REVISÃO – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE DO CICLO TRIGONOMÉTRICO TURMA: 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

PROF. LUCAS FACTOR Trigonometria no Triangulo Retângulo Considere o triangulo retângulo abaixo: Definimos seno (sen) de um ângulo , cosseno (cos) de um ângulo , tangente (tg) de um ângulo ,cotangente (cotg) de um ângulo , secante(sec) de um ângulo e cossecante (cossec) de um ângulo , como :

H

CO

Hipotenusa

toCatetoOpos)sen(

H

CA

Hipotenusa

centeCatetoAdja)cos(

CA

CO

centeCatetoAdja

toCatetoOpostg )(

CO

CA

toCatetoOpos

centeCatetoAdjag )(cot

CA

H

centeCatetoAdja

Hipotenusa)sec(

CO

H

toCatetoOpos

Hipotenusa)sec(cos

Exemplos:

Sabemos que sen(36º)=0.58, cos(36º)=0.80 e tg(36º)=0.72 , Calcular o valor de x em cada figura:

Resolução:

a) cmxxx

8,510

58,010

)36sen(

b) mxxx

45

80,05

)36cos(

c) Kmxxx

tg 4,1420

72,020

)36(

Teorema de Pitágoras: Em todo triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Isto é:

222 acb

Exemplo: Sabendo que é um ângulo agudo e que 13

5)cos( , calcular )(tg e )(cot g .

Resolução: Existe um triangulo retângulo com ângulo agudo tal que o cateto adjacente a mede 5 e a hipotenusa mede 13.Chamamos x o valor do cateto oposto ao ângulo agudo. Pelo teorema de Pitágoras temos:

222 135 x

12

144

25169

2

2

x

x

x

Logo, 5

12)(

centeCatetoAdja

toCatetoOpostg e

12

5)(cot

CO

CAg

Exercício: Sabendo que é um ângulo agudo e que 5

3)sen( , calcular )(tg e )(cot g .

Tabela dos Ângulos Notáveis

30º 45º 60º

Sen

2

1

2

2

2

3

Cós

2

3

2

2

2

1

Tg

3

3

1 3

Por convenção:

)sen(sen

))(cos()(cos

))(sen()(sen

kk

nn

nn

Exercícios: Calcular o valor das expressões:

1))º45()º30(sen

)º30(cos)º60cos(53

2

tgE

Resolução:

9

10

8

94

5

18

14

3

2

1

12

1

2

3

2

1

)º45()º30(sen

)º30(cos2

1

5

3

2

53

2

tg

E

2)x

xxE

2cos

4cos2sen2

para x=15º

Resolução:

3

4

4

3

1

2

3

2

1

2

1

)º30(cos

)º60cos()º30sen(

)º15.2(cos

)º15.4cos()º15.2sen(222

E

3)Determinar o valor de x na figura:

Resolução: Como o triangulo BCD é isósceles, pois possui dois ângulos de mesma medida; logo, CD=BD=20m. Assim, do triangulo ABD, temos que:

310

202

3

20º60sen

x

x

x

BD

x

Logo, 310x m

4) Sabendo que 3,2 tgtg , calcular o valor de x na figura

Resolução: Vamos introduzir uma variável auxiliar, fazendo DA=y. Assim do triangulo ABC temos:

y

x

y

xtg

52

5

Do triangulo ABD temos:

y

x

y

xtg 3

Devemos então resolver o sistema:

)(3

3

)(5

2

IIx

yy

x

Iy

x

Substituindo (II) em (I), temos:

30

35

2

xx

x

Logo, 30x cm Estudo na Circunferência Unidades de Medidas de Arcos

Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB é º360

1dessa

circunferência, define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como sendo um grau (1º); logo, uma circunferência mede 360º.

Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB tem o comprimento do raio dessa circunferência , define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como sendo um radiano (1 rad); logo, uma circunferência mede 2 rad, pois o comprimento de

uma circunferência de raio r é r2 .

OBS: Radiano é a medida do ângulo central da circunferência, cujos lados determinam sobre a circunferência um arco de comprimento igual ao raio. Transformação de Unidades de Medidas de Arcos Uma medida em radianos é equivalente a uma medida em graus se ambas são medidas de um mesmo arco. Por exemplo, 2 rad é equivalente a 360º, pois ambas são medidas de um arco de uma volta completa. Conseqüentemente, temos que:

rad é equivalente a 180°

Disso segue que: 1° é equivalente(~) 180

1rad e 1 rad é equivalente a

180

Exemplo: a)Ache a medida equivalente em radianos de 162°

b)Ache a medida equivalente em graus de 12

5 rad

Resolução:

a) 162° ~162.180

rad

162° ~ 10

9 rad

b)

180.

12

5~

12

5rad

75~12

5rad

A Circunferência Trigonométrica A Circunferência Trigonométrica também é chamada de ciclo trigonométrico, tem raio unitário (1) e centro na origem. Sobre a circunferência serão fixados arcos, com origem no ponto A(1,0).Esses arcos serão percorridos no sentido anti-horário.Lembre-se de que a medida do ângulo central AÔP é igual á medida angular do arco AP

Vejamos então, as definições de seno, cosseno e tangente de um arco de 0º a 360º ou de 0 rad a 2 rad

Definimos:

Seno de é a ordenada (correspondente ao eixoy)do ponto P (indicação: sen )

Cosseno de é a abcissa (correspondente ao eixo x )do ponto P(indicação: cos ) Observe na figura que permanecem validas as definições de seno e cosseno para ângulos agudos, num triangulo retângulo .Veja:

OQOQ

raio

OQ

QPQP

raio

QP

1cos

1sen

Simetrias

Exemplos:

Assim:

1° Quadrante: 0° a 90° ou ( 0 rad a 2

rad)

2° Quadrante: 90° a 180° ou ( 2

rad a )

3° Quadrante: 180° a 270° ou ( rad a 2

3rad)

4° Quadrante: 270° a 360° ou ( 2

3rad a 2 )

Seno, Cosseno e Tangente de um Arco Trigonométrico

Exemplo: Sabendo que e 87,02

3º30cos5,0

2

1º30sen , achar um valor aproximado de:

a) sen 150º e cos 150º b)sen 210º e cos 210º

Solução: a) º150AP

Então:

87,0º30cosº150cos

5,0º30senº150sen

b) º210AP

Então:

87,0º30cosº210cos

5,0º30senº210sen

O exemplo anterior mostra que há uma relação entre o quadrante e o valor de seno e cosseno. Sendo a medida de um arco e P a sua extremidade, notamos que:

P no primeiro quadrante: ;0cos0sen e

P no 2º quadrante: 0cos0sen e ;

P no 3º quadrante: 0cos0sen e

P no 4º quadrante: 0cos0sen e

Sendo a medida de um arco com extremidade no 1º quadrante:

cos)º180cos(sen)º180(sen e

cos)º180cos(sen)º180sen( e

cos)º360cos(sen)º360sen( e

Funções Trigonométricas Definição1: Suponha que t seja um numero real.Coloque na posição padrão um ângulo com t rad de medida e seja P a intersecção do lado final do ângulo com a circunferência do circulo unitário com centro na origem. Se P for o ponto (x,y), então a função seno será definida por:

yt sen então a função cosseno será definido por xt cos

Vemos que sen t e cos t estão definidas para todos os valores de t. Assim o domínio das funções seno e cosseno é o conjuntos de todos os números reais .O maior valor da função é 1 e o menor é –1.As funções seno e cosseno assumem todos os valores entre –1 e 1; segue ,portanto, que imagem da função é [ –1, 1]. Para certos valores de t, o seno e o cosseno são facilmente obtidos de uma figura.

Vemos que:

sen(0) = 0 e cos(0) =1

2

22.

2

1

4cos

2

22.

2

1

4sen

02

cos12

sen

1cos0sen

02

3cos1

2

3sen

Propriedades: 1) )sen()sen( tt e )cos()cos( tt

Ou seja, a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par. 2) tt sen)2sen( e tt cos)2cos(

Esta propriedade é chamada de Periodicidade.

Definição2: Uma função f será periódica se existir um numero real 0p tal que quando x estiver no

domínio de f, então x+p estará também no domínio de f e f(x+p)=f(x).

O numero p é chamado de período de f . Exemplo: Use a periodicidade da seno e cosseno para determinar o valor exato da função

a)

4

17sen

b)

3

7cos

c)

3

2cos

Resolução:

a)

4

17sen

=

2

2

4sen2.2

4sen4

4sen

4

16

4sen

4

16sen

b)

3

7cos

=

2

1

3cos2

3cos

3

6cos

c)

3

2cos

=

2

1

3

4cos2

3

4cos

3

64cos

Relação Fundamental da Trigonometria

1cossen 22 Definição:

cos

sentg

cos

1sec

sen

coscot g

sen

1seccos

Identidades Notáveis

22 1sec tg

22 cot1seccos g

1)sec).(cos(sen

1)).(sec(cos

1)).(cot( gtg