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TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS

GRAUS RADIANOS

MULTIPLIQUE POR180º

TROQUE POR 180º

12º

Exercícios sobre Transformações

pág. 07

∙

GRAUS

∙

180º

180º

RADIANOS

180º=

15

Resp. : d

Exercícios sobre Transformações

pág. 07

GRAUS

∙

180º

180º

RADIANOS

Resp. : b

2

5

2∙180º

52∙36º 72º

3

4

3∙180º

43∙45º 135º

8

180º

822,5º

1 rad 57º

rad 180º

Além de GRAUS e RADIANOS há

também os GRADOS

0º180º

90º

270º

360º

GRAUS

0

/2

3 /2

2

RADIANOS

300gr

0200gr

100gr

400gr

GRADOS

Ângulo formado pelos ponteiros de um

relógio

12

6

9 3

1

2

4

5

11

10

8

7

30º30º

30º30º

30º30º

30º30º

30º30º

30º30º

Para saber o ângulo observe a lógica geométrica

1

12

6

9 3

2

4

5

11

10

8

7

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

3:00 4:00

30º

30º

30º

90º

30º

30º

30º

30º

120º

depois de 60

minutos o

ponteiro menor

se moveu 30º


1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

3:00 3:30

depois de 30

minutos o

ponteiro menor

se moveu 15º

15º

15º


1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

3:00 3:20

10º

depois de 20

minutos o

ponteiro menor

se moveu 10º


1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

3:00 3:10

5º

depois de 10

minutos o

ponteiro menor

se moveu 5º

Logo, o valor numérico do ângulo (em graus) de

deslocamento do ponteiro menor é sempre a metade do

valor numérico do tempo decorrido (em minutos)

tempo

(minutos)

ângulo

(graus)

60 30º

40 20º

30 15º

20 10º

15 7,5º

10 5º

2 1º

1 0,5º

Exercícios sobre ângulos entre ponteiros

pág. 07

Resp. : b

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

30º

30º

30º

30º

30º

30º + 30º + 30º + 30º + 30º

150º


pág. 08

Resp. : c

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

22º30’

30º

30º

30º + 30º + 22º30’

82º30’


pág. 08

Resp. : a

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

20º

30º + 30º + 30º + 30º + 30º + 20º

170º

30º

30º

30º

30º30º

+1-1

-1

+1

CICLO TRIGONOMÉTRICO

180º

90º

270º

0º

150º

135º

120º

30º

225º

60º

330º

300º

210º

240º

45º

315º

360º 2

/2

3 /2

/32 /3

4 /3 5 /3

/65 /6

7 /6 11 /6

/43 /4

5 /4 7 /4

-300º

ÂNGULOS PODEM SER POSITIVOS OU NEGATIVOS

0º

60º +

--60º

180º

90º

270º

-90º

-270º

-180º

-150º 210º

300º

ÂRCOS CÔNGRUOS

50º

0º180º

90º

270º

-310º

410º 770º 1130º ...

-670º -1030º -1390º ...

ÂRCOS CÔNGRUOS

0º180º

90º

270º

50º

-310º

410º 770º 1130º ...

-670º -1030º -1390º ...

50º

410º

770º

1130º

-310º

-670º

-1030º

-1390º

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

( 0 )

( -1 )

( -2 )

( -3 )

( -4 )

( 3 )

( 2 )

( 1 )

1ª det. positiva

2ª det. positiva

3ª det. positiva

4ª det. positiva

4ª det. negativa

3ª det. negativa

2ª det. negativa

1ª det. negativa

x = 50º + 360 ∙ k

1ª det. positiva

número

inteiro

COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA

DE UM ÂNGULO, EM GRAUS.

EXEMPLO:

ENCONTRAR A

MENOR

DETERMINAÇÃO

POSITIVA DO ÂNGULO

DE 1850º

1850º 360º

51800º

50º

VOLTAS

COMPLETAS1ª DETERMINAÇÃO

POSITIVA

COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA

DE UM ÂNGULO, EM RADIANOS.

EXEMPLO: ENCONTRAR A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA DO

ÂNGULO DE 28

3

28

3=

6

3+

6

3+

6

3+

6

3+

4

3

VOLTAS

COMPLETAS

1ª DETERMINAÇÃO

POSITIVA

SENO E CO-SENO DE

UM ÂNGULO

NO CICLO

TRIGONOMÉTRICO

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

sen 0º = 0

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

primeiro

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

sen 90º = 1

positivo

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

segundo

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

sen 180º = 0

positivopositivo

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

negativo

terceiro

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

sen 270º = -1

positivopositivo

negativo

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

negativo negativo

quarto

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

sen 360º = 0

360º

positivopositivo

negativo negativo

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

360º

quarto

quadrante

terceiro

quadrante

segundo

quadrante

primeiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

cos 0º = 1

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

primeiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

cos 90º = 0

positivo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

segundo

quadrante

negativo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

segundo

quadrante

negativo positivo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

segundo

quadrante

negativo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

cos 180º = -1

positivonegativo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivonegativo

negativo

terceiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

negativo positivo

negativo

terceiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivonegativo

negativo

terceiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

cos 270º = 0

positivo

negativo

negativo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

negativo

negativo

positivo

quarto

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

cos 360º = 1

360º

positivo

negativo

negativo

positivo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

360º

quarto

quadrante

terceiro

quadrante

segundo

quadrante

primeiro

quadrante

Exercícios sobre seno e co-seno

pág. 21

Resp. : c

450º

1

360º

360º

90º

sen 450º = sen 90º

sen 450º = 1

900º

2

360º

720º

180º

cos 900º = cos 180º

cos 900º = -1

-1

+1


pág. 21

Resp. : c

-1 sen x 1

-1 12m - 1

3

-3 32m - 1

+ 1 - 3 3 + 12m

- 2 42m

- 2 4m

2 2

- 1 2m


pág. 21

Resp. : c

sinal do

seno

sinal do

co-seno

a


pág. 22

Resp. : e

0º

90º

270º

180º

b

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