Trigonometria No Triangulo Retangulo

Trigonometria Aulas 1 e 2:Trigonometria no

tringulo retngulo Matemtica

1

1. A Trigonometria

A trigonometria o ramo da matemtica que estuda as caractersticas dos ngulos e arcos de circunferncias e suas aplicaes resoluo de tringulos, deslocamentos na Terra, Astronomia dentre outros. Muitos atribuem aos gregos o incio do estudo da trigonometria, mas sabe-se hoje que esta informao controversa. H relatos histricos do conhecimento de propriedades trigonomtricas no Papiro de Rhind e em tabelas cuneiformes babilnicas, ambos datados de aproximadamente 5000 a.C.

2. Tringulo Retngulo

Uma das mais importantes ferramentas da trigonometria e atravs da qual iremos definir em breve as primeiras propriedades trigonomtricas o tringulo retngulo, que o tringulo que possui um ngulo reto (igual a 90) e dois ngulos agudos (denotados por e na figura abaixo):

Os lados de um tringulo retngulo so nomeados como:

Hipotenusa: o lado oposto ao ngulo reto. tambm o maior lado do tringulo:

No tringulo acima, o lado de medida a a hipotenusa.

Cateto Oposto: o lado oposto a algum dos ngulos agudos tomado como referncia:

No tringulo acima, o lado de medida c o cateto

oposto a e o lado de medida b o cateto oposto

a .

Cateto Adjacente: o lado adjacente (que est ao lado) a algum dos ngulos agudos tomado como referncia.

No tringulo acima, o lado de medida b o cateto

adjacente a e o lado de medida c o cateto

adjacente a .

3. Trigonometria no Tringulo Retngulo

Atravs desta importante ferramenta para a trigonometria que o tringulo retngulo, vamos definir as trs primeiras propriedades trigonomtricas dos ngulos, chamadas seno, cosseno e tangente. Dado um tringulo retngulo, de ngulos agudos e

, definimos:

Seno: razo entre as medidas do cateto oposto e hipotenusa (nesta ordem), ou seja,

cateto opostoSeno

hipotenusa .

No exemplo do item 2 temos:

senc

a e sen

b

a

Cosseno: razo entre as medidas do cateto adjacente e hipotenusa (nesta ordem), ou seja,

cateto adjacenteCosseno

hipotenusa .


cosb

a e cos

c

a

Tangente: razo entre as medidas do cateto oposto e cateto adjacente (nesta ordem), ou

seja, cateto oposto

Tangentecateto adjacente

.


tgc

b e tg

b

c

Note agora que, uma vez conhecidas as definies de seno, cosseno e tangente de um ngulo agudo atravs do tringulo retngulo, podemos concluir uma frmula alternativa para a tangente que :

SenoTangente

Cosseno



2

A deduo desta expresso vem do resultado direto da diviso entre as definies de seno e cosseno:

cateto oposto

Seno hipotenusa

cateto adjacenteCosseno

hipotenusa

cateto oposto

hipotenusa

.hipotenusa

cateto adjacente

cateto opostoTangente

cateto adjacente

Exemplos Resolvidos

1. No tringulo retngulo abaixo, calcule os valores do seno, cosseno e tangente dos ngulos e .

O seno obtido pela razo entre as medidas do cateto oposto e hipotenusa, ento:

5sen

13 e

12sen

13

O cosseno obtido pela razo entre as medidas do cateto adjacente e hipotenusa, ento:

12cos

13 e

5cos

13

A tangente obtida pela razo entre as medidas do cateto oposto e cateto adjacente, ento:

5tg

12 e

12tg

5

2. Um importante tringulo retngulo aquele cujos lados medem 3, 4 e 5. Sabendo que os ngulos deste tringulo medem aproximadamente 37 e 53, calcule o valor do seno, cosseno e tangente destes

ngulos apresentando os resultados na forma decimal. Para desenhar o tringulo, devemos nos lembrar que quanto maior o lado, maior tambm ser seu ngulo oposto. Desta forma, teremos o tringulo:

Portanto,

3sen37 0,6

5

4sen53 0,8

5

4cos37 0,8

5

3cos53 0,6

5

3tg37 0,75

4

4tg53 1,33...

3

4. Um Importante Teorema

Observando os exemplos dos tpicos anteriores possvel notar uma interessante coincidncia entre os senos, cossenos e tangentes de dois ngulos agudos que compem um tringulo retngulo. Na verdade esta coincidncia uma regra aplicvel a quaisquer pares de ngulos como tais. Sejam e dois ngulos complementares, isto ,

90 , ento:

sen cos

sen cos

1tg

tg

O motivo pelo qual este teorema acontece bem simples. Como dois ngulos complementares sempre podem ser inseridos em um mesmo tringulo retngulo, o cateto oposto de um ser o cateto adjacente do outro e isto implica que a expresso do seno do primeiro ser igual expresso do cosseno do segundo. Esta demonstrao provm diretamente dos resultados obtidos no item 3.



3

5. ngulos Notveis

Os ngulos de 30, 45 e 60, tambm conhecidos como ngulos notveis, so o conjunto de ngulos mais importantes da trigonometria. So estes que justificaro grande parte dos resultados que obteremos daqui em diante neste curso e, para isso, devemos conhecer os valores de seus senos cossenos e tangentes dados pela tabela abaixo:

NGULOS NOTVEIS

30 45 60

SENO 1

2 2

2

3

2

COSSENO 3

2

2

2

1

2

TANGENTE 3

3 1 3

Os resultados da tabela acima podem ser facilmente deduzidos, veja:

Para o ngulo de 30: Considere um tringulo equiltero ABC e sua altura AH relativa ao vrtice A:

Analisando o tringulo retngulo ACH (lembre-se de que a altura de um tringulo equiltero de lado L

dada por 3

2

L, alm de tambm ser uma bissetriz

e mediana);

e aplicando as definies trigonomtricas temos:

1 12sen30 .2 2

LL

L L

33 1 32cos30 .

2 2

LL

L L

2 1 32tg30 .2 33 3 3

2

LL

L L

Para o ngulo de 45: Considere um quadrado ABCD e uma de suas diagonais AC:

A anlise do tringulo retngulo ABC nos fornece (lembre-se de que a diagonal de um quadrado de lado

L dada por 2L , alm de tambm ser uma bissetriz):

1 2sen45

22 2

L

L

1 2cos45

22 2

L

L

tg45 1L

L

Para o ngulo de 60: Poderamos ter usado nesta demonstrao o mesmo tringulo utilizado para demonstrar as propriedades do ngulo de 30, porm, vamos aproveitar este momento para usar, pela primeira vez, o teorema do item 4. Sabe-se que 30 e 60 so complementares, assim:



4

3sen60 cos30

2

1cos60 sen30

2

1 3tg60 3

tg30 3

Exemplos Resolvidos

1. Na figura a seguir, calcule o valor do ngulo .

Consideremos o ngulo adjacente e suplementar

de na figura acima. Ento,

12 1sen

24 2 .

Como um ngulo agudo, temos, 30 .

Portanto, 180 180 30 150 .

2. Um pedestre (de altura desprezvel) deseja estimar a altura de um poste situado sua frente. Para isso recorre ao seguinte procedimento trigonomtrico: i) Observa o topo do poste e nota que neste instante seus olhos fazem um ngulo de 30 com a horizontal. ii) Caminha 4m em direo ao poste e refaz o procedimento anterior, notando agora que seus olhos fazem um ngulo de 60 com a horizontal. Determine a altura encontrada para o poste. A ilustrao que descreve o problema :

Completando os ngulos do tringulo esquerda notamos se tratar de um tringulo issceles:

Temos, ento, que a hipotenusa do tringulo retngulo direita tambm mede 4m:

Portanto, 3

sen60 2 34 2 4

H HH m.

EXERCCIOS

1. (FUVEST) Um mvel parte de A e segue numa direo que forma com a reta AC um ngulo de 30. Sabe se que o mvel caminha com velocidade constante de 50 km/h. Aps 3 horas de percurso, a distncia que o mvel se encontra da reta AC de: a)75km

b) 75 2 km

c)50km

d) 75 2 km

e) 50 3 km



5

2. (UFG) Uma pessoa deseja subir uma rampa de comprimento d que forma um ngulo com a horizontal. Aps subir a rampa, essa pessoa estar h metros acima da posio em que se encontrava inicialmente, como mostra a figura a seguir:

a) Que relao existe entre os valores de , h e d?

b) Supondo 30 e h = 1m, qual o valor de d?

3. (ESPM) Uma pessoa cujos olhos esto a 1,80 m de altura em relao ao cho avista o topo de um edifcio segundo um ngulo de 30 com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de aproximao do edifcio, esse ngulo passa a medir 60. Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifcio de aproximadamente: a)59m b)62 m c)65 m d)69 m e)71 m

4. Sejam a e b os ngulos agudos de um tringulo retngulo de hipotenusa 13. Sabendo que

34sen sen cos cos

13a b a b , calcule a medida

dos catetos deste tringulo.

5. (UFJF) Considere um tringulo ABC retngulo

em C e o ngulo BAC. Sendo AC 1 e

1sen( ) ,

3 quanto vale a medida da hipotenusa

desse tringulo?



6

a) 3 b) 2 2

3 c) 10 d)

3 2

4 e)

3

2

6. (ENEM) Para determinar a distncia de um barco at a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ngulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu at um ponto B de modo que fosse possvel ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um

ngulo visual 2 . A figura ilustra essa situao:

Suponha que o navegante tenha medido o ngulo

30 e, ao chegar ao ponto B, verificou que o

barco havia percorrido a distncia AB 2000 m . Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetria, a menor distncia do barco at o ponto fixo P ser:

a)1000m

b)1000 3m

c)3

2000 m3

d) 2000m

e) 2000 3m

7. (PUCRJ) O valor decos45 sen30

:cos60

a) 2 1 b) 2 c) 2

4 d)

2 1

2

e) 0

8. (ENEM) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu reservatrio, que tem a forma de um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura.

Considere que a base do reservatrio tenha raio

r= 2 3 m e que sua lateral faa um ngulo de 60 com

o solo. Se a altura do reservatrio 12 m, a tampa a ser comprada dever cobrir uma rea de a) 12 m

2

b) 108 m2

c) (12 + 2 3 )2 m2

d) 300 m2

e) (24 + 2 3 )2 m2

9. (UNESP) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinao de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relao ao ponto de partida 30 m.

Use a aproximao sen 3 = 0,05 e responda. O

tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer

completamente a rampa

a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30.

10. (FUVEST) Dois pontos A e B esto situados na mesma margem de um rio e distantes 40m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, est

situado de tal modo que o ngulo CAB mede 75 e o

ngulo ACB mede 75. Determine a largura do rio.

11. (UNESP) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 3m do solo, forma, com essa parede, um ngulo de 30. A distncia da parede ao p da escada, em metros, de:



7

a) 3 3 m b) 2 3 m c) 3 m d) 3 2 m e) 2m

12. (VUNESP) A partir de um ponto observa-se o topo de um prdio sob um ngulo de 30 graus. Caminhando 23 metros em direo ao prdio, atingimos outro ponto onde se v o topo do prdio segundo um ngulo de 60. Desprezando a altura do observador, a altura do prdio em metros : a) entre 10 e 12 b) entre12 e 15 c) entre 15 e 18 d) entre 18 e 19 e) maior que 19

13. (MACKENZIE) Na figura, determine a medida de AB:

14. (UFMG) Um avio, em vo retilneo horizontal, passa por um ponto na vertical acima da cabea de uma pessoa situada no solo. Em um determinado momento, essa pessoa registra que o ngulo de elevao do avio, em relao ao solo, de 60 e que, 15 segundos depois desse registro, de 45 . Suponha que o avio voa a uma velocidade constante de 720 km/h e despreze a altura da pessoa. Calcule a altura em que estava o avio quando passou acima da cabea da pessoa.

15. (UFMG) Observe a figura: Nessa figura, E o ponto mdio do lado BC do quadrado ABCD. A tangente do ngulo :

a) 1

2 b) 1 c) 2 d)

3

2

16. Suponha que em uma determinada cidade da Terra o sol nasce s 7h00m e se pe s 17h00m. Determine em qual dos horrios abaixo a sombra projetada por um prdio tem o mesmo comprimento que sua altura. a)8h00m b)9h30m c)12h00m d)13h30m e)14h00m

17. Sejam e dois ngulos agudos tais que a

equao de incgnita x: 2(sen ) (2sen ) cos 0x x possua duas

solues reais iguais. Ento, pode-se afirmar que:

a) 30

b) 45

c) 60

d)

e) 90

18. Na figura abaixo, 12OA e o raio da

circunferncia inscrita no quadrado ABCD 2,5.

Calcule tg2

.

19. (UFPR) Um recipiente, no formato de hemisfrio, contm um lquido que tem profundidade mxima de 5 cm. Sabendo que a medida do dimetro



8

do recipiente de 20 cm, qual o maior ngulo, em relao horizontal, em que ele pode ser inclinado at que o lquido alcance a borda, antes de comear a derramar?

a)75 b)60 c)45 d)30 e)15

20. As circunferncias da figura abaixo so tangentes entre si e tangentes reta t nos pontos A e B.

Dados:

4 3BC , 12R e 30 .

A medida do segmento AB igual a:

a) 2 3 a) 4 3 a) 8 3 a)12 3

21. (ESPM) As medidas dos lados de um tringulo retngulo formam uma PA. Se x a medida do menor ngulo deste triangulo retngulo,

o valor de tgx :

a)0,6 b)0,5 c)0,8 d)0,45 e)0,75

22. (FUVEST) Na figura, tem-se AE paralelo a

CD , BC , paralelo a DE , AE 2 , 45 ,

75 . Nessas condies, a distncia do ponto E

ao segmento AB igual a

a) 3 b) 2 c) 3

2 d)

2

2 e)

2

4

23. (UFPR) Num projeto hidrulico, um cano com dimetro externo de 6 cm ser encaixado no vo triangular de uma superfcie, como ilustra a figura abaixo. Que poro x da altura do cano permanecer acima da superfcie?

a) 1

cm2

b) 1 cm c) 3

cm2

d) cm2

e) 2 cm

24. (ITA) Em um tringulo retngulo, a medida da

mediana relativa hipotenusa a mdia geomtrica

das medidas dos catetos. Ento, o valor do cosseno de

um dos ngulos do tringulo igual a:

a)4

5 b)

2 3

5

c)

12 3

2 d)

14 3

4 e)

12 3

3

25. (UFC) Calcule o valor numrico da expresso:

3log tg log tg5 10

em que log indica o logaritmo na base 10 e tg indica a

tangente do ngulo.

26. (ITA) Assinale a opo que indica a soma dos

elementos de A B, sendo:



9

22

2

sen : 1,224

(3 5)sen : 1,2

24

k

k

kA x k

kB y k

a) 0 b) 1 c) 2

d) [2 (2 3)]

3

e) [2 (2 3)]

3

27. (FGV) a) Num tringulo issceles ABC, em

que AB = AC, o ngulo mede o dobro da soma

dos outros dois. O lado BC mede 10 cm. Obtenha o

permetro desse tringulo.

b) Considerando que sen x + cos x = k, calcule, em funo de k, o valor da expresso sen

3x + cos

3 x.

28. (ITA) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B, C. O comandante, quando o navio est em A, observa

um farol L e calcula o ngulo LAC 30 . Aps

navegar 4 milhas at B, verifica o ngulo

LBC 75 . Quantas minhas separam o farol do

ponto B?

a)4 b) 2 2 c)8

3 d)

2

2 e) n.r.a

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