Transformada Laplace Solucao Edlit
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ENGENHARIA DE CONTROLE - MECATRNICA
Maro / 2015
Controle de Sistemas Mecnicos
Anotaes para Estudo
Reviso Matemtica Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
Maro / 2015 Controle de Sistemas Mecnicos 2
Sumrio Transformada de Laplace
Sumrio Transformada de Laplace
Conceitos Bsicos
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace Inversa
Expanso em Fraes Parciais
Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes
no Tempo (EDLIT) usando Laplace
Transformada de Laplace
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Conceitos Bsicos
Conceitos Bsicos
Nmero Complexo
Mdulo e Fase de um Nmero Complexo
Teorema de Euler
Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace - Definio
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace - Propriedades
Transformada de Laplace PROPRIEDADES
1. Homogeneidade
2. Aditividade
3. Translao no Tempo
4. Mudana de Escala de Tempo
5. Multiplicidade por Exponencial
6. Multiplicao por Varivel Independente
7. Convoluo de duas funes
8. Diferenciao no Tempo
9. Integrao no Tempo
10. Funo Peridica de Perodo T
Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace - Definio
EXEMPLO de Transformada de Laplace (TL)
de uma funo Pulso Retangular (peridico)
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace - Teoremas
TEOREMAS
1. Teorema do Valor Inicial
2. Teorema do Valor Final
Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace de Algumas Funes Elementares
Transformada de Laplace de Algumas Funes Elementares
(Funes Teste)
1. Funo Degrau Unitrio
2. Funo Rampa Unitria
3. Funo Pulso Unitrio
4. Funo Impulso Unitrio
5. Funo Exponencial
6. Funo Seno
7. Funo Cosseno
Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace - Definio
EXEMPLO de Transformada de Laplace (TL)
de uma Funo
Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace Inversa - Definio
Transformada de Laplace INVERSA
Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace Inversa - Expanso em Fraes Parciais
Expanso em Fraes Parciais
Transformada de Laplace
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Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)
Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e
Invariantes no Tempo (EDLIT)
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Transformada de Laplace
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Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)
Para resolver esse tipo de equao (EDLIT) usando Laplace so necessrios trs passos:
1. Aplicar a Transformada de Laplace (TL) a cada um dos
lados da EDLIT, transformando-a, assim, numa
equao algbrica;
2. Isolar a varivel dependente, rearranjando a equao
algbrica;
3. Obter a soluo da EDLIT em funo do tempo, usando
a Transformada de Laplace Inversa (TLI).
Transformada de Laplace
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Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)
Exemplo: Obter a soluo x(t) da equao diferencial
(EDLIT) mostrada abaixo:
( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 (0) ; ( ) ;x t x t x t x a x o b -
Transformada de Laplace
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Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)
Exemplo: Obter a soluo x(t) da equao diferencial (EDLIT) mostrada abaixo:
( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 (0) ; ( ) ;x t x t x t x a x o b
Soluo:
Inicialmente, lembrar que (transformadas de Laplace
(TL) da funo x(t) e suas derivadas de primeira e
segunda, com as condies iniciais, so:
[ ( )] ( )L x t X s
[ ( )] ( ) (0) ( )L x t s X s x s X s a
2[ ( )] [ ( ) (0)] (0) ( )L x t s s X s x x s X s as b
Transformada de Laplace
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Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)
Portanto, a EDLIT torna-se:
2 ( ) 3 ( ) 3 2 ( ) 0s X s as b X s a X s
2( 3 2) ( ) ( 3 ) 0s s X s as b a
2( 3 )
( )( 3 2)
as b aX s
s s
Isolando X(s):
Fatorando o denominador:
( 3 )( )
( 1)( 2)
as b aX s
s s
Transformada de Laplace
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Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)
Lembrete:
Esse tpico, a seguir, sobre determinao analtica (dedues) dos Resduos da
Expanso em Fraes Parciais para a soluo de EDLIT no ser objeto de
avaliao nesta disciplina, pois considera-se como tpico de conhecimento prvio.
Espera-se que o profissional utilize um software para manipulao simblica
nesses procedimentos.
Transformada de Laplace
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Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)
Calculando os
Resduos da Expanso em Fraes Parciais:
1 1( 1) ( ) (2 )sr s X s a b
Calculando os resduos:
Nesse ponto, aps aplicao do procedimento de determinao dos
Resduos da Expanso em Fraes Parciais, utiliza-se a tabela de
transformadas de Laplace (ver apndice do livro) e finalmente, obtem-se a
Resposta no Tempo.
2 2( 2) ( ) ( )sr s X s a b
1 2( )
( 1) ( 2)
r rX s
s s
-
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Transformada de Laplace
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Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)
Calculando os Resduos da Expanso em Fraes Parciais:
1 1( 1) ( ) (2 )sr s X s a b Calculando os resduos:
Finalmente, a resposta no tempo:
2
1( ) (2 ) ( ) ( )t tx t a b e a b e u t
2 2( 2) ( ) ( )sr s X s a b
1 2( )
( 1) ( 2)
r rX s
s s
Transformada de Laplace
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Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)
Exemplo: Obter a soluo x(t) da equao diferencial
(EDLIT) mostrada abaixo:
( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 (0) ; ( ) ;x t x t x t x a x o b
Soluo:
Finalmente, a resposta no tempo:
2
1( ) (2 ) ( ) ( )t tx t a b e a b e u t
Em resumo:
Transformada de Laplace
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Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)
Transformada de Laplace FINAL de etapa