE GRAFITE ATÉ ATINGIR A SUPERFÍCIE DO SÓLIDO;2. HÁ O CONTATO DO O2 COM A SUPERFÍCIE DO GRAFITE,

PORPORCIINANDO A SEGUINTE EQUAÇÃO:

QUE É DESCRITA PELA REAÇÃO IRREVERSÍVEL DE PRIMEIRA ORDEM:

3. DIFUSÃO DO CO2, COMO PRODUTO DA REAÇÃO, DA SUPERFÍCIE DOGRAFITE PARA A PELÍCULA DE AR.

ADMITINDO QUE A PARTÍCULA DE GRAFITE TENHA A FORMA ESFÉRICA,DESEJA-SE OBTER A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MOLAR QUEDESCREVE A DISTRIBUIÇÃO DA FRAÇÃO MOLAR DO O2 NO AR, ASSIMCOMO AS CONDIÇÕES DE CONTORNO.

gNgCOgNgOsC 2222

22

,,

OSO CykR